Vortrag 9

Analytische Geometrie im Raum.

Allgemeine Gleichung der Ebene.

Definition. Flugzeug heißt eine Fläche, deren Punkte alle die allgemeine Gleichung erfüllen:

Ax + By + Cz + D = 0,

wobei A, B, C die Koordinaten des Vektors -Vektor sind Normale zum Flugzeug.

Folgende Sonderfälle sind möglich:

A \u003d 0 - die Ebene ist parallel zur Ox-Achse

B \u003d 0 - die Ebene ist parallel zur Oy-Achse

C \u003d 0 - die Ebene ist parallel zur Oz-Achse

D = 0 - die Ebene geht durch den Ursprung

A \u003d B \u003d 0 - die Ebene ist parallel zur xOy-Ebene

A \u003d C \u003d 0 - die Ebene ist parallel zur xOz-Ebene

B = C = 0 - die Ebene ist parallel zur Ebene yOz

A \u003d D \u003d 0 - die Ebene verläuft durch die Ox-Achse

B \u003d D \u003d 0 - die Ebene verläuft durch die Oy-Achse

C \u003d D \u003d 0 - die Ebene verläuft durch die Achse Oz

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - die Ebene fällt mit der xOy-Ebene zusammen

A = C = D = 0 - die Ebene fällt mit der xOz-Ebene zusammen

B = C = D = 0 - die Ebene fällt mit der Ebene yOz zusammen

Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte geht.

Damit eine einzige Ebene durch drei beliebige Punkte im Raum gezogen werden kann, ist es notwendig, dass diese Punkte nicht auf einer geraden Linie liegen.

Betrachten Sie die Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) im kartesischen Koordinatensystem.

Damit ein beliebiger Punkt M(x, y, z) mit den Punkten M 1, M 2, M 3 in derselben Ebene liegt, müssen die Vektoren
waren koplanar, d.h. ihr Mischprodukt:

(
) = 0

Auf diese Weise,

Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte geht:

Gleichung einer Ebene, die durch zwei Punkte parallel zu einem Vektor verläuft.

Lassen Sie die Punkte M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) und den Vektor
.

Stellen wir die Gleichung der Ebene auf, die durch die gegebenen Punkte M 1 und M 2 und einen beliebigen Punkt M (x, y, z) parallel zum Vektor verläuft .

Vektoren
und Vektor
müssen koplanar sein, d.h.

(
) = 0

Ebenengleichung:

Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt verläuft, der parallel zu zwei Vektoren verläuft.

Gegeben seien zwei Vektoren
und
, kollineare Ebenen und Punkt M 1 (x 1, y 1, z 1). Dann für einen beliebigen Punkt M(x, y, z), der zur Ebene gehört, die Vektoren
müssen koplanar sein.

Ebenengleichung:

Gleichung einer Ebene, die durch einen Punkt verläuft, der senkrecht zum Vektor steht.

Satz. Wenn ein Punkt M 0 im Raum gegeben ist (x 0, y 0, z 0), dann ist die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt M 0 verläuft, senkrecht zum Normalenvektor (A, B, C) hat die Form:

EIN(x – x 0 ) + B(j – j 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Nachweisen. Für einen beliebigen Punkt M(x, y, z), der zur Ebene gehört, setzen wir einen Vektor zusammen. Da Vektor - der Normalenvektor, dann steht er senkrecht zur Ebene und damit senkrecht zum Vektor
. Dann das Skalarprodukt

= 0

Damit erhalten wir die Ebenengleichung

Der Satz ist bewiesen.

Gleichung einer Ebene in Segmenten.

Wenn in der allgemeinen Gleichung Ax + Wu + Cz + D = 0 ist, teilen Sie beide Teile durch -D

,

ersetzen
, erhalten wir die Ebenengleichung in Segmenten:

Die Zahlen a, b, c sind die Segmente, die von der Ebene am Schnittpunkt der x-, y- bzw. z-Achse des kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystems abgeschnitten werden.

Ebenengleichung in Vektorform.

wo

- Radius-Vektor des aktuellen Punktes M(x, y, z),

Ein Einheitsvektor, bei dem die Richtung der Senkrechten vom Ursprung auf die Ebene fällt.

,  und  sind die Winkel, die dieser Vektor mit den Achsen x, y, z bildet.

p ist die Länge dieser Senkrechten.

In Koordinaten hat diese Gleichung die Form:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Parametrische Ebenengleichung

Gegeben seien ein Punkt M 0 (x 0, y 0, z 0) und zwei nicht kollineare Vektoren im Raum

(S. 1, S. 2, S. 3) und (q1, q2, q3). Sei M(x, y, z) der aktuelle Punkt der Ebene. Da die Vektoren und nicht kollinear sind, dann bilden sie eine Basis auf der Ebene, in der wir den Vektor erweitern
=t+ s, wobei t,s Parameter sind. Lassen Sie uns ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem willkürlich so in die Ebene legen, dass die Achsen Ox und Oy in der Ebene liegen. Vom Mittelpunkt O zeichnen wir die Radiusvektoren zu den Punkten M 0 und M und . Dann
=-und

=+t+ s .

Dies ist eine parametrische Gleichung der Ebene in Vektorform und in Skalarform

x=x 0 + p 1 t + q 1 s

y=y 0 + p 2 t + q 2 s

z=z 0 + p 3 t + q 3 s

Der Abstand von einem Punkt zu einer Ebene.

