Komplexe Zahlen

Imaginär Und komplexe Zahlen. Abszisse und Ordinate

komplexe Zahl. Komplexe Zahlen konjugieren.

Operationen mit komplexen Zahlen. Geometrisch

Darstellung komplexer Zahlen. Komplexes Flugzeug.

Modul und Argument einer komplexen Zahl. Trigonometrisch

komplexe Zahlenform. Operationen mit komplexen

Zahlen in trigonometrischer Form. Moivres Formel.

Grundlegende Informationen zu imaginär Und komplexe Zahlen sind im Abschnitt „Imaginäre und komplexe Zahlen“ angegeben. Der Bedarf an diesen Zahlen eines neuen Typs entstand bei der Lösung quadratischer Gleichungen für den FallD< 0 (здесь D– Diskriminante einer quadratischen Gleichung). Diese Zahlen fanden lange Zeit keine physikalische Anwendung, weshalb sie „imaginäre“ Zahlen genannt wurden. Mittlerweile werden sie jedoch in verschiedenen Bereichen der Physik sehr häufig eingesetzt.

und Technik: Elektrotechnik, Hydro- und Aerodynamik, Elastizitätstheorie etc.

Komplexe Zahlen werden in der Form geschrieben:a+bi. Hier A Und B – reale Nummern , A ich – imaginäre Einheit, d.h. e. ich 2 = –1. Nummer A angerufen Abszisse, A b – Ordinatekomplexe Zahla + bi.Zwei komplexe Zahlena+bi Und a–bi werden genannt konjugieren komplexe Zahlen.

Hauptvereinbarungen:

1. Reelle ZahlAkann auch im Formular geschrieben werdenkomplexe Zahl:a+ 0 ich oder A - 0 ich. Beispiel: Datensätze 5 + 0ich und 5 – 0 ichbedeuten die gleiche Zahl 5 .

2. Komplexe Zahl 0 + Biangerufen rein imaginär Nummer. AufzeichnenBibedeutet dasselbe wie 0 + Bi.

3. Zwei komplexe Zahlena+bi Undc + digelten als gleich, wenna = c Und b = d. Sonst komplexe Zahlen sind nicht gleich.

Zusatz. Summe komplexer Zahlena+bi Und c + diheißt komplexe Zahl (a+c ) + (b+d ) ich.Auf diese Weise, beim Hinzufügen Bei komplexen Zahlen werden deren Abszissen und Ordinaten separat addiert.

Diese Definition entspricht den Regeln für Operationen mit gewöhnlichen Polynomen.

Subtraktion. Die Differenz zweier komplexer Zahlena+bi(vermindert) und c + di(Subtrahend) heißt eine komplexe Zahl (a–c ) + (b–d ) ich.

Auf diese Weise, Bei der Subtraktion zweier komplexer Zahlen werden deren Abszissen und Ordinaten getrennt voneinander subtrahiert.

Multiplikation. Produkt komplexer Zahlena+bi Und c + di heißt eine komplexe Zahl:

(ac–bd ) + (ad+bc ) ich.Diese Definition ergibt sich aus zwei Anforderungen:

1) Zahlen a+bi Und c + dimuss wie algebraisch multipliziert werden Binome,

2) Nummer ichhat die Haupteigenschaft:ich 2 = – 1.

BEISPIEL ( a+ bi )(a–bi) = a 2 +b 2 . Somit, arbeiten

zwei konjugiert komplexe Zahlen ist gleich der reellen

eine positive Zahl.

Aufteilung. Teilen Sie eine komplexe Zahla+bi (teilbar) durch ein anderesc + di(Teiler) - bedeutet, die dritte Zahl zu findene + f i(Chat), was, wenn es mit einem Divisor multipliziert wirdc + di, ergibt die Dividendea + bi.

Wenn der Divisor nicht Null ist, ist eine Division immer möglich.

BEISPIEL Finden (8 +ich ) : (2 – 3 ich) .

