In der Mathematik ist einer der Parameter, der die Position einer Linie auf der kartesischen Koordinatenebene beschreibt, der Winkelkoeffizient dieser Linie. Dieser Parameter charakterisiert die Steigung der Geraden zur Abszissenachse. Um zu verstehen, wie man die Steigung ermittelt, erinnern Sie sich zunächst an die allgemeine Form der Gleichung einer geraden Linie im XY-Koordinatensystem.

Im Allgemeinen kann jede Linie durch den Ausdruck ax+by=c dargestellt werden, wobei a, b und c beliebige reelle Zahlen sind, aber a 2 + b 2 ≠ 0.

Mithilfe einfacher Transformationen kann eine solche Gleichung in die Form y=kx+d gebracht werden, wobei k und d reelle Zahlen sind. Die Zahl k ist die Steigung, und die Gleichung einer solchen Geraden wird als Gleichung mit Steigung bezeichnet. Es stellt sich heraus, dass Sie zum Ermitteln der Steigung lediglich die ursprüngliche Gleichung auf die oben angegebene Form reduzieren müssen. Betrachten Sie für ein umfassenderes Verständnis ein konkretes Beispiel:

Problem: Finden Sie die Steigung der Geraden, die durch die Gleichung 36x - 18y = 108 gegeben ist

Lösung: Lassen Sie uns die ursprüngliche Gleichung umwandeln.

Antwort: Die erforderliche Steigung dieser Linie beträgt 2.

Wenn wir bei der Transformation der Gleichung einen Ausdruck wie x = const erhalten haben und wir daher y nicht als Funktion von x darstellen können, dann haben wir es mit einer Geraden parallel zur X-Achse zu tun. Der Winkelkoeffizient davon eine gerade Linie ist gleich unendlich.

Für Linien, die durch eine Gleichung wie y = const ausgedrückt werden, ist die Steigung Null. Dies ist typisch für Geraden parallel zur Abszissenachse. Zum Beispiel:

Problem: Finden Sie die Steigung der Geraden, die durch die Gleichung 24x + 12y - 4(3y + 7) = 4 gegeben ist

Lösung: Bringen wir die ursprüngliche Gleichung in ihre allgemeine Form

24x + 12y - 12y + 28 = 4

Es ist unmöglich, y aus dem resultierenden Ausdruck auszudrücken, daher ist der Winkelkoeffizient dieser Linie gleich unendlich und die Linie selbst verläuft parallel zur Y-Achse.

Geometrische Bedeutung

Zum besseren Verständnis schauen wir uns das Bild an:

In der Abbildung sehen wir einen Graphen einer Funktion wie y = kx. Nehmen wir zur Vereinfachung den Koeffizienten c = 0. Im Dreieck OAB ist das Verhältnis der Seiten BA zu AO gleich dem Winkelkoeffizienten k. Gleichzeitig ist das Verhältnis BA/AO der Tangens des spitzen Winkels α im rechtwinkligen Dreieck OAB. Es stellt sich heraus, dass der Winkelkoeffizient der Geraden gleich dem Tangens des Winkels ist, den diese Gerade mit der Abszissenachse des Koordinatengitters bildet.

Um das Problem zu lösen, wie man den Winkelkoeffizienten einer Geraden ermittelt, ermitteln wir den Tangens des Winkels zwischen dieser und der X-Achse des Koordinatengitters. Grenzfälle, in denen die betreffende Linie parallel zu den Koordinatenachsen verläuft, bestätigen das oben Gesagte. Tatsächlich ist für eine gerade Linie, die durch die Gleichung y=const beschrieben wird, der Winkel zwischen ihr und der Abszissenachse Null. Der Tangens des Nullwinkels ist ebenfalls Null und die Steigung ist ebenfalls Null.

Für gerade Linien senkrecht zur x-Achse, die durch die Gleichung x=const beschrieben werden, beträgt der Winkel zwischen ihnen und der x-Achse 90 Grad. Der Tangens eines rechten Winkels ist gleich unendlich, und der Winkelkoeffizient ähnlicher Geraden ist ebenfalls gleich unendlich, was das oben Geschriebene bestätigt.

