Die Gerade soll durch die Punkte M 1 (x 1; y 1) und M 2 (x 2; y 2) verlaufen. Die Gleichung einer geraden Linie, die durch den Punkt M 1 verläuft, hat die Form y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)
wo k - noch unbekannter Koeffizient.
Da die Gerade durch den Punkt M 2 (x 2 y 2) verläuft, müssen die Koordinaten dieses Punktes die Gleichung (10.6) erfüllen: y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).
Von hier aus finden wir den gefundenen Wert ersetzen k
In Gleichung (10.6) erhalten wir die Gleichung einer Geraden, die durch die Punkte M 1 und M 2 verläuft: 
Es wird angenommen, dass in dieser Gleichung x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2
Wenn x 1 \u003d x 2, dann ist die gerade Linie, die durch die Punkte M 1 (x 1, y I) und M 2 (x 2, y 2) verläuft, parallel zur y-Achse. Seine Gleichung ist x = x 1 .
Wenn y 2 \u003d y I, dann kann die Gleichung der geraden Linie geschrieben werden als y \u003d y 1, die gerade Linie M 1 M 2 ist parallel zur x-Achse.
Gleichung einer Geraden in Segmenten
Lassen Sie die gerade Linie die Ox-Achse am Punkt M 1 (a; 0) und die Oy-Achse - am Punkt M 2 (0; b) schneiden. Die Gleichung nimmt die Form an: 
jene. 
. Diese Gleichung heißt die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten, weil die Zahlen a und b geben an, welche Segmente die Gerade auf den Koordinatenachsen abschneidet.
Gleichung einer geraden Linie, die durch einen gegebenen Punkt verläuft und senkrecht zu einem gegebenen Vektor steht
Lassen Sie uns die Gleichung einer geraden Linie finden, die durch einen gegebenen Punkt Mo (x O; y o) senkrecht zu einem gegebenen Nicht-Null-Vektor n = (A; B) verläuft.
Nimm einen beliebigen Punkt M(x; y) auf der Geraden und betrachte den Vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (siehe Abb. 1). Da die Vektoren n und M o M senkrecht zueinander stehen, ist ihr Skalarprodukt gleich Null: das heißt,
A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)
Gleichung (10.8) wird aufgerufen Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt senkrecht zu einem gegebenen Vektor verläuft .
Der Vektor n = (A; B) senkrecht zur Geraden heißt normal Normalenvektor dieser Linie .
Gleichung (10.8) kann umgeschrieben werden als Ah + Wu + C = 0 , (10.9)
wobei A und B die Koordinaten des Normalenvektors sind, C \u003d -Ax o - Vu o - freies Mitglied. Gleichung (10.9) ist die allgemeine Geradengleichung(siehe Abb.2).
Abb.1 Abb.2
Kanonische Gleichungen der Geraden
,
Woher 
sind die Koordinaten des Punktes, durch den die Linie verläuft, und 
- Richtungsvektor.
Kurven zweiter Ordnung Kreis
Ein Kreis ist die Menge aller Punkte in einer Ebene, die von einem bestimmten Punkt, dem Mittelpunkt, gleich weit entfernt sind.
Kanonische Gleichung eines Radiuskreises
R auf einen Punkt zentriert 
:
Wenn insbesondere der Mittelpunkt des Einsatzes mit dem Ursprung zusammenfällt, sieht die Gleichung folgendermaßen aus: 
Ellipse
Eine Ellipse ist eine Menge von Punkten in einer Ebene, die Summe der Abstände von jedem von ihnen zu zwei gegebenen Punkten
und 
, die Foci genannt werden, ist ein konstanter Wert 
, größer als der Abstand zwischen den Brennpunkten 
.
Die kanonische Gleichung einer Ellipse, deren Brennpunkte auf der Ox-Achse liegen und deren Ursprung in der Mitte zwischen den Brennpunkten liegt, hat die Form 
G 
de a die Länge der großen Halbachse; b ist die Länge der kleinen Halbachse (Abb. 2).
Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene.
Der Richtungsvektor ist gerade. Normaler Vektor
Eine gerade Linie in einer Ebene ist eine der einfachsten geometrischen Formen, die Ihnen seit Grundschulklassen vertraut ist, und heute lernen wir, mit den Methoden der analytischen Geometrie damit umzugehen. Um das Material zu beherrschen, ist es notwendig, eine gerade Linie bauen zu können; wissen, welche Gleichung eine Gerade definiert, insbesondere eine durch den Ursprung verlaufende Gerade und Geraden parallel zu den Koordinatenachsen. Diese Informationen finden Sie im Handbuch. Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen, ich habe es für matan erstellt, aber der Abschnitt über die lineare Funktion ist sehr gelungen und ausführlich geworden. Deshalb, liebe Teekannen, wärmt euch dort erstmal auf. Außerdem müssen Sie über Grundkenntnisse verfügen Vektoren andernfalls wird das Verständnis des Materials unvollständig sein.
In dieser Lektion werden wir uns ansehen, wie Sie die Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene schreiben können. Ich empfehle, praktische Beispiele nicht zu vernachlässigen (auch wenn es sehr einfach erscheint), da ich sie mit elementaren und wichtigen Fakten, technischen Methoden versorgen werde, die in Zukunft auch in anderen Abschnitten der höheren Mathematik benötigt werden.
- Wie schreibt man die Gleichung einer Geraden mit Steigung?
- Wie ?