Der Abstand von einem beliebigen Punkt M 0 (x 0, y 0, z 0) zur Ebene Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 beträgt:

Beispiel. Finden Sie die Gleichung der Ebene, wissend, dass der Punkt P (4; -3; 12) die Basis der Senkrechten ist, die vom Ursprung auf diese Ebene fällt.

Also A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, verwenden Sie die Formel:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Beispiel . Finden Sie die Gleichung einer Ebene, die durch zwei Punkte geht

P(2; 0; -1) und Q(1; -1; 3) stehen senkrecht auf der Ebene 3x + 2y - z + 5 = 0.

Normalenvektor zur Ebene 3x + 2y - z + 5 = 0
parallel zur gewünschten Ebene.

Wir bekommen:

Beispiel . Finden Sie die Gleichung der Ebene, die durch die Punkte A(2, -1, 4) und geht

Â(3, 2, -1) senkrecht zur Ebene X + bei + 2z – 3 = 0.

Die gesuchte Ebenengleichung hat die Form: A x+B j+C z+ D = 0, der Normalenvektor zu dieser Ebene (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) gehört zur Ebene. Die uns gegebene Ebene senkrecht zur gewünschten Ebene hat einen Normalenvektor (1, 1, 2). Da die Punkte A und B gehören zu beiden Ebenen, und die Ebenen stehen dann senkrecht aufeinander

Also der Normalvektor (11, -7, -2). Da Punkt A gehört zur gewünschten Ebene, dann müssen seine Koordinaten die Gleichung dieser Ebene erfüllen, d.h. 112 + 71 - 24 + D = 0; D = -21.

So erhalten wir die Gleichung der Ebene: 11 x - 7j – 2z – 21 = 0.

Beispiel . Finden Sie die Gleichung der Ebene, wissend, dass der Punkt P(4, -3, 12) die Basis der Senkrechten ist, die vom Ursprung auf diese Ebene fällt.

Ermitteln der Koordinaten des Normalenvektors
= (4, -3, 12). Die gesuchte Gleichung der Ebene hat die Form: 4 x – 3j + 12z+ D = 0. Um den Koeffizienten D zu finden, setzen wir die Koordinaten des Punktes Р in die Gleichung ein:

16 + 9 + 144 + D = 0

So erhalten wir die gewünschte Gleichung: 4 x – 3j + 12z – 169 = 0

Beispiel . Gegeben sind die Koordinaten der Ecken der Pyramide

A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1), A 4 (1; 2; 5).

Finden Sie die Länge der Kante A 1 A 2 .

Finden Sie den Winkel zwischen den Kanten A 1 A 2 und A 1 A 4.

Finden Sie den Winkel zwischen der Kante A 1 A 4 und der Fläche A 1 A 2 A 3 .

Finden Sie zuerst den Normalenvektor zum Gesicht A 1 A 2 A 3 - als Kreuzprodukt von Vektoren
und
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Finden Sie den Winkel zwischen dem Normalenvektor und dem Vektor
.

-4 – 4 = -8.

Der gewünschte Winkel  zwischen dem Vektor und der Ebene ist gleich  = 90 0 - .

Finden Sie den Bereich des Gesichts A 1 A 2 A 3 .

Finden Sie das Volumen der Pyramide.

Finden Sie die Gleichung der Ebene À 1 À 2 À 3 .

Wir verwenden die Formel für die Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte geht.

2x + 2y + 2z - 8 = 0

Oberflächengleichung im Raum

Definition. Jede Gleichung, die die x-, y-, z-Koordinaten eines beliebigen Punktes auf einer Oberfläche betrifft, ist eine Gleichung dieser Oberfläche.

Allgemeine Gleichung der Ebene

Definition. Eine Ebene ist eine Fläche, deren alle Punkte die allgemeine Gleichung erfüllen:

Ax + By + Cz + D = 0,

wobei A, B, C die Koordinaten des Vektors sind

der Normalenvektor zur Ebene. Folgende Sonderfälle sind möglich:

A \u003d 0 - die Ebene ist parallel zur Ox-Achse

B \u003d 0 - die Ebene ist parallel zur Oy-Achse

C \u003d 0 - die Ebene ist parallel zur Oz-Achse

D = 0 - die Ebene geht durch den Ursprung

A \u003d B \u003d 0 - die Ebene ist parallel zur xOy-Ebene

A \u003d C \u003d 0 - die Ebene ist parallel zur xOz-Ebene

B \u003d C \u003d 0 - die Ebene ist parallel zur Ebene yOz

A \u003d D \u003d 0 - die Ebene verläuft durch die Ox-Achse

B \u003d D \u003d 0 - die Ebene verläuft durch die Oy-Achse

C \u003d D \u003d 0 - die Ebene verläuft durch die Oz-Achse

A \u003d B \u003d D \u003d 0 - die Ebene fällt mit der xOy-Ebene zusammen

A \u003d C \u003d D \u003d 0 - die Ebene fällt mit der xOz-Ebene zusammen

B \u003d C \u003d D \u003d 0 - die Ebene fällt mit der Ebene yOz zusammen

Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte geht

Damit eine einzige Ebene durch drei beliebige Punkte im Raum gezogen werden kann, ist es notwendig, dass diese Punkte nicht auf einer geraden Linie liegen. Betrachten Sie die Punkte М1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) im allgemeinen kartesischen Koordinatensystem. Damit ein beliebiger Punkt M(x, y, z) in derselben Ebene wie die Punkte M1, M2, M3 liegt, müssen die Vektoren koplanar sein.