Tangentensteigung

Eine in der Praxis häufig anzutreffende Aufgabe besteht auch darin, die Steigung einer Tangente an den Graphen einer Funktion an einem bestimmten Punkt zu ermitteln. Eine Tangente ist eine Gerade, daher ist der Begriff der Steigung auch auf sie anwendbar.

Um herauszufinden, wie man die Steigung einer Tangente ermittelt, müssen wir uns an das Konzept der Ableitung erinnern. Die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt ist eine Konstante, die numerisch gleich dem Tangens des Winkels ist, der zwischen der Tangente am angegebenen Punkt an den Graphen dieser Funktion und der Abszissenachse gebildet wird. Es stellt sich heraus, dass wir zur Bestimmung des Winkelkoeffizienten der Tangente am Punkt x 0 den Wert der Ableitung der ursprünglichen Funktion an diesem Punkt berechnen müssen k = f"(x 0). Schauen wir uns das Beispiel an:

Problem: Finden Sie die Steigung der Tangente an die Funktion y = 12x 2 + 2xe x bei x = 0,1.

Lösung: Finden Sie die Ableitung der Originalfunktion in allgemeiner Form

y"(0.1) = 24. 0.1 + 2. 0.1. e 0.1 + 2. e 0.1

Antwort: Die erforderliche Steigung am Punkt x = 0,1 beträgt 4,831

Dem Thema „Winkelkoeffizient einer Tangente als Tangente des Neigungswinkels“ werden in der Zertifizierungsprüfung mehrere Aufgaben gestellt. Je nach Zustand muss der Absolvent entweder eine vollständige oder eine kurze Antwort geben. Bei der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen in Mathematik sollte der Studierende unbedingt die Aufgaben wiederholen, bei denen es um die Berechnung der Steigung einer Tangente geht.

Das Bildungsportal Shkolkovo hilft Ihnen dabei. Unsere Spezialisten bereiteten theoretisches und praktisches Material so zugänglich wie möglich vor und präsentierten es. Absolventen jeder Ausbildungsstufe können nach der Kenntnis damit erfolgreich Probleme im Zusammenhang mit Ableitungen lösen, bei denen es darum geht, den Tangens des Tangentenwinkels zu ermitteln.

Grundlegende Momente

Um die richtige und rationale Lösung für solche Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen zu finden, muss man sich an die grundlegende Definition erinnern: Die Ableitung stellt die Änderungsrate einer Funktion dar; es ist gleich dem Tangens des Tangentenwinkels, der an einem bestimmten Punkt an den Funktionsgraphen gezogen wird. Ebenso wichtig ist es, die Zeichnung fertigzustellen. Damit können Sie die richtige Lösung für USE-Probleme mit der Ableitung finden, bei denen Sie den Tangens des Tangenswinkels berechnen müssen. Aus Gründen der Übersichtlichkeit ist es am besten, den Graphen auf der OXY-Ebene darzustellen.

Wenn Sie sich bereits mit dem Grundmaterial zum Thema Ableitungen vertraut gemacht haben und bereit sind, ähnlich wie bei den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens mit der Lösung von Problemen zur Berechnung des Tangens des Tangenswinkels zu beginnen, können Sie dies online erledigen. Für jede Aufgabe, zum Beispiel Probleme zum Thema „Zusammenhang einer Ableitung mit der Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Körpers“, haben wir den richtigen Antwort- und Lösungsalgorithmus aufgeschrieben. Gleichzeitig können die Studierenden die Bearbeitung von Aufgaben unterschiedlicher Komplexität üben. Bei Bedarf kann die Übung im Bereich „Favoriten“ gespeichert werden, sodass Sie die Lösung später mit dem Lehrer besprechen können.

Lernen Sie, Ableitungen von Funktionen zu bilden. Die Ableitung charakterisiert die Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt auf dem Graphen dieser Funktion. In diesem Fall kann der Graph entweder eine gerade oder eine gekrümmte Linie sein. Das heißt, die Ableitung charakterisiert die Änderungsrate einer Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt. Denken Sie an die allgemeinen Regeln für die Bildung von Ableitungen und fahren Sie erst dann mit dem nächsten Schritt fort.

