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Lineare Gleichungen. Vollständiger Leitfaden (2019)

Was sind "lineare Gleichungen"

oder mündlich - drei Freunden wurden jeweils Äpfel gegeben, basierend auf der Tatsache, dass Vasya alle Äpfel hat.

Und jetzt haben Sie sich entschieden Lineargleichung
Geben wir diesem Begriff nun eine mathematische Definition.

Lineargleichung - ist eine algebraische Gleichung, deren Gesamtgrad ihrer konstituierenden Polynome ist. Es sieht aus wie das:

Wo und sind irgendwelche Zahlen und

Für unseren Fall mit Vasya und Äpfeln schreiben wir:

- „Wenn Vasya allen drei Freunden die gleiche Anzahl Äpfel gibt, hat er keine Äpfel mehr“

„Versteckte“ lineare Gleichungen oder die Bedeutung identischer Transformationen

Trotz der Tatsache, dass auf den ersten Blick alles sehr einfach ist, müssen Sie beim Lösen von Gleichungen vorsichtig sein, da lineare Gleichungen nicht nur Gleichungen der Form genannt werden, sondern auch alle Gleichungen, die durch Transformationen und Vereinfachungen auf diese Form reduziert werden. Zum Beispiel:

Wir sehen, dass es rechts ist, was theoretisch bereits darauf hindeutet, dass die Gleichung nicht linear ist. Wenn wir die Klammern öffnen, erhalten wir außerdem zwei weitere Begriffe, in denen es sein wird, aber ziehen Sie keine voreiligen Schlüsse! Bevor beurteilt werden kann, ob die Gleichung linear ist, müssen alle Transformationen durchgeführt und somit das ursprüngliche Beispiel vereinfacht werden. In diesem Fall können Transformationen das Aussehen ändern, aber nicht das Wesen der Gleichung.

Mit anderen Worten, diese Transformationen müssen sein identisch oder gleichwertig. Es gibt nur zwei solcher Transformationen, aber sie spielen eine sehr, SEHR wichtige Rolle bei der Lösung von Problemen. Betrachten wir beide Transformationen an konkreten Beispielen.

Bewegen Sie sich nach links - rechts.

Nehmen wir an, wir müssen die folgende Gleichung lösen:

Damals in der Grundschule hieß es: „mit X – nach links, ohne X – nach rechts“. Welcher Ausdruck mit x steht rechts? Richtig, nicht wie nicht. Und das ist wichtig, denn wenn diese scheinbar einfache Frage falsch verstanden wird, kommt die falsche Antwort heraus. Und was ist der Ausdruck mit x links? Richtig, .

Nachdem wir uns damit beschäftigt haben, übertragen wir alle Terme mit Unbekannten nach links und alles Bekannte nach rechts, wobei wir uns daran erinnern, dass, wenn beispielsweise kein Vorzeichen vor der Zahl steht, die Zahl positiv ist, das ist, wird ihm das Zeichen „ “ vorangestellt.

Gerührt? Was hast du bekommen?

Es bleibt nur noch, ähnliche Bedingungen zu schaffen. Wir präsentieren:

Wir haben also die erste identische Transformation erfolgreich geparst, obwohl ich sicher bin, dass Sie sie bereits kannten und aktiv ohne mich verwendet haben. Die Hauptsache - vergessen Sie nicht die Zeichen für Zahlen und ändern Sie sie beim Übertragen durch das Gleichheitszeichen in das Gegenteil!

Multiplikation-Division.

Beginnen wir gleich mit einem Beispiel

Wir schauen und denken: Was gefällt uns an diesem Beispiel nicht? Das Unbekannte ist alles in einem Teil, das Bekannte ist in dem anderen, aber etwas hält uns auf ... Und das ist etwas - eine Vier, denn wenn sie nicht da wäre, wäre alles perfekt - x ist gleich einer Zahl - genau so wie wir es brauchen!

Wie können Sie es loswerden? Wir können nicht nach rechts übertragen, weil wir dann den gesamten Multiplikator übertragen müssen (wir können ihn nicht nehmen und davon abreißen), und das Übertragen des gesamten Multiplikators macht auch keinen Sinn ...

Es ist an der Zeit, sich an die Aufteilung zu erinnern, in deren Zusammenhang wir alles einfach aufteilen werden! Alle - das bedeutet sowohl die linke als auch die rechte Seite. So und nur so! Was bekommen wir?

Hier ist die Antwort.

Schauen wir uns nun ein weiteres Beispiel an:

Ratet mal, was in diesem Fall zu tun ist? Das ist richtig, multiplizieren Sie den linken und den rechten Teil mit! Welche Antwort hast du bekommen? Korrekt. .

Sicherlich wussten Sie bereits alles über identische Transformationen. Bedenken Sie, dass wir dieses Wissen gerade in Ihrem Gedächtnis aufgefrischt haben und es Zeit für etwas mehr ist - zum Beispiel, um unser großes Beispiel zu lösen:

Wie wir bereits gesagt haben, kann man beim Betrachten nicht sagen, dass diese Gleichung linear ist, aber wir müssen die Klammern öffnen und identische Transformationen durchführen. Also lasst uns anfangen!

Zunächst erinnern wir uns an die Formeln für die abgekürzte Multiplikation, insbesondere das Quadrat der Summe und das Quadrat der Differenz. Wenn Sie sich nicht erinnern, was es ist und wie Klammern geöffnet werden, empfehle ich dringend, das Thema zu lesen, da diese Fähigkeiten für Sie beim Lösen fast aller in der Prüfung gefundenen Beispiele nützlich sein werden.
Aufgedeckt? Vergleichen:

Jetzt ist es Zeit, ähnliche Begriffe zu bringen. Erinnern Sie sich, wie uns in denselben Grundschulklassen gesagt wurde: „Wir legen keine Fliegen mit Koteletts“? Hier erinnere ich Sie daran. Wir addieren alles separat – Faktoren, die haben, Faktoren, die haben, und andere Faktoren, die keine Unbekannten haben. Wenn Sie ähnliche Terme bringen, verschieben Sie alle Unbekannten nach links und alles, was bekannt ist, nach rechts. Was hast du bekommen?

Wie Sie sehen können, ist das x-Quadrat verschwunden, und wir sehen ein völlig gewöhnliches Lineargleichung. Es bleibt nur zu finden!

Und zum Schluss möchte ich noch eine sehr wichtige Sache über identische Transformationen sagen – identische Transformationen gelten nicht nur für lineare Gleichungen, sondern auch für quadratische, gebrochen rationale und andere. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass wir beim Übertragen von Faktoren durch das Gleichheitszeichen das Vorzeichen in das Gegenteil ändern und beim Teilen oder Multiplizieren mit einer Zahl beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multiplizieren / dividieren.

Was haben Sie aus diesem Beispiel noch mitgenommen? Dass es bei einer Gleichung nicht immer möglich ist, direkt und genau zu bestimmen, ob sie linear ist oder nicht. Sie müssen den Ausdruck zuerst vollständig vereinfachen und erst dann beurteilen, was es ist.

Lineare Gleichungen. Beispiele.

Hier sind ein paar weitere Beispiele, die Sie selbst üben können - stellen Sie fest, ob die Gleichung linear ist, und finden Sie gegebenenfalls ihre Nullstellen:

Antworten:

1. Ist ein.

2. Ist nicht.

Lassen Sie uns die Klammern öffnen und ähnliche Begriffe angeben:

Machen wir eine identische Transformation - wir teilen den linken und rechten Teil in:

Wir sehen, dass die Gleichung nicht linear ist, also brauchen wir nicht nach ihren Wurzeln zu suchen.

3. Ist ein.

Machen wir eine identische Transformation - multiplizieren Sie den linken und den rechten Teil mit, um den Nenner loszuwerden.

