Was ist Wahrscheinlichkeit?

Als mir dieser Begriff zum ersten Mal begegnete, hätte ich nicht verstanden, was er bedeutet. Deshalb werde ich versuchen, es klar zu erklären.

Die Wahrscheinlichkeit ist die Chance, dass das von uns gewünschte Ereignis eintritt.

Wenn Sie beispielsweise beschlossen haben, zum Haus eines Freundes zu gehen, erinnern Sie sich an den Eingang und sogar an die Etage, in der er wohnt. Aber ich habe die Nummer und den Standort der Wohnung vergessen. Und jetzt stehen Sie auf der Treppe und vor Ihnen stehen Türen zur Auswahl.

Wie groß ist die Chance (Wahrscheinlichkeit), dass Ihr Freund die Tür für Sie öffnet, wenn Sie an der ersten Tür klingeln? Es gibt nur Wohnungen und nur hinter einer davon wohnt ein Freund. Bei gleicher Chance können wir jede Tür wählen.

Aber was ist diese Chance?

Die Tür, die rechte Tür. Wahrscheinlichkeit des Erratens durch das erste Klingeln: . Das heißt, in einem von drei Fällen werden Sie es richtig erraten.

Wir möchten wissen, wie oft wir die Tür erraten, wenn wir einmal angerufen haben. Schauen wir uns alle Optionen an:

1. Du hast angerufen 1 Tür
2. Du hast angerufen 2 Tür
3. Du hast angerufen 3 Tür

Schauen wir uns nun alle Möglichkeiten an, wo ein Freund sein könnte:

A. Hinter 1 Tür
B. Hinter 2 Tür
V. Hinter 3 Tür

Vergleichen wir alle Optionen in Tabellenform. Ein Häkchen zeigt Optionen an, wenn Ihre Auswahl mit dem Standort eines Freundes übereinstimmt, ein Kreuz, wenn sie nicht übereinstimmt.

Wie siehst du alles? Vielleicht Optionen den Standort Ihres Freundes und Ihre Wahl, an welcher Tür geklingelt werden soll.

A günstige Ergebnisse für alles . Das heißt, Sie raten einmal, indem Sie einmal an der Tür klingeln, d. h. .

Dies ist die Wahrscheinlichkeit – das Verhältnis eines günstigen Ergebnisses (wenn Ihre Wahl mit dem Standort Ihres Freundes übereinstimmt) zur Anzahl möglicher Ereignisse.

Die Definition ist die Formel. Die Wahrscheinlichkeit wird normalerweise mit p bezeichnet, daher:

Es ist nicht sehr praktisch, eine solche Formel zu schreiben, daher nehmen wir für – die Anzahl der günstigen Ergebnisse und für – die Gesamtzahl der Ergebnisse.

Die Wahrscheinlichkeit kann als Prozentsatz angegeben werden; dazu müssen Sie das resultierende Ergebnis multiplizieren mit:

Das Wort „Ergebnisse“ ist Ihnen wahrscheinlich aufgefallen. Da Mathematiker verschiedene Aktionen (in unserem Fall eine Türklingel) als Experimente bezeichnen, wird das Ergebnis solcher Experimente üblicherweise als Ergebnis bezeichnet.

Nun, es gibt günstige und ungünstige Ergebnisse.

Kehren wir zu unserem Beispiel zurück. Nehmen wir an, wir haben an einer der Türen geklingelt, aber ein Fremder hat sie für uns geöffnet. Wir haben nicht richtig geraten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unser Freund sie für uns öffnet, wenn wir an einer der verbleibenden Türen klingeln?

Wenn Sie das gedacht haben, dann ist das ein Fehler. Lass es uns herausfinden.

Wir haben noch zwei Türen übrig. Wir haben also mögliche Schritte:

1) Rufen Sie an 1 Tür
2) Rufen Sie an 2 Tür

Trotz alledem steht der Freund definitiv hinter einem von ihnen (schließlich stand er nicht hinter dem, den wir anriefen):

a) Freund für 1 Tür
b) Freund für 2 Tür

Zeichnen wir die Tabelle noch einmal:

Wie Sie sehen, gibt es nur Optionen, die günstig sind. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit ist gleich.

Warum nicht?

Die von uns betrachtete Situation ist Beispiel für abhängige Ereignisse. Das erste Ereignis ist die erste Türklingel, das zweite Ereignis ist die zweite Türklingel.

Und sie werden abhängig genannt, weil sie die folgenden Handlungen beeinflussen. Denn wenn nach dem ersten Klingeln ein Freund an der Tür antwortete, wie groß wäre dann die Wahrscheinlichkeit, dass er sich hinter einem der beiden anderen befand? Rechts, .

Aber wenn es abhängige Ereignisse gibt, dann muss es auch welche geben unabhängig? Das stimmt, es kommt tatsächlich vor.

Ein Beispiel aus dem Lehrbuch ist das Werfen einer Münze.

1. Wirf einmal eine Münze. Wie hoch ist zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit, Kopf zu bekommen? Das ist richtig – denn es gibt alle Möglichkeiten (entweder Kopf oder Zahl, vernachlässigen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auf der Kante landet), aber es passt nur zu uns.
2. Aber es kam Kopf hoch. Okay, lass es uns noch einmal werfen. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu bekommen? Nichts hat sich verändert, alles ist gleich. Wie viele Optionen? Zwei. Mit wie vielen sind wir zufrieden? Eins.

Und lassen Sie es mindestens tausendmal hintereinander Kopf hochkommen. Die Wahrscheinlichkeit, auf einmal Kopf zu bekommen, ist gleich. Es gibt immer Möglichkeiten, und zwar günstige.

Es ist leicht, abhängige Ereignisse von unabhängigen zu unterscheiden:

1. Wird das Experiment einmal durchgeführt (sie werfen einmal eine Münze, klingeln einmal an der Tür usw.), dann sind die Ereignisse immer unabhängig.
2. Wird ein Experiment mehrmals durchgeführt (eine Münze wird einmal geworfen, es wird mehrmals an der Tür geklingelt), dann ist das erste Ereignis immer unabhängig. Und wenn sich dann die Zahl der günstigen oder die Zahl aller Ergebnisse ändert, dann sind die Ereignisse abhängig, und wenn nicht, sind sie unabhängig.

Üben wir ein wenig die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit.

Beispiel 1.

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zweimal hintereinander „Kopf“ zu bekommen?

Lösung:

Betrachten wir alle möglichen Optionen:

1. Adler-Adler
2. Kopf-Zahl
3. Zahl-Köpfe
4. Schwanz-Schwanz

Wie Sie sehen, gibt es nur Optionen. Davon sind wir nur zufrieden. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit:

Wenn Sie in der Bedingung lediglich aufgefordert werden, die Wahrscheinlichkeit zu ermitteln, muss die Antwort in Form eines Dezimalbruchs angegeben werden. Wenn angegeben wäre, dass die Antwort in Prozent angegeben werden soll, dann würden wir mit multiplizieren.

Antwort:

Beispiel 2.

In einer Pralinenschachtel sind alle Pralinen in der gleichen Verpackung verpackt. Allerdings aus Süßigkeiten – mit Nüssen, mit Cognac, mit Kirschen, mit Karamell und mit Nougat.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Süßigkeit zu nehmen und eine Süßigkeit mit Nüssen zu bekommen? Geben Sie Ihre Antwort in Prozent an.

Lösung:

Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es? .

Das heißt, wenn Sie eine Süßigkeit nehmen, ist es eine der in der Schachtel verfügbaren.

Wie viele positive Ergebnisse?

Denn in der Schachtel sind ausschließlich Pralinen mit Nüssen enthalten.

Antwort:

Beispiel 3.

In einer Schachtel mit Luftballons. davon sind weiß und schwarz.

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?
2. Wir haben der Box weitere schwarze Bälle hinzugefügt. Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen?

Lösung:

a) Es sind nur Bälle in der Box. Davon sind weiß.

Die Wahrscheinlichkeit ist:

b) Jetzt sind mehr Bälle in der Box. Und es sind genauso viele Weiße übrig - .

Antwort:

Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist gleich ().

Nehmen wir an, in einer Schachtel befinden sich rote und grüne Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen? Grüner Ball? Roter oder grüner Ball?

Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen

Grüner Ball:

Roter oder grüner Ball:

Wie Sie sehen, ist die Summe aller möglichen Ereignisse gleich (). Wenn Sie diesen Punkt verstehen, können Sie viele Probleme lösen.

Beispiel 4.

In der Box befinden sich Markierungen: grün, rot, blau, gelb, schwarz.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, KEINE rote Markierung zu zeichnen?

