Schnelle Zähltechniken: Magie für alle verfügbar

Um zu verstehen, welche Rolle Zahlen in unserem Leben spielen, stellen Sie ein einfaches Experiment auf. Versuchen Sie, eine Zeit lang darauf zu verzichten. Keine Zahlen, keine Berechnungen, keine Messungen ... Sie werden sich in einer fremden Welt wiederfinden, in der Sie sich absolut hilflos fühlen werden, an Händen und Füßen gefesselt. Wie komme ich pünktlich zu einem Meeting? Unterscheiden Sie einen Bus von einem anderen? Jemanden anrufen? Brot, Wurst, Tee kaufen? Suppe oder Kartoffeln kochen? Ohne Zahlen und damit ohne Zählen ist das Leben unmöglich. Aber wie schwer ist diese Wissenschaft manchmal gegeben! Versuchen Sie, schnell 65 mit 23 zu multiplizieren? Klappt nicht? Die Hand selbst greift nach einem Handy mit Taschenrechner. In der Zwischenzeit haben halbgebildete russische Bauern vor 200 Jahren dies in aller Ruhe getan, indem sie nur die erste Spalte des Einmaleins verwendeten - die Multiplikation mit zwei. Glauben Sie nicht? Aber vergeblich. Das ist die Realität.

Computer aus der Steinzeit

Auch ohne die Zahlen zu kennen, hat man schon versucht zu zählen. Wenn unsere Vorfahren, die in Höhlen lebten und Felle trugen, etwas mit einem benachbarten Stamm tauschen mussten, handelten sie einfach: Sie räumten das Gelände und legten zum Beispiel eine Pfeilspitze aus. In der Nähe lag ein Fisch oder eine Handvoll Nüsse. Und so weiter, bis eine der getauschten Waren ausging oder der Leiter der „Handelsmission“ entschied, dass genug genug war. Primitiv, aber auf seine Weise sehr praktisch: Sie werden nicht verwirrt und Sie werden nicht getäuscht.

Mit der Entwicklung der Rinderzucht wurden die Aufgaben komplizierter. Eine große Herde musste irgendwie gezählt werden, um zu wissen, ob alle Ziegen oder Kühe vorhanden waren. Die "Rechenmaschine" der Analphabeten, aber schlauen Hirten war ein Einbaum-Kürbis mit Kieselsteinen. Sobald das Tier den Pferch verließ, legte der Hirte einen Kieselstein in den Kürbis. Am Abend kehrte die Herde zurück, und der Hirte nahm mit jedem Tier, das den Pferch betrat, einen Kieselstein heraus. Wenn der Kürbis leer war, wusste er, dass es der Herde gut ging. Wenn es Kieselsteine ​​gab, suchte er nach dem Verlust.

Als die Zahlen auftauchten, wurde es lustiger. Obwohl unsere Vorfahren lange Zeit nur drei Ziffern verwendeten: "Eins", "Paar" und "Viele".

Können Sie schneller zählen als ein Computer?

Ein Gerät überholen, das Hunderte Millionen Operationen pro Sekunde ausführt? Unmöglich... Aber derjenige, der das sagt, ist grausam unaufrichtig oder übersieht einfach absichtlich etwas. Ein Computer ist nur ein Satz Chips in Plastik, er zählt nicht für sich allein.

Stellen wir die Frage anders: Kann eine Person, die im Kopf rechnet, jemanden überholen, der Berechnungen auf einem Computer durchführt? Und hier ist die Antwort ja. Denn um eine Antwort aus dem „schwarzen Koffer“ zu erhalten, müssen die Daten zunächst in diesen eingegeben werden. Dies wird von einer Person mit Hilfe der Finger oder der Stimme durchgeführt. Und all diese Aktionen haben zeitliche Begrenzungen. Unüberwindbare Beschränkungen. Die Natur selbst hat sie dem menschlichen Körper zugeführt. Alles außer einer Orgel. Gehirn!

Der Taschenrechner kann nur zwei Operationen ausführen: Addition und Subtraktion. Multiplikation ist für ihn mehrfache Addition und Division ist mehrfache Subtraktion.

Unser Gehirn verhält sich anders.

Die Klasse, in der der spätere König der Mathematik, Carl Gauß, studierte, bekam irgendwie die Aufgabe: Zählen Sie alle Zahlen von 1 bis 100. Carl schrieb die absolut richtige Antwort an seine Tafel, sobald der Lehrer die Aufgabe erklärt hatte. Er fügte nicht fleißig Zahlen der Reihe nach hinzu, wie es jeder anständige Computer tun würde. Er wandte die Formel an, die er selbst entdeckt hatte: 101 x 50 = 5050. Und das ist bei weitem nicht der einzige Trick, der das Kopfrechnen beschleunigt.

Die einfachsten Tricks zum schnellen Zählen

Sie werden in der Schule unterrichtet. Am einfachsten: Wenn Sie 9 zu einer beliebigen Zahl addieren müssen, addieren Sie 10 und subtrahieren Sie 1, wenn 8 (+ 10 - 2), 7 (+ 10 - 3) usw.

54 + 9 = 54 + 10 - 1 = 63. Schnell und bequem.

Zweistellige Zahlen summieren sich genauso leicht. Wenn die letzte Ziffer im zweiten Glied größer als fünf ist, wird die Zahl auf die nächsten zehn aufgerundet und dann der „Überschuss“ abgezogen. 22 + 47 = 22 + 50 – 3 = 69

Bei dreistelligen Zahlen gibt es in gleicher Weise keine Schwierigkeiten. Wir fügen sie beim Lesen von links nach rechts hinzu: 321 + 543 \u003d 300 + 500 + 20 + 40 + 1 + 3 \u003d 864. Viel einfacher als in einer Spalte. Und viel schneller.

Was ist mit der Subtraktion? Das Prinzip ist das gleiche: Wir runden die Subtraktion auf die nächste ganze Zahl und addieren die fehlende: 57 - 8 = 57 - 10 + 2 = 49; 43 - 27 \u003d 43 - 30 + 3 \u003d 16. Schneller als auf einem Taschenrechner - und auch während des Tests keine Beschwerden des Lehrers!

Muss ich das Einmaleins lernen?

Kinder hassen das normalerweise. Und sie machen es richtig. Keine Notwendigkeit, sie zu unterrichten! Aber beeilen Sie sich nicht, empört zu sein. Niemand behauptet, dass die Tabelle nicht bekannt sein muss.

Seine Erfindung wird Pythagoras zugeschrieben, aber höchstwahrscheinlich hat der große Mathematiker dem, was bereits bekannt war, nur eine vollständige, prägnante Form gegeben. Bei Ausgrabungen im alten Mesopotamien fanden Archäologen Tontafeln mit dem Sakrament: „2 x 2“. Die Menschen verwenden dieses äußerst bequeme Berechnungssystem seit langem und haben viele Wege entdeckt, die helfen, die interne Logik und Schönheit des Tisches zu verstehen, zu verstehen - und nicht dummerweise mechanisch auswendig zu lernen.

Im alten China fing man an, die Tabelle zu lernen, indem man mit 9 multiplizierte. Das ist einfacher, nicht zuletzt, weil man „an den Fingern“ mit 9 multiplizieren kann.

Legen Sie beide Hände mit den Handflächen nach unten auf den Tisch. Der erste Finger von links ist 1, der zweite ist 2 und so weiter. Nehmen wir an, Sie müssen eine Aufgabe von 6 x 9 lösen. Heben Sie Ihren sechsten Finger. Die Finger auf der linken Seite zeigen Zehner, auf der rechten Seite - Einheiten. Antwort 54.

Beispiel: 8 x 7. Die linke Hand ist der erste Multiplikator, die rechte Hand der zweite. Es gibt fünf Finger an der Hand, und wir brauchen 8 und 7. Wir beugen drei Finger an der linken Hand (5 + 3 = 8), an der rechten 2 (5 + 2 = 7). Wir haben fünf gebogene Finger, also fünf Dutzend. Multiplizieren Sie nun den Rest: 2 x 3 = 6. Das sind Einheiten. Insgesamt 56.

Dies ist nur eine der einfachsten Methoden der „Finger“-Multiplikation, von denen es viele gibt. „An den Fingern“ können Sie mit Zahlen bis 10.000 operieren!

Das "Finger"-System hat einen Bonus: Das Kind nimmt es als lustiges Spiel wahr. Er engagiert sich bereitwillig, erlebt viele positive Emotionen und beginnt daher sehr bald, alle Operationen in seinem Kopf ohne die Hilfe seiner Finger auszuführen.

Sie können auch mit den Fingern teilen, aber es ist etwas komplizierter. Programmierer verwenden immer noch ihre Hände, um Zahlen von Dezimalzahlen in Binärzahlen umzuwandeln - es ist bequemer und viel schneller als auf einem Computer. Aber im Rahmen des Schullehrplans kann man lernen, auch ohne Finger schnell im Kopf zu teilen.

Angenommen, Sie müssen Beispiel 91 lösen: 13. Spalte? Keine Notwendigkeit, Papier zu verwirren. Die Dividende endet mit eins. Und der Teiler ist drei. Was ist das Allererste im Einmaleins, wo es um das Tripel geht, und endet mit Eins? 3 x 7 = 21. Sieben! Das ist es, wir haben sie. Benötigen Sie 84: 14. Erinnern Sie sich an die Tabelle: 6 x 4 = 24. Die Antwort ist 6. Einfach? Würde trotzdem!

