VIII Klasse: Thema 3. Flächen von Figuren. Satz des Pythagoras.

1. Das Gebietskonzept. Gleiche Zahlen.

Wenn die Länge ein numerisches Merkmal einer Linie ist, dann ist die Fläche ein numerisches Merkmal einer geschlossenen Figur. Obwohl wir den Begriff der Fläche aus dem Alltag gut kennen, ist es nicht einfach, diesen Begriff streng zu definieren. Es stellt sich heraus, dass die Fläche einer geschlossenen Figur jede nicht negative Größe genannt werden kann, die Folgendes hat Eigenschaften zum Messen der Flächen von Figuren:

Gleiche Figuren haben gleiche Flächen. Wenn diese geschlossene Figur in mehrere geschlossene Figuren unterteilt ist, entspricht die Fläche der Figur der Summe der Flächen ihrer Bestandteile (die Figur in Abbildung 1 ist unterteilt in n Figuren; in diesem Fall der Bereich der Figur, wo Si- Quadrat ich te Figur).

Im Prinzip könnte man sich eine Reihe von Größen ausdenken, die die formulierten Eigenschaften haben und damit die Fläche der Figur charakterisieren. Am bekanntesten und bequemsten ist jedoch der Wert, der die Fläche eines Quadrats als das Quadrat seiner Seite charakterisiert. Nennen wir diese "Anordnung" die dritte Eigenschaft der Flächenmessung von Figuren:

Die Fläche eines Quadrats ist gleich dem Quadrat seiner Seite (Abbildung 2).

Bei dieser Definition wird die Fläche von Figuren in Quadrateinheiten gemessen ( cm 2, km 2, Ha=100m 2).

Zahlen mit gleichen Flächen werden genannt gleich groß .

Kommentar: Gleiche Figuren haben gleiche Flächen, d.h. gleiche Figuren sind gleich groß. Aber gleich große Figuren sind bei weitem nicht immer gleich (Abbildung 3 zeigt beispielsweise ein Quadrat und ein gleichschenkliges Dreieck, die aus gleichen rechtwinkligen Dreiecken zusammengesetzt sind (übrigens wie z Zahlen genannt gleich zusammengesetzt ); Es ist klar, dass das Quadrat und das Dreieck gleich groß, aber nicht gleich groß sind, da sie nicht überlagert sind).

Als nächstes leiten wir Formeln zur Berechnung der Flächen aller Haupttypen von Polygonen (einschließlich der bekannten Formel zur Ermittlung der Fläche eines Rechtecks) basierend auf den formulierten Eigenschaften zur Messung der Flächen von Figuren ab.

2. Fläche eines Rechtecks. Die Fläche eines Parallelogramms.

Formel zur Berechnung der Fläche eines Rechtecks: Die Fläche eines Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt seiner beiden benachbarten Seiten (Abbildung 4).

Gegeben:

A B C D- Rechteck;

ANZEIGE=a, AB=b.

Beweisen: SABCD=a× b.

Nachweisen:

1. Verlängern Sie die Seite AB für ein Segment BP=a, und die Seite ANZEIGE- für ein Segment DV=b. Bauen wir ein Parallelogramm APRV(Figur 4). Seit R EIN=90°, APRV- Rechteck. Dabei AP=a+b=EIN V, Þ APRV ist ein Quadrat mit einer Seite ( a+b).

2. Bezeichnen BCÇ Wohnmobil=T, CDÇ PR=Q. Dann BCQP- ein Quadrat mit einer Seite a, CDVT- ein Quadrat mit einer Seite b, CQRT- ein Rechteck mit Seiten a und b.

Formel zur Berechnung der Fläche eines Parallelogramms: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt aus Höhe und Basis (Abbildung 5).

Kommentar: Die Basis eines Parallelogramms wird die Seite genannt, zu der die Höhe gezeichnet wird; Es ist klar, dass jede Seite des Parallelogramms als Basis dienen kann.

Gegeben:

A B C D– pro g;

BH^ANZEIGE, HÎ ANZEIGE.

Beweisen: SABCD=ANZEIGE× BH.

Nachweisen:

1. Zur Basis führen ANZEIGE Höhe CF(Abbildung 5).

2. BCïê HF, BHïê CF, Þ BCFH- p / g per Definition. R H=90°, Þ BCFH- Rechteck.

3. BCFH– p/g, Þ nach Eigenschaft p/g BH=CF, Þ D BAH=D CDF entlang der Hypotenuse und Bein ( AB=CD nach St. p/g, BH=CF).

4. SABCD=SABCF+S D CDF=SABCF+S D BAH=SBCFH=BH× BC=BH× ANZEIGE. #

3. Fläche eines Dreiecks.

Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks: Die Fläche eines Dreiecks ist gleich dem halben Produkt aus Höhe und Basis (Abbildung 6).

Kommentar: Die Basis des Dreiecks in dieser Fall Nennen Sie die Seite, zu der die Höhe gezeichnet wird. Jede der drei Seiten eines Dreiecks kann als Basis dienen.

Gegeben:

BD^AC, DÎ AC.

Beweisen: .

Nachweisen:

1. Vervollständige D ABC vor p/y ABKC indem Sie durch die Spitze gehen B gerade BKïê AC, und durch die Spitze C- gerade CKïê AB(Abbildung 6).

2. D ABC=D KCB auf drei Seiten ( BC- Allgemeines, AB=KC und AC=KB gemäß St. p/g), Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_34.gif" width="107" height="36">).

Folge 2: Wenn wir p / y D betrachten ABC mit Höhe AH zur Hypotenuse gezogen BC, dann . Auf diese Weise, in p/j D-ke die zur Hypotenuse gezogene Höhe ist gleich dem Verhältnis des Produkts seiner Beine zur Hypotenuse . Dieses Verhältnis wird häufig beim Lösen von Problemen verwendet.

