Очень часто числитель и знаменатель дроби представляют собой алгебраические выражения, которые сначала нужно разложить на множители, а потом, обнаружив среди них одинаковые, разделить на них и числитель, и знаменатель, то есть сократить дробь. Заданиям разложить многочлен на множители посвящена целая глава учебника по алгебре в 7-м классе. Разложение на множители можно осуществить 3 способами , а также комбинацией этих способов.

1. Применение формул сокращенного умножения

Как известно, чтобы умножить многочлен на многочлен , нужно каждое слагаемое одного многочлена умножить на каждое слагаемое другого многочлена и полученные произведения сложить. Есть, как минимум, 7 (семь) часто встречающихся случаев умножения многочленов, которые вошли в понятие . Например,

Таблица 1. Разложение на множители 1-м способом

2. Вынесение общего множителя за скобку

Этот способ основан на применении распределительного закона умножения. Например,

Каждое слагаемое исходного выражения мы делим на множитель, который выносим, и получаем при этом выражение в скобках (то есть в скобках остаётся результат деления того, что было, на то, что выносим). Прежде всего нужно правильно определить множитель , который надо вынести за скобку.

Общим множителем может быть и многочлен в скобках:

При выполнении задания «разложите на множители» надо быть особенно внимательным со знаками при вынесении общего множителя за скобки. Чтобы поменять знак у каждого слагаемого в скобке (b — a) , вынесем за скобку общий множитель -1 , при этом каждое слагаемое в скобке разделится на -1: (b — a) = — (a — b) .

В том случае если выражение в скобках возводится в квадрат (или в любую чётную степень), то числа внутри скобок можно менять местами совершенно свободно, так как вынесенные за скобки минусы при умножении всё равно превратятся в плюс: (b — a) 2 = (a — b) 2 , (b — a) 4 = (a — b) 4 и так далее…

3. Способ группировки

Иногда общий множитель имеется не у всех слагаемых в выражении, а только у некоторых. Тогда можно попробовать сгруппировать слагаемые в скобки так, чтобы из каждой можно было какой-то множитель вынести. Способ группировки - это двойное вынесение общих множителей за скобки.

4. Использование сразу нескольких способов

Иногда нужно применить не один, а несколько способов разложения многочлена на множители сразу.

Это конспект по теме «Разложение на множители» . Выберите дальнейшие действия:

• Перейти к следующему конспекту:

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Разложение многочленов для получения произведения иногда кажется запутанным. Но это не так сложно, если разобраться в процессе пошагово. В статье подробно рассказано, как разложить на множители квадратный трехчлен.

Многим непонятно, как разложить на множители квадратный трехчлен, и для чего это делается. Сначала может показаться, что это бесполезное занятие. Но в математике ничего не делается просто так. Преобразование нужно для упрощения выражения и удобства вычисления.

Многочлен, имеющий вид – ax²+bx+c, называется квадратным трехчленом. Слагаемое «a» должно быть отрицательным или положительным. На практике это выражение называется квадратным уравнением. Поэтому иногда говорят и по-другому: как разложить квадратное уравнение.

Интересно! Квадратным многочлен называют из-за самой его большой степени – квадрата. А трехчленом — из-за 3-х составных слагаемых.

Некоторые другие виды многочленов:

• линейный двучлен (6x+8);
• кубический четырехчлен (x³+4x²-2x+9).

Разложение квадратного трехчлена на множители

Сначала выражение приравнивается к нулю, затем нужно найти значения корней x1 и x2. Корней может не быть, может быть один или два корня. Наличие корней определяется по дискриминанту. Его формулу надо знать наизусть: D=b²-4ac.

Если результат D получается отрицательный, корней нет. Если положительный – корня два. Если в результате получился ноль – корень один. Корни тоже высчитываются по формуле.

Если при вычислении дискриминанта получается ноль, можно применять любую из формул. На практике формула просто сокращается: -b / 2a.

Формулы для разных значений дискриминанта различаются.

Если D положительный:

Если D равен нулю:

Онлайн калькуляторы

В интернете есть онлайн калькулятор. С его помощью можно выполнить разложение на множители. На некоторых ресурсах предоставляется возможность посмотреть решение пошагово. Такие сервисы помогают лучше понять тему, но нужно постараться хорошо вникнуть.

Полезное видео: Разложение квадратного трехчлена на множители

Примеры

Предлагаем просмотреть простые примеры, как разложить квадратное уравнение на множители.