Auf diese Weise,

Gleichung einer Ebene, die durch drei Punkte geht:

Gleichung einer Ebene mit zwei Punkten und einem Vektor, der kollinear zur Ebene ist

Gegeben seien die Punkte M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2) und ein Vektor.

Stellen wir die Gleichung der Ebene auf, die durch die gegebenen Punkte M1 und M2 und einen beliebigen Punkt M(x, y, z) parallel zum Vektor verläuft.

Vektoren und der Vektor müssen koplanar sein, d.h.

Ebenengleichung:

Gleichung einer Ebene in Bezug auf einen Punkt und zwei Vektoren, die kollinear zur Ebene sind

Gegeben seien zwei Vektoren und kollineare Ebenen. Dann müssen für einen beliebigen Punkt M(x, y, z), der zur Ebene gehört, die Vektoren koplanar sein. Ebenengleichung:

Ebenengleichung nach Punkt und Normalenvektor

Satz. Wenn ein Punkt M0 (x0, y0, z0) im Raum gegeben ist, dann hat die Gleichung der Ebene, die durch den Punkt M0 senkrecht zum Normalenvektor (A, B, C) verläuft, die Form:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0.

Nachweisen. Für einen beliebigen Punkt M(x, y, z), der zur Ebene gehört, setzen wir einen Vektor zusammen. Da Vektor ein Normalenvektor ist, dann steht er senkrecht auf der Ebene und damit auch senkrecht auf dem Vektor. Dann das Skalarprodukt

Damit erhalten wir die Ebenengleichung

Der Satz ist bewiesen.

Die allgemeine Geradengleichung heißt Komplett, wenn alle ihre Koeffizienten ungleich 0 sind. Andernfalls wird die Gleichung aufgerufen unvollständig.

D=0 Ax+Vu+Сz=0- Flugzeug, durch den Koordinatenursprung gehen.

Die restlichen Fälle werden durch die Lage des Normalenvektors bestimmt n=( A; B; C).

A=0 Ву+Сz+D=0 ist die Gleichung der Ebene, parallele Achse Ox.(Weil der Normalenvektor n=( 0;B;C) steht senkrecht zur Ox-Achse).

B=0 Ah+Сz+D=0 - Ebenengleichung, parallel zur y-Achse.(Weil der Normalenvektor n=( A; 0; C) ist senkrecht zur Oy-Achse).

C=0 Ah + Wu+D=0 - Ebenengleichung, Parallelachse Oz. (Weil der Normalenvektor n=( A; B; 0) ist senkrecht zur Oz-Achse).

A=B=0 Сz+D=0 – z=-D/C – die Gleichung einer Ebene parallel zur Oxy-Ebene (weil diese Ebene parallel zu den Ox- und Oy-Achsen ist).

A=C=0 Wu+D=0 - y=-D/B- die Gleichung einer Ebene parallel zur Oxz-Ebene (weil diese Ebene parallel zu den Ox- und Oz-Achsen ist).

B=C=0 Ah+D=0 – x=-D/A- die Gleichung einer Ebene parallel zur Oyz-Ebene (weil diese Ebene parallel zu den Oy- und Oz-Achsen ist).

A=D=0 Von+Cz=0 - Gleichung der Ebene, die durch die x-Achse geht.

B=D=0 Ax+Cz=0 - Gleichung der Ebene, die durch die Oy-Achse geht.

A=B=D=0 Cz=0 (z=0) – Oxy-Koordinatenebene.(weil diese Ebene parallel zu Oxy ist und durch den Ursprung geht).

A=C=D=0 By=0 (y=0) – Koordinatenebene Охz.(weil diese Ebene parallel zu Oxz ist und durch den Ursprung geht).

B=C=D=0 ax=0 (x=0) – Koordinatenebene Оуz.(weil diese Ebene parallel zu Oyz ist und durch den Ursprung geht).

Gleichung einer Ebene, die durch drei gegebene Punkte geht.

Wir leiten die Gleichung einer Ebene ab, die durch 3 verschiedene Punkte M 1 (x 1; y 1; z 1), M 2 (x 2; y 2; z 2), M 3 (x 3; y 3; z 3) verläuft. , nicht auf einer geraden Linie liegend. Dann die Vektoren M 1 M 2 \u003d (x 2 -x 1; y 2 ​​​​-y 1; z 2 -z 1) und M 1 M 3 \u003d (x 3 -x 1; y 3 -y 1; z 3 -z 1) sind nicht kollinear. Daher liegt der Punkt M(x, y, z) genau dann in derselben Ebene mit den Punkten M 1 , M 2 und M 3 , wenn die Vektoren M 1 M 2 , M 1 M 3 und M 1 M\u003d (x-x 1; y-y 1; z-z 1) - koplanar, d.h.  wenn ihr Mischprodukt 0 ist

(M 1 MM 1 M 2 M 1 M 3 =0) , d.h.

(4) Gleichung einer Ebene, die durch 3 gegebene Punkte geht.

(Durch Erweitern der Determinante entlang der 1. Zeile und Vereinfachen erhalten wir die allgemeine Gleichung der Ebene: Ax + Vy + Cz + D \u003d 0).

