سیستمی از m معادلات خطی حاوی n متغیر را در نظر بگیرید

(1)

این سیستم را می توان به طور خلاصه به صورت زیر نوشت:

یا به صورت ماتریسی: Ax = B.

در مسائل برنامه ریزی خطی، سیستم های نامشخص معادلات در نظر گرفته می شوند، به عنوان مثال. داشتن بی نهایت راه حل سپس رتبه r ماتریس سیستم

,
کمتر از تعداد متغیرها: rn. این بدان معنی است که حداکثر تعداد معادلات مستقل خطی در (1) برابر با r است. فرض می کنیم که در سیستم (1) تعداد معادلات مستقل خطی برابر m است، یعنی. r = m از جبر مشخص است که در این مورد m متغیرها، ضرایب وجود دارد که در سیستم (1) یک ماتریس با تعیین کننده غیر صفر تشکیل می دهند. به چنین تعیین کننده ای مینور اساسی و متغیرهای مربوطه را پایه می گویند. متغیرهای باقیمانده n – m متغیر آزاد نامیده می شوند. متغیرهای پایه را می توان از طریق متغیرهای آزاد با استفاده از معادلات سیستم (1) بیان کرد، مقادیر دلخواه را به متغیرهای آزاد اختصاص داد و مقادیر متغیرهای اساسی را با استفاده از فرمول های کرامر پیدا کرد. نتیجه یکی از راه حل های سیستم (1) است.

تعریف 1.راه حل سیستم معادلات خطی (1) که با مقادیر صفر متغیرهای آزاد به دست می آید، راه حل پایه نامیده می شود.

متغیرهای پایه و در نتیجه مولفه های غیر صفر راه حل پایه، با ستون های مستقل خطی ماتریس ضرایب سیستم معادلات خطی مطابقت دارند. این به ما اجازه می دهد تا تعریف متفاوتی از راه حل اصلی برای یک سیستم معادلات خطی ارائه دهیم.

تعریف 2.راه حل اصلی یک سیستم معادلات خطی، جوابی از این سیستم است که اجزای غیر صفر آن با ستون های مستقل خطی ماتریس ضرایب این سیستم مطابقت دارد.

متغیرهای پایه می توانند گروه های مختلف حاوی m متغیر از n متغیر مشخص شده در (1) باشند. حداکثر تعداد روش های ممکن برای انتخاب m متغیر از مجموعه ای حاوی n متغیر برابر با تعداد ترکیب ها است. . با این حال، ممکن است مواردی وجود داشته باشد که تعیین کننده متناظر یک ماتریس متشکل از ضرایب برای متغیرهای انتخابی m در سیستم (1) برابر با صفر باشد. بنابراین، تعداد گروه‌های متغیرهای پایه تجاوز نمی‌کند . برای هر گروه از متغیرهای اساسی، می توان راه حل اصلی مربوط به سیستم (1) را پیدا کرد. از استدلال فوق، قضیه به دست می آید:

قضیه. تعداد راه حل های اساسی یک سیستم نامعین (1) که در آن رتبه ماتریس سیستمr = متر < nتجاوز نمی کند .

مثال. تمام راه حل های اساسی سیستم معادلات (2) را بیابید:

(2)

راه حل. بدیهی است r=m=2، n=4. تعداد کل گروه های متغیرهای اساسی بیشتر از = 6. با این حال، ستون های اول، دوم و چهارم ضرایب متغیرهای ماتریس سیستم متناسب هستند، بنابراین تعیین کننده های مرتبه دوم، که از ضرایب هر دو از این سه ستون تشکیل شده اند، برابر با صفر هستند. ست های باقی مانده:
,
و
.

برای مجموعه ای از متغیرها
تعیین کننده متشکل از ضرایب آنها d = = -2 0. در نتیجه، این متغیرها را می توان متغیرهای اساسی در نظر گرفت،
- رایگان. بیایید مقادیر صفر را به متغیرهای آزاد اختصاص دهیم:
ما سیستم را حل می کنیم:

(3)
، جایی که
.

