Dieser Artikel befasst sich mit Operationen mit Brüchen. Es werden Regeln zur Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division oder Potenzierung von Brüchen der Form A B gebildet und begründet, wobei A und B Zahlen, numerische Ausdrücke oder Ausdrücke mit Variablen sein können. Abschließend werden Lösungsbeispiele mit detaillierter Beschreibung betrachtet.

Regeln für die Durchführung von Operationen mit numerischen Brüchen allgemeiner Form

Numerische Brüche allgemeiner Form haben einen Zähler und einen Nenner, in denen es sich um natürliche Zahlen oder numerische Ausdrücke handelt. Wenn wir Brüche wie 3 5 , 2 , 8 4 , 1 + 2 3 4 (5 - 2) , 3 4 + 7 8 2 , 3 - 0 , 8 , 1 2 2 , π 1 - 2 3 + π betrachten, 2 0 , 5 ln 3 , dann ist klar, dass Zähler und Nenner nicht nur Zahlen, sondern auch Ausdrücke eines anderen Plans haben können.

Definition 1

Es gibt Regeln, nach denen Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen ausgeführt werden. Es eignet sich auch für Brüche allgemeiner Form:

• Beim Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner werden nur die Zähler addiert und der Nenner bleibt gleich, nämlich: a d ± c d \u003d a ± c d, die Werte a, c und d ≠ 0 sind einige Zahlen oder numerische Ausdrücke.
• Beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern ist es notwendig, auf einen gemeinsamen Nenner zu reduzieren und dann die resultierenden Brüche mit den gleichen Indikatoren zu addieren oder zu subtrahieren. Wörtlich sieht es so aus: a b ± c d = a p ± c r s , wobei die Werte a , b ≠ 0 , c , d ≠ 0 , p ≠ 0 , r ≠ 0 , s ≠ 0 reelle Zahlen sind und b p = d r = s. Wenn p = d und r = b, dann ist a b ± c d = a d ± c d b d.
• Bei der Multiplikation von Brüchen wird eine Aktion mit Zählern und anschließend mit Nennern ausgeführt. Dann erhalten wir a b c d \u003d a c b d, wobei a, b ≠ 0, c, d ≠ 0 als reelle Zahlen fungieren.
• Wenn wir einen Bruch durch einen Bruch dividieren, multiplizieren wir den ersten mit dem zweiten Kehrwert, d. h. wir vertauschen Zähler und Nenner: a b: c d \u003d a b d c.

Begründung für die Regeln

Definition 2

Es gibt folgende mathematische Punkte, auf die Sie sich bei der Berechnung verlassen sollten:

• ein Bruchstrich bedeutet ein Divisionszeichen;
• Die Division durch eine Zahl wird als Multiplikation mit ihrem Kehrwert behandelt.
• Anwendung der Eigenschaft von Handlungen mit reellen Zahlen;
• Anwendung der Grundeigenschaft eines Bruchs und numerischer Ungleichungen.

Mit ihrer Hilfe können Sie Transformationen des Formulars vornehmen:

a d ± c d = a d - 1 ± c d - 1 = a ± c d - 1 = a ± c d ; a b ± c d = a p b p ± c r d r = a p s ± c e s = a p ± c r s ; a b c d = a d b d b c b d = a d a d - 1 b c b d - 1 = = a d b c b d - 1 b d - 1 = a d b c b d b d - 1 = = (a c) (b d) - 1 = a c b d

Beispiele

Im vorherigen Absatz wurde über Aktionen mit Brüchen gesprochen. Danach muss der Bruch vereinfacht werden. Dieses Thema wurde im Abschnitt über die Umrechnung von Brüchen ausführlich besprochen.

Betrachten Sie zunächst das Beispiel der Addition und Subtraktion von Brüchen mit demselben Nenner.

Beispiel 1

Bei den Brüchen 8 2 , 7 und 1 2 , 7 ist es gemäß der Regel notwendig, den Zähler zu addieren und den Nenner umzuschreiben.

Lösung

Dann erhalten wir einen Bruch der Form 8 + 1 2 , 7 . Nach der Addition erhalten wir einen Bruch der Form 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 . Also 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 8 + 1 2 , 7 = 9 2 , 7 = 90 27 = 3 1 3 .

Antworten: 8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 3 1 3

Es gibt einen anderen Weg zur Lösung. Zunächst erfolgt ein Übergang zur Form eines gewöhnlichen Bruchs, anschließend führen wir eine Vereinfachung durch. Es sieht aus wie das:

8 2 , 7 + 1 2 , 7 = 80 27 + 10 27 = 90 27 = 3 1 3

Beispiel 2

Subtrahieren wir von 1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 Brüche der Form 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 .

Da gleiche Nenner gegeben sind, bedeutet das, dass wir einen Bruch mit demselben Nenner berechnen. Wir verstehen das

1 - 2 3 log 2 3 log 2 5 + 1 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1 = 1 - 2 - 2 3 3 log 2 3 log 2 5 + 1

Es gibt Beispiele für die Berechnung von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern. Ein wichtiger Punkt ist die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Ohne dies können wir keine weiteren Aktionen mit Brüchen durchführen.

Der Vorgang erinnert entfernt an die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Das heißt, es wird nach dem kleinsten gemeinsamen Teiler im Nenner gesucht und anschließend die fehlenden Faktoren zu den Brüchen addiert.

Wenn die addierten Brüche keine gemeinsamen Faktoren haben, kann ihr Produkt eins werden.

Beispiel 3

Betrachten Sie das Beispiel der Addition der Brüche 2 3 5 + 1 und 1 2 .

Lösung

In diesem Fall ist der gemeinsame Nenner das Produkt der Nenner. Dann erhalten wir 2 · 3 5 + 1 . Wenn wir dann zusätzliche Faktoren festlegen, beträgt der erste Bruch 2 und der zweite 3 5 + 1. Nach der Multiplikation werden die Brüche auf die Form 4 2 3 5 + 1 reduziert. Die allgemeine Besetzung 1 2 ist 3 5 + 1 2 · 3 5 + 1 . Wir addieren die resultierenden Bruchausdrücke und erhalten das Ergebnis

2 3 5 + 1 + 1 2 = 2 2 2 3 5 + 1 + 1 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = = 4 2 3 5 + 1 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 4 + 3 5 + 1 2 3 5 + 1 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Antworten: 2 3 5 + 1 + 1 2 = 5 + 3 5 2 3 5 + 1

Wenn es sich um Brüche allgemeiner Form handelt, ist der kleinste gemeinsame Nenner normalerweise nicht der Fall. Es ist unrentabel, das Produkt der Zähler als Nenner zu verwenden. Zuerst müssen Sie prüfen, ob es eine Zahl gibt, deren Wert geringer ist als das Produkt.

Beispiel 4

Betrachten Sie das Beispiel 1 6 2 1 5 und 1 4 2 3 5, wenn ihr Produkt gleich 6 2 1 5 4 2 3 5 = 24 2 4 5 ist. Dann nehmen wir 12 · 2 3 5 als gemeinsamen Nenner.

Betrachten Sie Beispiele für Multiplikationen von Brüchen allgemeiner Form.

Beispiel 5

Dazu ist es notwendig, 2 + 1 6 und 2 · 5 · 3 · 2 + 1 zu multiplizieren.

Lösung

Der Regel folgend ist es notwendig, das Produkt der Zähler als Nenner umzuschreiben und zu schreiben. Wir erhalten das 2 + 1 6 2 5 3 2 + 1 2 + 1 2 5 6 3 2 + 1 . Wenn der Bruch multipliziert wird, können Reduzierungen vorgenommen werden, um ihn zu vereinfachen. Dann ist 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10 .

Mit der Regel des Übergangs von der Division zur Multiplikation mit einem Kehrwert erhalten wir den Kehrwert des Gegebenen. Dazu werden Zähler und Nenner vertauscht. Schauen wir uns ein Beispiel an:

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 2 + 1 9 3 10

Danach müssen sie eine Multiplikation durchführen und den resultierenden Bruch vereinfachen. Beseitigen Sie ggf. die Irrationalität im Nenner. Wir verstehen das

5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 5 3 3 9 3 10 2 + 1 = 5 2 10 2 + 1 = 3 2 2 + 1 = = 3 2 - 1 2 2 + 1 2 - 1 = 3 2 - 1 2 2 2 - 1 2 = 3 2 - 1 2

Antworten: 5 3 3 2 + 1: 10 9 3 = 3 2 - 1 2

Dieser Absatz ist anwendbar, wenn eine Zahl oder ein numerischer Ausdruck als Bruch mit einem Nenner gleich 1 dargestellt werden kann, dann wird die Operation mit einem solchen Bruch als separater Absatz betrachtet. Beispielsweise zeigt der Ausdruck 1 6 7 4 - 1 3, dass die Wurzel von 3 durch einen anderen 3 1-Ausdruck ersetzt werden kann. Dann sieht dieser Datensatz wie eine Multiplikation zweier Brüche der Form 1 6 7 4 - 1 3 = 1 6 7 4 - 1 3 1 aus.