Dass. drei Punkte definieren eindeutig eine Ebene.

Die Gleichung der Ebene in Segmenten auf den Achsen.

Die Ebene Π schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c).

M (x; y; z) ist ein variabler Punkt der Ebene.

M 1 M= (x-a; y; z)

M 1 M 2 =(0-а;b;0) definiert die gegebene Ebene

M 1 M 3 =(-a;0;c)

Diese. M 1 MM 1 M 2 M 1 M 3 =0

Lassen Sie uns die erste Zeile erweitern: (х-а)bc-y(-ac)+zab=xbc-abc+yac+zab=0

Teilen Sie die Gleichheit durch abc≠0. Wir bekommen:

(5) die Gleichung der Ebene in Segmenten auf den Achsen.

Gleichung (5) kann aus der allgemeinen Gleichung der Ebene erhalten werden, unter der Annahme, dass D≠0, dividiert durch D

Wenn –D/A=a, -D/B=b, -C/D=c bezeichnet wird, erhalten wir Gleichung 4.

Winkel zwischen zwei Ebenen. Bedingungen der Parallelität und Rechtwinkligkeit von Ebenen.

Der Winkel φ zwischen zwei Ebenen α 1 und α 2 wird durch einen flachen Winkel zwischen zwei Strahlen gemessen, die senkrecht zu der Linie stehen, entlang der sich diese Ebenen schneiden. Jeweils zwei sich schneidende Ebenen bilden zwei Winkel, die sich zu  summieren. Es genügt, einen dieser Winkel zu definieren.

Die Ebenen seien durch die allgemeinen Gleichungen gegeben:

 1 : EIN 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 =0

 2 : EIN 2 x+ B 2 j+ C 2 z+ D 2 =0

Betrachten Sie PDSC (O, ich,j,k) im Raum R 3 . Sei  eine Ebene und ein Vektor  N senkrecht zu a. Wir fixieren einen beliebigen Punkt M 0 auf der Ebene  und nehmen den aktuellen Punkt M des Raums. Bezeichne ` r =
und` r 0 =
. Dann
=`r – `r 0 , und der Punkt М genau dann, wenn die Vektoren ` N und
senkrecht. Letzteres ist möglich, wenn

N .
= 0, also  N . (`r-`r 0) = 0, (9)

Diese Gleichung heißt Vektorgleichung Flugzeuge. Vektor ` N genannt normal Ebene Vektor.

Wenn ein ` N =(ABER, BEI, AUS), M 0 ( X 0 , bei 0 , z 0) , M( X, bei, z) , dann nimmt Gleichung (9) die Form an

ABER( X – X 0) + B( bei – bei 0) + C( z – z 0) = 0, (10).

Diese Gleichung wird die Gleichung einer Ebene genannt, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft.

Zu Es ist bekannt, dass man durch drei Punkte eine Ebene ziehen kann. Sei M 1 ( X 1 , bei 1 , z 1), M3 ( X 2 , bei 2 , z 2), M3 ( X 3 , bei 3 , z 3). Finden wir die Gleichung dieser Ebene. Gemäß der Vektorgleichung (9) ist es zum Schreiben dieser Gleichung erforderlich, den Punkt der Ebene und den Normalenvektor zu kennen. Wir haben einen Punkt (zB M 1). Und als Normalenvektor reicht jeder Vektor senkrecht zu dieser Ebene. Es ist bekannt, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren senkrecht auf der Ebene steht, in der diese Vektoren liegen. Daher das Kreuzprodukt von Vektoren
und
kann als Normalenvektor der Ebene  angenommen werden:

` N =


Dann hat die Ebenengleichung  in Vektorform die Form

. (

) =
.
.
= 0.

(Beachten Sie, dass wir die Bedingung für die Komplanarität von Vektoren erhalten haben
,
,
).

Durch die Koordinaten der Punkte M 1, M 2, M 3 und M lässt sich diese Gleichung schreiben als

, (11)

und heißt Ebenengleichung, Durchlaufen von drei vorgegebenen Punkten M1 ( X 1 , bei 1 , z 1), M2 ( X 2 , bei 2 , z 2), M3 ( X 3 , bei 3 , z 3).

Betrachten Sie Gleichung (9) erneut, transformieren Sie sie:

Oh + Wu + cz +(–Oh 0 – Wu 0 – cz 0) = 0 ,

Oh + Wu + cz+D = 0, wobei D = (– Oh 0 – Wu 0 – cz 0) .

Die gleichung

Oh + Wu + cz+D = 0, (12)

genannt allgemeine Gleichung Flugzeuge. Hier ist der VektorN = ( EIN, B, C) ist der Normalenvektor der Ebene (d. h. der Vektor senkrecht zur Ebene). Der Satz ist wahr:

Satz 4.2.

Im Raum R 3 kann jede Ebene bezüglich der Variablen linear beschrieben werden x j, z Gleichung und umgekehrt. Jede Gleichung ersten Grades definiert eine Ebene.

Untersuchen wir die Lage der Ebene relativ zum Koordinatensystem gemäß ihrer allgemeinen Gleichung Oh + Wu + cz+ D = 0 .