- Wie findet man den Richtungsvektor durch die allgemeine Geradengleichung?
- Wie schreibe ich eine Gleichung einer geraden Linie, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind?
und wir beginnen:
Liniengleichung mit Steigung
Die bekannte "Schul"-Form der Geradengleichung heißt Gleichung einer Geraden mit einer Steigung. Wenn zum Beispiel eine Gerade durch die Gleichung gegeben ist, dann ist ihre Steigung: . Betrachten Sie die geometrische Bedeutung dieses Koeffizienten und wie sich sein Wert auf die Position der Linie auswirkt: 
Im Laufe der Geometrie wird das bewiesen die Steigung der Geraden ist Tangens eines Winkels zwischen positiver Achsrichtungund gegebene Linie: , und die Ecke wird gegen den Uhrzeigersinn „abgeschraubt“.
Um die Zeichnung nicht zu überladen, habe ich Winkel für nur zwei gerade Linien gezeichnet. Betrachten Sie die "rote" Gerade und ihre Steigung. Entsprechend dem Obigen: (Winkel "Alpha" wird durch einen grünen Bogen angezeigt). Für die „blaue“ Gerade mit der Steigung gilt Gleichheit (der Winkel „beta“ ist durch den braunen Bogen angedeutet). Und wenn der Tangens des Winkels bekannt ist, dann ist er notfalls leicht zu finden und die Ecke mit der Umkehrfunktion - Arkustangens. Wie sie sagen, eine trigonometrische Tabelle oder einen Taschenrechner in der Hand. Auf diese Weise, die Steigung charakterisiert den Grad der Neigung der Geraden zur x-Achse.
Dabei sind folgende Fälle möglich:
1) Wenn die Steigung negativ ist: , dann verläuft die Gerade grob gesagt von oben nach unten. Beispiele sind "blaue" und "rote" gerade Linien in der Zeichnung.
2) Wenn die Steigung positiv ist: , dann verläuft die Gerade von unten nach oben. Beispiele sind "schwarze" und "rote" gerade Linien in der Zeichnung.
3) Wenn die Steigung gleich Null ist: , dann hat die Gleichung die Form , und die entsprechende Linie ist parallel zur Achse. Ein Beispiel ist die "gelbe" Linie.
4) Für eine Familie von geraden Linien parallel zur Achse (es gibt kein Beispiel in der Zeichnung, außer der Achse selbst), die Steigung existiert nicht (Tangens von 90 Grad nicht definiert).
Je größer der Steigungsmodulo ist, desto steiler wird das Liniendiagramm.
Stellen Sie sich beispielsweise zwei gerade Linien vor. Hier hat also die Gerade eine steilere Steigung. Ich erinnere Sie daran, dass Sie mit dem Modul das Zeichen ignorieren können, an dem wir nur interessiert sind absolute Werte Winkelkoeffizienten.
Eine gerade Linie ist wiederum steiler als gerade Linien. 
.
Umgekehrt gilt: Je kleiner der Steigungsmodulo, desto flacher ist die Gerade.
Für gerade Linien 
die Ungleichung ist wahr, also ist die gerade Linie mehr als ein Baldachin. Kinderrutsche, um keine blauen Flecken und Beulen zu pflanzen.
Warum wird das benötigt?
Verlängern Sie Ihre Qual Wenn Sie die oben genannten Fakten kennen, können Sie Ihre Fehler sofort erkennen, insbesondere Fehler beim Zeichnen von Diagrammen - wenn sich herausstellte, dass „eindeutig etwas nicht stimmt“. Es ist wünschenswert, dass Sie sofort es war klar, dass zum Beispiel eine gerade Linie sehr steil ist und von unten nach oben geht, und eine gerade Linie sehr flach ist, nah an der Achse liegt und von oben nach unten geht.
Bei geometrischen Problemen erscheinen oft mehrere gerade Linien, daher ist es praktisch, sie irgendwie zu bezeichnen.
Notation: gerade Linien werden durch kleine lateinische Buchstaben gekennzeichnet: . Eine beliebte Option ist die Bezeichnung desselben Buchstabens mit natürlichen Indizes. Beispielsweise können die gerade betrachteten fünf Linien mit bezeichnet werden 
.
Da jede Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, kann sie durch diese Punkte bezeichnet werden: 
usw. Die Notation impliziert ganz offensichtlich, dass die Punkte zur Linie gehören.
Zeit etwas aufzulockern:
Wie schreibt man die Gleichung einer Geraden mit Steigung?
Wenn ein Punkt bekannt ist, der zu einer bestimmten Linie gehört, und die Steigung dieser Linie, dann wird die Gleichung dieser Linie durch die Formel ausgedrückt:
Beispiel 1
Stellen Sie die Gleichung einer Geraden mit Steigung auf, wenn bekannt ist, dass der Punkt zu dieser Geraden gehört.
Entscheidung: Wir werden die Gleichung einer geraden Linie nach der Formel zusammenstellen 
. In diesem Fall: 
Antworten:
Untersuchung elementar durchgeführt. Zuerst sehen wir uns die resultierende Gleichung an und vergewissern uns, dass unsere Steigung an ihrem Platz ist. Zweitens müssen die Koordinaten des Punktes die gegebene Gleichung erfüllen. Setzen wir sie in die Gleichung ein:
Die korrekte Gleichheit wird erreicht, was bedeutet, dass der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.
Fazit: Gleichung richtig gefunden.