Zahlenmagie

Die meisten schnellen Zähltricks ähneln Zaubertricks. Nimm zumindest das berühmteste Beispiel der Multiplikation mit 11. Um zum Beispiel 32 x 11 zu erhalten, musst du 3 und 2 entlang der Ränder schreiben und ihre Summe in die Mitte setzen: 352.

Um eine zweistellige Zahl mit 101 zu multiplizieren, schreibe die Zahl einfach zweimal. 34 x 101 = 3434.

Um eine Zahl mit 4 zu multiplizieren, multipliziere sie zweimal mit 2. Um zu dividieren, teile zweimal durch 2.

Viele witzige und vor allem schnelle Tricks helfen, eine Zahl zu potenzieren, die Quadratwurzel zu ziehen. Die berühmten „Perelmans 30 Tricks“ für mathematisch Begabte werden cooler sein als die Copperfield-Show, weil sie auch VERSTEHEN, was passiert und wie es passiert. Nun, der Rest kann sich einfach an dem schönen Fokus erfreuen. Zum Beispiel müssen Sie 45 mit 37 multiplizieren. Lassen Sie uns die Zahlen auf ein Blatt schreiben und sie mit einer vertikalen Linie trennen. Wir teilen die linke Zahl durch 2 und verwerfen den Rest, bis wir eins erhalten. Rechts - multiplizieren, bis die Anzahl der Zeilen in der Spalte gleich ist. Dann streichen wir aus der RECHTEN Spalte alle Zahlen, denen gegenüber sich in der LINKEN Spalte ein gerades Ergebnis ergibt. Wir addieren die restlichen Zahlen aus der rechten Spalte. Es stellt sich heraus 1665. Multiplizieren Sie die Zahlen auf die übliche Weise. Die Antwort wird passen.

„Aufladen“ für den Geist

Schnelle Zähltechniken können einem Kind in der Schule, einer Mutter in einem Geschäft oder einer Küche und einem Vater bei der Arbeit oder im Büro das Leben erleichtern. Aber wir bevorzugen den Taschenrechner. Wieso den? Stress mögen wir nicht. Es fällt uns schwer, selbst zweistellige Zahlen im Kopf zu behalten. Aus irgendeinem Grund halten sie nicht.

Versuchen Sie, in die Mitte des Raums zu gehen und sich auf die Schnur zu setzen. Aus irgendeinem Grund "setzt sich nicht hin", oder? Und der Turner macht es ganz ruhig, ohne sich anzustrengen. Muss trainieren!

Die einfachste Art, das Gehirn zu trainieren und gleichzeitig aufzuwärmen: verbales lautes Zählen (Pflicht!) durch die Zahl bis Hundert und zurück. Zählen Sie morgens unter der Dusche oder beim Frühstückszubereiten: 2.. 4.. 6.. 100... 98.. 96. Sie können bis drei zählen, bis acht - Hauptsache, Sie schaffen es laut. Nach nur ein paar Wochen regelmäßiger Übung werden Sie überrascht sein, wie EINFACHER der Umgang mit Zahlen wird.

Bibliographische Beschreibung: Vladimirov A. I., Mikhailova V. V., Shmeleva S. P. Interessante Wege des schnellen Zählens // Junger Wissenschaftler. 2016. №6.1. S. 15.-17.02.2019).



Einführung

Mentales Zählen ist Gymnastik für den Kopf. Das mentale Zählen ist die älteste Art des Rechnens. Das Beherrschen von Rechenfähigkeiten entwickelt das Gedächtnis und hilft, Themen des natürlichen und mathematischen Zyklus zu assimilieren.

Es gibt viele Möglichkeiten, arithmetische Operationen zu vereinfachen. Die Kenntnis vereinfachter Rechentechniken ist vor allem dann wichtig, wenn der Rechner nicht über Tabellen und Taschenrechner verfügt.

Wir wollen auf die Methoden der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division eingehen, für deren Herstellung es ausreicht, zu zählen oder Stift und Papier zu verwenden.

Die Motivation für die Wahl des Themas war der Wunsch, die Bildung von Rechenfähigkeiten fortzusetzen, die Fähigkeit, das Ergebnis mathematischer Operationen schnell und klar zu finden.

Die Regeln und Techniken der Berechnungen hängen nicht davon ab, ob sie schriftlich oder mündlich durchgeführt werden. Die Beherrschung der Fähigkeiten des mündlichen Rechnens ist jedoch nicht deshalb von großem Wert, weil sie im Alltag häufiger verwendet werden als schriftliches Rechnen. Dies ist auch deshalb wichtig, weil sie schriftliche Berechnungen beschleunigen, Erfahrung in rationalen Berechnungen sammeln und einen Gewinn an Rechenarbeit bringen.

Im Mathematikunterricht müssen wir viel mündlich rechnen, und als uns der Lehrer zeigte, wie man schnell mit den Zahlen 11 multipliziert, hatten wir eine Idee, ob es noch Methoden des schnellen Rechnens gibt. Wir haben uns zur Aufgabe gemacht, andere Methoden der schnellen Berechnung zu finden und zu testen.

b) in der Schule gut abzuschneiden; (16%)

c) schnell entscheiden; (16%)

d) lesen und schreiben können; (52%)

2. Listen Sie beim Lernen auf, welche Schulfächer Sie richtig zählen müssen ?

a) Mathematik; (80%)

b) Physik; (fünfzehn%)

c) Chemie; (5%)

d) Technologie;

e) Musik;

3. Können Sie schnell zählen?

a) ja, viel;

b) ja, einige (85%);

c) nein, ich weiß nicht (15 %).

4. Verwenden Sie bei Berechnungen schnelle Zähltechniken?

b) nein (85 %)

5. Möchten Sie schnelle Zähltechniken lernen, um schnell zu zählen?

b) nein (8 %).

Sie sagen, wenn du schwimmen lernen willst, musst du ins Wasser gehen, und wenn du Probleme lösen willst, musst du anfangen, sie zu lösen. Aber zuerst müssen Sie die Grundlagen der Arithmetik beherrschen. Nur mit großem Willen und systematischem Training im Lösen von Problemen lernt man schnell zählen, im Kopf zählen.

Aber die Methoden des schnellen mentalen Zählens sind schon lange bekannt. Die hervorragenden Kopfrechen-Fähigkeiten von so brillanten Mathematikern wie Gauß, von Neumann, Euler oder Wallis sind eine wahre Freude. Darüber ist viel geschrieben worden. Wir wollen einige bekannte Computergeheimnisse verraten und zeigen. Und dann öffnet sich eine ganz andere Mathematik vor Ihnen. Lebendig, nützlich und verständlich.

1. Methoden zur schnellen Multiplikation

1. MIT DEN FINGERN ZÄHLEN

Eine Möglichkeit, Zahlen innerhalb der ersten zehn schnell mit 9 zu multiplizieren.

Nehmen wir an, wir müssen 7 mit 9 multiplizieren.

Lassen Sie uns unsere Hände mit den Handflächen zu uns drehen und den siebten Finger beugen (beginnend vom Daumen nach links zu zählen).

Die Anzahl der Finger links vom gebogenen entspricht Zehnern und rechts Einheiten des gewünschten Produkts.

Reis. 1. Fingerzählen

2. MULTIPLIKATION VON ZAHLEN VON 10 BIS 20

Es ist sehr einfach, solche Zahlen zu multiplizieren.

Zu einer der Zahlen ist es notwendig, die Anzahl der Einheiten der anderen zu addieren, mit 10 zu multiplizieren und das Produkt der Zahleneinheiten zu addieren.

Beispiel 1. 16∙18=(16+8) ∙ 10+6 ∙ 8=288, oder

Beispiel 2. 17 ∙ 17=(17+7) ∙ 10+7 ∙ 7=289.

Aufgabe: Multipliziere schnell 19 ∙ 13. Antworte 19 ∙13=(19+3) ∙10 +9 ∙3=247.

3. MULTIPLIZIEREN MIT 11

Um eine zweistellige Zahl, deren Quersumme 10 nicht überschreitet, mit 11 zu multiplizieren, müssen Sie die Ziffern dieser Zahl auseinanderschieben und die Summe dieser Ziffern dazwischen setzen.

72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

Um eine zweistellige Zahl mit 11 zu multiplizieren, deren Summe der Ziffern 10 oder mehr als 10 beträgt, müssen Sie die Ziffern dieser Zahl im Kopf verschieben, die Summe dieser Ziffern dazwischen setzen und dann eins zur ersten Ziffer addieren und gehen die zweite und letzte (dritte) unverändert.

Beispiel .

94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Aufgabe: Multipliziere schnell 54 ∙ 11 (594)

Aufgabe: Multipliziere schnell 67∙ 11 (737)

4. MULTIPLIZIEREN MIT 22, 33, ..., 99

Um eine zweistellige Zahl mit 22, 33, ..., 99 zu multiplizieren, muss dieser Multiplikator als Produkt einer einstelligen Zahl (von 2 bis 9) mit 11 dargestellt werden, dh 44 \u003d 4 11; 55 = 5 ∙ 11 usw. Dann multipliziere das Produkt der ersten Zahlen mit 11.

