Es gibt nichts anderes als das Verhältnis des Sinus des Einfallswinkels zum Sinus des Brechungswinkels
Der Brechungsindex hängt von den Eigenschaften des Stoffes und der Wellenlänge der Strahlung ab, bei einigen Stoffen ändert sich der Brechungsindex ziemlich stark, wenn sich die Frequenz elektromagnetischer Wellen von niedrigen Frequenzen zu optischen und darüber hinaus ändert, und kann sich bei bestimmten auch noch stärker ändern Bereiche der Frequenzskala. Der Standardwert ist normalerweise die optische Reichweite oder die durch den Kontext bestimmte Reichweite.
Der Wert von n ist ceteris paribus normalerweise kleiner als Eins, wenn der Strahl von einem dichteren Medium zu einem weniger dichten Medium übergeht, und größer als Eins, wenn der Strahl von einem weniger dichten Medium zu einem dichteren Medium übergeht (z Gas oder vom Vakuum zu einer Flüssigkeit oder einem Feststoff). Es gibt Ausnahmen von dieser Regel, und daher ist es üblich, ein Medium als optisch mehr oder weniger dicht als ein anderes zu bezeichnen (nicht zu verwechseln mit der optischen Dichte als Maß für die Opazität eines Mediums).
Die Tabelle zeigt einige Brechungsindexwerte für einige Medien:
Ein Medium mit einem höheren Brechungsindex wird als optisch dichter bezeichnet. Üblicherweise wird der Brechungsindex verschiedener Medien gegenüber Luft gemessen. Der absolute Brechungsindex von Luft ist . Somit hängt der absolute Brechungsindex eines Mediums mit seinem Brechungsindex relativ zu Luft durch die Formel zusammen:
Der Brechungsindex hängt von der Wellenlänge des Lichts ab, also von seiner Farbe. Unterschiedliche Farben entsprechen unterschiedlichen Brechungsindizes. Dieses als Dispersion bezeichnete Phänomen spielt in der Optik eine wichtige Rolle.
Die digitale Ressource kann für den Unterricht im Rahmen des Programms der Grund- und Sekundarstufe (Grundstufe) genutzt werden.
Das Modell ist eine animierte Illustration zum Thema "Gesetz der Lichtbrechung". Das Wasser-Luft-System wird betrachtet. Eingezeichnet ist der Verlauf der einfallenden, reflektierten und gebrochenen Strahlen.
Kurze Theorie
Das Gesetz der Lichtbrechung findet eine Erklärung in der Wellenphysik. Nach Wellenkonzepten ist Brechung eine Folge einer Änderung der Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wellen beim Übergang von einem Medium in ein anderes. Die physikalische Bedeutung des Brechungsindex ist das Verhältnis der Wim ersten Medium υ 1 zur Ausbreitungsgeschwindigkeit im zweiten Medium υ 2:
Arbeiten mit dem Modell
Mit der Schaltfläche „Start/Stop“ können Sie das Experiment starten oder anhalten, mit der Schaltfläche „Reset“ können Sie ein neues Experiment starten.
Dieses Modell kann als Veranschaulichung im Unterricht verwendet werden, um neues Material zum Thema "Gesetz der Lichtbrechung" zu studieren. Am Beispiel dieses Modells können die Schüler den Strahlengang beim Übergang von einem optisch dünneren zu einem optisch dichteren Medium betrachten.
Unterrichtsplanungsbeispiel anhand des Modells
Thema "Lichtbrechung"
Der Zweck der Lektion: Betrachtung des Phänomens der Lichtbrechung, des Strahlengangs beim Übergang von einem Medium zum anderen.
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Tabelle 1. |
Beispiele für Fragen und Aufgaben
- Licht gelangt vom Vakuum zum Glas, während der Einfallswinkel α ist, ist der Brechungswinkel β. Wie groß ist die Lichtgeschwindigkeit im Glas, wenn die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c ist?