Ein kniffligeres Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:
Beispiel 2
Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden auf, wenn bekannt ist, dass ihr Neigungswinkel zur positiven Richtung der Achse ist und der Punkt zu dieser Geraden gehört.
Wenn Sie Schwierigkeiten haben, lesen Sie das theoretische Material erneut. Genauer gesagt, praktischer, ich vermisse viele Beweise.
Die letzte Glocke läutete, der Abschlussball verstummte und hinter den Toren unserer Heimatschule wartet tatsächlich die analytische Geometrie auf uns. Witze sind vorbei... Vielleicht fängt es gerade erst an =)
Nostalgisch schwenken wir den Griff zum Vertrauten und machen uns mit der allgemeinen Geradengleichung vertraut. Denn in der analytischen Geometrie wird genau das verwendet:
Die allgemeine Geradengleichung hat die Form: , wo sind einige Zahlen. Gleichzeitig die Koeffizienten gleichzeitig nicht gleich Null sind, da die Gleichung ihre Bedeutung verliert.
Lassen Sie uns einen Anzug anziehen und eine Gleichung mit einer Steigung binden. Zuerst verschieben wir alle Terme auf die linke Seite:
Der Begriff mit „x“ muss an erster Stelle stehen:
Im Prinzip hat die Gleichung bereits die Form , aber nach den Regeln der mathematischen Etikette muss der Koeffizient des ersten Terms (in diesem Fall ) positiv sein. Vorzeichen wechseln:
Denken Sie an diese technische Besonderheit! Wir machen den ersten Koeffizienten (meistens) positiv!
In der analytischen Geometrie wird die Geradengleichung fast immer in allgemeiner Form angegeben. Nun, bei Bedarf ist es einfach, es in eine „Schulform“ mit Neigung zu bringen (mit Ausnahme von geraden Linien parallel zur y-Achse).
Fragen wir uns was genügend Weißt du, wie man eine gerade Linie baut? Zwei Punkte. Aber über diesen Kindheitsfall später, klebt jetzt mit Pfeilen die Regel. Jede gerade Linie hat eine genau definierte Steigung, an die sie sich leicht „anpassen“ kann Vektor.
Ein Vektor, der parallel zu einer Geraden verläuft, heißt Richtungsvektor dieser Geraden.. Offensichtlich hat jede gerade Linie unendlich viele Richtungsvektoren, und alle sind kollinear (gleichgerichtet oder nicht - es spielt keine Rolle).
Ich bezeichne den Richtungsvektor wie folgt: .
Aber ein Vektor reicht nicht aus, um eine gerade Linie zu bilden, der Vektor ist frei und hängt an keinem Punkt der Ebene. Daher ist es zusätzlich notwendig, einen Punkt zu kennen, der zu der Linie gehört.
Wie schreibt man eine Geradengleichung mit gegebenem Punkt und Richtungsvektor?
Wenn ein zu der Linie gehörender Punkt und der Richtungsvektor dieser Linie bekannt sind, kann die Gleichung dieser Linie durch die Formel zusammengestellt werden:
Manchmal heißt es Kanonische Geradengleichung .
Was ist wann zu tun eine der Koordinaten Null ist, werden wir uns im Folgenden mit praktischen Beispielen befassen. Beachten Sie übrigens - beides auf einmal Koordinaten können nicht Null sein, da der Nullvektor keine bestimmte Richtung vorgibt.
Beispiel 3
Schreiben Sie eine Geradengleichung mit gegebenem Punkt und Richtungsvektor
Entscheidung: Wir werden die Gleichung einer geraden Linie nach der Formel zusammenstellen. In diesem Fall:
Unter Verwendung der Proportionseigenschaften werden wir Brüche los: 
Und wir bringen die Gleichung auf eine allgemeine Form:
Antworten:
Das Einzeichnen solcher Beispiele ist in der Regel nicht erforderlich, dient jedoch dem Verständnis: 
In der Zeichnung sehen wir den Startpunkt, den ursprünglichen Richtungsvektor (er kann von jedem Punkt der Ebene verschoben werden) und die konstruierte Linie. Übrigens wird die Konstruktion einer Geraden in vielen Fällen am bequemsten mit der Steigungsgleichung durchgeführt. Unsere Gleichung lässt sich leicht in die Form umwandeln und nimmt problemlos einen weiteren Punkt auf, um eine Gerade zu bilden.
Wie zu Beginn des Abschnitts erwähnt, hat eine Linie unendlich viele Richtungsvektoren, und sie sind alle kollinear. Zum Beispiel habe ich drei solcher Vektoren gezeichnet: 
. Welchen Richtungsvektor wir auch wählen, das Ergebnis ist immer dieselbe Geradengleichung.
Stellen wir die Gleichung einer Geraden durch einen Punkt und einen Richtungsvektor auf:
Aufschlüsselung des Anteils:
Teilen Sie beide Seiten durch -2 und erhalten Sie die bekannte Gleichung:
Wer möchte, kann auf ähnliche Weise Vektoren testen 
oder irgendein anderer kollinearer Vektor.
Lösen wir nun das Umkehrproblem:
Wie findet man den Richtungsvektor durch die allgemeine Geradengleichung?
Sehr einfach:
Ist durch eine allgemeine Gleichung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem eine Gerade gegeben, so ist der Vektor der Richtungsvektor dieser Geraden.