Eine Aktion mit Brüchen ausführen, die Variablen enthalten

Die im ersten Artikel besprochenen Regeln gelten für Operationen mit Brüchen, die Variablen enthalten. Betrachten Sie die Subtraktionsregel, wenn die Nenner gleich sind.

Es muss bewiesen werden, dass A , C und D (D ungleich Null) beliebige Ausdrücke sein können und die Gleichheit A D ± C D = A ± C D ihrem gültigen Wertebereich entspricht.

Es ist notwendig, eine Reihe von ODZ-Variablen zu verwenden. Dann müssen A, C, D die entsprechenden Werte annehmen a 0 , c 0 und d0. Eine Substitution der Form A D ± C D ergibt eine Differenz der Form a 0 d 0 ± c 0 d 0 , wobei wir nach der Additionsregel eine Formel der Form a 0 ± c 0 d 0 erhalten. Wenn wir den Ausdruck A ± C D ersetzen, erhalten wir den gleichen Bruch der Form a 0 ± c 0 d 0 . Daraus schließen wir, dass der gewählte Wert, der die ODZ erfüllt, A ± C D und A D ± C D als gleich angesehen wird.

Für jeden Wert der Variablen sind diese Ausdrücke gleich, das heißt, sie werden als identisch gleich bezeichnet. Dies bedeutet, dass dieser Ausdruck als beweisbare Gleichheit der Form A D ± C D = A ± C D betrachtet wird.

Beispiele für die Addition und Subtraktion von Brüchen mit Variablen

Bei gleichen Nennern müssen nur die Zähler addiert oder subtrahiert werden. Dieser Bruch kann vereinfacht werden. Manchmal muss man mit Brüchen arbeiten, die identisch gleich sind, was auf den ersten Blick jedoch nicht auffällt, da einige Transformationen durchgeführt werden müssen. Zum Beispiel x 2 3 x 1 3 + 1 und x 1 3 + 1 2 oder 1 2 sin 2 α und sin a cos a. Meistens ist eine Vereinfachung des ursprünglichen Ausdrucks erforderlich, um die gleichen Nenner zu sehen.

Beispiel 6

Berechnen Sie: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 , 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) , x - 1 x - 1 + x x + 1 .

Lösung

1. Um eine Berechnung durchzuführen, müssen Sie Brüche mit demselben Nenner subtrahieren. Dann erhalten wir x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 . Danach können Sie die Klammern mit der Kürzung ähnlicher Begriffe öffnen. Wir erhalten, dass x 2 + 1 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + 1 - 5 + x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2
2. Da die Nenner gleich sind, müssen nur noch die Zähler addiert werden, so dass der Nenner übrig bleibt: l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g 2 x + 4 + 4 x (l g x + 2)
   Die Ergänzung ist abgeschlossen. Es ist ersichtlich, dass der Anteil reduziert werden kann. Sein Zähler kann mit der Summenquadratformel gefaltet werden, dann erhalten wir (l g x + 2) 2 aus den abgekürzten Multiplikationsformeln. Dann verstehen wir das
   l g 2 x + 4 + 2 l g x x (l g x + 2) = (l g x + 2) 2 x (l g x + 2) = l g x + 2 x
3. Gegebene Brüche der Form x - 1 x - 1 + x x + 1 mit unterschiedlichen Nennern. Nach der Transformation können Sie mit der Addition fortfahren.

Betrachten wir eine Zwei-Wege-Lösung.

Die erste Methode besteht darin, dass der Nenner des ersten Bruchs einer Faktorisierung unter Verwendung von Quadraten und anschließender Reduktion unterzogen wird. Wir erhalten einen Bruchteil der Form

x - 1 x - 1 = x - 1 (x - 1) x + 1 = 1 x + 1

Also x - 1 x - 1 + x x + 1 = 1 x + 1 + x x + 1 = 1 + x x + 1 .

In diesem Fall ist es notwendig, die Irrationalität im Nenner zu beseitigen.

1 + x x + 1 = 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Die zweite Möglichkeit besteht darin, Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit x – 1 zu multiplizieren. So beseitigen wir die Irrationalität und addieren einen Bruch mit demselben Nenner. Dann

x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 x - 1 + x x - 1 x + 1 x - 1 = = x - 1 x - 1 + x x - x x - 1 = x - 1 + x x - x x - 1

Antworten: 1) x 2 + 1 x + x - 2 - 5 - x x + x - 2 = x 2 + x - 4 x + x - 2, 2) l g 2 x + 4 x (l g x + 2) + 4 l g x x (l g x + 2) = l g x + 2 x, 3) x - 1 x - 1 + x x + 1 = x - 1 + x x - x x - 1.

Im letzten Beispiel haben wir festgestellt, dass die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner unvermeidlich ist. Dazu müssen Sie die Brüche vereinfachen. Um zu addieren oder zu subtrahieren, müssen Sie immer nach einem gemeinsamen Nenner suchen, der wie das Produkt der Nenner mit der Addition zusätzlicher Faktoren zu den Zählern aussieht.

Beispiel 7

Berechnen Sie die Werte der Brüche: 1) x 3 + 1 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) (2 x - 4) - sin x x 5 ln (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x

Lösung

1. Der Nenner erfordert keine komplexen Berechnungen, daher müssen Sie das Produkt der Form 3 x 7 + 2 2 wählen, dann wird für den ersten Bruch x 7 + 2 2 als zusätzlicher Faktor und für den zweiten 3 gewählt. Bei der Multiplikation erhalten wir einen Bruch der Form x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 3 x 7 + 2 2 + 3 1 3 x 7 + 2 2 = = x x 7 + 2 2 + 3 3 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2
2. Man erkennt, dass die Nenner als Produkt dargestellt werden, wodurch zusätzliche Transformationen unnötig sind. Der gemeinsame Nenner ist das Produkt der Form x 5 · ln 2 x + 1 · 2 x - 4 . Von hier x 4 ist ein zusätzlicher Faktor zum ersten Bruch und ln (x + 1) auf die Sekunde. Dann subtrahieren wir und erhalten:
   x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln (x + 1) 2 x - 4 = = x + 1 x 4 x 5 ln 2 (x + 1 ) 2 x - 4 - sin x ln x + 1 x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = = x + 1 x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) (2 x - 4) )
3. Dieses Beispiel ist sinnvoll, wenn mit Nennern von Brüchen gearbeitet wird. Es ist notwendig, die Formeln der Quadratdifferenz und des Summenquadrats anzuwenden, da sie es ermöglichen, zu einem Ausdruck der Form 1 cos x - x · cos x + x + 1 (cos x + x) überzugehen ) 2 . Man erkennt, dass die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden. Wir erhalten cos x - x cos x + x 2 .

Dann verstehen wir das

1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = = 1 cos x - x cos x + x + 1 cos x + x 2 = = cos x + x cos x - x cos x + x 2 + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = = cos x + x + cos x - x cos x - x cos x + x 2 = 2 cos x cos x - x cos x + x2

Antworten:

1) x 3 + 1 x 7 + 2 2 = x x 7 + 2 2 x + 3 3 x 7 + 2 2, 2) x + 1 x ln 2 (x + 1) 2 x - 4 - sin x x 5 ln ( x + 1) 2 x - 4 = = x x 4 + x 4 - sin x ln (x + 1) x 5 ln 2 (x + 1) ( 2 x - 4) , 3) ​​​​​​1 cos 2 x - x + 1 cos 2 x + 2 cos x x + x = 2 cos x cos x - x cos x + x 2 .

Beispiele für die Multiplikation von Brüchen mit Variablen

Bei der Multiplikation von Brüchen wird der Zähler mit dem Zähler und der Nenner mit dem Nenner multipliziert. Dann können Sie die Reduktionseigenschaft anwenden.

Beispiel 8

Multiplizieren Sie Brüche x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 und 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x.