Пример 1

Здесь наглядно показано, что в результате получится два x, потому что D положительный. Их и нужно подставить в формулу. Если корни получились отрицательные, знак в формуле меняется на противоположный.

Нам известна формула разложения квадратного трехчлена на множители: a(x-x1)(x-x2). Ставим значения в скобки: (x+3)(x+2/3). Перед слагаемым в степени нет числа. Это значит, что там единица, она опускается.

Пример 2

Этот пример наглядно показывает, как решать уравнение, имеющее один корень.

Подставляем получившееся значение:

Пример 3

Дано: 5x²+3x+7

Сначала вычислим дискриминант, как в предыдущих случаях.

D=9-4*5*7=9-140= -131.

Дискриминант отрицательный, значит, корней нет.

После получения результата стоит раскрыть скобки и проверить результат. Должен появиться исходный трехчлен.

Альтернативный способ решения

Некоторые люди так и не смогли подружиться с дискриминантом. Можно еще одним способом произвести разложение квадратного трехчлена на множители. Для удобства способ показан на примере.

Дано: x²+3x-10

Мы знаем, что должны получиться 2 скобки: (_)(_). Когда выражение имеет такой вид: x²+bx+c, в начале каждой скобки ставим x: (x_)(x_). Оставшиеся два числа – произведение, дающее «c», т. е. в этом случае -10. Узнать, какие это числа, можно только методом подбора. Подставленные числа должны соответствовать оставшемуся слагаемому.

К примеру, перемножение следующих чисел дает -10:

• -1, 10;
• -10, 1;
• -5, 2;
• -2, 5.

1. (x-1)(x+10) = x2+10x-x-10 = x2+9x-10. Нет.
2. (x-10)(x+1) = x2+x-10x-10 = x2-9x-10. Нет.
3. (x-5)(x+2) = x2+2x-5x-10 = x2-3x-10. Нет.
4. (x-2)(x+5) = x2+5x-2x-10 = x2+3x-10. Подходит.

Значит, преобразование выражения x2+3x-10 выглядит так: (x-2)(x+5).

Важно! Стоит внимательно следить за тем, чтобы не перепутать знаки.

Разложение сложного трехчлена

Если «a» больше единицы, начинаются сложности. Но все не так трудно, как кажется.

Чтобы выполнить разложение на множители, нужно сначала посмотреть, возможно ли что-нибудь вынести за скобку.

Например, дано выражение: 3x²+9x-30. Здесь выносится за скобку число 3:

3(x²+3x-10). В результате получается уже известный трехчлен. Ответ выглядит так: 3(x-2)(x+5)

Как раскладывать, если слагаемое, которое находится в квадрате отрицательное? В данном случае за скобку выносится число -1. К примеру: -x²-10x-8. После выражение будет выглядеть так:

Схема мало отличается от предыдущей. Есть лишь несколько новых моментов. Допустим, дано выражение: 2x²+7x+3. Ответ также записывается в 2-х скобках, которые нужно заполнить (_)(_). Во 2-ю скобку записывается x, а в 1-ю то, что осталось. Это выглядит так: (2x_)(x_). В остальном повторяется предыдущая схема.

Число 3 дают числа:

• -1, -3;
• -3, -1;
• 3, 1;
• 1, 3.

Решаем уравнения, подставляя данные числа. Подходит последний вариант. Значит, преобразование выражения 2x²+7x+3 выглядит так: (2x+1)(x+3).

Другие случаи

Преобразовать выражение получится не всегда. При втором способе решение уравнения не потребуется. Но возможность преобразования слагаемых в произведение проверяется только через дискриминант.

Стоит потренироваться решать квадратные уравнения, чтобы при использовании формул не возникало трудностей.

Полезное видео: разложение трехчлена на множители

Вывод

Пользоваться можно любым способом. Но лучше оба отработать до автоматизма. Также научиться хорошо решать квадратные уравнения и раскладывать многочлены на множители нужно тем, кто собирается связать свою жизнь с математикой. На этом строятся все следующие математические темы.

Разложение на множители уравнения – это процесс нахождения таких членов или выражений, которые, будучи перемноженными, приводят к начальному уравнению. Разложение на множители является полезным навыком для решения основных алгебраических задач, и становится практически необходимым при работе с квадратными уравнениями и другими многочленами. Разложение на множители используется для упрощения алгебраических уравнений, чтобы облегчить их решение. Разложение на множители может помочь вам исключить определенные возможные ответы быстрее, чем вы это сделаете, решая уравнение вручную.