به طور کلی معادله خطی به شکل زیر است:

معادله یک راه حل دارد: اگر حداقل یکی از ضرایب مجهولات با صفر متفاوت باشد. در این حالت، هر بردار بعدی را در صورتی حل معادله می نامند که در هنگام جایگزینی مختصات آن، معادله به یک هویت تبدیل شود.

مشخصات کلی سیستم معادلات حل شده

مثال 20.1

سیستم معادلات را شرح دهید.

راه حل:

1. آیا معادله متناقضی دخیل است؟(اگر ضرایب باشد، در این حالت معادله به شکل: و فراخوانی می شود بحث برانگیز.)

• اگر سیستمی حاوی چیزی متناقض باشد، چنین سیستمی ناسازگار است و راه حلی ندارد.

2. همه متغیرهای مجاز را پیدا کنید. (مجهول نامیده می شودمجاز استبرای یک سیستم معادلات، اگر در یکی از معادلات سیستم با ضریب 1+ قرار گیرد، اما در معادلات باقی مانده نباشد (یعنی با ضریب صفر وارد شود).

3. آیا سیستم معادلات حل شده است؟ (سیستم معادلات حل شده نامیده می شود، اگر هر معادله سیستم حاوی یک مجهول حل شده باشد که در بین آنها هیچ مورد تصادفی وجود ندارد)

مجهولات حل شده که از هر معادله سیستم یک عدد گرفته شده است، تشکیل می شود مجموعه کامل مجهولات حل شدهسیستم های. (در مثال ما این است)

مجهولات مجاز موجود در مجموعه کامل نیز نامیده می شوند پایه ای() و در مجموعه گنجانده نشده است - رایگان ().

در حالت کلی، سیستم معادلات حل شده به شکل زیر است:

در این مرحله، نکته اصلی این است که بفهمیم چیست ناشناخته حل شد(شامل پایه و رایگان).

راه حل های عمومی خاص

راه حل کلییک سیستم معادلات حل شده مجموعه ای از عبارات مجهولات حل شده از طریق عبارت آزاد و مجهولات آزاد است:

تصمیم خصوصیراه حلی نامیده می شود که از یک راه حل کلی برای مقادیر خاص متغیرهای آزاد و مجهولات به دست می آید.

راه حل اساسیراه حل خاصی است که از یک کلی برای مقادیر صفر متغیرهای آزاد به دست می آید.

• راه حل اصلی (بردار) نامیده می شود منحط، اگر تعداد مختصات غیر صفر آن کمتر از مجهولات مجاز باشد.
• راه حل اساسی نامیده می شود غیر منحط، اگر تعداد مختصات غیر صفر آن با تعداد مجهولات مجاز سیستم موجود در مجموعه کامل برابر باشد.

قضیه (1)

سیستم معادلات حل شده همیشه سازگار است(چون حداقل یک راه حل دارد)؛ علاوه بر این، اگر سیستم مجهولات رایگان نداشته باشد،(یعنی در یک سیستم معادلات، همه موارد مجاز در مبنا قرار می گیرند) سپس تعریف می شود(راه حل منحصر به فردی دارد)؛ اگر حداقل یک متغیر آزاد وجود داشته باشد، سیستم تعریف نشده است(بی نهایت راه حل دارد).

مثال 1. جواب کلی، اساسی و هر خاص را برای سیستم معادلات بیابید:

راه حل:

1. آیا ما بررسی می کنیم که آیا سیستم مجاز است؟

• سیستم حل شده است (زیرا هر یک از معادلات شامل یک مجهول حل شده است)

2. مجهولات مجاز را در مجموعه قرار می دهیم - یکی از هر معادله.

3. بسته به مجهولات مجاز که در مجموعه گنجانده ایم، راه حل کلی را یادداشت می کنیم.