Lösung. Schreiben wir dieses Verhältnis als Bruch um:

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit 2 + 3ich

UND Nachdem wir alle Transformationen durchgeführt haben, erhalten wir:

Geometrische Darstellung komplexer Zahlen. Reelle Zahlen werden durch Punkte auf der Zahlengeraden dargestellt:

Hier ist der Punkt Abedeutet die Zahl –3, PunktB– Nummer 2, und Ö- null. Im Gegensatz dazu werden komplexe Zahlen durch Punkte auf der Koordinatenebene dargestellt. Zu diesem Zweck wählen wir rechteckige (kartesische) Koordinaten mit gleichen Maßstäben auf beiden Achsen. Dann die komplexe Zahla+bi wird durch einen Punkt dargestellt P mit Abszisse a und Ordinate b (siehe Bild). Dieses Koordinatensystem heißt komplexe Ebene .

Modul Die komplexe Zahl ist die Länge des VektorsOP, stellt eine komplexe Zahl auf der Koordinate dar ( umfassend) Flugzeug. Modul einer komplexen Zahla+bi bezeichnet | a+bi| oder Brief R

Eine komplexe Zahl ist eine Zahl der Form z =x + i * y, wobei x und y reell sind Zahlen und i = imaginäre Einheit (d. h. eine Zahl, deren Quadrat -1 ist). Um die Darstellung zu definieren Streit umfassend Zahlen, müssen Sie eine komplexe Zahl auf der komplexen Ebene im Polarkoordinatensystem betrachten.

Anweisungen

1. Die Ebene, auf der komplexe Komplexe dargestellt werden Zahlen, heißt komplex. Auf dieser Ebene ist die horizontale Achse mit Real besetzt Zahlen(x) und die vertikale Achse ist imaginär Zahlen(y). Auf einer solchen Ebene ist die Zahl durch zwei Koordinaten z = (x, y) gegeben. Im Polarkoordinatensystem sind die Koordinaten eines Punktes der Modul und das Argument. Der Modul ist der Abstand |z| von einem Punkt zum Ursprung. Wird ein Winkel als Argument bezeichnet? zwischen dem Vektor, der den Punkt und das Koordinatenvorwort verbindet, und der horizontalen Achse des Koordinatensystems (siehe Abbildung).

2. Die Abbildung zeigt, dass das komplexe Modul Zahlen z = x + i * y wird mit dem Satz des Pythagoras gefunden: |z| = ? (x^2 + y^2). Weiteres Argument Zahlen z ergibt sich als spitzer Winkel eines Dreiecks – durch die Werte der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan:sin? =y/? (x^2 + y^2),cos ? = x / ? (x^2 + y^2),tg ? = y/x.

3. Nehmen wir an, die Zahl z = 5 * (1 + ?3 * i) sei gegeben. Wählen Sie zunächst den Real- und Imaginärteil aus: z = 5 +5 * ?3 * i. Es stellt sich heraus, dass der Realteil x = 5 und der Imaginärteil y = 5 * ?3 ist. Modul berechnen Zahlen: |z| = ?(25 + 75) = ?100 =10. Als nächstes ermitteln Sie den Sinus des Winkels?: sin ? = 5 / 10 = 1 / 2. Von dort erhalten wir das Argument Zahlen z ist gleich 30°.

4. Beispiel 2. Gegeben sei die Zahl z = 5 * i. Auf dem Bild können Sie sehen, dass der Winkel? = 90°. Überprüfen Sie diesen Wert anhand der oben angegebenen Formel. Notieren Sie sich die Koordinaten davon Zahlen auf der komplexen Ebene: z = (0, 5). Modul Zahlen|z| = 5. Tangens des Winkels tg? = 5 / 5 = 1. Daraus folgt was? = 90°.

5. Beispiel 3. Nehmen wir an, wir müssen das Argument für die Summe zweier komplexer Zahlen z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i finden. Nach den Additionsregeln addiert man diese beiden Komplexe Zahlen: z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Berechnen Sie dann gemäß dem obigen Diagramm das Argument: tg? = 9 / 3 = 3.

Beachten Sie!
Wenn die Zahl z = 0 ist, ist der Wert des Arguments dafür nicht definiert.

Hilfreicher Rat
Der Wert des Arguments einer komplexen Zahl wird mit einer Genauigkeit von 2 * ? bestimmt. * k, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist. Der Sinn des Arguments? so dass -?