Шаги

Разложение на множители чисел и основных алгебраических выражений

1. Разложение на множители чисел. Концепция разложения на множители проста, но на практике разложение на множители может оказаться непростой задачей (если дано сложное уравнение). Поэтому для начала рассмотрим концепцию разложения на множители на примере чисел, продолжим с простыми уравнениями, а затем перейдем к сложным уравнениям. Множители данного числа – это числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 12 являются числа: 1, 12, 2, 6, 3, 4, так как 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • Аналогично, вы можете рассматривать множители числа как его делители, то есть числа, на которые делится данное число.
   • Найдите все множители числа 60. Мы часто используем число 60 (например, 60 минут в часе, 60 секунд в минуте и т.д.) и у этого числа довольно большое количество множителей.
     • Множители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.

2. Запомните: члены выражения, содержащие коэффициент (число) и переменную, также могут быть разложены на множители. Для этого найдите множители коэффициента при переменной. Зная, как разложить на множители члены уравнений, можно легко упростить данное уравнение.

   • Например, член 12x может быть записан в виде произведения 12 и х. Вы также можете записать 12x как 3(4x), 2(6x) и т.д., разложив число 12 на наиболее подходящие вам множители.
     • Вы можете раскладывать 12x несколько раз подряд. Другими словами, вы не должны останавливаться на 3(4x) или 2(6x); продолжите разложение: 3(2(2x)) или 2(3(2x)) (очевидно, что 3(4x)=3(2(2x)) и т.д.)

3. Примените распределительное свойство умножения для разложения на множители алгебраических уравнений. Зная, как разложить на множители числа и члены выражения (коэффициенты с переменными), вы можете упростить несложные алгебраические уравнения, найдя общий множитель числа и члена выражения. Обычно для упрощения уравнения необходимо найти наибольший общий делитель (НОД). Такое упрощение возможно благодаря распределительному свойству умножения: для любых чисел а, b, с верно равенство a(b+c) = ab+ac.

   • Пример. Разложите на множители уравнение 12х + 6. Во-первых, найдите НОД 12x и 6. 6 является наибольшим числом, которое делит и 12x, и 6, поэтому вы можете разложить данное уравнение на: 6(2x+1).
   • Этот процесс также верен для уравнений, в которых есть отрицательные и дробные члены. Например, х/2+4 может быть разложено на 1/2(х+8); например, -7x+(-21) может быть разложено на -7(х+3).

   Разложение на множители квадратных уравнений

   1. Убедитесь, что уравнение дано в квадратичной форме (ax 2 + bx + c = 0). Квадратные уравнения имеют вид: ax 2 + bx + c = 0, где а, b, с - числовые коэффициенты отличные от 0. Если вам дано уравнение с одной переменной (х) и в этом уравнении есть один или несколько членов с переменной второго порядка, вы можете перенести все члены уравнения на одну сторону уравнения и приравнять его к нулю.

      • Например, дано уравнение: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Оно может быть преобразовано в уравнение x 2 + 6x + 9 = 0, которое является квадратным уравнением.
      • Уравнения с переменной х больших порядков, например, x 3 , x 4 и т.д. не являются квадратными уравнениями. Это кубические уравнения, уравнения четвертого порядка и так далее (только если такие уравнения не могут быть упрощены до квадратных уравнений с переменной х в степени 2).

   2. Квадратные уравнения, где а = 1, раскладываются на (x+d)(x+e), где d*е=с и d+е=b. Если данное вам квадратное уравнение имеет вид: x 2 + bx + c = 0 (то есть коэффициент при x 2 равен 1), то такое уравнение можно (но не гарантированно) разложить на вышеуказанные множители. Для этого нужно найти два числа, которые при перемножении дают «с», а при сложении – «b». Как только вы найдете такие два числа (d и е), подставьте их в следующее выражение: (x+d)(x+e), которое при раскрытии скобок приводит к исходному уравнению.