Beispiel 1. 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528

Beispiel 2. 23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759

Aufgabe: Multipliziere 18∙44

5. MULTIPLIZIEREN MIT 5, MIT 50, MIT 25, MIT 125

Beim Multiplizieren mit diesen Zahlen können Sie die folgenden Ausdrücke verwenden:

a ∙ 5=a ∙ 10:2 a ∙ 50=a ∙ 100:2

a ∙ 25=a ∙ 100:4 a ∙ 125=a ∙ 1000:8

Beispiel 1. 17 ∙ 5=17 ∙ 10:2=170:2=85

Beispiel 2. 43 ∙ 50=43 ∙ 100:2=4300:2=2150

Beispiel 3. 27 ∙ 25=27 ∙ 100:4=2700:4=675

Beispiel 4. 96 ∙ 125=96:8 ∙ 1000=12 ∙ 1000=12000

Aufgabe: Multipliziere 824∙25

Aufgabe: Multipliziere 348∙50

&2. Möglichkeiten zur schnellen Aufteilung

1. TEILUNG DURCH 5, DURCH 50, DURCH 25

Beim Teilen durch 5, durch 50, durch 25 können Sie die folgenden Ausdrücke verwenden:

a:5=a ∙ 2:10 a:50=a ∙ 2:100

a:25=a ∙ 4:100

35:5=35 ∙ 2:10=70:10=7

3750:50=3750 ∙ 2:100=7500:100=75

6400:25=6400 ∙ 4:100=25600:100=256

&3. Möglichkeiten zum schnellen Addieren und Subtrahieren natürlicher Zahlen.

Wird einer der Terme um mehrere Einheiten erhöht, so muss von dem sich ergebenden Betrag die gleiche Anzahl von Einheiten abgezogen werden.

Beispiel. 785+963=785+(963+7)-7=785+970-7= 1748

Wenn einer der Terme um mehrere Einheiten erhöht und der zweite um die gleiche Anzahl von Einheiten verringert wird, ändert sich die Summe nicht.

Beispiel. 762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401

Wenn der Subtrahend um mehrere Einheiten verringert und der Minuend um die gleiche Anzahl von Einheiten erhöht wird, ändert sich die Differenz nicht.

Beispiel. 529-435=(529-5)-(435+5)=524-440=84

Fazit

Es gibt Möglichkeiten, schnell zu addieren, zu subtrahieren, zu multiplizieren, zu dividieren, zu potenzieren. Wir haben nur einige Möglichkeiten zum schnellen Zählen betrachtet.

Alle Methoden des Kopfrechnens, die wir betrachtet haben, sprechen für das langjährige Interesse von Wissenschaftlern und gewöhnlichen Menschen, mit Zahlen zu spielen. Mit einigen dieser Methoden im Klassenzimmer oder zu Hause können Sie die Rechengeschwindigkeit verbessern und beim Lernen aller Schulfächer Erfolge erzielen.

Multiplizieren ohne Taschenrechner ist ein Training des Gedächtnisses und des mathematischen Denkens. Die Computertechnologie verbessert sich bis heute, aber jede Maschine tut, was Menschen hineinstecken, und wir haben einige Tricks des mentalen Zählens gelernt, die uns im Leben helfen werden.

Wir waren daran interessiert, an dem Projekt mitzuarbeiten. Bisher haben wir nur die bereits bekannten Methoden des schnellen Zählens untersucht und analysiert.

Aber wer weiß, vielleicht können wir in Zukunft selbst neue Wege des schnellen Rechnens entdecken.

Literatur:

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3. Glaser G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule. -M., 1981.
4. "Erster September" Mathematik Nr. 3 (15), 2007.
5. Tatartschenko T.D. Methoden zum schnellen Zählen im Unterricht, "Mathematik in der Schule", 2008, Nr. 7, S.68.
6. Mündliche Darstellung / Comp. PM Kamaev. - M .: Chistye Prudy, 2007 - Bibliothek "Erster September", Reihe "Mathematik". Ausgabe. 3(15).
7. http://portfolio.1september.ru/subject.php

Warum brauchen wir ein mentales Konto, wenn das 21. Jahrhundert auf dem Hof ​​​​ist und alle Arten von Geräten in der Lage sind, fast sofort alle arithmetischen Operationen auszuführen? Sie können nicht einmal mit dem Finger auf das Smartphone stecken, sondern einen Sprachbefehl geben – und erhalten sofort die richtige Antwort. Mittlerweile gelingt dies sogar Grundschülern, die zu faul sind, selbstständig zu dividieren, zu multiplizieren, zu addieren und zu subtrahieren.

Aber diese Medaille hat auch eine Kehrseite: Wissenschaftler warnen, wenn Sie nicht trainieren, es nicht mit Arbeit belasten und es ihm leichter machen, wird er faul, er wird reduziert. Auf die gleiche Weise werden auch unsere Muskeln ohne körperliches Training schwächer.

Mikhail Vasilyevich Lomonosov sprach über die Vorteile der Mathematik und nannte sie die schönste aller Wissenschaften: „Mathematik ist es wert, geliebt zu werden, weil sie den Geist in Ordnung bringt.“

Der mündliche Bericht entwickelt Aufmerksamkeit und Reaktionsgeschwindigkeit. Kein Wunder, dass es immer mehr neue Methoden des schnellen mündlichen Zählens gibt, die sowohl für Kinder als auch für Erwachsene entwickelt wurden. Eines davon ist das japanische mündliche Zählsystem, das den alten japanischen Soroban-Abakus verwendet. Die Technik selbst wurde vor 25 Jahren in Japan entwickelt und wird jetzt erfolgreich in einigen unserer Schulen des mündlichen Zählens eingesetzt. Es verwendet visuelle Bilder, von denen jedes einer bestimmten Zahl entspricht. Ein solches Training entwickelt die rechte Gehirnhälfte, die für das räumliche Denken, das Bilden von Analogien usw. verantwortlich ist.

Es ist merkwürdig, dass Schüler solcher Schulen (Kinder im Alter von 4 bis 11 Jahren werden hier aufgenommen) in nur zwei Jahren lernen, arithmetische Operationen mit zweistelligen oder sogar dreistelligen Zahlen durchzuführen. Kinder, die hier das Einmaleins nicht kennen, wissen, wie man multipliziert. Sie addieren und subtrahieren große Zahlen, ohne ihre Spalte aufzuschreiben. Aber natürlich ist das Ziel des Trainings die ausgewogene Entwicklung des rechten und.

Kopfrechnen können Sie auch mit Hilfe des Problembuchs „1001 Aufgaben für das Kopfrechnen in der Schule“, das bereits im 19. Jahrhundert von einem Dorflehrer und bekannten Pädagogen Sergey Alexandrovich Rachinsky zusammengestellt wurde. Dieses Problembuch wird durch die Tatsache gestützt, dass es mehrere Auflagen durchlaufen hat. Dieses Buch kann online gefunden und heruntergeladen werden.

Menschen, die schnelles Zählen üben, empfehlen Yakov Trakhtenbergs Buch "Quick Counting System". Die Geschichte dieses Systems ist sehr ungewöhnlich. Um im KZ der Nazis 1941 zu überleben und seine geistige Klarheit nicht zu verlieren, begann der Zürcher Mathematikprofessor, Algorithmen für mathematische Operationen zu entwickeln, mit denen er schnell im Kopf rechnen kann. Und nach dem Krieg hat er ein Buch geschrieben, in dem das Schnellzählsystem so anschaulich und verständlich dargestellt wird, dass es immer noch gefragt ist.

Gute Kritiken über das Buch von Yakov Perelman „Quick Count. Dreißig einfache Beispiele für mündliches Zählen. Die Kapitel in diesem Buch sind der Multiplikation mit ein- und zweistelligen Ziffern gewidmet, insbesondere Multiplikation mit 4 und 8, 5 und 25, mit 11/2, 11/4, *, Division durch 15, Quadrieren, Rechnen mit Formeln.

Die einfachsten Arten des mündlichen Zählens

Menschen mit bestimmten Fähigkeiten werden diese Fähigkeit schnell beherrschen, nämlich: die Fähigkeit, logisch zu denken, die Fähigkeit, sich zu konzentrieren und mehrere Bilder gleichzeitig im Kurzzeitgedächtnis zu speichern.

Ebenso wichtig ist die Kenntnis spezieller Aktionsalgorithmen und einiger mathematischer Gesetze, die dies ermöglichen, sowie die Fähigkeit, die effektivste für eine bestimmte Situation auszuwählen.

Und natürlich darf auf regelmäßiges Training nicht verzichtet werden!

Die gebräuchlichsten schnellen Zählmethoden sind wie folgt:

1. Multiplizieren einer zweistelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl

Das Multiplizieren einer zweistelligen Zahl mit einer einstelligen Zahl ist am einfachsten, indem man sie in zwei Komponenten zerlegt. Zum Beispiel 45 - mal 40 und 5. Als nächstes multiplizieren wir jede Komponente separat mit der gewünschten Zahl, zum Beispiel mit 7. Wir erhalten: 40 × 7 = 280; 5 × 7 = 35. Addiere dann die Ergebnisse: 280 + 35 = 315.

2. Multipliziere eine dreistellige Zahl

Auch das Multiplizieren einer dreistelligen Zahl im Kopf geht viel einfacher, wenn man sie in ihre Bestandteile zerlegt, den Multiplikanden aber so darstellt, dass sich mathematische Operationen damit leichter durchführen lassen. Zum Beispiel müssen wir 137 mit 5 multiplizieren.

