Der Zähler, und das, durch das er dividiert wird, ist der Nenner.

Um einen Bruch zu schreiben, schreibe zuerst seinen Zähler, ziehe dann einen horizontalen Strich unter diese Zahl und schreibe den Nenner unter den Strich. Die horizontale Trennlinie zwischen Zähler und Nenner wird als Bruchstrich bezeichnet. Manchmal wird es als schräges „/“ oder „∕“ dargestellt. In diesem Fall wird der Zähler links von der Zeile geschrieben und der Nenner rechts. So wird beispielsweise der Bruch „zwei Drittel“ als 2/3 geschrieben. Zur Verdeutlichung wird der Zähler normalerweise oben auf der Zeile und der Nenner unten geschrieben, dh anstelle von 2/3 finden Sie: ⅔.

Um das Produkt von Brüchen zu berechnen, multiplizierst du zuerst den Zähler mit Eins Brüche zu einem anderen Zähler. Schreiben Sie das Ergebnis in den Zähler von new Brüche. Dann multipliziere auch die Nenner. Geben Sie den endgültigen Wert in der neuen an Brüche. Zum Beispiel 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Um einen Bruch durch einen anderen zu dividieren, multiplizierst du zuerst den Zähler des ersten mit dem Nenner des zweiten. Machen Sie dasselbe mit dem zweiten Bruch (Teiler). Oder, bevor Sie alle Schritte ausführen, „drehen“ Sie zuerst den Divisor, wenn es für Sie bequemer ist: Der Nenner sollte anstelle des Zählers stehen. Dann multipliziere den Nenner des Dividenden mit dem neuen Nenner des Divisors und multipliziere die Zähler. Zum Beispiel 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Quellen:

• Grundaufgaben für Brüche

Mit Bruchzahlen können Sie den genauen Wert einer Menge auf unterschiedliche Weise ausdrücken. Mit Brüchen kannst du dieselben mathematischen Operationen durchführen wie mit ganzen Zahlen: Subtraktion, Addition, Multiplikation und Division. Um zu lernen, wie man sich entscheidet Brüche, ist es notwendig, sich an einige ihrer Merkmale zu erinnern. Sie sind typabhängig Brüche, das Vorhandensein eines ganzzahligen Teils, ein gemeinsamer Nenner. Einige arithmetische Operationen erfordern nach der Ausführung eine Reduzierung des Bruchteils des Ergebnisses.

Du wirst brauchen

• - Taschenrechner

Anweisung

Schau dir die Zahlen genau an. Wenn es unter den Brüchen Dezimalzahlen und Unregelmäßigkeiten gibt, ist es manchmal bequemer, zuerst Aktionen mit Dezimalzahlen auszuführen und sie dann in die falsche Form umzuwandeln. Kannst du übersetzen Brüche Schreiben Sie in dieser Form zunächst den Wert nach dem Komma in den Zähler und setzen Sie 10 in den Nenner. Falls nötig, kürze den Bruch, indem du die Zahlen darüber und darunter durch einen Teiler dividierst. Brüche, bei denen der ganze Teil hervorsticht, führen zur falschen Form, indem man ihn mit dem Nenner multipliziert und zum Ergebnis den Zähler addiert. Dieser Wert wird zum neuen Zähler Brüche. Das ganze Teil aus dem zunächst Falschen herauszulösen Brüche, teile den Zähler durch den Nenner. Schreiben Sie das gesamte Ergebnis ab Brüche. Und der Rest der Division wird zum neuen Zähler, zum Nenner Brüche während sie sich nicht ändern. Für Brüche mit einem ganzzahligen Teil ist es möglich, Aktionen separat durchzuführen, zuerst für die ganze Zahl und dann für die Bruchteile. Beispielsweise kann die Summe von 1 2/3 und 2 ¾ berechnet werden:
- Brüche in die falsche Form umwandeln:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Summierung getrennt von ganzzahligen und gebrochenen Teilen von Termen:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Schreiben Sie sie durch das Trennzeichen ":" um und setzen Sie die übliche Aufteilung fort.

Um das Endergebnis zu erhalten, kürze den resultierenden Bruch, indem du Zähler und Nenner durch eine ganze Zahl dividierst, in diesem Fall die größtmögliche. In diesem Fall müssen über und unter der Linie ganze Zahlen stehen.

beachten Sie

Rechnen Sie nicht mit Brüchen, die unterschiedliche Nenner haben. Wählen Sie eine Zahl so, dass, wenn Zähler und Nenner jedes Bruchs damit multipliziert werden, die Nenner beider Brüche gleich sind.