• Lesen Sie den Artikel.
• Es wird beschrieben, wie man die einfachsten Ableitungen bildet, beispielsweise die Ableitung einer Exponentialgleichung. Die in den folgenden Schritten dargestellten Berechnungen basieren auf den darin beschriebenen Methoden.

Lernen Sie, Probleme zu unterscheiden, bei denen die Steigung durch die Ableitung einer Funktion berechnet werden muss. Bei Problemen müssen Sie nicht immer die Steigung oder Ableitung einer Funktion ermitteln. Beispielsweise werden Sie möglicherweise gebeten, die Änderungsrate einer Funktion am Punkt A(x,y) zu ermitteln. Möglicherweise werden Sie auch gebeten, die Steigung der Tangente am Punkt A(x,y) zu ermitteln. In beiden Fällen ist es notwendig, die Ableitung der Funktion zu bilden.

Bilden Sie die Ableitung der Ihnen gegebenen Funktion. Hier muss kein Diagramm erstellt werden, Sie benötigen lediglich die Gleichung der Funktion. Nehmen Sie in unserem Beispiel die Ableitung der Funktion f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Nehmen Sie die Ableitung gemäß den im oben genannten Artikel beschriebenen Methoden:

Setzen Sie die Koordinaten des Ihnen angegebenen Punktes in die gefundene Ableitung ein, um die Steigung zu berechnen. Die Ableitung einer Funktion ist gleich der Steigung an einem bestimmten Punkt. Mit anderen Worten, f"(x) ist die Steigung der Funktion an jedem Punkt (x,f(x)). In unserem Beispiel:

Überprüfen Sie Ihre Antwort nach Möglichkeit anhand einer Grafik. Bedenken Sie, dass die Steigung nicht an jedem Punkt berechnet werden kann. Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit komplexen Funktionen und komplexen Graphen, bei denen die Steigung nicht an jedem Punkt berechnet werden kann und in manchen Fällen die Punkte überhaupt nicht auf den Graphen liegen. Verwenden Sie nach Möglichkeit einen Grafikrechner, um zu überprüfen, ob die Steigung der Ihnen angegebenen Funktion korrekt ist. Andernfalls zeichnen Sie an dem Ihnen angegebenen Punkt eine Tangente an die Grafik und überlegen Sie, ob der gefundene Steigungswert mit dem übereinstimmt, was Sie in der Grafik sehen.

• Die Tangente hat an einem bestimmten Punkt die gleiche Steigung wie der Graph der Funktion. Um eine Tangente an einem bestimmten Punkt zu zeichnen, bewegen Sie sich auf der X-Achse nach links/rechts (in unserem Beispiel 22 Werte nach rechts) und dann auf der Y-Achse um einen Wert nach oben. Markieren Sie den Punkt und verbinden Sie ihn dann mit dem Punkt, der Ihnen gegeben wurde. Verbinden Sie in unserem Beispiel die Punkte mit den Koordinaten (4,2) und (26,3).

Numerisch gleich dem Tangens des Winkels (der die kleinste Drehung von der Ox-Achse zur Oy-Achse darstellt) zwischen der positiven Richtung der Abszissenachse und der gegebenen geraden Linie.

Der Tangens eines Winkels kann als Verhältnis der gegenüberliegenden zur benachbarten Seite berechnet werden. k ist immer gleich , also die Ableitung der Geradengleichung nach X.

Für positive Werte der Steigung k und Nullverschiebungskoeffizient B Die gerade Linie liegt im ersten und dritten Quadranten (in dem X Und j sowohl positiv als auch negativ). Gleichzeitig große Werte des Winkelkoeffizienten k eine steilere gerade Linie entspricht, eine flachere entspricht kleineren.

Gerade und senkrecht, wenn und parallel, wenn.

