План:
1. Исследование методов математической статистики в педагогическом исследовании.
1. Исследование методов математической статистики в педагогическом исследовании.
В последнее время предпринимаются серьезные шаги, направленные на внедрение в педагогику математических методов оценки и измерения педагогических явлений и установления количественных зависимостей между ними. Математические методы позволяют подойти к решению одной из сложнейших задач педагогики - количественной оценки педагогических явлений. Лишь обработка количественных данных и полученные при этом выводы могут объективно доказать или опровергнуть выдвинутую гипотезу.
В педагогической литературе предлагается ряд методик статистической обработки данных педагогического эксперимента (Л. Б. Ительсон, Ю. В. Павлов и др.). При использовании методов математической статистики следует иметь в виду, что сама статистика не раскрывает сущности явления и не может объяснить причины возникающих различий между отдельными сторонами явления. Например, анализ результатов проведенного исследования показывает, что используемый метод обучения дал более высокие результаты по сравнению с ранее зафиксированными. Однако данные вычисления не могут дать ответ на вопрос, почему новый метод лучше прежнего.
Наиболее распространенными из математических методов, применяемых в педагогике, являются:
1. Регистрация - метод выявления наличия определенного качества у каждого члена группы и общего подсчета количества тех, у кого данное качество имеется или отсутствует (например, количество детей, посещавших занятия без пропуска и допускавших пропуски и т. п.).
2. Ранжирование (или метод ранговой оценки) предполагает расположение собранных данных в определенной последовательности, обычно в порядке убывания или нарастания каких-либо показателей и, соответственно, определение места в этом ряду каждого из исследуемых (например, составление списка детей в зависимости от числа пропущенных занятий и т. п.).
3. Шкалирование как количественный метод исследования дает возможность ввести цифровые показатели в оценку отдельных сторон педагогических явлений. Для этой цели испытуемым задают вопросы, отвечая на которые они должны указать степень или форму оценки, выбранную из числа данных оценок, пронумерованных в определенном порядке (например, вопрос о занятии спортом с выбором ответов: а) увлекаюсь, б) занимаюсь регулярно, в) занимаюсь нерегулярно, г) не занимаюсь никаким видом спорта).
Соотнесение полученных результатов с нормой (при заданных показателях) предполагает определение отклонений от нормы и соотнесение этих отклонений с допустимыми интервалами (например, при программированном обучении нормой часто считается 85-90% правильных ответов; если правильных ответов меньше, это означает, что программа слишком трудна, если больше - значит, она слишком облегчена).
Проникновение математических методов в самые разнообразные сферы человеческой деятельности актуализирует проблему моделирования, с помощью которого устанавливается соответствие реального объекта математической модели. Любая модель есть гомоморфный образ некоторой системы в другой системе (гомоморфизм - взаимно однозначное соответствие между системами, сохраняющее основные отношения и основные операции). Математические модели по отношению к моделируемым объектам есть аналоги на уровне структур.
Специфика статистической обработки результатов психолого-педагогических исследований заключается в том, что анализируемая база данных характеризуется большим количеством показателей различных типов, их высокой вариативностью под влиянием неконтролируемых случайных факторов, сложностью корреляционных связей между переменными выборки, необходимостью учета объективных и субъективных факторов, влияющих на результаты диагностики, особенно при решении вопроса о репрезентативности выборки и оценке гипотез, касающихся генеральной совокупности. Данные исследований по их типу можно разбить на группы:
Первая группа - номинальные переменные (пол, анкетные данные и т. д.). Арифметические операции над такими величинами лишены смысла, так что результаты описательной статистики (среднее, дисперсия) к таким величинам неприменимы. Классический способ их анализа - разбиение на классы сопряженности относительно тех или иных номинальных признаков и проверка значимых различий по классам.
Вторая группа данных имеет количественную шкалу измерения, но эта шкала является порядковой (ординальной). При анализе ординальных переменных используется как разбиение на подвыборки, так и ранговые технологии. С некоторыми ограничениями применимы и параметрические методы.
Третья группа - количественные переменные, отражающие степень выраженности замеряемого показателя, - это тесты Кеттелла, успеваемость и другие оценочные тесты. При работе с переменными этой группы применимы все стандартные виды анализа, и при достаточном объеме выборки их распределение обычно близко к нормальному. Таким образом, разнообразие типов переменных требует применения широкого спектра используемых математических методов.
Процедуру анализа можно разбить на следующие этапы:
Подготовка базы данных к анализу. Этот этап включает в себя конвертацию данных в электронный формат, их проверка на наличие выбросов, выбор метода работы с пропущенными значениями.
Описательная статистика (вычисление средних, дисперсий и т.д.). Результаты описательной статистики определяют характеристики параметров анализируемой выборки либо подвыборок, задаваемых тем или иным разбиением.
Разведочный анализ. Задачей данного этапа является содержательное исследование различных групп показателей выборки, их взаимосвязей, выявление основных явных и скрытых (латентных) факторов, влияющих на данные, отслеживание изменений показателей, их взаимосвязей и значимости факторов при разбиении базы данных по группам и т. д. Инструментом исследования являются различные методы и технологии корреляционного, факторного и кластерного анализа. Целью анализа является формулировка гипотез, касающихся как данной выборки, так и генеральной совокупности.
Детальный анализ полученных результатов и статистическая проверка выдвинутых гипотез. На этом этапе проверяются гипотезы относительно видов функции распределения случайных переменных, значимости различий средних и дисперсий в подвыборках и т.д. При обобщении результатов исследования решается вопрос о репрезентативности выборки.
Необходимо отметить, что эта последовательность действий, строго говоря, не является хронологической, за исключением первого этапа. По мере получения результатов описательной статистики и выявления тех или иных закономерностей возникает необходимость проверить возникающие гипотезы и сразу перейти к их детальному анализу. Но в любом случае при проверке гипотез рекомендуется провести их анализ различными математическими средствами, адекватно соответствующими модели, и принимать гипотезу на том или ином уровне значимости следует только тогда, когда она подтверждается несколькими различными методами.
При организации любого измерения всегда предполагается соотнесение (сравнение) измеряемого с измерителем (эталоном). После процедуры соотнесения (сравнения) производится оценка результата измерения. Если в технике в качестве измерителей используют, как правило, материальные эталоны, то в социальных измерениях, в том числе при педагогических и психологических измерениях, измерители могут быть идеальными. Действительно, чтобы определить сформировано или не сформировано у ребенка конкретное умственное действие, необходимо сравнить действительное с необходимым. В этом случае, необходимое- это идеальная модель, существующая в голове педагога.
Следует заметить, что только некоторые педагогические явления могут быть замерены. Большинство же педагогических явлений не поддаются измерению, поскольку отсутствуют эталоны педагогических явлений, без которых не может быть выполнено измерение.
Что касается таких явлений, как активность, бодрость, пассивность, усталость, умения, навыки и т.д.., их измерить пока не представляется возможным, поскольку нет эталонов активности, пассивности, бодрости и т.д. Ввиду чрезвычайной сложности и, в большей части, практической невозможности измерения педагогических явлений в настоящее время применяются специальные методы приближенной количественной оценки этих явлений.