Hilfreicher Rat

Beim Schreiben von Bruchzahlen wird der Dividende über dem Strich geschrieben. Diese Größe wird als Zähler eines Bruchs bezeichnet. Unter dem Strich steht der Teiler oder Nenner des Bruchs. Zum Beispiel werden anderthalb Kilogramm Reis in Form eines Bruchs wie folgt geschrieben: 1 ½ kg Reis. Wenn der Nenner eines Bruchs 10 ist, spricht man von einem Dezimalbruch. In diesem Fall steht der Zähler (Dividende) rechts vom ganzen Teil, getrennt durch ein Komma: 1,5 kg Reis. Zur Vereinfachung der Berechnungen kann ein solcher Bruch immer in der falschen Form geschrieben werden: 1 2/10 kg Kartoffeln. Zur Vereinfachung können Sie die Zähler- und Nennerwerte reduzieren, indem Sie sie durch eine einzelne ganze Zahl dividieren. In diesem Beispiel ist eine Division durch 2 möglich, das Ergebnis sind 1 1/5 kg Kartoffeln. Achte darauf, dass die Zahlen, mit denen du rechnen wirst, dieselbe Form haben.

Aktionen mit Brüchen. In diesem Artikel werden wir Beispiele analysieren, alles ist mit Erklärungen detailliert. Wir betrachten gewöhnliche Brüche. In Zukunft werden wir Dezimalzahlen analysieren. Ich empfehle, das Ganze anzuschauen und der Reihe nach zu studieren.

1. Summe von Brüchen, Differenz von Brüchen.

Regel: Beim Addieren von Brüchen mit gleichem Nenner ist das Ergebnis ein Bruch, dessen Nenner gleich bleibt und dessen Zähler gleich der Summe der Zähler der Brüche ist.

Regel: Wenn wir die Differenz von Brüchen mit demselben Nenner berechnen, erhalten wir einen Bruch - der Nenner bleibt gleich und der Zähler des zweiten wird vom Zähler des ersten Bruchs subtrahiert.

Formale Schreibweise der Summe und Differenz von Brüchen mit gleichem Nenner:

Beispiele (1):

Es ist klar, dass, wenn gewöhnliche Brüche gegeben sind, alles einfach ist, aber wenn sie gemischt sind? Nichts kompliziertes...

Variante 1- Sie können sie in gewöhnliche umwandeln und dann berechnen.

Option 2- Sie können separat mit den ganzzahligen und gebrochenen Teilen "arbeiten".

Beispiele (2):

Noch:

Und wenn die Differenz zweier gemischter Brüche gegeben ist und der Zähler des ersten Bruchs kleiner ist als der Zähler des zweiten? Es kann auch auf zwei Arten erfolgen.

Beispiele (3):

* Umgerechnet in gewöhnliche Brüche, berechnete die Differenz, wandelte den resultierenden unechten Bruch in einen gemischten um.

* In ganze und gebrochene Teile geteilt, drei erhalten, dann 3 als Summe von 2 und 1 dargestellt, mit der Einheit als 11/11 dargestellt, dann die Differenz zwischen 11/11 und 7/11 gefunden und das Ergebnis berechnet. Die Bedeutung der obigen Transformationen besteht darin, eine Einheit zu nehmen (auszuwählen) und sie als Bruch mit dem benötigten Nenner darzustellen, dann können wir von diesem Bruch bereits einen anderen subtrahieren.

Ein anderes Beispiel:

Fazit: Es gibt einen universellen Ansatz - um die Summe (Differenz) gemischter Brüche mit gleichen Nennern zu berechnen, können sie immer in unechte Brüche umgewandelt und dann die erforderliche Aktion ausgeführt werden. Wenn wir danach einen unechten Bruch erhalten, übersetzen wir ihn in einen gemischten.

Oben haben wir uns Beispiele mit Brüchen angesehen, die denselben Nenner haben. Was ist, wenn die Nenner unterschiedlich sind? In diesem Fall werden die Brüche auf denselben Nenner gekürzt und die angegebene Aktion ausgeführt. Um einen Bruch zu ändern (zu transformieren), wird die Haupteigenschaft des Bruchs verwendet.

Betrachten Sie einfache Beispiele:

In diesen Beispielen sehen wir sofort, wie einer der Brüche umgewandelt werden kann, um gleiche Nenner zu erhalten.

Wenn wir Wege angeben, um Brüche auf einen Nenner zu bringen, wird dieser aufgerufen METHODE EINS.

Das heißt, Sie müssen sofort beim „Auswerten“ des Bruchs herausfinden, ob ein solcher Ansatz funktioniert - wir prüfen, ob der größere Nenner durch den kleineren teilbar ist. Und wenn es geteilt wird, führen wir die Transformation durch - wir multiplizieren Zähler und Nenner, sodass die Nenner beider Brüche gleich werden.

Sehen Sie sich nun diese Beispiele an:

Für sie gilt dieser Ansatz nicht. Es gibt andere Möglichkeiten, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, ziehen Sie sie in Betracht.

Methode ZWEITE.

Multipliziere Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs und Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten:

*Tatsächlich bringen wir Brüche in die Form, wenn die Nenner gleich werden. Als nächstes wenden wir die Regel an, ängstlich mit gleichen Nennern zu addieren.

Beispiel:

*Diese Methode kann als universell bezeichnet werden und funktioniert immer. Das einzig Negative ist, dass sich nach den Berechnungen möglicherweise ein Bruchteil herausstellt, der weiter reduziert werden muss.