Anmerkungen

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was „Winkelkoeffizient einer Geraden“ ist:

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- (mathematische) Zahl k in der Gleichung einer Geraden auf der Ebene y = kx+b (siehe Analytische Geometrie), die die Steigung der Geraden relativ zur x-Achse charakterisiert. Im rechtwinkligen Koordinatensystem von Großbritannien ist k = tan φ, wobei φ der Winkel zwischen ... ... ist. Große sowjetische Enzyklopädie

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Nicht zu verwechseln mit dem Begriff „Ellipse“. Ellipse und ihre Brennpunkte Ellipse (altgriechisch ἔλλειψις Mangel, im Sinne von fehlender Exzentrizität bis 1) der Ort der Punkte M der euklidischen Ebene, für den die Summe der Abstände von zwei gegebenen Punkten F1 ist... ... Wikipedia

Fortsetzung des Themas, die Gleichung einer Geraden in einer Ebene basiert auf dem Studium einer Geraden aus dem Algebraunterricht. Dieser Artikel liefert allgemeine Informationen zum Thema Gleichung einer Geraden mit Steigung. Betrachten wir die Definitionen, erhalten wir die Gleichung selbst und identifizieren wir den Zusammenhang mit anderen Gleichungstypen. Alles wird anhand von Beispielen zur Problemlösung besprochen.

Bevor eine solche Gleichung geschrieben wird, ist es notwendig, den Neigungswinkel der Geraden zur O x -Achse mit ihrem Winkelkoeffizienten zu definieren. Nehmen wir an, dass ein kartesisches Koordinatensystem O x in der Ebene gegeben ist.

Definition 1

Der Neigungswinkel der Geraden zur O x -Achse, befindet sich im kartesischen Koordinatensystem O x y in der Ebene und ist der Winkel, der von der positiven Richtung O x zur Geraden gegen den Uhrzeigersinn gemessen wird.

Wenn die Gerade parallel zu O x verläuft oder darin zusammenfällt, beträgt der Neigungswinkel 0. Dann wird der Neigungswinkel der gegebenen Geraden α auf dem Intervall [ 0 , π) definiert.

Definition 2

Direkter Hang ist der Tangens des Neigungswinkels einer gegebenen Geraden.

Die Standardbezeichnung ist k. Aus der Definition ergibt sich, dass k = t g α . Wenn die Linie parallel zu Ox verläuft, sagt man, dass die Steigung nicht existiert, da sie ins Unendliche geht.

Die Steigung ist positiv, wenn der Graph der Funktion zunimmt und umgekehrt. Die Abbildung zeigt verschiedene Variationen der Lage des rechten Winkels relativ zum Koordinatensystem mit dem Wert des Koeffizienten.

Um diesen Winkel zu finden, ist es notwendig, die Definition des Winkelkoeffizienten anzuwenden und den Tangens des Neigungswinkels in der Ebene zu berechnen.

Lösung

Aus der Bedingung folgt, dass α = 120°. Per Definition muss die Steigung berechnet werden. Finden wir es anhand der Formel k = t g α = 120 = - 3.

Antwort: k = - 3 .

Wenn der Winkelkoeffizient bekannt ist und der Neigungswinkel zur Abszissenachse ermittelt werden muss, sollte der Wert des Winkelkoeffizienten berücksichtigt werden. Wenn k > 0, dann ist der rechte Winkel spitz und wird durch die Formel α = a r c t g k ermittelt. Wenn k< 0 , тогда угол тупой, что дает право определить его по формуле α = π - a r c t g k .

Beispiel 2

Bestimmen Sie den Neigungswinkel der gegebenen Geraden zu O x mit einem Winkelkoeffizienten von 3.

Lösung

Aus der Bedingung folgt, dass der Winkelkoeffizient positiv ist, was bedeutet, dass der Neigungswinkel zu O x weniger als 90 Grad beträgt. Berechnungen erfolgen nach der Formel α = a r c t g k = a r c t g 3.

Antwort: α = a r c t g 3 .

Beispiel 3

Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Geraden zur Ox-Achse, wenn die Steigung = - 1 3 ist.

Lösung

Wenn wir den Buchstaben k als Bezeichnung für den Winkelkoeffizienten nehmen, dann ist α der Neigungswinkel zu einer gegebenen Geraden in positiver Richtung O x. Daher ist k = - 1 3< 0 , тогда необходимо применить формулу α = π - a r c t g k При подстановке получим выражение:

α = π - a r c t g - 1 3 = π - a r c t g 1 3 = π - π 6 = 5 π 6.

