Praktische Unterrichtsanwendung der Ableitung zur Konstruktion von Graphen. Anwenden einer Ableitung auf das Zeichnen einer Funktion

Jobtyp: 7

Bedingung

Die Abbildung zeigt ein Diagramm von y \u003d f "(x) - die Ableitung der Funktion f (x), definiert im Intervall (-4; 10). Finden Sie die Intervalle der abnehmenden Funktion f (x). In Ihrer Antwort , geben Sie die Länge des größten von ihnen an.

Lösung anzeigen

Lösung

Wie Sie wissen, nimmt die Funktion f (x) in den Intervallen ab, an denen die Ableitung f "(x) an jedem Punkt kleiner als Null ist. Wenn man bedenkt, dass es notwendig ist, die Länge des größten von ihnen zu finden, drei solcher Intervalle unterscheiden sich natürlich von der Figur: (-4; -2) ;(0;3);(5;9).

Die Länge des größten von ihnen - (5; 9) ist gleich 4.

Antworten

Jobtyp: 7
Thema: Anwendung der Ableitung auf das Studium von Funktionen und Plotten

Bedingung

Die Abbildung zeigt ein Diagramm von y \u003d f "(x) - die Ableitung der Funktion f (x), definiert im Intervall (-8; 7). Finden Sie die Anzahl der maximalen Punkte der Funktion f (x), die dazugehören zum Intervall [-6; -2].

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Lösung

Die Grafik zeigt, dass die Ableitung f "(x) der Funktion f (x) an genau einem Punkt (zwischen -5 und -4) aus dem Intervall [ -6;-2 Daher gibt es genau einen maximalen Punkt auf dem Intervall [-6;-2].

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Anwendung der Ableitung auf das Studium von Funktionen und Plotten

Bedingung

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x), die auf dem Intervall (-2; 8) definiert ist. Bestimmen Sie die Anzahl der Punkte, an denen die Ableitung der Funktion f(x) gleich 0 ist.

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Lösung

Wenn die Ableitung an einem Punkt gleich Null ist, dann ist die Tangente an den Graphen der an diesem Punkt gezeichneten Funktion parallel zur Ox-Achse. Daher finden wir solche Punkte, an denen die Tangente an den Funktionsgraphen parallel zur Ox-Achse ist. In diesem Diagramm sind solche Punkte Extrempunkte (Maximal- oder Minimalpunkte). Wie Sie sehen können, gibt es 5 Extrempunkte.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Anwendung der Ableitung auf das Studium von Funktionen und Plotten

Bedingung

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) und markierte Punkte -6, -1, 1, 4 auf der x-Achse. An welchem dieser Punkte ist der Wert der Ableitung am kleinsten? Bitte geben Sie diesen Punkt in Ihrer Antwort an.

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Lösung

Wir ziehen Tangenten an den Graphen der Funktion an Punkten mit den angegebenen Abszissen. Wir bestimmen, in welchem Winkel sie zur positiven Richtung der Ochsenachse geneigt sind. Wie Sie wissen, ist der Wert der Tangente des angegebenen Winkels der Wert der Ableitung an den angegebenen Punkten.

An den Punkten -1 und 4 sind die Tangenten spitzwinklig geneigt, sodass der Wert der Ableitung an diesen Punkten negativ ist. Bedenkt man, dass die Tangente am Punkt x=-6 in einem kleineren stumpfen Winkel geneigt ist (näher an der Vertikalen), ist der Wert der Ableitung an diesem Punkt am kleinsten.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Anwendung der Ableitung auf das Studium von Funktionen und Plotten

Bedingung

Die Abbildung zeigt ein Diagramm von y \u003d f "(x) - die Ableitung der Funktion f (x), definiert im Intervall (-9; 4). Finden Sie die Intervalle zum Erhöhen der Funktion f (x). In Ihrem Antwort, geben Sie die Länge des größten von ihnen an.

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Lösung

Wie Sie wissen, nimmt die Funktion f (x) in den Intervallen zu, an denen die Ableitung f "(x) an jedem Punkt größer als Null ist. Wenn man bedenkt, dass es notwendig ist, die Länge des größten von ihnen zu finden, drei solcher Intervalle unterscheiden sich natürlich von der Figur: (-9; -8) ; (-5; -1); (1; 4).

Die Länge des größten von ihnen (-5; -1) beträgt 4.

Antworten

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf die Prüfung-2017. Profilebene. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Anwendung der Ableitung auf das Studium von Funktionen und Plotten

Bedingung

Die Abbildung zeigt ein Diagramm von y \u003d f "(x) - die Ableitung der Funktion f (x), definiert im Intervall (-8; 7). Finden Sie die Anzahl der Minimalpunkte der Funktion f (x), die dazugehören zum Intervall [-4; 3].

Thema: " Anwendung der Ableitung auf das Zeichnen einer Funktion"

Unterrichtsziele:

1) lehrreich : Einarbeitung der Studenten in das allgemeine Schema des Studiums der Funktion durch die Methode des Zeichnens eines geraden und ungeraden Funktionsgraphen, Schulung in der Durchführung von Recherchen und Plotten;

2) pädagogisch : Förderung einer anspruchsvollen Haltung gegenüber sich selbst beim selbstständigen Studium neuer Stoffe;

3) Entwicklung : Entwicklung der Beobachtung, die Fähigkeit, ihre Handlungen zu begründen und zu argumentieren.

Ausrüstung: Tafelbeschriftung, Karten, Signalkarten (grün-rot), Computer, Multimedia-Beamer, Ableitungstabelle, Differenzierungsregeln.

Unterrichtsart: Lektion - theoretische und praktische Forschung.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment

Richten Sie sich für den Unterricht ein. Musik - "Wintermorgen", Begrüßung der Gäste (Folie 2-4).