В настоящее время принято все психолого-педагогические явления подразделять на две большие категории: объективные материальные явления (явления, существующие вне и независимо от нашего сознания) и субъективные нематериальные явления (явления, свойственные данному лицу).
К объективным материальным явлениям относятся: химические и биологические процессы, движения, совершаемые человеком, издаваемые им звуки, выполняемые им действия и т.д.
К субъективным нематериальным явлениям и процессам относятся: ощущения, восприятия и представления, фантазии и мышление, чувства, влечения и желания, мотивация, знания, умения и навыки и т.д.
Все признаки объективных материальных явлений и процессов наблюдаемы и могут быть, в принципе, всегда измерены, хотя современная наука подчас не в состоянии это сделать. Любое свойство или признак может быть измерено непосредственно. Это значит, что его путем физических операций всегда можно сравнить с некоторой реальной величиной, принятой за эталон меры соответствующего свойства или признака.
Субъективные нематериальные явления нельзя измерить, поскольку для них нет и не может быть материальных эталонов. Поэтому здесь используются приближенные методы оценки явлений - различные косвенные показатели.
Суть применения косвенных показателей заключается в том, что измеряемое свойство или признак изучаемого явления связывают с определенными материальными свойствами, а величину этих материальных свойств принимают за показатель соответствующих нематериальных явлений. Например, эффективность нового метода обучения оценивают успеваемостью учащихся, качество работы ученика - количеством допущенных ошибок, трудность изучаемого материала - величиной затраченного времени, развитие психических или нравственных черт - числом соответствующих поступков или проступков и т.д.
При всем том большом интересе, который исследователи обычно проявляют к методам количественного анализа экспериментальных данных и массового материала, полученного с помощью разных методов, существенным является этап обработки - их качественный анализ. С помощью количественных методов можно с той или иной степенью надежности выявить преимущество того или иного метода или обнаружить общую тенденцию, доказать, что проверяемое научное предположение оправдалось и т.д. Однако качественный анализ должен дать ответ на вопрос, почему это произошло, что этому благоприятствовало, а что служило помехой, и насколько существенно влияние этих помех, не слишком ли специфичны были условия проведения эксперимента для того, чтобы данная методика могла быть рекомендована для использования в иных условиях и т.д. На этом этапе важен и анализ причин, побудивших отдельных опрашиваемых дать негативный ответ, и выявление причин тех или иных типовых и даже случайных ошибок в работах отдельных детей и т.д. Применение всех этих методов анализа собранных данных помогает более точно оценить результаты эксперимента, повышает надежность выводов о них и дает больше оснований для дальнейших теоретических обобщений.
Статистические методы в педагогике используются лишь для количественной характеристики явлений. Для того, чтобы сделать выводы и заключения, необходим качественный анализ. Таким образом, в педагогических исследованиях методы математической статистики следует использовать осторожно, учитывая особенности педагогических явлений.
Так, большинство числовых характеристик в математической статистике применяются в том случае, когда изучаемое свойство или явление имеет нормальное распределение, которое характеризуется симметричным расположением значений элементов совокупности относительно средней величины. К сожалению, в виду недостаточной изученности педагогических явлений, законы распределения по отношению к ним, как правило, неизвестны. Далее, для оценки результатов исследования часто берут ранговые величины, которые не являются результатами количественных измерений. Поэтому с ними нельзя производить арифметические действия, а значит и вычислять для них числовые характеристики.
Каждый статистический ряд и его графическое изображение представляют собой сгруппированный и наглядно представленный материал, который следует подвергнуть статистической обработке.
Статистические методы обработки позволяют получить ряд числовых характеристик, позволяющих сделать прогноз развития интересующего нас процесса. Эти характеристики, в частности, позволяют сравнивать разные ряды чисел, полученные при педагогических исследованиях, и делать соответствующие педагогические выводы и рекомендации.
Все вариационные ряды могут различаться друг от друга следующими признаками:
1. Размахом, т.е. верхней и нижней его границами, которые обычно называют лимитами.
2. Значением признака, вокруг которого концентрируется большинство вариант. Это значение признака отражает центральную тенденцию ряда, т.е. типичное для ряда.
3. Вариации вокруг центральной тенденции ряда.
В соответствии с этим, все статистические показатели вариационного ряда подразделяются на две группы:
-показатели, которые характеризуют центральную тенденцию или уровень ряда;
-показатели, характеризующие уровень вариации вокруг центральной тенденции.
К первой группе относятся различные характеристики средней величины: медиана, средняя арифметическая, средняя геометрическая и т.д. Ко второй - вариационный размах (лимиты), среднее абсолютное отклонение, среднее квадратичное отклонение, дисперсия, коэффициенты асимметрии и вариации. Существуют и другие показатели, но мы их рассматривать не будем, т.к. они не применяются в педагогической статистике.
В настоящее время понятие «модель» используется в различных смыслах, наиболее простой из них - обозначение образца, эталона. В этом случае модель вещи не несет никакой новой информации и не служит целям научного познания. В таком значении термин «модель» в науке не применяется. В широком смысле под моделью понимают мысленно или практически созданную структуру, воспроизводящую часть действительности в упрощенной и наглядной форме. В более узком смысле термин «модель» применяется для изображения некоторой области явлений с помощью другой, более изученной, легко понимаемой. В педагогических науках данное понятие используется в широком смысле как конкретный образ изучаемого объекта, в котором отображаются реальные или предполагаемые свойства, строение и т.д. В учебных предметах широко используется моделирование как аналогия, которая может существовать между системами на следующих уровнях: результатов, которые дают сравниваемые системы; функций, обусловливающих эти результаты; структур, обеспечивающих выполнение данных функций; элементов, из которых состоят структуры.
В. М. Тарабаев указывает, что в на­стоящее время применяется методика так называемого многофакторного эксперимента. При многофакторном эксперименте исследователи подходят к задаче эмпи­рически - варьируют с большим количеством факто­ров, от которых, как они считают, зависит ход про­цесса. Это варьирование различными факторами проводится с помощью современных методов математической статистики.
Многофакторный эксперимент строится на основе статистического анализа и с применением системного подхода к предмету исследования. Предполагается наличие в системе входа и выхода, которые можно контролировать, предполагается так­же возможность управления этой системой с целью достижения определенного результата на выходе. При многофакторном эксперимен­те изучается вся система без внутренней картины ее сложного механизма. Этот тип эксперимента для педагогики открывает большие возможности.
Литература:
1. Загвязинский, В. И. Методология и методы психолого-педагогического исследования: учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / Загвязинский В. И., Атаханов Р. – М.: Академия, 2005.
2. Гадельшина, Т. Г. Методология и методы психологического исследования: учеб. метод. пособие / Гадельшина Т. Г. – Томск, 2002.
3. Корнилова, Т. В. Экспериментальная психология: теория и методы: учебник для вузов / Корнилова Т. В. – М.: Аспект Пресс, 2003.
4. Кузин, Ф. А. Кандидатская диссертация: методика написания, правила оформления и порядок защиты / Кузин Ф. А. – М., 2000.