Lösung

Sie müssen die Multiplikation durchführen. Wir verstehen das

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = = x - 2 x 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 x 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Die Zahl 3 wird zur Vereinfachung der Berechnungen an die erste Stelle übertragen, und Sie können den Bruch um x 2 reduzieren, dann erhalten wir einen Ausdruck der Form

3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x)

Antworten: x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) = 3 x - 2 x x 1 3 x + 1 - 2 ln x 2 ln x + 1 sin (2 x - x) .

Aufteilung

Die Division von Brüchen ähnelt der Multiplikation, da der erste Bruch mit dem zweiten Kehrwert multipliziert wird. Wenn wir zum Beispiel den Bruch x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1 nehmen und durch 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin 2 x - x dividieren, dann kann dies geschrieben werden als

x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + 1: 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x) , dann durch ein Produkt der Form x + 2 x x 2 ln x 2 ln x + ersetzen 1 3 x 2 1 3 x + 1 - 2 sin (2 x - x)

Potenzierung

Betrachten wir nun die Aktion mit Brüchen einer allgemeinen Form mit Potenzierung. Wenn es einen Grad mit natürlichem Exponenten gibt, wird die Aktion als Multiplikation identischer Brüche betrachtet. Es wird jedoch empfohlen, einen allgemeinen Ansatz zu verwenden, der auf den Eigenschaften von Potenzen basiert. Für alle Ausdrücke A und C, wobei C nicht identisch Null ist, und für jedes reelle r auf der ODZ für einen Ausdruck der Form A C r gilt die Gleichheit A C r = A r C r. Das Ergebnis ist ein zur Potenz erhobener Bruch. Bedenken Sie zum Beispiel:

x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 x + 1 2 , 5 = = x 0 , 7 - π ln 3 x - 2 - 5 2 , 5 x + 1 2 , 5

Die Reihenfolge der Operationen mit Brüchen

Aktionen mit Brüchen werden nach bestimmten Regeln ausgeführt. In der Praxis stellen wir fest, dass ein Ausdruck mehrere Brüche oder Bruchausdrücke enthalten kann. Dann ist es notwendig, alle Aktionen in einer strengen Reihenfolge auszuführen: potenzieren, multiplizieren, dividieren, dann addieren und subtrahieren. Wenn Klammern vorhanden sind, wird die erste Aktion darin ausgeführt.

Beispiel 9

Berechnen Sie 1 - x cos x - 1 cos x · 1 + 1 x .

Lösung

Da wir den gleichen Nenner haben, dann 1 - x cos Wenn wir dann rechnen, erhalten wir das

1 + 1 x = 1 1 + 1 x = x x + 1 x = x + 1 x

Wenn wir den Ausdruck in den ursprünglichen ersetzen, erhalten wir 1 - x cos x - 1 cos x · x + 1 x. Bei der Multiplikation von Brüchen ergibt sich: 1 cos x x + 1 x = x + 1 cos x x . Nachdem wir alle Ersetzungen vorgenommen haben, erhalten wir 1 - x cos x - x + 1 cos x · x . Jetzt müssen Sie mit Brüchen arbeiten, die unterschiedliche Nenner haben. Wir bekommen:

x 1 - x cos x x - x + 1 cos x x = x 1 - x - 1 + x cos x x = = x - x - x - 1 cos x x = - x + 1 cos x x

Antworten: 1 - x cos x - 1 cos x 1 + 1 x = - x + 1 cos x x .

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Eingabetaste

Anweisung

Denken Sie zunächst daran, dass ein Bruch nur eine bedingte Schreibweise für die Division einer Zahl durch eine andere ist. Zusätzlich und bei der Multiplikation führt die Division zweier Ganzzahlen nicht immer zu einer Ganzzahl. Nennen Sie diese beiden Zahlen also „teilbar“. Die Zahl, die geteilt wird, ist der Zähler, und die Zahl, die geteilt wird, ist der Nenner.

Um einen Bruch zu schreiben, schreiben Sie zuerst seinen Zähler, zeichnen Sie dann eine horizontale Linie unter dieser Zahl und schreiben Sie den Nenner unter die Linie. Die horizontale Linie, die Zähler und Nenner trennt, wird als Bruchstrich bezeichnet. Manchmal wird es als Schrägstrich „/“ oder „∕“ dargestellt. In diesem Fall wird der Zähler links von der Zeile geschrieben und der Nenner rechts. So wird beispielsweise der Bruch „zwei Drittel“ als 2/3 geschrieben. Aus Gründen der Übersichtlichkeit steht der Zähler normalerweise oben in der Zeile und der Nenner unten, d. h. statt 2/3 steht: ⅔.

Wenn der Zähler eines Bruchs größer als sein Nenner ist, wird ein solcher „unechter“ Bruch normalerweise als „gemischter“ Bruch geschrieben. Um aus einem unechten Bruch einen gemischten Bruch zu erhalten, dividieren Sie einfach den Zähler durch den Nenner und notieren Sie den resultierenden Quotienten. Setzen Sie dann den Rest der Division in den Zähler des Bruchs und schreiben Sie diesen Bruch rechts vom Quotienten (berühren Sie den Nenner nicht). Zum Beispiel 7/3 = 2⅓.

Um zwei Brüche mit demselben Nenner zu addieren, addieren Sie einfach ihre Zähler (belassen Sie die Nenner). Beispiel: 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Subtrahieren Sie auf ähnliche Weise zwei Brüche (die Zähler werden subtrahiert). Beispiel: 6/7 - 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

Um zwei Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu addieren, multiplizieren Sie Zähler und Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten und Zähler und Nenner des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten. Als Ergebnis erhalten Sie die Summe zweier Brüche mit gleichen Nennern, deren Addition im vorherigen Absatz beschrieben wurde.

Zum Beispiel: 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 17/12 = 15/12.

Wenn die Nenner von Brüchen gemeinsame Teiler haben, also durch dieselbe Zahl teilbar sind, wählen Sie als gemeinsamen Nenner die kleinste Zahl, die gleichzeitig durch den ersten und zweiten Nenner teilbar ist. Wenn also zum Beispiel der erste Nenner 6 und der zweite 8 ist, dann nehmen Sie als gemeinsamen Nenner nicht ihr Produkt (48), sondern die Zahl 24, die sowohl durch 6 als auch durch 8 teilbar ist. Die Zähler der Brüche sind dann multipliziert mit dem Quotienten aus der Division des gemeinsamen Nenners durch den Nenner jedes Bruchs. Für den Nenner 6 beträgt diese Zahl beispielsweise 4 - (24/6) und für den Nenner 8 - 3 (24/8). Dieser Vorgang wird an einem konkreten Beispiel deutlicher:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Die Subtraktion von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern erfolgt auf genau die gleiche Weise.

Die nächste Aktion, die mit gewöhnlichen Brüchen ausgeführt werden kann, ist die Subtraktion. Im Rahmen dieses Materials werden wir uns damit befassen, wie man die Differenz zwischen Brüchen mit gleichem und unterschiedlichem Nenner richtig berechnet, wie man einen Bruch von einer natürlichen Zahl subtrahiert und umgekehrt. Alle Beispiele werden mit Aufgaben illustriert. Lassen Sie uns vorab klarstellen, dass wir nur Fälle analysieren, in denen die Differenz der Brüche eine positive Zahl ergibt.

So finden Sie die Differenz zwischen Brüchen mit demselben Nenner

Beginnen wir gleich mit einem anschaulichen Beispiel: Nehmen wir an, wir haben einen Apfel, der in acht Teile geteilt wurde. Lassen wir fünf Teile auf dem Teller liegen und nehmen zwei davon. Diese Aktion kann wie folgt geschrieben werden:

Am Ende haben wir 3 Achtel, weil 5 − 2 = 3 . Es stellt sich heraus, dass 5 8 - 2 8 = 3 8 .

Anhand dieses einfachen Beispiels haben wir genau gesehen, wie die Subtraktionsregel für Brüche mit demselben Nenner funktioniert. Formulieren wir es.

Definition 1

Um die Differenz zwischen Brüchen mit demselben Nenner zu ermitteln, müssen Sie den Zähler des einen vom Zähler des anderen subtrahieren und den Nenner gleich lassen. Diese Regel kann als a b - c b = a - c b geschrieben werden.

Wir werden diese Formel im Folgenden verwenden.

Nehmen wir konkrete Beispiele.

Beispiel 1

Subtrahieren Sie vom Bruch 24 15 den gemeinsamen Bruch 17 15 .