Über das Thema und die Ziele der Lektion berichten(Folie 5) .

Analysieren der Bedeutung von Wörtern Anatole Frankreich: "Um Wissen zu verdauen, muss man es mit Begeisterung aufnehmen." (Folie 6)

Neues Thema (Folie 7)

Laden für Speicher (Folie 8,9,10)

P. Überprüfung der Hausaufgaben

Beim Studium von neuem Material sind die zuvor erworbenen Kenntnisse erforderlich: „Zunahme und Abnahme einer Funktion“, „Extrema einer Funktion“, „Formeln von Ableitungen“. (Mündlich durchgeführt.)

Nennen Sie die Intervalle der Abnahme, Zunahme, Extrema der Funktion. ( Folie 11,12)

Arbeiten Sie nach Zeitplänen (Folie 13-14)

(Die Aufgaben werden gemäß den Optionen ausgeführt, gefolgt von einer gegenseitigen Überprüfung am Computer.)

Übereinstimmung zwischen den einzelnen Intervallen gemäß der angezeigten Grafik (AE) und die Art des Verhaltens der Funktion in diesem Intervall.

Notebooks tauschen, die Arbeit eines Nachbarn am Computer checken. Erhebe deine Hände, diejenigen, die keine Fehler haben. Erhebe jetzt diejenigen, die Fehler haben.

III. Aktualisierung des Grundwissens

In der Anfangsphase werden Bedingungen für eine weitere effektive Arbeit im Klassenzimmer geschaffen: Organisation des Arbeitsraums, Aufmerksamkeit der Schüler auf die bevorstehenden Bildungsaktivitäten, das Thema.

Spiel "Karussell" (zum Testen des Themas "Derivate").

IV. Arbeiten mit dem Lehrbuch(S. 145 -154 - auf dem Bildschirm anzeigen)

Eigenständiges Studium von neuem Stoff nach Plan an der Tafel.

Schreiben Sie das Schema der Untersuchung der Funktion in ein Notizbuch.

Schreiben Sie mit dem Lehrer eine Musterlösung für die Aufgaben 2 und 3 auf. Der Lehrer organisiert die Arbeit so, dass er Informationen über den Grad der Aneignung des Unterrichtsmaterials durch verschiedene Schüler erhält.

Betrachten Sie eine Methode zum Zeichnen einer geraden (ungeraden)
funktioniert am Beispiel einer der Aufgaben des Lehrbuchs.

Beispiellösungen.

Aufgabe 2. Zeichnen Sie die Funktion y \u003d (x) \u003d x 3 - 2x 2 +x.

1. Definitionsbereich D(f) = R.

Finden wir die Ableitung f"(x) = (x 3 - 2x 2 + X)" = 3x 2 - 4x +1.

f"(x) \u003d 0. 3x 2 - 4x + 1 \u003d 0,

(3x-1) (x-1) = 0

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 1/3

4. Finden Sie die Intervalle der Zunahme und Abnahme mit der Methode der Intervalle und der Regel des Zeichenwechsels.

Die Funktion steigt auf den Intervallen: (-∞, 1/3) und (1,+ ∞), da f"(x)

Als f"(x) auf dem Intervall (1/3, 1), was bedeutet, dass die Funktion auf diesem Intervall abnimmt.

5. Beim Durchgang durch den Punkt x \u003d - ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von "+" auf "-", was bedeutet, dass dies der maximale Punkt ist. Beim Durchgang durch den Punkt x \u003d 1 ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von "-" auf "+", was bedeutet, dass dies der Mindestpunkt ist. Die Werte in den Extrema sind gleich:

f (1/3) = (1/3) 3 -2 (1/3) 2 + 1/3 = 4/27;

Lassen Sie uns eine Tabelle erstellen, die auf den Ergebnissen der Studie basiert


f"(x)
f(X)

7. Finde die Abszissen der Schnittpunkte des Graphen mit der Achse Oh:
x 3 -2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 -2x + 1) \u003d 0,

x (x -1) 2 \u003d 0, x \u003d 0 oder x \u003d 1.

8. Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen.

Fizminutka

Lehrbucharbeit

Aufgabe 3. Zeichnen Sie die Funktion f(X) = 1-5/2x 2 -X 5 .

Lösung.

Domain D(f) = R.

Finden wir die Ableitung f"(x\u003d -5x - 5x 4 \u003d -5 x (1 + x 3).

Finden Sie die kritischen Punkte, indem Sie die Gleichung lösen f"(x) = 0. -5x(1 + x 3) = 0, also

x 1 \u003d 0, x 2 \u003d -1.

4. Finden Sie die Intervalle der Zunahme und Abnahme mit der Methode der Intervalle und der Regel des Zeichenwechsels:

für Derivat
f"(x\u003d -5x (1 + x 3) wir haben 3 Intervalle ein Zeichen für Konstanz:

(-∞;-1); (-1;0); (0;+ ∞).

f "( x )0 auf dem Intervall (-1; 0), was bedeutet, dass die Funktion auf diesem Intervall zunimmt.

Ähnlich f "( x ) 0 auf den Intervallen (-∞;-1) und (0; +∞), was bedeutet, dass die Funktion auf ihnen abfällt.

5. Beim Durchgang durch den Punkt x \u003d -1 ändert die Ableitung das Vorzeichen von "-" auf "+", was bedeutet, dass dies der Mindestpunkt ist. Beim Durchgang durch den Punkt x \u003d 0 ändert die Ableitung das Vorzeichen von „+“ auf „-“, was bedeutet, dass dies der maximale Punkt ist. Die Werte in den Extrema sind gleich:

f(-1)=-0,5 f(0)=1

5. Kreative Aufgabe

Die vom Lehrer identifizierten Aufgaben geben das Ziel vor und stellen ein Zwischenergebnis dar, das zur Erreichung des Hauptziels des Unterrichts beiträgt.

