Viele Leute denken, dass exponentielle Ungleichheiten etwas so Kompliziertes und Unverständliches sind. Und dass das Lernen, sie zu lösen, fast eine große Kunst ist, die nur die Auserwählten verstehen können ...
Völliger Unsinn! Exponentielle Ungleichungen sind einfach. Und sie sind immer leicht zu lösen. Na ja, fast immer. :)
Heute werden wir dieses Thema weit und breit analysieren. Diese Lektion ist sehr nützlich für diejenigen, die gerade erst anfangen, diesen Abschnitt der Schulmathematik zu verstehen. Beginnen wir mit einfachen Aufgaben und gehen zu komplexeren Themen über. Es wird heute keine Härte geben, aber was Sie gleich lesen werden, wird ausreichen, um die meisten Ungleichheiten in allen Arten von Kontrolle und unabhängiger Arbeit zu lösen. Und dazu auch deine Prüfung.
Beginnen wir wie immer mit einer Definition. Eine exponentielle Ungleichung ist jede Ungleichung, die eine Exponentialfunktion enthält. Mit anderen Worten, es kann immer auf eine Ungleichheit der Form reduziert werden
\[((a)^(x)) \gt b\]
Wo die Rolle von $b$ eine gewöhnliche Nummer sein kann oder vielleicht etwas härteres. Beispiele? Ja, bitte:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ Quad ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\end(align)\]
Ich denke, die Bedeutung ist klar: Es gibt eine Exponentialfunktion $((a)^(x))$, sie wird mit etwas verglichen und dann aufgefordert, $x$ zu finden. In besonders klinischen Fällen können sie anstelle der Variablen $x$ eine Funktion $f\left(x \right)$ setzen und dadurch die Ungleichung ein wenig verkomplizieren. :)
Natürlich kann die Ungleichheit in einigen Fällen schwerwiegender aussehen. Zum Beispiel:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Oder sogar das:
Generell kann die Komplexität solcher Ungleichungen sehr unterschiedlich sein, am Ende läuft es aber dennoch auf eine einfache Konstruktion $((a)^(x)) \gt b$ hinaus. Und wir werden uns irgendwie mit einem solchen Design befassen (insbesondere in klinischen Fällen, wenn uns nichts einfällt, helfen uns Logarithmen). Deshalb lernen wir jetzt, wie man solche einfachen Konstruktionen löst.
Lösung der einfachsten exponentiellen Ungleichungen
Schauen wir uns etwas sehr Einfaches an. Hier ist es zum Beispiel:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Offensichtlich kann die Zahl auf der rechten Seite als Zweierpotenz umgeschrieben werden: $4=((2)^(2))$. Somit wird die ursprüngliche Ungleichung in einer sehr bequemen Form umgeschrieben:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
Und jetzt juckt es die Hände, die Zweien, die in den Basen der Grade stehen, "durchzustreichen", um die Antwort $x \gt 2$ zu erhalten. Aber bevor wir etwas durchstreichen, erinnern wir uns an die Zweierpotenzen:
\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]
Wie Sie sehen, ist die Ausgabezahl umso größer, je größer die Zahl im Exponenten ist. "Danke, Cap!" wird einer der Schüler ausrufen. Geht es anders? Leider passiert es. Zum Beispiel:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ rechts))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Auch hier ist alles logisch: Je größer der Grad, desto öfter wird die Zahl 0,5 mit sich selbst multipliziert (also halbiert). Somit nimmt die resultierende Zahlenfolge ab, und der Unterschied zwischen der ersten und der zweiten Folge besteht nur in der Basis:
- Wenn die Basis des Grades $a \gt 1$ ist, dann wächst mit wachsendem Exponenten $n$ auch die Zahl $((a)^(n))$;
- Umgekehrt, wenn $0 \lt a \lt 1$, dann wird die Zahl $((a)^(n))$ kleiner, wenn der Exponent $n$ wächst.
Fasst man diese Fakten zusammen, erhält man die wichtigste Aussage, auf der die gesamte Lösung exponentieller Ungleichungen basiert:
Wenn $a \gt 1$, dann ist die Ungleichung $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ äquivalent zur Ungleichung $x \gt n$. Wenn $0 \lt a \lt 1$, dann ist die Ungleichung $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ äquivalent zur Ungleichung $x \lt n$.
Mit anderen Worten, wenn die Basis größer als eins ist, können Sie sie einfach entfernen - das Ungleichheitszeichen ändert sich nicht. Und wenn die Basis kleiner als eins ist, kann sie auch entfernt werden, aber das Ungleichheitszeichen muss auch geändert werden.
Beachten Sie, dass wir die Optionen $a=1$ und $a\le 0$ nicht berücksichtigt haben. Denn in diesen Fällen herrscht Unsicherheit. Angenommen, wie löst man eine Ungleichung der Form $((1)^(x)) \gt 3$? Eine Eins zu irgendeiner Potenz ergibt wieder eine Eins – wir werden niemals eine Drei oder mehr bekommen. Jene. es gibt keine lösungen.
Mit negativen Basen ist es sogar noch interessanter. Betrachten Sie beispielsweise die folgende Ungleichung:
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
Auf den ersten Blick ist alles einfach:
Korrekt? Aber nein! Es reicht aus, $x$ durch ein paar gerade und ein paar ungerade Zahlen zu ersetzen, um sicherzustellen, dass die Lösung falsch ist. Schau mal:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Wie Sie sehen können, wechseln sich die Zeichen ab. Aber es gibt noch Bruchgrade und anderes Zinn. Wie würden Sie zum Beispiel $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (minus zwei zur Wurzel von sieben) zählen? Auf keinen Fall!
Deshalb nehmen wir zur Eindeutigkeit an, dass bei allen exponentiellen Ungleichungen (und übrigens auch Gleichungen) $1\ne a \gt 0$ ist. Und dann ist alles ganz einfach gelöst:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]
Denken Sie im Allgemeinen noch einmal an die Hauptregel: Wenn die Basis in der Exponentialgleichung größer als eins ist, können Sie sie einfach entfernen. und wenn die Basis kleiner als eins ist, kann sie auch entfernt werden, aber das ändert das Ungleichheitszeichen.
Lösungsbeispiele
Betrachten Sie also ein paar einfache exponentielle Ungleichungen:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\end(align)\]
Die primäre Aufgabe ist in allen Fällen dieselbe: die Ungleichungen auf die einfachste Form $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ zu reduzieren. Das machen wir jetzt mit jeder Ungleichung und wiederholen gleichzeitig die Eigenschaften von Potenzen und der Exponentialfunktion. So lass uns gehen!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Was kann hier getan werden? Nun, links haben wir bereits einen demonstrativen Ausdruck - es muss nichts geändert werden. Aber rechts ist irgendein Mist: ein Bruch und sogar eine Wurzel im Nenner!