Wenn der Koeffizient D = 0 ist, dann erfüllen die Koordinaten des Punktes O(0, 0, 0) die Gleichung Oh + Wu + cz= 0, also liegt dieser Punkt auf der Ebene, d.h. Ebene mit Gleichung Oh + Wu + cz= 0 geht durch den Ursprung.

Wenn in der allgemeinen Gleichung der Ebene fehlt eins aus den Variablen (der entsprechende Koeffizient ist gleich Null), dann ist die Ebene parallel zur gleichnamigen Koordinatenachse. Zum Beispiel die Gleichung Oh + cz + D= 0 definiert eine Ebene parallel zur y-Achse. Tatsächlich hat der Normalenvektor Koordinaten ` N= (A, 0, C) und das lässt sich leicht überprüfen ` Nj. Aber wenn eine Ebene und ein Vektor senkrecht auf demselben Vektor stehen, dann sind sie parallel. Flugzeug mit Gleichung Wu + cz= 0 geht in diesem Fall durch die OX-Achse (d.h. diese Achse liegt in der Ebene)

Das Fehlen von zwei Variablen in der Ebenengleichung bedeutet, dass die Ebene parallel zur entsprechenden Koordinatenebene ist, beispielsweise eine Gleichung der Form Oh + D= 0 definiert eine Ebene parallel zur YOZ-Ebene. Der Normalenvektor hat Koordinaten ` N= (A, 0, 0), ist er kollinear zum Vektor  ich, und daher steht die Ebene senkrecht auf dem Vektor  ich, oder parallel zur UOZ-Ebene.

Gleichungen von Koordinatenebenen aussehen: WIE: z= 0, pl. XOZ: j= 0, pl. YOZ: x = 0.

Tatsächlich geht die HOW-Ebene durch den Ursprung (D = 0) und den Vektor  k=(0, 0, 1) ist sein Normalenvektor. Ebenso verlaufen die XOZ- und YOZ-Ebenen durch den Ursprung (D = 0) und die Vektoren  j=(0, 1, 0) und  ich = (1,0,0) sind jeweils ihre Normalen.

Wenn D0, dann formen wir die allgemeine Gleichung wie folgt um

Oh + Wu+C z = –D,
,
.

Ö hier bezeichnen
,
,
, erhalten wir die Gleichung
, (13)

die als Ebenengleichung bezeichnet wird in Segmenten auf den Achsen. Hier a, b, c sind die Werte der Segmente, die von der Ebene auf den Koordinatenachsen abgeschnitten werden (Abb.). Diese Gleichung ist bequem zu verwenden, um eine Ebene in einem Koordinatensystem zu konstruieren. Es ist leicht zu überprüfen, dass die Punkte ( a, 0, 0), (0. b, 0), (0, 0, Mit) in einem Flugzeug liegen. Die Linien, die durch diese Punkte gehen, werden genannt Spuren Ebenen auf Koordinatenebenen.

Bauen wir zum Beispiel ein Flugzeug

2X – 3bei + 4z –12 = 0.

Bringen wir diese Gleichung auf die Form (13), erhalten wir

D Um eine Ebene im Koordinatensystem zu erstellen, markieren Sie den Punkt (6, 0, 0) auf der OX-Achse, den Punkt (0, -4, 0) auf der OY-Achse, (0, 0, 3) auf der OZ-Achse , verbinden Sie sie mit geraden Liniensegmenten ( ebene Spuren). Das resultierende Dreieck ist ein Teil der gewünschten Ebene, eingeschlossen zwischen den Koordinatenachsen.

So dass Finden Sie die Gleichung der Ebene genug zu wissen

Entweder der Normalenvektor dieser Ebene und irgendeiner ihrer Punkte (Gleichung (10));

Oder drei Punkte, die auf einer Ebene liegen (Gleichung (11)).

Gegenseitige Anordnung von Flugzeugen im Raum ist es bequem, die ihnen entsprechenden Vektoren zu verwenden. Wenn  eine Ebene mit einem Normalenvektor N ist, dann

.

Die Ableitung der Formel ist ähnlich wie bei einer Geraden auf einer Ebene. Führen Sie es in Eigenregie durch.

Sie kann auf verschiedene Arten angegeben werden (ein Punkt und ein Vektor, zwei Punkte und ein Vektor, drei Punkte usw.). Vor diesem Hintergrund kann die Gleichung der Ebene verschiedene Formen annehmen. Unter bestimmten Bedingungen können die Ebenen auch parallel, senkrecht, sich schneidend usw. sein. Wir werden in diesem Artikel darüber sprechen. Wir werden lernen, wie man die allgemeine Gleichung der Ebene schreibt und nicht nur.

Normalform der Gleichung

Angenommen, es gibt einen Raum R 3 mit einem rechteckigen Koordinatensystem XYZ. Wir legen den Vektor α fest, der vom Anfangspunkt O losgelassen wird. Durch das Ende des Vektors α zeichnen wir die Ebene P, die senkrecht dazu steht.

Bezeichne mit P einen beliebigen Punkt Q=(x, y, z). Wir werden den Radiusvektor des Punktes Q mit dem Buchstaben p signieren. Die Länge des Vektors α ist p=IαI und Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Dies ist ein Einheitsvektor, der wie der Vektor α zur Seite zeigt. α, β und γ sind die Winkel, die sich zwischen dem Vektor Ʋ und den positiven Richtungen der Raumachsen x, y bzw. z bilden. Die Projektion eines Punktes QϵП auf den Vektor Ʋ ist ein konstanter Wert gleich р: (ð,Ʋ) = ð(ð≥0).