4. یافتن راه حل خصوصی. برای انجام این کار، متغیرهای رایگانی را که در مجموعه قرار نداده ایم با اعداد دلخواه برابر می کنیم.

پاسخ: راه حل خصوصی(یکی از گزینه ها)

5. یافتن راه حل اساسی. برای این کار، متغیرهای رایگانی را که در مجموعه قرار نداده ایم برابر با صفر می کنیم.

تبدیل های ابتدایی معادلات خطی

سیستم های معادلات خطی با استفاده از تبدیل های ابتدایی به سیستم های حل معادل کاهش می یابند.

قضیه (2)

در صورت وجود معادله سیستم را در عددی غیر صفر ضرب کنید، و بقیه معادلات را بدون تغییر رها کنید، سپس . (یعنی اگر سمت چپ و راست معادله را در یک عدد ضرب کنید، معادله ای معادل این معادله بدست می آید)

قضیه (3)

اگر معادله دیگری را به هر معادله ای از سیستم اضافه کنید، و سپس تمام معادلات دیگر را بدون تغییر رها کنید ما یک سیستم معادل این سیستم دریافت می کنیم. (یعنی اگر دو معادله را اضافه کنید (با اضافه کردن سمت چپ و راست آنها) معادله ای معادل داده به دست خواهید آورد)

نتیجه قضایای (2 و 3)

اگر معادله دیگری را به یک معادله ضرب در عدد معینی اضافه کنیدو تمام معادلات دیگر را بدون تغییر رها کنید، سپس سیستمی معادل این سیستم بدست می آوریم.

فرمول های محاسبه مجدد ضرایب سیستم

اگر ما یک سیستم معادلات داشته باشیم و بخواهیم آن را به یک سیستم معادلات حل شده تبدیل کنیم، روش جردن-گاوس در این امر به ما کمک می کند.

تبدیل اردنبا یک عنصر حل به شما امکان می دهد برای یک سیستم معادلات مجهول حل شده در معادله با عدد را بدست آورید. (مثال 2).

تبدیل اردن از دو نوع تبدیل اولیه تشکیل شده است:

فرض کنید می خواهیم مجهول موجود در معادله پایین را مجهول حل شده تبدیل کنیم. برای انجام این کار، باید تقسیم بر، به طوری که مجموع است.

مثال 2 بیایید ضرایب سیستم را دوباره محاسبه کنیم

هنگام تقسیم یک معادله با یک عدد بر ضرایب آن با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می شود:

برای حذف از معادله با عدد، باید معادله با عدد را در ضرب کنید و به این معادله اضافه کنید.

قضیه (4) در مورد کاهش تعداد معادلات سیستم.

اگر یک سیستم معادلات حاوی یک معادله بی اهمیت باشد، می توان آن را از سیستم حذف کرد و سیستمی معادل معادل اصلی به دست می آید.

قضیه (5) در مورد ناسازگاری سیستم معادلات.

اگر یک سیستم معادلات دارای یک معادله ناسازگار باشد، ناسازگار است.

الگوریتم روش جردن-گاوس

الگوریتم حل سیستم معادلات با استفاده از روش جردن-گاوس شامل تعدادی مرحله مشابه است که در هر یک از آنها اقدامات به ترتیب زیر انجام می شود:

1. بررسی می کند که آیا سیستم ناسازگار است. اگر یک سیستم دارای معادله ناسازگار باشد، ناسازگار است.
2. امکان کاهش تعداد معادلات بررسی می شود. اگر سیستم دارای یک معادله بی اهمیت باشد، خط زده می شود.
3. اگر سیستم معادلات حل شد، حل کلی سیستم و در صورت لزوم راه حل های خاص را یادداشت کنید.
4. اگر سیستم حل نشده باشد، در معادله ای که شامل مجهول حل شده نیست، یک عنصر تفکیک کننده انتخاب شده و تبدیل Jordan با این عنصر انجام می شود.
5. سپس به نقطه 1 برگردید

مثال 3 یک سیستم معادلات را با استفاده از روش جردن-گاوس حل کنید.