Lösung

Wir sehen, dass diese Brüche den gleichen Nenner haben. Wir müssen also nur 17 von 24 subtrahieren. Wir erhalten 7 und addieren einen Nenner dazu, wir erhalten 7 15 .

Unsere Berechnungen können wie folgt geschrieben werden: 24 · 15 - 17 · 15 = 24 - 17 · 15 = 7 · 15

Bei Bedarf können Sie einen komplexen Bruch kürzen oder den ganzen Teil von einem unechten Bruch trennen, um das Zählen einfacher zu machen.

Beispiel 2

Finden Sie den Unterschied 37 12 - 15 12 .

Lösung

Verwenden wir die oben beschriebene Formel und berechnen wir: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Es ist leicht zu erkennen, dass Zähler und Nenner durch 2 geteilt werden können (wir haben darüber bereits früher gesprochen, als wir die Vorzeichen der Teilbarkeit analysiert haben). Wenn wir die Antwort reduzieren, erhalten wir 11 6 . Dies ist ein unechter Bruch, aus dem wir den ganzen Teil auswählen: 11 6 = 1 5 6.

So finden Sie den Unterschied zwischen Brüchen mit unterschiedlichen Nennern

Eine solche mathematische Operation lässt sich auf das reduzieren, was wir oben bereits beschrieben haben. Bringen Sie dazu einfach die gewünschten Brüche auf den gleichen Nenner. Formulieren wir die Definition:

Definition 2

Um den Unterschied zwischen Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zu ermitteln, müssen Sie sie auf den gleichen Nenner bringen und den Unterschied zwischen den Zählern ermitteln.

Schauen wir uns ein Beispiel an, wie das geht.

Beispiel 3

Subtrahiere 1 15 von 2 9 .

Lösung

Die Nenner sind unterschiedlich und Sie müssen sie auf den kleinsten gemeinsamen Wert reduzieren. In diesem Fall beträgt der LCM 45. Für den ersten Bruch ist ein zusätzlicher Faktor von 5 erforderlich, für den zweiten - 3.

Berechnen wir: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Wir haben zwei Brüche mit demselben Nenner erhalten und können nun ihre Differenz mithilfe des zuvor beschriebenen Algorithmus leicht ermitteln: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Eine kurze Aufzeichnung der Lösung sieht so aus: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45.

Vernachlässigen Sie nicht die Reduzierung des Ergebnisses oder gegebenenfalls die Auswahl eines ganzen Teils daraus. In diesem Beispiel ist dies nicht erforderlich.

Beispiel 4

Finden Sie die Differenz 19 9 - 7 36 .

Lösung

Wir bringen die in der Bedingung angegebenen Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner 36 und erhalten 76 9 bzw. 7 36.

Wir betrachten die Antwort: 76 36 - 7 36 \u003d 76 - 7 36 \u003d 69 36

Das Ergebnis kann um 3 reduziert werden, um 23 12 zu erhalten. Der Zähler ist größer als der Nenner, was bedeutet, dass wir den ganzen Teil extrahieren können. Die endgültige Antwort lautet 1 11 12 .

Die Zusammenfassung der gesamten Lösung lautet 19 9 - 7 36 = 1 11 12 .

So subtrahieren Sie eine natürliche Zahl von einem gewöhnlichen Bruch

Eine solche Aktion lässt sich auch leicht auf eine einfache Subtraktion gewöhnlicher Brüche reduzieren. Dies kann erreicht werden, indem eine natürliche Zahl als Bruch dargestellt wird. Lassen Sie uns ein Beispiel zeigen.

Beispiel 5

Finden Sie den Unterschied 83 21 - 3 .

Lösung

3 ist dasselbe wie 3 1 . Dann können Sie so berechnen: 83 21 - 3 \u003d 20 21.

Wenn es in der Bedingung erforderlich ist, eine ganze Zahl von einem unechten Bruch zu subtrahieren, ist es bequemer, zunächst die ganze Zahl daraus zu extrahieren und sie als gemischte Zahl zu schreiben. Dann kann das vorherige Beispiel anders gelöst werden.

Wenn Sie aus dem Bruch 83 21 den ganzzahligen Teil auswählen, erhalten Sie 83 21 = 3 20 21.

Jetzt subtrahiere einfach 3 davon: 3 20 21 - 3 = 20 21 .

So subtrahieren Sie einen Bruch von einer natürlichen Zahl

Diese Aktion wird ähnlich wie die vorherige durchgeführt: Wir schreiben eine natürliche Zahl als Bruch um, bringen beide auf einen gemeinsamen Nenner und ermitteln den Unterschied. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels veranschaulichen.

Beispiel 6

Finden Sie den Unterschied: 7 - 5 3 .

Lösung

Machen wir aus 7 einen Bruch 7 1 . Wir führen die Subtraktion durch und transformieren das Endergebnis, indem wir den ganzzahligen Teil daraus extrahieren: 7 - 5 3 = 5 1 3 .

Es gibt eine andere Möglichkeit, Berechnungen durchzuführen. Es bietet einige Vorteile, die in Fällen genutzt werden können, in denen die Zähler und Nenner der Brüche im Problem große Zahlen sind.

Definition 3

Wenn der zu subtrahierende Bruch korrekt ist, muss die natürliche Zahl, von der wir subtrahieren, als Summe zweier Zahlen dargestellt werden, von denen eine gleich 1 ist. Danach müssen Sie den gewünschten Bruch von der Einheit subtrahieren und erhalten das Ergebnis.

Beispiel 7

Berechnen Sie die Differenz 1 065 - 13 62 .

Lösung

Der zu subtrahierende Bruch ist korrekt, da sein Zähler kleiner als der Nenner ist. Daher müssen wir eins von 1065 subtrahieren und den gewünschten Bruch davon subtrahieren: 1065 - 13 62 \u003d (1064 + 1) - 13 62

Jetzt müssen wir die Antwort finden. Unter Verwendung der Subtraktionseigenschaften kann der resultierende Ausdruck als 1064 + 1 - 13 62 geschrieben werden. Berechnen wir die Differenz in Klammern. Dazu stellen wir die Einheit als Bruch 1 1 dar.

Es stellt sich heraus, dass 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62.

Erinnern wir uns nun an das Jahr 1064 und formulieren wir die Antwort: 1064 49 62 .

Wir verwenden die alte Methode, um zu beweisen, dass sie weniger bequem ist. Hier sind die Berechnungen, die wir erhalten würden:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Die Antwort ist dieselbe, aber die Berechnungen sind offensichtlich umständlicher.

Wir haben den Fall betrachtet, in dem Sie den richtigen Bruch subtrahieren müssen. Wenn sie falsch ist, ersetzen wir sie durch eine gemischte Zahl und subtrahieren nach den bekannten Regeln.

Beispiel 8

Berechnen Sie die Differenz 644 - 73 5 .

Lösung

Der zweite Bruch ist unechten und der ganze Teil muss davon getrennt werden.

Jetzt berechnen wir ähnlich wie im vorherigen Beispiel: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Subtraktionseigenschaften beim Arbeiten mit Brüchen

Die Eigenschaften der Subtraktion natürlicher Zahlen gelten auch für die Subtraktion gewöhnlicher Brüche. Sehen wir uns an, wie man sie beim Lösen von Beispielen verwendet.

Beispiel 9

Finden Sie die Differenz 24 4 - 3 2 - 5 6 .

Lösung

Ähnliche Beispiele haben wir bereits gelöst, als wir die Subtraktion einer Summe von einer Zahl analysiert haben, also gehen wir nach dem bereits bekannten Algorithmus vor. Zuerst berechnen wir die Differenz 25 4 - 3 2 und subtrahieren dann den letzten Bruch davon:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Lassen Sie uns die Antwort transformieren, indem wir den ganzzahligen Teil daraus extrahieren. Das Ergebnis ist 3 11 12.

Kurze Zusammenfassung der gesamten Lösung:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Wenn der Ausdruck sowohl Brüche als auch natürliche Zahlen enthält, wird empfohlen, diese bei der Berechnung nach Typen zu gruppieren.

Beispiel 10

Finden Sie die Differenz 98 + 17 20 - 5 + 3 5 .