Diese Gleichung ist sinnvoll, wenn p = 0 ist. Die einzige Sache ist, dass die Ebene P in diesem Fall den Punkt O (α = 0) schneidet, der der Ursprung ist, und der Einheitsvektor Ʋ, der vom Punkt O losgelassen wird, senkrecht zu P steht, unabhängig von seiner Richtung, was bedeutet dass der Vektor Ʋ vorzeichengenau bestimmt wird. Die vorherige Gleichung ist die Gleichung unserer P-Ebene, ausgedrückt in Vektorform. Aber in Koordinaten sieht es so aus:

P ist hier größer oder gleich 0. Wir haben die Gleichung einer Ebene im Raum in ihrer Normalform gefunden.

Allgemeine Gleichung

Wenn wir die Gleichung in Koordinaten mit einer beliebigen Zahl ungleich Null multiplizieren, erhalten wir eine Gleichung, die der gegebenen entspricht, die dieselbe Ebene bestimmt. Es wird so aussehen:

Hier sind A, B, C Zahlen, die gleichzeitig von Null verschieden sind. Diese Gleichung wird als allgemeine Ebenengleichung bezeichnet.

Ebene Gleichungen. Spezialfälle

Die Gleichung in allgemeiner Form kann bei Vorliegen zusätzlicher Bedingungen modifiziert werden. Betrachten wir einige von ihnen.

Angenommen, der Koeffizient A sei 0. Das bedeutet, dass die gegebene Ebene parallel zur gegebenen Achse Ox ist. In diesem Fall ändert sich die Form der Gleichung: Ву+Cz+D=0.

In ähnlicher Weise ändert sich die Form der Gleichung unter den folgenden Bedingungen:

• Erstens, wenn B = 0, ändert sich die Gleichung zu Ax + Cz + D = 0, was Parallelität zur Oy-Achse anzeigt.
• Zweitens, wenn С=0, dann wird die Gleichung in Ах+Ву+D=0 umgewandelt, was die Parallelität zur gegebenen Achse Oz anzeigt.
• Drittens, wenn D=0, sieht die Gleichung wie folgt aus: Ax+By+Cz=0, was bedeutet, dass die Ebene O (den Ursprung) schneidet.
• Viertens, wenn A=B=0, dann ändert sich die Gleichung zu Cz+D=0, was sich als parallel zu Oxy erweisen wird.
• Fünftens, wenn B=C=0, dann wird die Gleichung zu Ax+D=0, was bedeutet, dass die Ebene zu Oyz parallel ist.
• Sechstens, wenn A=C=0, dann nimmt die Gleichung die Form Ву+D=0 an, das heißt, sie meldet Parallelität an Oxz.

Art der Gleichung in Segmenten

Falls die Zahlen A, B, C, D nicht Null sind, kann die Form der Gleichung (0) wie folgt sein:

x/a + y/b + z/c = 1,

wobei a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Wir erhalten als Ergebnis Es ist erwähnenswert, dass diese Ebene die Ox-Achse an einem Punkt mit den Koordinaten (a,0,0), Oy - (0,b,0) und Oz - (0,0,c) schneidet. .

Unter Berücksichtigung der Gleichung x/a + y/b + z/c = 1 ist es einfach, die Platzierung der Ebene relativ zu einem gegebenen Koordinatensystem visuell darzustellen.

Normale Vektorkoordinaten

Der Normalenvektor n zur Ebene P hat Koordinaten, die die Koeffizienten der allgemeinen Gleichung der gegebenen Ebene sind, dh n (A, B, C).

Um die Koordinaten der Normalen n zu bestimmen, genügt es, die allgemeine Gleichung einer gegebenen Ebene zu kennen.

Bei Verwendung der Segmentgleichung, die die Form x/a + y/b + z/c = 1 hat, sowie bei Verwendung der allgemeinen Gleichung, kann man die Koordinaten eines beliebigen Normalenvektors einer gegebenen Ebene schreiben: (1 /a + 1/b + 1/ Mit).

Es sollte beachtet werden, dass der Normalenvektor hilft, verschiedene Probleme zu lösen. Am häufigsten sind Aufgaben, die darin bestehen, die Rechtwinkligkeit oder Parallelität von Ebenen zu beweisen, Probleme beim Finden von Winkeln zwischen Ebenen oder Winkeln zwischen Ebenen und Linien.

Ansicht der Ebenengleichung gemäß den Koordinaten des Punktes und des Normalenvektors

Ein Vektor n ungleich Null, der senkrecht zu einer gegebenen Ebene steht, heißt normal (normal) für eine gegebene Ebene.

Angenommen, im Koordinatenraum (rechtwinkliges Koordinatensystem) seien Oxyz gegeben:

• Punkt Mₒ mit Koordinaten (xₒ,yₒ,zₒ);
• Nullvektor n=A*i+B*j+C*k.

Es ist notwendig, eine Gleichung für eine Ebene aufzustellen, die durch den Punkt Mₒ senkrecht zur Normalen n verläuft.