Beispiele zum Finden von Richtungsvektoren von Geraden: 
Die Aussage erlaubt uns, nur einen Richtungsvektor aus einer unendlichen Menge zu finden, aber wir brauchen nicht mehr. Obwohl es in einigen Fällen ratsam ist, die Koordinaten der Richtungsvektoren zu reduzieren:
Die Gleichung gibt also eine gerade Linie an, die parallel zur Achse ist, und die Koordinaten des resultierenden Lenkvektors werden bequem durch -2 geteilt, wodurch genau der Basisvektor als Lenkvektor erhalten wird. Logisch.
In ähnlicher Weise definiert die Gleichung eine gerade Linie parallel zur Achse, und wenn wir die Koordinaten des Vektors durch 5 teilen, erhalten wir den Ort als Richtungsvektor.
Lassen Sie uns jetzt ausführen siehe Beispiel 3. Das Beispiel ging nach oben, also erinnere ich Sie daran, dass wir darin die Gleichung einer geraden Linie mit einem Punkt und einem Richtungsvektor aufgestellt haben
Erstens, stellen wir gemäß der Gleichung einer geraden Linie ihren Richtungsvektor wieder her: 
- alles in Ordnung, wir haben den Originalvektor (in einigen Fällen kann es sich herausstellen, dass er kollinear zum Originalvektor ist, was normalerweise leicht an der Proportionalität der entsprechenden Koordinaten zu erkennen ist).
Zweitens, müssen die Koordinaten des Punktes die Gleichung erfüllen . Wir setzen sie in die Gleichung ein:
Die korrekte Gleichheit wurde erreicht, was uns sehr freut.
Fazit: Job korrekt abgeschlossen.
Beispiel 4
Schreiben Sie eine Geradengleichung mit gegebenem Punkt und Richtungsvektor
Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel. Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Es ist sehr wünschenswert, eine Überprüfung gemäß dem gerade betrachteten Algorithmus durchzuführen. Versuchen Sie immer (wenn möglich) einen Entwurf zu überprüfen. Es ist dumm, Fehler zu machen, wo sie zu 100 % vermieden werden können.
Für den Fall, dass eine der Koordinaten des Richtungsvektors Null ist, ist es sehr einfach zu tun:
Beispiel 5
Entscheidung: Die Formel ist ungültig, da der Nenner auf der rechten Seite Null ist. Es gibt einen Ausgang! Unter Verwendung der Proportionseigenschaften schreiben wir die Formel in die Form um, und der Rest rollt entlang einer tiefen Furche:
Antworten:
Untersuchung:
1) Stellen Sie den Richtungsvektor der Geraden wieder her:
– der resultierende Vektor ist kollinear zum ursprünglichen Richtungsvektor.
2) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes in der Gleichung: 
Die korrekte Gleichheit wird erhalten
Fazit: Auftrag korrekt abgeschlossen
Es stellt sich die Frage, warum sich mit der Formel beschäftigen, wenn es eine universelle Version gibt, die sowieso funktioniert? Es gibt zwei Gründe. Zuerst die Bruchformel viel besser zu merken. Und zweitens ist das der Nachteil der Universalformel deutlich erhöhte Verwechslungsgefahr beim Ersetzen von Koordinaten.
Beispiel 6
Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie auf, wenn ein Punkt und ein Richtungsvektor gegeben sind.
Dies ist ein Do-it-yourself-Beispiel.
Kommen wir zurück zu den allgegenwärtigen zwei Punkten:
Wie schreibe ich die Gleichung einer Geraden mit zwei Punkten?
Wenn zwei Punkte bekannt sind, kann die Gleichung einer durch diese Punkte verlaufenden Geraden mit der Formel erstellt werden:
Tatsächlich ist dies eine Art Formel, und zwar aus folgendem Grund: Wenn zwei Punkte bekannt sind, ist der Vektor der Richtungsvektor dieser Linie. Im Unterricht Vektoren für Dummies Wir haben das einfachste Problem betrachtet - wie man die Koordinaten eines Vektors von zwei Punkten aus findet. Nach diesem Problem sind die Koordinaten des Richtungsvektors: 
Notiz
: Punkte können "getauscht" werden und die Formel verwenden 
. Eine solche Entscheidung wäre gleich.
Beispiel 7
Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden aus zwei Punkten 
.
Entscheidung: Verwenden Sie die Formel: 
Wir kämmen die Nenner:
Und mische das Deck: 
Es ist jetzt bequem, Bruchzahlen loszuwerden. In diesem Fall müssen Sie beide Teile mit 6 multiplizieren: 
Öffnen Sie die Klammern und erinnern Sie sich an die Gleichung: 
Antworten:
Untersuchung ist offensichtlich - die Koordinaten der Anfangspunkte müssen die resultierende Gleichung erfüllen:
1) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes: 
Wahre Gleichberechtigung.
2) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes: 
Wahre Gleichberechtigung.
Fazit: Die Geradengleichung ist richtig.
Wenn ein mindestens ein von Punkten die Gleichung nicht erfüllt, suchen Sie nach einem Fehler.
Es ist erwähnenswert, dass die grafische Überprüfung in diesem Fall schwierig ist, weil man eine Linie baut und sieht, ob die Punkte dazu gehören 
, nicht so einfach.
Ich werde ein paar technische Punkte der Lösung anmerken. Vielleicht ist es bei diesem Problem vorteilhafter, die Spiegelformel zu verwenden 
und für die gleichen Punkte 
eine gleichung aufstellen: 
Es gibt weniger Brüche. Wenn Sie möchten, können Sie die Lösung bis zum Ende vervollständigen, das Ergebnis sollte die gleiche Gleichung sein.
