1. Задача.
При каких значениях параметра a
уравнение
(a
- 1)x
2 + 2x
+ a
- 1 = 0
имеет ровно один корень?
1. Решение.
При a
= 1 уравнение имеет вид
2x
= 0 и, очевидно, имеет единственный корень
x
= 0. Если a
№
1, то данное уравнение является квадратным и
имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых
дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к
нулю, получаем уравнение относительно параметра a
4a
2 - 8a
= 0,
откуда a
= 0 или a
= 2.
1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О {0; 1; 2}.
2. Задача.
Найти все значения параметра a
, при
которых имеет два различных корня уравнение
x
2 +4ax
+8a
+3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x
2 +4ax
+8a
+3 = 0 имеет два
различных корня тогда и только тогда, когда D
=
16a
2 -4(8a
+3) > 0. Получаем (после сокращения
на общий множитель 4) 4a
2 -8a
-3 > 0,
откуда
2. Ответ:
a О (-Ґ ; 1 – | Ц
7 2 |
) И (1 + | Ц
7 2 |
; Ґ ). |
3. Задача.
Известно, что
f
2 (x
) = 6x
-x
2 -6.
а) Постройте график функции
f
1 (x
) при a
= 1.
б) При каком значении a
графики функций f
1 (x
) и
f
2 (x
) имеют единственную общую точку?
3. Решение.
3.а.
Преобразуем f
1 (x
) следующим образом
График этой функции при a
= 1 изображен на рисунке справа.
3.б.
Сразу отметим, что графики функций y
=
kx
+b
и y
= ax
2 +bx
+c
(a
№
0) пересекаются в единственной точке
тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx
+b
=
ax
2 +bx
+c
имеет единственный корень.
Используя представление f
1 из 3.а
, приравняем
дискриминант уравнения a
= 6x
-x
2 -6 к нулю.
Из уравнения 36-24-4a
= 0 получаем a
= 3. Проделав то же
самое с уравнением 2x
-a
= 6x
-x
2 -6
найдем a
= 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра
удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a
= 2 или a
= 3.
4. Задача.
Найти все значения a
, при которых множество решений неравенства
x
2 -2ax
-3a
і
0
содержит отрезок .
4. Решение.
Первая координата вершины параболы f
(x
) =
x
2 -2ax
-3a
равна x
0 =
a
. Из свойств квадратичной функции условие f
(x
) і
0 на отрезке равносильно совокупности трех систем
имеет ровно два решения?
5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде
x
2 + (2a
-2)x
- 3a
+7 = 0.
Это квадратное уравнение, оно
имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля.
Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней
является выполнение неравенства a
2 +a
-6 > 0.
Решая неравенство, находим a
< -3 или a
> 2. Первое из
неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим
натуральным решением второго является число 3.
5. Ответ: 3.
6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a
, при которых
график функции
или, после очевидных преобразований, a
-2 = |
2-a
|
. Последнее
уравнение равносильно неравенству a
і
2.
6. Ответ: a О , то первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом и получаем неравенство –2x < 2a , т.е. x > –a , т.е., решением является любой x Є (–a ; a ]. Если x > a оба модуля раскрываются с плюсом и получаем верное неравенство –2a < 2a , т.е. , решением является любой x Є (a ; +∞). Объединяя оба ответа, получим, что при a > 0 x Є (–a ; +∞).
Пусть a < 0, тогда первое слагаемое больше, чем второе, поэтому разность в левой части неравенства положительна и, следовательно, не может быть меньше отрицательного числа 2a . Т.о., при a < 0 решений нет.
Ответ:
x
Є (–a
; +∞) при a
> 0, решений нет при
.
Замечание. Решение данной задачи получается быстрее и проще, если использовать геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, как расстояние между точками. Тогда выражение в левой части можно интерпретировать, как разность расстояний от точки х до точек а и –а .
Пример 3.
Найти все а
, при каждом из которых все решения неравенства
удовлетворяют неравенству 2x
– a
² + 5 < 0.
Решение:
Решением неравенства |x
| ≤ 2 является множество A
=[–2; 2], а решением неравенства 2x
– a
² + 5 < 0 является множество B
= (–∞;
) . Чтобы удовлетворить условию задачи, нужно, чтобы множество А входило в множество В (). Это условие выполнится тогда и только тогда, когда .
Ответ: a Є (–∞; –3)U (3; +∞).
Пример 4.
Найти все значения a , при которых неравенство
выполняется для всех x
из отрезка .
Решение:
Дробь – меньше нуля между корнями, поэтому надо выяснить, какой корень больше.
–3a
+ 2 < 2a
+ 4
и –3a
+ 2 > 2a
+ 4
. Т.о., при
x
Є (–3a
+ 2; 2a
+ 4) и чтобы неравенство выполнялось для всех x из отрезка , нужно, чтобы
При
x
Є (2a
+ 4; –3a
+ 2) и чтобы неравенство выполнялось для всех x
из отрезка , нужно, чтобы
При a = – (когда корни совпадают) решений нет, т.к. в этом случае неравенство приобретает вид: .
Ответ:
.