Im Raum wählen wir einen beliebigen Punkt und bezeichnen ihn mit M (x y, z). Der Radiusvektor jedes Punktes M (x, y, z) sei r=x*i+y*j+z*k, und der Radiusvektor des Punktes Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) – rₒ=xₒ* i+yₒ*j+zₒ*k. Der Punkt M gehört zu der gegebenen Ebene, wenn der Vektor MₒM senkrecht zum Vektor n ist. Wir schreiben die Orthogonalitätsbedingung mit dem Skalarprodukt:

[MₒM, n] = 0.

Da MₒM \u003d r-rₒ sieht die Vektorgleichung der Ebene so aus:

Diese Gleichung kann eine andere Form annehmen. Dazu werden die Eigenschaften des Skalarprodukts genutzt und die linke Seite der Gleichung transformiert. = - . Wenn als c bezeichnet, wird die folgende Gleichung erhalten: - c \u003d 0 oder \u003d c, die die Konstanz der Projektionen auf den Normalenvektor der Radiusvektoren der gegebenen Punkte ausdrückt, die zur Ebene gehören.

Jetzt können Sie die Koordinatenform des Schreibens der Vektorgleichung unserer Ebene = 0 erhalten. Da r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k und n = A*i+B*j+C*k, wir haben:

Es stellt sich heraus, dass wir eine Gleichung für eine Ebene haben, die durch einen Punkt verläuft, der senkrecht zur Normalen n steht:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Ansicht der Ebenengleichung gemäß den Koordinaten zweier Punkte und eines zur Ebene kollinearen Vektors

Wir definieren zwei beliebige Punkte M′ (x′,y′,z′) und M″ (x″,y″,z″), sowie den Vektor a (a′,a″,a‴).

Jetzt können wir eine Gleichung für eine gegebene Ebene aufstellen, die durch die verfügbaren Punkte M′ und M″ sowie jeden beliebigen Punkt M mit Koordinaten (x, y, z) parallel zum gegebenen Vektor a verläuft.

In diesem Fall müssen die Vektoren M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) und M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) koplanar mit dem Vektor sein a=(a′,a″,a‴), was bedeutet, dass (M′M, M″M, a)=0.

Unsere Gleichung einer Ebene im Raum sieht also so aus:

Typ der Gleichung einer Ebene, die drei Punkte schneidet

Angenommen, wir haben drei Punkte: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), die nicht zu derselben Geraden gehören. Es ist notwendig, die Gleichung der Ebene zu schreiben, die durch die gegebenen drei Punkte geht. Die Theorie der Geometrie behauptet, dass diese Art von Ebene wirklich existiert, nur ist sie die einzige und unnachahmlich. Da diese Ebene den Punkt (x′, y′, z′) schneidet, lautet die Form ihrer Gleichung wie folgt:

Hier sind A, B, C gleichzeitig von Null verschieden. Außerdem schneidet die gegebene Ebene zwei weitere Punkte: (x″,y″,z″) und (x‴,y‴,z‴). Dabei müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:

Nun können wir ein homogenes System mit Unbekannten u, v, w zusammensetzen:

In unserem Fall ist x, y oder z ein beliebiger Punkt, der Gleichung (1) erfüllt. Unter Berücksichtigung der Gleichung (1) und des Gleichungssystems (2) und (3) erfüllt das in der obigen Abbildung angegebene Gleichungssystem den Vektor N (A, B, C), was nicht trivial ist. Deshalb ist die Determinante dieses Systems gleich Null.

Gleichung (1), die wir erhalten haben, ist die Gleichung der Ebene. Es geht genau durch 3 Punkte, und das ist leicht zu überprüfen. Dazu müssen wir unsere Determinante über die Elemente in der ersten Zeile erweitern. Aus den vorhandenen Eigenschaften der Determinante folgt, dass unsere Ebene gleichzeitig drei anfangs gegebene Punkte (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) schneidet . Das heißt, wir haben die vor uns gestellte Aufgabe gelöst.

Diederwinkel zwischen Ebenen

Ein V-Winkel ist eine räumliche geometrische Figur, die aus zwei Halbebenen besteht, die von einer Geraden ausgehen. Mit anderen Worten, dies ist der Teil des Raums, der durch diese Halbebenen begrenzt ist.

Nehmen wir an, wir haben zwei Ebenen mit den folgenden Gleichungen:

Wir wissen, dass die Vektoren N=(A,B,C) und N¹=(A¹,B¹,C¹) senkrecht zu den gegebenen Ebenen stehen. Dabei ist der Winkel φ zwischen den Vektoren N und N¹ gleich dem Winkel (Dieder), der zwischen diesen Ebenen liegt. Das Skalarprodukt hat die Form:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

gerade weil

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Es genügt zu berücksichtigen, dass 0≤φ≤π gilt.

Tatsächlich bilden zwei Ebenen, die sich schneiden, zwei (Dieder-)Winkel: φ 1 und φ 2 . Ihre Summe ist gleich π (φ 1 + φ 2 = π). Was ihre Kosinusse betrifft, so sind ihre Absolutwerte gleich, aber sie unterscheiden sich in den Vorzeichen, dh cos φ 1 = -cos φ 2. Wenn wir in Gleichung (0) A, B und C durch die Zahlen -A, -B bzw. -C ersetzen, dann bestimmt die Gleichung, die wir erhalten, dieselbe Ebene, den einzigen Winkel φ in der Gleichung cos φ= NN 1 /|N||N 1 | wird durch π-φ ersetzt.