4. Konsequenzen aus der Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks: das Verhältnis der Flächen von Dreiecken mit gleicher Höhe oder Basis; gleiche Dreiecke in Figuren; Eigenschaft der Flächen von Dreiecken, die durch die Diagonalen eines konvexen Vierecks gebildet werden.

Aus der Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks folgen elementar zwei Folgerungen:

1. Das Verhältnis der Flächen von Dreiecken mit gleicher Höhe gleich dem Verhältnis ihrer Basen ist (in Abbildung 8 ).

2. Das Verhältnis der Flächen von Dreiecken mit gleichen Basen gleich dem Verhältnis ihrer Höhen ist (in Abbildung 9 ).

Kommentar: Beim Lösen von Problemen sind Dreiecke mit einer gemeinsamen Höhe sehr verbreitet. In diesem Fall liegen ihre Basen in der Regel auf derselben Geraden, und der den Basen gegenüberliegende Scheitelpunkt ist gemeinsam (z. B. in Abbildung 10 S 1:S 2:S 3=a:b:c). Sie sollten lernen, die Gesamthöhe solcher Dreiecke zu sehen.

Aus der Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks ergeben sich auch nützliche Fakten, mit denen Sie finden können Flächengleiche Dreiecke in Zahlen:

1. Die Seitenhalbierende eines beliebigen Dreiecks teilt es in zwei gleich große Dreiecke (in Abbildung 11 bei D ABM und d ACM Höhe AH- General und die Basen BM und CM gleich per Definition des Medians; daraus folgt D ABM und d ACM sind gleich).

2. Die Diagonalen eines Parallelogramms teilen es in vier gleich große Dreiecke. (in Abbildung 12 AO ist der Median des Dreiecks ABD durch die Eigenschaft der Diagonalen p/g, z aufgrund der vorherigen St.-Dreiecke ABO und ADO sind gleich; Weil BO ist der Median des Dreiecks ABC, Dreiecke ABO und BCO sind gleich; Weil CO ist der Median des Dreiecks BCD, Dreiecke BCO und DCO sind gleich; auf diese Weise, S D ADO=S D ABO=S D BCO=S D DCO).

3. Die Diagonalen eines Trapezes teilen es in vier Dreiecke; zwei von ihnen, benachbart zu den Seiten, sind gleich (Abbildung 13).

Gegeben:

A B C D- Trapez;

BCïê ANZEIGE; ACÇ BD=Ö.

Beweisen: S D ABO=S D DCO.

Nachweisen:

1. Lassen Sie uns Höhen zeichnen bf und CH(Abbildung 13). Dann D ABD und d ACD Base ANZEIGE- Allgemein und Höhen bf und CH sind gleich; Þ S D ABD=S D ACD.

2. S D ABO=S D ABD ‑ S D AOD=S D ACD ‑ S D AOD=S D DCO. #

Zeichnet man die Diagonalen eines konvexen Vierecks (Abbildung 14), entstehen vier Dreiecke, deren Flächen durch ein sehr leicht zu merkendes Verhältnis verbunden sind. Die Herleitung dieser Beziehung stützt sich ausschließlich auf die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks; In der Literatur ist sie jedoch selten zu finden. Da sie bei der Lösung von Problemen nützlich ist, verdient die Beziehung, die im Folgenden formuliert und bewiesen wird, besondere Aufmerksamkeit:

Die Eigenschaft der Flächen von Dreiecken, die durch die Diagonalen eines konvexen Vierecks gebildet werden: Wenn die Diagonalen eines konvexen Vierecks A B C D in einem Punkt schneiden Ö, dann (Abbildung 14).

A B C D- konvexes Viereck;

https://pandia.ru/text/78/214/images/image025_28.gif" width="149" height="20">.

Nachweisen:

1. bf– Gesamthöhe D AOB und d BOC; Þ S D AOB:S D BOC=AO:CO.

2. DH– Gesamthöhe D AOD und d KABELJAU; Þ S D AOD:S D KABELJAU=AO:CO.

5. Das Verhältnis der Flächen von Dreiecken mit gleichem Winkel.

Der Satz über das Flächenverhältnis von Dreiecken mit gleichem Winkel: Die Flächen von Dreiecken mit gleichem Winkel werden als Produkte der Seiten, die diese Winkel einschließen, in Beziehung gesetzt (Abbildung 15).

Gegeben:

D ABC, D EIN 1B 1C 1;

Ð BAK=Ð B 1EIN 1C 1.

Beweisen:

.

Nachweisen:

1. Auf dem Balken beiseite legen AB Liniensegment AB 2=EIN 1B 1 und auf dem Strahl AC- Liniensegment AC 2=EIN 1C 1 (Abbildung 15). Dann D AB 2C 2=D EIN 1B 1C 1 auf zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen ( AB 2=EIN 1B 1 und AC 2=EIN 1C 1 konstruktionsbedingt und Р B 2AC 2=R B 1EIN 1C 1 nach Bedingung). Meint, .

2. Verbinde die Punkte C und B 2.

3. CH– Gesamthöhe D AB 2C und d ABC, Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image033_22.gif" width="81" height="43 src=">.

6. Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks.

Mit den Sätzen über das Flächenverhältnis von Dreiecken mit gleichen Winkeln und über das Flächenverhältnis von Dreiecken mit gleichen Höhen beweisen wir einfach eine äußerst nützliche Tatsache zur Lösung von Problemen, die nicht direkt mit den Flächen von Figuren zusammenhängt:

Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks: Die Winkelhalbierende eines Dreiecks teilt die Seite, zu der es gezeichnet wird, in Segmente proportional zu den angrenzenden Seiten.