Denken Sie darüber nach, warum es so wichtig ist? Wenn Sie die Antwort auf diese Frage kennen, fahren wir mit der weiteren Lösung der Gleichung fort. Wenn nicht, sollten Sie sich unbedingt mit dem Thema befassen, um in komplexeren Beispielen keine Fehler zu machen. Übrigens, wie Sie sehen können, eine Situation, in der es unmöglich ist. Wieso den?
Also lass uns weitermachen und die Gleichung neu anordnen:

Wenn Sie alles problemlos bewältigt haben, sprechen wir über lineare Gleichungen mit zwei Variablen.

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

Kommen wir nun zu einer etwas komplizierteren – linearen Gleichungen mit zwei Variablen.

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen sehen so aus:

Wo, und sind irgendwelche Zahlen und.

Wie Sie sehen können, besteht der einzige Unterschied darin, dass der Gleichung eine weitere Variable hinzugefügt wird. Und so ist alles gleich - es gibt kein x zum Quadrat, es gibt keine Division durch eine Variable usw. usw.

Was für ein Lebensbeispiel, das ich Ihnen geben kann ... Nehmen wir dieselbe Vasya. Angenommen, er beschließt, jedem seiner 3 Freunde die gleiche Anzahl Äpfel zu geben und die Äpfel für sich selbst zu behalten. Wie viele Äpfel muss Vasya kaufen, wenn er jedem Freund einen Apfel gibt? Wie wäre es mit? Was wäre, wenn bis?

Die Abhängigkeit der Anzahl der Äpfel, die jede Person erhält, von der Gesamtzahl der zu kaufenden Äpfel wird durch die Gleichung ausgedrückt:

• - die Anzahl der Äpfel, die eine Person erhält (, oder, oder);
• - die Anzahl der Äpfel, die Vasya für sich nehmen wird;
• - wie viele Äpfel Vasya kaufen muss, unter Berücksichtigung der Anzahl der Äpfel pro Person.

Wenn wir dieses Problem lösen, erhalten wir Folgendes: Wenn Vasya einem Freund einen Apfel gibt, muss er Stücke kaufen, wenn er Äpfel gibt - und so weiter.

Und überhaupt. Wir haben zwei Variablen. Warum diese Abhängigkeit nicht grafisch darstellen? Wir bauen und markieren unseren Wert, dh Punkte, mit Koordinaten und!

Wie Sie sehen können, und voneinander abhängen linear, daher der Name der Gleichungen - „ linear».

Wir abstrahieren von Äpfeln und betrachten grafisch verschiedene Gleichungen. Schauen Sie sich die beiden konstruierten Graphen genau an - eine gerade Linie und eine Parabel, die durch beliebige Funktionen gegeben sind:

Suchen und markieren Sie die entsprechenden Punkte auf beiden Figuren.
Was hast du bekommen?

Das sieht man am Graphen der ersten Funktion allein entspricht ein, d. h., und hängen linear voneinander ab, was von der zweiten Funktion nicht gesagt werden kann. Natürlich kann man einwenden, dass im zweiten Graphen x auch - entspricht, aber das ist nur ein Punkt, also ein Sonderfall, da man immer noch einen finden kann, der mehr als einem entspricht. Und der konstruierte Graph ähnelt in keiner Weise einer Linie, sondern ist eine Parabel.

Ich wiederhole noch einmal: Der Graph einer linearen Gleichung muss eine GERADE Linie sein.

Mit der Tatsache, dass die Gleichung nicht linear sein wird, wenn wir in irgendeiner Weise gehen - dies ist am Beispiel einer Parabel verständlich, obwohl Sie für sich selbst zum Beispiel ein paar einfachere Diagramme erstellen können oder. Aber ich versichere Ihnen - keiner von ihnen wird eine GERADE LINIE sein.

Glaubst du nicht? Bauen und dann mit dem vergleichen, was ich habe:

Und was passiert, wenn wir etwas zum Beispiel durch eine Zahl dividieren? Wird es eine lineare Abhängigkeit geben und? Wir werden nicht streiten, aber wir werden bauen! Lassen Sie uns zum Beispiel einen Funktionsgraphen zeichnen.

Irgendwie sieht es nicht wie eine gerade gebaute Linie aus ... dementsprechend ist die Gleichung nicht linear.
Fassen wir zusammen:

1. Lineargleichung - ist eine algebraische Gleichung, in der der Gesamtgrad ihrer konstituierenden Polynome gleich ist.
2. Lineargleichung mit einer Variablen sieht so aus:
   , wobei und beliebige Zahlen sind;
   Lineargleichung mit zwei Variablen:
   , wobei und sind beliebige Zahlen.
3. Es ist nicht immer sofort möglich festzustellen, ob eine Gleichung linear ist oder nicht. Um dies zu verstehen, ist es manchmal notwendig, identische Transformationen durchzuführen, ähnliche Terme nach links / rechts zu verschieben, das Vorzeichen nicht zu vergessen, oder beide Teile der Gleichung mit derselben Zahl zu multiplizieren / zu dividieren.

LINEARE GLEICHUNGEN. KURZ ÜBER DAS WESENTLICHE

1. Lineare Gleichung

Dies ist eine algebraische Gleichung, in der der Gesamtgrad ihrer konstituierenden Polynome gleich ist.

2. Lineare Gleichung mit einer Variablen sieht aus wie:

Wo und sind irgendwelche Zahlen;

3. Lineare Gleichung mit zwei Variablen sieht aus wie:

Wo und sind irgendwelche Zahlen.

4. Identitätstransformationen

Um festzustellen, ob die Gleichung linear ist oder nicht, müssen identische Transformationen durchgeführt werden:

• wie Terme nach links/rechts bewegen, dabei das Vorzeichen nicht vergessen;
• beide Seiten der Gleichung mit der gleichen Zahl multiplizieren/dividieren.

Das Lösen von Gleichungen zu lernen, ist eine der Hauptaufgaben, die die Algebra den Schülern stellt. Beginnend mit dem Einfachsten, wenn es aus einem Unbekannten besteht, und weiter zu immer komplexeren. Wenn Sie die auszuführenden Aktionen mit den Gleichungen aus der ersten Gruppe nicht beherrschen, wird es schwierig, mit anderen umzugehen.

Um das Gespräch fortzusetzen, müssen wir uns auf die Notation einigen.

Allgemeine Form einer linearen Gleichung mit einer Unbekannten und das Prinzip ihrer Lösung

Jede Gleichung, die wie folgt geschrieben werden kann:

a * x = ein,

namens linear. Dies ist die allgemeine Formel. Aber oft werden lineare Gleichungen in Aufgaben in einer impliziten Form geschrieben. Dann müssen identische Transformationen durchgeführt werden, um eine allgemein akzeptierte Notation zu erhalten. Diese Aktionen umfassen:

• öffnende Klammern;
• Verschieben aller Terme mit einem variablen Wert auf die linke Seite der Gleichheit und den Rest nach rechts;
• Reduzierung gleicher Terme.

Wenn sich im Nenner eines Bruchs ein unbekannter Wert befindet, müssen dessen Werte bestimmt werden, für die der Ausdruck keinen Sinn ergibt. Mit anderen Worten, es soll den Definitionsbereich der Gleichung kennen.

Das Prinzip, nach dem alle linearen Gleichungen gelöst werden, besteht darin, den Wert auf der rechten Seite der Gleichung durch den Koeffizienten vor der Variablen zu dividieren. Das heißt, "x" ist gleich / a.

Sonderfälle einer linearen Gleichung und ihre Lösungen

Während des Denkens kann es Momente geben, in denen lineare Gleichungen eine der speziellen Formen annehmen. Jeder von ihnen hat eine spezifische Lösung.

In der ersten Situation:

a * x = 0, und a ≠ 0.

Die Lösung dieser Gleichung ist immer x = 0.

Im zweiten Fall nimmt "a" den Wert gleich Null an:

0 * x = 0.

Die Antwort auf diese Gleichung ist eine beliebige Zahl. Das heißt, es hat unendlich viele Wurzeln.

Die dritte Situation sieht so aus:

0*x=Zoll, wobei in ≠ 0.