Denken Sie jedoch an die Regeln für die Arbeit mit Brüchen und Potenzen:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\end(align)\]
Was bedeutet das? Erstens können wir den Bruch leicht loswerden, indem wir ihn in einen negativen Exponenten umwandeln. Und zweitens, da der Nenner die Wurzel ist, wäre es schön, ihn in Grad umzuwandeln - diesmal mit einem gebrochenen Exponenten.
Wenden wir diese Aktionen nacheinander auf die rechte Seite der Ungleichung an und sehen, was passiert:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Vergessen Sie nicht, dass beim Potenzieren eines Grades die Exponenten dieser Grade addiert werden. Und im Allgemeinen ist es bei der Arbeit mit Exponentialgleichungen und Ungleichungen unbedingt erforderlich, zumindest die einfachsten Regeln für die Arbeit mit Potenzen zu kennen:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\end(align)\]
Eigentlich haben wir gerade die letzte Regel angewendet. Daher wird unsere ursprüngliche Ungleichung wie folgt umgeschrieben:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Jetzt werden wir die Zwei an der Basis los. Da 2 > 1, bleibt das Ungleichheitszeichen gleich:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Das ist die ganze Lösung! Die Hauptschwierigkeit liegt überhaupt nicht in der Exponentialfunktion, sondern in der kompetenten Transformation des ursprünglichen Ausdrucks: Sie müssen ihn sorgfältig und so schnell wie möglich in seine einfachste Form bringen.
Betrachten Sie die zweite Ungleichung:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
So so. Hier warten wir auf Dezimalbrüche. Wie ich schon oft gesagt habe, sollten Sie in allen Ausdrücken mit Potenzen Dezimalbrüche loswerden - oft ist dies die einzige Möglichkeit, eine schnelle und einfache Lösung zu sehen. Hier ist, was wir loswerden:
\[\begin(align) & 0,1=\frac(1)(10);\quad 0,01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ rechts))^(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Rightarrow ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\end(align)\]
Vor uns liegt wieder die einfachste Ungleichung, und zwar mit der Basis 1/10, also Weniger als eins. Nun, wir entfernen die Basen und ändern gleichzeitig das Vorzeichen von "weniger" auf "größer", und wir erhalten:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\end(align)\]
Wir haben die endgültige Antwort: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Bitte beachten Sie, dass die Antwort genau die Menge ist und auf keinen Fall die Konstruktion der Form $x \lt -1$. Denn formal ist eine solche Konstruktion gar keine Menge, sondern eine Ungleichung bezüglich der Variablen $x$. Ja, es ist sehr einfach, aber es ist nicht die Antwort!
Wichtiger Hinweis. Diese Ungleichheit könnte auf andere Weise gelöst werden - indem beide Teile auf eine Potenz mit einer Basis größer als eins reduziert werden. Schau mal:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Rightarrow ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
Nach einer solchen Transformation erhalten wir wieder eine exponentielle Ungleichung, aber mit einer Basis von 10 > 1. Und das bedeutet, dass Sie die Zehn einfach durchstreichen können - das Ungleichheitszeichen ändert sich nicht. Wir bekommen:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt-2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\end(align)\]
Wie Sie sehen können, ist die Antwort genau die gleiche. Gleichzeitig haben wir uns das Wechseln des Schildes erspart und merken uns generell einige Regeln dort. :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Lassen Sie sich davon jedoch nicht abschrecken. Was auch immer in den Indikatoren steht, die Technologie zur Lösung der Ungleichheit selbst bleibt dieselbe. Daher stellen wir zunächst fest, dass 16 = 2 4 . Lassen Sie uns die ursprüngliche Ungleichung unter Berücksichtigung dieser Tatsache umschreiben:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Hurra! Wir haben die übliche quadratische Ungleichung! Das Vorzeichen hat sich nirgendwo geändert, da die Basis eine Zwei ist - eine Zahl größer als eins.
Funktion Nullen auf dem Zahlenstrahl
Wir ordnen die Vorzeichen der Funktion $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ an - offensichtlich wird ihr Graph eine Parabel mit Verzweigungen nach oben sein, also gibt es „Pluspunkte " auf den Seiten. Uns interessiert der Bereich, in dem die Funktion kleiner als Null ist, d.h. $x\in \left(2;5 \right)$ ist die Antwort auf das ursprüngliche Problem.
Betrachten Sie abschließend eine weitere Ungleichung:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Wieder sehen wir eine Exponentialfunktion mit einem Dezimalbruch in der Basis. Wandeln wir diesen Bruch in einen gewöhnlichen Bruch um:
\[\begin(align) & 0,2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2)^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )))=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
In diesem Fall haben wir die zuvor gemachte Bemerkung ausgenutzt - wir haben die Basis auf die Nummer 5\u003e 1 reduziert, um unsere weitere Entscheidung zu vereinfachen. Machen wir dasselbe mit der rechten Seite:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ rechts))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Lassen Sie uns die ursprüngliche Ungleichung umschreiben und dabei beide Transformationen berücksichtigen:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+ ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]
Die Basen auf beiden Seiten sind gleich und größer als eins. Es gibt rechts und links keine anderen Begriffe, also „streichen“ wir einfach die Fünfen und erhalten einen sehr einfachen Ausdruck:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Hier müssen Sie aufpassen. Viele Schüler ziehen gerne einfach die Quadratwurzel aus beiden Seiten der Ungleichung und schreiben so etwas wie $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. Sie sollten dies deshalb niemals tun die Wurzel des exakten Quadrats ist der Modul und keineswegs die ursprüngliche Variable:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\rechts|\]
Das Arbeiten mit Modulen ist jedoch nicht die angenehmste Erfahrung, oder? Also werden wir nicht arbeiten. Stattdessen verschieben wir einfach alle Terme nach links und lösen die übliche Ungleichung mit der Intervallmethode:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\end(align)$
Wieder markieren wir die erhaltenen Punkte auf dem Zahlenstrahl und schauen uns die Zeichen an:
Bitte beachten Sie: Punkte sind schattiert. Da wir eine nicht-strikte Ungleichung lösen, sind alle Punkte im Diagramm schattiert. Daher lautet die Antwort: $x\in \left[ -1;1 \right]$ ist kein Intervall, sondern ein Segment.