Lösung

Wenn wir die grundlegenden Eigenschaften der Subtraktion und Addition kennen, können wir Zahlen wie folgt gruppieren: 98 + 17 · 20 - 5 + 3 · 5 = 98 + 17 · 20 - 5 - 3 · 5 = 98 - 5 + 17 · 20 - 3 · 5

Vervollständigen wir die Berechnungen: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Eingabetaste

In der 5. Klasse der Realschule wird die Darstellung eines Bruchs eingeführt. Ein Bruch ist eine Zahl, die aus einer ganzen Anzahl von Bruchteilen von Einheiten besteht. Gewöhnliche Brüche werden als ±m/n geschrieben, die Zahl m heißt Zähler des Bruchs, die Zahl n ist sein Nenner. Wenn das Nennermodul größer als das Zählermodul ist, beispielsweise 3/4, dann heißt der Bruch richtig, andernfalls ist er falsch. Ein Bruch kann einen ganzzahligen Teil enthalten, beispielsweise 5 * (2/3). Für Brüche sind verschiedene Rechenoperationen zulässig.

Anweisung

1. Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner. Gegeben seien die Brüche a / b und c / d. - Zunächst wird die Anzahl LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches) für die Nenner der Brüche ermittelt. - Zähler und Nenner des ersten Brüche werden mit LCM / b multipliziert - Zähler und Nenner der 2. Brüche werden mit LCM / d multipliziert. Ein Beispiel ist in der Abbildung dargestellt. Um Brüche zu vergleichen, müssen sie auf einen gemeinsamen Nenner reduziert werden, dann vergleichen Sie die Zähler. Sagen Sie 3/4< 4/5, см. рисунок.

2. Addition und Subtraktion von Brüchen. Um die Summe zweier gewöhnlicher Brüche zu ermitteln, müssen diese auf einen gemeinsamen Nenner reduziert und dann die Zähler addiert werden, wobei der Nenner unverändert bleibt. Ein Beispiel für die Addition der Brüche 1/2 und 1/3 ist in der Abbildung dargestellt. Die Differenz zwischen Brüchen wird auf ähnliche Weise ermittelt, nachdem der gemeinsame Nenner ermittelt wurde, werden die Zähler der Brüche subtrahiert, siehe Beispiel in der Abbildung.

3. Multiplikation und Division von Brüchen. Bei der Multiplikation gewöhnlicher Brüche werden Zähler und Nenner miteinander multipliziert. Um zwei Brüche zu dividieren, müssen Sie den Kehrwert des 2. Bruchs ermitteln, d. h. Vertauschen Sie Zähler und Nenner stellenweise und multiplizieren Sie dann die resultierenden Brüche.

Modul stellt den unbedingten Wert des Ausdrucks dar. Zur Bezeichnung eines Moduls werden Klammern verwendet. Gefangene in ihnen Werte werden modulo genommen. Die Lösung des Moduls besteht darin, die Modulklammern nach bestimmten Regeln zu erweitern und die Wertemenge des Ausdrucks zu ermitteln. In den meisten Fällen wird das Modul so erweitert, dass der Submodulausdruck eine Reihe positiver und negativer Werte, einschließlich Null, erhält. Basierend auf diesen Eigenschaften des Moduls werden weitere Gleichungen und Ungleichungen des Ausgangsausdrucks zusammengestellt und gelöst.

Anweisung

1. Schreiben Sie die Anfangsgleichung mit dem Modul auf. Um das Problem zu lösen, erweitern Sie das Modul. Betrachten Sie einen beliebigen Submodulausdruck. Bestimmen Sie, bei welchem ​​Wert der darin enthaltenen unbekannten Werte der Ausdruck in modularen Klammern verschwindet.

2. Setzen Sie dazu den Submodulausdruck mit Null gleich und finden Sie die Lösung der resultierenden Gleichung. Notieren Sie die gefundenen Werte. Bestimmen Sie auf die gleiche Weise die Werte der unbekannten Variablen für das gesamte Modul in der angegebenen Gleichung.

3. Betrachten Sie die Fälle, in denen Variablen existieren, wenn sie von Null an gut sind. Schreiben Sie dazu ein Ungleichungssystem für alle Module der Ausgangsgleichung auf. Die Ungleichungen müssen alle gültigen Werte der Variablen auf dem Zahlenstrahl abdecken.

4. Zeichnen Sie einen Zahlenstrahl und tragen Sie die resultierenden Werte darauf ein. Die Werte der Variablen im Nullmodul dienen als Einschränkungen bei der Lösung der Modulgleichung.

5. In der Ausgangsgleichung ist es notwendig, die modularen Klammern zu erweitern und das Vorzeichen des Ausdrucks zu ändern, damit die Werte der Variablen denen entsprechen, die auf dem Zahlenstrahl angezeigt werden. Lösen Sie die resultierende Gleichung. Vergleichen Sie den gefundenen Wert der Variablen mit dem vom Modul festgelegten Grenzwert. Wenn die Lösung die Bedingung erfüllt, ist sie wahr. Wurzeln, die die Einschränkungen nicht erfüllen, müssen verworfen werden.

6. Erweitern Sie auf ähnliche Weise die Module des Anfangsausdrucks unter Berücksichtigung des Vorzeichens und berechnen Sie die Wurzeln der resultierenden Gleichung. Notieren Sie alle erhaltenen Wurzeln, die die Zwangsungleichungen erfüllen.

Bruchzahlen ermöglichen es, den genauen Wert einer Größe in verschiedenen Formen auszudrücken. Mit Brüchen dürfen die gleichen mathematischen Operationen wie mit ganzen Zahlen durchgeführt werden: Subtraktion, Addition, Multiplikation und Division. Um zu lernen, wie man entscheidet Brüche, müssen Sie sich einige ihrer Funktionen merken. Sie hängen vom Typ ab Brüche, das Vorhandensein eines ganzzahligen Teils, eines gemeinsamen Nenners. Einige arithmetische Operationen erfordern später eine Reduzierung des Bruchteils der Gesamtsumme.

Du wirst brauchen

• - Taschenrechner

Anweisung

1. Schauen Sie sich diese Zahlen genau an. Wenn es unter den Brüchen Dezimalzahlen und falsche gibt, ist es manchmal bequemer, Aktionen zunächst mit Dezimalzahlen auszuführen und diese dann in die falsche Form zu übersetzen. Kannst du übersetzen Brüche Schreiben Sie zunächst in dieser Form den Wert nach dem Komma in den Zähler und setzen Sie 10 in den Nenner. Reduzieren Sie ggf. den Bruch, indem Sie die Zahlen oberhalb und unterhalb des Balkens durch einen Teiler dividieren. Brüche, bei denen der ganze Teil ausgegeben wird, führen durch Multiplikation mit dem Nenner und Addition des Zählers zur Summe zur falschen Form. Dieser Wert wird zum neuen Zähler Brüche. Um den ganzen Teil vom zunächst Falschen hervorzuheben Brüche, dividiere den Zähler durch den Nenner. Schreiben Sie die Gesamtsumme links von Brüche. Und der Rest der Division wird zum neuen Zähler, dem Nenner Brüche ohne sich zu ändern. Bei Brüchen mit einem ganzzahligen Teil ist es zulässig, Aktionen separat auszuführen, zuerst für die ganze Zahl und dann für die Bruchteile. Nehmen wir an, die Summe beträgt 1 2/3 und 2 ? kann auf zwei Arten berechnet werden: - Brüche in die falsche Form umwandeln: - 1 2/3 + 2 ? = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;- Separate Summierung der ganzzahligen und gebrochenen Teile der Terme: - 1 2/3 + 2 ? = (1 + 2) + (2/3 + ?) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.

2. Finden Sie für unechte Brüche mit unterschiedlichen Werten unter dem Balken den gemeinsamen Nenner. Nehmen wir an, für 5/9 und 7/12 ist der gemeinsame Nenner 36. Dafür sind Zähler und Nenner des ersten Brüche Sie müssen mit 4 multiplizieren (es ergibt 28/36) und das 2. mit 3 (es ergibt 15/36). Jetzt können Sie die notwendigen Berechnungen durchführen.

3. Wenn Sie die Summe oder Differenz von Brüchen berechnen möchten, notieren Sie zunächst den gefundenen gemeinsamen Nenner unter der Zeile. Führen Sie die erforderlichen Aktionen zwischen den Zählern aus und schreiben Sie das Ergebnis in die neue Zeile Brüche. Somit ist der neue Zähler die Differenz oder die Summe der Zähler der ursprünglichen Brüche.