Lösung:

Zählen wir die Zahl günstige Ergebnisse.

KEIN roter Marker, das heißt grün, blau, gelb oder schwarz.

Wahrscheinlichkeit aller Ereignisse. Und die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen, die wir als ungünstig erachten (wenn wir eine rote Markierung entfernen), beträgt .

Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, einen NICHT roten Filzstift herauszuziehen, .

Antwort:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Sie wissen bereits, was unabhängige Ereignisse sind.

Was wäre, wenn Sie die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln müssten, dass zwei (oder mehr) unabhängige Ereignisse hintereinander auftreten?

Nehmen wir an, wir möchten wissen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass wir, wenn wir einmal eine Münze werfen, zweimal „Kopf“ sehen?

Wir haben bereits darüber nachgedacht - .

Was wäre, wenn wir einmal eine Münze werfen würden? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, einen Adler zweimal hintereinander zu sehen?

Insgesamt mögliche Optionen:

1. Adler-Adler-Adler
2. Kopf-Kopf-Zahl
3. Kopf-Zahl-Kopf
4. Kopf-Zahl-Zahl
5. Zahl-Köpfe-Köpfe
6. Zahl-Kopf-Zahl
7. Zahl-Zahl-Köpfe
8. Schwänze-Schwänze-Schwänze

Ich weiß nicht, wie es Ihnen geht, aber ich habe beim Zusammenstellen dieser Liste mehrmals Fehler gemacht. Wow! Und nur die Option (erste) passt zu uns.

Für 5 Würfe können Sie selbst eine Liste möglicher Ergebnisse erstellen. Aber Mathematiker sind nicht so fleißig wie Sie.

Daher stellten sie zunächst fest und bewiesen dann, dass die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse jedes Mal um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses abnimmt.

Mit anderen Worten,

Schauen wir uns das Beispiel derselben unglücklichen Münze an.

Wahrscheinlichkeit, in einer Herausforderung Kopf zu bekommen? . Jetzt werfen wir die Münze einmal.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, in einer Reihe „Kopf“ zu bekommen?

Diese Regel funktioniert nicht nur, wenn wir die Wahrscheinlichkeit ermitteln sollen, dass dasselbe Ereignis mehrmals hintereinander eintritt.

Wenn wir die Reihenfolge SCHWANZ-KOPF-SCHWANZ für aufeinanderfolgende Würfe finden wollten, würden wir dasselbe tun.

Die Wahrscheinlichkeit, Zahl zu bekommen, beträgt , Kopf - .

Wahrscheinlichkeit, die Reihenfolge TAILS-HEADS-TAILS-TAILS zu erhalten:

Sie können es selbst überprüfen, indem Sie eine Tabelle erstellen.

Die Regel zum Addieren der Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse.

Also hör auf! Neue Definition.

Lass es uns herausfinden. Nehmen wir unsere abgenutzte Münze und werfen sie einmal.
Möglichkeiten:

1. Adler-Adler-Adler
2. Kopf-Kopf-Zahl
3. Kopf-Zahl-Kopf
4. Kopf-Zahl-Zahl
5. Zahl-Köpfe-Köpfe
6. Zahl-Kopf-Zahl
7. Zahl-Zahl-Köpfe
8. Schwänze-Schwänze-Schwänze

Inkompatible Ereignisse sind also eine bestimmte, vorgegebene Abfolge von Ereignissen. - Dies sind inkompatible Ereignisse.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit von zwei (oder mehr) inkompatiblen Ereignissen bestimmen wollen, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse.

Sie müssen verstehen, dass Kopf und Zahl zwei unabhängige Ereignisse sind.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer Sequenz (oder einer anderen) bestimmen möchten, verwenden wir die Regel der Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Wurf „Kopf“ und beim zweiten und dritten Wurf „Zahl“ zu bekommen?

Wenn wir aber wissen wollen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, eine von mehreren Sequenzen zu erhalten, zum Beispiel wenn „Kopf“ genau einmal auftaucht, d. h. Optionen und dann müssen wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Folgen addieren.

Die Gesamtoptionen passen zu uns.

Wir können das Gleiche erhalten, indem wir die Eintrittswahrscheinlichkeiten jeder Sequenz addieren:

Daher addieren wir Wahrscheinlichkeiten, wenn wir die Wahrscheinlichkeit bestimmter, inkonsistenter Abfolgen von Ereignissen bestimmen wollen.

Es gibt eine tolle Regel, die Ihnen dabei hilft, nicht zu verwechseln, wann Sie multiplizieren und wann Sie addieren sollten:

Kehren wir zu dem Beispiel zurück, in dem wir einmal eine Münze geworfen haben und wissen wollten, wie wahrscheinlich es ist, dass wir einmal „Kopf“ sehen.
Was wird passieren?

Sollte herausfallen:
(Kopf UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl) ODER (Zahl UND Zahl UND Zahl).
So stellt sich heraus:

Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Beispiel 5.

In der Schachtel sind Bleistifte. rot, grün, orange und gelb und schwarz. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit roten oder grünen Stiften zu zeichnen?

Lösung:

Was wird passieren? Wir müssen ziehen (rot ODER grün).

Nun ist es klar, addieren wir die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse:

Antwort:

Beispiel 6.

Wenn ein Würfel zweimal geworfen wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er eine 8 ergibt?

Lösung.

Wie können wir Punkte bekommen?

(und) oder (und) oder (und) oder (und) oder (und).

Die Wahrscheinlichkeit, ein (beliebiges) Gesicht zu bekommen, beträgt .

Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit:

Antwort:

Ausbildung.

Ich denke, jetzt verstehen Sie, wann Sie Wahrscheinlichkeiten berechnen, wann Sie sie addieren und wann Sie sie multiplizieren müssen. Nicht wahr? Lasst uns ein wenig üben.

Aufgaben:

Nehmen wir ein Kartenspiel mit Karten wie Pik, Herz, 13 Kreuz und 13 Karo. Von bis Ass jeder Farbe.

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Kreuze hintereinander zu ziehen (wir legen die zuerst gezogene Karte zurück in den Stapel und mischen sie)?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine schwarze Karte (Pik oder Kreuz) zu ziehen?
3. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, ein Bild zu zeichnen (Bube, Dame, König oder Ass)?
4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Bilder hintereinander zu ziehen (wir nehmen die erste gezogene Karte vom Stapel)?
5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine Kombination (Bube, Dame oder König) und ein Ass zu erhalten, wenn man zwei Karten nimmt? Die Reihenfolge, in der die Karten gezogen werden, spielt keine Rolle.

Antworten:

1. In einem Kartenspiel mit jedem Wert bedeutet dies:
2. Ereignisse sind abhängig, da nach dem Herausziehen der ersten Karte die Anzahl der Karten im Stapel abnahm (ebenso wie die Anzahl der „Bilder“). Zu Beginn sind insgesamt Buben, Damen, Könige und Asse im Deck, was die Wahrscheinlichkeit angibt, mit der ersten Karte ein „Bild“ zu ziehen:

   Da wir die erste Karte aus dem Stapel entfernen, bedeutet dies, dass bereits Karten im Stapel übrig sind, einschließlich Bildern. Wahrscheinlichkeit, mit der zweiten Karte ein Bild zu zeichnen:

   Da uns die Situation interessiert, wenn wir ein „Bild“ UND ein „Bild“ vom Stapel nehmen, müssen wir die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren:

   Antwort:

3. Nachdem die erste Karte gezogen wurde, verringert sich die Anzahl der Karten im Stapel. Wir haben also zwei Möglichkeiten:
   1) Die erste Karte ist ein Ass, die zweite ist ein Bube, eine Dame oder ein König
   2) Wir ziehen mit der ersten Karte einen Buben, eine Dame oder einen König und mit der zweiten ein Ass. (Ass und (Bube oder Dame oder König)) oder ((Bube oder Dame oder König) und Ass). Vergessen Sie nicht, die Anzahl der Karten im Stapel zu reduzieren!

Wenn Sie alle Probleme selbst lösen konnten, dann sind Sie großartig! Jetzt werden Sie die Probleme der Wahrscheinlichkeitstheorie im Einheitlichen Staatsexamen wie verrückt lösen!

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. DURCHSCHNITTSNIVEAU

Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir an, wir werfen einen Würfel. Was für ein Knochen ist das, wissen Sie? So nennt man einen Würfel mit Zahlen auf den Seiten. Wie viele Gesichter, so viele Zahlen: von bis wie viele? Vor.

Also würfeln wir und wir wollen, dass es auftaucht oder. Und wir verstehen es.