Пример 5. а неравенство справедливо при всех отрицательных значениях х ?
Решение:
Функция монотонно возрастает, если коэффициент при x неотрицательный, и она монотонно убывает, если коэффициент при x отрицательный.
Выясним знак коэффициента при
a ≤ –3,
a ≥ 1; (a ² + 2 a – 3) < 0 <=> –3 < a < 1.
a ≤ –3,
Пусть a
≥ 1. Тогда функция f
(x
)
монотонно не убывает, и условие задачи будет выполнено, если f
(x
)
≤ 0 <=> 3a
² – a
– 14 ≤ 0 <=>
.
a ≤ –3,
Вместе с условиями a
≥ 1; получим:
Пусть –3 < a < 1. Тогда функция f (x ) монотонно убывает, и условие задачи никогда не может быть выполнено.
Ответ
:
.
2. Квадратные уравнения и неравенства с параметрами
В множестве действительных чисел это уравнение исследуется по следующей схеме.
Пример 1 . При каких значениях a уравнение x ² – ax + 1 = 0 не имеет действительных корней?
Решение:
x ² – ax + 1 = 0
D = a ² – 4 · 1 = a ² – 4
a ² – 4 < 0 + – +
( a – 2)( a + 2) < 0 –2 2
Ответ : при a Є (–2; 2)
Пример 2. При каких значениях а уравнение а (х ² – х + 1) = 3 х + 5 имеет два различных действительных корня?
Решение:
а (х ² – х + 1) = 3 х + 5, а ≠ 0
ах ² – ах+ а – 3 х – 5 = 0
ах ² – ( а + 3) х + а – 5 = 0
D = ( a +3)² – 4 a ( a – 5) = a ² +6 a + 9 – 4 a ² + 20 a = –3 a ² + 26 a + 9
–3 a ² + 26 a + 9 > 0
3 a ² – 26 a – 9 < 0
D = 26² – 4 · 3 · (–9) = 784
a
1
=
;
a
2
=
+ –
+
0 9
Ответ: при a Є (–1/3; 0) U (0; 9)
Пример 3. Решить уравнение
.
Решение:
ОДЗ : x ≠1, x ≠ a
x
– 1 +
x
–
a
= 2, 2
x
= 3 +
a
,
1)
; 3 +
a
≠ 2;
a
≠ –1
2)
; 3 +
a
≠ 2
a
;
a
≠ 3
Ответ:
при
a
Є (–∞; –1)
U
(–1; 3)
U
(3; +∞);
решений нет при a = –1; 3 .
Пример 4 . Решить уравнение | x ²–2 x –3 | = a .
Решение:
Рассмотрим функции y = | x ²–2 x –3 | и y = a .
При a
<
0
нет решений;
при a
=
0 и a
> 4 два решения;
при 0 < a
< 4 – четыре решения;
при a
= 4 – три решения.
Ответ:
при a
< 0 нет решений;
при a
= 0 и a
> 4 два решения;
при 0 < a
< 4 – четыре решения;
при a
= 4 – три решения.
Пример 5.
Найти все значения
a
, при каждом из которых уравнение
|
x
²–(
a
+2)
x
+2
a
| = |
3
x
–6
|
имеет ровно два корня. Если таких значений
a
больше одного, в ответе укажите их произведение.
Решение:
Разложим квадратный трехчлен x
²–(
a
+2)
x
+2
a
на множители.
;
;
;
Получим |
(
x
–2)(
x
–
a
)
| =
3
|
x
–2
|.
Это уравнение равносильно совокупности
Поэтому данное уравнение имеет ровно два корня, если a
+ 3 = 2 и a
– 3 = 2.
Отсюда находим, что искомыми значениями a
являются a
1
= –1; a
2
= 5; a
1
·
a
2
= –5.
Ответ: –5.
Пример 6. Найти все значения a , при которых корни уравнения ax ² – 2( a + 1) x – a + 5 = 0 положительны .
Решение:
Контрольная точка a = 0, т.к. меняет суть уравнения.
1. a = 0 –2x + = 0;
Ответ: a Є U .
Пример 7. При каких значениях параметра a уравнение | x ² – 4 x + 3 | = ax имеет 3 корня.
Решение:
Построим графики функций y = | x ² – 4 x + 3 | и y = ax .
На отрезке построен график функции
.
Данное уравнение будет иметь три корня, если график функции y
=
ax
будет являться касательной к графику y
= x
²+ 4
x
– 3
на
отрезке .
Уравнение касательной имеет вид y
=
f
(x
0
) +
f
’(x
0
)(x
–
x
0
),
Т.к. уравнение касательной y
=
a
, получим систему уравнений
Т.к. x 0 Є ,
Ответ:
при a
= 4 – 2
.
Квадратные неравенства с параметрами
Пример.
Найдите все значения параметра
a
, при каждом из которых среди решений неравенства
нет ни одной точки отрезка .
Решение:
Сначала решим неравенство при всех значениях параметра, а потом найдем те из них, для которых среди решений нет ни одной точки отрезка .
Пусть
, ax
= t
²
t ≥ 0
При такой замене переменных ОДЗ неравенства выполняется автоматически. x
можно выразить через t
, если a
≠ 0. Поэтому случай, когда a
= 0, рассмотрим отдельно.