Wir stellen 137 als 140 - 3 dar. Das heißt, es stellt sich heraus, dass wir jetzt nicht 137, sondern 140 - 3 mit 5 multiplizieren müssen. Oder (140 - 3) x 5.

Wenn du das Einmaleins innerhalb von 19 x 9 kennst, kannst du noch schneller zählen. Wir zerlegen die Zahl 137 in 130 und 7. Dann multiplizieren wir mit 5, zuerst 130 und dann 7, und addieren die Ergebnisse. Also 137 x 5 = 130 x 5 + 7 x 5 = 650 + 35 = 685.

Sie können nicht nur den Multiplikanden, sondern auch den Multiplikator zerlegen. Zum Beispiel müssen wir 235 mit 6 multiplizieren. Wir erhalten sechs, indem wir 2 mit 3 multiplizieren. Also multiplizieren wir zuerst 235 mit 2 und erhalten 470, und dann multiplizieren wir 470 mit 3. Insgesamt 1410.

Dieselbe Operation kann anders ausgeführt werden, indem 235 als 200 und 35 dargestellt wird. Es ergibt sich 235 × 6 = (200 + 35) × 6 = 200 × 6 + 35 × 6 = 1200 + 210 = 1410.

Auf die gleiche Weise können Sie beim Zerlegen von Zahlen in Komponenten Addition, Subtraktion und Division durchführen.

3. Multipliziere mit 10

Jeder weiß, wie man mit 10 multipliziert: Addieren Sie einfach Null zum Multiplikanden. Zum Beispiel 15 × 10 = 150. Auf dieser Grundlage ist es nicht weniger einfach, mit 9 zu multiplizieren. Zuerst addieren wir 0 zum Multiplikanden, dh wir multiplizieren ihn mit 10, und subtrahieren dann den Multiplikator von der resultierenden Zahl : 150 × 9 = 150 × 10 = 1500 − 150 = 1350.

4. Multipliziere mit 5

Es ist einfach, mit 5 zu multiplizieren. Sie müssen nur die Zahl mit 10 multiplizieren und das Ergebnis durch 2 teilen.

5. Multipliziere mit 11

Es ist interessant, zweistellige Zahlen mit 11 zu multiplizieren. Nehmen wir zum Beispiel 18. Lassen Sie uns 1 und 8 gedanklich erweitern und die Summe dieser Zahlen dazwischen schreiben: 1 + 8. Wir erhalten 1 (1 + 8) 8 Oder 198.

6. Mit 1,5 multiplizieren

Wenn Sie eine Zahl mit 1,5 multiplizieren müssen, teilen Sie sie durch zwei und addieren Sie die resultierende Hälfte zum Ganzen: 24 × 1,5 = 24 / 2 + 24 = 36.

Dies sind nur die einfachsten Arten des mentalen Zählens, mit deren Hilfe wir unser Gehirn im Alltag trainieren können. Zum Beispiel die Kosten für Einkäufe zählen, während Sie an der Kasse anstehen. Oder führen Sie mathematische Operationen mit den Zahlen der vorbeifahrenden Autos durch. Wer gerne mit Zahlen „spielt“ und seine geistigen Fähigkeiten weiterentwickeln möchte, kann auf die Bücher der oben genannten Autoren zurückgreifen.

EINLEITUNG

Zu allen Zeiten war und ist Mathematik eines der Hauptfächer in der Schule, denn mathematische Kenntnisse sind für alle Menschen notwendig. Nicht jeder Schüler, der in der Schule studiert, weiß, welchen Beruf er in Zukunft wählen wird, aber jeder versteht, dass Mathematik zur Lösung vieler Lebensprobleme notwendig ist: Berechnungen in einem Geschäft, Bezahlen von Nebenkosten, Berechnen des Familienbudgets usw. Darüber hinaus müssen alle Schüler in der 9. Klasse und in der 11. Klasse Prüfungen ablegen, und dafür ist es ab der 1. Klasse erforderlich, Mathematik mit hoher Qualität zu beherrschen und vor allem Zählen zu lernen .

Ist eine Welt ohne Zahlen vorstellbar? Ohne Zahlen werden Sie nichts kaufen, Sie werden die Uhrzeit nicht kennen, Sie werden keine Telefonnummer wählen. Und was ist mit Raumschiffen, Lasern und allen anderen technischen Errungenschaften?! Sie wären einfach unmöglich, wenn es nicht die Wissenschaft der Zahlen gäbe.

Zwei Elemente dominieren die Mathematik – Zahlen und Figuren mit ihrer unendlichen Vielfalt an Eigenschaften und Beziehungen. In meiner Arbeit werden Zahlenelemente und Aktionen damit bevorzugt.

Jetzt, im Stadium der rasanten Entwicklung von Informatik und Computertechnologie, wollen sich moderne Schulkinder nicht mehr mit Kopfrechnen beschäftigen. Also entschied ichzeigen nicht nur, dass der Vorgang des Ausführens einer Handlung wichtig, sondern auch eine interessante Tätigkeit sein kann.

Ziel: die Methoden des schnellen Zählens zu studieren, um die Notwendigkeit ihrer Anwendung zur Vereinfachung von Berechnungen aufzuzeigen.

In Übereinstimmung mit dem Ziel, die Aufgaben:

1. Untersuchen Sie, ob die Schüler schnelle Zähltechniken verwenden.
2. Lernen Sie schnelle Zähltechniken kennen, mit denen Sie Berechnungen vereinfachen können.
3. Machen Sie ein Memo für Schüler der Klassen 5-6, um schnelle Zähltechniken anzuwenden.

Studienobjekt:Schnelle Zähltechniken.

Gegenstand der Studie: Berechnungsprozess.

Forschungshypothese:Wenn gezeigt wird, dass der Einsatz von schnellen Zähltechniken das Rechnen erleichtert, dann kann erreicht werden, dass die Rechenkultur der Schüler steigt und es ihnen leichter fällt, praktische Probleme zu lösen.

Die folgenden wurden in der Arbeit verwendet Tricks und Methoden : Erhebung (Fragebogen), Analyse (statistische Datenverarbeitung), Arbeit mit Informationsquellen, praktische Arbeit, Beobachtungen.

Diese Arbeit bezieht sich aufangewandte Forschung, Weil es zeigt die Rolle der Anwendung schneller Zähltechniken für praktische Aktivitäten.

Während ich an einem Bericht arbeite, habe ichfolgende Methoden verwendet:

1. Suche eine Methode, die wissenschaftliche und pädagogische Literatur verwendet, sowie die Suche nach den erforderlichen Informationen im Internet;
2. praktisch Methode zur Durchführung von Berechnungen mit nicht standardmäßigen Zählalgorithmen;
3. Analyse während der Studie gewonnene Daten.

Relevanz Meine Forschung ist, dass in unserer Zeit immer häufiger Taschenrechner den Studenten zu Hilfe kommen und immer mehr Studenten nicht mündlich rechnen können. Aber das Studium der Mathematik entwickelt logisches Denken, Gedächtnis, Flexibilität des Geistes, gewöhnt eine Person an Genauigkeit, an die Fähigkeit, die Hauptsache zu sehen, liefert die notwendigen Informationen, um die komplexen Probleme zu verstehen, die in verschiedenen Tätigkeitsbereichen eines modernen Menschen auftreten Person. Daher möchte ich in meiner Arbeit zeigen, wie man schnell und richtig zählen kann und dass der Prozess des Ausführens von Handlungen nicht nur nützlich, sondern auch interessant sein kann. Es ist die Verwendung von nicht standardmäßigen Techniken bei der Bildung von Computerfähigkeiten, die das Interesse der Schüler an Mathematik steigert und zur Entwicklung mathematischer Fähigkeiten beiträgt.

Hinter den einfachen Rechenoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division verbergen sich die Geheimnisse der Geschichte der Mathematik. Hörte versehentlich die Worte "Multiplikation mit einem Gitter", "Schachweg" fasziniert. Diese und andere Berechnungsmethoden wollte ich kennenlernen und mit den heutigen vergleichen.

Kannst du zählen? Die Frage, vielleicht sogar beleidigend für eine Person, die älter als drei Jahre ist. Wer kann nicht zählen? Jeder wird antworten, dass dafür keine besondere Kunst erforderlich ist. Und er wird recht haben. Aber die Frage ist, wie man zählt? Sie können sich auf einen Taschenrechner verlassen, Sie können als Spalte in einem Notizbuch zählen oder Sie können mit schnellen Zähltechniken verbal zählen. Ich zähle mündlich sehr schnell, ich löse fast nie in einer Kolumne, schriftlich, alles nur, weil ich verschiedene Methoden des schnellen Zählens kenne und anwende. Von meinen Klassenkameraden können nur wenige Leute schnell mündlich zählen, und ich wollte herausfinden, ob sie die Tricks des schnellen Zählens kennen, wenn nicht, ihnen helfen, diese Tricks zu meistern, verfassen Sie zu diesem Zweck ein Memo mit schnellen Zähltricks für sie.

Um herauszufinden, ob moderne Schulkinder außer Multiplikation, Addition, Subtraktion durch eine Spalte und Division durch eine „Ecke“ noch andere Rechenarten kennen und neue Wege lernen möchten, wurde eine Testumfrage durchgeführt.

Zunächst habe ich in der 6. Klasse unserer Schule eine Umfrage durchgeführt. Er stellte den Kindern einfache Fragen. Warum musst du wissen, wie man zählt? Welche Schulfächer erfordern richtiges Rechnen? Können sie schnell zählen? Möchten Sie schnell mündlich zählen lernen? (Anhang I).