Der zweite Punkt ist, sich die endgültige Antwort anzusehen und zu sehen, ob sie weiter vereinfacht werden kann? Wenn beispielsweise eine Gleichung erhalten wird, ist es ratsam, sie um zwei zu reduzieren: - Die Gleichung wird dieselbe gerade Linie festlegen. Dies ist jedoch bereits ein Gesprächsthema gegenseitige Anordnung von Geraden.
Nachdem ich eine Antwort erhalten habe 
In Beispiel 7 habe ich für alle Fälle überprüft, ob ALLE Koeffizienten der Gleichung durch 2, 3 oder 7 teilbar sind. Meistens werden solche Kürzungen jedoch während der Lösung vorgenommen.
Beispiel 8
Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie, die durch die Punkte geht 
.
Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung, die es Ihnen nur ermöglicht, die Berechnungstechnik besser zu verstehen und zu erarbeiten.
Ähnlich wie im vorherigen Absatz: if in der Formel 
einer der Nenner (Richtungsvektorkoordinate) verschwindet, dann schreiben wir ihn um als . Und wieder, beachte, wie unbeholfen und verwirrt sie aussah. Ich sehe nicht viel Sinn darin, praktische Beispiele zu geben, da wir ein solches Problem bereits tatsächlich gelöst haben (siehe Nr. 5, 6).
Gerade Normalenvektor (Normalenvektor)
Was ist normal? Vereinfacht gesagt ist eine Normale eine Senkrechte. Das heißt, der Normalenvektor einer Geraden steht senkrecht auf der gegebenen Geraden. Es ist offensichtlich, dass jede gerade Linie unendlich viele davon hat (sowie Richtungsvektoren), und alle Normalenvektoren der geraden Linie sind kollinear (kodirektional oder nicht - es spielt keine Rolle).
Der Umgang mit ihnen wird noch einfacher als mit Richtungsvektoren:
Wenn durch eine allgemeine Gleichung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem eine Gerade gegeben ist, dann ist der Vektor der Normalenvektor dieser Geraden.
Wenn die Koordinaten des Richtungsvektors vorsichtig aus der Gleichung „herausgezogen“ werden müssen, können die Koordinaten des Normalenvektors einfach „entfernt“ werden.
Der Normalenvektor steht immer orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden. Wir werden die Orthogonalität dieser Vektoren mit überprüfen Skalarprodukt:
Ich werde Beispiele mit den gleichen Gleichungen wie für den Richtungsvektor geben: 
Ist es möglich, eine Geradengleichung zu schreiben, wenn man einen Punkt und einen Normalenvektor kennt? Es fühlt sich an, als wäre es möglich. Ist der Normalenvektor bekannt, dann ist auch die Richtung der geradesten Linie eindeutig bestimmt – das ist ein „starres Gebilde“ mit einem Winkel von 90 Grad.
Wie schreibe ich eine Gleichung einer geraden Linie, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind?
Wenn ein zu der Linie gehörender Punkt und der Normalenvektor dieser Linie bekannt sind, wird die Gleichung dieser Linie durch die Formel ausgedrückt:
Hier lief alles ohne Brüche und sonstige Überraschungen. Das ist unser normaler Vektor. Liebe es. Und Respekt =)
Beispiel 9
Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie auf, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind. Finde den Richtungsvektor der Geraden.
Entscheidung: Verwenden Sie die Formel: 
Die allgemeine Gleichung der geraden Linie wird erhalten, prüfen wir:
1) "Entfernen" Sie die Koordinaten des Normalenvektors aus der Gleichung: 
- Ja, tatsächlich, der ursprüngliche Vektor wird aus der Bedingung erhalten (oder der Vektor sollte kollinear zum ursprünglichen Vektor sein).
2) Überprüfen Sie, ob der Punkt die Gleichung erfüllt: 
Wahre Gleichberechtigung.
Nachdem wir uns von der Richtigkeit der Gleichung überzeugt haben, erledigen wir den zweiten, einfacheren Teil der Aufgabe. Wir ziehen den Richtungsvektor der Geraden heraus: 
Antworten: 
In der Zeichnung ist die Situation wie folgt: 
Zu Trainingszwecken eine ähnliche Aufgabe für eine eigenständige Lösung:
Beispiel 10
Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie auf, wenn ein Punkt und ein Normalenvektor gegeben sind. Finde den Richtungsvektor der Geraden.
Der letzte Abschnitt der Lektion widmet sich weniger verbreiteten, aber auch wichtigen Arten von Gleichungen einer geraden Linie in einer Ebene
Gleichung einer Geraden in Segmenten.
Gleichung einer Geraden in parametrischer Form
Die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten hat die Form , wobei Konstanten ungleich Null sind. Einige Arten von Gleichungen können in dieser Form nicht dargestellt werden, z. B. direkte Proportionalität (da der freie Term Null ist und es keine Möglichkeit gibt, einen auf die rechte Seite zu bringen).
Dies ist, bildlich gesprochen, eine "technische" Art von Gleichung. Die übliche Aufgabe besteht darin, die allgemeine Geradengleichung als Streckengleichung darzustellen. Warum ist es bequem? Die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten ermöglicht es Ihnen, schnell die Schnittpunkte einer geraden Linie mit Koordinatenachsen zu finden, was bei einigen Problemen der höheren Mathematik sehr wichtig ist.