1.Пусть a
= 0, тогда х
> 0, и заданный отрезок является решением.
2.Пусть a
≠ 0, тогда
и неравенство
примет вид
,
Решение неравенства зависит от значений a
, поэтому придется рассмотреть два случая.
1) Если a
>0, то
при
, или в старых переменных,
Решение не содержит ни одной точки заданного отрезка , тогда и только тогда, когда выполнены условия a ≤ 7,
16a
≥ 96. Отсюда, a
Є .
2). Если а
< 0, то
;
; t
Є (4a
; a
). Так как t
≥ 0, то решений нет.
Ответ: .
Иррациональные уравнения с параметрами
При решении иррациональных уравнений и неравенств с параметром, во-первых, следует учитывать область допустимых значений. Во-вторых, если обе части неравенства – неотрицательные выражения, то такое неравенство можно возводить в квадрат с сохранением знака неравенства.
Во многих случаях иррациональные уравнения и неравенства после замены переменных сводятся к квадратным.
Пример 1.
Решить уравнение
.
Решение:
ОДЗ: x + 1 ≥ 0, x ≥ –1, a ≥ 0.
x + 1 = a ².
Если x = a ² – 1, то условие выполняется.
Ответ: x = a ² – 1 при а ≥ 0; решений нет при a < 0.
Пример 2. Решить уравнение
.
Решение:
ОДЗ: x + 3 ≥ 0, x ≥ –3,
a – x ≥ 0; x ≤ a ;
x + 3 = a – x ,
2x = a – 3,
<=>
<=>
<=>
a
≥ –3.
Ответ:
при a
≥ –3; решений нет при a
< –3.
Пример 3.
Сколько корней имеет уравнение
в зависимости от значений параметра а
?
Решение:
Область допустимых значений уравнения: x Є [–2; 2]
Построим графики функций. График первой функции – это верхняя половина окружности x
² + y
² = 4. График второй функции – биссектрисы первого и второго координатных углов. Из графика первой функции вычтем график второй и получим график функции
. Если заменить у
на а
, то последний график функции есть множество точек (х; а), удовлетворяющих исходному уравнению.
По графику видим ответ.
Ответ: при а Є (–∞; –2) U (1; +∞), корней нет;
при а Є [–2; 2), два корня;
при а = 1, один корень.
Пример 4.
При каких значениях параметра а
уравнение
имеет единственное решение?
Решение:
1 способ (аналитический):
Ответ:
2 способ (графический):
Ответ: при а ≥ –2 уравнение имеет единственное решение
Пример 5. При каких значениях параметра а уравнение = 2 + х имеет единственное решение.
Решение:
Рассмотрим графический вариант решения данного уравнения, то есть построим две функции:
у
1 = 2 + х
и у
2 =
Первая функция является линейной и проходит через точки (0; 2) и (–2; 0).
График второй функции содержит параметр. Рассмотрим сначала график этой функции при а
= 0 (рис.1). При изменении значения параметра график будет передвигаться по оси ОХ
на соответсвующее значение влево (при положительных а
) или вправо (при отрицательных а
) (рис.2)
Из рисунка видно, что при а < –2 графики не пересекают друг друга, а следовательно не имеют общих решений. Если же значение параметра а больше либо равно –2, то графики имеют одну точку пересечения, а следовательно одно решение.
Ответ: при a ≥ –2 уравнение имеет единственное решение.
Тригонометрические уравнения с параметрами.
Пример 1. Решите уравнение sin (– x + 2 x – 1) = b + 1.
Решение:
Учитывая нечетность функции
, данное уравнение сведем к равносильному
.
1. b = –1
3. b =–2
4. | b + 1| > 1
Решений нет.
5. b Є(–1; 0)
6. b Є(–2; –1)
Пример 2.
Найдите все значения параметра p, при которых уравнение
не имеет решений.
Решение:
Выразим cos 2x
через sinx
.
Пусть
тогда задача свелась к нахождению всех значений p
, при которых уравнение не имеет решений на [–1; 1]. Уравнение алгоритмически не решается, поэтому решим задачу, используя график. Запишем уравнение в виде , и теперь эскиз графика левой части
строится несложно.
Уравнение не имеет решений, если прямая y
=
p
+ 9 не пересекает график на отрезке [–1; 1], т. е.
Ответ: p Є (–∞; –9) U (17; +∞).
Системы уравнений с параметрами
Системы двух линейных уравнений с параметрами
Система уравнений
Решениями системы двух линейных уравненийявляются точки пересечения двух прямых: и .
Возможны 3 случая:
1. Прямые не параллельны . Тогда и их нормальные вектора не параллельны, т.е. . В этом случае система имеет единственное решение.
2. Прямые параллельны и не совпадают. Тогда и их нормальные вектора параллельны, но сдвиги различны, т.е. .
В этом случае система решений не имеет .
3. Прямые совпадают. Тогда их нормальные вектора параллельны и сдвиги совпадают, т.е. . В этом случае система имеет бесконечно много решений – все точки прямой.