Passend zu dieser Nummer: .
Der Modul einer komplexen Zahl z wird normalerweise mit | bezeichnet z| oder r.

Seien und seien reelle Zahlen, also eine komplexe Zahl (übliche Schreibweise). Dann

Wikimedia-Stiftung. 2010.

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was „Modul einer komplexen Zahl“ ist:

Modul einer komplexen Zahl- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. Modul der komplexen Zahl vok. Betrag der komplexen Zahl, m rus. Modul einer komplexen Zahl, m pranc. module du nombre complexe, m … Fizikos terminų žodynas

- (Modul) Die Größe einer Zahl in Bezug auf ihren Abstand von 0. Der Modul oder Absolutwert einer reellen Zahl x (bezeichnet mit |x|) ist die Differenz zwischen x und 0, unabhängig vom Vorzeichen. Wenn also x0, dann |x|=x und wenn x 0, dann |x|=–x... Wirtschaftswörterbuch

Informationen zu einer komplexen Zahl finden Sie unter Absoluter Wert. Der Übergangsmodul von einem Logarithmensystem mit Basis a zu einem System mit Basis b ist die Zahl 1/logab... Großes enzyklopädisches Wörterbuch

Der Absolutwert oder Modul einer reellen oder komplexen Zahl x ist der Abstand von x zum Ursprung. Genauer gesagt: Der Absolutwert einer reellen Zahl x ist eine nicht negative Zahl, bezeichnet mit |x| und wie folgt definiert: ... ... Wikipedia

Modul in Mathematik, 1) M. (oder Absolutwert) einer komplexen Zahl z = x + iy ist die Zahl ═ (die Wurzel wird mit einem Pluszeichen gezogen). Bei der Darstellung einer komplexen Zahl z in trigonometrischer Form z = r(cos j + i sin j) ist die reelle Zahl r gleich... ...

- (in der Mathematik) ein Maß zum Vergleich homogener Größen und zum Ausdrücken einer davon durch eine andere; m. wird als Zahl ausgedrückt. Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache. Pavlenkov F., 1907. MODUL (lat.). 1) eine Zahl, die sich multipliziert... ... Wörterbuch der Fremdwörter der russischen Sprache

MODUL einer komplexen Zahl, siehe Absolutwert (siehe ABSOLUTWERT). Der Übergangsmodul von einem Logarithmensystem mit Basis a zu einem System mit Basis b ist die Zahl 1/logab... Enzyklopädisches Wörterbuch

I Modul (vom lateinischen Modulmaß) ist in der Architektur eine konventionelle Einheit zur Koordinierung der Größe von Teilen eines Gebäudes oder Komplexes. In der Architektur verschiedener Völker, abhängig von den Merkmalen der Bautechnik und der Zusammensetzung der Gebäude hinter M... ... Große sowjetische Enzyklopädie

ICH; m. [von lat. Modulmaß] 1. von was. Spezialist. Eine Größe, die charakterisiert, welche l. Eigenschaft eines Festkörpers. M. Kompression. M. Elastizität. 2. Mathematik. Reelle Zahl, der absolute Wert einer negativen oder positiven Zahl. M. komplexe Zahl. M... Enzyklopädisches Wörterbuch

Numerische Eigenschaften jeder Mathematik Objekt. Normalerweise ist der Wert von M eine nicht negative reelle Zahl, ein Element mit bestimmten Eigenschaften. Eigenschaften, die durch die Eigenschaften der betrachteten Objektmenge bestimmt werden. Das Konzept von M.... ... Mathematische Enzyklopädie

Definition 8.3 (1).

Länge |z| Der Vektor z = (x,y) wird als Modul der komplexen Zahl z = x + yi bezeichnet

Da die Länge jeder Seite des Dreiecks die Summe der Längen seiner beiden anderen Seiten nicht überschreitet und der Absolutwert der Längendifferenz der beiden Seiten des Dreiecks nicht kleiner ist als die Länge der dritten Seite , dann gelten für zwei beliebige komplexe Zahlen z 1 und z 2 die Ungleichungen

Definition 8.3 (2).