Das Material wird nach didaktischen Grundsätzen für Studierende zugänglich gemacht.

Aufgabe 4.

Vervollständigen Sie die Skizze des Graphen der Funktion mit diesem Wissen bei = f(x) ist eine gerade Funktion,

Antworten:

VI. Konsolidierung des studierten Materials

Aufgaben tragen zur Entwicklung der kognitiven Fähigkeiten der Schüler bei.

Aufgabe 8. Zeichnen Sie den Funktionsgraphen.

Arbeiten Sie in Gruppen von 4 Personen. Ein Schüler in jeder Gruppe entscheidet auf der Rückseite der Tafel. Die Gruppen lösen abwechselnd die Beispiele und beraten sich gegenseitig als Gruppe (siehe Anhang).

a) y = 2 + 5x 3 -Zx 5;

b) y = 4x 5 -5x 4;

in) y= Zx 5-5x 3.

VII. Zusammenfassung der Lektion

Wie geht man vor, um die Eigenschaften einer Funktion zu untersuchen?

Antworten:

Ich muss finden:

Funktionsumfang ( D ( f ) = R a ).

Derivat (f"(x)).

Stationäre Punkte ( f"(x = 0)

Intervalle der Zunahme und Abnahme (Methode der Intervalle).

Extrempunkte und der Wert der Funktion an diesen Punkten.

a) Schnittpunkte mit der Achse Oh (wenn es möglich ist);

b) mehrere zusätzliche Punkte des Diagramms (für eine genauere Konstruktion).

Und jetzt lasst uns eine Auktion zum Verstehen von Horoskopen veranstalten.

Häuser. Aufgaben erledigen

Zeichnen Sie die Funktion:

a) y \u003d 3x +1/3x b) bei = 2 + 3 X - X 3 .

Aufgabe 9. Nennen Sie möglichst viele Eigenschaften der Funktion, deren Graph gezeigt wird.

(Grafiken von Funktionen auf dem Computer werden abwechselnd auf den Bildschirm projiziert. Die Schüler geben Antworten. Jede richtige Antwort ist 1 Punkt wert, die letzte 3 Punkte. Schüler, die die meisten Punkte erzielen, erhalten die Note "5". )

Eigenschaften:

steigt;
Mindestpunktzahl;
maximale Punktzahl;
Wendepunkte;
gerade ungerade);
Domain;

Wertebereich;

Schnittpunkte mit Oh;

Schnittpunkte mit OE;

Symmetrie des Graphen der Funktion;

die Funktion nimmt positive Werte an;

die Funktion nimmt negative Werte an;

der größte Wert der Funktion;

der kleinste Wert der Funktion.

Hausaufgaben

Aufgabe 10.

Zeichnen Sie die Funktion:

a) y \u003d \u003d 3x +1/3x

b) bei = ha X ;

in) bei = 2 + Zx - x 3 .

Anwendung

LösungenAufgabe 7.

a) Lösung.

1.D ( f ) = R .

2. Funktion y(x) = 6(-x) 4 -4(-x) 6 = 6x 4 -4x 6 = y(x) sogar, gra-
fic ist symmetrisch in Bezug auf OU.

Wir erforschen auf (0; +∞),

3. Finden Sie die Ableitung bei" =24x 3 -24x5.

4. Finden Sie kritische Punkte: bei" = 0,24x3 (1 -X 2 ) = 0, x 1 = 0,
x 2,3 \u003d ± 1.


f"(x
f(x)
Extrem

Zeitlicher Ablauf

b) Lösung.

Funktion y (-x) \u003d 1/10 (-x) 5 - 5/6 (-x ") + 2 (-x) \u003d -1 / 10x 5 + 5/6x 3 -

2x \u003d -y (x) ist ungerade, der Graph ist symmetrisch zum Ursprung. Erkunden auf (0; + ∞).

Ableitung finden f "( x ) \u003d ½ x 4 -5 / 2 x 2 +2.

Kritische Punkte finden: f "( x \u003d 0, x 4 -5x 2 + 4 \u003d \u003d (x 2 - 4) (x 2 - I) \u003d (x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 1) \ u003d 0,

X 1 \u003d +2, x 2 \u003d -2, x 3 \u003d + 1, x 4 \u003d -1

						(2; ∞+)
f "( x )
f(x)
Extrem

Zeitlicher Ablauf

C) Lösung

Ableitung finden bei" = -zx 2 +8x-4.

Kritische Punkte finden: bei" = 0, -Zx 2 + 8x - 4 =

\u003d - (Zx-2) (x-2) \u003d 0, x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2/3.

5. Vorzeichen der Ableitung.

6. Intervalle der Zunahme und Abnahme.

					(2; + ∞)
f "( x )
f(x)
Extrem

Aufgabe 8.

a) Lösung.

5. Intervalle der Zunahme und Abnahme.

	(-∞-1)	(1 ;0)		(1; + ∞)
Du"
Bei
			Wendepunkt

b) Lösung.

D (y) = R.

Ableitung finden y" = 20x 4 -20x 3.

Kritische Punkte finden: y" =0, 20x 3 (x-1) = 0,

4. Vorzeichen der Ableitung.

5. Intervalle der Zunahme und Abnahme.

in) Lösung.

D (y) = R.

2. Funktion y (-x) \u003d 3 (-x) 5 -5 (-x) 3 \u003d -3x 5 + 5x 3 \u003d - (3x 5 -5x 3) nicht-
sogar der Graph der Funktion ist symmetrisch in Bezug auf den Koordinatenursprung
Dinat. Wir untersuchen die Funktion auf (0; +oo).