Gegeben:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image036_22.gif" width="61" height="37">.

Nachweisen:

1..gif" width="72 height=40" height="40">.

3. Aus den Punkten 1 und 2 erhalten wir: , Þ https://pandia.ru/text/78/214/images/image041_19.gif" width="61" height="37">. #

Kommentar: Da die äußersten Glieder oder mittleren Glieder im richtigen Verhältnis ausgetauscht werden können, ist es bequemer, sich die Eigenschaft der Winkelhalbierenden eines Dreiecks in der folgenden Form zu merken (Abbildung 16):.

7. Fläche eines Trapezes.

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Trapezes: Die Fläche eines Trapezes ist gleich dem Produkt aus seiner Höhe und der halben Summe der Basen.

Gegeben:

A B C D- Trapez;

BCïê ANZEIGE;

BH- Höhe.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image044_21.gif" width="127" height="36">.

Nachweisen:

1. Zeichnen Sie eine Diagonale BD und Höhe D.F.(Abbildung 17). BHDF– Rechteck, Þ BH = D.F..

Folge: Das Verhältnis der Flächen von Trapezen gleicher Höhe ist gleich dem Verhältnis ihrer Mittellinien (oder dem Verhältnis der Summen der Basen).

8. Fläche eines Vierecks mit senkrecht zueinander stehenden Diagonalen.

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines Vierecks mit zueinander senkrechten Diagonalen: Die Fläche eines Vierecks mit zueinander senkrechten Diagonalen ist gleich dem halben Produkt seiner Diagonalen.

A B C D- Viereck;

AC^BD.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_20.gif" width="104" height="36">.

Nachweisen:

1. Bezeichnen ACÇ BD=Ö. Weil die AC^BD, AO– Höhe D ABD, a CO– Höhe D CBD(Abbildungen 18a und 18b für die Fälle von konvexen bzw. nicht konvexen Vierecken).

2.
(Zeichen "+" oder "-" entsprechen den Fällen von konvexen bzw. nicht konvexen Vierecken). #

Der Satz des Pythagoras spielt eine äußerst wichtige Rolle bei der Lösung einer Vielzahl von Problemen; Es ermöglicht Ihnen, die unbekannte Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden, wenn seine zwei bekannten Seiten gegeben sind. Es gibt viele Beweise für den Satz des Pythagoras. Hier ist die einfachste davon, basierend auf Formeln zur Berechnung der Flächen eines Quadrats und eines Dreiecks:

Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Kathetenquadrate.

Gegeben:

D ABC- p / j;

Ð EIN=90°.

Beweisen:

BC 2=AB 2+AC 2.

Nachweisen:

1. Bezeichnen AC=a, AB=b. Legen wir es auf den Balken AB Liniensegment BP=a, und auf dem Strahl AC- Liniensegment Lebenslauf=b(Abbildung 19). Lassen Sie uns den Punkt durchgehen P Direkte PRïê EIN V, und durch den Punkt v- Direkte VRïê AP. Dann APRV- p / g per Definition. Gleichzeitig, seit Р EIN=90°, APRV- Rechteck. Und da EIN V=a+b=AP, APRV- ein Quadrat mit einer Seite a+b, und SAPRV=(a+b)2. Lassen Sie uns die Seite teilen PR Punkt Q in Segmente PQ=b und QR=a, und die Seite Wohnmobil- Punkt T in Segmente RT=b und Fernseher=a.

2.D ABC=D PQB=D RTQ=D VCT auf zwei Beinen, Þ Ð ACB=Ð PBQ=Ð RQT=Ð VTC, BC=QB=TQ=CT, und https://pandia.ru/text/78/214/images/image055_17.gif" width="115" height="36">.

3. Weil BC=QB=TQ=CT, CBQT- Raute. Gleichzeitig R QBC\u003d 180 ° - (Р ABC+Ð PBQ)=180°-(Р ABC+Ð ACB)=Ð BAK=90°; Þ CBQT ist ein Quadrat, und SCBQT=BC 2.

vier. . So, BC 2=AB 2+AC 2. #

Der umgekehrte Satz des Pythagoras ist ein Zeichen für ein rechtwinkliges Dreieck, dh Sie können überprüfen, ob das Dreieck durch drei bekannte Seiten des Dreiecks rechtwinklig ist.

Satz des umgekehrten Pythagoras: Wenn das Quadrat einer Seite eines Dreiecks gleich der Summe der Quadrate seiner beiden anderen Seiten ist, dann ist dieses Dreieck rechtwinklig und seine längste Seite ist die Hypotenuse.

Gegeben:

BC 2=AB 2+AC 2.

Beweisen: D ABC- p / j;

Ð EIN=90°.

Nachweisen:

1. Bauen wir einen rechten Winkel EIN 1 und Segmente an den Seiten beiseite legen EIN 1B 1=AB und EIN 1C 1=AC(Abbildung 20). In der erhaltenen p / y D EIN 1B 1C 1 nach dem Satz des Pythagoras B 1C 12=EIN 1B 12+EIN 1C 12=AB 2+AC 2; aber nach zustand AB 2+AC 2=BC 2; Þ B 1C 12=BC 2, J B 1C 1=BC.