Generell möchte ich anmerken, dass exponentielle Ungleichungen nichts Kompliziertes sind. Die Bedeutung aller Transformationen, die wir heute durchgeführt haben, läuft auf einen einfachen Algorithmus hinaus:
- Finden Sie die Basis, auf die wir alle Grade reduzieren werden;
- Führen Sie vorsichtig Transformationen durch, um eine Ungleichung der Form $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ zu erhalten. Anstelle der Variablen $x$ und $n$ können natürlich auch viel komplexere Funktionen stehen, was aber nichts an der Bedeutung ändert;
- Streiche die Basen der Grade durch. In diesem Fall kann sich das Ungleichheitszeichen ändern, wenn die Basis $a \lt 1$ ist.
Tatsächlich ist dies ein universeller Algorithmus zum Lösen all dieser Ungleichungen. Und alles andere, was Ihnen zu diesem Thema erzählt wird, sind nur konkrete Tricks und Tricks, um die Transformation zu vereinfachen und zu beschleunigen. Hier ist einer dieser Tricks, über die wir jetzt sprechen werden. :)
Rationalisierungsmethode
Betrachten Sie eine weitere Reihe von Ungleichungen:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
Nun, was ist so besonders an ihnen? Sie sind auch leicht. Obwohl, halt! Wird Pi potenziert? Was für ein Unsinn?
Und wie kann man die Zahl $2\sqrt(3)-3$ potenzieren? Oder $3-2\sqrt(2)$? Die Autoren der Aufgaben haben offensichtlich zu viel Hawthorn getrunken, bevor sie zur Arbeit gingen. :)
Eigentlich ist an diesen Aufgaben nichts auszusetzen. Zur Erinnerung: Eine Exponentialfunktion ist ein Ausdruck der Form $((a)^(x))$, wobei die Basis $a$ eine beliebige positive Zahl außer Eins ist. Die Zahl π ist positiv – das wissen wir bereits. Auch die Zahlen $2\sqrt(3)-3$ und $3-2\sqrt(2)$ sind positiv - das sieht man leicht, wenn man sie mit Null vergleicht.
Es stellt sich heraus, dass sich all diese „erschreckenden“ Ungleichheiten nicht von den oben diskutierten einfachen unterscheiden? Und sie machen es genauso? Ja, absolut richtig. Anhand ihres Beispiels möchte ich jedoch auf einen Trick eingehen, der viel Zeit beim selbstständigen Arbeiten und bei Prüfungen spart. Wir werden über die Methode der Rationalisierung sprechen. Also Achtung:
Jede exponentielle Ungleichung der Form $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ entspricht der Ungleichung $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ rechts) \gt 0 $.
Das ist die ganze Methode :) Dachtest du, dass es eine Art nächstes Spiel geben würde? Nichts dergleichen! Aber diese einfache Tatsache, buchstäblich in einer Zeile geschrieben, wird unsere Arbeit erheblich vereinfachen. Schau mal:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Abwärtspfeil \\ \left(x+7-\left(((x)^(2))) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
Hier gibt es keine Exponentialfunktionen mehr! Und Sie müssen sich nicht merken, ob sich das Vorzeichen ändert oder nicht. Aber ein neues Problem taucht auf: was soll man mit dem verdammten Multiplikator \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\] machen? Wir wissen nicht, was der genaue Wert von Pi ist. Der Kapitän scheint jedoch auf das Offensichtliche hinzuweisen:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\approx 3,14... \gt 3\Rechtspfeil \text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 3-1=2\]
Im Allgemeinen stört uns der genaue Wert von π nicht sonderlich – wichtig ist uns nur zu verstehen, dass in jedem Fall $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, t.e. ist eine positive Konstante, und wir können beide Seiten der Ungleichung durch sie dividieren:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Wie Sie sehen, mussten wir an einem bestimmten Punkt durch minus eins dividieren, und das Ungleichheitszeichen änderte sich. Am Ende habe ich das quadratische Trinom nach dem Satz von Vieta entwickelt - es ist offensichtlich, dass die Wurzeln gleich $((x)_(1))=5$ und $((x)_(2))=- sind 1 $. Dann wird alles nach der klassischen Methode der Intervalle gelöst:
Wir lösen die Ungleichung mit der Methode der Intervalle Alle Punkte werden punktiert, weil die ursprüngliche Ungleichung streng ist. Uns interessiert der Bereich mit negativen Werten, also lautet die Antwort $x\in \left(-1;5 \right)$. Das ist die Lösung. :)
Kommen wir zur nächsten Aufgabe:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Hier ist alles einfach, denn rechts befindet sich eine Einheit. Und wir erinnern uns, dass eine Einheit eine beliebige Zahl ist, die mit Null potenziert wird. Auch wenn diese Zahl ein irrationaler Ausdruck ist, steht an der Basis links:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3\right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\end(align)\]
Also lasst uns rationalisieren:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Es bleibt nur, sich mit den Zeichen zu befassen. Der Multiplikator $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ enthält nicht die Variable $x$ - es ist nur eine Konstante, und wir müssen ihr Vorzeichen herausfinden. Beachten Sie dazu Folgendes:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrix)\]
Es stellt sich heraus, dass der zweite Faktor nicht nur eine Konstante, sondern eine negative Konstante ist! Und beim Teilen durch sie ändert sich das Vorzeichen der ursprünglichen Ungleichung ins Gegenteil:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Jetzt wird alles ganz offensichtlich. Die Wurzeln des quadratischen Trinoms auf der rechten Seite sind $((x)_(1))=0$ und $((x)_(2))=2$. Wir markieren sie auf dem Zahlenstrahl und schauen uns die Vorzeichen der Funktion $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ an:
Der Fall, wenn wir an lateralen Intervallen interessiert sind Uns interessieren die mit einem Pluszeichen gekennzeichneten Intervalle. Es bleibt nur die Antwort aufzuschreiben:
Kommen wir zum nächsten Beispiel:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ rechts))^(16-x))\]
Nun, hier ist alles ganz offensichtlich: Die Basen sind gleichzahlige Potenzen. Deshalb schreibe ich alles kurz:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Abwärtspfeil \\ ((\links(((3)^(-1)) \rechts))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ links(16-x\rechts))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Wie Sie sehen, mussten wir im Transformationsprozess mit einer negativen Zahl multiplizieren, sodass sich das Ungleichheitszeichen änderte. Ganz zum Schluss habe ich noch einmal den Satz von Vieta angewendet, um ein quadratisches Trinom zu faktorisieren. Als Ergebnis lautet die Antwort: $x\in \left(-8;4 \right)$ - Wer möchte, kann dies überprüfen, indem er einen Zahlenstrahl zieht, Punkte markiert und Zeichen zählt. In der Zwischenzeit gehen wir zur letzten Ungleichung aus unserer „Menge“ über:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Wie Sie sehen können, ist die Basis wieder eine irrationale Zahl, und die Einheit ist wieder rechts. Daher schreiben wir unsere exponentielle Ungleichung wie folgt um:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ rechts))^(0))\]
Lassen Sie uns rationalisieren:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Es ist jedoch ziemlich offensichtlich, dass $1-\sqrt(2) \lt 0$, da $\sqrt(2)\approx 1.4... \gt 1$. Daher ist der zweite Faktor wieder eine negative Konstante, durch die beide Teile der Ungleichung geteilt werden können:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\end(matrix)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Wechseln Sie zu einer anderen Basis
Ein besonderes Problem bei der Lösung exponentieller Ungleichungen ist die Suche nach der „richtigen“ Basis. Leider ist auf den ersten Blick auf die Aufgabenstellung bei weitem nicht immer ersichtlich, was als Grundlage zu nehmen ist und was als Grad dieser Grundlage zu tun ist.