Diese Gleichung ergibt keinen Sinn. Denn es gibt keine Wurzeln, die ihn zufrieden stellen.

Allgemeine Form einer linearen Gleichung mit zwei Variablen

Aus seinem Namen wird deutlich, dass in ihm bereits zwei Unbekannte stecken. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen sieht aus wie das:

a * x + b * y = c.

Da der Eintrag zwei Unbekannte enthält, sieht die Antwort wie ein Zahlenpaar aus. Das heißt, es reicht nicht aus, nur einen Wert anzugeben. Dies wird eine unvollständige Antwort sein. Das Größenpaar, bei dem die Gleichung zur Identität wird, ist eine Lösung der Gleichung. Außerdem wird in der Antwort immer zuerst die Variable geschrieben, die im Alphabet an erster Stelle steht. Es wird manchmal gesagt, dass ihn diese Zahlen zufrieden stellen. Darüber hinaus kann es unendlich viele solcher Paare geben.

Wie löst man eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten?

Dazu müssen Sie nur ein beliebiges Zahlenpaar auswählen, das sich als richtig herausstellt. Der Einfachheit halber kannst du eine der Unbekannten gleich einer Primzahl nehmen und dann die zweite finden.

Beim Lösen müssen Sie oft Aktionen ausführen, um die Gleichung zu vereinfachen. Sie werden identische Transformationen genannt. Außerdem gelten für Gleichungen immer folgende Eigenschaften:

• jeder Term kann auf den entgegengesetzten Teil der Gleichheit übertragen werden, indem sein Vorzeichen durch das entgegengesetzte ersetzt wird;
• Die linke und die rechte Seite jeder Gleichung dürfen durch dieselbe Zahl geteilt werden, wenn sie nicht gleich Null ist.

Beispiele für Aufgaben mit linearen Gleichungen

Erste Aufgabe. Lineare Gleichungen lösen: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

In der Gleichung, die in dieser Liste an erster Stelle steht, reicht es aus, einfach 20 durch 4 zu teilen. Das Ergebnis ist 5. Dies ist die Antwort: x \u003d 5.

Die dritte Gleichung erfordert, dass die Identitätstransformation durchgeführt wird. Es wird darin bestehen, Klammern zu öffnen und ähnliche Begriffe zu verwenden. Nach der ersten Aktion hat die Gleichung die Form: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Dann müssen Sie alle Unbekannten auf die linke Seite der Gleichheit und den Rest auf die rechte Seite übertragen. Die Gleichung sieht folgendermaßen aus: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. Nach dem Bringen gleicher Terme: 14x \u003d 16. Jetzt sieht es genauso aus wie das erste und seine Lösung ist einfach. Die Antwort ist x=8/7. Aber in der Mathematik soll es den ganzen Teil von einem unechten Bruch trennen. Dann wird das Ergebnis transformiert und "x" ist gleich einem Ganzen und einem Siebtel.

In den restlichen Beispielen stehen die Variablen im Nenner. Das bedeutet, dass Sie zunächst herausfinden müssen, für welche Werte die Gleichungen definiert sind. Dazu müssen Sie Zahlen ausschließen, bei denen die Nenner auf Null gehen. Im ersten der Beispiele ist es "-4", im zweiten "-3". Das heißt, diese Werte sollten von der Antwort ausgeschlossen werden. Danach müssen Sie beide Seiten der Gleichheit mit den Ausdrücken im Nenner multiplizieren.

Wenn man die Klammern öffnet und ähnliche Terme bringt, stellt sich in der ersten dieser Gleichungen heraus: 5x + 15 = 4x + 16 und in der zweiten 5x + 15 = 4x + 12. Nach Transformationen ist die Lösung der ersten Gleichung x = -1. Die zweite stellt sich als gleich „-3“ heraus, was bedeutet, dass die letzte keine Lösungen hat.

Zweite Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: -7x + 2y = 5.

Angenommen, die erste Unbekannte x \u003d 1, dann nimmt die Gleichung die Form -7 * 1 + 2y \u003d 5 an. Wenn Sie den Multiplikator "-7" auf die rechte Seite der Gleichheit übertragen und sein Vorzeichen in Plus ändern, dreht er sich um heraus, dass 2y \u003d 12. Also y =6. Antwort: eine der Lösungen der Gleichung x = 1, y = 6.

Allgemeine Form der Ungleichung mit einer Variablen

Alle möglichen Situationen für Ungleichheiten werden hier vorgestellt:

• a * x > b;
• Axt< в;
• a*x≥v;
• a * x ≤c.

Im Allgemeinen sieht es aus wie die einfachste lineare Gleichung, nur das Gleichheitszeichen wird durch eine Ungleichung ersetzt.

Regeln für identische Transformationen von Ungleichungen

Genau wie lineare Gleichungen können Ungleichungen nach bestimmten Gesetzen modifiziert werden. Sie kommen darauf hinaus:

1. jeder wörtliche oder numerische Ausdruck kann dem linken und rechten Teil der Ungleichung hinzugefügt werden, und das Ungleichheitszeichen bleibt gleich;
2. es ist auch möglich mit derselben positiven Zahl zu multiplizieren oder zu dividieren, auch hier ändert sich das Vorzeichen nicht;
3. beim Multiplizieren oder Dividieren mit derselben negativen Zahl bleibt die Gleichheit wahr, vorausgesetzt, das Ungleichheitszeichen wird umgekehrt.

Allgemeine Form doppelter Ungleichungen

In Aufgaben können folgende Varianten von Ungleichungen dargestellt werden:

• in< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• in< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Es heißt doppelt, weil es auf beiden Seiten durch Ungleichheitszeichen begrenzt ist. Sie wird nach den gleichen Regeln wie die üblichen Ungleichungen gelöst. Und um die Antwort zu finden, kommt es auf eine Reihe identischer Transformationen an. Bis das Einfachste erreicht ist.

Merkmale zum Lösen doppelter Ungleichungen

Das erste davon ist sein Bild auf der Koordinatenachse. Für einfache Ungleichungen ist diese Methode nicht erforderlich. Aber in schwierigen Fällen kann es einfach notwendig sein.

Um die Ungleichheit darzustellen, müssen alle Punkte, die während der Argumentation erhalten wurden, auf der Achse markiert werden. Dies sind sowohl ungültige Werte, die durch Punkte gekennzeichnet sind, als auch Werte aus Ungleichungen, die nach Transformationen erhalten werden. Auch hier ist es wichtig, die Punkte richtig zu zeichnen. Wenn die Ungleichheit streng ist, dann< или >, dann werden diese Werte punktiert. Bei nicht strengen Ungleichungen müssen die Punkte übermalt werden.

Dann ist es notwendig, die Bedeutung von Ungleichungen anzugeben. Dies kann mit Schraffuren oder Bögen erfolgen. Ihr Schnittpunkt zeigt die Antwort an.

Das zweite Merkmal bezieht sich auf seine Aufzeichnung. Hier werden zwei Optionen angeboten. Die erste ist die ultimative Ungleichheit. Die zweite ist in Form von Lücken. Hier gerät er in Schwierigkeiten. Die Antwort in Lücken sieht immer wie eine Variable mit einem Eigentumszeichen und Klammern mit Zahlen aus. Manchmal gibt es mehrere Lücken, dann müssen Sie das Symbol „und“ zwischen die Klammern schreiben. Diese Zeichen sehen so aus: ∈ und ∩. Auch die Abstandshalter spielen eine Rolle. Rund wird platziert, wenn der Punkt aus der Antwort ausgeschlossen wird, und Rechteck schließt diesen Wert ein. Das Unendlichkeitszeichen steht immer in Klammern.

Beispiele zum Lösen von Ungleichungen

1. Lösen Sie die Ungleichung 7 - 5x ≥ 37.

Nach einfachen Transformationen stellt sich heraus: -5x ≥ 30. Durch Division durch „-5“ erhalten Sie folgenden Ausdruck: x ≤ -6. Dies ist bereits eine Antwort, kann aber auch anders geschrieben werden: x ∈ (-∞; -6].