An der Umfrage nahmen 61 Personen teil. Nach der Analyse der Ergebnisse kam ich zu dem Schluss, dass die Mehrheit der Schüler glaubt, dass die Fähigkeit zum Zählen im Leben nützlich und in der Schule notwendig ist, insbesondere beim Studium von Mathematik, Physik, Chemie, Informatik und Technik. Viele Schüler wissen, wie man schnell zählt, und fast jeder möchte lernen, wie man schnell zählt. (Die Ergebnisse der Umfrage sind in den Diagrammen wiedergegeben) (Anhang II).

Nach der statistischen Verarbeitung der Daten kam ich zu dem Schluss, dass nicht alle Schüler schnelle Zähltechniken kennen, daher ist es notwendig, schnelle Zähltechniken für Schüler der Klassen 5-6 zu erstellen, um sie bei der Durchführung von Berechnungen zu verwenden.

Umfrageergebnisse:

Frage	5. Klasse	6 Klassen	Gesamt
	Ja	Nein	weiß nicht	Ja	Nein	weiß nicht
Würdest du gerne wissen?

Übersichtstabelle der Umfrage:

Frage	5, 6 Noten
	Ja	Nein	weiß nicht
Müssen moderne Menschen Rechenoperationen mit natürlichen Zahlen ausführen können?
Können Sie Zahlen in einer Spalte multiplizieren, addieren, subtrahieren, durch eine „Ecke“ dividieren?
Kennen Sie andere Rechenarten?
Würdest du gerne wissen?

Aus den Ergebnissen der Umfrage lässt sich schließen, dass moderne Schulkinder in den meisten Fällen keine anderen Möglichkeiten kennen, andere Aktionen auszuführen als Multiplikation, Addition, Subtraktion durch eine Spalte und Division durch eine „Ecke“, da sie sich selten auf Material beziehen das ist außerhalb des schullehrplans.

Kapitel I. GESCHICHTE DES KONTOS

1. WIE DIE ZAHLEN ENTSTANDEN SIND

Bereits in der alten Steinzeit – dem Paläolithikum, vor Zehntausenden von Jahren – lernten die Menschen, Gegenstände zu zählen. Wie ist es passiert? Zunächst verglichen die Menschen unterschiedliche Mengen derselben Objekte nur mit dem Auge. Sie konnten feststellen, welcher der beiden Haufen mehr Obst hatte, welche Herde mehr Hirsche hatte und so weiter. Wenn ein Stamm gefangenen Fisch gegen Steinmesser tauschte, die von Menschen eines anderen Stammes hergestellt wurden, war es nicht notwendig, zu zählen, wie viele Fische sie mitbrachten und wie viele Messer. Es genügte, neben jeden Fisch ein Messer zu legen, damit der Austausch zwischen den Stämmen stattfinden konnte.

Um erfolgreich in der Landwirtschaft tätig zu sein, brauchte man Rechenkenntnisse. Ohne die Tage zu zählen, war es schwierig zu bestimmen, wann die Felder gesät, wann mit der Bewässerung begonnen werden sollte, wann Nachwuchs von Tieren zu erwarten war. Man musste wissen, wie viele Schafe in der Herde waren, wie viele Getreidesäcke in die Scheunen gestellt wurden.
Und vor mehr als achttausend Jahren begannen die alten Hirten, Tonkrüge herzustellen – einen für jedes Schaf. Um herauszufinden, ob im Laufe des Tages mindestens ein Schaf verloren gegangen ist, stellte der Hirte jedes Mal, wenn das nächste Tier den Pferch betrat, einen Becher beiseite. Und erst nachdem er sich vergewissert hatte, dass die gleiche Anzahl von Schafen zurückkehrte, wie es Kreise gab, ging er ruhig zu Bett. Aber in seiner Herde waren nicht nur Schafe - er weidete Kühe, Ziegen und Esel. Daher mussten andere Figuren aus Ton hergestellt werden. Und mit Hilfe von Tonfiguren führten die Bauern Aufzeichnungen über die Ernte und notierten, wie viele Getreidesäcke in die Scheune gelegt wurden, wie viele Krüge Öl aus Oliven gepresst wurden, wie viele Leinenstücke gewebt wurden. Wenn die Schafe Nachwuchs gebaren, fügte der Hirte den Bechern neue Becher hinzu, und wenn einige der Schafe Fleisch fressen wollten, mussten mehrere Becher entfernt werden. Da die alten Menschen immer noch nicht wussten, wie man zählt, beschäftigten sie sich mit Arithmetik.

Dann erschienen Ziffern in der menschlichen Sprache, und die Menschen konnten die Anzahl der Objekte, Tiere und Tage benennen. Normalerweise gab es nur wenige solcher Ziffern. Zum Beispiel hatte der Murray-River-Stamm in Australien zwei Primzahlen: enea (1) und petcheval (2). Sie drückten andere Zahlen mit zusammengesetzten Ziffern aus: 3 = „petcheval-enea“, 4 „petcheval-petcheval“ usw. Ein anderer australischer Stamm, die Camiloroi, hatte einfache Ziffern mal (1), bulan (2), guliba (3). Und hier wurden durch Hinzufügen kleinerer andere Zahlen erhalten: 4="bulan-bulan", 5="bulan-guliba", 6="guliba-guliba" usw.

Bei vielen Völkern hing der Name der Zahl von den gezählten Gegenständen ab. Wenn die Bewohner der Fidschi-Inseln Boote zählten, hieß die Zahl 10 „Bolo“; Wenn sie Kokosnüsse zählten, hieß die Zahl 10 "karo". Die Nivkhs, die auf Sachalin in der Nähe der Ufer des Amur lebten, taten dasselbe. Damals im 19. Jahrhundert nannten sie dieselbe Nummer mit unterschiedlichen Wörtern, wenn sie Menschen, Fische, Boote, Netze, Sterne, Stöcke zählten.

Wir verwenden immer noch verschiedene unbestimmte Ziffern mit der Bedeutung "viel": "Menge", "Herde", "Herde", "Haufen", "Bündel" und andere.

Mit der Entwicklung von Produktion und Handel begannen die Menschen besser zu verstehen, was drei Boote und drei Äxte, zehn Pfeile und zehn Nüsse gemeinsam haben. Die Stämme tauschten oft Artikel für Artikel aus; Beispielsweise tauschten sie 5 essbare Wurzeln gegen 5 Fische. Es wurde deutlich, dass 5 sowohl für Wurzeln als auch für Fische gleich ist; so kann es mit einem Wort aufgerufen werden.

Ähnliche Zählmethoden wurden von anderen Völkern verwendet. Es gab also Nummerierungen, die auf dem Zählen von Fünfern, Zehnern, Zwanzigern basierten.

Bisher habe ich über mentales Zählen gesprochen. Wie wurden die Zahlen geschrieben? Anfangs, noch vor dem Aufkommen der Schrift, benutzten sie Kerben an Stöcken, Kerben an Knochen, Knoten an Seilen. Der gefundene Wolfsknochen in Dolni-Vestonice (Tschechoslowakei) hatte vor mehr als 25.000 Jahren 55 Schnitte.

Als das Schreiben auftauchte, gab es auch Zahlen zum Schreiben von Zahlen. Anfangs ähnelten die Zahlen Kerben auf Stöcken: In Ägypten und Babylon, in Etrurien und Datteln, in Indien und China wurden kleine Zahlen mit Stöcken oder Strichen notiert. Zum Beispiel wurde die Zahl 5 mit fünf Stöcken geschrieben. Die Azteken und Mayas verwendeten Punkte statt Stäbchen. Dann erschienen für einige Zahlen Sonderzeichen wie 5 und 10.

Zu dieser Zeit war fast die gesamte Nummerierung nicht positionell, sondern ähnlich der römischen Nummerierung. Nur eine babylonische Sexagesimalnummerierung war positionell. Aber lange Zeit war auch keine Null drin, sowie ein Komma, das den ganzzahligen Teil vom gebrochenen trennt. Daher könnte dieselbe Zahl 1, 60 und 3600 bedeuten. Man musste die Bedeutung der Zahl entsprechend der Bedeutung des Problems erraten.

Einige Jahrhunderte vor der neuen Ära wurde eine neue Schreibweise für Zahlen erfunden, bei der die Buchstaben des gewöhnlichen Alphabets als Zahlen dienten. Die ersten 9 Buchstaben bezeichneten die Zehnerzahlen 10, 20, ..., 90, und weitere 9 Buchstaben bezeichneten Hunderter. Diese alphabetische Nummerierung wurde bis ins 17. Jahrhundert verwendet. Um „echte“ Buchstaben von Zahlen zu unterscheiden, wurde über den Buchstaben-Zahlen ein Bindestrich platziert (in Russland hieß dieser Bindestrich „titlo“).

Bei all diesen Nummerierungen war es sehr schwierig, arithmetische Operationen durchzuführen. Daher wird die Erfindung der dezimalen Positionsnummerierung im 6. Jahrhundert durch die Indianer zu Recht als eine der größten Errungenschaften der Menschheit angesehen. Indische Numerierung und indische Ziffern wurden in Europa von den Arabern bekannt und werden meist als arabisch bezeichnet.