Aber keine Sorge: Hier gibt es keine magischen und "geheimen" Technologien. In der Mathematik kann jede Fähigkeit, die nicht algorithmisiert werden kann, leicht durch Übung entwickelt werden. Dafür müssen Sie jedoch Probleme unterschiedlicher Komplexität lösen. Dies sind zum Beispiel:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ ende(ausrichten)\]
Kompliziert? Unheimlich? Ja, es ist einfacher als ein Huhn auf dem Asphalt! Lass es uns versuchen. Erste Ungleichung:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Nun, ich denke, hier ist alles klar:
Wir schreiben die ursprüngliche Ungleichung um und reduzieren alles auf die Basis "zwei":
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Ja, ja, Sie haben richtig verstanden: Ich habe gerade die oben beschriebene Rationalisierungsmethode angewendet. Jetzt müssen wir vorsichtig arbeiten: Wir haben eine gebrochen-rationale Ungleichung (dies ist eine, die eine Variable im Nenner hat), also müssen Sie, bevor Sie etwas mit Null gleichsetzen, alles auf einen gemeinsamen Nenner bringen und den konstanten Faktor loswerden .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Jetzt verwenden wir die Standardintervallmethode. Zähler Nullen: $x=\pm 4$. Der Nenner geht nur dann auf Null, wenn $x=0$. Insgesamt sind auf dem Zahlenstrahl drei Punkte zu markieren (alle Punkte sind ausgestanzt, da das Ungleichheitszeichen streng ist). Wir bekommen:
Komplizierterer Fall: drei Wurzeln Wie Sie sich vorstellen können, markiert die Schraffur die Intervalle, in denen der linke Ausdruck negative Werte annimmt. Daher gehen gleich zwei Intervalle in die endgültige Antwort ein:
Die Enden der Intervalle sind nicht in der Antwort enthalten, da die ursprüngliche Ungleichung streng war. Es ist keine weitere Validierung dieser Antwort erforderlich. In dieser Hinsicht sind exponentielle Ungleichungen viel einfacher als logarithmische: kein DPV, keine Einschränkungen usw.
Kommen wir zur nächsten Aufgabe:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Auch hier gibt es keine Probleme, da wir bereits wissen, dass $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, also die ganze Ungleichung wie folgt umgeschrieben werden kann:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\links(-2\rechts)\rechts. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Bitte beachten Sie: In der dritten Zeile habe ich beschlossen, keine Zeit mit Kleinigkeiten zu verschwenden und alles sofort durch (−2) zu teilen. Minul ging in die erste Klammer (jetzt gibt es überall Pluspunkte) und die Zwei wurde mit einem konstanten Multiplikator reduziert. Genau das sollten Sie tun, wenn Sie echte Berechnungen für die unabhängige und kontrollierte Arbeit anstellen - Sie müssen nicht jede Aktion und Transformation direkt malen.
Als nächstes kommt die bekannte Methode der Intervalle ins Spiel. Nullen des Zählers: aber es gibt keine. Weil die Diskriminante negativ sein wird. Der Nenner wiederum wird nur dann auf Null gesetzt, wenn $x=0$ ist – genau wie beim letzten Mal. Nun, es ist klar, dass der Bruch rechts von $x=0$ positive Werte und links negative Werte annehmen wird. Da wir nur an negativen Werten interessiert sind, lautet die endgültige Antwort $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1\]
Und was ist mit Dezimalbrüchen in exponentiellen Ungleichungen zu tun? Das ist richtig: Werden Sie sie los, indem Sie sie in gewöhnliche umwandeln. Hier übersetzen wir:
\[\begin(align) & 0,16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0,16 \right))^(1+2x)) =((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x)); \\ & 6,25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6,25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25)(4) \right))^(x)). \\\end(align)\]
Nun, was haben wir in den Grundlagen der Exponentialfunktionen herausgefunden? Und wir haben zwei gegenseitig reziproke Zahlen:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ rechts))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1)) \right))^(x))=((\ left(\frac(4)(25) \right))^(-x))\]
Damit lässt sich die ursprüngliche Ungleichung wie folgt umschreiben:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\end(align)\]
Wenn Potenzen mit derselben Basis multipliziert werden, addieren sich natürlich ihre Indikatoren, was in der zweiten Zeile passiert ist. Außerdem haben wir die Einheit rechts auch als Macht in der Basis 4/25 dargestellt. Es bleibt nur zu rationalisieren:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Beachte, dass $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, d.h. Der zweite Faktor ist eine negative Konstante, und wenn er durch ihn geteilt wird, ändert sich das Ungleichheitszeichen:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
Schließlich die letzte Ungleichung aus der aktuellen "Menge":
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
Prinzipiell ist auch hier der Lösungsgedanke klar: Alle Exponentialfunktionen, die die Ungleichung ausmachen, müssen auf die Basis „3“ reduziert werden. Dafür muss man aber ein wenig mit Wurzeln und Abschlüssen basteln:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\end(align)\]
Angesichts dieser Tatsachen kann die ursprüngliche Ungleichung wie folgt umgeschrieben werden:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2)) \right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\end(align)\]
Achten Sie auf die 2. und 3. Zeile der Berechnungen: Bevor Sie etwas mit Ungleichung machen, bringen Sie es unbedingt in die Form, über die wir am Anfang der Lektion gesprochen haben: $((a)^(x)) \lt ( (a)^(n))$. Solange Sie linke oder rechte linke Multiplikatoren, zusätzliche Konstanten usw. haben, keine Rationalisierung und "Durchstreichung" der Gründe kann durchgeführt werden! Unzählige Aufgaben wurden aufgrund eines Missverständnisses dieser einfachen Tatsache falsch gemacht. Ich selbst beobachte dieses Problem immer wieder bei meinen Studenten, wenn wir gerade anfangen, exponentielle und logarithmische Ungleichungen zu analysieren.