پیدا کردن: دو راه حل کلی و دو راه حل اساسی متناظر

راه حل:

محاسبات در جدول زیر نشان داده شده است:

در سمت راست جدول، اقدامات روی معادلات وجود دارد. فلش ها نشان می دهد که معادله با عنصر تفکیک کننده به کدام معادله اضافه شده است که در یک عامل مناسب ضرب می شود.

سه ردیف اول جدول شامل ضرایب مجهولات و سمت راست سیستم اصلی است. نتایج اولین تبدیل جردن با عنصر تفکیک کننده برابر با یک در خطوط 4، 5، 6 آورده شده است. نتایج تبدیل دوم جردن با عنصر تفکیک کننده برابر با (1) در خطوط 7، 8، 9 آورده شده است. از آنجایی که معادله سوم بی اهمیت است، می توان آن را در نظر گرفت.

این ماشین حساب آنلاین راه حل کلی یک سیستم معادلات خطی را با استفاده از روش جردن-گاوس پیدا می کند. راه حل مفصل داده شده است. برای محاسبه، تعداد معادلات و تعداد متغیرها را انتخاب کنید. سپس داده ها را وارد سلول ها کرده و بر روی دکمه "محاسبه" کلیک کنید.

بخش نظری یافتن راه حل برای یک سیستم معادلات خطی با استفاده از روش جردن-گاوس را در زیر ببینید.

x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 x 1 +x 2 +x 3 = = =

نمایش شماره:

اعداد کامل و/یا کسرهای مشترک
اعداد کامل و/یا اعشار

تعداد مکان ها بعد از جداکننده اعشاری

×

هشدار

تمام سلول ها پاک شود؟

Clear را ببندید

دستورالعمل ورود داده هااعداد به صورت اعداد صحیح (مثلاً: 487، 5، -7623، و غیره)، اعشاری (مثلاً 67.، 102.54، و غیره) یا کسری وارد می شوند. کسر باید به شکل a/b وارد شود که a و b (b>0) اعداد صحیح یا اعشاری هستند. مثال‌های 45/5، 6.6/76.4، -7/6.7، و غیره.

روش جردن-گاوس

روش جردن-گاوس روشی برای حل سیستم معادلات خطی و همچنین روشی برای یافتن ماتریس معکوس است. این روش اصلاح روش گاوس است.

مرحله اول روش جردن-گاوس مشابه روش گاوس (حرکت مستقیم گاوس) است که در صفحه «روش گاوس آنلاین» به تفصیل قابل مشاهده است. مرحله دوم (معکوس) روش جردن-گاوس شامل صفر کردن تمام عناصر ماتریس ضرایب سیستم معادلات خطی بالای عناصر پیشرو است. توجه داشته باشید که در اینجا ما یک سیستم دلخواه از معادلات خطی را در نظر می گیریم که ممکن است تعداد متغیرها با تعداد محدودیت ها برابر نباشد.

سیستم معادلات خطی زیر را در نظر بگیرید:

(1)

اجازه دهید سیستم (1) را به صورت ماتریسی بنویسیم:

تبر = ب

(2)

(3)

آ- به نام ماتریس ضرایب سیستم، ب- سمت راست محدودیت ها، ایکس- بردار متغیرهایی که باید پیدا شوند. بگذارید رتبه ( آ)=پ.

بیایید یک ماتریس توسعه یافته از سیستم بسازیم:

اگر،...، برابر با صفر باشد، سیستم معادلات خطی راه حل دارد، اما اگر حداقل یکی از این اعداد با صفر متفاوت باشد، سیستم ناسازگار است. به عبارت دیگر، سیستم (2) اگر و تنها در صورتی سازگار است که رتبه ماتریس باشد آبرابر با رتبه ماتریس توسعه یافته ( الف|ب).