2. Lösen Sie die doppelte Ungleichung -4< 2x + 6 ≤ 8.

Zuerst müssen Sie überall 6 subtrahieren, es stellt sich heraus: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Gleichungssysteme werden in der Wirtschaftsbranche häufig zur mathematischen Modellierung verschiedener Prozesse verwendet. Zum Beispiel bei der Lösung von Problemen der Produktionssteuerung und -planung, Logistikrouten (Transportproblem) oder der Geräteplatzierung.

Gleichungssysteme werden nicht nur auf dem Gebiet der Mathematik, sondern auch in der Physik, Chemie und Biologie verwendet, wenn es darum geht, Probleme bei der Bestimmung der Populationsgröße zu lösen.

Ein lineares Gleichungssystem ist ein Begriff für zwei oder mehr Gleichungen mit mehreren Variablen, für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden muss. Eine solche Zahlenfolge, für die alle Gleichungen wahre Gleichheiten werden oder beweisen, dass die Folge nicht existiert.

Lineargleichung

Gleichungen der Form ax+by=c heißen linear. Die Bezeichnungen x, y sind die Unbekannten, deren Wert gefunden werden muss, b, a sind die Koeffizienten der Variablen, c ist der freie Term der Gleichung.
Das Lösen der Gleichung durch Auftragen ihres Graphen sieht aus wie eine gerade Linie, deren alle Punkte die Lösung des Polynoms sind.

Arten von Systemen linearer Gleichungen

Die einfachsten sind Beispiele für lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen X und Y.

F1(x, y) = 0 und F2(x, y) = 0, wobei F1,2 Funktionen und (x, y) Funktionsvariablen sind.

Lösen Sie ein Gleichungssystem - es bedeutet, solche Werte (x, y) zu finden, für die das System eine echte Gleichheit wird, oder festzustellen, dass es keine geeigneten Werte von x und y gibt.

Ein Wertepaar (x, y), geschrieben als Punktkoordinaten, wird als Lösung eines linearen Gleichungssystems bezeichnet.

Wenn die Systeme eine gemeinsame Lösung haben oder es keine Lösung gibt, werden sie als äquivalent bezeichnet.

Homogene lineare Gleichungssysteme sind Systeme, deren rechte Seite gleich Null ist. Wenn der rechte Teil nach dem Gleichheitszeichen einen Wert hat oder durch eine Funktion ausgedrückt wird, ist ein solches System nicht homogen.

Die Anzahl der Variablen kann viel mehr als zwei sein, dann sollten wir über ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit drei oder mehr Variablen sprechen.

Angesichts von Systemen gehen Schulkinder davon aus, dass die Anzahl der Gleichungen zwangsläufig mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmen muss, aber dem ist nicht so. Die Anzahl der Gleichungen im System hängt nicht von den Variablen ab, es kann beliebig viele davon geben.

Einfache und komplexe Methoden zum Lösen von Gleichungssystemen

Es gibt keinen allgemeinen analytischen Weg, um solche Systeme zu lösen, alle Methoden basieren auf numerischen Lösungen. Der Schulmathematikkurs beschreibt ausführlich Methoden wie Permutation, algebraische Addition, Substitution, sowie die Graphik- und Matrixmethode, die Lösung nach Gauß.

Die Hauptaufgabe bei der Vermittlung von Lösungsmethoden besteht darin, zu lehren, wie man das System richtig analysiert und für jedes Beispiel den optimalen Lösungsalgorithmus findet. Die Hauptsache ist nicht, sich ein System von Regeln und Aktionen für jede Methode zu merken, sondern die Prinzipien der Anwendung einer bestimmten Methode zu verstehen.

Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme der 7. Klasse des allgemeinbildenden Schulprogramms ist recht einfach und wird ausführlich erklärt. In jedem mathematischen Lehrbuch wird diesem Abschnitt genügend Aufmerksamkeit geschenkt. Die Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Methode von Gauß und Cramer wird in den ersten Kursen der Hochschulen näher untersucht.

Lösung von Systemen nach der Substitutionsmethode

Die Aktionen der Substitutionsmethode zielen darauf ab, den Wert einer Variablen durch die zweite auszudrücken. Der Ausdruck wird in die verbleibende Gleichung eingesetzt und dann auf eine einzelne Variablenform reduziert. Die Aktion wird abhängig von der Anzahl der Unbekannten im System wiederholt

Geben wir ein Beispiel für ein System linearer Gleichungen der 7. Klasse nach der Substitutionsmethode:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurde die Variable x durch F(X) = 7 + Y ausgedrückt. Der resultierende Ausdruck, der anstelle von X in die 2. Gleichung des Systems eingesetzt wurde, half dabei, eine Variable Y in der 2. Gleichung zu erhalten . Die Lösung dieses Beispiels bereitet keine Schwierigkeiten und erlaubt Ihnen, den Y-Wert zu erhalten.Der letzte Schritt besteht darin, die erhaltenen Werte zu überprüfen.

Es ist nicht immer möglich, ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems durch Substitution zu lösen. Die Gleichungen können komplex sein und der Ausdruck der Variablen in Bezug auf die zweite Unbekannte wird für weitere Berechnungen zu umständlich sein. Bei mehr als 3 Unbekannten im System ist die Substitutionslösung ebenfalls unpraktisch.

Lösung eines Beispiels eines Systems linearer inhomogener Gleichungen:

Lösung mit algebraischer Addition

Bei der Suche nach einer Lösung für Systeme nach der Additionsmethode werden Termweise Additionen und Multiplikationen von Gleichungen mit verschiedenen Zahlen durchgeführt. Das ultimative Ziel mathematischer Operationen ist eine Gleichung mit einer Variablen.

Die Anwendung dieser Methode erfordert Übung und Beobachtung. Es ist nicht einfach, ein lineares Gleichungssystem mit der Additionsmethode mit der Anzahl der Variablen 3 oder mehr zu lösen. Die algebraische Addition ist nützlich, wenn die Gleichungen Brüche und Dezimalzahlen enthalten.

Lösungsaktionsalgorithmus:

1. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit einer Zahl. Als Ergebnis der arithmetischen Operation muss einer der Koeffizienten der Variablen gleich 1 werden.
2. Addieren Sie den resultierenden Ausdruck Term für Term und finden Sie eine der Unbekannten.
3. Setzen Sie den resultierenden Wert in die zweite Gleichung des Systems ein, um die verbleibende Variable zu finden.

Lösungsverfahren durch Einführung einer neuen Variablen

Eine neue Variable kann eingeführt werden, wenn das System eine Lösung für nicht mehr als zwei Gleichungen finden muss, die Anzahl der Unbekannten sollte auch nicht mehr als zwei betragen.

Das Verfahren wird verwendet, um eine der Gleichungen zu vereinfachen, indem eine neue Variable eingeführt wird. Die neue Gleichung wird bezüglich der eingegebenen Unbekannten gelöst und der resultierende Wert wird verwendet, um die ursprüngliche Variable zu bestimmen.

Aus dem Beispiel ist ersichtlich, dass es durch Einführung einer neuen Variablen t möglich war, die 1. Gleichung des Systems auf ein quadratisches Standardtrinom zu reduzieren. Sie können ein Polynom lösen, indem Sie die Diskriminante finden.

Es ist notwendig, den Wert der Diskriminante mit der bekannten Formel zu finden: D = b2 - 4*a*c, wobei D die gesuchte Diskriminante ist, b, a, c die Multiplikatoren des Polynoms sind. Im gegebenen Beispiel ist a=1, b=16, c=39, also D=100. Wenn die Diskriminante größer als Null ist, dann gibt es zwei Lösungen: t = -b±√D / 2*a, wenn die Diskriminante kleiner als Null ist, dann gibt es nur eine Lösung: x= -b / 2*a.

Die Lösung für die resultierenden Systeme wird durch die Additionsmethode gefunden.