Betrachten Sie ein Beispiel:

Es ist ersichtlich, dass Zähler und Nenner durch 5 teilbar sind:

Methode DRITT.

Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Nenner. Dies wird der gemeinsame Nenner sein. Was ist das für eine Nummer? Dies ist die kleinste natürliche Zahl, die durch jede der Zahlen teilbar ist.

Schauen Sie, hier sind zwei Zahlen: 3 und 4, es gibt viele Zahlen, die durch sie teilbar sind - das sind 12, 24, 36, ... Die kleinste von ihnen ist 12. Oder 6 und 15, 30, 60, 90 sind durch sie teilbar .... Mindestens 30. Frage - wie bestimmt man dieses kleinste gemeinsame Vielfache?

Es gibt einen klaren Algorithmus, aber oft kann dies sofort ohne Berechnungen durchgeführt werden. Zum Beispiel wird nach den obigen Beispielen (3 und 4, 6 und 15) kein Algorithmus benötigt, wir haben große Zahlen (4 und 15) genommen, verdoppelt und gesehen, dass sie durch die zweite Zahl teilbar sind, aber Zahlenpaare können andere sein, wie 51 und 119.

Algorithmus. Um das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen zu bestimmen, müssen Sie:

- jede der Zahlen in EINFACHE Faktoren zerlegen

- Schreiben Sie die Zerlegung des GRÖSSEREN von ihnen auf

- multipliziere es mit den FEHLENDEN Faktoren anderer Zahlen

Betrachten Sie Beispiele:

50 und 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlt eine Fünf

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 und 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlen zwei und drei

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Primzahlen ist gleich ihrem Produkt

Frage! Und warum ist es sinnvoll, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, weil man die zweite Methode verwenden und den resultierenden Bruch einfach kürzen kann? Ja, das können Sie, aber es ist nicht immer bequem. Sehen Sie, was der Nenner für die Zahlen 48 und 72 ist, wenn Sie sie einfach mit 48∙72 = 3456 multiplizieren. Stimmen Sie zu, dass es angenehmer ist, mit kleineren Zahlen zu arbeiten.

Betrachten Sie Beispiele:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

bei der Erweiterung einer größeren Zahl fehlt ein Tripel

=> LCM(51,119) = 3∙7∙17

Und jetzt wenden wir die erste Methode an:

* Sehen Sie sich den Unterschied in den Berechnungen an, im ersten Fall gibt es ein Minimum davon, und im zweiten Fall müssen Sie separat auf einem Blatt Papier arbeiten, und sogar der Bruchteil, den Sie erhalten haben, muss reduziert werden. Das Auffinden des LCM vereinfacht die Arbeit erheblich.

Mehr Beispiele:

* Im zweiten Beispiel ist bereits klar, dass die kleinste Zahl, die durch 40 und 60 teilbar ist, 120 ist.

GESAMT! ALLGEMEINER BERECHNUNGSALGORITHMUS!

- Wir bringen Brüche zu gewöhnlichen, wenn es einen ganzzahligen Teil gibt.

- Wir bringen die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner (zuerst schauen wir, ob ein Nenner durch einen anderen teilbar ist, wenn er teilbar ist, dann multiplizieren wir Zähler und Nenner dieses anderen Bruchs; wenn er nicht teilbar ist, handeln wir mit dem andere oben angegebene Methoden).

- Nachdem wir Brüche mit gleichem Nenner erhalten haben, führen wir Aktionen durch (Addition, Subtraktion).

- gegebenenfalls kürzen wir das Ergebnis.

- Wählen Sie ggf. den gesamten Teil aus.

2. Produkt von Brüchen.

Die Regel ist einfach. Beim Multiplizieren von Brüchen werden deren Zähler und Nenner multipliziert:

Beispiele:

Aufgabe. 13 Tonnen Gemüse wurden zur Basis gebracht. Kartoffeln machen ¾ des importierten Gemüses aus. Wie viele Kilogramm Kartoffeln wurden zur Basis gebracht?

Lassen Sie uns mit der Arbeit fertig werden.

*Zuvor habe ich Ihnen versprochen, eine formelle Erklärung der Haupteigenschaft des Bruchs durch das Produkt zu geben, bitte:

3. Division von Brüchen.

Die Division von Brüchen wird auf ihre Multiplikation reduziert. Es ist wichtig, sich hier daran zu erinnern, dass der Bruch, der ein Divisor ist (derjenige, durch den geteilt wird), umgedreht wird und die Aktion zur Multiplikation wechselt:

Diese Aktion kann als sogenannter vierstöckiger Bruch geschrieben werden, da die Division selbst „:“ auch als Bruch geschrieben werden kann:

Beispiele:

Das ist alles! Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

Eine Gleichung ist eine Gleichheit, die einen Buchstaben enthält, dessen Wert gefunden werden soll.

In Gleichungen wird die Unbekannte normalerweise mit einem kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet. Die am häufigsten verwendeten Buchstaben sind "x" [x] und "y" [y].