Finden Sie den Schnittpunkt der Linie mit der Achse. Wir setzen das „y“ zurück und die Gleichung nimmt die Form an. Der gewünschte Punkt wird automatisch erreicht: .
Dasselbe mit der Achse 
ist der Punkt, an dem die Linie die y-Achse schneidet.
In diesem Artikel betrachten wir die allgemeine Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene. Lassen Sie uns Beispiele für die Konstruktion der allgemeinen Gleichung einer Geraden geben, wenn zwei Punkte dieser Geraden bekannt sind oder wenn ein Punkt und der Normalenvektor dieser Geraden bekannt sind. Lassen Sie uns Methoden zur Transformation einer Gleichung in allgemeiner Form in kanonische und parametrische Formen vorstellen.
Gegeben sei ein beliebiges kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem Oxy. Betrachten Sie eine Gleichung ersten Grades oder eine lineare Gleichung:
| Axt+Durch+C=0, | (1) |
wo A, B, C sind einige Konstanten und mindestens eines der Elemente EIN und B von Null verschieden.
Wir werden zeigen, dass eine lineare Gleichung in der Ebene eine Gerade definiert. Beweisen wir den folgenden Satz.
Satz 1. In einem beliebigen kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem auf einer Ebene kann jede gerade Linie durch eine lineare Gleichung gegeben werden. Umgekehrt definiert jede lineare Gleichung (1) in einem beliebigen kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem in der Ebene eine gerade Linie.
Nachweisen. Es genügt zu beweisen, dass die Linie L durch eine lineare Gleichung für ein beliebiges kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem bestimmt wird, da es dann durch eine lineare Gleichung und für jede Wahl eines kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystems bestimmt wird.
In der Ebene sei eine gerade Linie gegeben L. Wir wählen ein Koordinatensystem so, dass die Achse Ochse an der Linie ausgerichtet L, und die Achse Ey stand senkrecht dazu. Dann die Geradengleichung L wird folgende Form annehmen:
| y=0. | (2) |
Alle Punkte auf einer Linie L wird die lineare Gleichung (2) erfüllen, und alle Punkte außerhalb dieser geraden Linie werden die Gleichung (2) nicht erfüllen. Der erste Teil des Satzes ist bewiesen.
Gegeben sei ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem und sei lineare Gleichung (1) gegeben, wobei mindestens eines der Elemente EIN und B von Null verschieden. Finden Sie den Ort der Punkte, deren Koordinaten die Gleichung (1) erfüllen. Da mindestens einer der Koeffizienten EIN und B von Null verschieden ist, dann hat Gleichung (1) mindestens eine Lösung M(x 0 ,j 0). (Zum Beispiel wann EIN≠0, Punkt M 0 (−C/A, 0) gehört zum gegebenen Ort der Punkte). Durch Einsetzen dieser Koordinaten in (1) erhalten wir die Identität
| Axt 0 +Von 0 +C=0. | (3) |
Subtrahieren wir Identität (3) von (1):
| EIN(x−x 0)+B(j−j 0)=0. | (4) |
Offensichtlich ist Gleichung (4) äquivalent zu Gleichung (1). Daher genügt es zu beweisen, dass (4) eine Gerade definiert.
Da wir ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem betrachten, folgt aus Gleichung (4), dass der Vektor mit Komponenten ( x-x 0 , y−y 0 ) ist orthogonal zum Vektor n mit Koordinaten ( A,B}.
Betrachten Sie eine Linie L durch den Punkt gehen M 0 (x 0 , j 0) und senkrecht zum Vektor n(Abb.1). Lassen Sie den Punkt M(x,y) gehört zur Zeile L. Dann der Vektor mit Koordinaten x-x 0 , y−y 0 senkrecht n und Gleichung (4) erfüllt ist (Skalarprodukt von Vektoren n und gleich Null). Umgekehrt, wenn der Punkt M(x,y) liegt nicht auf einer Linie L, dann der Vektor mit Koordinaten x-x 0 , y−y 0 ist nicht orthogonal zum Vektor n und Gleichung (4) ist nicht erfüllt. Der Satz ist bewiesen.
Nachweisen. Da die Linien (5) und (6) dieselbe Linie definieren, sind die Normalenvektoren n 1 ={EIN 1 ,B 1) und n 2 ={EIN 2 ,B 2) sind kollinear. Da die Vektoren n 1 ≠0, n 2 ≠ 0, dann gibt es eine Zahl λ , was n 2 =n 1 λ . Daher haben wir: EIN 2 =EIN 1 λ , B 2 =B 1 λ . Lassen Sie uns das beweisen C 2 =C 1 λ . Es ist offensichtlich, dass zusammenfallende Linien einen gemeinsamen Punkt haben M 0 (x 0 , j 0). Multiplizieren von Gleichung (5) mit λ und Subtrahieren von Gleichung (6) davon erhalten wir:
Da die ersten beiden Gleichheiten aus den Ausdrücken (7) erfüllt sind, dann C 1 λ −C 2=0. Jene. C 2 =C 1 λ . Die Bemerkung ist bewiesen.
Beachten Sie, dass Gleichung (4) die Gleichung einer geraden Linie definiert, die durch den Punkt verläuft M 0 (x 0 , j 0) und mit einem Normalenvektor n={A,B). Wenn daher der Normalenvektor der Linie und der zu dieser Linie gehörende Punkt bekannt sind, kann die allgemeine Gleichung der Linie unter Verwendung von Gleichung (4) konstruiert werden.