      • Например, дано квадратное уравнение x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 и 3+2=5, поэтому вы можете разложить данное уравнение на (х+3)(х+2).
      • В случае отрицательных членов внесите следующие незначительные изменения в процесс разложения на множители:
        • Если квадратное уравнение имеет вид x 2 -bx+c, то оно раскладывается на: (х-_)(х-_).
        • Если квадратное уравнение имеет вид x 2 -bx-c, то оно раскладывается на: (х+_)(х-_).
      • Примечание: пробелы могут быть заменены на дроби или десятичные числа. Например, уравнение x 2 + (21/2)x + 5 = 0 раскладывается на (х+10)(х+1/2).

   3. Разложение на множители методом проб и ошибок. Несложные квадратные уравнения можно разложить на множители, просто подставляя числа в возможные решения до тех пор, пока вы не найдете правильного решения. Если уравнение имеет вид ax 2 +bx+c, где a>1, возможные решения записываются в виде (dx +/- _)(ex +/- _), где d и е - числовые коэффициенты отличные от нуля, которые при перемножении дают а. Либо d, либо e (или оба коэффициента) могут быть равны 1. Если оба коэффициента равны 1, то воспользуйтесь способом, описанным выше.

      • Например, дано уравнение 3x 2 - 8x + 4. Здесь 3 имеет только два множителя (3 и 1), поэтому возможные решения записываются в виде (3x +/- _)(х +/- _). В этом случае, подставив вместо пробелов -2, вы найдете правильный ответ: -2*3x=-6x и -2*х=-2x; - 6x+(-2x)=-8x и -2*-2=4, то есть такое разложение при раскрытии скобок приведет к членам исходного уравнения.

В этой статье Вы найдете всю необходимую информацию, отвечающую на вопрос, как разложить число на простые множители . Сначала дано общее представление о разложении числа на простые множители, приведены примеры разложений. Дальше показана каноническая форма разложения числа на простые множители. После этого дан алгоритм разложения произвольных чисел на простые множители и приведены примеры разложения чисел с использованием этого алгоритма. Также рассмотрены альтернативные способы, позволяющие быстро раскладывать небольшие целые числа на простые множители с использованием признаков делимости и таблицы умножения.

Навигация по странице.

Что значит разложить число на простые множители?

Сначала разберемся с тем, что такое простые множители.

Понятно, раз в этом словосочетании присутствует слово «множители», то имеет место произведение каких-то чисел, а уточняющее слово «простые» означает, что каждый множитель является простым числом . Например, в произведении вида 2·7·7·23 присутствуют четыре простых множителя: 2 , 7 , 7 и 23 .

А что же значит разложить число на простые множители?

Это значит, что данное число нужно представить в виде произведения простых множителей, причем значение этого произведения должно быть равно исходному числу. В качестве примера рассмотрим произведение трех простых чисел 2 , 3 и 5 , оно равно 30 , таким образом, разложение числа 30 на простые множители имеет вид 2·3·5 . Обычно разложение числа на простые множители записывают в виде равенства, в нашем примере оно будет таким: 30=2·3·5 . Отдельно подчеркнем, что простые множители в разложении могут повторяться. Это явно иллюстрирует следующий пример: 144=2·2·2·2·3·3 . А вот представление вида 45=3·15 не является разложением на простые множители, так как число 15 – составное.

Возникает следующий вопрос: «А какие вообще числа можно разложить на простые множители»?

В поисках ответа на него, приведем следующие рассуждения. Простые числа по определению находятся среди , больших единицы. Учитывая этот факт и , можно утверждать, что произведение нескольких простых множителей является целым положительным числом, превосходящим единицу. Поэтому разложение на простые множители имеет место лишь для положительных целых чисел, которые больше 1 .

Но все ли целые числа, превосходящие единицу, раскладываются на простые множители?

Понятно, что простые целые числа разложить на простые множители нет возможности. Это объясняется тем, что простые числа имеют только два положительных делителя – единицу и самого себя, поэтому они не могут быть представлены в виде произведения двух или большего количества простых чисел. Если бы целое число z можно было бы представить в виде произведения простых чисел a и b , то понятие делимости позволило бы сделать вывод, что z делится и на a и на b , что невозможно в силу простоты числа z. Однако считают, что любое простое число само является своим разложением.