In der Wahrscheinlichkeitstheorie sagen sie, was passiert ist glückverheißendes Ereignis(nicht zu verwechseln mit wohlhabend).

Wenn es passieren würde, wäre das Ereignis auch günstig. Insgesamt können nur zwei günstige Ereignisse eintreten.

Wie viele sind ungünstig? Da es insgesamt mögliche Ereignisse gibt, bedeutet dies, dass die ungünstigen Ereignisse Ereignisse sind (dies ist, wenn oder herausfällt).

Definition:

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit gibt an, welcher Anteil aller möglichen Ereignisse günstig ist.

Sie bezeichnen Wahrscheinlichkeit mit einem lateinischen Buchstaben (anscheinend vom englischen Wort Wahrscheinlichkeit – Wahrscheinlichkeit).

Es ist üblich, die Wahrscheinlichkeit in Prozent zu messen (siehe Themen und). Dazu muss der Wahrscheinlichkeitswert mit multipliziert werden. Im Würfelbeispiel Wahrscheinlichkeit.

Und in Prozent: .

Beispiele (entscheide selbst):

1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Münzwurf „Kopf“ zu bekommen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Köpfe zu landen?
2. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Würfeln eine gerade Zahl zu erhalten? Welches ist seltsam?
3. In einer Schachtel mit einfachen blauen und roten Stiften. Wir zeichnen zufällig einen Bleistift. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, ein einfaches zu bekommen?

Lösungen:

1. Wie viele Möglichkeiten gibt es? Kopf und Zahl – nur zwei. Wie viele davon sind günstig? Nur einer ist ein Adler. Also die Wahrscheinlichkeit

   Dasselbe gilt auch für tails: .

2. Gesamtoptionen: (wie viele Seiten hat der Würfel, so viele verschiedene Optionen). Günstige: (das sind alles gerade Zahlen:).
   Wahrscheinlichkeit. Das Gleiche gilt natürlich auch für ungerade Zahlen.
3. Gesamt: . Günstig: . Wahrscheinlichkeit: .

Gesamtwahrscheinlichkeit

Alle Stifte in der Box sind grün. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Rotstift zu zeichnen? Es gibt keine Chancen: Wahrscheinlichkeit (schließlich günstige Ereignisse -).

Ein solches Ereignis wird als unmöglich bezeichnet.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, mit einem grünen Stift zu zeichnen? Es gibt genau so viele günstige Ereignisse wie es insgesamt Ereignisse gibt (alle Ereignisse sind günstig). Die Wahrscheinlichkeit ist also gleich oder.

Ein solches Ereignis wird als zuverlässig bezeichnet.

Wenn eine Schachtel grüne und rote Stifte enthält, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, grün oder rot zu zeichnen? Wieder mal. Beachten wir Folgendes: Die Wahrscheinlichkeit, Grün herauszuziehen, ist gleich und Rot ist gleich.

Insgesamt sind diese Wahrscheinlichkeiten genau gleich. Also, die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Ereignisse ist gleich oder.

Beispiel:

In einer Schachtel mit Bleistiften befinden sich darunter Blau, Rot, Grün, Uni, Gelb und der Rest ist Orange. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht grün zu zeichnen?

Lösung:

Wir erinnern uns daran, dass sich alle Wahrscheinlichkeiten summieren. Und die Wahrscheinlichkeit, grün zu werden, ist gleich. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, kein Grün zu zeichnen, gleich ist.

Denken Sie an diesen Trick: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Unabhängige Ereignisse und die Multiplikationsregel

Sie werfen eine Münze einmal und möchten, dass sie beide Male Kopf zeigt. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit hierfür?

Lassen Sie uns alle möglichen Optionen durchgehen und feststellen, wie viele es gibt:

Kopf-Kopf, Zahl-Kopf, Kopf-Zahl, Zahl-Zahl. Was sonst?

Gesamtoptionen. Davon passt nur einer zu uns: Eagle-Eagle. Insgesamt ist die Wahrscheinlichkeit gleich.

Bußgeld. Jetzt werfen wir einmal eine Münze. Rechnen Sie selbst. Passiert? (Antwort).

Sie haben vielleicht bemerkt, dass sich die Wahrscheinlichkeit mit jedem weiteren Wurf um die Hälfte verringert. Die allgemeine Regel heißt Multiplikationsregel:

Die Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse ändern sich.

Was sind unabhängige Veranstaltungen? Alles ist logisch: Das sind diejenigen, die nicht voneinander abhängig sind. Wenn wir beispielsweise eine Münze mehrmals werfen, wird jedes Mal ein neuer Wurf ausgeführt, dessen Ergebnis nicht von allen vorherigen Würfen abhängt. Wir können genauso gut zwei verschiedene Münzen gleichzeitig werfen.

Mehr Beispiele:

1. Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, es beide Male zu bekommen?
2. Die Münze wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es beim ersten Mal „Kopf“ und dann zweimal „Zahl“ gibt?
3. Der Spieler würfelt mit zwei Würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der darauf befindlichen Zahlen gleich ist?

Antworten:

1. Die Ereignisse sind unabhängig, was bedeutet, dass die Multiplikationsregel funktioniert: .
2. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf ist gleich. Die Wahrscheinlichkeit für „Zahlen“ ist gleich. Multiplizieren:
3. 12 kann nur erhalten werden, wenn zwei -ki gewürfelt werden: .

Inkompatible Ereignisse und die Additionsregel

Ereignisse, die sich bis zur vollen Wahrscheinlichkeit ergänzen, werden als inkompatibel bezeichnet. Wie der Name schon sagt, können sie nicht gleichzeitig auftreten. Wenn wir zum Beispiel eine Münze werfen, kann es entweder „Kopf“ oder „Zahl“ sein.

Beispiel.

In einer Schachtel mit Bleistiften befinden sich darunter Blau, Rot, Grün, Uni, Gelb und der Rest ist Orange. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu zeichnen?

Lösung .

Die Wahrscheinlichkeit, mit einem grünen Stift zu zeichnen, ist gleich. Rot - .

Günstige Ereignisse insgesamt: Grün + Rot. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, Grün oder Rot zu zeichnen, gleich ist.

Die gleiche Wahrscheinlichkeit kann in dieser Form dargestellt werden: .

Dies ist die Additionsregel: die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Probleme gemischter Art

Beispiel.

Die Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Ergebnisse der Würfe unterschiedlich ausfallen?

Lösung .

Das heißt, wenn das erste Ergebnis „Kopf“ ist, muss das zweite Ergebnis „Zahl“ sein und umgekehrt. Es stellt sich heraus, dass es zwei Paare unabhängiger Ereignisse gibt und diese Paare miteinander nicht kompatibel sind. Wie man nicht verwirrt, wo man multipliziert und wo man addiert.

Für solche Situationen gibt es eine einfache Regel. Versuchen Sie zu beschreiben, was passieren wird, indem Sie die Konjunktionen „AND“ oder „OR“ verwenden. In diesem Fall zum Beispiel:

Es sollte (Kopf und Zahl) oder (Zahl und Kopf) erscheinen.

Wo es eine Konjunktion „und“ gibt, wird es eine Multiplikation geben, und wo es ein „oder“ gibt, wird es eine Addition geben:

Versuch es selber:

1. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze beim zweimaligen Werfen beide Male auf derselben Seite landet?
2. Es wird zweimal gewürfelt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, insgesamt Punkte zu erzielen?

Lösungen:

1. (Köpfe fielen und Schwänze fielen) oder (Schwänze fielen und Schwänze fielen): .
2. Was sind die Möglichkeiten? Und. Dann:
   Weggelassen (und) oder (und) oder (und): .

Ein anderes Beispiel:

Wirf einmal eine Münze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal Köpfe auftauchen?

Lösung:

Oh, wie ich die Optionen nicht durchgehen möchte ... Kopf-Zahl-Zahl, Adler-Kopf-Zahl, ... Aber das ist nicht nötig! Erinnern wir uns an die Gesamtwahrscheinlichkeit. Erinnerst du dich? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Adler wird nie herausfallen? Es ist ganz einfach: Köpfe fliegen ständig, deshalb.

WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Anzahl günstiger Ereignisse zur Anzahl aller möglichen Ereignisse.

Unabhängige Veranstaltungen

Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des Eintretens des anderen nicht verändert.

Gesamtwahrscheinlichkeit

Die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Ereignisse ist gleich ().

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt, ist gleich minus der Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt.