Eine visuelle Methode zum Lösen von Systemen

Geeignet für Systeme mit 3 Gleichungen. Das Verfahren besteht darin, Graphen jeder im System enthaltenen Gleichung auf der Koordinatenachse aufzuzeichnen. Die Koordinaten der Schnittpunkte der Kurven sind die allgemeine Lösung des Systems.

Die grafische Methode hat eine Reihe von Nuancen. Betrachten Sie einige Beispiele für die visuelle Lösung von linearen Gleichungssystemen.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich, wurden für jede Linie zwei Punkte konstruiert, die Werte der Variablen x wurden willkürlich gewählt: 0 und 3. Basierend auf den Werten von x wurden die Werte für y gefunden: 3 und 0. Punkte mit den Koordinaten (0, 3) und (3, 0) wurden in der Grafik markiert und durch eine Linie verbunden.

Die Schritte müssen für die zweite Gleichung wiederholt werden. Der Schnittpunkt der Geraden ist die Lösung des Systems.

Im folgenden Beispiel soll eine grafische Lösung für das lineare Gleichungssystem gefunden werden: 0,5x-y+2=0 und 0,5x-y-1=0.

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, hat das System keine Lösung, da die Graphen parallel sind und sich nicht auf ihrer ganzen Länge schneiden.

Die Systeme aus den Beispielen 2 und 3 sind ähnlich, aber wenn sie konstruiert sind, wird es offensichtlich, dass ihre Lösungen unterschiedlich sind. Es sollte daran erinnert werden, dass es nicht immer möglich ist zu sagen, ob das System eine Lösung hat oder nicht, es ist immer notwendig, einen Graphen zu erstellen.

Matrix und seine Sorten

Matrizen werden verwendet, um ein lineares Gleichungssystem kurz niederzuschreiben. Eine Matrix ist eine spezielle Art von Tabelle, die mit Zahlen gefüllt ist. n*m hat n - Zeilen und m - Spalten.

Eine Matrix ist quadratisch, wenn die Anzahl der Spalten und Zeilen gleich ist. Ein Matrix-Vektor ist eine einspaltige Matrix mit unendlich vielen Zeilen. Eine Matrix mit Einheiten entlang einer der Diagonalen und anderen Nullelementen wird als Identität bezeichnet.

Eine inverse Matrix ist eine solche Matrix, bei deren Multiplikation die ursprüngliche zu einer Einheit wird, eine solche Matrix existiert nur für die ursprüngliche quadratische.

Regeln zur Transformation eines Gleichungssystems in eine Matrix

Bei Gleichungssystemen werden die Koeffizienten und freien Glieder der Gleichungen als Zahlen der Matrix geschrieben, eine Gleichung ist eine Zeile der Matrix.

Eine Matrixzeile heißt ungleich Null, wenn mindestens ein Element der Zeile ungleich Null ist. Wenn sich also in einer der Gleichungen die Anzahl der Variablen unterscheidet, muss anstelle der fehlenden Unbekannten Null eingegeben werden.

Die Spalten der Matrix müssen genau den Variablen entsprechen. Das bedeutet, dass die Koeffizienten der Variablen x nur in eine Spalte geschrieben werden können, zum Beispiel die erste, die Koeffizienten der Unbekannten y – nur in die zweite.

Beim Multiplizieren einer Matrix werden alle Matrixelemente nacheinander mit einer Zahl multipliziert.

Optionen zum Finden der inversen Matrix

Die Formel zum Finden der inversen Matrix ist ganz einfach: K -1 = 1 / |K|, wobei K -1 die inverse Matrix und |K| ist - Matrixdeterminante. |K| nicht gleich Null sein muss, dann hat das System eine Lösung.

Für eine Zwei-mal-Zwei-Matrix lässt sich die Determinante leicht berechnen, es müssen nur die Elemente diagonal miteinander multipliziert werden. Für die Option „drei mal drei“ gibt es eine Formel |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + ein 3 b 2 c 1 . Sie können die Formel verwenden oder sich daran erinnern, dass Sie aus jeder Zeile und jeder Spalte ein Element nehmen müssen, damit sich die Spalten- und Zeilennummern der Elemente im Produkt nicht wiederholen.

Lösung von Beispielen linearer Gleichungssysteme nach der Matrixmethode

Das Matrixverfahren zur Lösungsfindung ermöglicht es, umständliche Eingaben beim Lösen von Systemen mit vielen Variablen und Gleichungen zu reduzieren.

Im Beispiel sind a nm die Koeffizienten der Gleichungen, die Matrix ist ein Vektor x n sind die Variablen und b n sind die freien Terme.

Lösung von Systemen nach der Gauß-Methode

In der höheren Mathematik wird die Gauß-Methode zusammen mit der Cramer-Methode untersucht, und der Prozess, eine Lösung für Systeme zu finden, wird als Gauß-Cramer-Lösungsmethode bezeichnet. Diese Methoden werden verwendet, um die Variablen von Systemen mit einer großen Anzahl linearer Gleichungen zu finden.

Die Gaußsche Methode ist Substitutions- und algebraischen Additionslösungen sehr ähnlich, aber systematischer. Im Schulkurs wird die Gaußsche Lösung für 3er- und 4er-Gleichungssysteme verwendet. Der Zweck des Verfahrens besteht darin, das System in die Form eines umgekehrten Trapezes zu bringen. Durch algebraische Transformationen und Substitutionen wird der Wert einer Variablen in einer der Gleichungen des Systems gefunden. Die zweite Gleichung ist ein Ausdruck mit 2 Unbekannten und 3 und 4 - mit 3 bzw. 4 Variablen.

Nachdem das System in die beschriebene Form gebracht wurde, reduziert sich die weitere Lösung auf das sequentielle Einsetzen bekannter Variablen in die Gleichungen des Systems.

In Schulbüchern für die 7. Klasse wird ein Beispiel für eine Gaußsche Lösung wie folgt beschrieben:

Wie aus dem Beispiel ersichtlich ist, wurden in Schritt (3) zwei Gleichungen erhalten, 3 x 3 - 2 x 4 = 11 und 3 x 3 + 2 x 4 = 7. Die Lösung einer der Gleichungen ermöglicht es Ihnen, eine der Variablen x n herauszufinden.

Satz 5, der im Text erwähnt wird, besagt, dass, wenn eine der Gleichungen des Systems durch eine äquivalente ersetzt wird, das resultierende System auch dem ursprünglichen äquivalent sein wird.

Die Gauss-Methode ist für Mittelschüler schwer verständlich, aber eine der interessantesten Möglichkeiten, den Einfallsreichtum von Kindern im Aufbaustudiengang im Mathematik- und Physikunterricht zu fördern.

Zur Erleichterung der Aufzeichnung von Berechnungen ist es üblich, Folgendes zu tun:

Gleichungskoeffizienten und freie Terme werden in Form einer Matrix geschrieben, wobei jede Zeile der Matrix einer der Gleichungen des Systems entspricht. trennt die linke Seite der Gleichung von der rechten Seite. Römische Ziffern bezeichnen die Anzahl der Gleichungen im System.

Zuerst schreiben sie die Matrix auf, mit der sie arbeiten, dann alle Aktionen, die mit einer der Zeilen ausgeführt werden. Die resultierende Matrix wird nach dem "Pfeil" -Zeichen geschrieben und führt die erforderlichen algebraischen Operationen fort, bis das Ergebnis erreicht ist.

Als Ergebnis sollte eine Matrix erhalten werden, in der eine der Diagonalen 1 ist und alle anderen Koeffizienten gleich Null sind, dh die Matrix wird auf eine einzige Form reduziert. Wir dürfen nicht vergessen, mit den Zahlen auf beiden Seiten der Gleichung zu rechnen.

Diese Notation ist weniger umständlich und lässt Sie nicht durch die Auflistung zahlreicher Unbekannter abgelenkt werden.