Beispiel 1. Eine Gerade geht durch einen Punkt M=(4,−1) und hat einen Normalenvektor n=(3, 5). Stelle die allgemeine Geradengleichung auf.
Entscheidung. Wir haben: x 0 =4, j 0 =−1, EIN=3, B=5. Um die allgemeine Gleichung einer geraden Linie zu konstruieren, setzen wir diese Werte in Gleichung (4) ein:
Antworten:
Vektor parallel zur Linie L und steht somit senkrecht auf dem Normalenvektor der Geraden L. Lassen Sie uns einen normalen Linienvektor konstruieren L, da das Skalarprodukt von Vektoren n und gleich Null ist. Wir können z.B. schreiben n={1,−3}.
Um die allgemeine Geradengleichung aufzustellen, verwenden wir Formel (4). Lassen Sie uns in (4) die Koordinaten des Punktes einsetzen M 1 (wir können auch die Koordinaten des Punktes nehmen M 2) und dem Normalenvektor n:
Ersetzen von Punktkoordinaten M 1 und M 2 in (9) können wir sicherstellen, dass die durch Gleichung (9) gegebene Gerade durch diese Punkte verläuft.
Antworten:
Subtrahiere (10) von (1):
Wir haben die kanonische Gleichung einer Geraden erhalten. Vektor q={−B, EIN) ist der Richtungsvektor der Geraden (12).
Siehe Rücktransformation.
Beispiel 3. Eine gerade Linie in einer Ebene wird durch die folgende allgemeine Gleichung dargestellt:
Bewege den zweiten Term nach rechts und dividiere beide Seiten der Gleichung durch 2 5.
Die Linie, die durch den Punkt K(x 0; y 0) und parallel zur Linie y = kx + a verläuft, wird durch die Formel gefunden:
y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)
Wobei k die Steigung der Geraden ist.
Alternative Formel:
Die Linie, die durch den Punkt M 1 (x 1 ; y 1) und parallel zur Linie Ax + By + C = 0 verläuft, wird durch die Gleichung dargestellt
A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)
Beispiel 1. Stellen Sie die Gleichung einer geraden Linie auf, die durch den Punkt M 0 (-2.1) verläuft, und gleichzeitig:a) parallel zur Geraden 2x+3y -7 = 0;
b) senkrecht zur Linie 2x+3y -7 = 0.
Entscheidung . Stellen wir die Steigungsgleichung als y = kx + a dar. Dazu übertragen wir alle Werte außer y auf die rechte Seite: 3y = -2x + 7 . Dann dividieren wir die rechte Seite durch den Koeffizienten 3 . Wir erhalten: y = -2/3x + 7/3
Finden Sie die Gleichung NK, die durch den Punkt K(-2;1) parallel zur geraden Linie y = -2 / 3 x + 7 / 3 verläuft
Durch Ersetzen von x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 erhalten wir:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
oder
y = -2 / 3 x - 1 / 3 oder 3y + 2x +1 = 0
Beispiel #2. Schreiben Sie die Gleichung einer geraden Linie parallel zur geraden Linie 2x + 5y = 0 und bilden Sie zusammen mit den Koordinatenachsen ein Dreieck mit der Fläche 5.
Entscheidung
. Da die Linien parallel sind, lautet die Gleichung der gewünschten Linie 2x + 5y + C = 0. Die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, wobei a und b seine Beine sind. Finden Sie die Schnittpunkte der gewünschten Linie mit den Koordinatenachsen: 
;
.
Also A(-C/2,0), B(0,-C/5). Ersetzen Sie in der Formel für die Fläche: 
. Wir erhalten zwei Lösungen: 2x + 5y + 10 = 0 und 2x + 5y - 10 = 0 .
Beispiel #3. Schreiben Sie die Gleichung der Geraden auf, die durch den Punkt (-2; 5) und die parallele Gerade 5x-7y-4=0 verläuft.
Entscheidung. Diese Gerade lässt sich durch die Gleichung y = 5/7 x – 4/7 (hier a = 5/7) darstellen. Die Gleichung der gewünschten Linie ist y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), d.h. 7(y-5)=5(x+2) oder 5x-7y+45=0 .
Beispiel Nr. 4. Beim Lösen von Beispiel 3 (A=5, B=-7) mit Formel (2) finden wir 5(x+2)-7(y-5)=0.
Beispiel Nummer 5. Schreiben Sie die Gleichung einer Geraden, die durch den Punkt (-2;5) verläuft, und einer parallelen Geraden 7x+10=0.
Entscheidung. Hier A=7, B=0. Formel (2) ergibt 7(x+2)=0, d.h. x+2=0. Formel (1) ist nicht anwendbar, da diese Gleichung nicht nach y gelöst werden kann (diese Gerade ist parallel zur y-Achse).
Allgemeine Geradengleichung:
Sonderfälle der allgemeinen Geradengleichung:
und wenn C= 0, Gleichung (2) hat die Form
Axt + Von = 0,
und die durch diese Gleichung definierte gerade Linie geht durch den Ursprung, da die Koordinaten des Ursprungs x = 0, j= 0 erfüllen diese Gleichung.
b) Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden (2) B= 0, dann nimmt die Gleichung die Form an
Axt + Mit= 0 oder .