Komplexes Zahlenargument. Wenn φ der Winkel ist, den ein Nicht-Null-Vektor z mit der realen Achse bildet, dann ist jeder Winkel der Form (φ + 2πn, wobei n eine ganze Zahl ist, und nur ein Winkel dieser Art, auch ein Winkel, der gebildet wird durch der Vektor z mit der realen Achse.

Die Menge aller Winkel, die der Nicht-Null-Vektor z = = (x, y) mit der reellen Achse bildet, wird als Argument der komplexen Zahl z = x + yi bezeichnet und mit arg z bezeichnet. Jedes Element dieser Menge wird als Wert des Arguments der Zahl z bezeichnet (Abb. 8.3(1)).

Reis. 8.3(1).

Da ein von Null verschiedener Vektor einer Ebene eindeutig durch seine Länge und den Winkel bestimmt wird, den er mit der x-Achse bildet, sind zwei von Null verschiedene komplexe Zahlen genau dann gleich, wenn ihre Absolutwerte und Argumente gleich sind.

Wenn beispielsweise den Werten des Arguments φ der Zahl z die Bedingung 0≤φ auferlegt wird<2π или условие -π<φ≤π, то значение аргумента будет определено однозначно. Такое значение называется главным значением аргумента.

Definition 8.3.(3)

Trigonometrische Schreibweise einer komplexen Zahl. Der Real- und Imaginärteil einer komplexen Zahl z = x + уi ≠ 0 werden durch ihren Modul r= |z| ausgedrückt und das Argument φ wie folgt (aus der Definition von Sinus und Cosinus):

Die rechte Seite dieser Gleichheit wird als trigonometrische Schreibweise der komplexen Zahl z bezeichnet. Wir werden es auch für z = 0 verwenden; in diesem Fall ist r = 0 und φ kann einen beliebigen Wert annehmen – das Argument der Zahl 0 ist undefiniert. Daher kann jede komplexe Zahl in trigonometrischer Form geschrieben werden.

Es ist auch klar, dass wenn die komplexe Zahl z in der Form geschrieben wird

dann ist die Zahl r ihr Modul, da

Und φ ist einer der Werte seines Arguments

Die trigonometrische Schreibweise komplexer Zahlen kann bei der Multiplikation komplexer Zahlen praktisch sein; insbesondere ermöglicht sie Ihnen, die geometrische Bedeutung des Produkts komplexer Zahlen herauszufinden.

Lassen Sie uns Formeln zum Multiplizieren und Dividieren komplexer Zahlen in trigonometrischer Form finden. Wenn

dann nach der Regel der Multiplikation komplexer Zahlen (unter Verwendung der Formeln für Sinus und Cosinus der Summe)

Bei der Multiplikation komplexer Zahlen werden also deren Absolutwerte multipliziert und die Argumente addiert:

Wenn wir diese Formel nacheinander auf n komplexe Zahlen anwenden, erhalten wir

Wenn alle n Zahlen gleich sind, erhalten wir

Wohin

durchgeführt

Daher gilt für eine komplexe Zahl, deren Absolutwert 1 ist (daher hat sie die Form

Diese Gleichheit heißt Moivres Formeln

Mit anderen Worten, wenn komplexe Zahlen dividiert werden, werden ihre Module dividiert,

und die Argumente werden subtrahiert.

Beispiele 8.3 (1).

Zeichnen Sie auf der komplexen Ebene C eine Menge von Punkten, die die folgenden Bedingungen erfüllen:

Was eine gegebene komplexe Zahl $z=a+bi$ darstellt, wird als Modul der gegebenen komplexen Zahl bezeichnet.