3. Finden Sie die Ableitung bei"\u003d 15x 4 - 15x 2 \u003d 15x 2 (x 2 -1).

Kritische Punkte finden: bei"\u003d 0, 15x 2 (x 2 -1) \u003d 0, x, \u003d 0, x 2,3 \u003d ± 1.

Abgeleitete Zeichen.

______________________________________________

6. Intervalle der Zunahme und Abnahme.


bei"
Bei
	Wendepunkt

Wenn der Graph der Funktion in einem bestimmten Intervall eine durchgehende Linie ist, mit anderen Worten, eine solche Linie, die ohne Bleistift von einem Blatt Papier gezeichnet werden kann, dann heißt eine solche Funktion in diesem Intervall stetig. Es gibt auch Funktionen, die nicht stetig sind. Betrachten Sie als Beispiel den Graphen einer Funktion, die auf den Intervallen und [c; b] ist kontinuierlich, aber an einem Punkt
x = c ist diskontinuierlich und daher nicht stetig auf dem gesamten Segment. Alle Funktionen, die wir im Schulmathematikkurs studieren, sind stetige Funktionen auf jedem Intervall, auf dem sie definiert sind.

Beachten Sie, dass eine Funktion, die in einem bestimmten Intervall eine Ableitung hat, in diesem Intervall stetig ist.

Die Umkehrung ist nicht wahr. Eine Funktion, die in einem Intervall stetig ist, hat möglicherweise an einigen Stellen in diesem Intervall keine Ableitung. Zum Beispiel die Funktion
y = |log 2 x| ist auf dem Intervall x > 0 stetig, hat aber an der Stelle x = 1 keine Ableitung, da der Graph der Funktion an dieser Stelle keine Tangente hat.

Ziehen Sie in Betracht, Diagramme mit der Ableitung zu zeichnen.

Zeichnen Sie die Funktion f(x) = x 3 - 2x 2 + x.

Lösung.

1) Diese Funktion ist für alle x ∈ R definiert.

2) Finden Sie die Monotonieintervalle der betrachteten Funktion und ihren Extremumspunkt unter Verwendung der Ableitung. Die Ableitung ist f "(x) = 3x 2 - 4x + 1. Finden Sie die stationären Punkte:
3x 2 - 4x + 1 \u003d 0, woraus x 1 \u003d 1/3, x 2 \u003d 1.

Um das Vorzeichen der Ableitung zu bestimmen, zerlegen wir das quadratische Trinom 3x 2 - 4x + 1 in Faktoren:
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1). Daher in den Intervallen x< 1/3 и х >1 Ableitung ist positiv; die Funktion nimmt also in diesen Intervallen zu.

Die Ableitung ist bei 1/3 negativ< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Der Punkt x 1 \u003d 1/3 ist der maximale Punkt, da die Funktion rechts von diesem Punkt abnimmt und nach links zunimmt. An diesem Punkt ist der Wert der Funktion f (1/3) = (1/3) 3 - 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Der Mindestpunkt ist der Punkt x 2 \u003d 1, da die Funktion links von diesem Punkt abnimmt und nach rechts zunimmt; sein Wert an diesem Minimalpunkt ist f(1) = 0.

3) Beim Konstruieren eines Graphen werden üblicherweise die Schnittpunkte des Graphen mit den Koordinatenachsen gefunden. Da f(0) = 0 ist, geht der Graph durch den Ursprung. Lösen wir die Gleichung f(0) = 0, finden wir die Schnittpunkte des Graphen mit der x-Achse:

x 3 - 2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 - 2x + 1) \u003d 0, x (x - 1) 2 \u003d 0, woraus x \u003d 0, x \u003d 1.

4) Für eine genauere Darstellung suchen wir die Werte der Funktion an zwei weiteren Punkten: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Anhand der Ergebnisse der Studie (Punkte 1 - 4) erstellen wir ein Diagramm der Funktion y \u003d x 3 - 2x 2 + x.

Um eine Funktion zu zeichnen, untersucht man normalerweise zuerst die Eigenschaften dieser Funktion, indem man ihre Ableitung nach einem Schema ähnlich dem Schema zur Lösung von Problem 1 verwendet.

Wenn Sie also die Eigenschaften einer Funktion untersuchen, müssen Sie Folgendes finden:

1) der Bereich seiner Definition;

2) Derivat;

3) stationäre Punkte;

4) Zunahme- und Abnahmeintervalle;

5) Extrempunkte und Funktionswerte an diesen Punkten.

Die Ergebnisse der Studie werden bequem in Form einer Tabelle festgehalten. Erstellen Sie dann mithilfe der Tabelle einen Graphen der Funktion. Für eine genauere Darstellung werden normalerweise die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und gegebenenfalls einige weitere Punkte des Diagramms gefunden.

Wenn wir mit einer geraden oder ungeraden Funktion konfrontiert sind, dann für Beim Erstellen seines Diagramms reicht es aus, die Eigenschaften zu untersuchen und sein Diagramm für x\u003e 0 zu erstellen und es dann symmetrisch um die y-Achse (Ursprung) zu reflektieren. Wenn wir beispielsweise die Funktion f(x) = x + 4/x analysieren, kommen wir zu dem Schluss, dass diese Funktion ungerade ist: f(-x) = -x + 4/(-x) = -(x + 4/ x) = -f(x). Nachdem wir alle Punkte des Plans abgeschlossen haben, erstellen wir einen Graphen der Funktion für x\u003e 0 und den Graphen dieser Funktion für x< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 relativ zum Ursprung.

Aus Gründen der Kürze beim Lösen von Problemen zum Zeichnen von Funktionen wird der größte Teil der Argumentation mündlich durchgeführt.