4. Um das Produkt von Brüchen zu berechnen, multiplizieren Sie die Zähler der Brüche und schreiben Sie die Summe anstelle des Zählers des Endergebnisses Brüche. Machen Sie dasselbe für die Nenner. Beim Teilen eins Brüche Schreiben Sie einen Bruch auf einen anderen und multiplizieren Sie dann seinen Zähler mit dem Nenner des zweiten. Gleichzeitig der Nenner des ersten Brüche entsprechend mit dem Zähler 2 multipliziert. In diesem Fall der ursprüngliche Coup 2 Brüche(Teiler). Der endgültige Bruch besteht aus den Ergebnissen der Multiplikation der Zähler und Nenner beider Brüche. Es ist leicht zu lernen, wie man es löst Brüche, geschrieben im Zustand in Form eines „vierstöckigen“ Brüche. Wenn eine Linie zwei trennt Brüche, schreiben Sie sie mit einem „:“-Trennzeichen um und fahren Sie mit der normalen Division fort.

5. Um das Endergebnis zu erhalten, reduzieren Sie den resultierenden Bruch, indem Sie Zähler und Nenner durch eine ganze Zahl dividieren, die in diesem Fall die größte zulässige ganze Zahl ist. Gleichzeitig müssen ganze Zahlen über und unter der Linie liegen.

Beachten Sie!
Führen Sie keine arithmetischen Operationen mit Brüchen durch, deren Nenner unterschiedlich sind. Wählen Sie eine Zahl, bei der die Nenner beider Brüche gleich sind, wenn Zähler und Nenner eines beliebigen Bruchs damit multipliziert werden.

Hilfreicher Rat
Beim Schreiben von Bruchzahlen wird der Dividend über der Zeile geschrieben. Diese Größe wird als Zähler eines Bruchs bezeichnet. Unter der Zeile steht der Teiler oder Nenner des Bruchs. Nehmen wir an, eineinhalb Kilogramm Reis werden in Form eines Bruchs wie folgt geschrieben: 1? kg Reis. Wenn der Nenner eines Bruchs 10 ist, spricht man von einem Dezimalbruch. In diesem Fall wird der Zähler (Dividende) rechts vom ganzen Teil durch ein Komma getrennt geschrieben: 1,5 kg Reis. Zur Vereinfachung der Berechnungen darf ein solcher Bruch immer in der falschen Form geschrieben werden: 1 2/10 kg Kartoffeln. Zur Vereinfachung können Sie die Werte von Zähler und Nenner reduzieren, indem Sie sie durch eine ganze Zahl dividieren. In diesem Beispiel ist eine Division durch 2 akzeptabel. Das Ergebnis sind 1 1/5 kg Kartoffeln. Stellen Sie sicher, dass die Zahlen, mit denen Sie arithmetische Operationen durchführen, auf die gleiche Weise dargestellt werden.

Wenn Sie eine Hausarbeit schreiben oder ein anderes Dokument mit dem Rechenteil zusammenstellen, kommen Sie an Bruchausdrücken, die auch gedruckt werden müssen, nicht vorbei. Wie das geht, werden wir weiter betrachten.

Anweisung

1. Klicken Sie einmal auf den Menüpunkt „Einfügen“ und wählen Sie dann den Punkt „Symbol“ aus. Dies ist eine der primitivsten Einfügemethoden. Brüche jemandem eine SMS schicken. Es endet später. Der Satz vorgefertigter Charaktere hat Brüche. Ihre Anzahl ist wie üblich gering, aber wenn Sie ? in den Text schreiben müssen und nicht 1/2, dann ist eine ähnliche Option die beste für Sie. Darüber hinaus kann die Anzahl der Bruchzeichen auch von der Schriftart abhängen. Beispielsweise sind bei der Schriftart Times New Roman die Brüche etwas kleiner als bei derselben Schriftart Arial. Variieren Sie Schriftarten, um die beste Option für primitive Ausdrücke zu finden.

2. Klicken Sie auf den Menüpunkt „Einfügen“ und wählen Sie den Unterpunkt „Objekt“ aus. Sie sehen ein Fenster mit einer Liste gültiger Objekte zum Einfügen. Wählen Sie unter ihnen Microsoft Equation 3.0. Diese App hilft Ihnen beim Tippen Brüche. Und nicht nur Brüche, aber auch schwierige mathematische Ausdrücke, die verschiedene trigonometrische Funktionen und andere Elemente enthalten. Doppelklicken Sie mit der linken Maustaste auf dieses Objekt. Sie sehen ein Fenster mit vielen Zeichen.

3. Um einen Bruch zu drucken, wählen Sie das Symbol aus, das einen Bruch mit leerem Zähler und Nenner darstellt. Klicken Sie einmal mit der linken Maustaste darauf. Es erscheint ein zusätzliches Menü, das das Schema des angibt Brüche. Möglicherweise gibt es mehrere Möglichkeiten. Wählen Sie das für Sie am besten geeignete aus und klicken Sie einmal mit der linken Maustaste darauf.

4. Geben Sie Zähler und Nenner ein Brüche alle notwendigen Daten. Dies wird auf dem Dokumentblatt natürlicher fließen. Der Bruch wird als separates Objekt eingefügt, das bei Bedarf an eine beliebige Stelle im Dokument verschoben werden kann. Sie können mehrstöckig drucken Brüche. Fügen Sie dazu im Zähler oder Nenner (je nach Bedarf) einen anderen Bruch ein, den Sie im Fenster derselben Anwendung bevorzugen können.

Ähnliche Videos

Ein algebraischer Bruch ist ein Ausdruck der Form A / B, wobei die Buchstaben A und B beliebige numerische oder alphabetische Ausdrücke bezeichnen. Zähler und Nenner in algebraischen Brüchen haben oft eine massive Form, aber Operationen mit solchen Brüchen sollten nach den gleichen Regeln durchgeführt werden wie Operationen mit gewöhnlichen Brüchen, bei denen Zähler und Nenner reguläre ganze Zahlen sind.

Anweisung

1. Bei gemischter Gabe Brüche, wandeln Sie sie in einen unregelmäßigen Bruch um (einen Bruch, bei dem der Zähler größer als der Nenner ist): Multiplizieren Sie den Nenner mit dem ganzzahligen Teil und addieren Sie den Zähler. Aus der Zahl 2 1/3 wird also 7/3. Multiplizieren Sie dazu 3 mit 2 und addieren Sie eins.

2. Wenn Sie einen Dezimalbruch in einen unechten Bruch umwandeln müssen, stellen Sie sich das so vor, als würden Sie eine Zahl ohne Komma durch eins dividieren, mit so vielen Nullen, wie es Zahlen nach dem Komma gibt. Nehmen wir an, die Zahl 2,5 wird als 25/10 dargestellt (wenn Sie sie reduzieren, erhalten Sie 5/2) und die Zahl 3,61 als 361/100. Das Arbeiten mit unechten Brüchen ist oft einfacher als mit gemischten Brüchen oder Dezimalbrüchen.

3. Wenn die Brüche identische Nenner haben und Sie diese addieren müssen, addieren Sie die Zähler primitiv; die Nenner bleiben unverändert.

4. Wenn Sie Brüche mit identischem Nenner vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren müssen, subtrahieren Sie den Zähler des zweiten Bruchs. Auch die Nenner ändern sich nicht.

5. Wenn Sie Brüche addieren oder einen Bruch voneinander subtrahieren müssen und beide Brüche unterschiedliche Nenner haben, bringen Sie die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Finden Sie dazu die Zahl, die das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) beider Nenner oder mehrere ist, wenn die Brüche größer als 2 sind. NOC ist die Zahl, die durch die Nenner aller gegebenen Brüche geteilt wird. Für 2 und 5 ist diese Zahl beispielsweise 10.

6. Zeichnen Sie nach dem Gleichheitszeichen eine horizontale Linie und schreiben Sie diese Zahl (NOC) in den Nenner. Fügen Sie jedem Term zusätzliche Faktoren hinzu – die Zahl, mit der Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner multiplizieren müssen, um den LCM zu erhalten. Multiplizieren Sie Zähler schrittweise mit additiven Faktoren und behalten Sie dabei das Vorzeichen der Addition oder Subtraktion bei.

7. Berechnen Sie die Gesamtsumme, reduzieren Sie sie gegebenenfalls oder markieren Sie den gesamten Teil. Zum Beispiel: Müssen Sie falten? Und?. Der LCM für beide Brüche beträgt 12. Dann beträgt der zusätzliche Faktor zum ersten Bruch 4, zum zweiten - 3. Gesamt: ?+?=(1 4+1 3)/12=7/12.

8. Wenn ein Beispiel für eine Multiplikation angegeben wird, multiplizieren Sie die Zähler (dies ist der Zähler der Gesamtsumme) und die Nenner (dies ist der Nenner der Gesamtsumme). In diesem Fall müssen sie nicht auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden.