Aber zurück zu unserer Aufgabe. Versuchen wir diesmal, auf Rationalisierungen zu verzichten. Wir erinnern uns: Die Basis des Grades ist größer als eins, also können die Tripel einfach durchgestrichen werden - das Ungleichheitszeichen ändert sich nicht. Wir bekommen:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\end(align)\]
Das ist alles. Endgültige Antwort: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Hervorheben eines stabilen Ausdrucks und Ersetzen einer Variablen
Abschließend schlage ich vor, vier weitere exponentielle Ungleichungen zu lösen, die für unvorbereitete Schüler bereits ziemlich schwierig sind. Um mit ihnen fertig zu werden, müssen Sie sich an die Regeln für die Arbeit mit Abschlüssen erinnern. Insbesondere gemeinsame Faktoren aus Klammern setzen.
Aber das Wichtigste ist, verstehen zu lernen: was genau geklammert werden kann. Einen solchen Ausdruck nennt man stabil – man kann ihn durch eine neue Variable bezeichnen und damit die Exponentialfunktion loswerden. Schauen wir uns also die Aufgaben an:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Beginnen wir mit der allerersten Zeile. Schreiben wir diese Ungleichung separat:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Beachten Sie, dass $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, also die rechte Seite kann umschreiben:
Beachten Sie, dass es außer $((5)^(x+1))$ keine anderen Exponentialfunktionen in der Ungleichung gibt. Und im Allgemeinen kommt die Variable $x$ nirgendwo anders vor, also führen wir eine neue Variable ein: $((5)^(x+1))=t$. Wir erhalten folgende Konstruktion:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\ & 6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\end(align)\]
Wir kehren zur ursprünglichen Variable zurück ($t=((5)^(x+1))$) und erinnern uns gleichzeitig daran, dass 1=5 0 . Wir haben:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ &#x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\end(align)\]
Das ist die ganze Lösung! Antwort: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Kommen wir zur zweiten Ungleichung:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Hier ist alles dasselbe. Beachten Sie, dass $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Dann kann die linke Seite umgeschrieben werden:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \right. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge 9\Rightarrow ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Rightarrow x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\end(align)\]
So ungefähr müssen Sie eine Entscheidung über echte Kontrolle und unabhängige Arbeit treffen.
Nun, versuchen wir etwas Schwierigeres. Hier ist zum Beispiel eine Ungleichung:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Was ist hier das Problem? Zunächst einmal sind die Basen der Exponentialfunktionen auf der linken Seite unterschiedlich: 5 und 25. Allerdings 25 \u003d 5 2, sodass der erste Term transformiert werden kann:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1,5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1,5))= ((5)^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Wie Sie sehen können, haben wir zuerst alles auf die gleiche Basis gebracht und dann festgestellt, dass der erste Term leicht auf den zweiten reduziert werden kann - es reicht aus, nur den Exponenten zu erweitern. Jetzt können wir sicher eine neue Variable einführen: $((5)^(2x+2))=t$, und die ganze Ungleichung wird wie folgt umgeschrieben:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\ & 4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\ & 2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\end(align)\]
Wieder kein Problem! Endgültige Antwort: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Weiter zur letzten Ungleichung in der heutigen Lektion:
\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Als erstes solltest du natürlich auf den Dezimalbruch in der Basis des ersten Grades achten. Es ist notwendig, es loszuwerden und gleichzeitig alle Exponentialfunktionen auf dieselbe Basis zu bringen - die Zahl "2":
\[\begin(align) & 0,5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0,5 \right))^(-4x- 8))=((\links(((2)^(-1)) \rechts))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Rightarrow ((16)^(x+1,5))=((\left(((2)^(4)) \right))^( x+1,5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Großartig, wir haben den ersten Schritt getan – alles hat zum selben Fundament geführt. Jetzt müssen wir den stabilen Ausdruck hervorheben. Beachten Sie, dass $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Wenn wir eine neue Variable $((2)^(4x+6))=t$ einführen, dann kann die ursprüngliche Ungleichung wie folgt umgeschrieben werden:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\end(align)\]
Natürlich stellt sich die Frage: Wie haben wir herausgefunden, dass 256 = 2 8 ? Leider müssen Sie hier nur die Zweierpotenzen (und gleichzeitig die Dreier- und Fünferpotenzen) kennen. Nun, oder teilen Sie 256 durch 2 (Sie können teilen, da 256 eine gerade Zahl ist), bis wir das Ergebnis erhalten. Es wird in etwa so aussehen:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
Dasselbe gilt für die Drei (die Zahlen 9, 27, 81 und 243 sind ihre Potenzen) und für die Sieben (die Zahlen 49 und 343 wären auch schön zu merken). Nun, die fünf haben auch „schöne“ Abschlüsse, die man kennen muss:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\end(align)\]
Natürlich können alle diese Zahlen, falls gewünscht, im Kopf wiederhergestellt werden, indem man sie einfach sukzessive miteinander multipliziert. Wenn Sie jedoch mehrere exponentielle Ungleichungen lösen müssen und jede nächste schwieriger ist als die vorherige, dann ist das Letzte, woran Sie denken wollen, die Potenzen einiger Zahlen dort. Und in diesem Sinne sind diese Probleme komplexer als die „klassischen“ Ungleichungen, die mit der Intervallmethode gelöst werden.
Ich hoffe, diese Lektion hat Ihnen geholfen, dieses Thema zu meistern. Wenn etwas nicht klar ist, fragen Sie in den Kommentaren. Und wir sehen uns in den nächsten Tutorials. :)
Thema 6. Exponential- und logarithmische Gleichungen und Ungleichungen (11 Stunden)
Unterrichtsthema. Ungleichheiten, die durch Ersetzen des Unbekannten auf das Einfachste reduziert werden.
Der Zweck der Lektion: Die Fähigkeiten zum Lösen exponentieller und logarithmischer Ungleichungen zu entwickeln, indem auf die einfachsten reduziert und das Unbekannte ersetzt wird.
Aufgaben:
Lehrreich: Wissen zum Thema "Auflösen der einfachsten exponentiellen und logarithmischen Ungleichungen" wiederholen und festigen, logarithmische und exponentielle Ungleichungen mit der Ersetzungsmethode lösen lernen.
Entwicklung: die Fähigkeit des Schülers zu bilden, zwei Arten von Ungleichheiten zu unterscheiden und Wege zu ihrer Lösung zu bestimmen (logisches und intuitives Denken, Begründung von Urteilen, Klassifizierung, Vergleich), Fähigkeiten der Selbstbeherrschung und Selbstprüfung sowie die Fähigkeit zur Bewegung zu entwickeln nach einem vorgegebenen Algorithmus das Ergebnis auswerten und korrigieren.