Der Modul einer gegebenen komplexen Zahl wird mit der folgenden Formel berechnet:

Beispiel 1

Berechnen Sie den Modul der gegebenen komplexen Zahlen $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Wir berechnen den Modul einer komplexen Zahl $z=a+bi$ mit der Formel: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Für die ursprüngliche komplexe Zahl $z_(1) =13$ erhalten wir $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Für die ursprüngliche komplexe Zahl $\, z_(2) =4i$ erhalten wir $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Für die ursprüngliche komplexe Zahl $\, z_(3) =4+3i$ erhalten wir $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definition 2

Der Winkel $\varphi $, der durch die positive Richtung der reellen Achse und den Radiusvektor $\overrightarrow(OM) $ gebildet wird und einer gegebenen komplexen Zahl $z=a+bi$ entspricht, wird als Argument dieser Zahl und bezeichnet wird mit $\arg z$ bezeichnet.

Anmerkung 1

Der Modul und das Argument einer gegebenen komplexen Zahl werden explizit verwendet, wenn eine komplexe Zahl in trigonometrischer oder exponentieller Form dargestellt wird:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrische Form;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - Exponentialform.

Beispiel 2

Schreiben Sie eine komplexe Zahl in trigonometrischer und exponentieller Form, die durch die folgenden Daten gegeben ist: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Setze die Daten $r=3;\varphi =\pi $ in die entsprechenden Formeln ein und erhalte:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrische Form

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - Exponentialform.

2) Setze die Daten $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ in die entsprechenden Formeln ein und erhalte:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrische Form

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - Exponentialform.

Beispiel 3

Bestimmen Sie den Modul und das Argument der gegebenen komplexen Zahlen:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Wir werden den Modul und das Argument mithilfe von Formeln zum Schreiben einer bestimmten komplexen Zahl in trigonometrischer bzw. exponentieller Form finden

\ \

1) Für die ursprüngliche komplexe Zahl $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ erhalten wir $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Für die anfängliche komplexe Zahl $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ wir erhalte $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Für die anfängliche komplexe Zahl $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ erhalten wir $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Für die ursprüngliche komplexe Zahl $z=13\cdot e^(i\pi ) $ erhalten wir $r=13;\varphi =\pi $.

Das Argument $\varphi $ einer gegebenen komplexen Zahl $z=a+bi$ kann mit den folgenden Formeln berechnet werden:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

In der Praxis wird zur Berechnung des Argumentwerts einer gegebenen komplexen Zahl $z=a+bi$ normalerweise die Formel verwendet:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi,a

oder ein Gleichungssystem lösen

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(array)\right. $. (**)

Beispiel 4

Berechnen Sie das Argument der gegebenen komplexen Zahlen: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Da $z=3$, dann ist $a=3,b=0$. Berechnen wir das Argument der ursprünglichen komplexen Zahl mit der Formel (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Da $z=4i$, dann $a=0,b=4$. Berechnen wir das Argument der ursprünglichen komplexen Zahl mit der Formel (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Da $z=1+i$, dann $a=1,b=1$. Berechnen wir das Argument der ursprünglichen komplexen Zahl, indem wir das System (**) lösen:

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(array)\right. .\]

Aus dem Trigonometriekurs ist bekannt, dass $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ für den Winkel, der dem ersten Koordinatenviertel entspricht und gleich $\varphi =\frac ist (\pi )( 4) $.

Da $z=-5$, dann ist $a=-5,b=0$. Berechnen wir das Argument der ursprünglichen komplexen Zahl mit der Formel (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Da $z=-2i$, dann $a=0,b=-2$. Berechnen wir das Argument der ursprünglichen komplexen Zahl mit der Formel (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Anmerkung 2

Die Zahl $z_(3)$ wird durch den Punkt $(0;1)$ dargestellt, daher ist die Länge des entsprechenden Radiusvektors gleich 1, d.h. $r=1$ und das Argument $\varphi =\frac(\pi )(2) $ gemäß Anmerkung 3.

Die Zahl $z_(4)$ wird durch den Punkt $(0;-1)$ dargestellt, daher ist die Länge des entsprechenden Radiusvektors 1, d.h. $r=1$ und das Argument $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ gemäß Anmerkung 3.

Die Zahl $z_(5) $ wird durch den Punkt $(2;2)$ dargestellt, daher ist die Länge des entsprechenden Radiusvektors gleich $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, d.h. $r=2\sqrt(2) $ und das Argument $\varphi =\frac(\pi )(4) $ durch die Eigenschaft eines rechtwinkligen Dreiecks.