Regel zur Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse

Die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Folge unabhängiger Ereignisse ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten jedes Ereignisses

Inkompatible Ereignisse

Inkompatible Ereignisse sind solche, die als Ergebnis eines Experiments unmöglich gleichzeitig auftreten können. Eine Reihe inkompatibler Ereignisse bilden eine vollständige Gruppe von Ereignissen.

Die Wahrscheinlichkeiten inkompatibler Ereignisse summieren sich.

Nachdem wir beschrieben haben, was passieren soll, verwenden wir die Konjunktionen „AND“ oder „OR“, statt „AND“ setzen wir ein Multiplikationszeichen und statt „OR“ setzen wir ein Additionszeichen.

Werden Sie YouClever-Student,

Bereiten Sie sich auf das Einheitliche Staatsexamen oder das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik vor,

Und erhalten Sie außerdem uneingeschränkten Zugriff auf das YouClever-Lehrbuch...

Wir sind oft an der Wahrscheinlichkeit interessiert, dass mehrere Ereignisse gleichzeitig eintreten, wie zum Beispiel, dass wir bei zwei Münzwürfen zwei Köpfe bekommen oder bei zwei Würfelwürfen mindestens eine Sechs. Situationen dieser Art werden aufgerufen Situationen mit mehreren möglichen Folgen.

Verwendung von Baumdiagrammen

Obwohl es ziemlich leicht zu verstehen ist, dass die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf einer fairen Münze „Kopf“ zu bekommen, ? beträgt, ist es etwas schwieriger, intuitiv die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, bei vier Würfen einer fairen Münze „Kopf“ zu bekommen. Obwohl das Münzbeispiel künstlich erscheinen mag, eignet es sich gut, um die Kombination von Wahrscheinlichkeiten über mehrere Versuche hinweg zu erklären. Machen wir die Berechnungen. (Verfolgen Sie meine Diskussion, auch wenn Sie Angst vor Mathematik haben. Wenn Sie die Beispiele durcharbeiten, werden Ihnen die Berechnungen und mathematischen Überlegungen ganz einfach vorkommen. Schauen Sie nicht auf die nächsten paar Zahlen und rufen Sie aus: „Nein, auf keinen Fall, ich.“ Ich überspringe das einfach: „Es ist wichtig, mit und über Zahlen denken zu können.“

Beim ersten Wurf kann nur eines von zwei möglichen Ergebnissen eintreten; Kopf (O) oder Zahl (P). Was passiert, wenn eine Münze zweimal geworfen wird? Es gibt vier mögliche Ergebnisse: Kopf beide Male (HE), Kopf beim ersten Mal und Zahl beim zweiten Mal (OR), Zahl beim ersten Mal und Kopf beim zweiten Mal (TH) und Zahl beide Male (RR). Da es vier mögliche Ergebnisse und nur einen Weg gibt, zwei Köpfe zu bekommen, beträgt die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses 1/4 (wiederum gehen wir davon aus, dass die Münze „fair“ ist, d. h. Kopf und Zahl sind gleich wahrscheinlich). Für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens mehrerer Ereignisse in jeder Situation gibt es eine allgemeine Regel – die „und“-Regel. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit des gleichzeitigen Auftretens des ersten ermitteln möchten Und zweites Ereignis (Köpfe auf das erste Und Beim zweiten Wurf müssen Sie die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten dieser Ereignisse separat multiplizieren. Unter Anwendung der „und“-Regel ermitteln wir, dass die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Werfen einer Münze zwei Köpfe zu bekommen, ? X? = 1/ 4 . Intuitiv scheint es, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Ereignisse gleichzeitig auftreten, geringer sein sollte als die Wahrscheinlichkeit, dass jedes dieser Ereignisse einzeln auftritt. So kommt es.

Eine einfache Möglichkeit, diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen, besteht darin, alle möglichen Ereignisse mithilfe von darzustellen Baum diagramm. Baumdiagramme wurden in Kapitel 4 verwendet, als wir die Gültigkeit von „Wenn...Dann...“-Anweisungen testeten. In diesem Kapitel werden wir den Zweigen des Baums Wahrscheinlichkeitswerte zuweisen, um die Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ergebniskombinationen zu bestimmen. Ich werde in späteren Kapiteln auf Baumdiagramme zurückkommen, wenn ich nach Möglichkeiten suche, kreative Lösungen für Probleme zu finden.

Wenn eine Münze zum ersten Mal geworfen wird, landet sie entweder mit dem Kopf oder mit der Zahl nach oben. Bei einer „fairen“ Münze haben Kopf und Zahl die gleiche Wahrscheinlichkeit von 0,5. Stellen wir es uns so vor:

Wenn Sie eine Münze ein zweites Mal werfen, folgt entweder auf den ersten Kopf ein zweiter Kopf oder eine zweite Zahl, oder auf den ersten Zahl folgt ein zweiter Kopf oder eine zweite Zahl. Die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Wurf Kopf und Zahl zu bekommen, beträgt immer noch 0,5. Die Ergebnisse des zweiten Wurfs werden im Diagramm als zusätzliche Zweige des Baums dargestellt.

Wie Sie dem Diagramm entnehmen können, gibt es vier mögliche Ergebnisse. Sie können diesen Baum verwenden, um die Wahrscheinlichkeiten anderer Ereignisse zu ermitteln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei zwei Münzwürfen Kopf zu bekommen? Da es zwei Möglichkeiten gibt, einen Kopf zu bekommen (OP oder RO), lautet die Antwort 2/4 oder?. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeit von zwei oder mehr unterschiedlichen Ergebnissen ermitteln möchten, addieren Sie die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse. Dies wird als „oder“-Regel bezeichnet. Anders ausgedrückt lässt sich dieses Problem wie folgt formulieren: „Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zu bekommen?“ oder zuerst Kopf und dann Zahl (1/4), oder zuerst Zahl und dann Kopf (1/4)?“ Das richtige Verfahren zum Finden der Antwort besteht darin, diese Werte zu addieren, was zu? führt. Intuitiv scheint es, dass die Wahrscheinlichkeit, dass eines von mehreren Ereignissen eintritt, größer sein sollte als die Wahrscheinlichkeit, dass jedes einzelne Ereignis eintritt; So kommt es.

Die Regeln „und“ und „oder“ können nur bei Ereignissen verwendet werden, die für uns von Interesse sind unabhängig. Zwei Ereignisse sind unabhängig, wenn das Eintreten eines von ihnen das Eintreten des zweiten nicht beeinflusst. In diesem Beispiel hat das Ergebnis des ersten Münzwurfs keinen Einfluss auf das Ergebnis des zweiten Münzwurfs. Darüber hinaus ist es für die Anwendung der „oder“-Regel erforderlich, dass die Ereignisse inkompatibel sind, d. h. sie dürfen nicht gleichzeitig auftreten. In diesem Beispiel sind die Ergebnisse inkompatibel, da wir in einem Wurf nicht sowohl Kopf als auch Zahl bekommen können.

Die Darstellung von Ereignissen als Baumdiagramme ist in vielen Situationen nützlich. Erweitern wir unser Beispiel. Angenommen, ein Mann in einem gestreiften Anzug mit langem, gekräuseltem Schnurrbart und blitzenden kleinen Augen hält Sie auf der Straße an und bittet Sie, durch einen Münzwurf um Geld zu spielen. Er setzt immer auf Kopf. Beim ersten Wurf landet die Münze mit dem Kopf nach oben. Das Gleiche passiert beim zweiten Wurf. Beim dritten Wurf kommt es erneut zu Kopf. Wann werden Sie anfangen zu vermuten, dass er eine „schmutzige“ Münze hat? Die meisten Menschen haben beim dritten oder vierten Versuch Zweifel. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, bei drei und vier Würfen einer „fairen“ Münze nur „Kopf“ zu bekommen (die Wahrscheinlichkeit, „Kopf“ zu bekommen, beträgt 0,5).

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, in drei Versuchen drei Köpfe zu bekommen, müssen Sie einen Baum mit drei Reihen von „Knoten“ zeichnen, wobei von jedem Knoten zwei „Zweige“ ausgehen.

In diesem Beispiel interessiert uns die Wahrscheinlichkeit, drei Köpfe hintereinander zu bekommen, vorausgesetzt, die Münze ist „fair“. Schauen Sie sich die Spalte mit der Bezeichnung „Ergebnis“ an und finden Sie das LLC-Ergebnis. Da dies das einzige Ergebnis mit drei Köpfen ist, multiplizieren Sie die Wahrscheinlichkeiten entlang des 000-Zweigs (im Diagramm eingekreist) und Sie erhalten 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125. Eine Wahrscheinlichkeit von 0,125 bedeutet, dass die Münze, wenn sie fair ist, im Durchschnitt in 12,5 % der Fälle dreimal hintereinander „Kopf“ landet. Da diese Wahrscheinlichkeit gering ist, beginnen die meisten Menschen zu vermuten, dass die Münze „ein Geheimnis hat“, wenn drei Köpfe hintereinander erscheinen.

Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, bei vier Versuchen vier Köpfe zu bekommen, fügen Sie dem Baum zusätzliche Zweige hinzu.

Die Wahrscheinlichkeit, vier Köpfe zu bekommen, beträgt 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,0625 oder 6,25 %. Wie Sie bereits wissen, beträgt es rechnerisch 0,5 4; Das heißt, eine Zahl viermal mit sich selbst zu multiplizieren, ist dasselbe wie sie in die vierte Potenz zu erhöhen. Wenn Sie einen Taschenrechner mit Potenzierungsfunktion verwenden, erhalten Sie das gleiche Ergebnis: 0,0625. Obwohl dieses Ergebnis möglich ist und irgendwann eintreten wird, ist es unwahrscheinlich. Tatsächlich ist er so unglaubwürdig und ungewöhnlich, dass viele sagen würden, der Mann mit den zwielichtigen Augen müsse betrügen. Es besteht kein Zweifel daran, dass man, wenn man zum fünften Mal in Folge den Kopf erwischt, den Schluss ziehen kann, dass man es mit einem Betrüger zu tun hat. Für die meisten wissenschaftlichen Zwecke gilt ein Ereignis als „ungewöhnlich“, wenn die Eintrittswahrscheinlichkeit weniger als 5 % beträgt. (In der Sprache der Wahrscheinlichkeitstheorie schreibt man dies wie folgt: p ‹ 0,05.)

Lassen wir das Beispiel einer künstlichen Münze hinter uns und wenden wir dieselbe Logik auf einen nützlicheren Kontext an. Ich bin sicher, dass jeder Schüler schon einmal Multiple-Choice-Tests erlebt hat, bei denen man aus den vorgegebenen Optionen die richtigen Antworten auswählen muss. Bei den meisten dieser Tests gibt es für jede Frage fünf mögliche Antworten, von denen nur eine richtig ist. Angenommen, die Fragen sind so schwierig, dass Sie die richtige Antwort nur durch Zufall erraten können. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei der Beantwortung der ersten Frage richtig zu raten? Wenn Sie keine Ahnung haben, welche Option die richtige ist, werden Sie mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine der fünf Optionen wählen, vorausgesetzt, dass eine davon richtig ist. Da die Summe der Wahrscheinlichkeiten, alle Optionen zu wählen, gleich eins sein muss, beträgt die Wahrscheinlichkeit, jede Option zu wählen, wenn alle Optionen gleich wahrscheinlich sind, 0,20. Eine der Optionen ist richtig und der Rest ist falsch, sodass die Wahrscheinlichkeit, die richtige Option zu wählen, 0,20 beträgt. Ein Baumdiagramm dieser Situation ist unten dargestellt.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die Antworten auf die ersten beiden Fragen des Tests richtig zu erraten? Wir müssen dem Baum, der bald sehr buschig wird, neue Äste hinzufügen. Um Platz zu sparen und Berechnungen zu vereinfachen, können Sie alle falschen Optionen als einen einzigen Zweig mit der Bezeichnung „falsch“ darstellen. Die Wahrscheinlichkeit, bei der Beantwortung einer Frage falsch zu liegen, beträgt 0,8.

Die Wahrscheinlichkeit, die Antworten auf zwei Fragen richtig zu erraten, beträgt 0,2 x 0,2 = 0,04. Das heißt, dass dies nur in 4 % der Versuche zufällig passieren kann. Nehmen wir an, wir erweitern unser Beispiel auf drei Fragen. Ich werde den Baum nicht zeichnen, aber Sie sollten bereits verstehen, dass die Wahrscheinlichkeit 0,2 x 0,2 x 0,2 = 0,008 beträgt. Dies ist ein so ungewöhnliches Ereignis, dass es in weniger als 1 % der Versuche zufällig auftreten kann. Was würden Sie von einer Person halten, die es geschafft hat, alle drei Fragen richtig zu beantworten? Die meisten Menschen (und auch Lehrer sind Menschen) werden zu dem Schluss kommen, dass der Schüler die Antworten nicht zufällig ausgewählt hat, sondern tatsächlich etwas wusste. Natürlich ist es möglich, dass er einfach Glück hatte, aber das ist äußerst unwahrscheinlich. Wir kommen daher zu dem Schluss, dass das erzielte Ergebnis nicht nur durch Glück erklärt werden kann.

Ich möchte auf einen interessanten Aspekt dieser Argumentation hinweisen. Bedenken Sie die unglückliche Situation, in der sich Sarah befand. Sie beantwortete 15 Testfragen, wobei die Antwort auf jede Frage aus fünf Optionen ausgewählt werden musste. Sarah hat alle 15 Fragen falsch beantwortet. Können Sie die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass dies zufällig passiert ist? Ich werde kein Baumdiagramm zeichnen, um diese Situation zu veranschaulichen, aber es ist leicht zu erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit, bei einer Frage falsch zu liegen, 0,8 beträgt; Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, alle 15 Fragen falsch zu beantworten, 0,8 15 . Dies ist die Zahl 0,8, 15-mal mit sich selbst multipliziert, was 0,0352 ergibt. Da die Wahrscheinlichkeit eines solchen Unfalls bei 3,52 % liegt, sollte Sarah dem Lehrer vielleicht sagen, dass ein solch ungewöhnliches Ergebnis nicht durch Zufall erklärt werden kann? Sarah kann natürlich ähnlich argumentieren, aber würden Sie ihr glauben, wenn Sie Lehrerin wären? Angenommen, sie behauptet, alle Antworten zu haben. Wie sonst könnte sie bei 15 Fragen hintereinander nicht die richtige Antwort wählen? Ich weiß nicht, wie viele Lehrer ihrer Behauptung glauben würden, dass 15 falsche Antworten beweisen, dass sie Wissen hat, obwohl diese Argumentation im Prinzip zum Beweis von Wissen verwendet wird, da die Wahrscheinlichkeit, alle Antworten richtig zu erraten, ungefähr gleich ist. (In diesem Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, alle 15 Fragen zufällig richtig zu beantworten, 0,20 15; diese Zahl liegt deutlich unter 0,0001.) Wenn Sarah meine Lehrerin wäre, würde ich ihr gute Noten für ihre Kreativität und ihr Verständnis statistischer Prinzipien geben. Es ist möglich, dass Sarah wirklich etwas zu diesem Thema wusste, aber in diesem „Etwas“ lag ein systematischer Fehler vor. Ich möchte sie auch darauf hinweisen, dass sie vielleicht nicht für den Test gelernt hat und dass sie außerdem Pech hatte und 15 Mal falsch geraten hat. Schließlich passieren manchmal sehr ungewöhnliche Dinge.

Bevor Sie den nächsten Abschnitt lesen, stellen Sie sicher, dass Sie verstehen, wie Sie Baumdiagramme verwenden, um Wahrscheinlichkeiten zu berechnen und alle möglichen Ergebnisse zu berücksichtigen. Ich werde später in diesem Kapitel auf solche Diagramme zurückkommen. Sobald Sie den Umgang damit erlernt haben, werden Sie überrascht sein, wie viele Situationen es gibt, in denen sie eingesetzt werden können.

Reis. 7.2. Zahlungsmatrix unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeiten von Ereignisausgängen

p i – Wahrscheinlichkeit des i-ten Ergebnisses von Ereignissen.

M j – Mat. Erwartung eines Kriteriums bei der Wahl der j-ten Option von Handlungsalternativen, bestimmt durch die Formel:

Die beiden oben genannten Ansätze ermöglichen die Implementierung von vier verschiedenen Lösungsauswahlalgorithmen.

1. Entscheidung basierend auf der Maximum-Likelihood-Regel – Maximierung der wahrscheinlichsten Werte des Kriteriums (Gewinn oder Einkommen).

2. Entscheidung basierend auf der Maximum-Likelihood-Regel – Minimierung der wahrscheinlichsten Werte des Kriteriums (mögliche Verluste oder direkte Verluste).

3. Entscheidung basierend auf der Regel der Maximierung der mathematischen Erwartung (Durchschnittswert) des Kriteriums (Gewinn oder Einkommen).

4. Entscheidung basierend auf der Regel der Minimierung der mathematischen Erwartung (Durchschnittswert) des Kriteriums (Verluste oder Schäden).