В истории математики условно можно выделить два основных периода: элементарной и современной математики. Рубежом, от которого принято вести отсчет эпохи новой (иногда говорят - высшей) математики, стал XVII век – век появления математического анализа. К концу XVII в. И. Ньютоном, Г. Лейбницем и их предшественниками был создан аппарат нового дифференциального исчисления и интегрального исчисления, составляющий основу математического анализа и даже, пожалуй, математическую основу всего современного естествознания.

Математический анализ – это обширная область математики с характерным объектом изучения (переменной величиной), своеобразным методом исследования (анализом посредством бесконечно малых или посредством предельных переходов), определенной системой основных понятий (функция, предел, производная, дифференциал, интеграл, ряд) и постоянно совершенствующимся и развивающимся аппаратом, основу которого составляют дифференциальное и интегральное исчисления.

Попробуем дать представление о том, какая математическая революция произошла в XVII в., чем характеризуется связанный с рождением математического анализа переход от элементарной математики к той, что ныне составляет предмет исследований математического анализа и чем объясняется его фундаментальная роль во всей современной системе теоретических и прикладных знаний.

Представьте себе, что перед вами прекрасно выполненная цветная фотография набегающей на берег штормовой океанской волны: могучая сутуловатая спина, крутая, но чуть впалая грудь, уже наклоненная вперед и готовая упасть голова с терзаемой ветром седой гривой. Вы остановили мгновение, вам удалось поймать волну, и вы можете теперь без спешки внимательно изучать ее во всех подробностях. Волну можно измерить, и, пользуясь средствами элементарной математики, вы сделаете много важных выводов об этой волне, а значит, и всех ее океанских сестрах. Но, остановив волну, вы лишили ее движения и жизни. Ее зарождение, развитие, бег, сила, с которой она обрушивается на берег, - все это оказалось вне вашего поля зрения, потому что вы не располагаете пока ни языком, ни математическим аппаратом, пригодными для описания и изучения не статических, а развивающихся, динамических процессов, переменных величин и их взаимосвязей.

«Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем сама природа: он определяет все ощутимые взаимосвязи, измеряет времена, пространства, силы, температуры». Ж. Фурье

Движение, переменные величины и их взаимосвязи окружают нас повсюду. Различные виды движения и их закономерности составляют основной объект изучения конкретных наук: физики, геологии, биологии, социологии и др. Поэтому точный язык и соответствующие математические методы описания и изучения переменных величин оказались необходимыми во всех областях знания примерно в той же степени, в какой числа и арифметика необходимы при описании количественных соотношений. Так вот, математический анализ и составляет основу языка и математических методов описания переменных величин и их взаимосвязей. В наши дни без математического анализа невозможно не только рассчитать космические траектории, работу ядерных реакторов, бег океанской волны и закономерности развития циклона, но и экономично управлять производством, распределением ресурсов, организацией технологических процессов, прогнозировать течение химических реакций или изменение численности различных взаимосвязанных в природе видов животных и растений, потому что все это - динамические процессы.

Элементарная математика была в основном математикой постоянных величин, она изучала главным образом соотношения между элементами геометрических фигур, арифметические свойства чисел и алгебраические уравнения. Ее отношение к действительности в какой-то мере можно сравнить с внимательным, даже тщательным и полным изучением каждого фиксированного кадра киноленты, запечатлевшей изменчивый, развивающийся живой мир в его движении, которого, однако, не видно на отдельном кадре и которое можно наблюдать, только посмотрев ленту в целом. Но как кино немыслимо без фотографии, так и современная математика невозможна без той ее части, которую мы условно называем элементарной, без идей и достижений многих выдающихся ученых, разделенных порой десятками столетий.

Математика едина, и «высшая» ее часть связана с «элементарной» примерно так же, как следующий этаж строящегося дома связан с предшествующим, и ширина горизонтов, которые математика открывает нам в окружающий мир, зависит от того, на какой этаж этого здания нам удалось подняться. Родившийся в XVII в. математический анализ открыл нам возможности для научного описания, количественного и качественного изучения переменных величин и движения в широком смысле этого слова.

Каковы же предпосылки появления математического анализа?

К концу XVII в. сложилась следующая ситуация. Во-первых, в рамках самой математики за долгие годы накопились некоторые важные классы однотипных задач (например, задачи измерения площадей и объемов нестандартных фигур, задачи проведения касательных к кривым) и появились методы их решения в различных частных случаях. Во-вторых, оказалось, что эти задачи теснейшим образом связаны с задачами описания произвольного (не обязательно равномерного) механического движения, и в частности с вычислением его мгновенных характеристик (скорости, ускорения в любой момент времени), а также с нахождением величины пройденного пути для движения, происходящего с заданной переменной скоростью. Решение этих проблем было необходимо для развития физики, астрономии, техники.

Наконец, в-третьих, к середине XVII в. трудами Р. Декарта и П. Ферма были заложены основы аналитического метода координат (так называемой аналитической геометрии), позволившие сформулировать разнородные по своему происхождению геометрические и физические задачи на общем (аналитическом) языке чисел и числовых зависимостей, или, как мы теперь говорим, числовых функций.

НИКОЛАЙ НИКОЛАЕВИЧ ЛУЗИН (1883-1950) Н. Н. Лузин – советский математик, основоположник советской школы теории функций, академик (1929). Лузин родился в Томске, учился в томской гимназии. Формализм гимназического курса математики оттолкнул от себя талантливого юношу, и лишь способный репетитор смог раскрыть перед ним красоту и величие математической науки. В 1901 г. Лузин поступил на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета. С первых лет обучения в круг его интересов попали вопросы, связанные с бесконечностью. В конце XIX в. немецкий ученый Г. Кантор создал общую теорию бесконечных множеств, получившую многочисленные применения в исследовании разрывных функций. Лузин начал изучать эту теорию, но его занятия были прерваны в 1905 г. Студенту, принимавшему участие в революционной деятельности, пришлось на время уехать во Францию. Там он слушал лекции виднейших французских математиков того времени. По возвращении в Россию Лузин окончил университет и был оставлен для подготовки к профессорскому званию. Вскоре он вновь уехал в Париж, а затем в Геттинген, где сблизился со многими учеными и написал первые научные работы. Основной проблемой, интересовавшей ученого, был вопрос о том, могут ли существовать множества, содержащие больше элементов, чем множество натуральных чисел, но меньше, чем множество точек отрезка (проблема континуума). Для любого бесконечного множества, которое можно было получить из отрезков с помощью операций объединения и пересечения счетных совокупностей множеств, эта гипотеза выполнялась, и, чтобы решить проблему, нужно было выяснить, какие еще есть способы конструирования множеств. Одновременно Лузин изучал вопрос, можно ли представить любую периодическую функцию, даже имеющую бесконечно много точек разрыва, в виде суммы тригонометрического ряда, т.е. суммы бесконечного множества гармонических колебаний. По этим вопросам Лузин получил ряд значительных результатов и в 1915 г. защитил диссертацию «Интеграл и тригонометрический ряд», за которую ему сразу присудили ученую степень доктора чистой математики, минуя существовавшую в то время промежуточную степень магистра. В 1917 г. Лузин стал профессором Московского университета. Талантливый преподаватель, он привлекал к себе наиболее способных студентов и молодых математиков. Своего расцвета школа Лузина достигла в первые послереволюционные годы. Ученики Лузина образовали творческий коллектив, который шутливо называли «лузитанией». Многие из них получили первоклассные научные результаты еще на студенческой скамье. Например, П. С. Александров и М. Я. Суслин (1894-1919) открыли новый метод конструирования множеств, что послужило началом развития нового направления - дескриптивной теории множеств. Исследования в этой области, проводившиеся Лузиным и его учениками, показали, что обычных методов теории множеств недостаточно для решения многих возникавших в ней проблем. Научные предвидения Лузина полностью подтвердились в 60-е гг. XX в. Многие ученики Н. Н. Лузина стали впоследствии академиками и членами-корреспондентами АН СССР. Среди них П. С. Александров. А. Н. Колмогоров. М. А. Лаврентьев, Л. А. Люстерник, Д. Е. Меньшов, П. С. Новиков. Л. Г. Шнирельман и другие. Современные советские и зарубежные математики в своих работах развивают идеи Н. Н. Лузина.