А как насчет составных чисел? Раскладываются ли составные числа на простые множители, и все ли составные числа подлежат такому разложению? Утвердительный ответ на ряд этих вопросов дает основная теорема арифметики . Основная теорема арифметики утверждает, что любое целое число a , которое больше 1 , можно разложить на произведение простых множителей p 1 , p 2 , …, p n , при этом разложение имеет вид a=p 1 ·p 2 ·…·p n , причем это разложение единственно, если не учитывать порядок следования множителей

Каноническое разложение числа на простые множители

В разложении числа простые множители могут повторяться. Повторяющиеся простые множители можно записать более компактно, используя . Пусть в разложении числа a простой множитель p 1 встречается s 1 раз, простой множитель p 2 – s 2 раз, и так далее, p n – s n раз. Тогда разложение на простые множители числа a можно записать как a=p 1 s 1 ·p 2 s 2 ·…·p n s n . Такая форма записи представляет собой так называемое каноническое разложение числа на простые множители .

Приведем пример канонического разложения числа на простые множители. Пусть нам известно разложение 609 840=2·2·2·2·3·3·5·7·11·11 , его каноническая форма записи имеет вид 609 840=2 4 ·3 2 ·5·7·11 2 .

Каноническое разложение числа на простые множители позволяет найти все делители числа и число делителей числа .

Алгоритм разложения числа на простые множители

Чтобы успешно справиться с задачей разложения числа на простые множители, нужно очень хорошо владеть информацией статьи простые и составные числа .

Суть процесса разложения целого положительного и превосходящего единицу числа a понятна из доказательства основной теоремы арифметики . Смысл состоит в последовательном нахождении наименьших простых делителей p 1 , p 2 , …,p n чисел a, a 1 , a 2 , …, a n-1 , что позволяет получить ряд равенств a=p 1 ·a 1 , где a 1 =a:p 1 , a=p 1 ·a 1 =p 1 ·p 2 ·a 2 , где a 2 =a 1:p 2 , …, a=p 1 ·p 2 ·…·p n ·a n , где a n =a n-1:p n . Когда получается a n =1 , то равенство a=p 1 ·p 2 ·…·p n даст нам искомое разложение числа a на простые множители. Здесь же следует заметить, что p 1 ≤p 2 ≤p 3 ≤…≤p n .

Осталось разобраться с нахождением наименьших простых делителей на каждом шаге, и мы будем иметь алгоритм разложения числа на простые множители. Находить простые делители нам поможет таблица простых чисел . Покажем, как с ее помощью получить наименьший простой делитель числа z .

Последовательно берем простые числа из таблицы простых чисел (2 , 3 , 5 , 7 , 11 и так далее) и делим на них данное число z . Первое простое число, на которое z разделится нацело, и будет его наименьшим простым делителем. Если число z простое, то его наименьшим простым делителем будет само число z . Здесь же следует напомнить, что если z не является простым числом, то его наименьший простой делитель не превосходит числа , где - из z . Таким образом, если среди простых чисел, не превосходящих , не нашлось ни одного делителя числа z , то можно делать вывод о том, что z – простое число (более подробно об этом написано в разделе теории под заголовком данное число простое или составное).

Для примера покажем, как найти наименьший простой делитель числа 87 . Берем число 2 . Делим 87 на 2 , получаем 87:2=43 (ост. 1) (если необходимо, смотрите статью ). То есть, при делении 87 на 2 получается остаток 1 , поэтому 2 – не является делителем числа 87 . Берем следующее простое число из таблицы простых чисел, это число 3 . Делим 87 на 3 , получаем 87:3=29 . Таким образом, 87 делится на 3 нацело, следовательно, число 3 является наименьшим простым делителем числа 87 .

Заметим, что в общем случае для разложения на простые множители числа a нам потребуется таблица простых чисел до числа, не меньшего, чем . К этой таблице нам придется обращаться на каждом шаге, так что ее нужно иметь под рукой. Например, для разложения на простые множители числа 95 нам будет достаточно таблицы простых чисел до 10 (так как 10 больше, чем ). А для разложения числа 846 653 уже будет нужна таблица простых чисел до 1 000 (так как 1 000 больше, чем ).

Теперь мы обладаем достаточными сведениями, чтобы записать алгоритм разложения числа на простые множители . Алгоритм разложения числа a таков:

• Последовательно перебирая числа из таблицы простых чисел, находим наименьший простой делитель p 1 числа a , после чего вычисляем a 1 =a:p 1 . Если a 1 =1 , то число a – простое, и оно само является своим разложением на простые множители. Если же a 1 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·a 1 и переходим к следующему шагу.
• Находим наименьший простой делитель p 2 числа a 1 , для этого последовательно перебираем числа из таблицы простых чисел, начиная с p 1 , после чего вычисляем a 2 =a 1:p 2 . Если a 2 =1 , то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p 1 ·p 2 . Если же a 2 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·p 2 ·a 2 и переходим к следующему шагу.
• Перебирая числа из таблицы простых чисел, начиная с p 2 , находим наименьший простой делитель p 3 числа a 2 , после чего вычисляем a 3 =a 2:p 3 . Если a 3 =1 , то искомое разложение числа a на простые множители имеет вид a=p 1 ·p 2 ·p 3 . Если же a 3 на равно 1 , то имеем a=p 1 ·p 2 ·p 3 ·a 3 и переходим к следующему шагу.
• Находим наименьший простой делитель p n числа a n-1 , перебирая простые числа, начиная с p n-1 , а также a n =a n-1:p n , причем a n получается равно 1 . Этот шаг является последним шагом алгоритма, здесь получаем искомое разложение числа a на простые множители: a=p 1 ·p 2 ·…·p n .

Все результаты, полученные на каждом шаге алгоритма разложения числа на простые множители, для наглядности представляют в виде следующей таблицы, в которой слева от вертикальной черты записывают последовательно в столбик числа a, a 1 , a 2 , …, a n , а справа от черты – соответствующие наименьшие простые делители p 1 , p 2 , …, p n .

Осталось лишь рассмотреть несколько примеров применения полученного алгоритма для разложения чисел на простые множители.

Примеры разложения на простые множители

Сейчас мы подробно разберем примеры разложения чисел на простые множители . При разложении будем применять алгоритм из предыдущего пункта. Начнем с простых случаев, и постепенно их будем усложнять, чтобы столкнуться со всеми возможными нюансами, возникающими при разложении чисел на простые множители.

Пример.

Разложите число 78 на простые множители.

Решение.

Начинаем поиск первого наименьшего простого делителя p 1 числа a=78 . Для этого начинаем последовательно перебирать простые числа из таблицы простых чисел. Берем число 2 и делим на него 78 , получаем 78:2=39 . Число 78 разделилось на 2 без остатка, поэтому p 1 =2 – первый найденный простой делитель числа 78 . В этом случае a 1 =a:p 1 =78:2=39 . Так мы приходим к равенству a=p 1 ·a 1 имеющему вид 78=2·39 . Очевидно, что a 1 =39 отлично от 1 , поэтому переходим ко второму шагу алгоритма.

Теперь ищем наименьший простой делитель p 2 числа a 1 =39 . Начинаем перебор чисел из таблицы простых чисел, начиная с p 1 =2 . Делим 39 на 2 , получаем 39:2=19 (ост. 1) . Так как 39 не делится нацело на 2 , то 2 не является его делителем. Тогда берем следующее число из таблицы простых чисел (число 3 ) и делим на него 39 , получаем 39:3=13 . Следовательно, p 2 =3 – наименьший простой делитель числа 39 , при этом a 2 =a 1:p 2 =39:3=13 . Имеем равенство a=p 1 ·p 2 ·a 2 в виде 78=2·3·13 . Так как a 2 =13 отлично от 1 , то переходим к следующему шагу алгоритма.

Здесь нам нужно отыскать наименьший простой делитель числа a 2 =13 . В поисках наименьшего простого делителя p 3 числа 13 будем последовательно перебирать числа из таблицы простых чисел, начиная с p 2 =3 . Число 13 не делится на 3 , так как 13:3=4 (ост. 1) , также 13 не делится на 5 , 7 и на 11 , так как 13:5=2 (ост. 3) , 13:7=1 (ост. 6) и 13:11=1 (ост. 2) . Следующим простым числом является 13 , и на него 13 делится без остатка, следовательно, наименьший простой делитель p 3 числа 13 есть само число 13 , и a 3 =a 2:p 3 =13:13=1 . Так как a 3 =1 , то этот шаг алгоритма является последним, а искомое разложение числа 78 на простые множители имеет вид 78=2·3·13 (a=p 1 ·p 2 ·p 3 ).

Ответ:

78=2·3·13 .

Пример.

Представьте число 83 006 в виде произведения простых множителей.

Решение.

На первом шаге алгоритма разложения числа на простые множители находим p 1 =2 и a 1 =a:p 1 =83 006:2=41 503 , откуда 83 006=2·41 503 .

На втором шаге выясняем, что 2 , 3 и 5 не являются простыми делителями числа a 1 =41 503 , а число 7 – является, так как 41 503:7=5 929 . Имеем p 2 =7 , a 2 =a 1:p 2 =41 503:7=5 929 . Таким образом, 83 006=2·7·5 929 .

Наименьшим простым делителем числа a 2 =5 929 является число 7 , так как 5 929:7=847 . Таким образом, p 3 =7 , a 3 =a 2:p 3 =5 929:7=847 , откуда 83 006=2·7·7·847 .

Дальше находим, что наименьший простой делитель p 4 числа a 3 =847 равен 7 . Тогда a 4 =a 3:p 4 =847:7=121 , поэтому 83 006=2·7·7·7·121 .

Теперь находим наименьший простой делитель числа a 4 =121 , им является число p 5 =11 (так как 121 делится на 11 и не делится на 7 ). Тогда a 5 =a 4:p 5 =121:11=11 , и 83 006=2·7·7·7·11·11 .

Наконец, наименьший простой делитель числа a 5 =11 – это число p 6 =11 . Тогда a 6 =a 5:p 6 =11:11=1 . Так как a 6 =1 , то этот шаг алгоритма разложения числа на простые множители является последним, и искомое разложение имеет вид 83 006=2·7·7·7·11·11 .

Полученный результат можно записать как каноническое разложение числа на простые множители 83 006=2·7 3 ·11 2 .

Ответ:

83 006=2·7·7·7·11·11=2·7 3 ·11 2 991 – простое число. Действительно, оно не имеет ни одного простого делителя, не превосходящего ( можно грубо оценить как , так как очевидно, что 991<40 2 ), то есть, наименьшим делителем числа 991 является оно само. Тогда p 3 =991 и a 3 =a 2:p 3 =991:991=1 . Следовательно, искомое разложение числа 897 924 289 на простые множители имеет вид 897 924 289=937·967·991 .

Ответ:

897 924 289=937·967·991 .

Использование признаков делимости для разложения на простые множители

В простых случаях разложить число на простые множители можно без использования алгоритма разложения из первого пункта данной статьи. Если числа не большие, то для их разложения на простые множители часто достаточно знать и признаки делимости . Приведем примеры для пояснения.

Например, нам требуется разложить на простые множители число 10 . Из таблицы умножения мы знаем, что 2·5=10 , а числа 2 и 5 очевидно простые, поэтому разложение на простые множители числа 10 имеет вид 10=2·5 .

Еще пример. При помощи таблицы умножения разложим на простые множители число 48 . Мы знаем, что шестью восемь – сорок восемь, то есть, 48=6·8 . Однако, ни 6 , ни 8 не являются простыми числами. Но мы знаем, что дважды три – шесть, и дважды четыре – восемь, то есть, 6=2·3 и 8=2·4 . Тогда 48=6·8=2·3·2·4 . Осталось вспомнить, что дважды два – четыре, тогда получим искомое разложение на простые множители 48=2·3·2·2·2 . Запишем это разложение в канонической форме: 48=2 4 ·3 .

А вот при разложении на простые множители числа 3 400 можно воспользоваться признаками делимости. Признаки делимости на 10, 100 позволяют утверждать, что 3 400 делится на 100 , при этом 3 400=34·100 , а 100 делится на 10 , при этом 100=10·10 , следовательно, 3 400=34·10·10 . А на основании признака делимости на 2 можно утверждать, что каждый из множителей 34 , 10 и 10 делится на 2 , получаем 3 400=34·10·10=2·17·2·5·2·5 . Все множители в полученном разложении являются простыми, поэтому это разложение является искомым. Осталось лишь переставить множители, чтобы они шли в порядке возрастания: 3 400=2·2·2·5·5·17 . Запишем также каноническое разложение данного числа на простые множители: 3 400=2 3 ·5 2 ·17 .

При разложении данного числа на простые множители можно использовать по очереди и признаки делимости и таблицу умножения. Представим число 75 в виде произведения простых множителей. Признак делимости на 5 позволяет нам утверждать, что 75 делится на 5 , при этом получаем, что 75=5·15 . А из таблицы умножения мы знаем, что 15=3·5 , поэтому, 75=5·3·5 . Это и есть искомое разложение числа 75 на простые множители.

Список литературы.

• Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
• Виноградов И.М. Основы теории чисел.
• Михелович Ш.Х. Теория чисел.
• Куликов Л.Я. и др. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие для студентов физ.-мат. специальностей педагогических институтов.