Antwort: 5 π 6 .

Eine Gleichung der Form y = k x + b, wobei k die Steigung und b eine reelle Zahl ist, wird als Geradengleichung mit Steigung bezeichnet. Die Gleichung ist typisch für jede gerade Linie, die nicht parallel zur O-y-Achse verläuft.

Betrachten wir im Detail eine Gerade auf einer Ebene in einem festen Koordinatensystem, die durch eine Gleichung mit einem Winkelkoeffizienten der Form y = k x + b angegeben wird. In diesem Fall bedeutet dies, dass die Gleichung den Koordinaten eines beliebigen Punktes auf der Geraden entspricht. Wenn wir die Koordinaten des Punktes M, M 1 (x 1, y 1) in die Gleichung y = k x + b einsetzen, dann verläuft die Gerade in diesem Fall durch diesen Punkt, sonst gehört der Punkt nicht zur Geraden.

Beispiel 4

Gegeben ist eine Gerade mit der Steigung y = 1 3 x - 1. Berechnen Sie, ob die Punkte M 1 (3, 0) und M 2 (2, - 2) zur gegebenen Geraden gehören.

Lösung

Es ist notwendig, die Koordinaten des Punktes M 1 (3, 0) in die gegebene Gleichung einzusetzen, dann erhalten wir 0 = 1 3 · 3 - 1 ⇔ 0 = 0. Die Gleichheit ist wahr, was bedeutet, dass der Punkt zur Linie gehört.

Wenn wir die Koordinaten des Punktes M 2 (2, - 2) ersetzen, erhalten wir eine falsche Gleichheit der Form - 2 = 1 3 · 2 - 1 ⇔ - 2 = - 1 3. Wir können daraus schließen, dass Punkt M 2 nicht zur Geraden gehört.

Antwort: M 1 gehört zur Linie, M 2 jedoch nicht.

Es ist bekannt, dass die Gerade durch die Gleichung y = k · x + b definiert ist, die durch M 1 (0, b) verläuft. Bei der Substitution erhalten wir eine Gleichheit der Form b = k · 0 + b ⇔ b = b. Daraus können wir schließen, dass die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten y = k x + b in der Ebene eine Gerade definiert, die durch den Punkt 0, b geht. Es bildet einen Winkel α mit der positiven Richtung der O x -Achse, wobei k = t g α.

Betrachten wir als Beispiel eine gerade Linie, die mithilfe eines Winkelkoeffizienten definiert wird, der in der Form y = 3 x - 1 angegeben ist. Wir erhalten, dass die Gerade durch den Punkt mit der Koordinate 0, - 1 mit einer Steigung von α = a r c t g 3 = π 3 Bogenmaß in der positiven Richtung der O x -Achse verläuft. Dies zeigt, dass der Koeffizient 3 beträgt.

Gleichung einer geraden Linie mit Steigung, die durch einen bestimmten Punkt verläuft

Es ist notwendig, ein Problem zu lösen, bei dem es notwendig ist, die Gleichung einer Geraden mit einer gegebenen Steigung zu erhalten, die durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) verläuft.

Die Gleichheit y 1 = k · x + b kann als gültig angesehen werden, da die Gerade durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) verläuft. Um die Zahl b zu entfernen, ist es notwendig, die Gleichung mit der Steigung von der linken und rechten Seite zu subtrahieren. Daraus folgt, dass y - y 1 = k · (x - x 1) . Diese Gleichheit wird als Gleichung einer Geraden mit gegebener Steigung k bezeichnet, die durch die Koordinaten des Punktes M 1 (x 1, y 1) verläuft.

Beispiel 5

Schreiben Sie eine Gleichung für eine gerade Linie, die durch den Punkt M 1 mit den Koordinaten (4, - 1) und einem Winkelkoeffizienten von - 2 verläuft.

Lösung

Durch die Bedingung gilt x 1 = 4, y 1 = - 1, k = - 2. Von hier aus wird die Geradengleichung wie folgt geschrieben: y - y 1 = k · (x - x 1) ⇔ y - (- 1) = - 2 · (x - 4) ⇔ y = - 2 x + 7 .