Bei den Beispielen, die wir bisher in diesem Kapitel betrachtet haben, handelte es sich um eine einzige Lösung. In der Praxis zwingt uns jedoch das Ergebnis einer Entscheidung dazu, die nächste zu treffen, und so weiter. Diese Reihenfolge kann nicht durch eine Auszahlungsmatrix ausgedrückt werden, daher muss ein anderer Entscheidungsprozess verwendet werden.

Planen Entscheidungsbaum Wird verwendet, wenn unter unsicheren Bedingungen mehrere Entscheidungen getroffen werden müssen und jede Entscheidung vom Ausgang der vorherigen oder vom Ausgang von Ereignissen abhängt.

Beim Erstellen eines Entscheidungsbaums müssen Sie einen „Stamm“ und „Zweige“ zeichnen, die die Struktur des Problems widerspiegeln.

· Die „Bäume“ sind von links nach rechts angeordnet. „Zweige“ stellen mögliche alternative Entscheidungen dar, die getroffen werden können, und die möglichen Ergebnisse, die sich aus diesen Entscheidungen ergeben.

· „Zweige“ entstehen aus Knoten. Es gibt zwei Arten von Knoten.

Der quadratische Knoten stellt den Ort dar, an dem die Entscheidung getroffen wird.

Der runde Knoten stellt den Ort dar, an dem verschiedene mögliche Ergebnisse auftreten.

· Das Diagramm verwendet zwei Arten von „Zweigen“:

Die erste besteht aus gepunkteten Linien, die aus den Quadraten möglicher Lösungen hervorgehen. Die Bewegung entlang dieser Linien hängt von den getroffenen Entscheidungen ab. Alle durch die Entscheidung verursachten Kosten sind auf dem entsprechenden gepunkteten „Zweig“ angegeben.

Das zweite sind durchgezogene Linien, die aus den Kreisen möglicher Ergebnisse hervorgehen. Die Bewegung entlang ihnen wird durch den Ausgang der Ereignisse bestimmt. Die durchgezogene Linie gibt die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses an.

Entscheidungsknoten.

Verzweigungsknoten für mögliche Ergebnisse von Ereignissen.

Zweige, deren Bewegung von der getroffenen Entscheidung abhängt.

Zweige, deren Bewegung vom Ausgang der Ereignisse abhängt.

Die Suche nach einer Lösung gliedert sich in drei Phasen.

Bühne 1. Ein „Baum“ wird gebaut (ein Beispiel wird im praktischen Unterricht besprochen). Wenn alle Entscheidungen und ihre Ergebnisse auf dem „Baum“ angegeben sind, wird jede der Optionen berechnet und am Ende ihr monetärer Ertrag angegeben.

Stufe 2. Sie werden berechnet und auf den entsprechenden Zweigen der Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses platziert.

Stufe 3. In dieser Phase werden die monetären Ergebnisse jedes der „Knoten“ berechnet und von rechts nach links eingegeben. Anfallende Aufwendungen werden von den erwarteten Einnahmen abgezogen.

Nachdem die „Lösungs“-Quadrate vervollständigt wurden, wird der „Zweig“ ausgewählt, der zu dem höchstmöglichen erwarteten Einkommen für eine bestimmte Entscheidung führt (auf diesem Zweig wird ein Pfeil platziert).

Der andere „Zweig“ ist durchgestrichen und über dem Lösungsquadrat steht das erwartete Einkommen.

So entsteht am Ende der dritten Stufe eine Abfolge von Entscheidungen, die zu einem maximalen Einkommen führen.

Prinzipiell kann das Kriterium die Maximierung der Matte sein. Einkommenserwartungen und Minimierung des Fluchens. Verlusterwartungen.

Der Abend hüllte allmählich das majestätische Schloss Zmiulan ein. Nach und nach wurden in den Fluren Fackeln angezündet und die Schüler beeilten sich, in ihre Zimmer zu gehen. Und so kam, als die Flure schon leer waren, ein Mann um die Ecke hervor: Ein teurer schwarzer Anzug passte perfekt zu seiner fitten Figur, braunes Haar war nach hinten gekämmt, pistazienfarbene Augen blickten nur mit gleichgültigem Blick nach vorne. Norton Ognev, und er war es, näherte sich dem Büro des Großen Geistes Ostala. Nachdem er geklopft und die Erlaubnis erhalten hatte, betrat der Mann den Raum. -Also, warum bist du gekommen, Norton? - Der Besitzer des Schlosses selbst stand mit dem Rücken zu Vasilisas Vater und schaute aus dem Fenster. Die Gleichgültigkeit verschwand nicht aus Ognevs Gesicht, aber er spannte sich innerlich an. „Herr Astragor, ich muss für ein paar Tage nach Tschernowod“, drehte sich der Chef des Dragotsiev um. -Soweit ich weiß, wirst du nicht alleine gehen? - Norton Sr. nickte langsam: - Ja, Herr Astragor. Wenn es Ihnen nichts ausmacht, nehme ich meine Tochter, Fash und Zaharra mit. - Warum nimmst du, Norton, meine Neffen mit? - Der Anführer der Dragotsi sah Ognev mit einigem Interesse an. „Vasilisa hat gefragt“, antwortete Norton Sr. wie widerwillig. Astragor starrte nachdenklich auf die Flammen im Kamin. Ognev wartete geduldig auf eine Antwort ... *** Die Nacht hüllte das majestätische Schloss in eine Leinwand aus Sternen. Eine leichte Brise ließ die Blätter des Gartens rascheln. Im Grünen Zimmer machte sich Vasilisa bereits fürs Bett fertig. „Oh, es ist schon so lange her, seit ich hier war…“, sagte das Mädchen und sah sich im Raum um. Sie erinnerte sich nicht einmal an das letzte Mal, als sie hier war, aber sie sah, dass alles an seinem Platz war. Plötzlich flog ein Typ durch das offene Fenster. Ogneva sah den unerwarteten Gast überrascht an. Der dunkelhaarige Mann versteckte seine schwarzen Flügel und lächelte den Besitzer des Zimmers an: „Hallo Eulen!“ -Du hast mir Angst gemacht! - rief das Mädchen und sah den Kerl gereizt an. „Ach, komm schon“, kicherte der Gast. - Ich denke, du wirst immer Angst vor mir haben. -Sei nicht dumm! „Ich werde Angst vor so einem arroganten Kerl wie dir haben“, sagte Vasilisa gereizt. - Übrigens, Fash, warum bist du angekommen, besonders so spät? Kannst du schon wieder nicht schlafen? „Ja“, Dragotsy nickte. - Ich habe beschlossen, eine Tour durch Tschernowod zu machen... Aber allein zu gehen macht keinen großen Spaß und ist gefährlich. Es ist schließlich ein unbekanntes Schloss“, Feshs Augen blitzten verschlagen. - Schlagen Sie vor, dass ich Ihnen eine Führung gebe? - Vasilisa sah ihre Freundin verwirrt an. -Warum nicht? Du weißt hier alles, oder? - Die Brünette hob fragend eine Augenbraue. „Fast“, antwortete das rothaarige Mädchen ausweichend. „Nun, das ist gut“, ging Dragotsiy zur Tür. Ognevoy hatte keine andere Wahl, als ihm zu folgen. Die Jungs gingen durch die dunklen Korridore und schalteten die Lampen ein. Vasilisa erzählte Fash, woran sie sich in diesem Schloss erinnert. Er hörte ihr aufmerksam zu, unterbrach sie manchmal oder schnaubte sarkastisch bei diesem oder jenem Vorschlag. Bald wurde es ihm langweilig, einfach herumzulaufen und dem Geschwätz zu lauschen, und als ihm etwas einfiel, stellte er eine Frage: „Übrigens, was ist das für ein Turm, den wir gesehen haben, als wir in der Kutsche fuhren?“ -Welches meinst du? - fragte Ogneva nachdenklich. „Es scheint westlich“, sagte Dragotsiy gedehnt. „Oh, das hier“, wurde dem rothaarigen Mädchen sofort klar. - Wir nennen es Einsam, einst wurden dort Gefangene festgehalten. - Schauen wir mal dort vorbei? - Aufregung blitzte in den eisblauen Augen der Brünetten auf. „Nun, ich weiß nicht…“, sagte Vasilisa zögernd. -Hast du Angst? - Dragotsiy grinste. Wie Fash erwartet hatte, gelang es ihnen, sie auf die leichte Schulter zu nehmen: Das Gesicht des Mädchens errötete und sie ballte die Fäuste: „Lass uns gehen“, und Vasilisa führte die zufrieden lächelnde Brünette zu diesem Turm. Nachdem sie die Tür ohne Hindernisse geöffnet hatten, betraten die Jungs den Raum. Die Tür wurde bald zugeschlagen. Fash ging zum weit geöffneten Fenster, sprang auf die Fensterbank und atmete den belebenden Duft des Meeres ein: „Eh, gut…“ Dann wandte er sich an das rothaarige Mädchen. „Komm, setz dich“, und er schlug mit der Handfläche auf die Stelle neben ihm. Das Mädchen setzte sich sofort neben ihn. Oben schien der Vollmond, unten war das Meer aufgewühlt. Welle um Welle rollte heran und schlug gegen die Felsen. „Was für ein heller Mond“, Vasilisa blickte erneut zum Himmel. -Und ich habe ein Lied über den Mond. „Ich habe es vor langer Zeit komponiert“, sagte Fash plötzlich. -Du kannst also singen? - Das rothaarige Mädchen sah Dragotius überrascht an. Er nickte stumm. -Was, glaubst du es nicht? - Die Brünette näherte sich Ognevayas Gesicht und sah ihrem Gesprächspartner grinsend in die Augen. Ich bemerkte, dass ihre Wangen rosa wurden und ihr Lächeln breiter wurde. „Nein, es ist nur…“, stammelte die errötende Vasilisa und wandte den Blick von ihren eisblauen Augen ab, in denen sich das Licht des Mondes spiegelte. „Es gab einfach keine Möglichkeit, deine Worte zu bestätigen“, sie sah wieder in diese Augen. Fash begann sich langsam zu der Rothaarigen zu beugen. Sie ging ihm auf halbem Weg entgegen. Zwischen ihren Gesichtern liegen nur wenige Millimeter. Ogneva spürte bereits die leichte Brise der Ausatmung auf ihren Lippen. Ihre Lippen berührten sich fast und... -Oh, wie süß das ist! - Vasilisa löste sich sofort von Dragotsiy und errötete noch schlimmer als zuvor. Flash drehte sich um. Bevor seine klaren Augen auftauchten... -Zakharra?! - riefen zwei Tauben überrascht. -Was machst du hier? - Die Brünette sah seine Schwester gereizt an. - Ja, ich habe dich irgendwo fliegen sehen und beschloss, es herauszufinden. Ich kam heraus und sah dich spazieren gehen und plaudern. Hauptsache, du bemerkst mich nicht. Nun, ich bin dir gefolgt“, erklärte der Bobtail alles. - Podlyuchaya einheimisches Blut... - murmelte Fash, stieg vom Fensterbrett und ging in sein Zimmer. Vasilisa folgte seinem Beispiel. Zaharra schlüpfte sofort in den Korridor hinter Ognevaya und kehrte ebenfalls in ihr Zimmer zurück ...