Стечение этих обстоятельств и привело к тому, что в конце XVII в. двум ученым – И. Ньютону и Г. Лейбницу – независимо друг от друга удалось создать для решения названных задач математический аппарат, подытоживший и обобщивший отдельные результаты предшественников, среди которых и ученый древности Архимед и современники Ньютона и Лейбница – Б. Кавальери, Б. Паскаль, Д. Грегори, И. Барроу. Этот аппарат и составил основу математического анализа – нового раздела математики, изучающего различные развивающиеся процессы, т.е. взаимосвязи переменных величин, которые в математике называют функциональными зависимостями или, иначе, функциями. Кстати, сам термин «функция» потребовался и естественно возник именно в XVII в., а к настоящему времени он приобрел не только общематематическое, но и общенаучное значение.

Начальные сведения об основных понятиях и математическом аппарате анализа даны в статьях «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление».

В заключение хотелось бы остановиться только на одном общем для всей математики и характерном для анализа принципе математического абстрагирования и в этой связи объяснить, в каком виде математический анализ изучает переменные величины и в чем секрет такой универсальности его методов для изучения всевозможных конкретных развивающихся процессов и их взаимосвязей.

Рассмотрим несколько поясняющих примеров и аналогий.

Мы порой уже не отдаем себе отчета в том, что, например, математическое соотношение , написанное не для яблок, стульев или слонов, а в отвлеченном от конкретных объектов абстрактном виде, - выдающееся научное завоевание. Это математический закон, который, как показывает опыт, применим к различным конкретным объектам. Значит, изучая в математике общие свойства отвлеченных, абстрактных чисел, мы тем самым изучаем количественные соотношения реального мира.

Например, из школьного курса математики известно, что , поэтому в конкретной ситуации вы могли бы сказать: «Если мне для перевозки 12 т грунта не выделят два шеститонных самосвала, то можно запросить три четырехтонки и работа будет выполнена, а если дадут только одну четырехтонку, то ей придется сделать три рейса». Так привычные теперь для нас отвлеченные числа и числовые закономерности связаны с их конкретными проявлениями и приложениями.

Примерно так же связаны законы изменения конкретных переменных величин и развивающихся процессов природы с той абстрактной, отвлеченной формой-функцией, в которой они появляются и изучаются в математическом анализе.

Например, абстрактное соотношение может быть отражением зависимости кассового сбора у кинотеатра от количества проданных билетов, если 20 – это 20 копеек – цена одного билета. Но если мы едем по шоссе на велосипеде, проезжая 20 км в час, то это же соотношение можно истолковать как взаимосвязь времени (часов) нашей велосипедной прогулки и покрытого за это время расстояния (километров)., вы всегда можете утверждать, что, например, изменение в несколько раз приводит к пропорциональному (т.е. во столько же раз) изменению величины , а если , то верно и обратное заключение. Значит, в частности, для увеличения кассового сбора кинотеатра в два раза вам придется привлечь вдвое больше зрителей, а для того, чтобы на велосипеде с той же скоростью проехать вдвое большее расстояние, вам придется ехать вдвое дольше.

Математика изучает и простейшую зависимость , и другие, значительно более сложные зависимости в отвлеченном от частной интерпретации, общем, абстрактном виде. Выявленные в таком исследовании свойства функции или методы изучения этих свойств будут носить характер общих математических приемов, заключений, законов и выводов, применимых к каждому конкретному явлению, в котором встречается изученная в абстрактном виде функция, независимо от того, к какой области знания это явление относится.

Итак, математический анализ как раздел математики оформился в конце XVII в. Предметом изучения в математическом анализе (как он представляется с современных позиций) являются функции, или, иначе, зависимости между переменными величинами.

С возникновением математического анализа математике стало доступно изучение и отражение развивающихся процессов реального мира; в математику вошли переменные величины и движение.

Математические методы исследования операций

регрессионный анализ модель программный

Введение

Описание предметной области и постановка задачи исследования

Практическая часть

Заключение

Список литературы

Введение

В экономике основой практически любой деятельности является прогноз. Уже на основе прогноза составляется план действий и мероприятий. Таким образом, можно сказать, что прогноз макроэкономических переменных является основополагающей составляющей планов всех субъектов экономической деятельности. Прогнозирование может осуществляться как на основе качественных (экспертных), так и с помощью количественных методов. Последние сами по себе могут ничего без качественного анализа, также как и экспертные оценки должны подкрепляться обоснованными расчетами.

