معادلات درجه دوم در کلاس 8 مورد مطالعه قرار می گیرند، بنابراین هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد. توانایی حل آنها ضروری است.
معادله درجه دوم معادله ای به شکل ax 2 + bx + c = 0 است که در آن ضرایب a , b و c اعداد دلخواه و a ≠ 0 هستند.
قبل از مطالعه روش های حل خاص، توجه می کنیم که تمام معادلات درجه دوم را می توان به سه کلاس تقسیم کرد:
- بدون ریشه؛
- آنها دقیقاً یک ریشه دارند.
- آنها دو ریشه متفاوت دارند.
این یک تفاوت مهم بین معادلات درجه دوم و خطی است، جایی که ریشه همیشه وجود دارد و منحصر به فرد است. چگونه تعیین کنیم که یک معادله چند ریشه دارد؟ یک چیز شگفت انگیز برای این وجود دارد - ممیز.
ممیز
اجازه دهید معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 داده شود.سپس متمایز کننده به سادگی عدد D = b 2 − 4ac است.
این فرمول را باید از قلب دانست. الان از کجا آمده مهم نیست. یک چیز دیگر مهم است: با علامت تمایز می توانید تعیین کنید که یک معادله درجه دوم چند ریشه دارد. برای مثال:
- اگر D< 0, корней нет;
- اگر D = 0 باشد، دقیقاً یک ریشه وجود دارد.
- اگر D > 0 باشد، دو ریشه وجود خواهد داشت.
لطفاً توجه داشته باشید: متمایز کننده تعداد ریشه ها را نشان می دهد و اصلاً علائم آنها را نشان نمی دهد ، همانطور که به دلایلی بسیاری فکر می کنند. به مثال ها نگاهی بیندازید و خودتان همه چیز را متوجه خواهید شد:
یک وظیفه. معادلات درجه دوم چند ریشه دارند:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
ضرایب معادله اول را می نویسیم و ممیز را پیدا می کنیم:
a = 1، b = -8، c = 12;
D = (-8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
بنابراین، ممیز مثبت است، بنابراین معادله دو ریشه متفاوت دارد. معادله دوم را به همین ترتیب تحلیل می کنیم:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
ممیز منفی است، هیچ ریشه ای وجود ندارد. آخرین معادله باقی می ماند:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
ممیز برابر با صفر است - ریشه یک خواهد بود.
توجه داشته باشید که برای هر معادله ضرایبی نوشته شده است. بله، طولانی است، بله، خسته کننده است - اما شما شانس را با هم مخلوط نمی کنید و مرتکب اشتباهات احمقانه نمی شوید. خودتان انتخاب کنید: سرعت یا کیفیت.
به هر حال، اگر "دست خود را پر کنید"، پس از مدتی دیگر نیازی به نوشتن همه ضرایب نخواهید داشت. شما چنین عملیاتی را در سر خود انجام خواهید داد. اکثر مردم از جایی بعد از 50-70 معادله حل شده شروع به انجام این کار می کنند - به طور کلی، تعداد آنها زیاد نیست.
ریشه های یک معادله درجه دوم
حالا بیایید به سراغ راه حل برویم. اگر تفکیک کننده D > 0 باشد، ریشه ها را می توان با استفاده از فرمول ها پیدا کرد:
فرمول اصلی برای ریشه های یک معادله درجه دوم
وقتی D = 0 باشد، می توانید از هر یک از این فرمول ها استفاده کنید - همان عدد را دریافت می کنید، که پاسخ خواهد بود. در نهایت، اگر D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x 2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
معادله اول:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.
D > 0 ⇒ معادله دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم:
معادله دوم:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ معادله دوباره دو ریشه دارد. بیایید آنها را پیدا کنیم
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \راست))=3. \\ \پایان (تراز کردن)\]
در نهایت معادله سوم:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ معادله یک ریشه دارد. از هر فرمولی می توان استفاده کرد. مثلا اولی:
همانطور که از مثال ها می بینید، همه چیز بسیار ساده است. اگر فرمول ها را بلد باشید و بتوانید بشمارید مشکلی پیش نمی آید. بیشتر اوقات، خطاها زمانی رخ می دهند که ضرایب منفی در فرمول جایگزین شوند. در اینجا، دوباره، تکنیک توضیح داده شده در بالا کمک خواهد کرد: به فرمول به معنای واقعی کلمه نگاه کنید، هر مرحله را رنگ کنید - و خیلی زود از شر اشتباهات خلاص شوید.