Um einen Wahrscheinlichkeitsbaum zu erstellen, müssen Sie zunächst den Baum selbst zeichnen, dann alle für dieses Problem bekannten Informationen in die Zeichnung eintragen und schließlich die Grundregeln verwenden, um die fehlenden Zahlen zu berechnen und den Baum zu vervollständigen.

1. Wahrscheinlichkeiten sind an jedem Endpunkt angegeben und eingekreist. Auf jeder Ebene des Baums muss die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten 1 (oder 100 %) betragen. So zum Beispiel in Abb. 6.5.1 Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf der ersten Ebene beträgt 0,20 + 0,80 = 1,00 und auf der zweiten Ebene - 0,03 + 0,17 + 0,56 + 0,24 = 1,00. Diese Regel hilft, einen leeren Kreis in einer Spalte zu füllen, wenn die Werte aller anderen Wahrscheinlichkeiten auf dieser Ebene bekannt sind.

Reis. 6.5.1

2. Bedingte Wahrscheinlichkeiten werden neben jedem der Zweige angezeigt (außer
möglicherweise Zweige der ersten Ebene). Für jede Gruppe von Zweigen, die von einem Punkt ausgehen, ist die Summe dieser Wahrscheinlichkeiten ebenfalls gleich 1 (oder 100 %).
Zum Beispiel in Abb. 6.5.1 für die erste Gruppe von Zweigen erhalten wir 0,15 + 0,85 =
1,00 und für die zweite Gruppe - 0,70 + 0,30 = 1,00. Diese Regel erlaubt
Berechnen Sie einen unbekannten bedingten Wahrscheinlichkeitswert in einer Gruppe von Zweigen, die von einem Punkt ausgehen.

3. Die am Anfang des Zweigs eingekreiste Wahrscheinlichkeit, multipliziert mit der Bedingung
Die Wahrscheinlichkeit neben diesem Zweig gibt die in einem Kreis geschriebene Wahrscheinlichkeit an
Ende der Filiale. Zum Beispiel in Abb. 6.5.1 für den oberen, nach rechts führenden Ast
wir haben 0,20 x 0,15 = 0,03, für den nächsten Zweig - 0,20 x 0,85 = 0,17; Ähnliche Beziehungen gelten für die anderen beiden Zweige. Mit dieser Regel kann ein unbekannter Wert berechnet werden
Wahrscheinlichkeiten von drei, die einem Zweig entsprechen.

4. Der in den Kreis geschriebene Wahrscheinlichkeitswert ist gleich der Summe der eingekreisten Wahrscheinlichkeiten an den Enden aller Zweige, die aus diesem Kreis herauskommen
Nach rechts. So zum Beispiel für Abb. 6.5.1 kommen mit einem Wert von 0,20 aus dem Kreis
zwei Zweige, an deren Enden eingekreiste Wahrscheinlichkeiten stehen, deren Summe diesem Wert entspricht: 0,03 + 0,17 = 0,20. Mit dieser Regel können Sie einen unbekannten Wahrscheinlichkeitswert in einer Gruppe finden.
einschließlich dieser Wahrscheinlichkeit und aller Wahrscheinlichkeiten an den Enden der Zweige des Baums,
Verlassen des entsprechenden Kreises.

Mithilfe dieser Regeln können Sie diesen unbekannten Wert finden, wenn Sie alles außer einem Wahrscheinlichkeitswert für einen Zweig oder eine bestimmte Ebene kennen.

37. Welche Art von Stichprobe wird als repräsentativ bezeichnet? Wie kann eine repräsentative Stichprobe gewonnen werden?

Repräsentativität ist die Fähigkeit einer Stichprobe, die untersuchte Population zu repräsentieren. Je genauer die Zusammensetzung der Stichprobe die Bevölkerung in Bezug auf die untersuchten Themen repräsentiert, desto höher ist ihre Repräsentativität.

Repräsentative Stichprobenziehung ist eines der Schlüsselkonzepte in der Datenanalyse. Eine repräsentative Stichprobe ist eine Stichprobe aus einer Grundgesamtheit mit einer Verteilung F(X), die die Hauptmerkmale der Bevölkerung darstellen. Wenn in einer Stadt beispielsweise 100.000 Menschen leben, von denen die Hälfte Männer und die Hälfte Frauen sind, dann ist eine Stichprobe von 1.000 Menschen, von denen 10 Männer und 990 Frauen sind, sicherlich nicht repräsentativ. Eine darauf basierende Meinungsumfrage wird natürlich verzerrte Schätzungen enthalten und zu einer Verfälschung der Ergebnisse führen.

Eine notwendige Voraussetzung für die Zusammenstellung einer repräsentativen Stichprobe ist die gleiche Wahrscheinlichkeit, dass jedes Element der Gesamtbevölkerung einbezogen wird.

Die Stichprobenverteilungsfunktion (empirisch) gibt eine ziemlich gute Vorstellung von der Verteilungsfunktion bei einer großen Stichprobengröße F(X) der ursprünglichen Bevölkerung.

Das diesem Verfahren zugrunde liegende Leitprinzip ist das Prinzip der Randomisierung, des Zufalls. Eine Stichprobe wird als Zufallsstichprobe bezeichnet (manchmal spricht man auch von einfacher Zufallsstichprobe oder reiner Zufallsstichprobe), wenn zwei Bedingungen erfüllt sind. Erstens muss die Stichprobe so gestaltet sein, dass jede Person oder Organisation innerhalb der Grundgesamtheit die gleichen Chancen hat, für die Analyse ausgewählt zu werden. Zweitens muss die Stichprobe so ausgewählt werden, dass jede Kombination von n Objekten (wobei n einfach die Anzahl der Objekte oder Fälle in der Stichprobe ist) die gleiche Chance hat, für die Analyse ausgewählt zu werden.