- Die Brechungsindizes von Wasser, Glas und Diamant relativ zu Luft betragen 1,33, 1,5 bzw. 2,42. Bei welchem dieser Stoffe hat der Grenzwinkel der Totalreflexion den kleinsten Wert?
- Ein Taucher untersucht von unten nach oben aus dem Wasser eine Lampe, die in 1 m Höhe über der Wasseroberfläche hängt. Wie hoch ist die scheinbare Höhe der Lampe unter Wasser?
In einer Reihe von Fällen kann durch Untersuchung der Koeffizienten von Reihen der Form (C) oder festgestellt werden, dass diese Reihen konvergieren (vielleicht mit Ausnahme einzelner Punkte) und in ihrer Summe Fourier-Reihen sind (siehe z ), aber in all diesen Fällen stellt sich natürlich die Frage
wie man die Summen dieser Reihen findet oder genauer gesagt, wie man sie in der endgültigen Form in Form von Elementarfunktionen ausdrückt, wenn sie überhaupt in einer solchen Form ausgedrückt werden. Sogar Euler (und auch Lagrange) haben erfolgreich analytische Funktionen einer komplexen Variablen verwendet, um trigonometrische Reihen in einer endgültigen Form zusammenzufassen. Die Idee hinter dem Euler-Verfahren ist wie folgt.
Nehmen wir an, dass für einen bestimmten Satz von Koeffizienten die Reihen (C) und überall im Intervall gegen Funktionen konvergieren, nur einzelne Punkte ausgenommen. Betrachten Sie nun eine Potenzreihe mit denselben Koeffizienten, angeordnet nach Potenzen einer komplexen Variablen
Auf dem Umfang des Einheitskreises, also bei , konvergiert diese Reihe nach Annahme unter Ausschluss einzelner Punkte:
In diesem Fall konvergiert gemäß der wohlbekannten Eigenschaft von Potenzreihen die Reihe (5) sicherlich am, d. h. innerhalb des Einheitskreises und definiert dort eine bestimmte Funktion einer komplexen Variablen. Verwendung uns bekannter [vgl. § 5 des Kapitels XII] der Entwicklung elementarer Funktionen einer komplexen Variablen, ist es oft möglich, die Funktion auf sie zu reduzieren, denn dann gilt:
und nach dem Satz von Abel erhält man, sobald die Reihe (6) konvergiert, ihre Summe als Grenzwert
Normalerweise ist diese Grenze einfach gleich, was es uns ermöglicht, die Funktion in der endgültigen Form zu berechnen
Lassen Sie zum Beispiel die Serie
Die im vorigen Absatz bewiesenen Aussagen lassen den Schluss zu, dass diese beiden Reihen konvergieren (die erste ohne die Punkte 0 und
dienen als Fourier-Reihen für die Funktionen, die sie definieren.Aber was sind diese Funktionen? Um diese Frage zu beantworten, machen wir eine Serie
Durch Ähnlichkeit mit der logarithmischen Reihe lässt sich ihre Summe leicht ermitteln:
Folglich,
Nun ergibt eine einfache Rechnung:
also ist der Modulus dieses Ausdrucks und das Argument ist .
und damit letztlich
Diese Ergebnisse sind uns vertraut und wurden sogar einmal mit Hilfe "komplexer" Überlegungen gewonnen; aber im ersten Fall gingen wir von den Funktionen und aus, im zweiten von der analytischen Funktion, wobei hier zum ersten Mal die Reihe selbst als Ausgangspunkt diente. Weitere Beispiele dieser Art findet der Leser im nächsten Abschnitt.