2.D ABC=D EIN 1B 1C 1 auf drei Seiten ( EIN 1B 1=AB und EIN 1C 1=AC Durch den Bau, B 1C 1=BC aus Punkt 1), Þ Ð EIN=Ð EIN 1=90°, Þ D ABC- p / a. #

Rechtwinklige Dreiecke, deren Seitenlängen ganze Zahlen sind, nennt man Pythagoräische Dreiecke , und die Tripel der entsprechenden natürlichen Zahlen sind Pythagoräische Drillinge . Es ist nützlich, sich pythagoräische Tripel zu merken (die größere dieser Zahlen ist gleich der Summe der Quadrate der anderen beiden). Hier sind einige pythagoreische Tripel:

3, 4, 5;

5, 12, 13;

8, 15, 17;

7, 24, 25;

20, 21, 29;

12, 35, 37;

9, 40, 41.

Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten 3, 4, 5 wurde in Ägypten verwendet, um rechte Winkel zu konstruieren, und daher solche Dreieck genannt ägyptisch .

10. Heron-Formel.

Die Formel von Heron ermöglicht es Ihnen, die Fläche eines beliebigen Dreiecks anhand seiner drei bekannten Seiten zu finden, und ist für die Lösung vieler Probleme unverzichtbar.

Reiherformel: Fläche eines Dreiecks mit Seiten a, b und c wird nach folgender Formel berechnet: , wobei der halbe Umfang des Dreiecks ist.

Gegeben:

BC=a; AC=b; AB=c.). Dann .

4. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck für die Höhe in die Formel zur Berechnung der Fläche eines Dreiecks ein: . #

1. Gerader Schnitt Der durch zwei Punkte begrenzte Teil einer geraden Linie. Ein Segment ist ein Teil einer geraden Linie, die von zwei Punkten (den Enden des Segments) begrenzt wird. Ein Segment hat sowohl einen Anfang als auch ein Ende. Das Segment ist gekennzeichnet oder Abschnitt AB.

Punkte EIN und B genannt die Segmentenden. Alle anderen Punkte werden aufgerufen interne Punkte Segment.

Der Abstand zwischen den Enden eines Segments wird genannt lang und bezeichnen |AB|.

Alle Punkte einer Strecke liegen auf derselben Geraden, die durch ihre Enden verläuft.

2. Nach zwei Daten Punkte, die in derselben Ebene liegen, können Sie eine gerade Linie zeichnen. Es ist möglich, eine gerade Linie durch zwei beliebige Punkte zu ziehen, und zwar nur durch einen

3. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann haben sie einen Punkt, und wenn die Geraden parallel sind, dann keinen! Zwei Geraden schneiden sich, das heißt, sie haben nur einen gemeinsamen Punkt. Bestimmung des Schnittpunkts von Linien: Der Schnittpunkt zweier Geraden wird als Schnittpunkt dieser Geraden bezeichnet.

4. Was ist ein Balken und was ist eine Halbebene? Ein Strahl ist ein Teil einer geraden Linie, die einen Anfang, aber kein Ende hat und eine Richtung hat

Wenn Sie eine Linie zeichnen und einen Punkt O darauf markieren, wird die Linie in zwei Teile geteilt, von denen jeder als Strahl bezeichnet wird, der vom Punkt O ausgeht (diese Strahlen werden als zusätzliche bezeichnet). Punkt O wird Balkenanfang genannt. Strahl wird ein Teil einer Linie genannt, der aus allen Punkten besteht, die auf einer Seite eines festen Punktes einer Linie liegen, und dieser Punkt selbst, genannt Beginn des Balkens . Verschiedene Strahlen derselben Linie mit gemeinsamem Ursprung werden genannt zusätzlich . Axiom. Die Gerade teilt die Ebene in zwei Halbebenen. Diese. Jede Linie teilt eine Ebene in zwei Teile, von denen jeder als Halbebene bezeichnet wird, und die Linie selbst wird als Grenze jeder dieser Halbebenen bezeichnet.

5. Zurückwinkelnes stellt sich heraus Teil der Ebene, der von zwei Strahlen begrenzt wird. Die Strahlen selbst werden als Seiten des Winkels bezeichnet, und der gemeinsame Punkt, aus dem die Strahlen austreten, wird als Scheitelpunkt des Winkels bezeichnet. Winkel ist eine geometrische Figur, diegebildet durch zwei Strahlen, die vom selben Punkt kommen. Der Scheitelpunkt eines Winkels ist der Punkt, von dem die Strahlen ausgehen. Die Seite des Winkels ist einer dieser Strahlen 6. Zwei zueinander komplementäre Strahlen bilden einen Abwicklungswinkel. Die Seiten dieses Winkels bilden zusammen eine Gerade, auf der der Scheitel des aufgeklappten Winkels liegt. (Verschiedene Strahlen derselben Linie mit gemeinsamem Ursprung werden genannt zusätzlich ) . Erweiterter Winkel - ist ein Winkel, dessen Seiten auf derselben Geraden liegen. AOV zum Beispiel.

7. Was bedeuten die Worte „ein Strahl teilt einen Winkel in zwei Winkel“? Wenn ein Strahl einen Winkel in zwei Winkel teilt, ist das Gradmaß des gesamten Winkels gleich der Summe der Gradmaße dieser Winkel. Ray OS teilt den Winkel AOB in zwei Hälften.