Pädagogisch: die Ausbildung solcher Qualitäten von Schülern fortzusetzen wie: die Fähigkeit, einander zuzuhören; die Fähigkeit zur gegenseitigen Kontrolle und Selbsteinschätzung.
Unterrichtstyp: kombiniert.
Lehrbuch Algebra Klasse 10 S.M. Nikolsky, M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A. V. Shevkin
Während des Unterrichts
Zeit organisieren.
Überprüfung der Hausaufgaben.
Aktualisierung des Grundwissens.
Frontal:
1. Welche Ungleichungen werden die einfachsten exponentiellen Ungleichungen genannt?
2. Erklären Sie, was es bedeutet, die einfachsten exponentiellen Ungleichungen zu lösen.
3. Welche Ungleichungen werden als einfachste logarithmische Ungleichungen bezeichnet?
4. Erklären Sie, was es bedeutet, die einfachsten logarithmischen Ungleichungen zu lösen.
Mit einem Hinweis an der Tafel (je 1 Schüler):
Ungleichungen lösen
2x<1160,3х<103log2x>5log15x>-2Erklärung des neuen Materials und seiner allmählichen Konsolidierung.
1.1. Erklärung des neuen Materials.
1. Lösen Sie die Ungleichung:
2x2-3x<14Пусть х2-3х=t, тогда
2t<142t<2-2т. к. основание 2>1, dann
t<-2Обратная замена:
x2-3x<-2х2-3х+2<0Нахдим его корни: x1=1, x2=2Отмечаем эти точки на координатной прямой и выясняем знак выражения x2−3x+2 на каждом из полученных интервалов.
Uns interessiert das Zeichen "−−", dann bekommen wir
Antwort:x∈(1;2)
2. Lösen Sie die Ungleichung
1.2. Schritt für Schritt Verstärkung.
Nr. 6.49 (a, c).
Nr. 6.52(e).
a) 74x2-9x+6>74x2-9x+6>14x2-9x+5>0x1=5/4x2=1
Antwort: -∞; 1∪54; + ∞v) (13) 5x2-4x-3> 95x2-4x-3<-25х2-4х-1<0x1=-15 x2=1
Antwort: -15; 1e) log5x2-2x-3<1
log5x2-2x-3
Antwort: -2;-1∪3;42.1. Erklärung des neuen Materials.
3. Lösen Sie die Ungleichung
Dann macht 1 Ungleichung für alle x Sinn, und die zweite
2.2. Schritt für Schritt Verstärkung.
Lösen Sie die Ungleichung #6.56(c)
3.1. Erklärung des neuen Materials.
4. Lösen Sie die Ungleichung
3.2. Schritt für Schritt Verstärkung.
Lösen Sie die Ungleichung #6.60(a)
Zusammenfassung der Lektion.
Betrachtung.
Hausaufgaben.
S. 6.6
Nr. 6.49 (b, d)
Nr. 6.52 (a, b)
Nr. 6.56 (e)
Nr. 6.60 (b)
Beigefügte Anhänge
Mathematiklehrer MOU - Sekundarschule Nr. 2 r.p. Stepnoe Trufyakova Galina Ivanovna Website
Folie 2
Zusammenfassung der Lektion
Das Thema "Exponatorische Ungleichungen" ist das wichtigste Thema in der Mathematik. Nach dem Lehrbuch von S. M. Nikolsky wird es in der 10. Klasse studiert und 2 Stunden sind für das Studium der Planung vorgesehen: 1 Stunde - Die einfachsten exponentiellen Ungleichungen; 1 Stunde - Ungleichungen, die auf den einfachsten Ersatz des Unbekannten reduziert werden. Während dieser Zeit ist es notwendig, die Schüler in neues und sehr umfangreiches Material einzuführen, ihnen beizubringen, alle Arten von exponentiellen Ungleichungen zu lösen und diese Fähigkeiten und Fertigkeiten gut zu entwickeln.Daher Unterricht in der Bildung neuen Wissens in Form von Vorlesungen mit Informationen und Kommunikationstechnik erlauben es, diese Probleme schnell und mit großem Erfolg zu lösen.
Folie 3
Folie 4
Albert Einstein
„Ich muss meine Zeit zwischen Politik und dem Lösen von Gleichungen und Ungleichheiten aufteilen. Die Lösung von Gleichungen und Ungleichungen ist meiner Meinung nach jedoch viel wichtiger, da Politik nur für diesen Moment existiert und Gleichungen und Ungleichungen für immer bestehen werden.
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Unterrichtsstruktur
Organisatorischer Moment Festlegung von Zielen und Zielsetzungen Vorlesungsplan Aktualisierung des Wissens der Schüler in Form von Wiederholungen von zuvor gelerntem Material Einführung von neuem Wissen Festigung des Wissens in Form eines Interviews Zusammenfassung der Lektion Hausaufgaben
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Zeit organisieren
Schüler begrüßen Tragen Sie die Namen der Schüler, die dem Unterricht fernbleiben, in das Klassentagebuch ein
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Festlegen von Zielen und Zielsetzungen
Kündigen Sie den Schülern zu Beginn der Unterrichtsstunde ihre Ziele an Stellen Sie den Schülern den Vorlesungsplan vor und schreiben Sie ihn in ein Heft
Folie 8
Unterrichtsziele
Pädagogische Bildung des Konzepts der exponentiellen Ungleichheit Vertrautmachen von Schülern mit Arten exponentieller Ungleichungen Bildung von Fähigkeiten und Fertigkeiten zur Lösung exponentieller Ungleichungen
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Bildung Bildung von Fleiß Bildung von Selbständigkeit bei der Zielerreichung Bildung von Rechenfähigkeiten Bildung von ästhetischen Fähigkeiten beim Notieren
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Entwicklung Entwicklung geistiger Aktivität Entwicklung kreativer Initiative Entwicklung kognitiver Aktivität Entwicklung von Sprache und Gedächtnis
Folie 11
Unterrichtsziele
Wiederholen Sie die Eigenschaften einer Exponentialfunktion. Wiederholen Sie die Regeln zum Lösen quadratischer und gebrochen rationaler Ungleichungen. Erarbeiten Sie einen Algorithmus zum Lösen der einfachsten exponentiellen Ungleichungen. Bringen Sie den Schülern bei, zwischen Arten von exponentiellen Ungleichungen zu unterscheiden
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Unterrichtstyp
Lektion in der Bildung von neuem Wissen
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Art des Unterrichts
Lektion - Vortrag
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Lehrmethoden
Erklärend-illustrative heuristische Suche Problematisch
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Lerntechnologie
Informations- und Kommunikationstechnologie basierend auf problembasiertem Lernen
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Vorlesungsplan
Wiederholung der Eigenschaften einer Exponentialfunktion Die einfachsten Exponential-Ungleichungen Die Exponential-Ungleichungen, die sich auf die einfachsten reduzieren Die Exponential-Ungleichungen, die sich auf quadratische Ungleichungen reduzieren Homogene Exponential-Ungleichungen ersten Grades Homogene Exponential-Ungleichungen zweiten Grades Exponential-Ungleichungen, die sich auf rationale Ungleichungen reduzieren lassen Exponentielle Nicht-Standard-Ungleichungen
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Wiederholung von zuvor gelerntem Material
Lösen Sie an der Tafel und in Heften: a) quadratische Ungleichungen: x² - 2x - 1≥0 x² - 2x - 3 ≤0 b) gebrochen-rationale Ungleichung: (x - 5) \ (x - 2) ≤ 0
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Wiederholung der Eigenschaften der Exponentialfunktion
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auf R monoton abnehmend Die x-Achse ist eine horizontale Asymptote, die auf R 8 monoton ansteigend ist. Für alle reellen Werte von x und y; a > 0, a ≠ 1; b>0, b≠1. 7. Asymptote 6. Extrema 5. Monotonie 4. Gerade, Ungerade 3. Intervalle des Vergleichs von Werten einer Funktion mit Eins 2. Wertebereich einer Funktion hat keine Extrema Die Funktion ist weder gerade noch ungerade (allgemein Funktion).