9. Um einen Bruch durch einen Bruch zu dividieren, müssen Sie den zweiten Bruch auf den Kopf stellen und die Brüche multiplizieren. Das heißt, a/b: c/d = a/b d/c.

10. Faktorisieren Sie Zähler und Nenner nach Bedarf. Nehmen wir an, wir übertragen den Universalfaktor aus der Klammer oder erweitern ihn nach den Formeln der abgekürzten Multiplikation, sodass man danach bei Bedarf Zähler und Nenner um GCD – den minimalen gemeinsamen Teiler – reduzieren kann.

Beachten Sie!
Addiere Zahlen mit Zahlen, gleichartige Buchstaben mit gleichartigen Buchstaben. Nehmen wir an, es ist unmöglich, 3a und 4b zu addieren, was bedeutet, dass ihre Summe oder Differenz im Zähler verbleibt – 3a±4b.

Ähnliche Videos

Brüche

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Material im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die stark „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr ...“

Brüche sind in der Oberstufe nicht sehr nervig. Vorerst. Bis Sie auf Exponenten mit rationalen Exponenten und Logarithmen stoßen. Und da…. Sie drücken, Sie drücken den Rechner und er zeigt die gesamte Anzeigetafel einiger Zahlen an. Man muss mit dem Kopf denken, wie in der dritten Klasse.

Beschäftigen wir uns endlich mit Brüchen! Nun, wie sehr kann man darin verwirrt sein!? Darüber hinaus ist alles einfach und logisch. So, Was sind Brüche?

Arten von Brüchen. Transformationen.

Es gibt drei Arten von Brüchen.

1. Gemeinsame Brüche , Zum Beispiel:

Manchmal wird anstelle einer horizontalen Linie ein Schrägstrich eingefügt: 1/2, 3/4, 19/5 usw. Hier werden wir diese Schreibweise oft verwenden. Die oberste Nummer wird angerufen Zähler, untere - Nenner. Wenn Sie diese Namen ständig verwechseln (es kommt vor ...), sagen Sie sich den Satz mit dem Ausdruck: „ Zzzzz erinnern! Zzzzz Nenner - raus zzzz du!" Schau, alles wird in Erinnerung bleiben.)

Ein Strich, der horizontal, der schräg ist, bedeutet Aufteilung von der oberen Zahl (Zähler) zur unteren Zahl (Nenner). Und alle! Anstelle eines Bindestrichs ist es durchaus möglich, ein Teilungszeichen zu setzen – zwei Punkte.

Wenn die Teilung vollständig möglich ist, muss sie durchgeführt werden. Anstelle des Bruchs „32/8“ ist es also viel angenehmer, die Zahl „4“ zu schreiben. Diese. 32 wird einfach durch 8 geteilt.

32/8 = 32: 8 = 4

Ich spreche nicht vom Bruch „4/1“. Was auch nur „4“ ist. Und wenn es sich nicht vollständig teilt, belassen wir es als Bruch. Manchmal muss man das Gegenteil tun. Bilden Sie aus einer ganzen Zahl einen Bruch. Aber dazu später mehr.

2. Dezimalstellen , Zum Beispiel:

In diesem Formular müssen die Antworten auf die Aufgaben „B“ notiert werden.

3. gemischte Zahlen , Zum Beispiel:

Gemischte Zahlen werden im Gymnasium praktisch nicht verwendet. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen sie in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Aber Sie müssen unbedingt wissen, wie es geht! Und dann wird eine solche Zahl im Puzzle auftauchen und hängen bleiben ... Von Grund auf neu. Aber wir erinnern uns an diesen Vorgang! Etwas tiefer.

Am vielseitigsten gemeinsame Brüche. Beginnen wir mit ihnen. Wenn im Bruch allerlei Logarithmen, Sinus und andere Buchstaben vorkommen, ändert das übrigens nichts. In dem Sinne, dass alles Aktionen mit Bruchausdrücken unterscheiden sich nicht von Aktionen mit gewöhnlichen Brüchen!

Grundeigenschaft eines Bruchs.

So lass uns gehen! Zunächst werde ich Sie überraschen. Die ganze Vielfalt der Bruchtransformationen wird durch eine einzige Eigenschaft bereitgestellt! So heißt es Grundeigenschaft eines Bruchs. Erinnern: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert (dividiert) werden, ändert sich der Bruch nicht. Diese:

Es ist klar, dass man weiter schreiben kann, bis einem blau im Gesicht wird. Lassen Sie sich nicht von Sinus und Logarithmus verwirren, wir werden uns weiter damit befassen. Das Wichtigste, was man verstehen muss, ist, dass es all diese verschiedenen Ausdrücke gibt der gleiche Bruch . 2/3.

Und wir brauchen es, all diese Transformationen? Und wie! Jetzt werden Sie es selbst sehen. Lassen Sie uns zunächst die Grundeigenschaft eines Bruchs für verwenden Bruchabkürzungen. Es scheint, dass die Sache elementar ist. Wir dividieren Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl und fertig! Es ist unmöglich, etwas falsch zu machen! Aber... der Mensch ist ein kreatives Wesen. Fehler kann man überall machen! Vor allem, wenn Sie keinen Bruch wie 5/10 kürzen müssen, sondern einen Bruchausdruck mit allen möglichen Buchstaben.

Wie man Brüche richtig und schnell reduziert, ohne unnötige Arbeit zu leisten, erfahren Sie im Sonderabschnitt 555.

Ein normaler Schüler macht sich nicht die Mühe, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (oder denselben Ausdruck) zu dividieren! Er streicht einfach alles gleich von oben und unten durch! Hier lauert ein typischer Fehler, ein Patzer, wenn man so will.

Beispielsweise müssen Sie den Ausdruck vereinfachen:

Es gibt nichts zu bedenken, wir streichen den Buchstaben „a“ von oben und die Zwei von unten! Wir bekommen:

Alles ist richtig. Aber wirklich, du hast es geteilt das Ganze Zähler und das Ganze Nenner „a“. Wenn Sie es gewohnt sind, einfach alles durchzustreichen, können Sie in Eile auch das „a“ im Ausdruck streichen

und wieder bekommen

Was kategorisch falsch wäre. Denn hier das Ganze Zähler auf „a“ bereits nicht geteilt! Dieser Anteil kann nicht reduziert werden. Übrigens ist eine solche Abkürzung, ähm ... eine ernsthafte Herausforderung für den Lehrer. Das ist nicht vergeben! Erinnern? Beim Reduzieren muss geteilt werden das Ganze Zähler und das Ganze Nenner!

Das Kürzen von Brüchen macht das Leben viel einfacher. Sie erhalten irgendwo einen Bruchteil, zum Beispiel 375/1000. Und wie kann man jetzt mit ihr arbeiten? Ohne Taschenrechner? Multiplizieren, sagen wir, addieren, quadrieren!? Und wenn Sie nicht zu faul sind, reduzieren Sie es vorsichtig um fünf und sogar um fünf und sogar ... während es reduziert wird, kurz gesagt. Wir bekommen 3/8! Viel schöner, oder?

Die Grundeigenschaft eines Bruchs ermöglicht es Ihnen, gewöhnliche Brüche in Dezimalzahlen umzuwandeln und umgekehrt ohne Taschenrechner! Das ist wichtig für die Prüfung, oder?

So konvertieren Sie Brüche von einer Form in eine andere.

Mit Dezimalzahlen ist das ganz einfach. So wie es gehört wird, so steht es auch geschrieben! Sagen wir 0,25. Es ist der Nullpunkt, fünfundzwanzig Hundertstel. Also schreiben wir: 25/100. Wir reduzieren (Zähler und Nenner durch 25 dividieren), wir erhalten den üblichen Bruch: 1/4. Alle. Es passiert, und nichts wird reduziert. Wie 0,3. Das sind drei Zehntel, also 3/10.

Was ist, wenn ganze Zahlen ungleich Null sind? Macht nichts. Schreiben Sie den ganzen Bruch auf ohne Kommas im Zähler und im Nenner - was gehört wird. Zum Beispiel: 3.17. Das sind ganze drei siebzehn Hundertstel. Wir schreiben 317 in den Zähler und 100 in den Nenner. Wir erhalten 317/100. Nichts wird reduziert, das bedeutet alles. Das ist die Antwort. Elementarer Watson! Aus alledem eine nützliche Schlussfolgerung: Jeder Dezimalbruch kann in einen gemeinsamen Bruch umgewandelt werden .