8. Welche Figuren werden als gleich bezeichnet?

Formen, die übereinstimmen, wenn sie überlagert werden, werden GLEICH genannt. Zwei geometrische Figuren heißen gleich, wenn sie sich überlagernd kombinieren lassen

9. erklären, wie man zwei Segmente vergleichtund wie man 2 Winkel vergleicht. Sie legen ein Segment über das andere, sodass das Ende des ersten mit dem Ende des zweiten ausgerichtet ist. Wenn die anderen beiden Enden nicht ausgerichtet sind, sind die Segmente nicht gleich, wenn sie ausgerichtet sind, sind sie gleich. Um 2 Segmente zu vergleichen, müssen Sie ihre Längen vergleichen, um 2 Winkel zu vergleichen, müssen Sie ihr Gradmaß vergleichen, Zwei Winkel heißen gleich, wenn sie sich überlagern lassen. Um festzustellen, ob zwei nicht erweiterte Winkel gleich sind oder nicht, ist es notwendig, die Seite eines Winkels mit der Seite des zweiten zu kombinieren, so dass die anderen beiden Seiten auf derselben Seite der kombinierten Seiten liegen.Legen Sie eine Ecke so an die andere Ecke, dass ihre Scheitelpunkte auf einer Seite zusammenfallen und die anderen beiden auf derselben Seite der ausgerichteten Seiten liegen. Wenn die zweite Seite eines Winkels mit der zweiten Seite eines anderen Winkels ausgerichtet ist, dann sind diese Winkel gleich. (Vereinfachen Sie die Ecken so, dass die Seite der einen mit der Seite der anderen ausgerichtet ist und die anderen beiden auf derselben Seite der ausgerichteten Seiten liegen. Wenn die beiden anderen Seiten ausgerichtet sind, sind die Winkel vollständig ausgerichtet, was bedeutet Sie sind gleich.)

10. Welcher Punkt wird als Mittelpunkt des Segments bezeichnet? Der Mittelpunkt eines Segments ist der Punkt, der das gegebene Segment in zwei gleiche Teile teilt. Der Punkt, der ein Segment in zwei Hälften teilt, wird als Mittelpunkt des Segments bezeichnet.

11. Winkelhalbierende(von lateinisch bi- „doppelt“ und sectio „schneidend“) wird ein Winkel als Strahl bezeichnet, der von der Spitze des Winkels ausgeht und durch seinen inneren Bereich verläuft, der mit seinen Seiten zwei gleiche Winkel bildet. Oder ein Strahl, der vom Scheitelpunkt eines Winkels ausgeht und ihn in zwei gleiche Winkel teilt, heißt Winkelhalbierende.

12. Wie ist die Messung von Segmenten. Ein Segment entsprechend Eins zu messen bedeutet, herauszufinden, wie oft es eine Einheit oder einen Bruchteil einer Einheit enthält. Entfernungsmessung erfolgt durch Vergleich mit einem als Einheit genommenen bestimmten Segment. Sie können die Länge des Segments mit einem Lineal oder Maßband messen. Es ist notwendig, ein Segment über ein anderes zu legen, das wir als Maßeinheit genommen haben, damit ihre Enden ausgerichtet sind.

? 13. Wie hängen die Längen der Segmente AB und CD zusammen, wenn: a) die Segmente AB und CD gleich sind; b) ist Segment AB kleiner als Segment CD?

A) Die Längen der Segmente AB und CD sind gleich. B) Die Länge des Segments AB ist kleiner als die Länge des Segments CD.

14. Punkt C teilt Segment AB in zwei Segmente. Wie hängen die Längen der Segmente AB, AC und CB zusammen? Die Länge des Segments AB ist gleich der Summe der Längen der Segmente AC undCB. Um die Länge des Segments AB zu ermitteln, addieren Sie die Längen der Segmente AC und CB.

15. Was ist ein Abschluss? Was zeigt das Gradmaß eines Winkels an?? Winkel werden in verschiedenen Einheiten gemessen. Es kann Grad, Bogenmaß sein. Am häufigsten werden Winkel in Grad gemessen. (Dieser Grad sollte nicht mit einem Temperaturmaß verwechselt werden, wo auch das Wort "Grad" verwendet wird). Die Messung von Winkeln basiert auf dem Vergleich mit einem Winkel, der als Maßeinheit verwendet wird. Normalerweise wird ein Grad als Maßeinheit für Winkel verwendet - ein Winkel, der 1/180 eines entwickelten Winkels entspricht. Grad ist eine Einheit für ebene Winkel in der Geometrie. (Als Maßeinheit für geometrische Winkel wird ein Grad genommen - Teil eines entwickelten Winkels.) .

Grad Maß für einen Winkel zeigt, wie oft ein Grad und seine Teile - eine Minute und eine Sekunde - in einen bestimmten Winkel passen , das heißt, ein Gradmaß - ein Wert, der die Anzahl der Grad, Minuten und Sekunden zwischen den Seiten des Winkels widerspiegelt.

16. Welcher Teil eines Grades wird als Minute und welcher Teil als Sekunde bezeichnet? 1/60 Grad wird Minute genannt und 1/60 Minute wird Sekunde genannt. Minuten werden mit dem Zeichen „′“ und Sekunden mit dem Zeichen „″“ gekennzeichnet.

? 17. Wie hängen die Gradmaße zweier Winkel zusammen, wenn: a) diese Winkel gleich sind; b) ein Winkel kleiner ist als der andere? a) Das Gradmaß der Winkel ist gleich. b) Das Gradmaß eines Winkels ist kleiner als das Gradmaß des zweiten Winkels.

18. Ray OC teilt den Winkel AOB in zwei Winkel. Wie hängen die Gradmaße der Winkel AOB, AOC und COB zusammen? Wenn ein Strahl einen Winkel in zwei Winkel teilt, ist das Gradmaß des gesamten Winkels gleich der Summe der Gradmaße dieser Winkel AOB ist gleich der Summe der Gradmaße seiner Teile AOC und COB.

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Unterrichtsziele: Wiederholen Sie das Thema "Fläche eines Parallelogramms". Leiten Sie die Formel für die Fläche eines Dreiecks her, führen Sie das Konzept der gleich großen Figuren ein. Lösen von Aufgaben zum Thema „Flächen gleicher Figuren“.

Während des Unterrichts

I. Wiederholung.

1) Mündlich nach fertiger Zeichnung Leiten Sie die Formel für die Fläche eines Parallelogramms her.