Wir weisen auch darauf hin, dass wir bei der Lösung einiger Probleme möglicherweise auf die Notwendigkeit stoßen, die Funktion nicht im gesamten Definitionsbereich, sondern nur in einem bestimmten Intervall zu untersuchen, z. B. wenn Sie beispielsweise die Funktion f (x) zeichnen müssen. = 1 + 2x 2 - x 4 auf Segment [-1; 2].

blog.site, mit vollständigem oder teilweisem Kopieren des Materials, ist ein Link zur Quelle erforderlich.

Staatliche Bildungseinrichtung der Sekundarstufe Berufsbildung der Region Tula

"Lipkovsky Polytechnic College"

Zusammenfassung der Lektion

zum Thema " Anwenden einer Ableitung auf eine Konstruktion

Grafikfunktionen"

Als ich stimme zu:

bei einer Sitzung des Zentralkomitees Direktor für SD

Vorsitzender _________I.V. Kuvshinova _____________V.V. Arschakow

datiert „___“ __________2013 "___" _______________2013

Vom Lehrer vorbereitet

Arschakowa V. V.

„Das Fach Mathematik ist so ernst, dass es sinnvoll ist, keine Gelegenheit zu verpassen, es ein wenig unterhaltsam zu gestalten“ Paskal

Die Zunahme der mentalen Belastung im Mathematikunterricht lässt uns darüber nachdenken, wie das Interesse der Schüler an der studierten Disziplin aufrechterhalten werden kann. Schließlich ist es kein Geheimnis, dass viele Schüler Schwierigkeiten erliegen und sich manchmal gewisse Anstrengungen nicht leisten wollenErwerb von Wissen. Schüler, die eine technische Schule betreten, haben in der Regel eine schlechte Vorbereitung und ein völliges Desinteresse an dem Fach. Daher ist es äußerst problematisch, solide mathematische Kenntnisse zu erlangen.

Unterrichtsthema: Anwenden der Ableitung auf Plotfunktionen

Unterrichtsziele:

1) lehrreich: Einarbeitung der Studenten in das allgemeine Schema des Studiums der Funktion durch die Methode des Zeichnens eines geraden und ungeraden Funktionsgraphen, Schulung in der Durchführung von Recherchen und Plotten;

2) pädagogisch: Förderung einer anspruchsvollen Haltung gegenüber sich selbst beim selbstständigen Studium neuer Stoffe;

3) Entwicklung: Entwicklung der Beobachtung, die Fähigkeit, ihre Handlungen zu begründen und zu argumentieren.

Ausrüstung: Tafelbeschriftung, Karten, Signalkarten (grün-rot),Computer, Multimedia-Projektor.

Unterrichtsart: Lektion - theoretische und praktische Forschung.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer MomentÜber das Thema und die Ziele der Lektion berichten. Der Lehrer äußert das Thema der Lektion und stellt fest, dass das zuvor erworbene Wissen verwendet werden muss:eine Ableitungstabelle, Ableitungsregeln, sowie die Themen „Zunahme und Abnahme einer Funktion“, „Extrema einer Funktion“, um den Zusammenhang des zu studierenden Themas mit anderen Themen des Studiengangs aufzuzeigen, verschiedene Bereiche praktische Tätigkeit.

P. Überprüfung der Hausaufgaben

(Mündlich durchgeführt.)

Nennen Sie die Intervalle der Abnahme, Zunahme, Extrema der Funktion.

Bei der Auswertung der Antworten der Studierenden werden ihre individuellen Eigenschaften und das Potenzial jedes Studierenden berücksichtigt. Aufgaben werden differenziert, damit die Schüler ihren Erfolg spüren.

III. Aktualisierung des Grundwissens

Die Ziele und Zielsetzungen der Befragung sind pädagogischer Natur, sie entsprechen dem von der Lehrkraft vorgelegten Unterrichtsstoff.

Übung 1.

Prüfen.

(Die Aufgaben werden gemäß den Optionen ausgeführt, gefolgt von einer gegenseitigen Überprüfung am Computer.)

Übereinstimmung zwischen den einzelnen Intervallen gemäß der angezeigten Grafik(AE) und die Art des Verhaltens der Funktion in diesem Intervall.

Möglichkeit I

Intervalle: A = (-3; 0); B = (-2; 0); C \u003d (-2; 2); D = (0;3); E \u003d (1; 3).

Verhalten: 1) nimmt ab; 2) steigt 3) hat ein Minimum; 4) hat ein Maximum.

Antworten: A2, B2, C4, D1, E1.

Variante II

Intervalle: A \u003d (-3; -1); B = (1; 3); C=(-l; l); D=(0;2); E \u003d (-2; 0).

Verhalten: 1) nimmt ab; 2) steigt; 3) hat ein Minimum; 4) hat ein Maximum.

Antworten: A2, B3, C4, D1, E2.

Notebooks tauschen, die Arbeit eines Nachbarn am Computer checken. Erhöhen Sie die grüne Karte, wer keine Fehler hat. Hebe eine rote Karte, wer einen Fehler hat.

IV. Arbeiten mit dem Lehrbuch

Eigenständiges Studium von neuem Stoff nach Plan an der Tafel.

Planen:

Lesen Sie den Text des Absatzes "Anwendung der Ableitung auf die Konstruktion von Funktionsgraphen". Befähigung zur eigenständigen Problemstellung und -lösung im Rahmen des zu bearbeitenden Themas.
Schreiben Sie das Schema der Untersuchung der Funktion in ein Notizbuch.
Schreiben Sie mit dem Lehrer eine Musterlösung für die Aufgaben 2 und 3 auf. Der Lehrer organisiert die Arbeit so, dass er Informationen über den Grad der Aneignung von Unterrichtsmaterial durch verschiedene Schüler erhält.
Betrachten Sie eine Methode zum Zeichnen einer geraden (ungeraden)
funktioniert am Beispiel einer der Aufgaben des Lehrbuchs.