معادلات درجه دوم ناقص
این اتفاق می افتد که معادله درجه دوم تا حدودی با آنچه در تعریف ارائه شده است متفاوت است. مثلا:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
به راحتی می توان فهمید که یکی از اصطلاحات در این معادلات وجود ندارد. حل چنین معادلات درجه دوم حتی ساده تر از معادلات استاندارد است: آنها حتی نیازی به محاسبه تمایز ندارند. پس بیایید یک مفهوم جدید را معرفی کنیم:
معادله ax 2 + bx + c = 0 یک معادله درجه دوم ناقص نامیده می شود اگر b = 0 یا c = 0، یعنی. ضریب متغیر x یا عنصر آزاد برابر با صفر است.
البته، یک مورد بسیار دشوار زمانی ممکن است که هر دوی این ضرایب برابر با صفر باشند: b \u003d c \u003d 0. در این حالت، معادله به شکل ax 2 \u003d 0 است. بدیهی است که چنین معادله ای دارای یک واحد است. ریشه: x \u003d 0.
بیایید موارد دیگر را در نظر بگیریم. بگذارید b \u003d 0 باشد، سپس یک معادله درجه دوم ناقص از شکل ax 2 + c \u003d 0 به دست می آوریم. اجازه دهید کمی آن را تبدیل کنیم:
از آنجایی که جذر حسابی فقط از یک عدد غیرمنفی وجود دارد، آخرین تساوی فقط زمانی معنا پیدا می کند که (-c / a ) ≥ 0 باشد. نتیجه گیری:
- اگر یک معادله درجه دوم ناقص به شکل ax 2 + c = 0 نابرابری (−c / a ) ≥ 0 را برآورده کند، دو ریشه وجود خواهد داشت. فرمول بالا داده شده است؛
- اگر (-c / a)< 0, корней нет.
همانطور که می بینید، تمایز مورد نیاز نبود - هیچ محاسبات پیچیده ای در معادلات درجه دوم ناقص وجود ندارد. در واقع، حتی لازم نیست نابرابری (−c / a ) ≥ 0 را به خاطر بسپارید. کافی است مقدار x 2 را بیان کنید و ببینید در طرف دیگر علامت مساوی چه چیزی وجود دارد. اگر یک عدد مثبت وجود داشته باشد، دو ریشه خواهد بود. اگر منفی باشد، هیچ ریشه ای وجود نخواهد داشت.
حال به معادلات شکل ax 2 + bx = 0 می پردازیم که در آن عنصر آزاد برابر با صفر است. همه چیز در اینجا ساده است: همیشه دو ریشه وجود خواهد داشت. کافی است چند جمله ای را فاکتورسازی کنیم:
خارج کردن عامل مشترک از براکتزمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است. ریشه ها از اینجا می آید. در خاتمه، چندین مورد از این معادلات را تحلیل خواهیم کرد:
یک وظیفه. حل معادلات درجه دوم:
- x2 - 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = -(-7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. هیچ ریشه ای وجود ندارد، زیرا مربع نمی تواند برابر با یک عدد منفی باشد.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.
اهداف:
- نظامبندی و تعمیم دانش و مهارت در موضوع: حل معادلات درجه سوم و چهارم.
- تعمیق دانش با انجام یک سری کارها که برخی از آنها نه در نوع خود و نه در نحوه حل آنها آشنا نیست.
- شکل گیری علاقه به ریاضیات از طریق مطالعه فصول جدید ریاضیات، آموزش فرهنگ گرافیک از طریق ساخت نمودار معادلات.
نوع درس: ترکیب شده.
تجهیزات:گراف پروژکتور
دید:جدول "قضیه ویتا".