Wurzel der Gleichung- Dies ist der Wert des Buchstabens, bei dem die richtige numerische Gleichheit aus der Gleichung erhalten wird.

löse die Gleichung- bedeutet, alle seine Wurzeln zu finden oder sicherzustellen, dass es keine Wurzeln gibt.

Nachdem wir die Gleichung gelöst haben, schreiben wir den Scheck immer nach der Antwort.

Informationen für Eltern

Liebe Eltern, wir machen Sie darauf aufmerksam, dass Kinder in der Grundschule und in der 5. Klasse das Thema „Negative Zahlen“ NICHT kennen.

Daher müssen sie Gleichungen nur mit den Eigenschaften Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division lösen. Methoden zum Lösen von Gleichungen für Klasse 5 sind unten angegeben.

Versuchen Sie nicht, die Lösung von Gleichungen zu erklären, indem Sie Zahlen und Buchstaben von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit Vorzeichenwechsel übertragen.

In der Lektion "Rechengesetze" können Sie Ihr Wissen über die Begriffe Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division auffrischen.

Lösen von Gleichungen für Addition und Subtraktion

Wie man das Unbekannte findet
Begriff

Wie man das Unbekannte findet
Minuend

Wie man das Unbekannte findet
Subtrahend

Um den unbekannten Term zu finden, subtrahieren Sie den bekannten Term von der Summe.

Um den unbekannten Minuend zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz hinzufügen.

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, muss die Differenz vom Minuend subtrahiert werden.

x + 9 = 15
x = 15 - 9
x=6
Untersuchung

x − 14 = 2
x = 14 + 2
x=16
Untersuchung

16 − 2 = 14
14 = 14

5 − x = 3
x = 5 − 3
x=2
Untersuchung

Lösen von Gleichungen für Multiplikation und Division

Wie man das Unbekannte findet
Faktor

Wie man das Unbekannte findet
Dividende

Wie man das Unbekannte findet
Teiler

Um den unbekannten Faktor zu finden, muss das Produkt durch den bekannten Faktor dividiert werden.

Um den unbekannten Dividenden zu finden, musst du den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren.

Um den unbekannten Teiler zu finden, teilen Sie den Dividenden durch den Quotienten.

y4 = 12
y=12:4
y=3
Untersuchung

y:7=2
y = 2 7
y=14
Untersuchung

8:y=4
y=8:4
y=2
Untersuchung

Eine Gleichung ist eine Gleichung, die den Buchstaben enthält, dessen Vorzeichen gefunden werden soll. Die Lösung einer Gleichung ist der Satz von Buchstabenwerten, der die Gleichung in eine echte Gleichheit verwandelt:

Erinnern Sie sich daran, um es zu lösen Gleichung Es ist notwendig, die Terme mit dem Unbekannten auf einen Teil der Gleichheit und die numerischen Terme auf den anderen zu übertragen, ähnliche zu bringen und die folgende Gleichheit zu erhalten:

Aus der letzten Gleichheit bestimmen wir die Unbekannte nach der Regel: "Einer der Faktoren ist gleich dem Quotienten dividiert durch den zweiten Faktor."

Da die rationalen Zahlen a und b gleiche und unterschiedliche Vorzeichen haben können, wird das Vorzeichen der Unbekannten durch die Regeln zur Division rationaler Zahlen bestimmt.

Das Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen

Die lineare Gleichung muss vereinfacht werden, indem die Klammern geöffnet und die Aktionen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) ausgeführt werden.

Verschieben Sie die Unbekannten auf eine Seite des Gleichheitszeichens und die Zahlen auf die andere Seite des Gleichheitszeichens, um mit der angegebenen Gleichheit identisch zu werden.

Bringen Sie like links und rechts vom Gleichheitszeichen, um eine Gleichheit der Form zu erhalten Axt = b.

Berechnen Sie die Wurzel der Gleichung (finden Sie die Unbekannte X von Gleichberechtigung x = b : a),

Testen Sie, indem Sie die Unbekannte in die gegebene Gleichung einsetzen.

Wenn wir eine Identität in numerischer Gleichheit erhalten, dann ist die Gleichung richtig gelöst.

Sonderfälle beim Lösen von Gleichungen

1. Wenn ein Die gleichung durch ein Produkt gleich 0 gegeben ist, verwenden wir zur Lösung die Eigenschaft der Multiplikation: "Das Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren oder beide Faktoren gleich Null sind."

27 (x - 3) = 0
27 ist nicht gleich 0, also x - 3 = 0

Das zweite Beispiel hat zwei Lösungen für die Gleichung, da
Dies ist eine Gleichung zweiten Grades:

Wenn die Koeffizienten der Gleichung gewöhnliche Brüche sind, müssen Sie zuerst die Nenner loswerden. Dafür:

Finden Sie einen gemeinsamen Nenner;

Bestimmen Sie zusätzliche Faktoren für jeden Term der Gleichung;

Multiplizieren Sie die Zähler von Brüchen und ganzen Zahlen mit zusätzlichen Faktoren und schreiben Sie alle Terme der Gleichung ohne Nenner auf (der gemeinsame Nenner kann verworfen werden);

Verschieben Sie die Terme mit Unbekannten in einen Teil der Gleichung und die numerischen Terme vom Gleichheitszeichen in den anderen, um eine äquivalente Gleichheit zu erhalten.