Bei der Untersuchung von Populationen, die zu groß sind, um eine echte Lotterie zu unterstützen, werden häufig einfache Zufallsstichproben verwendet. Die Namen von mehreren Hunderttausend Objekten aufzuschreiben, sie in eine Trommel zu legen und mehrere Tausend auszuwählen, ist immer noch keine leichte Aufgabe. In solchen Fällen kommt eine andere, aber ebenso zuverlässige Methode zum Einsatz. Jedem Objekt wird gemeinsam eine Nummer zugewiesen. Die Reihenfolge der Zahlen in solchen Tabellen wird normalerweise von einem Computerprogramm namens Zufallszahlengenerator bestimmt, das im Wesentlichen eine große Anzahl von Zahlen in eine Trommel wirft, sie nach dem Zufallsprinzip zieht und sie in der Reihenfolge ausdruckt, in der sie eingegangen sind. Mit anderen Worten, es findet der gleiche Prozess statt, der für eine Lotterie charakteristisch ist, aber der Computer trifft eine universelle Wahl, indem er nicht Namen, sondern Zahlen verwendet. Diese Auswahl können Sie nutzen, indem Sie einfach jedem unserer Objekte eine Nummer zuweisen.

Eine solche Zufallszahlentabelle kann auf verschiedene Arten verwendet werden, und es müssen jeweils drei Entscheidungen getroffen werden. Erstens ist es notwendig zu entscheiden, wie viele Ziffern wir verwenden werden; zweitens ist es notwendig, eine Entscheidungsregel für ihre Verwendung zu entwickeln; Drittens müssen Sie einen Ausgangspunkt und eine Methode zum Durchlaufen der Tabelle auswählen.

Sobald dies erledigt ist, müssen wir eine Regel entwickeln, die die Zahlen in der Tabelle mit den Nummern unserer Objekte verknüpft. Hier gibt es zwei Möglichkeiten. Der einfachste Weg (wenn auch nicht unbedingt der korrekteste) besteht darin, nur die Zahlen zu verwenden, die in die Anzahl der unseren Objekten zugewiesenen Zahlen fallen. Wenn wir also eine Grundgesamtheit von 250 Objekten haben (und daher dreistellige Zahlen verwenden) und beschließen, in der oberen linken Ecke der Tabelle zu beginnen und uns die Spalten nach unten vorzuarbeiten, würden wir die Objekte mit den Nummern 100, 084 und 128 in unsere Stichprobe aufnehmen , und Überspringen wir die Zahlen 375 und 990, die nicht unseren Objekten entsprechen. Dieser Prozess wird fortgesetzt, bis die Anzahl der für unsere Stichprobe benötigten Objekte ermittelt ist.

Ein aufwändigeres, aber methodisch korrekteres Vorgehen basiert auf der Position, dass zur Erhaltung der Zufälligkeitseigenschaft der Tabelle jede Zahl einer bestimmten Dimension verwendet werden muss (z. B. jede dreistellige Zahl). Dieser Logik folgend und wiederum mit einer Population von 250 Objekten arbeitend, müssen wir den Bereich der dreistelligen Zahlen von 000 bis 999 in 250 gleiche Intervalle unterteilen. Da es 1000 solcher Zahlen gibt, teilen wir 1000 durch 250 und stellen fest, dass jeder Teil vier Zahlen enthält. Somit entsprechen die Tabellennummern von 000 bis 003 den Objekten von 004 bis 007 – Objekt 2 usw. Um nun festzustellen, welche Objektnummer der Tabellennummer entspricht, sollten Sie die dreistellige Zahl aus der Tabelle dividieren und auf die nächste ganze Zahl runden.

Schließlich müssen wir den Startpunkt und die Route aus der Tabelle auswählen. Der Startpunkt kann die obere linke Ecke (wie im vorherigen Beispiel), die untere rechte Ecke, der linke Rand der zweiten Linie oder eine beliebige andere Stelle sein. Diese Wahl ist völlig willkürlich. Bei der Arbeit mit einem Tisch müssen wir jedoch systematisch vorgehen. Wir könnten die ersten drei Zeichen jeder fünfstelligen Folge, die mittleren drei Zeichen, die letzten drei Zeichen oder sogar das erste, zweite und vierte Zeichen nehmen. (Aus der ersten fünfstelligen Folge ergeben diese verschiedenen Verfahren die Zahlen 100, 009, 097 und 109.) Wir könnten diese Verfahren von rechts nach links anwenden und so 790, 900, 001 und ergeben 791. Wir könnten uns die Reihen nach unten arbeiten, indem wir nacheinander jede weitere Ziffer berücksichtigen und die Einteilung in Fünfer ignorieren (für die erste Reihe erhält man die Zahlen 100, 973, 253, 376 und 520). Wir konnten nur mit jeder dritten Zahlengruppe umgehen (zum Beispiel 10097, 99019, 04805, 99970). Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten und jede nächste ist nicht schlechter als die vorherige. Sobald wir uns jedoch für eine bestimmte Arbeitsweise entschieden haben, müssen wir diese systematisch befolgen, um die Zufälligkeit der Elemente in der Tabelle so weit wie möglich zu respektieren.

38. Welches Intervall nennen wir ein Konfidenzintervall?

Das Konfidenzintervall ist die zulässige Abweichung der beobachteten Werte von den wahren Werten. Der Umfang dieser Annahme wird vom Forscher unter Berücksichtigung der Anforderungen an die Richtigkeit der Informationen bestimmt. Wenn die Fehlerspanne zunimmt, verringert sich die Stichprobengröße, selbst wenn das Konfidenzniveau bei 95 % bleibt.

Das Konfidenzintervall gibt an, in welchem ​​Bereich die Ergebnisse von Stichprobenbeobachtungen (Befragungen) liegen. Wenn wir 100 identische Umfragen in identischen Stichproben aus einer einzelnen Bevölkerung durchführen (z. B. 100 Stichproben von jeweils 1.000 Personen in einer Stadt mit 5 Millionen Einwohnern), dann fallen bei einem Konfidenzniveau von 95 % 95 von 100 Ergebnissen in den Bereich das Konfidenzintervall (z. B. von 28 % bis 32 % bei einem wahren Wert von 30 %).

Beispielsweise liegt die tatsächliche Zahl der Stadtbewohner, die rauchen, bei 30 %. Wenn wir 1000 Personen 100 Mal hintereinander befragen und in diesen Stichproben die Frage „Rauchen Sie?“ stellen, liegt der Wert bei 95 dieser 100 Stichproben mit einem Konfidenzintervall von 2 % zwischen 28 % und 32 %.

39 Wie nennt man das Konfidenzniveau?

Das Konfidenzniveau spiegelt die Menge an Beweisen wider, die der Evaluator benötigt, um zu sagen, dass das zu evaluierende Programm die beabsichtigte Wirkung hat. In den Sozialwissenschaften wird traditionell ein Konfidenzniveau von 95 % verwendet. Für die meisten öffentlichen Programme ist ein Wert von 95 % jedoch zu hoch. Für eine adäquate Beurteilung des Programms ist ein Konfidenzniveau im Bereich von 80-90 % ausreichend. Auf diese Weise kann die Größe der repräsentativen Gruppe reduziert und damit der Aufwand für die Durchführung der Begutachtung gesenkt werden.

Der statistische Auswertungsprozess prüft die Nullhypothese, die besagt, dass das Programm nicht die beabsichtigte Wirkung hatte. Weichen die erzielten Ergebnisse deutlich von den ursprünglichen Annahmen über die Richtigkeit der Nullhypothese ab, wird diese verworfen.

40. Welches der beiden Konfidenzintervalle ist größer: zweiseitig 99 % oder zweiseitig 95 %? Erklären.

Das zweiseitige Konfidenzintervall von 99 % ist größer als 95 %, da mehr Werte darin liegen. Dokumentieren:

Mithilfe von Z-Scores können Sie das Konfidenzintervall genauer schätzen und die allgemeine Form des Konfidenzintervalls bestimmen. Die genaue Formulierung des Konfidenzintervalls für den Stichprobenmittelwert lautet wie folgt:

Für eine Zufallsstichprobe von 25 Beobachtungen, die die Normalverteilung erfüllen, lautet das Konfidenzintervall des Stichprobenmittelwerts wie folgt:

Somit können Sie zu 95 % sicher sein, dass der Wert innerhalb von ±1,568 Einheiten des Stichprobenmittelwerts liegt. Mit der gleichen Methode können Sie feststellen, dass das 99 %-Konfidenzintervall innerhalb von ±2,0608 Einheiten des Stichprobenmittelwerts liegt

Wert Somit haben wir und von hier aus erhalten wir auf ähnliche Weise die untere Grenze, die gleich ist