Die freie Anwendung jeder Lösungsmethode erfordert Sorgfalt und ein gewisses Maß an Erfahrung. Nicht alle Methoden werden angewendet. Einige Wege, Lösungen zu finden, sind in einem bestimmten Bereich menschlicher Aktivität vorzuziehen, während andere zum Zweck des Lernens existieren.

Das Lösen von Gleichungen zu lernen, ist eine der Hauptaufgaben, die die Algebra den Schülern stellt. Beginnend mit dem Einfachsten, wenn es aus einem Unbekannten besteht, und weiter zu immer komplexeren. Wenn Sie die auszuführenden Aktionen mit den Gleichungen aus der ersten Gruppe nicht beherrschen, wird es schwierig, mit anderen umzugehen.

Um das Gespräch fortzusetzen, müssen wir uns auf die Notation einigen.

Allgemeine Form einer linearen Gleichung mit einer Unbekannten und das Prinzip ihrer Lösung

Jede Gleichung, die wie folgt geschrieben werden kann:

a * x = ein,

namens linear. Dies ist die allgemeine Formel. Aber oft werden lineare Gleichungen in Aufgaben in einer impliziten Form geschrieben. Dann müssen identische Transformationen durchgeführt werden, um eine allgemein akzeptierte Notation zu erhalten. Diese Aktionen umfassen:

• öffnende Klammern;
• Verschieben aller Terme mit einem variablen Wert auf die linke Seite der Gleichheit und den Rest nach rechts;
• Reduzierung gleicher Terme.

Wenn sich im Nenner eines Bruchs ein unbekannter Wert befindet, müssen dessen Werte bestimmt werden, für die der Ausdruck keinen Sinn ergibt. Mit anderen Worten, es soll den Definitionsbereich der Gleichung kennen.

Das Prinzip, nach dem alle linearen Gleichungen gelöst werden, besteht darin, den Wert auf der rechten Seite der Gleichung durch den Koeffizienten vor der Variablen zu dividieren. Das heißt, "x" ist gleich / a.

Sonderfälle einer linearen Gleichung und ihre Lösungen

Während des Denkens kann es Momente geben, in denen lineare Gleichungen eine der speziellen Formen annehmen. Jeder von ihnen hat eine spezifische Lösung.

In der ersten Situation:

a * x = 0, und a ≠ 0.

Die Lösung dieser Gleichung ist immer x = 0.

Im zweiten Fall nimmt "a" den Wert gleich Null an:

0 * x = 0.

Die Antwort auf diese Gleichung ist eine beliebige Zahl. Das heißt, es hat unendlich viele Wurzeln.

Die dritte Situation sieht so aus:

0*x=Zoll, wobei in ≠ 0.

Diese Gleichung ergibt keinen Sinn. Denn es gibt keine Wurzeln, die ihn zufrieden stellen.

Allgemeine Form einer linearen Gleichung mit zwei Variablen

Aus seinem Namen wird deutlich, dass in ihm bereits zwei Unbekannte stecken. Lineare Gleichungen mit zwei Variablen sieht aus wie das:

a * x + b * y = c.

Da der Eintrag zwei Unbekannte enthält, sieht die Antwort wie ein Zahlenpaar aus. Das heißt, es reicht nicht aus, nur einen Wert anzugeben. Dies wird eine unvollständige Antwort sein. Das Größenpaar, bei dem die Gleichung zur Identität wird, ist eine Lösung der Gleichung. Außerdem wird in der Antwort immer zuerst die Variable geschrieben, die im Alphabet an erster Stelle steht. Es wird manchmal gesagt, dass ihn diese Zahlen zufrieden stellen. Darüber hinaus kann es unendlich viele solcher Paare geben.

Wie löst man eine lineare Gleichung mit zwei Unbekannten?

Dazu müssen Sie nur ein beliebiges Zahlenpaar auswählen, das sich als richtig herausstellt. Der Einfachheit halber kannst du eine der Unbekannten gleich einer Primzahl nehmen und dann die zweite finden.

Beim Lösen müssen Sie oft Aktionen ausführen, um die Gleichung zu vereinfachen. Sie werden identische Transformationen genannt. Außerdem gelten für Gleichungen immer folgende Eigenschaften:

• jeder Term kann auf den entgegengesetzten Teil der Gleichheit übertragen werden, indem sein Vorzeichen durch das entgegengesetzte ersetzt wird;
• Die linke und die rechte Seite jeder Gleichung dürfen durch dieselbe Zahl geteilt werden, wenn sie nicht gleich Null ist.

Beispiele für Aufgaben mit linearen Gleichungen

Erste Aufgabe. Lineare Gleichungen lösen: 4x \u003d 20, 8 (x - 1) + 2x \u003d 2 (4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

In der Gleichung, die in dieser Liste an erster Stelle steht, reicht es aus, einfach 20 durch 4 zu teilen. Das Ergebnis ist 5. Dies ist die Antwort: x \u003d 5.

Die dritte Gleichung erfordert, dass die Identitätstransformation durchgeführt wird. Es wird darin bestehen, Klammern zu öffnen und ähnliche Begriffe zu verwenden. Nach der ersten Aktion hat die Gleichung die Form: 8x - 8 + 2x \u003d 8 - 4x. Dann müssen Sie alle Unbekannten auf die linke Seite der Gleichheit und den Rest auf die rechte Seite übertragen. Die Gleichung sieht folgendermaßen aus: 8x + 2x + 4x \u003d 8 + 8. Nach dem Bringen gleicher Terme: 14x \u003d 16. Jetzt sieht es genauso aus wie das erste und seine Lösung ist einfach. Die Antwort ist x=8/7. Aber in der Mathematik soll es den ganzen Teil von einem unechten Bruch trennen. Dann wird das Ergebnis transformiert und "x" ist gleich einem Ganzen und einem Siebtel.

In den restlichen Beispielen stehen die Variablen im Nenner. Das bedeutet, dass Sie zunächst herausfinden müssen, für welche Werte die Gleichungen definiert sind. Dazu müssen Sie Zahlen ausschließen, bei denen die Nenner auf Null gehen. Im ersten der Beispiele ist es "-4", im zweiten "-3". Das heißt, diese Werte sollten von der Antwort ausgeschlossen werden. Danach müssen Sie beide Seiten der Gleichheit mit den Ausdrücken im Nenner multiplizieren.

Wenn man die Klammern öffnet und ähnliche Terme bringt, stellt sich in der ersten dieser Gleichungen heraus: 5x + 15 = 4x + 16 und in der zweiten 5x + 15 = 4x + 12. Nach Transformationen ist die Lösung der ersten Gleichung x = -1. Die zweite stellt sich als gleich „-3“ heraus, was bedeutet, dass die letzte keine Lösungen hat.

Zweite Aufgabe. Lösen Sie die Gleichung: -7x + 2y = 5.

Angenommen, die erste Unbekannte x \u003d 1, dann nimmt die Gleichung die Form -7 * 1 + 2y \u003d 5 an. Wenn Sie den Multiplikator "-7" auf die rechte Seite der Gleichheit übertragen und sein Vorzeichen in Plus ändern, dreht er sich um heraus, dass 2y \u003d 12. Also y =6. Antwort: eine der Lösungen der Gleichung x = 1, y = 6.

Allgemeine Form der Ungleichung mit einer Variablen

Alle möglichen Situationen für Ungleichheiten werden hier vorgestellt:

• a * x > b;
• Axt< в;
• a*x≥v;
• a * x ≤c.

Im Allgemeinen sieht es aus wie die einfachste lineare Gleichung, nur das Gleichheitszeichen wird durch eine Ungleichung ersetzt.

Regeln für identische Transformationen von Ungleichungen

Genau wie lineare Gleichungen können Ungleichungen nach bestimmten Gesetzen modifiziert werden. Sie kommen darauf hinaus:

1. jeder wörtliche oder numerische Ausdruck kann dem linken und rechten Teil der Ungleichung hinzugefügt werden, und das Ungleichheitszeichen bleibt gleich;
2. es ist auch möglich mit derselben positiven Zahl zu multiplizieren oder zu dividieren, auch hier ändert sich das Vorzeichen nicht;
3. beim Multiplizieren oder Dividieren mit derselben negativen Zahl bleibt die Gleichheit wahr, vorausgesetzt, das Ungleichheitszeichen wird umgekehrt.

Allgemeine Form doppelter Ungleichungen

In Aufgaben können folgende Varianten von Ungleichungen dargestellt werden:

• in< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• in< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Es heißt doppelt, weil es auf beiden Seiten durch Ungleichheitszeichen begrenzt ist. Sie wird nach den gleichen Regeln wie die üblichen Ungleichungen gelöst. Und um die Antwort zu finden, kommt es auf eine Reihe identischer Transformationen an. Bis das Einfachste erreicht ist.

Merkmale zum Lösen doppelter Ungleichungen

Das erste davon ist sein Bild auf der Koordinatenachse. Für einfache Ungleichungen ist diese Methode nicht erforderlich. Aber in schwierigen Fällen kann es einfach notwendig sein.

Um die Ungleichheit darzustellen, müssen alle Punkte, die während der Argumentation erhalten wurden, auf der Achse markiert werden. Dies sind sowohl ungültige Werte, die durch Punkte gekennzeichnet sind, als auch Werte aus Ungleichungen, die nach Transformationen erhalten werden. Auch hier ist es wichtig, die Punkte richtig zu zeichnen. Wenn die Ungleichheit streng ist, dann< или >, dann werden diese Werte punktiert. Bei nicht strengen Ungleichungen müssen die Punkte übermalt werden.

Dann ist es notwendig, die Bedeutung von Ungleichungen anzugeben. Dies kann mit Schraffuren oder Bögen erfolgen. Ihr Schnittpunkt zeigt die Antwort an.

Das zweite Merkmal bezieht sich auf seine Aufzeichnung. Hier werden zwei Optionen angeboten. Die erste ist die ultimative Ungleichheit. Die zweite ist in Form von Lücken. Hier gerät er in Schwierigkeiten. Die Antwort in Lücken sieht immer wie eine Variable mit einem Eigentumszeichen und Klammern mit Zahlen aus. Manchmal gibt es mehrere Lücken, dann müssen Sie das Symbol „und“ zwischen die Klammern schreiben. Diese Zeichen sehen so aus: ∈ und ∩. Auch die Abstandshalter spielen eine Rolle. Rund wird platziert, wenn der Punkt aus der Antwort ausgeschlossen wird, und Rechteck schließt diesen Wert ein. Das Unendlichkeitszeichen steht immer in Klammern.

Beispiele zum Lösen von Ungleichungen

1. Lösen Sie die Ungleichung 7 - 5x ≥ 37.

Nach einfachen Transformationen stellt sich heraus: -5x ≥ 30. Durch Division durch „-5“ erhalten Sie folgenden Ausdruck: x ≤ -6. Dies ist bereits eine Antwort, kann aber auch anders geschrieben werden: x ∈ (-∞; -6].

2. Lösen Sie die doppelte Ungleichung -4< 2x + 6 ≤ 8.

Zuerst müssen Sie überall 6 subtrahieren, es stellt sich heraus: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Und so weiter, es ist logisch, sich mit Gleichungen anderer Art vertraut zu machen. Als nächstes in der Reihe sind lineare Gleichungen, deren zielgerichtetes Studium im Algebraunterricht der 7. Klasse beginnt.

Es ist klar, dass Sie zuerst erklären müssen, was eine lineare Gleichung ist, eine Definition einer linearen Gleichung und ihrer Koeffizienten geben und ihre allgemeine Form zeigen müssen. Dann können Sie herausfinden, wie viele Lösungen eine lineare Gleichung in Abhängigkeit von den Werten der Koeffizienten hat und wie die Wurzeln gefunden werden. Dies ermöglicht es Ihnen, mit der Lösung von Beispielen fortzufahren und dadurch die erlernte Theorie zu festigen. In diesem Artikel werden wir dies tun: Wir werden ausführlich auf alle theoretischen und praktischen Punkte in Bezug auf lineare Gleichungen und ihre Lösung eingehen.

Nehmen wir gleich an, dass wir hier nur lineare Gleichungen mit einer Variablen betrachten und in einem separaten Artikel die Lösungsprinzipien untersuchen werden lineare Gleichungen in zwei Variablen.

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Was ist eine lineare Gleichung?

Die Definition einer linearen Gleichung ist durch die Form ihrer Notation gegeben. Darüber hinaus weisen die Formulierungen der Definitionen linearer Gleichungen in verschiedenen Lehrbüchern der Mathematik und Algebra einige Unterschiede auf, die den Kern des Problems nicht beeinträchtigen.

Beispielsweise wird in einem Algebra-Lehrbuch für die 7. Klasse von Yu. N. Makarycheva und anderen eine lineare Gleichung wie folgt definiert:

Definition.

Gleichung eingeben ax=b, wobei x eine Variable ist, a und b Zahlen sind, heißt lineare Gleichung mit einer Variablen.

Lassen Sie uns Beispiele für lineare Gleichungen geben, die der stimmhaften Definition entsprechen. Zum Beispiel ist 5 x=10 eine lineare Gleichung mit einer Variablen x , hier ist der Koeffizient a 5 und die Zahl b ist 10 . Ein weiteres Beispiel: −2.3 y=0 ist ebenfalls eine lineare Gleichung, aber mit der Variablen y , wobei a=−2.3 und b=0 . Und in den linearen Gleichungen x=−2 und −x=3.33 ist a nicht explizit vorhanden und gleich 1 bzw. −1, während in der ersten Gleichung b=−2 und in der zweiten - b=3.33 .

Und ein Jahr zuvor wurden im Lehrbuch der Mathematik von N. Ya Vilenkin neben Gleichungen der Form a x = b auch lineare Gleichungen mit einer Unbekannten als Gleichungen betrachtet, die durch Übertragen von Termen von einer auf diese Form reduziert werden können Teil der Gleichung in einen anderen mit entgegengesetztem Vorzeichen sowie durch Reduktion gleicher Terme. Nach dieser Definition sind Gleichungen der Form 5 x=2 x+6 usw. sind ebenfalls linear.

Im Algebra-Lehrbuch für 7 Klassen von A. G. Mordkovich findet sich wiederum die folgende Definition:

Definition.

Lineare Gleichung mit einer Variablen x ist eine Gleichung der Form a x+b=0 , wobei a und b Zahlen sind, die als Koeffizienten der linearen Gleichung bezeichnet werden.

Beispielsweise sind solche linearen Gleichungen 2 x−12=0, hier ist der Koeffizient a gleich 2 und b gleich −12 und 0,2 y+4,6=0 mit den Koeffizienten a=0,2 und b=4,6. Aber gleichzeitig gibt es Beispiele für lineare Gleichungen, die nicht die Form a x+b=0 haben, sondern a x=b , zum Beispiel 3 x=12 .

Damit wir in Zukunft keine Unstimmigkeiten haben, verstehen wir unter einer linearen Gleichung mit einer Variablen x und den Koeffizienten a und b eine Gleichung der Form a x+b=0 . Diese Art von linearer Gleichung scheint am ehesten gerechtfertigt zu sein, da es lineare Gleichungen sind algebraische Gleichungen erster Abschluss. Und alle anderen oben angegebenen Gleichungen sowie Gleichungen, die mit Hilfe von äquivalenten Transformationen auf die Form a x + b = 0 gebracht werden, werden aufgerufen Gleichungen, die auf lineare Gleichungen reduziert werden. Bei diesem Ansatz ist die Gleichung 2 x+6=0 eine lineare Gleichung und 2 x=−6 , 4+25 y=6+24 y , 4 (x+5)=12 usw. sind lineare Gleichungen.

Wie löst man lineare Gleichungen?