Bringen Sie ähnliche Mitglieder mit;

Grundlegende Eigenschaften von Gleichungen

In jeden Teil der Gleichung können Sie ähnliche Terme einbringen oder die Klammer öffnen.

Jeder Term der Gleichung kann von einem Teil der Gleichung in einen anderen übertragen werden, indem sein Vorzeichen in das Gegenteil geändert wird.

Beide Seiten der Gleichung können mit derselben Zahl außer 0 multipliziert (dividiert) werden.

Im obigen Beispiel wurden alle seine Eigenschaften verwendet, um die Gleichung zu lösen.

Wie man eine Gleichung mit einer Unbekannten in einem Bruch löst

Manchmal nehmen lineare Gleichungen die Form wann an Unbekannt erscheint im Zähler eines oder mehrerer Brüche. Wie in der Gleichung unten.

In solchen Fällen können solche Gleichungen auf zwei Arten gelöst werden.

Ich Weg der Lösung
Reduzieren einer Gleichung auf eine Proportion

Beim Lösen von Gleichungen mit der Proportionsmethode müssen Sie die folgenden Schritte ausführen:

alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen und als algebraische Brüche addieren (links und rechts soll nur ein Bruch übrig bleiben);

Lösen Sie die resultierende Gleichung mit der Proportionsregel.

Also zurück zu unserer Gleichung. Auf der linken Seite haben wir bereits nur einen Bruch, daher sind darin keine Transformationen erforderlich.

Wir arbeiten mit der rechten Seite der Gleichung. Vereinfache die rechte Seite der Gleichung, sodass nur noch ein Bruch übrig bleibt. Erinnern Sie sich dazu an die Regeln zum Addieren einer Zahl mit einem algebraischen Bruch.

Jetzt wenden wir die Proportionsregel an und lösen die Gleichung zu Ende.

II Lösungsweg
Reduktion auf eine lineare Gleichung ohne Brüche

Betrachten Sie die obige Gleichung noch einmal und lösen Sie sie auf eine andere Weise.

Wir sehen, dass es zwei Brüche in der Gleichung gibt "

Wie man Gleichungen mit Brüchen löst. Exponentielle Lösung von Gleichungen mit Brüchen.

Gleichungen mit Brüchen lösen Schauen wir uns Beispiele an. Die Beispiele sind einfach und anschaulich. Mit ihrer Hilfe können Sie auf verständlichste Weise verstehen,.
Beispielsweise müssen Sie eine einfache Gleichung x/b + c = d lösen.

Eine solche Gleichung heißt linear, weil der Nenner enthält nur Zahlen.

Die Lösung erfolgt durch Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit b, dann nimmt die Gleichung die Form x = b*(d – c) an, d.h. der Nenner des Bruchs auf der linken Seite wird gekürzt.

Zum Beispiel, wie man eine Bruchgleichung löst:
x/5+4=9
Wir multiplizieren beide Teile mit 5. Wir erhalten:
x+20=45

Ein weiteres Beispiel, bei dem das Unbekannte im Nenner steht:

Gleichungen dieser Art werden als gebrochen rational oder einfach gebrochen bezeichnet.

Wir würden eine Bruchgleichung lösen, indem wir Brüche entfernen, woraufhin diese Gleichung meistens in eine lineare oder quadratische umgewandelt wird, die auf die übliche Weise gelöst wird. Sie sollten nur die folgenden Punkte berücksichtigen:

• der Wert einer Variablen, die den Nenner auf 0 setzt, kann keine Wurzel sein;
• Sie können die Gleichung nicht durch den Ausdruck =0 dividieren oder multiplizieren.

Hier tritt ein Konzept wie der Bereich der zulässigen Werte (ODZ) in Kraft - dies sind die Werte der Wurzeln der Gleichung, für die die Gleichung sinnvoll ist.

Um die Gleichung zu lösen, ist es daher notwendig, die Wurzeln zu finden und sie dann auf Übereinstimmung mit der ODZ zu überprüfen. Diejenigen Wurzeln, die nicht unserem DHS entsprechen, werden von der Antwort ausgeschlossen.

Zum Beispiel müssen Sie eine Bruchgleichung lösen:

Aufgrund der obigen Regel kann x nicht = 0 sein, d.h. ODZ in diesem Fall: x - beliebiger Wert außer Null.

Wir beseitigen den Nenner, indem wir alle Terme der Gleichung mit x multiplizieren

Und lösen Sie die übliche Gleichung

5x - 2x = 1
3x=1
x = 1/3

Lösen wir die Gleichung komplizierter:

ODZ ist auch hier vorhanden: x -2.

Beim Lösen dieser Gleichung werden wir nicht alles in eine Richtung übertragen und Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen. Wir multiplizieren sofort beide Seiten der Gleichung mit einem Ausdruck, der alle Nenner auf einmal reduziert.