Antwort: y = - 2 x + 7 .

Beispiel 6

Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten, die durch den Punkt M 1 mit den Koordinaten (3, 5) parallel zur Geraden y = 2 x - 2 verläuft.

Lösung

Als Bedingung gilt, dass parallele Linien identische Neigungswinkel haben, was bedeutet, dass die Winkelkoeffizienten gleich sind. Um die Steigung aus dieser Gleichung zu ermitteln, müssen Sie sich die Grundformel y = 2 x - 2 merken, daraus folgt k = 2. Wir erstellen eine Gleichung mit dem Steigungskoeffizienten und erhalten:

y - y 1 = k (x - x 1) ⇔ y - 5 = 2 (x - 3) ⇔ y = 2 x - 1

Antwort: y = 2 x - 1 .

Übergang von einer Geradengleichung mit Steigung zu anderen Arten von Geradengleichungen und zurück

Diese Gleichung ist nicht immer zur Lösung von Problemen anwendbar, da sie nicht sehr bequem geschrieben ist. Dazu müssen Sie es in einer anderen Form präsentieren. Beispielsweise erlaubt uns eine Gleichung der Form y = k x + b nicht, die Koordinaten des Richtungsvektors einer Geraden oder die Koordinaten eines Normalenvektors aufzuschreiben. Dazu müssen Sie lernen, mit Gleichungen eines anderen Typs darzustellen.

Wir können die kanonische Gleichung einer Geraden auf einer Ebene erhalten, indem wir die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten verwenden. Wir erhalten x - x 1 a x = y - y 1 a y . Es ist notwendig, den Term b auf die linke Seite zu verschieben und durch den Ausdruck der resultierenden Ungleichung zu dividieren. Dann erhalten wir eine Gleichung der Form y = k · x + b ⇔ y - b = k · x ⇔ k · x k = y - b k ⇔ x 1 = y - b k.

Die Gleichung einer Geraden mit Steigung ist zur kanonischen Gleichung dieser Geraden geworden.

Beispiel 7

Bringen Sie die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten y = - 3 x + 12 in die kanonische Form.

Lösung

Lassen Sie es uns berechnen und in Form einer kanonischen Geradengleichung darstellen. Wir erhalten eine Gleichung der Form:

y = - 3 x + 12 ⇔ - 3 x = y - 12 ⇔ - 3 x - 3 = y - 12 - 3 ⇔ x 1 = y - 12 - 3

Antwort: x 1 = y - 12 - 3.

Die allgemeine Gleichung einer Geraden lässt sich am einfachsten aus y = k · x + b erhalten, hierfür sind jedoch Umformungen erforderlich: y = k · x + b ⇔ k · x - y + b = 0. Es erfolgt ein Übergang von der allgemeinen Geradengleichung zu Gleichungen anderer Art.

Beispiel 8

Gegeben sei eine Geradengleichung der Form y = 1 7 x - 2 . Finden Sie heraus, ob der Vektor mit den Koordinaten a → = (- 1, 7) ein Normallinienvektor ist?

Lösung

Um es zu lösen, ist es notwendig, zu einer anderen Form dieser Gleichung überzugehen, dazu schreiben wir:

y = 1 7 x - 2 ⇔ 1 7 x - y - 2 = 0

Die Koeffizienten vor den Variablen sind die Koordinaten des Normalenvektors der Geraden. Schreiben wir es so: n → = 1 7, - 1, also 1 7 x - y - 2 = 0. Es ist klar, dass der Vektor a → = (- 1, 7) kollinear zum Vektor n → = 1 7, - 1 ist, da wir die faire Beziehung a → = - 7 · n → haben. Daraus folgt, dass der ursprüngliche Vektor a → = - 1, 7 ein Normalenvektor der Geraden 1 7 x - y - 2 = 0 ist, was bedeutet, dass er als Normalenvektor für die Gerade y = 1 7 x - 2 betrachtet wird.

Antwort: Ist

Lösen wir das umgekehrte Problem dieses Problems.