Beim Schreiben von Brüchen über längere Zeit wurde der ganze Teil in der neuen Dezimalnummerierung und der Bruchteil in Sexagesimal aufgezeichnet. Aber zu Beginn des XV Jahrhunderts. Der Mathematiker und Astronom al-Kashi aus Samarkand begann, Dezimalbrüche in Berechnungen zu verwenden.

Die Zahlen, mit denen wir arbeiten, sind positive und negative Zahlen. Aber es stellt sich heraus, dass dies nicht alle Zahlen sind, die in der Mathematik und anderen Wissenschaften verwendet werden. Und Sie können sie kennenlernen, ohne auf die High School zu warten, aber viel früher, wenn Sie die Geschichte der Entstehung von Zahlen in der Mathematik studieren.

Kapitel II. ALTE RECHENMETHODEN

2.1. RUSSISCHE BAUERNMETHODE DER MULTIPLIKATION

In Russland wurde vor einigen Jahrhunderten unter den Bauern einiger Provinzen eine Methode verbreitet, die keine Kenntnis des gesamten Einmaleins erforderte. Es war nur notwendig, mit 2 multiplizieren und dividieren zu können. Diese Methode wurde aufgerufen BAUER (Es gibt eine Meinung, dass es aus dem Ägyptischen stammt).

Beispiel: multipliziere 47 mit 35,

1. Schreiben Sie die Zahlen in eine Zeile und ziehen Sie eine vertikale Linie zwischen ihnen.
2. wir teilen die linke Zahl durch 2, multiplizieren die rechte Zahl mit 2 (wenn bei der Division ein Rest auftritt, verwerfen wir den Rest);
3. die Teilung endet, wenn links eine Einheit erscheint;
4. wir streichen die Zeilen durch, in denen links gerade Zahlen stehen;35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645
5. dann die restlichen Zahlen rechts addieren - das ist das Ergebnis.

2.2. GRID-METHODE

Der herausragende arabische Mathematiker und Astronom Abu Abdalah Mohammed Ben Mussa al-Khwarizmi lebte und arbeitete in Bagdad. Der Wissenschaftler arbeitete im Haus der Weisheit, wo es eine Bibliothek und ein Observatorium gab, fast alle großen arabischen Wissenschaftler arbeiteten hier.

Es gibt nur sehr wenige Informationen über das Leben und Werk von Muhammad al-Khwarizmi. Nur zwei seiner Arbeiten sind erhalten geblieben - über Algebra und über Arithmetik. Im letzten dieser Bücher werden vier Rechenregeln angegeben, die fast dieselben sind wie die heute verwendeten.

	1	3
	0	1

In seinem "Das Buch des indischen Zählens"Der Wissenschaftler beschrieb eine Methode, die im alten Indien erfunden und später genannt wurde"GITTERMETHODE". Diese Methode ist noch einfacher als die heute verwendete.

Beispiel: Multipliziere 25 und 63.

Lassen Sie uns eine Tabelle zeichnen, in der wir zwei Zellen in der Länge und zwei in der Breite schreiben, wir schreiben eine Zahl in der Länge und eine andere in der Breite. In die Zellen schreiben wir das Ergebnis der Multiplikation dieser Zahlen, an ihrem Schnittpunkt trennen wir die Zehner und Einer mit einer Diagonale. Wir addieren die resultierenden Zahlen diagonal, und das Ergebnis kann entlang des Pfeils (nach unten und rechts) abgelesen werden.

Ich habe ein einfaches Beispiel betrachtet, aber beliebige mehrwertige Zahlen können auf diese Weise multipliziert werden.

Betrachten wir ein anderes Beispiel: Multiplizieren Sie 987 und 12:

1. zeichnen Sie ein 3 x 2 Rechteck (entsprechend der Anzahl der Dezimalstellen für jeden Faktor);
2. dann teilen wir die quadratischen Zellen diagonal;
3. oben in die Tabelle schreiben wir die Zahl 987;
4. auf der linken Seite des Tisches die Zahl 12;
5. Jetzt tragen wir in jedes Quadrat das Produkt der Zahlen ein, die sich in derselben Zeile und in derselben Spalte mit diesem Quadrat befinden, Zehner unter der Diagonale, Einer darüber;
6. Nachdem Sie alle Dreiecke ausgefüllt haben, werden die darin enthaltenen Zahlen entlang jeder Diagonale auf der rechten Seite hinzugefügt.
7. das Ergebnis wird durch den Pfeil abgelesen.

Dieser Algorithmus zur Multiplikation zweier natürlicher Zahlen war im Mittelalter im Orient und in Italien üblich.

Ich möchte die Unannehmlichkeiten dieser Methode in der Mühe der Erstellung einer rechteckigen Tabelle hervorheben, obwohl der Berechnungsprozess selbst interessant ist und das Ausfüllen der Tabelle einem Spiel ähnelt.

2.3. MULTIPLIKATION AUF DEN FINGERN

Die alten Ägypter waren sehr religiös und glaubten, dass die Seele des Verstorbenen im Jenseits durch Zählen an den Fingern einer Prüfung unterzogen wird. Dies spricht bereits für die Bedeutung, die die Alten dieser Methode zur Durchführung der Multiplikation natürlicher Zahlen beimaßen (sie wurde genanntFINGERKONTO).

Sie multiplizierten an den Fingern einstellige Zahlen von 6 bis 9. Dazu streckten sie an einer Hand so viele Finger aus, wie der erste Multiplikator die Zahl 5 überstieg, und an der zweiten machten sie dasselbe für den zweiten Multiplikator. Der Rest der Finger war verbogen. Danach nahmen sie so viele Zehner, wie die Finger an beiden Händen ausgestreckt waren, und addierten zu dieser Zahl das Produkt der gebogenen Finger an der ersten und zweiten Hand.

Beispiel: 8 ∙ 9 = 72

Später wurde das Fingerzählen verbessert - sie lernten, Zahlen bis 10.000 mit Hilfe der Finger anzuzeigen.

Fingerbewegung - Dies ist eine weitere Möglichkeit, das Gedächtnis zu unterstützen: Erinnern Sie sich mit Hilfe der Finger an das Einmaleins für 9. Legen Sie beide Hände nebeneinander auf den Tisch und nummerieren Sie die Finger beider Hände in der folgenden Reihenfolge: der erste Finger links wird mit 1 bezeichnet, die zweite danach wird mit der Zahl 2 bezeichnet, dann 3 , 4 ... bis zum zehnten Finger, was 10 bedeutet. Wenn Sie eine der ersten neun Zahlen mit 9 multiplizieren müssen, dann Dazu müssen Sie, ohne Ihre Hände vom Tisch zu nehmen, den Finger heben, dessen Zahl die Zahl bedeutet, mit der neun multipliziert wird. dann bestimmt die Anzahl der Finger links vom erhobenen Finger die Anzahl der Zehner, und die Anzahl der Finger rechts vom erhobenen Finger gibt die Anzahl der Einheiten des resultierenden Produkts an (überzeugen Sie sich selbst).

Die alten Multiplikationsmethoden, die wir betrachtet haben, zeigen also, dass der in der Schule verwendete Algorithmus zum Multiplizieren natürlicher Zahlen nicht der einzige ist und nicht immer bekannt war.

Es ist jedoch ziemlich schnell und am bequemsten.

Kapitel III. MÜNDLICHES ZÄHLEN - GYMNASTIK DES GEISTES

3.1. VERSCHIEDENE WEGE DER ADDIERUNG UND SUBTRAKTION

ZUSATZ

Die Grundregel für die mentale Addition lautet:

Um 9 zu einer Zahl zu addieren, addiere 10 dazu und subtrahiere 1, um 8 zu addieren, addiere 10 und subtrahiere 2; um 7 zu addieren, 10 zu addieren und 3 zu subtrahieren und so weiter. Zum Beispiel:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

ZUSÄTZUNG IM VERSTAND VON ZWEI DIGITALEN ZAHLEN

Wenn die Anzahl der Einheiten in der addierten Zahl größer als 5 ist, muss die Zahl aufgerundet und dann der Rundungsfehler vom resultierenden Betrag abgezogen werden. Wenn die Anzahl der Einheiten kleiner ist, addieren wir zuerst Zehner und dann Einheiten. Zum Beispiel:

34+48=34+50-2=82;

27+31=27+30+1=58.

Addition von dreistelligen Zahlen

Wir addieren von links nach rechts, also zuerst Hunderter, dann Zehner und dann Einer. Zum Beispiel:

359+523= 300+500+50+20+9+3=882;

456+298=400+200+50+90+6+8=754.

SUBTRAKTION

Um zwei Zahlen in deinem Kopf zu subtrahieren, musst du die subtrahierte Zahl runden und dann das Ergebnis korrigieren.

56-9=56-10+1=47;

436-87=436-100+13=349.

SUBTRAHIEREN SIE EINE ZAHL WENIGER ALS 100 VON EINER ZAHL ÜBER 100

Wenn der Subtrahend kleiner als 100 und der Minuend größer als 100, aber kleiner als 200 ist, gibt es eine einfache Möglichkeit, die Differenz im Kopf zu berechnen. 134-76=58

76 ist 24 weniger als 100. 134 ist 34 mehr als 100. Addiere 24 zu 34 und erhalte die Antwort: 58.