2) Welche Beziehung besteht zwischen den Seiten des Parallelogramms und den darauf fallenden Höhen?

(nach fertiger Zeichnung)

die Beziehung ist umgekehrt proportional.

3) Finden Sie die zweite Höhe (gemäß der fertigen Zeichnung)

4) Finden Sie die Fläche des Parallelogramms gemäß der fertigen Zeichnung.

Lösung:

5) Vergleichen Sie die Flächen der Parallelogramme S1, S2, S3. (Sie haben gleiche Flächen, alle haben die Basis a und die Höhe h).

Definition: Figuren mit gleichen Flächen heißen gleich.

II. Probleme lösen.

1) Beweisen Sie, dass jede Gerade, die durch den Schnittpunkt der Diagonalen verläuft, diese in 2 gleiche Teile teilt.

Lösung:

2) Im Parallelogramm ABCD CF und CE Höhen. Beweisen Sie, dass AD ∙ CF = AB ∙ CE.

3) Gegeben sei ein Trapez mit den Basen a und 4a. Ist es möglich, durch einen seiner Eckpunkte gerade Linien zu ziehen, die das Trapez in 5 gleich große Dreiecke teilen?

Lösung: Dürfen. Alle Dreiecke sind gleich.

4) Beweisen Sie, dass, wenn wir Punkt A auf der Seite des Parallelogramms nehmen und ihn mit den Eckpunkten verbinden, die Fläche des resultierenden Dreiecks ABC gleich der Hälfte der Fläche des Parallelogramms ist.

Lösung:

5) Der Kuchen hat die Form eines Parallelogramms. Kid und Carlson teilen es so auf: Kid zeigt auf einen Punkt auf der Oberfläche des Kuchens, und Carlson schneidet den Kuchen entlang einer geraden Linie, die durch diesen Punkt verläuft, in zwei Stücke und nimmt eines der Stücke für sich. Jeder will ein größeres Stück. Wo soll das Kind Schluss machen?

Lösung: Am Schnittpunkt der Diagonalen.

6) Auf der Diagonale des Rechtecks ​​wurde ein Punkt gewählt und gerade Linien wurden parallel zu den Seiten des Rechtecks ​​durch ihn gezogen. Auf gegenüberliegenden Seiten bildeten sich 2 Rechtecke. Vergleichen Sie ihre Bereiche.

Lösung:

III. Studium des Themas "Fläche eines Dreiecks"

Beginnen Sie mit einer Aufgabe:

"Finde die Fläche eines Dreiecks, dessen Basis a und dessen Höhe h ist."

Die Jungs beweisen den Satz, indem sie das Konzept gleichgroßer Figuren verwenden.

Bauen wir ein Dreieck zu einem Parallelogramm.

Die Fläche eines Dreiecks ist die Hälfte der Fläche eines Parallelogramms.

Übung: Zeichne gleiche Dreiecke.

Ein Modell wird verwendet (3 farbige Dreiecke werden aus Papier ausgeschnitten und an den Basen geklebt).

Übung Nummer 474. "Vergleiche die Flächen der beiden Dreiecke, in die das gegebene Dreieck durch seinen Median geteilt wird."

Dreiecke haben die gleiche Grundfläche a und die gleiche Höhe h. Dreiecke haben den gleichen Flächeninhalt

Fazit: Figuren mit gleichen Flächen heißen gleich.

Fragen an die Klasse:

1. Sind gleiche Figuren gleich groß?
2. Formulieren Sie die gegenteilige Aussage. Ist es wahr?
3. Ist es wahr:
   a) Sind gleichseitige Dreiecke gleich groß?
   b) Gleichseitige Dreiecke mit gleichen Seiten sind gleich?
   c) Quadrate mit gleichen Seiten sind gleich?
   d) Beweisen Sie, dass die Parallelogramme, die durch den Schnitt zweier Streifen gleicher Breite mit unterschiedlichen Neigungswinkeln zueinander gebildet werden, gleich sind. Finden Sie das Parallelogramm der kleinsten Fläche, die durch den Schnittpunkt zweier Streifen gleicher Breite gebildet wird. (Am Modell zeigen: gleich breite Streifen)

IV. Vortreten!

An die Tafel geschrieben optionale Aufgaben:

1. „Schneiden Sie das Dreieck mit zwei geraden Linien, sodass Sie die Teile zu einem Rechteck falten können.“

Lösung:

2. "Schneiden Sie das Rechteck in einer geraden Linie in 2 Teile, aus denen Sie ein rechtwinkliges Dreieck machen können."

Lösung:

3) Eine Diagonale wird in ein Rechteck gezeichnet. In einem der resultierenden Dreiecke wird ein Median gezeichnet. Finden Sie die Verhältnisse zwischen den Flächen der Zahlen .

Lösung:

Antworten:

3. Aus den Olympiade-Aufgaben:

„Im Viereck ABCD ist Punkt E der Mittelpunkt von AB, verbunden mit Scheitelpunkt D, und F ist der Mittelpunkt von CD, mit Scheitelpunkt B. Beweisen Sie, dass die Fläche des Vierecks EBFD zweimal kleiner ist als die Fläche des Vierecks A B C D.

Lösung: Zeichne eine Diagonale BD.

Übung Nummer 475.

„Zeichne das Dreieck ABC. Zeichne durch Scheitelpunkt B 2 gerade Linien, so dass sie dieses Dreieck in 3 Dreiecke mit gleicher Fläche teilen.

Verwenden Sie den Satz von Thales (teilen Sie AC in 3 gleiche Teile).