Es ist notwendig, von der allgemeinen Form der Gleichung A x + B y + C = 0, wobei B ≠ 0, zu einer Gleichung mit einem Winkelkoeffizienten überzugehen. Dazu lösen wir die Gleichung nach y. Wir erhalten A x + B y + C = 0 ⇔ - A B · x - C B .

Das Ergebnis ist eine Gleichung mit einer Steigung gleich - A B .

Beispiel 9

Gegeben ist eine Geradengleichung der Form 2 3 x - 4 y + 1 = 0. Ermitteln Sie die Gleichung einer gegebenen Geraden mit einem Winkelkoeffizienten.

Lösung

Basierend auf der Bedingung muss nach y aufgelöst werden, dann erhalten wir eine Gleichung der Form:

2 3 x - 4 y + 1 = 0 ⇔ 4 y = 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 4 2 3 x + 1 ⇔ y = 1 6 x + 1 4 .

Antwort: y = 1 6 x + 1 4 .

Auf ähnliche Weise wird eine Gleichung der Form x a + y b = 1 gelöst, die als Geradengleichung in Segmenten oder kanonisch der Form x - x 1 a x = y - y 1 a y bezeichnet wird. Wir müssen es nach y auflösen, erst dann erhalten wir eine Gleichung mit der Steigung:

x a + y b = 1 ⇔ y b = 1 - x a ⇔ y = - b a · x + b.

Die kanonische Gleichung kann auf eine Form mit einem Winkelkoeffizienten reduziert werden. Dafür:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ ⇔ a x · y = a y · x - a y · x 1 + a x · y 1 ⇔ y = a y a x · x - a y a x · x 1 + y 1

Beispiel 10

Es gibt eine Gerade, die durch die Gleichung x 2 + y - 3 = 1 gegeben ist. Reduzieren Sie auf die Form einer Gleichung mit einem Winkelkoeffizienten.

Lösung.

Basierend auf der Bedingung ist eine Transformation erforderlich, dann erhalten wir eine Gleichung der Form _Formel_. Beide Seiten der Gleichung müssen mit -3 multipliziert werden, um die erforderliche Steigungsgleichung zu erhalten. Durch die Transformation erhalten wir:

y - 3 = 1 - x 2 ⇔ - 3 · y - 3 = - 3 · 1 - x 2 ⇔ y = 3 2 x - 3 .

Antwort: y = 3 2 x - 3 .

Beispiel 11

Reduzieren Sie die Geradengleichung der Form x - 2 2 = y + 1 5 auf eine Form mit einem Winkelkoeffizienten.

Lösung

Es ist notwendig, den Ausdruck x - 2 2 = y + 1 5 als Verhältnis zu berechnen. Wir erhalten 5 · (x - 2) = 2 · (y + 1) . Jetzt müssen Sie es vollständig aktivieren. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

5 (x - 2) = 2 (y + 1) ⇔ 5 x - 10 = 2 y + 2 ⇔ 2 y = 5 x - 12 ⇔ y = 5 2 x

Antwort: y = 5 2 x - 6 .

Um solche Probleme zu lösen, sollten parametrische Gleichungen der Geraden der Form x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ auf die kanonische Geradengleichung reduziert werden, erst danach kann man zur Gleichung mit übergehen der Steigungskoeffizient.

Beispiel 12

Finden Sie die Steigung der Geraden, wenn sie durch parametrische Gleichungen x = λ y = - 1 + 2 · λ gegeben ist.

Lösung

Es ist ein Übergang von der parametrischen Ansicht zur Neigung erforderlich. Dazu finden wir die kanonische Gleichung aus der gegebenen parametrischen Gleichung:

x = λ y = - 1 + 2 · λ ⇔ λ = x λ = y + 1 2 ⇔ x 1 = y + 1 2 .

Nun muss diese Gleichheit nach y aufgelöst werden, um die Gleichung einer Geraden mit einem Winkelkoeffizienten zu erhalten. Schreiben wir es dazu so:

x 1 = y + 1 2 ⇔ 2 x = 1 (y + 1) ⇔ y = 2 x - 1

Daraus folgt, dass die Steigung der Geraden 2 beträgt. Dies wird als k = 2 geschrieben.

Antwort: k = 2.

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