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Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Lösungsmethoden Aufgabe Nummer 1 Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion
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Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Lösungsmethoden Aufgabe Nummer 2 Bestimmen Sie die Werte
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Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Lösungsmethoden Aufgabe № 3 Bestimme die Art der Funktion steigend fallend steigend fallend
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Einführung von neuem Wissen
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Exponential-Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden DEFINITION der einfachsten Exponential-Ungleichungen: Sei a eine gegebene positive Zahl ungleich eins und b eine gegebene reelle Zahl. Dann die Ungleichungen ax>b (ax≥b) und ax
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Exponentiale Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden Die Lösung einer Ungleichung mit unbekanntem x ist die Zahl x0, wenn man sie in die Ungleichung einsetzt, erhält man eine echte numerische Ungleichung.
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Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden WAS BEDEUTET es, eine Ungleichung zu lösen? Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, alle ihre Lösungen zu finden oder zu zeigen, dass es keine gibt.
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Betrachten Sie die relative Lage des Graphen der Funktion y=ax, a>0, a≠1 und der Geraden y=b Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Lösungsmethoden y x y x y=b, b 0 y=b, b> 0 0 1 0 1 x0 x0
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Exponentiale Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden unterhalb der Kurve y=ax liegt, also gelten für xR die Ungleichungen ax>b(ax≥b) und die Ungleichungen ax
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SCHLUSSFOLGERUNG №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 x2 Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden Wenn a>1 und b > 0, dann für jedes x1 x0- unter der Linie y=b. 1 Für b> 0 schneidet die Gerade y = b den Graphen der Funktion y= ax in einem einzigen Punkt, dessen Abszisse x0 = logab ist
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SCHLUSSFOLGERUNG №2: y x 0 x0 x1 y=b, b>0 1 Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Lösungsmethoden für jedes x2 0, die Linie y = b schneidet den Graphen der Funktion y= ax an einem einzigen Punkt , deren Abszisse x0 = logab x2 ist
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Die einfachsten Exponential-Ungleichungen Exponential-Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden
Folie 32
Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsverfahren Beispiel Nr. 1.1 Antwort: Zunahmen über den gesamten Definitionsbereich, Lösung:
Folie 33
Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Lösungsverfahren Beispiel Nr. 1.2 Lösung: Antwort: nimmt über den gesamten Definitionsbereich ab,
Folie 34
Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Lösungsverfahren Beispiel Nr. 1.3 Lösung: Antwort: steigt im gesamten Definitionsbereich an,
Folie 35
Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Methoden zu ihrer Lösung Arten von exponentiellen Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung
Folie 36
Exponentielle Ungleichungen, ihre Typen und Lösungsverfahren Beispiel Nr. 1.4 Lösung: Zunahmen über den gesamten Definitionsbereich, Antwort:
Folie 37
Exponentiale Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden
Folie 38
Exponentiale Ungleichungen, ihre Arten und Methoden zu ihrer Lösung Arten von exponentiellen Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung 2) Exponentiale Ungleichungen, die sich auf quadratische Ungleichungen reduzieren lassen
Folie 39
Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Methoden zu ihrer Lösung Arten von exponentiellen Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung 3) Homogene exponentielle Ungleichungen ersten und zweiten Grades. Homogene exponentielle Ungleichungen ersten Grades Beispiel Nr. 1 nimmt über den gesamten Definitionsbereich zu Antwort: Lösung:
Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Methoden zu ihrer Lösung Arten von exponentiellen Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung 4) Exponentiale Ungleichungen, die sich auf rationale Ungleichungen reduzieren lassen
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Exponentiale Ungleichungen, ihre Arten und Methoden zu ihrer Lösung Arten von exponentiellen Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung 5) Exponentiale Nicht-Standard-Ungleichungen Beispiellösung: Lassen Sie uns jede Aussage der Menge separat lösen. Ungleichheit ist Aggregat
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Exponentielle Ungleichungen, ihre Arten und Methoden zu ihrer Lösung Arten von exponentiellen Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung ist keine Lösung der Gleichung. So,
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Festigung des Wissens
Welche Ungleichungen nennt man Exponential? Wann hat eine exponentielle Ungleichung eine Lösung für beliebige Werte von x? Wann hat eine exponentielle Ungleichung keine Lösungen? Welche Arten von Ungleichheiten hast du in dieser Lektion gelernt? Wie werden einfache Ungleichungen gelöst? Wie werden Ungleichungen, die auf Quadrate reduziert werden, gelöst? Wie werden homogene Ungleichungen gelöst? Wie werden Ungleichheiten auf rationale reduziert gelöst?