در طول کلاس ها
1. حساب ذهنی
الف) باقیمانده تقسیم چند جمله ای p n (x) \u003d a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 بر دو جمله ای x-a چقدر است؟
ب) یک معادله مکعبی چند ریشه می تواند داشته باشد؟
ج) معادله درجه سوم و چهارم را با چه کمکی حل می کنیم؟
د) اگر b یک عدد زوج در معادله درجه دوم باشد، D چیست و x 1؛ x 2
2. کار مستقل (به صورت گروهی)
اگر ریشه ها شناخته شده باشند معادله بسازید (پاسخ به کارها رمزگذاری شده است) از "قضیه ویتا" استفاده کنید.
1 گروه
ریشه ها: x 1 = 1; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = 6
یک معادله بنویسید:
B=1 -2-3+6=2; b=-2
c=-2-3+6+6-12-18=-23; c= -23
d=6-12+36-18=12; d=-12
e=1(-2)(-3)6=36
x 4 -2 x 3 - 23 x 2 - 12 x + 36 = 0(این معادله توسط گروه 2 روی تخته حل می شود)
راه حل . ما در میان مقسوم علیه های عدد 36 به دنبال ریشه های اعداد صحیح هستیم.
p = 1±؛ ± 2؛ ± 3؛ ± 4؛ ± 6…
p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 عدد 1 معادله را برآورده می کند، بنابراین =1 ریشه معادله است. طرح هورنر
p 3 (x) = x 3 -x 2 -24x -36
p 3 (-2) \u003d -8 -4 +48 -36 \u003d 0، x 2 \u003d -2
p 2 (x) \u003d x 2 -3x -18 \u003d 0
x 3 \u003d -3، x 4 \u003d 6
پاسخ: 1؛ -2؛ -3؛ 6 مجموع ریشه های 2 (P)
2 گروه
ریشه ها: x 1 \u003d -1؛ x 2 = x 3 = 2; x 4 \u003d 5
یک معادله بنویسید:
B=-1+2+2+5-8; b=-8
c=2(-1)+4+10-2-5+10=15; c=15
D=-4-10+20-10=-4; d=4
e=2(-1)2*5=-20;e=-20
8 + 15 + 4x-20 \u003d 0 (گروه 3 این معادله را روی تخته حل می کند)
p = 1±؛ ± 2؛ ± 4؛ ± 5؛ ± 10؛ ± 20.
p 4 (1)=1-8+15+4-20=-8
p 4 (-1)=1+8+15-4-20=0
p 3 (x) \u003d x 3 -9x 2 + 24x -20
p 3 (2) \u003d 8 -36 + 48 -20 \u003d 0
p 2 (x) \u003d x 2 -7x + 10 \u003d 0 x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 5
پاسخ: -1;2;2;5 مجموع ریشه 8(P)
3 گروه
ریشه ها: x 1 \u003d -1؛ x 2 = 1; x 3 \u003d -2; x 4 \u003d 3
یک معادله بنویسید:
B=-1+1-2+3=1;b=-1
s=-1+2-3-2+3-6=-7؛ s=-7
D=2+6-3-6=-1; d=1
e=-1*1*(-2)*3=6
x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(این معادله بعداً روی تخته توسط گروه 4 حل می شود)
راه حل. ما در میان مقسوم علیه های عدد 6 به دنبال ریشه های اعداد صحیح هستیم.
p = 1±؛ ± 2؛ ± 3؛ ± 6
p 4 (1)=1-1-7+1+6=0
p 3 (x) = x 3 - 7x -6
p 3 (-1) \u003d -1 + 7-6 \u003d 0
p 2 (x) = x 2 -x -6=0; x 1 \u003d -2; x 2 \u003d 3
پاسخ: -1؛ 1؛ -2؛ 3 مجموع ریشه های 1 (O)
4 گروه
ریشه ها: x 1 = -2; x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -3
یک معادله بنویسید:
B=-2-2-3+3=-4; b=4
c=4+6-6+6-6-9=-5; c=-5
D=-12+12+18+18=36; d=-36
e=-2*(-2)*(-3)*3=-36؛ e=-36
x 4+4x 3 - 5x 2 - 36x -36 = 0(این معادله توسط گروه 5 روی تخته حل می شود)
راه حل. ما در میان مقسوم علیه های عدد -36 به دنبال ریشه های اعداد صحیح هستیم
p = 1±؛ ± 2؛ ± 3…
p(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72
p 4 (-2) \u003d 16 -32 -20 + 72 -36 \u003d 0
p 3 (x) \u003d x 3 + 2x 2 -9x-18 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 8 + 18-18 \u003d 0
p 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3
پاسخ: -2; -2; -3 3 مجموع ریشه ها-4 (F)
5 گروه
ریشه ها: x 1 \u003d -1؛ x 2 \u003d -2; x 3 \u003d -3; x 4 = -4
یک معادله بنویسید
x 4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(این معادله توسط گروه ششم روی تخته حل می شود)
راه حل . ما در بین مقسومکنندههای عدد 24 به دنبال ریشههای صحیح هستیم.