Теперь уже прогнозы даже на макроэкономическом уровне носят сценарный характер, разрабатываются по принципу: что будет, если…, - и нередко являются предварительным этапом и обоснованием крупных народнохозяйственных программ. Макроэкономические прогнозы, как правило, выполняются с периодом упреждения в один год. Современная практика функционирования экономики требует краткосрочных прогнозов (полгода, месяц, декада, неделя). Предназначенных для задач обеспечения опережающей информацией отдельных участников экономики.

С изменениями в объектах и задачах прогнозирования изменился перечень методов прогнозирования. Бурное развитие получили адаптивные методы краткосрочного прогнозирования.

Современное экономическое прогнозирование требует от разработчиков разносторонней специализации, владения знаниями из различных областей науки и практики. В задачи прогнозиста входят владение знаниями о научном (как правило, математическом) аппарате прогнозирования, о теоретических основах прогнозируемого процесса, об информационных потоках, о программном обеспечении, интерпретации результатов прогнозирования.

Основная функция прогноза - обоснование возможного состояния объекта в будущем или определение альтернативных путей.

Значение бензина как основного вида топлива на сегодняшний день сложно переоценить. И настолько же сложно переоценить влияние его цены на экономику любой страны. От динамики цен на топливо зависит характер развития экономики страны в целом. Повышение цен на бензин вызывает увеличение цен на промышленные товары, приводит к усилению инфляционных издержек в экономике и снижению рентабельности энергоёмких производств. Затраты на нефтепродукты являются одной из составных частей цен товаров потребительского рынка, а транспортные расходы оказывают влияние на структуру цены всех без исключения потребительских товаров и услуг.

Особое значение приобретает вопрос стоимости бензина в развивающейся украинской экономике, где любое изменение цен вызывает незамедлительную реакцию во всех её отраслях. Однако влияние этого фактора не ограничивается только сферой экономики, к последствиям его колебаний могут быть также отнесены многие политические и социальные процессы.

Таким образом, исследование и прогнозирование динамики данного показателя приобретает особую значимость.

Целью данной работы является прогнозирование цен на топливо на ближайшее время.

1. Описание предметной области и постановка задачи исследования

Украинский рынок бензина сложно назвать постоянным или предсказуемым. И этому есть множество причин, начиная с того факта, что сырьем для производства горючего является нефть, цены и объем производства которой определяются не только спросом и предложением на внутренних и внешнем рынкам, но и политикой государства, а также специальными соглашениями компаний-производителей. В условиях сильной зависимости украинской экономики, она зависима от экспорта стали и химии, а цены на эту продукцию постоянно меняются. И говоря о ценах на бензин нельзя не отметить их тенденцию к росту. Несмотря на проводимую государством сдерживающую политику, привычным для большинства потребителей является именно их рост. Цены на нефтепродукты в Украине сегодня меняются ежедневно. В основном зависят от стоимости нефти на мировом рынке ($ /баррель) и уровня налоговой нагрузки.

Исследование цен на бензин очень актуально в настоящее время, поскольку именно от этих цен зависят цены других товаров и услуг.

В данной работе будет рассмотрена зависимость цен на бензин от времени и таких факторов, как:

üцены на нефть, доллар США за баррель

üофициальный курс доллара (НБУ), гривен за доллар США

üиндекс потребительских цен

Цена бензина, являющегося продуктом нефтепереработки, непосредственно связана с ценой указанного природного ресурса и объемами его выработки. Курс же доллара оказывает существенное влияние на всю украинскую экономику, в частности на формирование цен на её внутренних рынках. Непосредственная связь этого параметра с ценами на бензин напрямую зависит от курса доллара США. ИПЦ отражает общее изменение цен внутри страны, а поскольку экономически доказанным является то, что изменение цен на одни товары в абсолютном большинстве случаев (в условиях свободной конкуренции) ведет к росту цен других товаров, резонно предположить, что изменение цен товаров по стране влияет на исследуемый в работе показатель.

Описание используемого математического аппарата при проведении расчетов

Регрессионный анализ

Регрессионный анализ - метод моделирования измеряемых данных и исследования их свойств. Данные состоят из пар значений зависимой переменной (переменной отклика) и независимой переменной (объясняющей переменной). Регрессионная модель <#"19" src="doc_zip1.jpg" />. Регрессионным анализом называется поиск такой функции, которая описывает эту зависимость. Регрессия может быть представлена в виде суммы неслучайной и случайной составляющих. где - функция регрессионной зависимости, а - аддитивная случайная величина с нулевым мат ожиданием. Предположение о характере распределения этой величины называется гипотезой порождения данных <#"8" src="doc_zip6.jpg" /> имеет гауссово распределение <#"20" src="doc_zip7.jpg" />.

Задача нахождения регрессионной модели нескольких свободных переменных ставится следующим образом. Задана выборка <#"24" src="doc_zip8.jpg" />значений свободных переменных и множество соответствующих им значений зависимой переменной. Эти множества обозначаются как, множество исходных данных.