اجازه دهید . سپس به ترتیب معکوس، با شروع از عنصر پیشرو، حرکت گاوسی معکوس را اعمال می کنیم. ماهیت حرکت معکوس تنظیم مجدد تمام عناصر ماتریس توسعه یافته است که بالاتر از عناصر پیشرو هستند.

بنابراین، بیایید تمام عناصر موجود در ستون را بازنشانی کنیم پ، بالای عنصر. از آنجایی که ≠0، خطوط 1،2،... را اضافه می کنیم. p− 1 با خط پ، ضربدر به ترتیب.

ماتریس توسعه یافته به شکل زیر خواهد بود:

هر ردیف را بر عنصر اصلی مربوطه تقسیم کنید (در صورت وجود عنصر اصلی):

سپس راه حل را می توان به صورت زیر نوشت:

نوع ضبط ماتریسی: تبر = ب، جایی که

اجازه دهید با نشان دادن یک ijعناصر من-خط و jستون هفتم

مرحله اول. حرکت گاوسی رو به جلو

آیازده . برای انجام این کار، خطوط 2،3 را با خط 1، به ترتیب در 1/2،-3/2 ضرب کنید:

بیایید عناصر ستون 3 ماتریس بالای عنصر را حذف کنیم آ 33. برای انجام این کار، خطوط 1، 2 را با خط 3، به ترتیب در -3/2، -5/4 ضرب کنید:

ما هر ردیف از ماتریس را بر عنصر اصلی مربوطه تقسیم می کنیم (در صورت وجود عنصر اصلی):

نوع ضبط ماتریسی: تبر = ب، جایی که

اجازه دهید با نشان دادن یک ijعناصر من-خط و jستون هفتم

مرحله اول. حرکت مستقیم گاوس

بیایید عناصر ستون 1 ماتریس زیر عنصر را حذف کنیم آیازده . برای انجام این کار، خطوط 2،3 را با خط 1، به ترتیب در 4/3، 5/3 ضرب کنید:

فاز دوم. وارونگی گاوسی

بیایید عناصر ستون 2 ماتریس بالای عنصر را حذف کنیم آ 22. برای انجام این کار، خط 1 را با خط 2 ضرب در -3/10 اضافه کنید:

بیایید متغیرها را بیان کنیم ایکس 1 , ایکس 2 نسبت به سایر متغیرها.

سپس راه حل برداری را می توان به صورت زیر نشان داد:

,

ایکس 3 یک عدد واقعی دلخواه است.

§1. سیستم های معادلات خطی.

مشاهده سیستم

سیستم نامیده می شود مترمعادلات خطی با nناشناخته.

اینجا
- ناشناخته، - ضرایب برای مجهولات،
- شرایط آزاد معادلات.

اگر تمام عبارات آزاد معادلات برابر با صفر باشند، سیستم نامیده می شود همگن.با تصمیمسیستم مجموعه ای از اعداد نامیده می شود
، هنگام جایگزینی آنها در سیستم به جای مجهولات، همه معادلات به هویت تبدیل می شوند. سیستم نامیده می شود مفصل، اگر حداقل یک راه حل داشته باشد. سیستم سازگاری که راه حل منحصر به فردی دارد نامیده می شود مسلم - قطعی. این دو سیستم نامیده می شوند معادل، اگر مجموعه راه حل های آنها منطبق باشد.

سیستم (1) را می توان به صورت ماتریسی با استفاده از معادله نشان داد

(2)

.

§2. سازگاری سیستم های معادلات خطی.

اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم (1) را ماتریس بنامیم

قضیه کرونکر-کاپلی. سیستم (1) اگر و تنها در صورتی سازگار است که رتبه ماتریس سیستم با رتبه ماتریس توسعه یافته برابر باشد:

.

§3. راه حل سیستمیn معادلات خطی باn ناشناخته.