V. Aufgabe des Tages.

Für sie habe ich den äußerst rechten Teil der Tafel übernommen, auf dem ich die Aufgabe von heute schreibe. Die Kinder können entscheiden oder nicht. Wir werden dieses Problem heute nicht im Unterricht lösen. Nur wer sich dafür interessiert, kann es abschreiben, zu Hause oder in der Pause lösen. Normalerweise beginnen viele Leute bereits in der Pause, das Problem zu lösen, wenn sie sich entscheiden, zeigen sie die Lösung, und ich fixiere sie in einer speziellen Tabelle. In der nächsten Lektion werden wir definitiv auf dieses Problem zurückkommen und einen kleinen Teil der Lektion der Lösung widmen (und ein neues Problem kann an die Tafel geschrieben werden).

„Ein Parallelogramm wird in ein Parallelogramm geschnitten. Teilen Sie den Rest in 2 gleich große Figuren.

Lösung: Die Sekante AB verläuft durch den Schnittpunkt der Diagonalen der Parallelogramme O und O1.

Zusätzliche Probleme (aus Olympiade-Problemen):

1) „Im Trapez ABCD (AD || BC) sind die Eckpunkte A und B mit Punkt M verbunden, dem Mittelpunkt der Seite CD. Die Fläche des Dreiecks ABM ist m. Finden Sie die Fläche des Trapezes ABCD.

Lösung:

Die Dreiecke ABM und AMK sind gleiche Figuren, weil AM ist der Median.
S ∆ABK = 2m, ∆BCM = ∆MDK, S ABCD = S ∆ABK = 2m.

Antwort: SABCD = 2m.

2) "Im Trapez ABCD (AD || BC) schneiden sich die Diagonalen im Punkt O. Beweisen Sie, dass die Dreiecke AOB und COD gleiche Flächen sind."

Lösung:

S ∆BCD = S ∆ABC , Weil sie haben eine gemeinsame Basis BC und die gleiche Höhe.

3) Die Seite AB eines beliebigen Dreiecks ABC wird über den Eckpunkt B hinaus verlängert, sodass BP = AB, die Seite AC über den Eckpunkt A hinaus verlängert wird, sodass AM = CA, die Seite BC über den Eckpunkt C hinaus verlängert wird, sodass KS = BC. Wie oft ist die Fläche des Dreiecks RMK größer als die Fläche des Dreiecks ABC?

Lösung:

Im Dreieck MVS: MA = AC, also ist die Fläche des Dreiecks BAM gleich der Fläche des Dreiecks ABC. Im Dreieck Arbeitsplatz: BP = AB, also ist die Fläche des Dreiecks BAM gleich der Fläche des Dreiecks ABP. Im Dreieck ARS: AB = BP, also ist die Fläche des Dreiecks BAC gleich der Fläche des Dreiecks BPC. Im Dreieck VRK: BC \u003d SC, daher ist die Fläche des Dreiecks VRS gleich der Fläche des Dreiecks RKS. Im Dreieck AVK: BC = SC, also ist die Fläche des Dreiecks BAC gleich der Fläche des Dreiecks ASC. Im Dreieck MSC: MA = AC, also ist die Fläche des Dreiecks KAM gleich der Fläche des Dreiecks ASC. Wir erhalten 7 gleiche Dreiecke. Meint,

Antwort: Die Fläche des Dreiecks MRK ist 7 mal so groß wie die Fläche des Dreiecks ABC.

4) Verbundene Parallelogramme.

2 Parallelogramme sind wie in der Abbildung gezeigt angeordnet: Sie haben einen gemeinsamen Scheitelpunkt und ein weiterer Scheitelpunkt für jedes der Parallelogramme liegt auf den Seiten des anderen Parallelogramms. Beweisen Sie, dass die Flächen von Parallelogrammen gleich sind.

Lösung:

und , meint,

Verzeichnis der verwendeten Literatur:

1. Lehrbuch "Geometrie 7-9" (Autoren L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev (Moskau, "Enlightenment", 2003).
2. Olympiade-Probleme verschiedener Jahre, insbesondere aus dem Lehrbuch "Die besten Probleme der mathematischen Olympiaden" (zusammengestellt von A. A. Korznyakov, Perm, "Knizhny Mir", 1996).
3. Eine Auswahl an Aufgaben, die sich in langjähriger Arbeit angesammelt haben.

Bei der Berechnung der Flächen von Polygonen wird ein einfacher Trick namens Partitionierungsmethode verwendet. Betrachten Sie die Polygone und in Abb. 1, die zeigt, wie man diese Polygone in die gleiche Anzahl von jeweils gleichen Teilen zerlegt (gleiche Teile sind mit denselben Zahlen gekennzeichnet). Über Polygone und sagen, dass sie gleich zusammengesetzt sind. Im Allgemeinen werden Polygone als gleich zusammengesetzt bezeichnet, wenn es möglich ist, das Polygon auf eine bestimmte Weise in eine endliche Anzahl von Teilen zu zerlegen, indem man diese Teile anders anordnet und daraus ein Polygon macht. Es ist leicht zu sehen, dass der folgende Satz gilt: Polygone gleicher Größe haben die gleiche Fläche oder, wie sie sagen, sind flächengleich. Zum Beispiel ist ein Parallelogramm gleich weit von einem Rechteck entfernt (Abb. 2). Wenn wir also die Formel für die Fläche eines Rechtecks ​​kennen, stellen wir fest, dass die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt der Längen von ist seine Seite und die entsprechende Höhe.