p = 1±؛ ± 2؛ ± 3
p 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0
p 3 (x) \u003d x- 3 + 9x 2 + 26x + 24 \u003d 0
p 3 (-2) \u003d -8 + 36-52 + 24 \u003d O
p 2 (x) \u003d x 2 + 7x + 12 \u003d 0
پاسخ: -1؛ -2؛ -3؛ -4 مجموع-10 (I)
6 گروه
ریشه ها: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 \u003d -3; x 4 = 8
یک معادله بنویسید
B=1+1-3+8=7؛b=-7
c=1 -3+8-3+8-24= -13
D=-3-24+8-24=-43; d=43
x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43ایکس - 24 = 0 (این معادله توسط 1 گروه روی تخته حل می شود)
راه حل . ما در میان مقسوم علیه های عدد 24 به دنبال ریشه های اعداد صحیح هستیم.
p 4 (1)=1-7-13+43-24=0
p 3 (1)=1-6-19+24=0
p 2 (x) \u003d x 2 -5x - 24 \u003d 0
x 3 \u003d -3، x 4 \u003d 8
پاسخ: 1؛ 1؛ -3؛ 8 مجموع 7 (L)
3. حل معادلات با یک پارامتر
1. معادله x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0 را حل کنید. اگر یکی از ریشه ها (-1) باشد
به ترتیب صعودی پاسخ دهید
R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0
x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0
با شرط x 1 = - 1; D=1+15=16
P 2 (x) \u003d x 2 + 2x-15 \u003d 0
x 2 \u003d -1-4 \u003d -5.
x 3 \u003d -1 + 4 \u003d 3;
پاسخ: - 1؛ -5; 3
به ترتیب صعودی: -5;-1;3. (b n s)
2. تمام ریشه های چند جمله ای x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 را بیابید، اگر باقیمانده تقسیم آن به دو جمله ای x-1 و x + 2 برابر باشد.
راه حل: R \u003d R 3 (1) \u003d R 3 (-2)
P 3 (1) \u003d 1-3 + a- 2a + 6 \u003d 4-a
P 3 (-2) \u003d -8-12-2a-2a + 6 \u003d -14-4a
x 3 -3x 2 -6x + 12 + 6 \u003d x 3 -3x 2 -6x + 18
x 2 (x-3)-6 (x-3) = 0
(x-3) (x 2 -6) = 0
حاصل ضرب دو عامل برابر با صفر است اگر و تنها در صورتی که حداقل یکی از این عوامل برابر با صفر باشد، در حالی که دیگری منطقی است.
2 گروه. ریشه: -3; -2; یک 23 گروه. ریشه: -1; 2 6 ده
4 گروه. ریشه: -3; 2 2 5
5 گروه. ریشه: -5; -2; 2 چهار
6 گروه. ریشه: -8; -2; 6 7.
ویژگی های اساسی یک مدرک را به یاد بیاورید. فرض کنید a > 0، b > 0، n، m هر عدد واقعی باشد. سپس
1) a n a m = a n + m
2) \(\frac(a^n)(a^m) = a^(n-m) \)
3) (a n) m = a nm
4) (ab) n = a n b n
5) \(\چپ(\frac(a)(b) \راست)^n = \frac(a^n)(b^n) \)
7) a n > 1 اگر a > 1، n > 0
8) a n 1، n
9) a n > a m، اگر 0 باشد
در عمل، اغلب از توابع شکل y = a x استفاده می شود، جایی که a یک عدد مثبت داده شده است، x یک متغیر است. چنین توابعی نامیده می شوند نمایشی. این نام با این واقعیت توضیح داده می شود که آرگومان تابع نمایی توان است و پایه درجه یک عدد داده شده است.