Задана регрессионная модель - параметрическое семейство функций зависящая от параметров и свободных переменных. Требуется найти наиболее вероятные параметры:

Функция вероятности зависит от гипотезы порождения данных и задается Байесовским выводом <#"justify">Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов - метод нахождения оптимальных параметров линейной регрессии, таких, что сумма квадратов ошибок (регрессионных остатков) минимальна. Метод заключается в минимизации евклидова расстояния между двумя векторами - вектором восстановленных значений зависимой переменной и вектором фактических значений зависимой переменной.

Задача метода наименьших квадратов состоит в выборе вектора, минимизируют ошибку. Эта ошибка есть расстояние от вектора до вектора. Вектор лежит в пространстве столбцов матрицы, так как есть линейная комбинация столбцов этой матрицы с коэффициентами. Отыскание решения по методу наименьших квадратов эквивалентно задаче отыскания такой точки, которая лежит ближе всего к и находится при этом в пространстве столбцов матрицы.

Таким образом, вектор должен быть проекцией на пространство столбцов и вектор невязки должен быть ортогонален этому пространству. Ортогональность состоит в том, что каждый вектор в пространстве столбцов есть линейная комбинация столбцов с некоторыми коэффициентами, то есть это вектор. Для всех в пространстве, эти векторы должны быть перпендикулярны невязке:

Так как это равенство должно быть справедливо для произвольного вектора, то

Решение по методу наименьших квадратов несовместной системы, состоящей из уравнений с неизвестными, есть уравнение

которое называется нормальным уравнением. Если столбцы матрицы линейно независимы, то матрица обратима и единственное решение

Проекция вектора на пространство столбцов матрицы имеет вид

Матрица называется матрицей проектирования вектора на пространство столбцов матрицы. Эта матрица имеет два основных свойства: она идемпотентна, и симметрична, . Обратное также верно: матрица, обладающая этими двумя свойствами есть матрица проектирования на свое пространство столбцов.

Пусть имеем статистические данные о параметре y в зависимости от х. Эти данные представим в виде

хх 1 х 2 …..х i …..х n y*y1*y2*......yi*…..yn*

Метод наименьших квадратов позволяет при заданном типе зависимости y=?(x) так выбрать ее числовые параметры, чтобы кривая y=?(x) наилучшим образом отображала экспериментальные данные по заданному критерию. Рассмотрим обоснование с точки зрения теории вероятностей для математического определения параметров, входящих в ?(x).

Предположим, что истинная зависимость y от х в точности выражается формулой y=?(x). Экспериментальные точки, представленные в табл.2, отклоняются от этой зависимости следствие ошибок измерения. Ошибки измерения подчиняются по теореме Ляпунова нормальному закону. Рассмотрим какое-нибудь значение аргумента хi. Результат опыта есть случайная величина yi,распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием ?(xi) и со средним квадратным отклонением ?i, характеризующим ошибку измерения. Пусть точность измерения во всех точках х=(х1, х2, …, хn) одинакова, т.е. ?1=?2=…=?n=?. Тогда нормальный закон распределения Yi имеет вид:

В результате ряда измерений произошло следующее событие: случайные величины (y1*, y2*, …, yn*).

Описание выбранного программного продукта

Mathcad - система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования <#"justify">4. Практическая часть

Задачей исследование является прогнозирование цен на бензин. Исходная информация представляет из себя временной ряд размерностью 36 недель- с мая 2012 г. по декабрь 2012 г.

Даные статистики (36 недель) представлены в матрице Y. Дальше создадим матрицу H, которая понадобится для нахождения вектора А.

Представим исходные данные и значения, рассчитанные с помощью модели:

Для оценки качества модели используем коэффициент детерминации.

Для начала найдем среднее значение Xs:

Часть дисперсии, которая обусловлена регрессией, в общей дисперсии показателя Y характеризует коэффициент детерминации R2.

Коэффициент детерминации, принимает значения от -1 до +1. Чем ближе его значение коэффициента по модулю к 1, тем теснее связь результативного признака Y с исследуемыми факторами X.

Величина коэффициента детерминации служит важным критерием оценки качества линейных и нелинейных моделей. Чем значительнее доля объясненной вариации, тем меньше роль других факторов, и значит, модель регрессии хорошо аппроксимирует исходные данные и такой регрессивной модели можно использовать для прогноза значений результативного показателя. Мы получили коэффициент детерминации R2 = 0,78, следовательно, уравнением регрессии объясняется 78% дисперсии результативного признака, а на долю других факторов приходится 22% ее дисперсии (т.е. остаточная дисперсия).

Поэтому, делаем вывод, что модель адекватна.

На основании полученных данных можно составить прогноз цен на топливо на 37 неделю 2013 года. Формула для расчета выглядит следующим образом:

Рассчитанный прогноз с помощью этой модели: цена на бензин равна 10,434 грн.

Заключение

В данной работе была показана возможность проведения регрессионного анализа для прогнозирования цен на бензин на будущие периоды. Целью курсовой работы были закрепления знаний по курсу «Математические методы исследования операций» и получения навыков разработки программного обеспечения, позволяющего автоматизировать исследования операций в заданной предметной области.