152-88=64

88 ist 12 weniger als 100 und 152 ist mehr als 100 mal 52, also

152-88=12+52=64

3.2. VERSCHIEDENE MÖGLICHKEITEN DER MULTIPLIKATION UND DIVISION

Nachdem ich die Literatur zu diesem Thema studiert hatte, traf ich eine Auswahl aus einer Vielzahl von schnellen Zähltechniken und wählte Multiplikations- und Divisionstechniken, die für jeden Schüler leicht zu verstehen und anzuwenden sind. Ich habe diese Techniken in das Memo (Anhang III) aufgenommen, das für Schüler der Klassen 5-6 nützlich sein wird.

1. Eine Zahl durch 4 multiplizieren und dividieren.

Um eine Zahl mit 4 zu multiplizieren, musst du sie zweimal mit 2 multiplizieren.

Zum Beispiel:

26 4 = (26 2) 2 = 52 2 = 104;

417 4=(417 2) 2=834 2=1668.

Um eine Zahl durch 4 zu teilen, musst du sie zweimal durch 2 teilen.

Zum Beispiel:

324:4=(324:2):2=162:2=81.

1. Eine Zahl durch 5 multiplizieren und dividieren.

Um eine Zahl mit 5 zu multiplizieren, musst du sie mit 10 multiplizieren und durch 2 dividieren.

Zum Beispiel:

236 5=(236 10):2=2360:2=1180.

Um eine Zahl durch 5 zu teilen, müssen Sie 2 multiplizieren und durch 10 dividieren, d.h. Trennen Sie die letzte Ziffer mit einem Komma.

Zum Beispiel:

236:5=(236 2):10=472:10=47,2.

1. Eine Zahl mit 1,5 multiplizieren.

Um eine Zahl mit 1,5 zu multiplizieren, musst du die Hälfte davon zur ursprünglichen Zahl addieren.

Zum Beispiel: 34 1,5=34+17=51;

146 1,5=146+73=219.

1. Eine Zahl mit 9 multiplizieren.

Um eine Zahl mit 9 zu multiplizieren, addieren Sie 0 dazu und subtrahieren Sie die ursprüngliche Zahl.

Zum Beispiel: 72 9=720-72=648.

1. Multipliziere eine durch 4 teilbare Zahl mit 25.

Um eine durch 4 teilbare Zahl mit 25 zu multiplizieren, musst du sie durch 4 teilen und die resultierende Zahl mit 100 multiplizieren.

Beispiel: 124 25=(124:4) 100=31 100=3100.

1. Eine zweistellige Zahl mit 11 multiplizieren

Wenn Sie eine zweistellige Zahl mit 11 multiplizieren, müssen Sie die Summe dieser Ziffern zwischen der Einerziffer und der Zehnerziffer eingeben, und wenn die Summe der Ziffern größer als 10 ist, muss zur höchstwertigen Ziffer eins addiert werden (erste Ziffer).

Zum Beispiel:
23 11=253, weil 2+3=5, also setzen wir zwischen 2 und 3 die Zahl 5;
57 11=627, weil 5+7=12, setze die Zahl 2 zwischen 5 und 7 und addiere 1 zu 5, schreibe 6 statt 5.

"Falten Sie die Kanten, legen Sie sie in die Mitte" - diese Wörter helfen Ihnen, sich leicht an diese Methode der Multiplikation mit 11 zu erinnern.

Diese Methode eignet sich nur zum Multiplizieren zweistelliger Zahlen.

1. Multiplikation einer zweistelligen Zahl mit 101.

Um eine Zahl mit 101 zu multiplizieren, müssen Sie diese Zahl sich selbst zuordnen.

Beispiel: 34 101 = 3434.

Zur Verdeutlichung: 34 101 = 34 100 + 34 1 = 3400 + 34 = 3434.

1. Quadrieren einer zweistelligen Zahl, die auf 5 endet.

Um eine zweistellige Zahl, die auf 5 endet, zu quadrieren, musst du die Zehnerziffer mit der um eins größeren Ziffer multiplizieren und die Zahl 25 zum resultierenden Produkt auf der rechten Seite addieren.
Beispiel: 35 2 =1225, d.h. 3 4 \u003d 12 und wir ordnen 25 12 zu, wir erhalten 1225.

1. Quadrieren einer zweistelligen Zahl beginnend mit 5.

Um eine zweistellige Zahl beginnend mit fünf zu quadrieren, müssen Sie die zweite Ziffer der Zahl zu 25 addieren und das Quadrat der zweiten Ziffer rechts zuweisen, und wenn das Quadrat der zweiten Ziffer eine einstellige Zahl ist, dann muss davor die Zahl 0 vergeben werden.

Zum Beispiel:
52 2 = 2704, weil 25+2=28 und 2 2 =04;
58 2 = 3364, weil 25+8=33 und 82=64.

3.3. SPIELE

Erraten der empfangenen Nummer.

1. Denken Sie an eine Zahl. Fügen Sie 11 hinzu; multiplizieren Sie den erhaltenen Betrag mit 2; subtrahieren Sie 20 von diesem Produkt; Multiplizieren Sie die resultierende Differenz mit 5 und subtrahieren Sie von dem neuen Produkt eine Zahl, die das 10-fache der von Ihnen beabsichtigten Zahl ist.Ich schätze, du hast 10. Richtig?
2. Denken Sie an eine Zahl. Ihn behandeln. Subtrahiere 1 vom Ergebnis Multipliziere das Ergebnis mit 5 Addiere 20 zum Ergebnis Dividiere das Ergebnis durch 15 Subtrahiere das beabsichtigte Ergebnis vom ErgebnisDu hast 1.
3. Denken Sie an eine Zahl. Multiplizieren Sie es mit 6. Subtrahieren Sie 3. Multiplizieren Sie mit 2. Addieren Sie 26. Subtrahieren Sie zweimal, was Sie dachten. Teilen Sie durch 10. Subtrahieren Sie, was Sie dachten.Du hast 2.
4. Denken Sie an eine Zahl. Verdreifachen Sie es. Subtrahiere 2. Multipliziere mit 5. Addiere 5. Dividiere durch 5. Addiere 1. Dividiere durch das, was du gedacht hast.Du hast 3.
5. Denken Sie an eine Zahl, verdoppeln Sie sie. Addiere 3. Multipliziere mit 4. Subtrahiere 12. Dividiere durch das, was du gedacht hast.Du hast 8.

Erraten der angegebenen Zahlen.

1. Laden Sie Ihre Freunde ein, sich beliebige Zahlen auszudenken. Lassen Sie alle 5 zu ihrer beabsichtigten Zahl addieren.
2. Lassen Sie die resultierende Summe mit 3 multiplizieren.
3. Subtrahiere 7 vom Produkt.
4. Subtrahieren wir weitere 8 vom Ergebnis.
5. Lassen Sie sich von allen ein Blatt mit dem Endergebnis geben. Wenn Sie auf das Blatt schauen, sagen Sie jedem sofort, welche Zahl er im Sinn hat.

(Um die erdachte Zahl zu erraten, wird das Ergebnis, das auf einem Blatt Papier steht oder Ihnen mündlich mitgeteilt wird, durch 3 geteilt).

FAZIT

Wir sind in das neue Jahrtausend eingetreten! Grandiose Entdeckungen und Errungenschaften der Menschheit. Wir wissen viel, wir können viel. Es scheint übernatürlich, dass man mit Hilfe von Zahlen und Formeln den Flug eines Raumschiffs, die „wirtschaftliche Lage“ im Land, das Wetter für „morgen“, den Klang von Tönen in einer Melodie beschreiben kann. Wir kennen die Aussage des antiken griechischen Mathematikers, Philosophen, der im 4. Jahrhundert v. Chr. lebte. - Pythagoras - "Alles ist eine Zahl!".

Indem ich die alten Berechnungsmethoden und die modernen Methoden des schnellen Zählens beschrieb, versuchte ich zu zeigen, dass man sowohl in der Vergangenheit als auch in der Zukunft nicht auf die Mathematik verzichten kann, eine Wissenschaft, die vom menschlichen Verstand geschaffen wurde.

Das Studium antiker Rechenmethoden zeigte, dass diese Rechenoperationen aufgrund der Methodenvielfalt und ihrer umständlichen Ausführung schwierig und komplex waren.

Moderne Rechenmethoden sind einfach und für jedermann zugänglich.

Beim Kennenlernen der wissenschaftlichen Literatur entdeckte ich schnellere und zuverlässigere Berechnungsmethoden.

Es ist möglich, dass viele diese oder andere Berechnungen beim ersten Mal nicht schnell unterwegs durchführen können. Lassen Sie es zunächst versäumen, die in der Arbeit gezeigte Technik anzuwenden. Kein Problem. Ständiges Computertraining ist erforderlich. Lektion für Lektion, Jahr für Jahr. Es wird helfen, nützliche mündliche Zählfähigkeiten zu erwerben.

Der deutsche Wissenschaftler Karl Gauß wurde der König der Mathematiker genannt. Sein mathematisches Talent zeigte sich bereits in der Kindheit. In der Schule (Gauss war 10 Jahre alt) forderte der Lehrer die Klasse auf, alle Zahlen von 1 bis 100 zu addieren. Während er die Aufgabe diktierte, hatte Gauß bereits eine Antwort parat. Auf seiner Tafel stand geschrieben: 101 50=5050. Wie hat er gerechnet? Es ist ganz einfach – er wendete die schnelle Zähltechnik an, er addierte die erste Zahl zur letzten, die zweite zur vorletzten und so weiter. Es gibt nur 50 solcher Summen und jede ist gleich 101, also konnte er fast sofort die richtige Antwort geben.