تعریف.یک تابع نمایی تابعی از شکل y = a x است که a یک عدد معین است، a > 0، \(a \neq 1\)
یک تابع نمایی دارای ویژگی های زیر است
1) دامنه تابع نمایی مجموعه تمام اعداد حقیقی است.
این ویژگی از این واقعیت ناشی می شود که درجه a x که در آن a > 0 برای تمام اعداد واقعی x تعریف شده است.
2) مجموعه مقادیر تابع نمایی مجموعه همه اعداد مثبت است.
برای تأیید این موضوع، باید نشان دهیم که معادله a x = b، که در آن a > 0، \(a \neq 1\)، هیچ ریشه ای ندارد اگر \(b \leq 0\)، و یک ریشه برای هر b > دارد. 0 .
3) تابع نمایی y \u003d a x در مجموعه همه اعداد حقیقی اگر a> 1 باشد افزایش می یابد و اگر 0 باشد کاهش می یابد.
ما نمودارهایی از توابع نمایی y \u003d a x برای a > 0 و برای 0 می سازیم با استفاده از ویژگی های در نظر گرفته شده، توجه می کنیم که نمودار تابع y \u003d a x برای a > 0 از نقطه (0؛ 1) عبور می کند و در آن قرار دارد. بالای محور Ox
اگر x 0 باشد.
اگر x > 0 و |x| افزایش می یابد، نمودار به سرعت افزایش می یابد.
نمودار تابع y \u003d a x در 0 اگر x\u003e 0 و افزایش یابد، نمودار به سرعت به محور Ox (بدون عبور از آن) نزدیک می شود. بنابراین، محور x مجانب افقی نمودار است.
اگر x
معادلات نمایی
چندین مثال از معادلات نمایی را در نظر بگیرید، به عنوان مثال. معادلاتی که در آنها مجهول در توان گنجانده شده است. حل معادلات نمایی اغلب به حل معادله a x = a b می رسد که در آن a > 0، \(a\neq 1\)، x مجهول است. این معادله با استفاده از ویژگی توان حل میشود: توانهای با پایه یکسان a > 0، \(a \neq 1\) برابر هستند اگر و فقط اگر توانهای آنها برابر باشند.
حل معادله 2 3x 3 x = 576
از آنجایی که 2 3x \u003d (2 3) x \u003d 8 x، 576 \u003d 24 2، معادله را می توان به شکل 8 x 3 x \u003d 24 2 یا به شکل 24 x \u003d 24 2 نوشت. جایی که x \u003d 2.
پاسخ x=2
معادله 3 x + 1 - 2 3 x - 2 = 25 را حل کنید
با براکت ضریب مشترک 3 x - 2 در سمت چپ، 3 x - 2 (3 3 - 2) \u003d 25، 3 x - 2 25 \u003d 25 دریافت می کنیم،
از این رو 3 x - 2 = 1، x - 2 = 0، x = 2
پاسخ x=2
معادله 3 x = 7 x را حل کنید
از آنجایی که \(7^x \neq 0 \) ، معادله را می توان به صورت \(\frac(3^x)(7^x) = 1 \) نوشت، از آنجایی \(\left(\frac(3)(7 ) \راست) ^x = 1 \)، x = 0
پاسخ x = 0
معادله 9 x - 4 3 x - 45 = 0 را حل کنید
با جایگزینی 3 x \u003d t، این معادله به یک معادله درجه دوم t 2 - 4t - 45 \u003d 0 کاهش می یابد. با حل این معادله، ریشه های آن را پیدا می کنیم: t 1 \u003d 9، t 2 \u003d -5، که از آن 3 x \u003d 9، 3 x \u003d -5.
معادله 3 x = 9 دارای ریشه x = 2 است و معادله 3 x = -5 ریشه ندارد، زیرا تابع نمایی نمی تواند مقادیر منفی بگیرد.