Um die Nenner zu reduzieren, müssen Sie die linke Seite mit x + 2 und die rechte Seite mit 2 multiplizieren. Also müssen beide Seiten der Gleichung mit 2 (x + 2) multipliziert werden:

Dies ist die häufigste Multiplikation von Brüchen, die wir oben bereits besprochen haben.

Wir schreiben die gleiche Gleichung, aber auf eine etwas andere Weise.

Die linke Seite wird um (x + 2) reduziert und die rechte Seite um 2. Nach der Reduktion erhalten wir die übliche lineare Gleichung:

x \u003d 4 - 2 \u003d 2, was unserer ODZ entspricht

Gleichungen mit Brüchen lösen nicht so schwierig, wie es scheinen mag. In diesem Artikel haben wir dies anhand von Beispielen gezeigt. Wenn Sie irgendwelche Schwierigkeiten damit haben wie man Gleichungen mit Brüchen löst, dann in den Kommentaren abbestellen.

Gleichungen mit Brüchen lösen Klasse 5

Lösung von Gleichungen mit Brüchen. Probleme mit Brüchen lösen.

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"Gleichungen mit Brüchen lösen Klasse 5"

- Brüche mit gleichem Nenner addieren.

- Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner.

Brüche mit gleichem Nenner addieren.

Um Brüche mit gleichem Nenner zu addieren, addieren Sie ihre Zähler und lassen den Nenner gleich.

Subtraktion von Brüchen mit gleichem Nenner.

Um Brüche mit gleichem Nenner zu subtrahieren, subtrahieren Sie den Zähler des Subtrahends vom Zähler des Minuends und lassen den Nenner gleich.

Beim Lösen von Gleichungen müssen die Regeln zum Lösen von Gleichungen, die Eigenschaften der Addition und Subtraktion verwendet werden.

Lösen von Gleichungen mit Eigenschaften.

Gleichungen mit Regeln lösen.

Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung ist die Summe.

Laufzeit + Laufzeit = Summe.

Um den unbekannten Term zu finden, subtrahieren Sie den bekannten Term von der Summe.

Minuend – Subtrahend = Differenz

Um den unbekannten Subtrahend zu finden, subtrahieren Sie die Differenz vom Minuend.

Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung ist die Differenz.

Um den unbekannten Minuend zu finden, müssen Sie den Subtrahend zur Differenz hinzufügen.

VERWENDUNG VON REGELN ZUM LÖSEN VON GLEICHUNGEN.

Auf der linken Seite der Gleichung ist der Ausdruck die Summe.

Gleichungen, die eine Variable im Nenner enthalten, können auf zwei Arten gelöst werden:

Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Verwenden der grundlegenden Eigenschaft der Proportionen

Unabhängig von der gewählten Methode müssen nach dem Finden der Wurzeln der Gleichung aus den gefundenen Werten die akzeptablen Werte ausgewählt werden, d.h. diejenigen, die den Nenner nicht auf $0$ drehen.

1 Weg. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Beispiel 1

$\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)$

Entscheidung:

1. Bewege den Bruch von der rechten Seite der Gleichung nach links

\[\frac(2x+3)(2x-1)-\frac(x-5)(x+3)=0\]

Um dies richtig zu machen, erinnern wir uns daran, dass sich das Vorzeichen vor den Ausdrücken in das Gegenteil ändert, wenn Elemente an einen anderen Teil der Gleichung verschoben werden. Wenn also auf der rechten Seite ein „+“-Zeichen vor dem Bruch stand, dann steht auf der linken Seite ein „-“-Zeichen davor, dann erhalten wir auf der linken Seite die Differenz der Brüche.

2. Nun stellen wir fest, dass die Brüche unterschiedliche Nenner haben, was bedeutet, dass es notwendig ist, die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen, um die Differenz auszugleichen. Der gemeinsame Nenner ist das Produkt der Polynome in den Nennern der ursprünglichen Brüche: $(2x-1)(x+3)$

Um einen identischen Ausdruck zu erhalten, müssen Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit dem Polynom $(x+3)$ und des zweiten mit dem Polynom $(2x-1)$ multipliziert werden.

\[\frac((2x+3)(x+3))((2x-1)(x+3))-\frac((x-5)(2x-1))((x+3)( 2x-1))=0\]

Führen wir die Transformation im Zähler des ersten Bruchs durch - wir multiplizieren die Polynome. Erinnern Sie sich, dass es dazu notwendig ist, den ersten Term des ersten Polynoms zu multiplizieren, mit jedem Term des zweiten Polynoms zu multiplizieren, dann den zweiten Term des ersten Polynoms mit jedem Term des zweiten Polynoms zu multiplizieren und die Ergebnisse zu addieren

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9\]

Wir präsentieren ähnliche Begriffe in dem resultierenden Ausdruck

\[\left(2x+3\right)\left(x+3\right)=2x\cdot x+2x\cdot 3+3\cdot x+3\cdot 3=(2x)^2+6x+3x +9=\] \[(=2x)^2+9x+9\]