Gleichung der senkrechten Ebene

Ebenen heißen senkrecht, wenn der Winkel zwischen ihnen 90 Grad beträgt. Mit dem oben skizzierten Material können wir die Gleichung einer Ebene finden, die senkrecht zu einer anderen steht. Nehmen wir an, wir haben zwei Ebenen: Ax+By+Cz+D=0 und A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Wir können sagen, dass sie senkrecht stehen, wenn cosφ=0 ist. Das bedeutet, dass NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallelebenengleichung

Parallel sind zwei Ebenen, die keine gemeinsamen Punkte enthalten.

Die Bedingung (ihre Gleichungen sind die gleichen wie im vorigen Absatz) ist, dass die Vektoren N und N¹, die senkrecht zu ihnen stehen, kollinear sind. Damit sind folgende Verhältnismäßigkeitsbedingungen erfüllt:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Wenn die Proportionalitätsbedingungen erweitert werden - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

dies zeigt an, dass diese Ebenen zusammenfallen. Das bedeutet, dass die Gleichungen Ax+By+Cz+D=0 und A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 eine Ebene beschreiben.

Abstand zur Ebene vom Punkt

Nehmen wir an, wir haben eine Ebene P, die durch Gleichung (0) gegeben ist. Es ist notwendig, die Entfernung vom Punkt mit den Koordinaten (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ zu finden. Dazu müssen Sie die Gleichung der Ebene P in Normalform bringen:

(ρ,v)=p (p≥0).

Dabei ist ρ(x,y,z) der Radiusvektor unseres auf P liegenden Punktes Q, p die Länge der vom Nullpunkt gelösten Senkrechten auf P, v der in liegende Einheitsvektor die a-Richtung.

Die Differenz ρ-ρº des Radiusvektors eines Punktes Q \u003d (x, y, z), der zu P gehört, sowie des Radiusvektors eines bestimmten Punktes Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) ist so a Vektor, dessen absoluter Wert der Projektion auf v gleich dem Abstand d ist, der von Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) zu P gefunden werden muss:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, aber

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Es stellt sich also heraus

d = |(ρ 0 , v) – p|.

So finden wir den absoluten Wert des resultierenden Ausdrucks, dh das gewünschte d.

Unter Verwendung der Sprache der Parameter erhalten wir das Offensichtliche:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Wenn der gegebene Punkt Q 0 auf der anderen Seite der Ebene P liegt, sowie der Ursprung, dann ist zwischen dem Vektor ρ-ρ 0 und v daher:

d = (ρ – ρ 0 , v) = (ρ 0 , v) – p > 0.

Wenn sich der Punkt Q 0 zusammen mit dem Ursprung auf derselben Seite von P befindet, ist der erzeugte Winkel spitz, das heißt:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Als Ergebnis stellt sich heraus, dass im ersten Fall (ρ 0 ,v)> р, im zweiten (ρ 0 ,v)<р.

Tangentialebene und ihre Gleichung

Die Tangentialebene an die Oberfläche am Kontaktpunkt Mº ist die Ebene, die alle möglichen Tangenten an die durch diesen Punkt auf der Oberfläche gezogenen Kurven enthält.

Mit dieser Form der Oberflächengleichung F (x, y, z) \u003d 0 sieht die Gleichung der Tangentialebene am Tangentialpunkt Mº (xº, yº, zº) folgendermaßen aus:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Wenn Sie die Fläche in expliziter Form z=f (x, y) angeben, dann wird die Tangentialebene durch die Gleichung beschrieben:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Schnittpunkt zweier Ebenen

Im Koordinatensystem (rechteckig) befindet sich Oxyz, zwei Ebenen П′ und П″ sind gegeben, die sich schneiden und nicht zusammenfallen. Da jede Ebene, die sich in einem rechtwinkligen Koordinatensystem befindet, durch die allgemeine Gleichung bestimmt ist, nehmen wir an, dass P′ und P″ durch die Gleichungen A′x+B′y+C′z+D′=0 und A″x gegeben sind +B″y+ С″z+D″=0. In diesem Fall haben wir die Normale n′ (A′, B′, C′) der P′-Ebene und die Normale n″ (A″, B″, C″) der P″-Ebene. Da unsere Ebenen nicht parallel sind und nicht zusammenfallen, sind diese Vektoren nicht kollinear. In der Sprache der Mathematik können wir diese Bedingung wie folgt schreiben: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Die Linie, die am Schnittpunkt von P′ und P″ liegt, sei mit a bezeichnet, in diesem Fall a = P′ ∩ P″.

a ist eine Gerade, die aus der Menge aller Punkte der (gemeinsamen) Ebenen П′ und П″ besteht. Das bedeutet, dass die Koordinaten jedes Punktes, der zur Linie a gehört, gleichzeitig die Gleichungen A′x+B′y+C′z+D′=0 und A″x+B″y+C″z+D″= erfüllen müssen 0. Das bedeutet, dass die Koordinaten des Punktes eine spezielle Lösung des folgenden Gleichungssystems sind:

Als Ergebnis stellt sich heraus, dass die (allgemeine) Lösung dieses Gleichungssystems die Koordinaten jedes der Punkte der Geraden bestimmt, die als Schnittpunkt von П′ und П″ dienen, und die Gerade bestimmt Linie a im Koordinatensystem Oxyz (rechteckig) im Raum.