پاسخ x=2
حل معادله 3 2 x + 1 + 2 5 x - 2 = 5 x + 2 x - 2
معادله را به شکل می نویسیم
3 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 5 x - 2، از آنجا
2 x - 2 (3 2 3 - 1) = 5 x - 2 (5 2 - 2)
2 x - 2 23 = 5 x - 2 23
\(\left(\frac(2)(5) \راست) ^(x-2) = 1 \)
x - 2 = 0
پاسخ x=2
حل معادله 3 |x - 1| = 3 |x + 3|
از آنجایی که 3 > 0، \(3 \neq 1\)، معادله اصلی معادل معادله |x-1| = |x+3|
مربع کردن این معادله، نتیجه آن را به دست می آوریم (x - 1) 2 = (x + 3) 2، از این رو
x 2 - 2x + 1 = x 2 + 6x + 9، 8x = -8، x = -1
بررسی نشان می دهد که x = -1 ریشه معادله اصلی است.
پاسخ x = -1
ما به شما یک رایگان راحت ارائه می دهیم ماشین حساب آنلاین برای حل معادلات درجه دوم.با استفاده از مثالهای قابل فهم، میتوانید سریعاً نحوه حل آنها را دریافت و درک کنید.
برای تولید حل معادله درجه دوم به صورت آنلاینابتدا معادله را به شکل کلی در آورید:
ax2 + bx + c = 0
فیلدهای فرم را بر این اساس پر کنید:
چگونه یک معادله درجه دوم را حل کنیم
نحوه حل معادله درجه دوم: | انواع ریشه: |
1.
معادله درجه دوم را به شکل کلی در آورید: نمای کلی Axe 2 +Bx+C=0 مثال: 3x - 2x 2 +1=-1 کاهش به -2x 2 +3x+2=0 2.
ما تمایز D را پیدا می کنیم. 3.
ما ریشه های معادله را پیدا می کنیم. |
1.
ریشه های واقعی و. x1 برابر x2 نیست وضعیت زمانی به وجود می آید که D>0 و A برابر 0 نباشد. 2.
ریشه های واقعی یکسان است. x1 برابر است x2 3.
دو ریشه پیچیده x1=d+ei، x2=d-ei، که در آن i=-(1) 1/2 5.
معادله بی نهایت جواب دارد. 6.
معادله هیچ راه حلی ندارد. |
برای ادغام الگوریتم، در اینجا موارد دیگری وجود دارد مثال های گویا از راه حل های معادلات درجه دوم.
مثال 1. حل یک معادله درجه دوم معمولی با ریشه های واقعی متفاوت.
x 2 + 3x -10 = 0
در این معادله
A=1، B=3، C=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
جذر به عنوان عدد 1/2 نشان داده می شود!
x1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (-3 + 7) / 2 \u003d 2
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (-3-7) / 2 \u003d -5
برای بررسی، بیایید جایگزین کنیم:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x - 10 = x2 + 3x -10
مثال 2. حل یک معادله درجه دوم با همان ریشه های واقعی.
x 2 - 8x + 16 = 0
A=1، B=-8، C=16
D \u003d k 2 - AC \u003d 16 - 16 \u003d 0
X=-k/A=4
جایگزین
(x-4) * (x-4) \u003d (x-4) 2 \u003d x 2 - 8x + 16
مثال 3. حل یک معادله درجه دوم با ریشه های مختلط.
13x 2 - 4x + 1 = 0
A=1، B=-4، C=9
D \u003d b 2 - 4AC \u003d 16 - 4 * 13 * 1 \u003d 16 - 52 \u003d -36
تمایز منفی است - ریشه ها پیچیده هستند.
X1 \u003d (-B + D 1/2) / 2A \u003d (4 + 6i) / (2 * 13) \u003d 2/13 + 3i / 13
x2 \u003d (-B-D 1/2) / 2A \u003d (4-6i) / (2 * 13) \u003d 2 / 13-3i / 13
، جایی که من جذر -1 است
در اینجا تمام موارد ممکن برای حل معادلات درجه دوم وجود دارد.
ما امیدواریم که ما ماشین حساب آنلاینبرای شما بسیار مفید خواهد بود
اگر مطالب مفید بود، می توانید