Führen Sie eine ähnliche Transformation im Zähler des zweiten Bruchs durch - wir werden die Polynome multiplizieren

$\left(x-5\right)\left(2x-1\right)=x\cdot 2x-x\cdot 1-5\cdot 2x+5\cdot 1=(2x)^2-x-10x+ 5 =(2x)^2-11x+5$

Dann nimmt die Gleichung die Form an:

\[\frac((2x)^2+9x+9)((2x-1)(x+3))-\frac((2x)^2-11x+5)((x+3)(2x- 1))=0\]

Jetzt Brüche mit gleichem Nenner, damit du subtrahieren kannst. Denken Sie daran, dass beim Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner vom Zähler des ersten Bruchs der Zähler des zweiten Bruchs subtrahiert werden muss, wobei der Nenner gleich bleibt

\[\frac((2x)^2+9x+9-((2x)^2-11x+5))((2x-1)(x+3))=0\]

Lassen Sie uns den Ausdruck in den Zähler umwandeln. Um die Klammern mit vorangestelltem „-“-Zeichen zu öffnen, müssen alle Zeichen vor den Begriffen in Klammern vertauscht werden

\[(2x)^2+9x+9-\links((2x)^2-11x+5\rechts)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5\]

Wir präsentieren ähnliche Begriffe

$(2x)^2+9x+9-\links((2x)^2-11x+5\rechts)=(2x)^2+9x+9-(2x)^2+11x-5=20x+4 $

Dann nimmt der Bruch die Form an

\[\frac((\rm 20x+4))((2x-1)(x+3))=0\]

3. Ein Bruch ist gleich $0$, wenn sein Zähler 0 ist. Daher setzen wir den Zähler des Bruchs mit $0$ gleich.

\[(\rm 20x+4=0)\]

Lösen wir die lineare Gleichung:

4. Lassen Sie uns die Wurzeln probieren. Das bedeutet, dass überprüft werden muss, ob sich die Nenner der ursprünglichen Brüche in $0$ verwandeln, wenn die Wurzeln gefunden werden.

Wir setzen die Bedingung, dass die Nenner ungleich $0$ sind

x$\ne 0,5$ x$\ne -3$

Das bedeutet, dass alle Werte der Variablen erlaubt sind, außer $-3$ und $0.5$.

Die Wurzel, die wir gefunden haben, ist ein gültiger Wert, sodass sie sicher als Wurzel der Gleichung betrachtet werden kann. Wenn die gefundene Wurzel kein gültiger Wert wäre, wäre eine solche Wurzel irrelevant und würde natürlich nicht in die Antwort aufgenommen.

Antworten:$-0,2.$

Jetzt können wir einen Algorithmus zum Lösen einer Gleichung schreiben, die eine Variable im Nenner enthält

Ein Algorithmus zum Lösen einer Gleichung, die eine Variable im Nenner enthält

Verschieben Sie alle Elemente von der rechten Seite der Gleichung auf die linke Seite. Um eine identische Gleichung zu erhalten, müssen alle Vorzeichen vor den Ausdrücken auf der rechten Seite in das Gegenteil geändert werden

Wenn wir auf der linken Seite einen Ausdruck mit unterschiedlichen Nennern erhalten, dann bringen wir sie mit Hilfe der Haupteigenschaft des Bruchs auf einen gemeinsamen. Führen Sie Transformationen mit identischen Transformationen durch und erhalten Sie den letzten Bruch gleich $0$.

Setze den Zähler mit $0$ gleich und finde die Wurzeln der resultierenden Gleichung.

Lassen Sie uns die Wurzeln probieren, d.h. gültige Variablenwerte finden, die den Nenner nicht auf $0$ drehen.

2-Wege. Verwenden der grundlegenden Eigenschaft der Proportionen

Die Haupteigenschaft eines Anteils ist, dass das Produkt der äußersten Terme des Anteils gleich dem Produkt der mittleren Terme ist.

Beispiel 2

Wir verwenden diese Eigenschaft, um diese Aufgabe zu lösen

\[\frac(2x+3)(2x-1)=\frac(x-5)(x+3)\]

1. Lassen Sie uns das Produkt der äußersten und mittleren Elemente des Anteils finden und gleichsetzen.

$\left(2x+3\right)\cdot(\ x+3)=\left(x-5\right)\cdot(2x-1)$

\[(2x)^2+3x+6x+9=(2x)^2-10x-x+5\]

Wenn wir die resultierende Gleichung lösen, finden wir die Wurzeln des Originals

2. Lassen Sie uns zulässige Werte einer Variablen finden.

Aus der vorherigen Lösung (1. Weg) haben wir bereits herausgefunden, dass alle Werte zulässig sind, außer $-3$ und $0.5$.

Nachdem wir festgestellt haben, dass die gefundene Wurzel ein gültiger Wert ist, haben wir herausgefunden, dass $-0.2$ die Wurzel sein wird.

In dem Artikel werden wir zeigen wie man Brüche löst mit einfachen anschaulichen Beispielen. Lassen Sie uns verstehen, was ein Bruch ist und überlegen Brüche lösen!