Wir betonen noch einmal, dass man sich im Voraus der Konvergenz und der Reihe (C) sicher sein muss, um das Recht zu haben, ihre Summen unter Verwendung der Grenzgleichung (7) zu bestimmen. Die bloße Existenz eines Grenzwertes auf der rechten Seite dieser Gleichheit lässt noch nicht den Schluss zu, dass die genannten Reihen konvergieren. Um dies an einem Beispiel zu zeigen, betrachten Sie die Reihe
Lassen Sie uns zeigen, dass fast jede periodische Funktion als Reihe dargestellt werden kann, deren Mitglieder einfache Harmonische sind, indem wir die sogenannte trigonometrische Reihe verwenden.
Definition. Eine trigonometrische Reihe ist eine funktionale Reihe der Form
wo sind die reellen zahlen a 0 , ein , b n heißen die Koeffizienten der Reihe.
Der freie Term der Reihe wird in Form zur Einheitlichkeit der später erhaltenen Formeln geschrieben.
Zwei Fragen gilt es zu klären:
1) Unter welchen Bedingungen funktioniert die Funktion f(x) mit Periode 2π kann in einer Reihe entwickelt werden (5.2.1)?
2) Wie man Quoten berechnet a 0 ,… ein , b n ?
Beginnen wir mit der zweiten Frage. Lassen Sie die Funktion f(x) ist im Intervall stetig und hat einen Punkt T=2π. Wir stellen die Formeln vor, die wir im Folgenden benötigen.
Für jede ganze Zahl, da die Funktion gerade ist.
Für jedes Ganze.
(m und n ganze Zahlen)
Bei ( m und n ganzen Zahlen) wird jedes der Integrale (III, IV, V) in die Summe der Integrale (I) oder (II) umgewandelt. Wenn , dann erhalten wir in Formel (IV):
Gleichheit (V) wird ähnlich bewiesen.
Nehmen wir nun an, die Funktion sei so geworden, dass für sie eine Entwicklung in eine konvergente Fourier-Reihe gefunden wurde, also
(Beachten Sie, dass die Summierung über dem Index erfolgt n).
Wenn die Reihe konvergiert, dann bezeichne ihre Summe S(x).
Termweise Integration (legitim aufgrund der Konvergenzannahme der Reihen) im Bereich von bis ergibt
da alle Terme außer dem ersten gleich Null sind (Beziehungen I, II). Ab hier finden wir
Multiplizieren von (5.2.2) mit ( m=1,2,…) und Term für Term im Bereich von bis integriert, finden wir den Koeffizienten ein.
Auf der rechten Seite der Gleichheit sind alle Terme bis auf einen gleich Null m=n(Beziehungen IV, V), Daher erhalten wir
Multiplizieren von (5.2.2) mit ( m\u003d 1,2, ...) und Term für Term innerhalb des Bereichs von bis integrieren, finden wir in ähnlicher Weise den Koeffizienten b n
Werte - bestimmt durch die Formeln (5.2.3), (5.2.4), (5.2.5) werden Fourier-Koeffizienten genannt, und die trigonometrische Reihe (5.2.2) ist die Fourier-Reihe für eine bestimmte Funktion f(x).
Wir haben also die Zerlegung der Funktion f(x) in einer Fourier-Reihe
Kehren wir zur ersten Frage zurück und finden heraus, welche Eigenschaften die Funktion haben sollte f(x), so dass die konstruierte Fourier-Reihe konvergent ist und die Summe der Reihen genau gleich wäre f(x).
Definition. Die Funktion f(x) heißt stückweise stetig, wenn sie stetig ist oder endlich viele Unstetigkeitsstellen erster Art hat.
Definition. Funktion f(x), gegeben auf dem Intervall aufgerufen wird stückweise monoton, wenn sich die Strecke durch Punkte in endlich viele Intervalle unterteilen lässt, in denen sich die Funktion jeweils monoton ändert (steigend oder fallend).
Wir betrachten Funktionen f(x), eine Periode haben T=2π. Solche Funktionen werden aufgerufen 2π- periodisch.
Lassen Sie uns einen Satz formulieren, der eine hinreichende Bedingung für die Entwicklung einer Funktion in eine Fourier-Reihe darstellt.