Gleichung enthält keine Variable j, und die durch diese Gleichung definierte Gerade ist parallel zur Achse Ey.
c) Wenn in der allgemeinen Gleichung der Geraden (2) EIN= 0, dann nimmt diese Gleichung die Form an
Von + Mit= 0, oder ;
Die Gleichung enthält keine Variable x, und die durch sie definierte Gerade ist parallel zur Achse Ochse.
Es sei daran erinnert: Wenn eine gerade Linie parallel zu einer Koordinatenachse verläuft, enthält ihre Gleichung keinen Term, der eine gleichnamige Koordinate mit dieser Achse enthält.
d) Wann C= 0 und EIN= 0 Gleichung (2) nimmt die Form an Von= 0, oder j = 0.
Dies ist die Achsengleichung Ochse.
e) Wann C= 0 und B= 0 Gleichung (2) kann in der Form geschrieben werden Axt= 0 bzw x = 0.
Dies ist die Achsengleichung Ey.
Gegenseitige Anordnung von Geraden in einer Ebene. Winkel zwischen Linien in einer Ebene. Zustand paralleler Linien. Die Bedingung der Rechtwinkligkeit von Linien.
l 1 l 2 l 1: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0
l 2: A 2 x + B 2 y + C 2 = 0
S 2 S 1 Die Vektoren S 1 und S 2 heißen Hilfslinien für ihre Linien.
Der Winkel zwischen den Linien l 1 und l 2 wird durch den Winkel zwischen den Richtungsvektoren bestimmt.
Satz 1: cos-Winkel zwischen l 1 und l 2 \u003d cos (l 1; l 2) \u003d
Satz 2: Damit 2 Zeilen gleich sind, ist es notwendig und ausreichend:
Satz 3: damit 2 Geraden senkrecht stehen ist notwendig und ausreichend:
L 1 l 2 ó A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0
Allgemeine Gleichung der Ebene und ihre Spezialfälle. Gleichung einer Ebene in Segmenten.
Allgemeine Ebenengleichung:
Ax + By + Cz + D = 0
Spezialfälle:
1. D=0 Ax+By+Cz = 0 - die Ebene geht durch den Ursprung
2. С=0 Ax+By+D = 0 – Ebene || oz
3. Â=0 Ax+Cz+d = 0 – Ebene || OY
4. A=0 By+Cz+D = 0 – Ebene || OCHSE
5. A=0 und D=0 By+Cz = 0 - die Ebene geht durch OX
6. B=0 und D=0 Ax+Cz = 0 - das Flugzeug passiert OY
7. C=0 und D=0 Ax+By = 0 - das Flugzeug geht durch OZ
Gegenseitige Anordnung von Ebenen und Geraden im Raum:
1. Der Winkel zwischen Linien im Raum ist der Winkel zwischen ihren Richtungsvektoren.
cos(l 1 ; l 2) = cos(S 1 ; S 2) = = 
2. Der Winkel zwischen den Ebenen wird durch den Winkel zwischen ihren Normalenvektoren bestimmt.
Cos (l 1 ; l 2) = cos (N 1 ; N 2) = = 
3. Der Kosinus des Winkels zwischen einer Linie und einer Ebene kann durch den Sinus des Winkels zwischen dem Richtungsvektor der Linie und dem Normalenvektor der Ebene gefunden werden.
4. 2 Zeilen || im Raum, wenn ihre || Vektorführer
5. 2 Flugzeuge || wann || normale Vektoren
6. Die Begriffe der Rechtwinkligkeit von Linien und Ebenen werden ähnlich eingeführt.
Frage Nr. 14
Verschiedene Arten der Gleichung einer geraden Linie in einer Ebene (die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten, mit einer Steigung usw.)
Gleichung einer Geraden in Segmenten:
Angenommen, in der allgemeinen Geradengleichung gilt:
1. C \u003d 0 Ah + Wu \u003d 0 - die gerade Linie verläuft durch den Ursprung.
2. a \u003d 0 Wu + C \u003d 0 y \u003d
3. in \u003d 0 Axt + C \u003d 0 x \u003d
4. v \u003d C \u003d 0 Axt \u003d 0 x \u003d 0
5. a \u003d C \u003d 0 Wu \u003d 0 y \u003d 0
Die Gleichung einer Geraden mit Steigung:
Jede Gerade, die ungleich der y-Achse ist (B nicht = 0), kann im Folgenden geschrieben werden. form:
k = tgα α ist der Winkel zwischen der Geraden und der positiv gerichteten Linie ОХ
b - Schnittpunkt der Geraden mit der OS-Achse
Doc-in:
Ax+By+C = 0
Wu \u003d -Ax-C |: B
Gleichung einer Geraden an zwei Punkten:
Frage Nr. 16
Der endliche Grenzwert einer Funktion an einem Punkt und für x→∞
Endbegrenzung am Punkt x 0:
Die Zahl A wird als Grenze der Funktion y \u003d f (x) für x → x 0 bezeichnet, wenn es für jedes E > 0 b > 0 gibt, so dass für x ≠ x 0 die Ungleichung |x - x 0 erfüllt wird |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е
Die Grenze wird bezeichnet: = A
Endbegrenzung bei Punkt +∞:
Die Zahl A heißt Grenzwert der Funktion y = f(x) für x → + ∞ , wenn für jedes E > 0 ein C > 0 existiert, so dass für x > C die Ungleichung |f(x) - A| gilt< Е
Die Grenze wird bezeichnet: = A
Endbegrenzung bei Punkt -∞:
Die Zahl A heißt Grenzwert der Funktion y = f(x) für x→-∞, wenn für irgendein E< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е