Konzept Brüche wird ab der 6. Klasse der Sekundarschule in das Mathematikstudium eingeführt.

Brüche sehen so aus: ±X / Y, wobei Y der Nenner ist, der angibt, in wie viele Teile das Ganze geteilt wurde, und X der Zähler ist, der angibt, wie viele solcher Teile genommen wurden. Nehmen wir zur Verdeutlichung ein Beispiel mit einem Kuchen:

Im ersten Fall wurde der Kuchen gleichmäßig geschnitten und eine Hälfte genommen, d.h. 1/2. Im zweiten Fall wurde der Kuchen in 7 Teile geschnitten, von denen 4 Teile entnommen wurden, d.h. 4/7.

Wenn der Teil der Division einer Zahl durch eine andere keine ganze Zahl ist, wird er als Bruch geschrieben.

Beispielsweise ergibt der Ausdruck 4:2 \u003d 2 eine ganze Zahl, aber 4:7 ist nicht vollständig teilbar, daher wird dieser Ausdruck als Bruch 4/7 geschrieben.

Mit anderen Worten Fraktion ist ein Ausdruck, der die Division zweier Zahlen oder Ausdrücke bezeichnet und mit einem Schrägstrich geschrieben wird.

Ist der Zähler kleiner als der Nenner, ist der Bruch richtig, umgekehrt falsch. Ein Bruch kann eine ganze Zahl enthalten.

Zum Beispiel 5 ganze 3/4.

Dieser Eintrag bedeutet, dass ein Teil von vier nicht ausreicht, um die ganze 6 zu erhalten.

Wenn Sie sich erinnern wollen wie man Brüche für die 6. Klasse löst das musst du verstehen Brüche lösen Im Grunde geht es darum, ein paar einfache Dinge zu verstehen.

• Ein Bruch ist im Wesentlichen ein Ausdruck für einen Bruch. Das heißt, ein numerischer Ausdruck dafür, welcher Teil eines bestimmten Werts von einem Ganzen ist. Zum Beispiel drückt der Bruch 3/5 aus, dass wenn wir etwas Ganzes in 5 Teile teilen und die Anzahl der Teile oder Teile dieses Ganzen drei ist.
• Ein Bruch kann kleiner als 1 sein, zum Beispiel 1/2 (oder im Wesentlichen die Hälfte), dann ist er richtig. Wenn der Bruch größer als 1 ist, zum Beispiel 3/2 (drei Hälften oder eineinhalb), dann ist er falsch und zur Vereinfachung der Lösung wählen wir besser den ganzen Teil 3/2= 1 ganze 1 /2.
• Brüche sind die gleichen Zahlen wie 1, 3, 10 und sogar 100, nur sind die Zahlen nicht ganz, sondern gebrochen. Mit ihnen können Sie dieselben Operationen ausführen wie mit Zahlen. Das Zählen von Brüchen ist nicht schwieriger, und wir werden dies weiter an konkreten Beispielen zeigen.

Wie man Brüche löst. Beispiele.

Auf Brüche sind verschiedene arithmetische Operationen anwendbar.

Einen Bruch auf einen gemeinsamen Nenner bringen

Zum Beispiel müssen Sie die Brüche 3/4 und 4/5 vergleichen.

Um das Problem zu lösen, finden wir zuerst den kleinsten gemeinsamen Nenner, d.h. die kleinste Zahl, die ohne Rest durch jeden der Nenner der Brüche teilbar ist

Kleinster gemeinsamer Nenner (4,5) = 20

Dann wird der Nenner beider Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner gekürzt

Antwort: 15/20

Addition und Subtraktion von Brüchen

Wenn es notwendig ist, die Summe zweier Brüche zu berechnen, werden sie zuerst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht, dann werden die Zähler addiert, während der Nenner unverändert bleibt. Die Differenz von Brüchen wird auf ähnliche Weise betrachtet, der einzige Unterschied besteht darin, dass die Zähler subtrahiert werden.

Zum Beispiel musst du die Summe der Brüche 1/2 und 1/3 finden

Finden Sie nun die Differenz zwischen den Brüchen 1/2 und 1/4

Multiplikation und Division von Brüchen

Hier ist die Auflösung von Brüchen einfach, hier ist alles ganz einfach:

• Multiplikation - Zähler und Nenner von Brüchen werden untereinander multipliziert;
• Division - zuerst erhalten wir einen Bruch, den Kehrwert des zweiten Bruchs, d.h. vertauschen Zähler und Nenner, danach multiplizieren wir die resultierenden Brüche.

Zum Beispiel:

Dazu etwa wie man Brüche löst, alles. Bei Fragen bzgl Brüche lösen, etwas ist nicht klar, dann schreiben Sie in die Kommentare und wir werden Ihnen antworten.

Wenn Sie Lehrer sind, können Sie eine Präsentation für eine Grundschule herunterladen (http://school-box.ru/nachalnaya-shkola/prezentazii-po-matematike.html), die sich als nützlich erweisen wird.