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Zusammenfassung der Lektion
Finden Sie heraus, was die Schüler in dieser Lektion gelernt haben Bewerten Sie die Schüler für die Arbeit in der Lektion mit detaillierten Kommentaren
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Hausaufgaben
Lehrbuch für die 10. Klasse "Algebra und der Beginn der Analyse" Autor S. M. Nikolsky Zum Studium der Absätze 6.4 und 6.6, Nr. 6.31-6.35 und Nr. 6.45-6.50 lösen
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Exponentiale Ungleichungen, ihre Arten und Lösungsmethoden
Arbeitsort, Position: — MOU-SOSH r.p. Puschkino, Lehrer
Region: — Gebiet Saratow
Merkmale der Unterrichtsstunde (Klasse) Bildungsniveau: - Sekundarstufe (vollständige) Allgemeinbildung
Zielgruppe: – Student (Schüler)
Zielgruppe: – Lehrer (Lehrer)
Klasse(n): – Klasse 10
Fach(e): – Algebra
Der Zweck der Lektion: - Didaktik: Verbesserung der grundlegenden Techniken und Methoden zum Lösen von logarithmischen und exponentiellen Ungleichungen und Sicherstellen, dass alle Schüler die grundlegenden algorithmischen Methoden zum Lösen von exponentiellen und logarithmischen Ungleichungen beherrschen; entwickeln: logisches Denken, Gedächtnis, kognitives Interesse entwickeln, mathematische Sprache weiterbilden, Analyse- und Vergleichsfähigkeit entwickeln; pädagogisch: sich an die ästhetische Gestaltung von Notizen in einem Notizbuch zu gewöhnen, die Fähigkeit, anderen zuzuhören und die Fähigkeit zu kommunizieren, Genauigkeit und Sorgfalt zu vermitteln.
Unterrichtstyp: - Unterricht zur Verallgemeinerung und Systematisierung von Wissen
Schüler in der Klasse (Publikum): - 25
Kurzbeschreibung: - Das Lösen von exponentiellen und logarithmischen Ungleichungen gilt als eines der schwierigsten Themen der Mathematik und erfordert von den Studierenden gute theoretische Kenntnisse, die Fähigkeit, diese in der Praxis anzuwenden, erfordert Aufmerksamkeit, Fleiß und schnelle Auffassungsgabe. Das im Unterricht behandelte Thema wird auch für Aufnahmeprüfungen an Universitäten und Abschlussprüfungen eingereicht. Diese Art von Unterricht entwickelt logisches Denken, Gedächtnis, kognitives Interesse und trägt zur Entwicklung der Fähigkeit bei, andere zu analysieren, zu vergleichen und ihnen zuzuhören.
Unterrichtsphasen und deren Inhalte
Zeit
(Mindest)
Aktivität
Lehrer
Schüler
1. Organisationsphase
organisatorisch
Fehlzeiten melden.
2. Zielsetzung
Heute werden wir in der Lektion die erlernten grundlegenden Methoden und Methoden zur Lösung exponentieller und logarithmischer Ungleichungen weiter ausarbeiten und auch andere Möglichkeiten zur Lösung logarithmischer und exponentieller Ungleichungen in Betracht ziehen: Dies ist der Übergang zu rationalen Ungleichungen durch Ersetzen des Unbekannten und auch ein Weg beide Teile der Ungleichung durch eine positive Zahl zu dividieren.
Informiert über das Thema der Lektion, das Datum der Lektion, den Zweck der Lektion
Schreibe in ein Notizbuch
3. Überprüfung der Hausaufgaben
Ruft auf Wunsch der Studierenden 3 Personen in den Vorstand, führt parallel dazu ein Frontalgespräch zu theoretischen Fragen
Vier Personen arbeiten an der Tafel, der Rest nimmt an einer theoretischen Befragung teil
Zu Hause wurden Sie gebeten, logarithmische und exponentielle Ungleichungen auf zwei Komplexitätsstufen zu lösen. Sehen wir uns die Lösung einiger von ihnen an
6.49(a); 6.52(d) 6.56(b), 6.54(b).
4. Aktualisierung des Wissens der Schüler
Erinnern wir uns, welche Methoden wir in der letzten Lektion besprochen haben.
Heute betrachten wir Ungleichungen, die nach Einführung einer neuen Unbekannten zu rationalen Ungleichungen werden.
Denken Sie dazu daran, was die Lösung einer rationalen Ungleichung der Form A(x) / B(x)>0 ist? Welche Methode wird verwendet, um rationale Ungleichungen zu lösen?
5. Verbesserung der Kenntnisse und Fähigkeiten der Schüler
xx
Beispiel1)2 - 9 / (2 -1)0
3 Minuten
x +0,5xx +0,5
3). 25- 710+4>0
3 Minuten
5).Reparieren eines neuen.
Übungen an der Tafel machen
6.48(.g);6.58(b);6.59(b) - am Brett 6.62(c)
Weist auf die Wahl eines rationalen Lösungsverfahrens hin. überwacht die Alphabetisierung der Argumentation und die korrekte Aufzeichnung der Lösung der Ungleichung. Gibt einen Kostenvoranschlag für die Arbeit
Ein Schüler entscheidet an der Tafel. Die anderen schreiben die Lösung in ein Heft.
6) Differenziertes selbstständiges Arbeiten (Aufgabe am Bildschirm)
1. Ebene:
1 Option 2 Option
Nr. 6.48(b), Nr. 6.48(e);
Nr. 6.58 (a) Nr. 6.58 (c)
2. Ebene:
1 Option 2 Option
Nr. 6.61(b), Nr. 6.61(d);
Nr. 6.62 (c), Nr. 6.62 (d).
5 Minuten
2 Personen arbeiten einzeln am Seitenbrett. Der Rest leistet mehrstufige selbstständige Arbeit im Feld.
7) Selbstprüfung
3 Minuten
8) Hausaufgaben (am Bildschirm)
Stufe 1 S. 6.6, Nr. 6.48 (a.), Nr. 6.57 (1 Artikel), Nr. 6.50 (a).
Ebene 2: S. 6.6, Nr. 6.59(c); Nr. 6.62 (a), Nr. 158 (S. 382), Nr. 168 (a, b) (S. 383)
2 Minuten
Erklärt Hausaufgaben und macht die Schüler darauf aufmerksam, dass ähnliche Aufgaben im Unterricht aussortiert wurden.
Die letzten beiden Aufgaben wurden bei der Zulassung zur Moskauer Staatsuniversität und zum MTITF angeboten.
Nachdem Sie dem Lehrer aufmerksam zugehört haben, schreiben Sie die Hausaufgaben auf. Den Schwierigkeitsgrad wählt man selbst.
8) Zusammenfassung der Lektion: Das Lösen von exponentiellen und logarithmischen Ungleichungen gilt als eines der schwierigen Themen des Schulmathematikkurses und erfordert von den Schülern gute theoretische Kenntnisse, die Fähigkeit, sie in der Praxis anzuwenden, erfordert Aufmerksamkeit, Fleiß, schnelle Auffassungsgabe, es Aus diesem Grund werden die im Unterricht behandelten Ungleichheiten bei den Einführungsprüfungen für die Universitäten und den Abschlussprüfungen eingereicht.Heute im Unterricht haben alle sehr gut gearbeitet und die folgenden Noten erhalten
Danke an alle.
2 Minuten
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