Satz von Dirichlet(ohne Beweis akzeptieren) . Wenn ein 2π-periodische Funktion f(x) auf einem Segment stückweise stetig und stückweise monoton ist, dann konvergiert die der Funktion entsprechende Fourier-Reihe auf diesem Segment und in diesem Fall:
1. An Stetigkeitspunkten einer Funktion fällt die Summe der Reihe mit der Funktion selbst zusammen S(x)=f(x);
2. An jedem Punkt x 0 Funktionsunterbrechung f(x) die Summe der Reihe ist
diese. das arithmetische Mittel der Grenzen der Funktion links und rechts des Punktes x 0 ;
3. An Punkten (an den Enden des Segments) ist die Summe der Fourier-Reihe ,
diese. das arithmetische Mittel der Grenzwerte der Funktion an den Enden des Segments, wenn das Argument von der Innenseite des Intervalls zu diesen Punkten tendiert.
Hinweis: Wenn die Funktion f(x) mit einer Periode von 2π ist im gesamten Intervall stetig und differenzierbar und ihre Werte an den Enden des Intervalls sind gleich, d.h. aufgrund der Periodizität ist diese Funktion stetig auf der gesamten reellen Achse und für jede X die Summe seiner Fourier-Reihe ist gleich f(x).
Also, wenn eine Funktion auf einem Intervall integrierbar ist f(x) die Bedingungen des Satzes von Dirichlet erfüllt, dann erfolgt die Gleichheit auf dem Intervall (Entwicklung in einer Fourier-Reihe):
Die Koeffizienten werden nach den Formeln (5.2.3) - (5.2.5) berechnet.
Die Dirichlet-Bedingungen werden von den meisten Funktionen erfüllt, die in der Mathematik und ihren Anwendungen vorkommen.
Fourierreihen werden wie Potenzreihen zur näherungsweisen Berechnung von Funktionswerten verwendet. Wenn die Erweiterung der Funktion f(x) in eine trigonometrische Reihe stattfindet, dann können Sie immer die ungefähre Gleichheit verwenden, indem Sie diese Funktion durch die Summe mehrerer Harmonischer ersetzen, d.h. Teilsumme (2 n+1) Term der Fourier-Reihe.
Trigonometrische Reihen sind in der Elektrotechnik weit verbreitet und lösen mit ihrer Hilfe viele Probleme der mathematischen Physik.
Erweitern Sie in einer Fourier-Reihe eine Funktion mit einer Periode von 2π, gegeben auf dem Intervall (-π; π).
Lösung. Finden Sie die Koeffizienten der Fourier-Reihe:
Wir haben die Entwicklung der Funktion in einer Fourier-Reihe erhalten
An den Stetigkeitspunkten ist die Summe der Fourier-Reihe gleich dem Wert der Funktion f(x)=S(x), am Punkt x=0 S(x)=1/2, an Punkten x=π,2π,… S(x)=1/2.
Die Navier-Lösung ist nur für die Berechnung von an der Kontur angelenkten Platten geeignet. Allgemeiner ist Levys Lösung. Es erlaubt Ihnen, eine Platte zu berechnen, die an zwei parallelen Seiten angelenkt ist, mit beliebigen Randbedingungen auf jeder der anderen beiden Seiten.
Bei der rechteckigen Platte in Abb. 5.11, (a), Scharnierkanten sind solche parallel zur Achse j. Die Randbedingungen an diesen Kanten haben die Form
 |
Reis. 5.11
Es ist offensichtlich, dass jeder Term der unendlichen trigonometrischen Reihe
https://pandia.ru/text/78/068/images/image004_89.gif" width="99" height="49">; zweite partielle Ableitung der Ablenkungsfunktion
(5.45)
bei x = 0 und x = a sind auch null, weil sie https://pandia.ru/text/78/068/images/image006_60.gif" width="279" height="201 src="> (5.46) enthalten
Einsetzen von (5.46) in (5.18) ergibt
Multiplizieren beider Seiten der resultierenden Gleichung mit , Integrieren von 0 bis a und sich daran zu erinnern
,
Wir müssen die Funktion definieren Jm eine solche lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten
. (5.48)
If, um die Notation abzukürzen, bezeichnen
Gleichung (5.48) nimmt die Form an
. (5.50)
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung (5.50), wie sie aus dem Verlauf der Differentialgleichungen bekannt ist, hat die Form
Jm(j) = jm (j)+ FM(j), (5.51)
wo jm (j) eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung (5.50); ihre Form hängt von der rechten Seite der Gleichung (5.50) ab, also tatsächlich von der Art der Belastung q (x, j);
FM(j)= Bin schamy + Bmchamj+j(cm schamy + Dmchamj), (5.52)
allgemeine Lösung der homogenen Gleichung
Vier beliebige Konstanten Bin,BEIm ,Cm und Dm muss aus den vier Bedingungen für die Befestigung der Plattenränder bestimmt werden, parallel zur Achse , die auf die Platte aufgebracht werden Konstante q (x, j) = q die rechte Seite von Gleichung (5.50) nimmt die Form an
https://pandia.ru/text/78/068/images/image014_29.gif" width="324" height="55 src=">. (5.55)
Da die rechte Seite der Gleichung (5.55) konstant ist, ist auch ihre linke Seite konstant; Also alle Derivate jm (j) sind null, und
, (5.56)
, (5.57)
wo angegeben: .
Betrachten Sie einen Teller eingeklemmt an achsparallelen Kanten X(Abb. 5.11, (c)).
Randbedingungen an den Kanten j = ± b/2
. (5.59)
Aufgrund der Symmetrie der Auslenkung der Platte um die Achse Öx, sollen in der allgemeinen Lösung (5.52) nur Terme beibehalten werden, die gerade Funktionen enthalten. Weil sch amj eine ungerade Funktion ist und ch am j- gerade und mit der angenommenen Position der Achse Oh, j Sch amj- selbst in bei CH am j ungerade ist, dann lässt sich das allgemeine Integral (5.51) im betrachteten Fall darstellen als
. (5.60)
Denn in (5.44) kommt es nicht auf den Wert des Arguments an j, kann das zweite Randbedingungspaar (5.58), (5.59) geschrieben werden als:
Jm = 0, (5.61)
Y¢ m = = 0. (5.62)
ambm Sch amy +cm(Sch amj+jam CH amj)
Aus (5.60) - (5.63) folgt
https://pandia.ru/text/78/068/images/image025_20.gif" width="364" height="55 src=">. (5.65)
Multiplikation von Gleichung (5.64) mit , und Gleichung (5..gif" width="191" height="79 src=">. (5.66)
Durch Einsetzen von (5.66) in Gleichung (5.64) erhalten wir bm
https://pandia.ru/text/78/068/images/image030_13.gif" width="511" height="103">. (5.68)
Mit diesem Funktionsausdruck Ym. , nimmt die Formel (5.44) zur Bestimmung der Durchbiegungsfunktion die Form an
(5.69)
Reihe (5.69) konvergiert schnell. Zum Beispiel für eine quadratische Platte in ihrer Mitte, also bei x=a/2, j = 0
(5.70)
In (5.70) nur einen Term der Reihe behalten, also nehmen 
erhalten wir einen um weniger als 2,47 % überschätzten Durchbiegungswert. Unter Berücksichtigung, dass p 5 =
306.02, find Variation" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark"> Die Variationsmethode von V..Ritz basiert auf dem in Abschnitt 2 formulierten Variationsprinzip von Lagrange.
Betrachten wir diese Methode in Anwendung auf das Problem der Plattenbiegung. Stellen Sie sich die gekrümmte Oberfläche der Platte als eine Reihe vor
, (5.71)
wo fi(x, j) stetige Koordinatenfunktionen, die jeweils kinematischen Randbedingungen genügen müssen; Ci sind unbekannte Parameter, die aus der Lagrange-Gleichung bestimmt werden. Diese Gleichung
(5.72)
führt zu einem System von n algebraische Gleichungen in Bezug auf Parameter Ci.
Im allgemeinen Fall besteht die Verformungsenergie der Platte aus Biegung U und Membran U m Teile
, (5.73)
, (5.74)
wo Mh.,Mj. ,Mxy– Biegekräfte; NX., Ny. , Nxy– Membrankräfte. Der den Querkräften entsprechende Energieanteil ist klein und kann vernachlässigt werden.
Wenn ein u, v und w sind die Komponenten der tatsächlichen Verschiebung, px. , py und pz sind die Komponenten der Oberflächenbelastungsintensität, Rich- konzentrierte Kraft, D ich die entsprechende lineare Verschiebung, Mj- konzentrierter Moment qj- dem ihm entsprechenden Drehwinkel (Abb. 5.12), dann lässt sich die potentielle Energie äußerer Kräfte wie folgt darstellen:
Wenn die Kanten der Platte eine Bewegung zulassen, dann die Kantenkräfte vn. , Mn. , mnt(Abb. 5.12, (a)) erhöhen das Potential äußerer Kräfte
 |
|
 |
|
Reis. 5.12
Hier n und t– normal und tangential zum Kantenelement DS.
In kartesischen Koordinaten unter Berücksichtigung bekannter Ausdrücke für Kräfte und Krümmungen
, (5.78)
gesamte potentielle Energie E einer rechteckigen Platte der Größe a ´ b, unter Einwirkung von nur vertikaler Belastung pz
(5.79)
Betrachten Sie als Beispiel eine rechteckige Platte mit einem Seitenverhältnis von 2 a´ 2 b(Abb. 5.13).
Die Platte wird entlang der Kontur geklemmt und gleichmäßig belastet
pz = q = konst. In diesem Fall vereinfacht sich der Ausdruck (5.79) für die Energie E
. (5.80)
Akzeptieren für w(x, y) die Zeile
die die Konturbedingungen erfüllt
 |  |
Reis. 5.13
Behalten Sie nur das erste Mitglied der Reihe
.
Dann gilt nach (5.80)
.
Minimierung der Energie E nach (5..gif" width="273 height=57" height="57">.
.
Durchbiegung der Mitte einer quadratischen Platte Größe 2 a´ 2 a
,
das sind 2,5 % mehr als die exakte Lösung 0,0202 qa 4/D. Beachten Sie, dass die Durchbiegung der Mitte der vierseitig gelagerten Platte 3,22-mal größer ist.
Dieses Beispiel veranschaulicht die Vorteile des Verfahrens: Einfachheit und die Möglichkeit, ein gutes Ergebnis zu erzielen. Die Platte kann verschiedene Umrisse und eine variable Dicke haben. Schwierigkeiten bei diesem Verfahren, wie auch bei anderen Energieverfahren, ergeben sich bei der Auswahl geeigneter Koordinatenfunktionen.
5.8. Orthogonalisierungsverfahren
Das von und vorgeschlagene Orthogonalisierungsverfahren basiert auf der folgenden Eigenschaft orthogonaler Funktionen jich. , jj
. (5.82)
Ein Beispiel für orthogonale Funktionen auf dem Intervall ( – p, p) können als trigonometrische Funktionen cos dienen nx und Sünde nx wofür
Wenn eine der Funktionen, zum Beispiel die Funktion jich (x) identisch gleich Null ist, dann ist die Bedingung (5.82) für eine beliebige Funktion erfüllt jj (x).
Um das Problem der Plattenbiegung zu lösen, lautet die Gleichung
kann man sich so vorstellen
, (5.83)
wo F ist die durch die Kontur der Platte begrenzte Fläche; jij sind Funktionen, die so spezifiziert sind, dass sie die kinematischen und Kraft-Randbedingungen des Problems erfüllen.
Stellen wir die Näherungslösung der Plattenbiegegleichung (5.18) in Form einer Reihe dar
. (5.84)
Wenn Lösung (5.84) exakt wäre, dann würde Gleichung (5.83) für jedes System von Koordinatenfunktionen identisch gelten jij. , denn in diesem Fall D c2c2 wn – q = 0. Wir verlangen, dass die Gleichung D c2c2 wn – q war orthogonal zur Familie der Funktionen jij, und wir verwenden diese Anforderung, um die Koeffizienten zu bestimmen Cij. . Durch Einsetzen von (5.84) in (5.83) erhalten wir
. (5.85)
Nach Durchführung einiger Transformationen erhalten wir das folgende System algebraischer Gleichungen zur Bestimmung Cij
, (5.86)
und hij = hji.
Das Bubnov-Galerkin-Verfahren kann wie folgt interpretiert werden. Funktion D c2c2 wn – q = 0 ist im Wesentlichen eine Gleichgewichtsgleichung und ist eine Projektion äußerer und innerer Kräfte, die auf ein kleines Element der Platte in Richtung der vertikalen Achse wirken z. Umlenkfunktion wn ist eine Bewegung in Richtung der gleichen Achse, und die Funktionen jij können als mögliche Bewegungen angesehen werden. Gleichung (5.83) drückt daher näherungsweise die Nullgleichheit der Arbeit aller äußeren und inneren Kräfte auf mögliche Verschiebungen aus jij. . Somit ist das Bubnov-Galerkin-Verfahren im Wesentlichen variabel.
Betrachten Sie als Beispiel eine rechteckige Platte, die entlang der Kontur eingespannt und mit einer gleichmäßig verteilten Last belastet wird. Die Abmessungen der Platte und die Lage der Koordinatenachsen sind die gleichen wie in Abb. 5.6.
Randbedingungen
bei x = 0, x= ein: w = 0, ,
bei j = 0, j = b: w = 0, .
Wir wählen einen Näherungsausdruck für die Durchbiegungsfunktion in Form einer Reihe (5.84), wobei die Funktion jij
erfüllt die Randbedingungen; Cij sind die gewünschten Koeffizienten. Limitiert auf ein Mitglied der Serie
wir erhalten die folgende Gleichung
Nach der Integration
Wo können wir den Koeffizienten berechnen AUS 11
,
was dem Koeffizienten vollständig entspricht AUS 11. durch das Verfahren erhalten
V.Ritz -.
In erster Näherung ist die Auslenkungsfunktion wie folgt
.
Maximale Durchbiegung in der Mitte einer quadratischen Platte a ´ a
.
5.9. Anwendung der Finite-Differenzen-Methode
Betrachten wir die Anwendung der Finite-Differenzen-Methode für rechteckige Platten mit komplexen Konturverhältnissen. Der Differenzoperator ist ein Analogon der Differentialgleichung der gekrümmten Plattenoberfläche (5.18), für ein quadratisches Gitter, für D x = D j = D hat die Form (3.54)
20 wi, j + 8 (wi, j+ 1 + wi, j– 1 + wi– 1, j + wi+ 1, j) + 2 (wi– 1, j– 1 + wi– 1, j+ 1 +
Reis. 5.14
Unter Berücksichtigung des Vorhandenseins von drei Symmetrieachsen der Belastung und Verformung der Platte können wir uns darauf beschränken, ihre achte zu berücksichtigen und die Durchbiegungswerte nur an den Knoten 1 ... 10 zu bestimmen (Abb. 5.14, (b)) . Auf Abb. 5.14, (b) zeigt die Raster- und Knotennummerierung (D = ein/4).
Da die Kanten der Platte eingeklemmt sind, schreibt man die Konturbedingungen (5.25), (5.26) in endliche Differenzen