یک سیستم ناهمگن را در نظر بگیرید nمعادلات خطی با nناشناخته:

(3)

قضیه کرامر.اگر تعیین کننده اصلی سیستم (3)
، سپس سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد که با فرمول های زیر تعیین می شود:

آن ها
,

جایی که - تعیین کننده حاصل از تعیین کننده جایگزینی ستون هفتم به ستون اعضای آزاد.

اگر
، و حداقل یکی از ≠0، پس سیستم هیچ راه حلی ندارد.

اگر
، پس سیستم بی نهایت راه حل دارد.

سیستم (3) را می توان با استفاده از فرم ماتریس آن (2) حل کرد. اگر رتبه ماتریس آبرابر است n، یعنی
، سپس ماتریس آمعکوس دارد
. ضرب معادله ماتریس
به ماتریس
در سمت چپ، دریافت می کنیم:

.

آخرین برابری روش حل سیستم معادلات خطی را با استفاده از یک ماتریس معکوس بیان می کند.

مثال.یک سیستم معادلات را با استفاده از ماتریس معکوس حل کنید.

راه حل. ماتریس
غیر منحط، از آنجا که
، یعنی یک ماتریس معکوس وجود دارد. بیایید ماتریس معکوس را محاسبه کنیم:
.

,

ورزش. سیستم را با استفاده از روش کرامر حل کنید.

§4. حل سیستم های دلخواه معادلات خطی.

اجازه دهید یک سیستم غیر همگن از معادلات خطی به شکل (1) داده شود.

اجازه دهید فرض کنیم که سیستم سازگار است، یعنی. شرط قضیه کرونکر-کاپلی برآورده می شود:
. اگر رتبه ماتریس
(تعداد مجهولات)، سپس سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد. اگر
، پس سیستم بی نهایت راه حل دارد. بگذار توضیح بدهم.

اجازه دهید رتبه ماتریس r(آ)= r< n. از آنجا که
، سپس مقداری ترتیب جزئی غیر صفر وجود دارد r. بیایید آن را مینور اساسی بنامیم. مجهولاتی که ضرایب آنها مبنای فرعی را تشکیل می دهند، متغیرهای پایه نامیده می شوند. مجهول های باقی مانده را متغیرهای آزاد می نامیم. بیایید معادلات را مجدداً مرتب کنیم و متغیرها را مجدداً شماره گذاری کنیم تا این مینور در گوشه سمت چپ بالای ماتریس سیستم قرار گیرد:

.

اولین rخطوط به صورت خطی مستقل هستند، بقیه از طریق آنها بیان می شود. بنابراین، این خطوط (معادلات) را می توان کنار گذاشت. ما گرفتیم:

بیایید به متغیرهای آزاد مقادیر عددی دلخواه بدهیم: . بگذارید فقط متغیرهای اصلی را در سمت چپ بگذاریم و متغیرهای آزاد را به سمت راست منتقل کنیم.

سیستم را گرفت rمعادلات خطی با rمجهول، که تعیین کننده آن با 0 متفاوت است. راه حل منحصر به فردی دارد.

این سیستم را حل کلی سیستم معادلات خطی (1) می نامند. در غیر این صورت: بیان متغیرهای پایه از طریق متغیرهای آزاد نامیده می شود تصمیم کلیسیستم های. از آن شما می توانید تعداد نامتناهی دریافت کنید راه حل های خصوصی، به متغیرهای رایگان مقادیر دلخواه می دهد. راه حل خاصی که از یک کلی برای مقادیر صفر متغیرهای آزاد به دست می آید نامیده می شود راه حل اساسی. تعداد راه حل های اساسی مختلف تجاوز نمی کند
. راه حل اساسی با اجزای غیر منفی نامیده می شود حمایت می کندراه حل سیستم

مثال.

,r=2.

متغیرها
- پایه ای،
- رایگان.

بیایید معادلات را جمع کنیم. بیان کنیم
از طریق
:

- تصمیم مشترک

- راه حل خصوصی برای
.

- راه حل اساسی، مرجع.