Beispiellösungen.

Aufgabe 2. Zeichnen Sie die Funktion y= (x) = x 3 - 2x 2 + x.

Lösung.

1. Definitionsbereich D(f) = R.

(Zx-1) (x-1) = 0

X1 = 1, X2 = 1/3

4. Finden Sie die Intervalle der Zunahme und Abnahme mit der Methode der Intervalle und der Regel des Zeichenwechsels.

Die Funktion steigt auf den Intervallen: (-∞, 1/3) und (1,+ ∞), da f"(x)

Da f "(x)

5. Beim Durchgang durch den Punkt x \u003d - ändert sich das Vorzeichen der Ableitung von "+" auf "-", was bedeutet, dass dies der maximale Punkt ist. Beim Durchgang durch den Punkt x \u003d 1 ZeichenAbleitung ändert sich von "-" nach "+", was bedeutet, dass dies der Minimalpunkt ist. Die Werte in den Extrema sind gleich:

f (1/3) = (1/3) 3 -2 (1/3) 2 + 1/3 = 4/27;

f(1)=1-2 +1=0

Lassen Sie uns eine Tabelle erstellen, die auf den Ergebnissen der Studie basiert

	(-∞, 1/3)		(1/3, 1),	(1,+ ∞),
f"(x)
f(x)		4/27		↓

7. Finde die Abszissen der Schnittpunkte des Graphen mit der Achse Oh:
x 3 -2x 2 + x \u003d 0,

X (x 2 -2x + 1) \u003d 0,

X (x -1) 2 \u003d 0,

x = 0 oder x = 1.

8. Lassen Sie uns einen Graphen der Funktion erstellen.

Aufgabe 3. Zeichnen Sie die Funktion f (x) \u003d 1-5/2 x 2 - x 5.

Lösung.

Domain D(f)=R.
Finden wir die Ableitung f "(x \u003d -5x - 5x 4 \u003d -5 x (1 + x 3).
Finden Sie die kritischen Punkte, indem Sie die Gleichung lösen f "(x) \u003d 0. -5x (1 + x 3 ) = 0, also

x 1 \u003d 0, x 2 \u003d -1.

4. Finden Sie die Intervalle der Zunahme und Abnahme mit der Methode der Intervalle und der Regel des Zeichenwechsels:

Für Derivat
f "(x \u003d -5x (1 + x 3 ) haben wir 3 Intervalle das Zeichen der Konstanz:

(- ∞ ;-1); (-1;0); (0;+ ∞ ).

f"(x)>0 auf dem Intervall (-1; 0), was bedeutet, dass die Funktion auf diesem Intervall zunimmt.

Ähnlich f"(x) 0 in Intervallen (-∞ ;-1) und (0; + ∞ ), was bedeutet, dass die Funktion auf ihnen abnimmt.

f(-1)=-0,5 f(0)=1

5. Kreative Aufgabe

Die vom Lehrer identifizierten Aufgaben geben das Ziel vor und stellen ein Zwischenergebnis dar, das zur Erreichung des Hauptziels des Unterrichts beiträgt.

Das Material wird nach didaktischen Grundsätzen für Studierende zugänglich gemacht.

Aufgabe 4.

Vervollständigen Sie die Skizze des Graphen der Funktion mit diesem Wissen y = f(x) ist eine gerade Funktion,

Antworten:

Aufgabe 6.

Beenden Sie den Satz.

1) Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch bezüglich ...(Oy-Achse).

2) Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch bezüglich ...(Anfang-
la Koordinaten(0; 0)).

VI. Konsolidierung des studierten Materials

Aufgaben tragen zur Entwicklung der kognitiven Fähigkeiten der Schüler bei.

Aufgabe 7. Zeichnen Sie den Funktionsgraphen.

(Aufgaben unter Punkt a) und b) werden abwechselnd im Vorstand bearbeitet;

C) - selbstständig mit einem Selbsttest am Computer (Siehe Anhang.)

a) y \u003d 6x 4 -4x 6;

b) y \u003d 1/10x 5 -5 / 6x 3 + 2x

c) y \u003d -x 3 + 4x 2 - 4x;

Aufgabe 8. Zeichnen Sie den Funktionsgraphen.

a) y \u003d 2 + 5x 3 -3x 5;

b) y \u003d 4x 5 -5x 4;

c) y \u003d Zx 5 -5x 3.

VII. Zusammenfassung der Lektion

Wie geht man vor, um die Eigenschaften einer Funktion zu untersuchen?

Antworten:

Ich muss finden:

Funktionsumfang(D(f) = Ra).
Ableitung (f "(x)).
Stationäre Punkte ( f"(x=0)
Intervalle der Zunahme und Abnahme (Methode der Intervalle).
Extrempunkte und der Wert der Funktion an diesen Punkten.

a) Schnittpunkte mit der Achse Ach (wenn möglich);

B) mehrere zusätzliche Punkte des Diagramms (für eine genauere Konstruktion).

Und jetzt lasst uns eine Auktion zum Verstehen von Horoskopen veranstalten.

Aufgabe 9. Nennen Sie möglichst viele Eigenschaften der Funktion, deren Graph gezeigt wird.

Eigenschaften:

sinkt;
steigt;
Mindestpunktzahl;
maximale Punktzahl;
Wendepunkte;
gerade ungerade);
Domain;

Wertebereich;
Schnittpunkte mit Oh;

Schnittpunkte mit OE;
Symmetrie des Graphen der Funktion;
die Funktion nimmt positive Werte an;
die Funktion nimmt negative Werte an;
der größte Wert der Funktion;
der kleinste Wert der Funktion.