Jetzt ist es an der Zeit herauszufinden, wie die linearen Gleichungen a x+b=0 gelöst werden. Mit anderen Worten, es ist Zeit herauszufinden, ob die lineare Gleichung Wurzeln hat, und wenn ja, wie viele und wie man sie findet.

Das Vorhandensein von Wurzeln einer linearen Gleichung hängt von den Werten der Koeffizienten a und b ab. In diesem Fall hat die lineare Gleichung a x+b=0

• die einzige Wurzel bei a≠0 ,
• hat keine Wurzeln für a=0 und b≠0 ,
• hat unendlich viele Wurzeln für a=0 und b=0 , in diesem Fall ist jede Zahl eine Wurzel einer linearen Gleichung.

Lassen Sie uns erklären, wie diese Ergebnisse erzielt wurden.

Wir wissen, dass man zur Lösung von Gleichungen von der ursprünglichen Gleichung zu äquivalenten Gleichungen übergehen kann, also zu Gleichungen mit denselben Wurzeln oder, wie die ursprüngliche, ohne Wurzeln. Dazu können Sie die folgenden äquivalenten Transformationen verwenden:

• Übertragung eines Terms von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit entgegengesetztem Vorzeichen,
• und auch das Multiplizieren oder Dividieren beider Seiten der Gleichung mit derselben Nicht-Null-Zahl.

In einer linearen Gleichung mit einer Variablen der Form a x+b=0 können wir also den Term b mit entgegengesetztem Vorzeichen von der linken auf die rechte Seite verschieben. In diesem Fall nimmt die Gleichung die Form a x=−b an.

Und dann bietet sich die Division beider Gleichungsteile durch die Zahl a an. Aber es gibt eine Sache: Die Zahl a kann gleich Null sein, dann ist eine solche Division unmöglich. Um dieses Problem zu lösen, nehmen wir zunächst an, dass die Zahl a von Null verschieden ist, und betrachten den Fall von Null a etwas später separat.

Also, wenn a ungleich Null ist, dann können wir beide Teile der Gleichung a x=−b durch a dividieren, danach wird es in die Form x=(−b) umgewandelt: a , dieses Ergebnis kann mit a geschrieben werden durchgezogene Linie als .

Somit ist für a≠0 die lineare Gleichung a·x+b=0 äquivalent zur Gleichung , aus der ihre Wurzel ersichtlich ist.

Es ist leicht zu zeigen, dass diese Wurzel eindeutig ist, das heißt, die lineare Gleichung hat keine anderen Wurzeln. Auf diese Weise können Sie die umgekehrte Methode ausführen.

Lassen Sie uns die Wurzel als x 1 bezeichnen. Angenommen, es gibt eine andere Wurzel der linearen Gleichung, die wir mit x 2 und x 2 ≠ x 1 bezeichnen, was aufgrund von Definitionen gleicher Zahlen durch die Differenz ist äquivalent zur Bedingung x 1 − x 2 ≠0 . Da x 1 und x 2 die Wurzeln der linearen Gleichung a x+b=0 sind, ergeben sich die Zahlengleichungen a x 1 +b=0 und a x 2 +b=0. Wir können die entsprechenden Teile dieser Gleichungen subtrahieren, was uns die Eigenschaften numerischer Gleichungen erlauben, wir haben a x 1 +b−(a x 2 +b)=0−0 , womit a (x 1 −x 2)+( b−b)=0 und dann a (x 1 − x 2)=0 . Und diese Gleichheit ist unmöglich, da sowohl a≠0 als auch x 1 − x 2 ≠0. Damit sind wir auf einen Widerspruch gestoßen, der die Eindeutigkeit der Wurzel der linearen Gleichung a·x+b=0 für a≠0 beweist.

Wir haben also die lineare Gleichung a x+b=0 mit a≠0 gelöst. Das erste Ergebnis zu Beginn dieses Unterabschnitts ist gerechtfertigt. Es gibt noch zwei weitere, die die Bedingung a=0 erfüllen.

Für a=0 wird die lineare Gleichung a·x+b=0 zu 0·x+b=0 . Aus dieser Gleichung und der Eigenschaft, Zahlen mit Null zu multiplizieren, folgt, dass wir, egal welche Zahl wir als x nehmen, wenn wir sie in die Gleichung 0 x+b=0 einsetzen, die numerische Gleichheit b=0 erhalten. Diese Gleichheit ist wahr, wenn b=0 ist, und in anderen Fällen, wenn b≠0, ist diese Gleichheit falsch.

Daher ist bei a=0 und b=0 eine beliebige Zahl die Wurzel der linearen Gleichung a x+b=0, da unter diesen Bedingungen das Ersetzen einer beliebigen Zahl anstelle von x die korrekte numerische Gleichheit 0=0 ergibt. Und für a = 0 und b ≠ 0 hat die lineare Gleichung a x + b = 0 keine Wurzeln, da unter diesen Bedingungen das Einsetzen einer beliebigen Zahl anstelle von x zu einer falschen numerischen Gleichheit b = 0 führt.

Die obigen Begründungen ermöglichen es, eine Abfolge von Aktionen zu bilden, die das Lösen einer beliebigen linearen Gleichung ermöglichen. So, Algorithmus zum Lösen einer linearen Gleichung ist:

• Zuerst finden wir durch Schreiben einer linearen Gleichung die Werte der Koeffizienten a und b.
• Wenn a=0 und b=0 , dann hat diese Gleichung unendlich viele Wurzeln, nämlich jede Zahl ist eine Wurzel dieser linearen Gleichung.
• Wenn a von Null verschieden ist, dann
• der Koeffizient b wird mit umgekehrtem Vorzeichen auf die rechte Seite übertragen, während die lineare Gleichung in die Form a x=−b transformiert wird,
• Danach werden beide Teile der resultierenden Gleichung durch eine Zahl a dividiert, die nicht Null ist, was die gewünschte Wurzel der ursprünglichen linearen Gleichung ergibt.

Der geschriebene Algorithmus ist eine erschöpfende Antwort auf die Frage, wie man lineare Gleichungen löst.

Zum Abschluss dieses Absatzes ist es erwähnenswert, dass ein ähnlicher Algorithmus verwendet wird, um Gleichungen der Form a x=b zu lösen. Der Unterschied liegt darin, dass bei a≠0 beide Gleichungsteile sofort durch diese Zahl dividiert werden, hier steht b bereits im gewünschten Gleichungsteil und muss nicht übertragen werden.

Um Gleichungen der Form a x=b zu lösen, wird der folgende Algorithmus verwendet:

• Wenn a=0 und b=0 , dann hat die Gleichung unendlich viele Wurzeln, die beliebige Zahlen sind.
• Wenn a=0 und b≠0 , dann hat die ursprüngliche Gleichung keine Wurzeln.
• Wenn a nicht null ist, werden beide Seiten der Gleichung durch eine Zahl a geteilt, die nicht null ist, woraus die einzige Wurzel der Gleichung gleich b / a gefunden wird.

Beispiele zum Lösen linearer Gleichungen

Fahren wir mit der Praxis fort. Lassen Sie uns analysieren, wie der Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungen angewendet wird. Lassen Sie uns Lösungen typischer Beispiele vorstellen, die verschiedenen Werten der Koeffizienten linearer Gleichungen entsprechen.

Beispiel.

Lösen Sie die lineare Gleichung 0 x−0=0 .

Entscheidung.

In dieser linearen Gleichung ist a=0 und b=−0 , was dasselbe ist wie b=0 . Daher hat diese Gleichung unendlich viele Wurzeln, jede Zahl ist die Wurzel dieser Gleichung.

Antworten:

x ist eine beliebige Zahl.

Beispiel.

Hat die lineare Gleichung 0 x+2.7=0 Lösungen?

Entscheidung.

In diesem Fall ist der Koeffizient a gleich Null, und der Koeffizient b dieser linearen Gleichung ist gleich 2,7, das heißt, er ist von Null verschieden. Daher hat die lineare Gleichung keine Wurzeln.