§5. روش گاوس

روش گاوس یک روش جهانی برای مطالعه و حل سیستم های دلخواه معادلات خطی است. این شامل کاهش سیستم به شکل مورب (یا مثلثی) با حذف متوالی مجهولات با استفاده از تبدیل‌های ابتدایی است که هم ارزی سیستم‌ها را نقض نمی‌کنند. یک متغیر اگر فقط در یک معادله از سیستم با ضریب 1 موجود باشد مستثنی شده در نظر گرفته می شود.

تحولات ابتداییسیستم ها عبارتند از:

ضرب یک معادله در عددی غیر از صفر؛

اضافه کردن یک معادله ضرب در هر عدد با یک معادله دیگر.

تنظیم مجدد معادلات؛

رد معادله 0 = 0.

تبدیل های اولیه را می توان نه بر روی معادلات، بلکه بر روی ماتریس های توسعه یافته سیستم های معادل حاصل انجام داد.

مثال.

راه حل.اجازه دهید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم:

.

با انجام تبدیل‌های ابتدایی، سمت چپ ماتریس را به شکل واحد کاهش می‌دهیم: یک‌هایی را در مورب اصلی و صفرها را در خارج از آن ایجاد می‌کنیم.

اظهار نظر. اگر هنگام انجام تبدیل های ابتدایی، معادله ای به شکل 0 به دست آید = k(جایی که به0), پس سیستم ناسازگار است.

حل سیستم معادلات خطی با روش حذف متوالی مجهولات را می توان به صورت نوشتاری جداول.

ستون سمت چپ جدول حاوی اطلاعاتی در مورد متغیرهای حذف شده (پایه) است. ستون های باقی مانده شامل ضرایب مجهولات و عبارت های آزاد معادلات هستند.

ماتریس توسعه یافته سیستم در جدول منبع ثبت می شود. در مرحله بعد، ما شروع به انجام تبدیل های جردن می کنیم:

1. یک متغیر را انتخاب کنید ، که پایه و اساس خواهد شد. ستون مربوطه را ستون کلید می نامند. معادله ای را انتخاب کنید که این متغیر در آن باقی بماند و از معادلات دیگر حذف شود. ردیف جدول مربوطه را یک ردیف کلید می نامند. ضریب ، که در محل تقاطع یک ردیف کلید و یک ستون کلید قرار می گیرد، کلید نامیده می شود.

2. عناصر رشته کلیدی به عنصر کلیدی تقسیم می شوند.

3. ستون کلید با صفر پر شده است.

4. عناصر باقیمانده با استفاده از قانون مستطیل محاسبه می شوند. یک مستطیل بسازید که در رئوس مخالف آن یک عنصر کلیدی و یک عنصر محاسبه شده مجدد وجود دارد. از حاصل ضرب عناصر واقع در مورب مستطیل با عنصر کلید، حاصلضرب عناصر مورب دیگر کم می شود و اختلاف حاصل بر عنصر کلید تقسیم می شود.

مثال. جواب کلی و حل اساسی سیستم معادلات را بیابید:

راه حل.

راه حل کلی سیستم:

راه حل اساسی:
.

یک تبدیل جایگزینی تک به شما امکان می دهد از یک پایه سیستم به پایه دیگر حرکت کنید: به جای یکی از متغیرهای اصلی، یکی از متغیرهای آزاد به پایه معرفی می شود. برای این کار یک عنصر کلیدی را در ستون متغیر آزاد انتخاب کنید و طبق الگوریتم بالا تبدیل ها را انجام دهید.

§6. یافتن راه حل های پشتیبانی

راه حل مرجع یک سیستم معادلات خطی یک راه حل اساسی است که شامل اجزای منفی نیست.

راه حل های مرجع سیستم با روش گاوسی زمانی پیدا می شوند که شرایط زیر برآورده شوند.

1. در سیستم اصلی، تمام عبارات رایگان باید غیر منفی باشند:
.