1+2+…+50+51+...+99+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101 50=5050. Dieses Beispiel zeigt am besten, dass es fast allen Schulkindern möglich ist, schnell und richtig mündlich zu zählen, dazu müssen Sie nur die Methoden des schnellen Zählens kennen.

Die Ergebnisse meiner Arbeit habe ich in einem Memo entworfen, das ich allen meinen Klassenkameraden anbieten werde, und ich werde es auch auf dem Themenstand der Schule „Es ist interessant!“ platzieren. Es ist möglich, dass nicht jeder vom ersten Mal an schnell unterwegs Berechnungen mit diesen Techniken durchführen kann, auch wenn Sie die im Memo gezeigte Technik zunächst nicht anwenden können, ist es in Ordnung, Sie benötigen nur ständiges Rechentraining. Es wird Ihnen helfen, nützliche Fähigkeiten des schnellen Zählens zu erwerben.

Nach statistischer Verarbeitung der Daten wurden die folgenden Ergebnisse erhalten. Ergebnisse:

1. Sie müssen in der Lage sein zu zählen, denn es wird sich im Leben als nützlich erweisen. 93% der Schüler glauben, dass sie in der Schule gut lernen - 72%, sich schnell entscheiden - 61%, lesen und schreiben können - 34% und das sind sie nicht notwendig, um zählen zu können - nur 3%.
2. Gute Zählfähigkeiten sind laut 100% der Studierenden im Mathematikstudium ebenso erforderlich wie im Physikstudium - 90%, Chemie - 80%, Informatik - 44%, Technik - 36%.
3. 16 % (viele Stiche), 25 % (mehrere Stiche) kennen schnelle Zähltricks, 59 % der Schüler kennen keine schnellen Zähltricks.
4. 21 % der Schüler verwenden schnelle Zähltechniken, manchmal werden sie von 15 % verwendet.
5. 93 % der Schüler möchten schnell zählen lernen.

Schlussfolgerungen:

1. Die Kenntnis schneller Zähltechniken ermöglicht es Ihnen, Berechnungen zu vereinfachen, Zeit zu sparen, logisches Denken und geistige Flexibilität zu entwickeln.
2. In Schulbüchern gibt es praktisch keine Techniken zum schnellen Zählen, daher ist das Ergebnis dieser Arbeit - eine Anleitung zum schnellen Zählen - für Schüler der Klassen 5-6 sehr nützlich.

LISTE DER VERWENDETEN LITERATUR

1. Vantsyan A.G. Mathematik: Lehrbuch für die 5. Klasse. - Samara: Fedorov-Verlag, 1999.
2. Kordemsky B.A., Akhadov A.A. Die erstaunliche Welt der Zahlen: Ein Buch der Studenten, - M. Enlightenment, 1986.
3. Minskykh E.M. „Vom Spiel zum Wissen“, M., „Aufklärung“, 1982
4. Svechnikov A.A. Zahlen, Figuren, Aufgaben. M., Aufklärung, 1977. Ja Nein Weiß nicht https://accounts.google.com

Im Zeitalter von Registrierkassen und Taschenrechnern rechnet man immer weniger im Kopf. Sie haben fast vollständig auf Computertechnik umgestellt, aber diese versagt oft oder ist einfach nicht da, wenn sie gebraucht wird. Wir verlieren unmerklich die Fähigkeiten des genauen und schnellen Zählens und stellen manchmal zu spät fest, dass wir in diesem Geschäft nicht mehr so ​​gut sind. Aber schnell im Kopf zu zählen, ist ein unbestreitbarer Vorteil und Vorteil. Eine Person, die leicht mit Zahlen umgeht, wird sich bei Berechnungen fast nie täuschen lassen. Aber das Wichtigste ist, dass es die geistigen Fähigkeiten entwickelt und in Form hält, was für Kinder und Jugendliche wichtig ist.

Wie man lernt, im Kopf eines Kindes schnell zu zählen

Alle Fähigkeiten werden am besten in der Kindheit entwickelt und gefestigt. Mit 1,5 bis 2 Jahren kann man sowohl Zählen als auch Lesen lernen. Die Besonderheiten dieses Alters sind, dass das Kind zunächst passives Wissen ansammelt - es wird verstehen, wissen, aber aufgrund des kleinen Wortschatzes wird es wenig sprechen. Bis zu einem Alter von fünf Jahren kann ein Baby lernen, einfache Aktionen in seinem Kopf auszuführen - Subtraktion und Addition innerhalb von zwanzig Jahren. Wenn Sie im Alter von zwei oder dreieinhalb Jahren visuelle Methoden im Unterricht anwenden, kann das Baby später nur mit Zahlen arbeiten, ohne Verstärkung mit visuellem Material.

Wenn Sie möchten, dass Ihr Kind eine bessere Chance hat, dass das Arbeiten mit großen Werten und mathematischen Operationen einfacher und schneller wird, müssen Sie ihm so früh wie möglich das Zählen beibringen.

Es ist besser, Kinder unter vier Jahren mit visuellem Material zu unterrichten. Sie können zählen, was Sie wollen. Feuerwehrautos, die zu einem Brand rasen, Motorradfahrer, die an Ihnen vorbeibrausen, Katzen, die sich in der Sonne aalen, Vogelschwärme – alles um Sie herum kann gezählt werden. Mit Zählfähigkeiten entwickeln sich Beobachtung und Aufmerksamkeit gleichzeitig. Erhöhen Sie allmählich die Belastung. Am Morgen haben Sie 2 Katzen gesehen, und als Sie nach Hause kamen, noch 3. Fragen Sie Ihr Kind: „Hat er bemerkt, dass es heute so viele Katzen gibt! Wie viel hat er bemerkt? Loben Sie ihn für seine Genauigkeit und Beobachtungsgabe, denn diese Eigenschaften werden ihm im Leben nützlich sein.

In der Grundschule muss das Kind schnell und frei alle Berechnungen innerhalb der vom Schullehrplan festgelegten Grenzen durchführen. Um das Zählen schnell zu lernen, ist ständiges Training erforderlich. Daher ist es die Aufgabe der Eltern, das Baby zum Zählen zu ermutigen und es interessant zu machen. Je öfter Ihr Kind trainiert, desto einfacher wird es für es, genaue und schnelle Berechnungen in seinem Kopf durchzuführen.

Wie man als Erwachsener schnell zählen lernt

Wenn ein Kind seit seiner Kindheit im schnellen Zählen trainiert wurde, wird es im Laufe der Zeit ohne großen Aufwand mit großen Werten operieren. Wenn sich jedoch eine reifere Person oder ein Student entscheidet, ein schnelles Konto zu meistern, muss eine einfache Technik angewendet werden, die zweifellos positive Ergebnisse bringt.

Jedes Lernen fängt klein an. Wenn Sie das Einmaleins kennen, ist das großartig. Wenn Sie es vergessen oder nie gewusst haben, sollten Sie diese Zählmethode anwenden. Zum Beispiel müssen Sie herausfinden, wie viel 8x6 sein wird. Wir schreiben das Beispiel so:

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2 4
—-=48
8x6

Antwort 48. Wir haben es bekommen, indem wir ein 8x6-Beispiel geschrieben haben, eine gerade Linie darüber gezogen und über jede Zahl geschrieben haben, wie viel bis 10 fehlt. Wir schreiben 2 über 8, schreiben 4 für 6. Die erste Ziffer der Antwort ist die Differenz zwischen den Zahlen in der unteren und oberen Reihe diagonal. 8-4=4, 6-2=4 - Sie können jedes Paar zur Berechnung nehmen - die Antwort wird immer gleich sein. Wir haben also festgestellt, dass die erste Ziffer 4 ist. Lassen Sie uns nun die zweite finden. Multiplizieren Sie dazu die Zahlen der obersten Reihe 2x4 = 8. Unser Beispiel ist gelöst: 8x6=48.

Größere Zahlen gelten als etwas anders. Zum Beispiel müssen Sie 11x13 berechnen.

1 3
——=140+3=143
11x13

In die unterste Zeile schreiben wir ein Beispiel 11x13. Oben schreiben wir, wie viel diese Zahlen 10 überschreiten. Wir erhalten 1 und 3. Addieren Sie die Zahlen diagonal. Wir erhalten 11+3=14, 13+1=14. Wir haben 14 Zehner, da die ursprünglichen Zahlen 10 überschreiten. Daher multiplizieren wir 14 mit 10. 14x10 \u003d 140. Es bleibt nur, die oberen Zahlen 1x3 \u003d 3 zu multiplizieren und die resultierende Zahl zur Antwort hinzuzufügen.

Solche Berechnungsmethoden sind nur am Anfang schwierig durchzuführen. Beginnen Sie daher mit einfachen Beispielen und komplizieren Sie sie nach und nach. Aber um zu lernen, in Gedanken zu zählen, müssen Sie die Notizen vollständig loswerden und alles in Ihrem Kopf tun.

Auch Kinder können auf diese Weise unterrichtet werden, aber nur, wenn sie den Schullehrplan vollständig kennen. Andernfalls erzielen Sie keine positiven Ergebnisse, sondern schaden nur der Assimilation von Schulwissen.

Wenn Sie die Manipulation zweistelliger Zahlen beherrschen, können Sie mit der Berechnung mehrstelliger Zahlen fortfahren - Hunderte und sogar Tausende.

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