Dieses Beispiel veranschaulicht die Methode der Partitionierung, die darin besteht, dass man zur Berechnung der Fläche eines Polygons versucht, es in endlich viele Teile zu teilen, so dass aus diesen Teilen gebildet werden kann ein einfacheres Polygon, dessen Fläche wir bereits kennen. Beispielsweise ist ein Dreieck äquidistant zu einem Parallelogramm mit gleicher Grundfläche und halber Höhe (Abb. 3); daraus lässt sich leicht die Formel für die Fläche eines Dreiecks ableiten. Diese Methode zur Berechnung der Flächen von Polygonen war Euklid bekannt, der vor mehr als 2000 Jahren lebte.

Bemerkenswerterweise gilt auch für den obigen Satz der umgekehrte Satz: Wenn zwei Polygone gleich groß sind, dann sind sie auch gleich zusammengesetzt. Dieser Satz wurde in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts bewiesen. des ungarischen Mathematikers F. Bolyai und des deutschen Offiziers und Mathematikers P. Gervin, lässt sich wie folgt erklären: Wenn es einen Lebkuchen in Form eines Polygons und eine polygonale Schachtel mit völlig unterschiedlicher Form, aber gleicher Fläche gibt, dann kannst du die lebkuchen in endlich viele stücke schneiden, so dass es gelingt, sie in diese schachtel zu stecken.

Im Zusammenhang mit dem Bolyai-Gervin-Theorem stellt sich die Frage nach zusätzlichen Beschränkungen für die Anzahl oder Anordnung von Teilen, aus denen flächengleiche Polygone bestehen. Stellen wir uns zum Beispiel ein Flugzeug als farbiges Blatt Papier vor, dessen eine Seite rot und die andere weiß ist. Schneidet man aus solchem ​​Papier zwei gleich große rote Polygone aus, so stellt sich die Frage, ob eines davon in Stücke geschnitten werden kann, aus denen man ein dem zweiten gleich großes rotes Polygon hinzufügen kann. Teile dürfen verschoben werden, ohne sie auf die weiße, falsche Seite zu drehen. Auch diese Frage ist zu bejahen.

Eine Variante dieses Problems wurde bei einer der Moskauer Mathematikolympiaden in der folgenden komischen Form vorgeschlagen. Der exzentrische Konditor backte einen Kuchen (und ein Kuchen hat im Gegensatz zu einem Lebkuchen Sahne auf der Oberseite) in Form eines ungleichmäßigen Dreiecks. Sie fertigten auch eine Schachtel für die Torte an, klebten diese aber durch ein Versehen falsch zusammen, so dass die Torte und die Schachtel symmetrisch zueinander ausfielen (Abb. 4). Es ist notwendig (so sparsam wie möglich), den Kuchen in Stücke zu schneiden, die in diese Schachtel gelegt werden können. Teile des Kuchens lassen sich natürlich nicht eincremen.

Ein interessantes Ergebnis im Zusammenhang mit der Auferlegung zusätzlicher Anforderungen an die Anordnung von Teilen wurde 1952 von den Schweizer Mathematikern G. Hadwiger und P. Glur erzielt: Die Äquikonstituenz zweier flächengleicher Polygone kann anhand von Partitionen festgestellt werden, in denen die entsprechenden Teile liegen parallele Seiten. Auf den ersten Blick erscheint dies sogar unglaubwürdig: Es ist kaum zu glauben, dass zwei gleiche Dreiecke, die um einen beliebigen Winkel gegeneinander verdreht sind (Abb. 5), immer in gleiche Teile mit entsprechend parallelen Seiten geteilt werden können. Dennoch gibt es eine solche Aufteilung dieser Dreiecke, dass die Teile, in die ein Dreieck geteilt wird, aus den entsprechenden Teilen des zweiten Dreiecks durch Parallelverschiebungen oder Zentralsymmetrien erhalten werden. Dasselbe gilt für zwei beliebige Polygone gleicher Fläche. Auf parallele Teiletransfers allein kann jedoch nicht verzichtet werden. Egal wie wir beispielsweise ein Parallelogramm in Teile zerlegen, es ist unmöglich, aus diesen Teilen durch parallele Verschiebungen ein Dreieck zu machen.

Das Interesse an diesen Fragen wurde durch den berühmten Bericht „Mathematische Probleme“ geweckt, den der herausragende Mathematiker D. Hilbert auf dem Zweiten Internationalen Mathematikerkongress um die Wende vom 19. zum 20. Jahrhundert vorlas. Von den 23 von Hilbert gestellten Problemen beziehen sich die meisten auf neue, sich schnell entwickelnde Zweige der Mathematik. Und nur ein Problem – das dritte – hängt mit den Fragen der Schulgeometrie zusammen. Hilbert macht darauf aufmerksam, dass bei der Berechnung des Volumens einer dreieckigen Pyramide seit Euklids Zeit ein ziemlich komplizierter Übergang zur Grenze (siehe Grenze) (und jetzt - Integration) verwendet wird, während bei der Berechnung der Fläche von B. ein Dreieck, verzichten wir auf einen ähnlichen Grenzgang. Der Kern von Hilberts Problem besteht darin, die Verwendung dieses "überflüssigen" (im Vergleich zur Planimetrie) Durchgangs bis zum Limit zu rechtfertigen, d.h. um zu beweisen, dass ohne sie die Theorie der Volumen von Polyedern nicht konstruiert werden kann. Im Jahr 1900 löste M. Dehn Hilberts drittes Problem, indem er bewies, dass ein regulärer Tetraeder und ein Würfel gleicher Größe nicht gleich groß sind. Hilbert sah voraus, dass diese Frage zur Schaffung einer mathematisch interessanten und reichhaltigen Theorie der Äquikonsistenz von Polygonen und Polyedern führen könnte. Hilberts Vorhersage erfüllte sich glänzend; Das schöne Gebäude der modernen Theorie der gleichen Zusammensetzung ist dem Wissenschaftler ein würdiges Denkmal.