Прогноз относительно будущей цены бензина, конечно, не однозначен, что связано с особенностями изначальных данных и разработанных моделей. Однако, исходя из полученной информации, резонно предположить, что в ближайшее время цены на бензин, конечно, не снизятся, но, скорее всего, останутся на прежнем уровне или будут слабо расти. Конечно, здесь не учтены факторы, связанные с ожиданиями потребителей, политикой в области таможенных пошлин и многие другие факторы, но хочется отметить, что они в значительной мере взаимопогашаемы. И достаточно обоснованным будет заметить, что резкий скачок цен на бензин на данный момент действительно крайне сомнителен, что, в первую очередь, связано с проводимой правительством политикой.

Список литературы

1.Бююль А., Цёфель П. SРSS: искусство обработки информации. Анализ статистических данных и восстановление скрытых закономерностей.- СПб.: ООО "ДиаСофтЮП", 2001.- 608 с.

2.Ресурсы Интернет http://www.ukrstat.gov.ua/

3.Ресурсы Интернет http://index.minfin.com.ua/

Ресурсы Интернет http://fx-commodities.ru/category/oil/

Репетиторство

Нужна помощь по изучению какой-либы темы?

Наши специалисты проконсультируют или окажут репетиторские услуги по интересующей вас тематике.
Отправь заявку с указанием темы прямо сейчас, чтобы узнать о возможности получения консультации.

Метод проектов, обладающий огромными возможностями по формированию уневерсальных учебных действий, находит все более широкое распространение в системе школьного образования.Но "уместить" метод проектов в класснно-урочную систему достаточно трудно. Я включаю мини исследования в обычный урок. Такая форма работы открывает большие возможности для формирования познавательной деятельности и обеспечивает учет индивидуальных особенностей учащихся, готовит почву для развития навыков над большими проектами.

Скачать:

Предварительный просмотр:

«Если ученик в школе не научился сам ничего творить, то и в жизни он будет только подражать, копировать, так как мало таких, которые бы, научившись копировать, умели сделать самостоятельное приложение этих сведений». Л.Н.Толстой.

Характерной чертой современного образования является резкое увеличение объема информации, которую необходимо усвоить учащимся. A степень развития обучающегося измеряется и оценивается его способностью самостоятельно приобретать новые знания и использовать их в учебной и практической деятельности. Современный педагогический процесс требует использования инновационных технологий в обучении.

ФГОС нового поколения требует использования в образовательном процессе технологий деятельностного типа, методы проектно-исследовательской деятельности определены как одно из условий реализации основной образовательной программы.

Особая роль отводится такой деятельности на уроках математики и это не случайно. Математика является ключом к познанию мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности. Она призвана воспитать в человеке способность понять смысл поставленной перед ним задачи, умение логично рассуждать, усвоить навыки алгоритмического мышления.

Уместить метод проектов в классно-урочную систему достаточно трудно. Я пытаюсь разумно совмещать традиционную и личностно-ориентированную систему путем включения элементов исследования в обычный урок. Приведу ряд примеров.

Так при изучении темы «Окружность» мы проводим с учащимися следующее исследование.

Математическое исследование «Окружность».

1. Подумайте, как построить окружность, какие инструменты для этого необходимы. Обозначение окружности.
2. Для того чтобы дать определение окружности посмотрим, какими свойствами обладает эта геометрическая фигура. Соединим центр окружности с точкой принадлежащей окружности. Измерим длину этого отрезка. Повторим эксперимент три раза. Сделаем вывод.
3. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой, называется радиусом окружности. Это определение радиуса. Обозначение радиуса. Пользуясь этим определением, постройте окружность с радиусом равным 2см5мм.
4. Постройте окружность произвольного радиуса. Постройте радиус, измерьте его. Запишите результаты измерений. Постройте еще три различных радиуса. Сколько радиусов можно провести в окружности.
5. Попытаемся, зная свойство точек окружности, дать ее определение.
6. Постройте окружность произвольного радиуса. Соедините две точки окружности так, чтобы этот отрезок проходил через центр окружности. Этот отрезок называется диаметром. Дадим определение диаметра. Обозначение диаметра. Постройте еще три диаметра. Сколько диаметров имеет окружность.
7. Постройте окружность произвольного радиуса. Измерьте диаметр и радиус. Сравните их. Повторите эксперимент еще три раза с различными окружностями. Сделайте вывод.
8. Соедините две любые точки окружности. Полученный отрезок называется хордой. Дадим определение хорды. Постройте еще три хорды. Сколько хорд имеет окружность.
9. Является ли радиус хордой. Докажите.
10. Является ли диаметр хордой. Докажите.

Работы исследовательского характера могут носить пропедевтический характер. Исследовав окружность можно рассмотреть ряд интересных свойств, которые учащиеся могут сформулировать на уровне гипотезы, а потом уже доказать эту гипотезу. Например, следующее исследование:

«Математическое исследование»

1. Построй окружность радиуса 3 см и проведи ее диаметр. Соедини концы диаметра с произвольной точкой окружности и измерь угол образованный хордами. Проведи те же построения еще для двух окружностей. Что ты замечаешь.
2. Повтори эксперимент для окружности произвольного радиуса и сформулируй гипотезу. Можно ли считать ее доказанной с помощью проведенных построений и измерений.

При изучении темы «Взаимное расположение прямых на плоскости» проводится математическое исследование в группах.

Задания для групп:

1. группа.

1.В одной системе координат построить графики функции

У = 2х, у = 2х+7, у = 2х+3, у = 2х-4, у = 2х-6.

2.Ответьте на вопросы, заполнив таблицу: