Beginnen wir mit unserem Lieblingsplatz.

Beispiel 9

Quadrieren Sie eine komplexe Zahl

Hier können Sie auf zwei Arten vorgehen: Die erste Möglichkeit besteht darin, den Grad als Produkt von Faktoren umzuschreiben und die Zahlen gemäß der Regel zur Multiplikation von Polynomen zu multiplizieren.

Die zweite Methode besteht darin, die bekannte Schulformel zur abgekürzten Multiplikation zu verwenden:

Für eine komplexe Zahl lässt sich ganz einfach eine eigene abgekürzte Multiplikationsformel ableiten:

Eine ähnliche Formel lässt sich für das Quadrat der Differenz sowie für den Kubus der Summe und den Kubus der Differenz ableiten. Diese Formeln sind jedoch für komplexe Analyseprobleme relevanter. Was ist, wenn Sie eine komplexe Zahl beispielsweise auf die 5., 10. oder 100. Potenz erhöhen müssen? Es ist klar, dass es fast unmöglich ist, einen solchen Trick in algebraischer Form auszuführen. Überlegen Sie, wie Sie ein Beispiel wie?

Und hier hilft die trigonometrische Form einer komplexen Zahl und die sogenannte Moivres Formel: Wenn eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form dargestellt wird, gilt bei Potenzierung in eine natürliche Potenz die folgende Formel:

Es ist einfach unverschämt.

Beispiel 10

Finden Sie bei einer gegebenen komplexen Zahl.

Was soll getan werden? Zuerst müssen Sie diese Zahl in trigonometrischer Form darstellen. Aufmerksame Leser werden bemerkt haben, dass wir dies in Beispiel 8 bereits getan haben:

Dann gilt nach Moivres Formel:

Gott bewahre, Sie müssen sich nicht auf einen Taschenrechner verlassen, aber in den meisten Fällen sollte der Winkel vereinfacht werden. Wie vereinfacht man? Im übertragenen Sinne müssen Sie unnötige Kurven loswerden. Eine Umdrehung entspricht einem Bogenmaß oder 360 Grad. Lassen Sie uns herausfinden, wie viele Wendungen wir im Argument haben. Der Einfachheit halber machen wir den Bruch richtig:, woraufhin deutlich wird, dass man eine Umdrehung reduzieren kann:. Ich hoffe, dass jeder versteht, dass dies derselbe Aspekt ist.

Daher wird die endgültige Antwort wie folgt geschrieben:

Eine separate Variante des Potenzierungsproblems ist die Potenzierung rein imaginärer Zahlen.

Beispiel 12

Erhöhen Sie komplexe Zahlen auf Potenzen

Auch hier ist alles einfach, Hauptsache man erinnert sich an die berühmte Gleichheit.

Wird die imaginäre Einheit gerade potenziert, so lautet die Lösungstechnik wie folgt:

Wenn die imaginäre Einheit auf eine ungerade Potenz erhöht wird, „kneifen“ wir ein „und“ ab und erhalten so eine gerade Potenz:

Wenn ein Minus (oder ein beliebiger reeller Koeffizient) vorhanden ist, muss dieser zuerst getrennt werden:

Ziehen von Wurzeln aus komplexen Zahlen. Quadratische Gleichung mit komplexen Wurzeln

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Kann die Wurzel nicht extrahiert werden? Wenn wir über reelle Zahlen sprechen, dann ist das wirklich unmöglich. Es ist möglich, die Wurzel komplexer Zahlen zu ziehen! Und genauer, zwei Wurzel:

Sind die gefundenen Wurzeln wirklich eine Lösung der Gleichung? Lass uns das Prüfen:

Das musste überprüft werden.

Oft wird eine abgekürzte Schreibweise verwendet; beide Wurzeln werden in einer Zeile unter dem „gleichen Kamm“ geschrieben: .

Diese Wurzeln werden auch genannt komplexe Wurzeln konjugieren.

Ich denke, jeder versteht, wie man Quadratwurzeln aus negativen Zahlen zieht: ,,, usw. In allen Fällen stellt sich heraus zwei komplexe Wurzeln konjugieren.

Beginnen wir mit unserem Lieblingsplatz.

Beispiel 9

Quadrieren Sie eine komplexe Zahl

Hier können Sie auf zwei Arten vorgehen: Die erste Möglichkeit besteht darin, den Grad als Produkt von Faktoren umzuschreiben und die Zahlen gemäß der Regel zur Multiplikation von Polynomen zu multiplizieren.

Die zweite Methode besteht darin, die bekannte Schulformel zur abgekürzten Multiplikation zu verwenden:

Für eine komplexe Zahl lässt sich ganz einfach eine eigene abgekürzte Multiplikationsformel ableiten:

Eine ähnliche Formel lässt sich für das Quadrat der Differenz sowie für den Kubus der Summe und den Kubus der Differenz ableiten. Diese Formeln sind jedoch für komplexe Analyseprobleme relevanter. Was ist, wenn Sie eine komplexe Zahl beispielsweise auf die 5., 10. oder 100. Potenz erhöhen müssen? Es ist klar, dass es fast unmöglich ist, einen solchen Trick in algebraischer Form auszuführen. Überlegen Sie, wie Sie ein Beispiel wie?

Und hier hilft die trigonometrische Form einer komplexen Zahl und die sogenannte Moivres Formel: Wenn eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form dargestellt wird, gilt bei Potenzierung in eine natürliche Potenz die folgende Formel:

Es ist einfach unverschämt.

Beispiel 10

Finden Sie bei einer gegebenen komplexen Zahl.

Was soll getan werden? Zuerst müssen Sie diese Zahl in trigonometrischer Form darstellen. Aufmerksame Leser werden bemerkt haben, dass wir dies in Beispiel 8 bereits getan haben:

Dann gilt nach Moivres Formel:

Gott bewahre, Sie müssen sich nicht auf einen Taschenrechner verlassen, aber in den meisten Fällen sollte der Winkel vereinfacht werden. Wie vereinfacht man? Im übertragenen Sinne müssen Sie unnötige Kurven loswerden. Eine Umdrehung entspricht einem Bogenmaß oder 360 Grad. Lassen Sie uns herausfinden, wie viele Wendungen wir im Argument haben. Der Einfachheit halber machen wir den Bruch richtig:, woraufhin deutlich wird, dass man eine Umdrehung reduzieren kann:. Ich hoffe, dass jeder versteht, dass dies derselbe Aspekt ist.

Daher wird die endgültige Antwort wie folgt geschrieben:

Eine separate Variante des Potenzierungsproblems ist die Potenzierung rein imaginärer Zahlen.

Beispiel 12

Erhöhen Sie komplexe Zahlen auf Potenzen

Auch hier ist alles einfach, Hauptsache man erinnert sich an die berühmte Gleichheit.

Wird die imaginäre Einheit gerade potenziert, so lautet die Lösungstechnik wie folgt:

Wenn die imaginäre Einheit auf eine ungerade Potenz erhöht wird, „kneifen“ wir ein „und“ ab und erhalten so eine gerade Potenz:

Wenn ein Minus (oder ein beliebiger reeller Koeffizient) vorhanden ist, muss dieser zuerst getrennt werden:

Ziehen von Wurzeln aus komplexen Zahlen. Quadratische Gleichung mit komplexen Wurzeln

Schauen wir uns ein Beispiel an:

Kann die Wurzel nicht extrahiert werden? Wenn wir über reelle Zahlen sprechen, dann ist das wirklich unmöglich. Es ist möglich, die Wurzel komplexer Zahlen zu ziehen! Und genauer, zwei Wurzel:

Sind die gefundenen Wurzeln wirklich eine Lösung der Gleichung? Lass uns das Prüfen:

Das musste überprüft werden.

Oft wird eine abgekürzte Schreibweise verwendet; beide Wurzeln werden in einer Zeile unter dem „gleichen Kamm“ geschrieben: .

Diese Wurzeln werden auch genannt komplexe Wurzeln konjugieren.

Ich denke, jeder versteht, wie man Quadratwurzeln aus negativen Zahlen zieht: ,,, usw. In allen Fällen stellt sich heraus zwei komplexe Wurzeln konjugieren.

Beispiel 13

Lösen Sie eine quadratische Gleichung

Berechnen wir die Diskriminante:

Die Diskriminante ist negativ und die Gleichung hat keine Lösung in reellen Zahlen. Aber die Wurzel kann in komplexen Zahlen gezogen werden!

Mit bekannten Schulformeln erhalten wir zwei Wurzeln: – Konjugierte komplexe Wurzeln

Somit hat die Gleichung zwei konjugiert komplexe Wurzeln:

Jetzt können Sie jede quadratische Gleichung lösen!

Und im Allgemeinen hat jede Gleichung mit einem Polynom vom „n-ten“ Grad gleiche Wurzeln, von denen einige komplex sein können.

Ein einfaches Beispiel zum Selbstlösen:

Beispiel 14

Finden Sie die Wurzeln der Gleichung und faktorisieren Sie das quadratische Binomial.

Die Faktorisierung erfolgt wiederum nach der Standard-Schulformel.

Mit dem Taschenrechner

Um einen Ausdruck auszuwerten, müssen Sie eine auszuwertende Zeichenfolge eingeben. Bei der Eingabe von Zahlen ist das Trennzeichen zwischen den ganzzahligen und gebrochenen Teilen ein Punkt. Sie können Klammern verwenden. Operationen an komplexen Zahlen sind Multiplikation (*), Division (/), Addition (+), Subtraktion (-), Potenzierung (^) und andere. Sie können Exponential- und Algebraformen verwenden, um komplexe Zahlen zu schreiben. Geben Sie eine imaginäre Einheit ein ich es ist ohne das Multiplikationszeichen möglich; in anderen Fällen ist das Multiplikationszeichen erforderlich, beispielsweise zwischen Klammern oder zwischen einer Zahl und einer Konstante. Es können auch Konstanten verwendet werden: Die Zahl π wird als Pi, Exponent, eingegeben e, müssen alle Ausdrücke im Indikator in Klammern eingeschlossen werden.

Beispielzeile zur Berechnung: (4,5+i12)*(3,2i-2,5)/e^(i1,25*pi), was dem Ausdruck \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\] entspricht

Der Rechner kann Konstanten, mathematische Funktionen, zusätzliche Operationen und komplexere Ausdrücke verwenden. Sie können sich auf der Seite mit den allgemeinen Regeln für die Verwendung von Rechnern auf dieser Website mit diesen Funktionen vertraut machen.

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Nachricht

07.07.2016
Ein Rechner zum Lösen von Systemen nichtlinearer algebraischer Gleichungen wurde hinzugefügt: .

30.06.2016
Die Website verfügt über ein responsives Design; die Seiten werden sowohl auf großen Monitoren als auch auf mobilen Geräten angemessen angezeigt.

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