Aber die umgekehrte Umwandlung von gewöhnlich in dezimal kann für manche nicht ohne einen Taschenrechner auskommen. Und es ist notwendig! Wie werden Sie die Antwort in der Prüfung aufschreiben!? Wir lesen und beherrschen diesen Prozess sorgfältig.

Was ist ein Dezimalbruch? Sie hat im Nenner Stets ist 10 oder 100 oder 1000 oder 10000 wert und so weiter. Wenn Ihr gewöhnlicher Bruch einen solchen Nenner hat, gibt es kein Problem. Beispiel: 4/10 = 0,4. Oder 7/100 = 0,07. Oder 12/10 = 1,2. Und wenn bei der Antwort auf die Aufgabe von Abschnitt „B“ 1/2 herauskam? Was werden wir als Antwort schreiben? Dezimalzahlen sind erforderlich...

Wir erinnern Grundeigenschaft eines Bruchs ! In der Mathematik ist es vorteilhaft, Zähler und Nenner mit derselben Zahl zu multiplizieren. Übrigens für jeden! Außer Null natürlich. Nutzen wir diese Funktion zu unserem Vorteil! Womit kann der Nenner multipliziert werden, d.h. 2, sodass es 10 oder 100 oder 1000 wird (kleiner ist natürlich besser...)? 5, offensichtlich. Fühlen Sie sich frei, den Nenner zu multiplizieren (dies ist uns notwendig) mit 5. Dann muss aber auch der Zähler mit 5 multipliziert werden. Das ist schon Mathematik Forderungen! Wir erhalten 1/2 = 1x5 / 2x5 = 5/10 = 0,5. Das ist alles.

Es kommen jedoch alle möglichen Nenner vor. Beispielsweise fällt der Bruch 3/16. Probieren Sie es aus und finden Sie heraus, womit Sie 16 multiplizieren müssen, um 100 oder 1000 zu erhalten ... Funktioniert nicht? Dann können Sie einfach 3 durch 16 dividieren. Wenn Sie keinen Taschenrechner haben, müssen Sie in einer Ecke auf einem Blatt Papier dividieren, wie es in der Grundschule gelehrt wurde. Wir erhalten 0,1875.

Und es gibt einige sehr schlechte Nenner. Beispielsweise lässt sich der Bruch 1/3 nicht in eine gute Dezimalzahl umwandeln. Sowohl auf einem Taschenrechner als auch auf einem Blatt Papier erhalten wir 0,3333333 ... Das bedeutet, dass 1/3 in einen exakten Dezimalbruch umgewandelt wird übersetzt nicht. Genau wie 1/7, 5/6 und so weiter. Viele davon sind unübersetzbar. Daher eine weitere nützliche Schlussfolgerung. Nicht jeder gewöhnliche Bruch lässt sich in eine Dezimalzahl umwandeln. !

Das sind übrigens nützliche Informationen zur Selbstprüfung. Im Abschnitt „B“ müssen Sie als Antwort einen Dezimalbruch notieren. Und du hast zum Beispiel 4/3 bekommen. Dieser Bruch wird nicht in eine Dezimalzahl umgewandelt. Das bedeutet, dass Sie irgendwo auf dem Weg einen Fehler gemacht haben! Kommen Sie zurück und prüfen Sie die Lösung.

Also, mit gewöhnlichen Brüchen und Dezimalbrüchen. Es bleibt, sich mit gemischten Zahlen zu befassen. Um mit ihnen arbeiten zu können, müssen sie alle in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Wie kann man das machen? Sie können einen Sechstklässler erwischen und ihn fragen. Aber nicht immer wird ein Sechstklässler zur Stelle sein ... Wir müssen es selbst machen. Es ist nicht schwer. Multiplizieren Sie den Nenner des Bruchteils mit dem ganzzahligen Teil und addieren Sie den Zähler des Bruchteils. Dies ist der Zähler eines gemeinsamen Bruchs. Was ist mit dem Nenner? Der Nenner bleibt derselbe. Es klingt kompliziert, ist aber eigentlich ganz einfach. Sehen wir uns ein Beispiel an.

Nennen Sie das Problem, das Sie mit Entsetzen gesehen haben, der Nummer:

Ruhig und ohne Panik verstehen wir. Der ganze Teil ist 1. Eins. Der Bruchteil ist 3/7. Daher ist der Nenner des Bruchteils 7. Dieser Nenner wird der Nenner des gewöhnlichen Bruchs sein. Wir zählen den Zähler. Wir multiplizieren 7 mit 1 (dem ganzzahligen Teil) und addieren 3 (dem Zähler des Bruchteils). Wir erhalten 10. Dies ist der Zähler eines gewöhnlichen Bruchs. Das ist alles. In mathematischer Notation sieht es noch einfacher aus:

Deutlich? Dann sichern Sie sich Ihren Erfolg! In gewöhnliche Brüche umwandeln. Sie sollten 10/7, 7/2, 23/10 und 21/4 erhalten.

Die umgekehrte Operation – die Umwandlung eines unechten Bruchs in eine gemischte Zahl – ist in der Oberstufe selten erforderlich. Nun, wenn ... Und wenn Sie – nicht in der High School – können Sie sich den Sonderabschnitt 555 ansehen. Dort erfahren Sie übrigens auch etwas über unechte Brüche.

Na ja, fast alles. Sie haben sich an die Arten von Brüchen erinnert und verstanden Wie Konvertieren Sie sie von einem Typ in einen anderen. Bleibt die Frage: Wofür Tu es? Wo und wann kann dieses tiefe Wissen angewendet werden?

Ich antworte. Jedes Beispiel selbst legt die notwendigen Maßnahmen nahe. Wenn im Beispiel gewöhnliche Brüche, Dezimalzahlen und sogar gemischte Zahlen zu einem Haufen gemischt werden, übersetzen wir alles in gewöhnliche Brüche. Es ist immer machbar. Nun, wenn so etwas wie 0,8 + 0,3 geschrieben steht, dann denken wir das, ohne jegliche Übersetzung. Warum brauchen wir zusätzliche Arbeit? Wir wählen die Lösung, die für Sie am bequemsten ist uns !

Wenn die Aufgabe voller Dezimalbrüche ist, aber ähm ... irgendwelche bösen Brüche, gehen Sie zu den gewöhnlichen Brüchen über und probieren Sie es aus! Schau, alles wird gut. Beispielsweise müssen Sie die Zahl 0,125 quadrieren. Gar nicht so einfach, wenn Sie den Taschenrechner nicht abgewöhnt haben! Sie müssen nicht nur die Zahlen in einer Spalte multiplizieren, sondern auch darüber nachdenken, wo Sie das Komma einfügen! In meinem Kopf funktioniert es definitiv nicht! Und wenn Sie zu einem gewöhnlichen Bruch gehen?

0,125 = 125/1000. Wir reduzieren um 5 (das ist für den Anfang). Wir bekommen 25/200. Noch einmal auf 5. Wir bekommen 5/40. Oh, es schrumpft! Zurück zu 5! Wir bekommen 1/8. Einfach quadrieren (in Gedanken!) und 1/64 erhalten. Alle!

Fassen wir diese Lektion zusammen.

1. Es gibt drei Arten von Brüchen. Gewöhnliche, dezimale und gemischte Zahlen.

2. Dezimalzahlen und gemischte Zahlen Stets kann in gewöhnliche Brüche umgewandelt werden. Rückübersetzung nicht immer verfügbar.

3. Die Wahl der Art der Brüche für die Bearbeitung der Aufgabe hängt von dieser Aufgabe ab. Wenn es in einer Aufgabe verschiedene Arten von Brüchen gibt, ist es am zuverlässigsten, auf gewöhnliche Brüche umzusteigen.

Jetzt können Sie üben. Wandeln Sie zunächst diese Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche um:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Sie sollten Antworten wie diese erhalten (durcheinander!):

Damit kommen wir zum Abschluss. In dieser Lektion haben wir die wichtigsten Punkte zum Thema Brüche aufgefrischt. Es kommt jedoch vor, dass es nichts Besonderes zu aktualisieren gibt ...) Wenn jemand es völlig vergessen hat, oder es noch nicht beherrscht ... Die können zu einem speziellen Abschnitt 555 gehen. Alle Grundlagen sind dort detailliert aufgeführt. Viele plötzlich alles verstehen beginnen. Und sie lösen Brüche im Handumdrehen.

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.