Hausaufgaben

Aufgabe 10.

Zeichnen Sie die Funktion:

A) y \u003d \u003d 3x + 1/3x

b) y \u003d xex;

c) y \u003d 2 + Zx - x 3.

Anwendung

Lösungsaufgabe 7.

eine Entscheidung.

1. D(f) = R.

2. Funktion y (-x) \u003d 6 (-x) 4 -4 (-x) 6 \u003d 6x 4 -4x 6 \u003d y (x) sogar, gra-
fic ist symmetrisch in Bezug auf OU.

Wir erforschen auf (0; +∞),

3. Finden Sie die Ableitung y" \u003d 24x 3 -24x 5.

4. Finden Sie kritische Punkte: y" \u003d 0, 24x 3 (1 - x 2) \u003d 0, x 1 \u003d 0,
x 2,3 \u003d ± 1.

5. Intervalle der Zunahme und Abnahme.

	(0; 1)	(l;+ ∞ )
f"(x
f(x)
Extrem

Zeitlicher Ablauf

b) Lösung.

D(ƒ)=R.
Funktion y(-x) = 1/10(-x) 5 - 5/6(-x") + 2(-x) = -1/10x 5 + 5/6x 3 -

2x = -y(x) ungerade, der Graph ist symmetrisch zum Ursprung. Erkunden auf (0;+ ∞ ).

Ableitung finden f "(x) \u003d ½ x 4 -5 / 2x 2 +2.
Kritische Punkte finden: f "(x \u003d 0, x 4 -5x 2 + 4 \u003d \u003d (x 2 - 4) (x 2 - I) \u003d (x - 2) (x + 2) (x - 1) (x + 1) \u003d 0,

X 1 \u003d +2, x 2 \u003d -2, x 3 \u003d + 1, x 4 \u003d -1

	(0; 1)		(1;2)	(2; ∞ +)
f"(x)
f(x)		19/ 15
Extrem

Zeitlicher Ablauf

C) Lösung

Ableitung finden y" \u003d -3x 2 + 8x-4.
Kritische Punkte finden: y" \u003d 0, -3x 2 + 8x - 4 \u003d

\u003d - (Zx-2) (x-2) \u003d 0, x 1 \u003d 2, x 2 \u003d 2/3.

5. Abgeleitete Zeichen.

6. Intervalle der Zunahme und Abnahme.

	(- ∞,2/3)	2/ 3	(2/3, 2)	(2; + ∞ )
f"(x)
f(x)		32 27
Extrem

Aufgabe 8.

eine Entscheidung.

5. Intervalle der Zunahme und Abnahme.

	(- ∞ -1)		(1;0)		(0;1)		(1; + ∞ )

Algorithmus zur Lösung des Problems, einen Funktionsgraphen zu zeichnen.

1. Finden Sie den Definitionsbereich der Funktion.

2. Finde die Ableitung der Funktion.

3. Finden Sie stationäre Punkte.

4. Bestimmen Sie das Vorzeichen der Ableitung auf den erhaltenen Intervallen.

5. Bestimmen Sie Intervalle der Monotonie.

6. Bestimme die Extrempunkte und finde den Wert der Funktion an diesen Punkten.

7. Machen Sie eine Tabelle.

8. Weitere Punkte finden.

9. Zeichnen Sie die Funktion.

Zum Beispiel. Untersuchen Sie eine Funktion mit einer Ableitung und zeichnen Sie ihren Graphen.

1. AUS:

9. .___+____.___-____.___+_______

9. , dann steigt die Funktion;

Dann fällt die Funktion ab;

Diese Funktion nimmt zu;

6. - Höchstpunktzahl, weil Ableitung Vorzeichen geändert von + nach - ;

Der Mindestpunkt, weil Die Ableitung änderte das Vorzeichen von - nach +.

X
	+	-	+

8. Zusätzliche Punkte:

9. Erstellen eines Diagramms.

2.3 . Varianten der Kontrollarbeiten.

Prüfung Nr. 1 zum Thema "Derivative" B-1

a ) f(x)\u003d 4x 2 + 6x + 3, x 0 \u003d 1;

b) ;

in) f(x)\u003d (3x 2 +1) (3x 2 -1), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x cosx,

a) f(x)= 5 3x-4 ;

b) f(x) = sin(4x-7);

d) f (x) \u003d In (x 3 + 5x).

3. Ermitteln Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d 4 - x 2 am Punkt x 0 \u003d -3.

An der Stelle mit der Abszisse x 0 = -1.

f (x) \u003d x 2 - 2x am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d -2.

6. Die Körperbewegungsgleichung hat die Form s(t) = 2,5t 2 + 1,5t. Finden Sie die Geschwindigkeit des Körpers 4 Sekunden nach Beginn der Bewegung.

Klausur Nr. 1 zum Thema „Derivative“ B-2

a ) f(x)\u003d x 4 -3 x 2 +5, x 0 \u003d -3;

b) ;

in) f(x)\u003d (2x 2 +1) (4 + x 3), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x sinx-1,

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

a) f (x) \u003d 4 2 x -1;

b) f(x) = cos(4x+5);

d) f(x) = +2x.

3. Finden Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d - x 4 + x 3 am Punkt x 0 \u003d - 1.

4. An welcher Stelle befindet sich die Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d 3x 2 -12x +11 parallel zur x-Achse?

5. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d x 3 - 3x 2 + 2x - 1 am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d 2.

6. Der Punkt bewegt sich nach einem geradlinigen Gesetz x(t) = 2,5t 2 -10t + 11. Zu welchem Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit des Körpers gleich 20? (Koordinate wird in Metern gemessen, Zeit - in Sekunden).

7. Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung und erstellen Sie ein Diagramm:

Klausur Nr. 1 zum Thema „Derivative“ B-3

1. Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x 0

a ) f(x)\u003d 7x 2 -56x + 8, x 0 \u003d 4;

b) ;

in) f(x)

G ) f(x)=3x sinx,

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

a) f (x) \u003d 2 5 x +3;

b) f(x) = cos(0,5x+3);

d) f(x) = +5x.

3. Ermitteln Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d 2x 2 + x am Punkt x 0 \u003d -2.

4. An welchem Punkt ist die Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d x 2 + 4x - 12 parallel zur x-Achse?

5. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d -x 2 -3x + 2 am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d -1.

6. Der Punkt bewegt sich nach dem Geradengesetz x(t) = 3t 2 + t + 4. Zu welchem Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit des Körpers gleich 7? (Koordinate in Metern, Zeit in Sekunden)

Klausur Nr. 1 zum Thema „Derivative“ B-4

1. Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x 0

a ) f(x)\u003d x 5 -4x + 8, x 0 \u003d 2;

b) ;

in) f(x)\u003d (x 3 +7) (3x 2 -1), x 0 \u003d -1;

G ) f(x)=5x cosx+2,

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

a) f(x)= 3 4 x- 1 ;

b) f(x) = 2sin (2,5x-2);

d) f(x) = ln (2x 3 + x).

3. Finden Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d 0,5x 2 + 1 am Punkt x 0 \u003d 3.

4. Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt mit der Abszisse x 0 = 1.

5. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f(x) = x 2 +2x+1 bei c

Abszisse x 0 = - 2.

6. Der Punkt bewegt sich gemäß dem Geradengesetz x(t) = 4t + t 2 - . Finden Sie seine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 2 (die Koordinate wird in Metern gemessen, die Zeit in Sekunden.)

7. Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung und erstellen Sie einen Graphen:

Klausur Nr. 1 zum Thema „Derivative“ B-5

1. Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x 0

a ) f(x)\u003d 3x 5 -12x 2 + 6x + 2, x 0 \u003d 1;

b) ;

in) f(x)= (2x+1) (x-5), x0 = 2;

G ) f(x)=2x cos3x,

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

a) f(x)= 2 3x-4 ;

b) f (x) \u003d Sünde (3x 2 - 2);

d) f (x) \u003d ln (x 2 + 5x).

3. Ermitteln Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d 3x 2 + 40x -10 am Punkt x 0 \u003d -1.

4. Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d - 1.

5. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d x 2 -2x + 3 am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d - 2.

6. Der Punkt bewegt sich nach dem Geradengesetz x(t) = 3t 3 +2t+1. Finden Sie seine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 2 (Koordinate in Metern, Zeit in Sekunden).

7. Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung und erstellen Sie einen Graphen:

Klausur Nr. 1 zum Thema „Derivative“ B-6

1. Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x 0

a ) f(x)\u003d 5x 3 -6x 4 + 3x 2 +1, x 0 \u003d 1;

b) ;

in) f(x)\u003d (x 2 +1) (x 3 -2), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x sin5x,

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

a) f(x)= 2 3 x+ 5 ,

b) f(x) = cos(3x-1);

d) f(x) = -2x.

3. Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d 3x 3 -35x + 8 am Punkt x 0 \u003d 2.

4. An welchem Punkt ist die Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d x 3 -3x + 1 parallel zur x-Achse?

5. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d x 2 + 3x-2 am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d -1.

6. Der Punkt bewegt sich gemäß dem Geradengesetz x(t) = 3t 2 -2t+4. Zu welchem Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit des Körpers 4? (Koordinate in Metern, Zeit in Sekunden)

7. Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung und erstellen Sie einen Graphen:

Klausur Nr. 3 zum Thema „Derivative“ B-7

1. Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x 0

a ) f(x)\u003d x 6 -3x 2 +2, x 0 \u003d 2;

b) ;

in) f(x)\u003d (x 3 -4) (3x 2 +1), x 0 \u003d 2;

G ) f(x)=5x cosx+2,

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

a) f(x)= 3 4 x + 2 ;

b) f(x) = 2sin (5x+2);

d) f(x) = ln (3x 2 - x).

3. Finden Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d 0,5x 2 -1 am Punkt x 0 \u003d - 3.

4. Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt mit der Abszisse x 0 = -1.

5. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d x 2 + 2x + 1 am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d - 2.

6. Der Punkt bewegt sich gemäß dem Geradlinigkeitsgesetz x(t) = 4t - t 2 + . Finden Sie seine Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 2 (Koordinate in Metern, Zeit in Sekunden).

7. Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung und erstellen Sie einen Graphen:

Klausur Nr. 1 zum Thema „Derivative“ B-8

1. Finden Sie den Wert der Ableitung am Punkt x 0

a ) f(x)\u003d x 4 -2x 3 + 5x-1, x 0 \u003d 2;

b) ;

in) f(x)\u003d (2x 2 +1) (1 + x 3), x 0 \u003d 2;

G ) f(x)=2x sinx-1,

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

a) f (x) \u003d 5 2 x +3,

b) f(x) = cos(5x 2 +1);

d) f(x) = +5x.

3. Finden Sie die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f (x) \u003d x 4 -x 2 am Punkt x 0 \u003d 1.

4. Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d 2.

5. Schreiben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion

f (x) \u003d x 3 -3x 2 + 2x am Punkt mit der Abszisse x 0 \u003d 2.

6. Der Punkt bewegt sich gemäß dem Geradlinigkeitsgesetz x(t) = 2,5t 2 - 10t +6. Finden Sie die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt t = 4 (die Koordinate wird in Metern gemessen, die Zeit in Sekunden).

7. Untersuchen Sie die Funktion mit der Ableitung und erstellen Sie einen Graphen:

Portal für den Studenten. Selbsttraining

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