2. عنصر کلیدی از بین ضرایب مثبت انتخاب می شود.

3. اگر یک متغیر وارد شده به مبنا دارای چندین ضریب مثبت باشد، خط کلیدی است که در آن نسبت جمله آزاد به ضریب مثبت کوچکترین است.

یادداشت 1. اگر در فرآیند حذف مجهولات، معادله ای ظاهر شود که در آن همه ضرایب غیر مثبت و عبارت آزاد هستند.
، پس سیستم هیچ راه حل غیر منفی ندارد.

تبصره 2. اگر یک عنصر مثبت واحد در ستون های ضرایب برای متغیرهای آزاد وجود نداشته باشد، انتقال به راه حل مرجع دیگری غیرممکن است.

مثال.

مثال 1. یک راه حل کلی و چند راه حل خاص سیستم را پیدا کنید

راه حلما این کار را با استفاده از ماشین حساب انجام می دهیم. بیایید ماتریس های توسعه یافته و اصلی را بنویسیم:

ماتریس اصلی A با یک خط نقطه از هم جدا می شود.ما سیستم های مجهول را در بالا می نویسیم، با در نظر گرفتن بازآرایی احتمالی عبارت ها در معادلات سیستم. با تعیین رتبه ماتریس توسعه یافته، به طور همزمان رتبه اصلی را پیدا می کنیم. در ماتریس B، ستون اول و دوم متناسب هستند. از بین دو ستون متناسب، تنها یکی می‌تواند به مینور اصلی بیفتد، بنابراین، برای مثال، بیایید ستون اول را فراتر از خط نقطه چین با علامت مخالف حرکت دهیم. برای سیستم، این به معنای انتقال عبارت از x 1 به سمت راست معادلات است.

بیایید ماتریس را به شکل مثلثی کاهش دهیم. ما فقط با سطرها کار خواهیم کرد، زیرا ضرب یک ردیف ماتریس در عددی غیر از صفر و اضافه کردن آن به سطر دیگری برای سیستم به معنای ضرب معادله در همان عدد و اضافه کردن آن با معادله دیگری است که جواب سوال را تغییر نمی دهد. سیستم. ما با ردیف اول کار می کنیم: ردیف اول ماتریس را در (-3) ضرب می کنیم و به ترتیب به ردیف های دوم و سوم اضافه می کنیم. سپس خط اول را در (2-) ضرب کرده و به خط چهارم اضافه کنید.

خطوط دوم و سوم متناسب هستند، بنابراین می توان یکی از آنها، به عنوان مثال، خط دوم را خط زد. این معادل خط زدن معادله دوم سیستم است، زیرا نتیجه معادله سوم است.

اکنون با خط دوم کار می کنیم: آن را در (-1) ضرب کرده و به خط سوم اضافه می کنیم.

مینور نقطه‌دار بالاترین مرتبه (از مینورهای ممکن) را دارد و غیر صفر است (برابر حاصلضرب عناصر روی قطر اصلی است) و این مینور هم به ماتریس اصلی و هم به ماتریس توسعه‌یافته تعلق دارد، بنابراین رنگ A است. = RangB = 3.
جزئی اساسی است. شامل ضرایبی برای مجهولات x 2 , x 3 , x 4 , به این معنی است که مجهولات x 2 , x 3 , x 4 وابسته هستند و x 1 , x 5 آزاد هستند.
بیایید ماتریس را تبدیل کنیم، و فقط مبنای جزئی را در سمت چپ (که مطابق با نقطه 4 الگوریتم حل بالا است) باقی می‌گذاریم.

سیستم با ضرایب این ماتریس معادل سیستم اصلی و دارای فرم است

با استفاده از روش حذف مجهولات متوجه می شویم:
, ,

ما روابطی را به دست آوردیم که متغیرهای وابسته x 2، x 3، x 4 را از طریق متغیرهای آزاد x 1 و x 5 بیان می کند، یعنی یک راه حل کلی پیدا کردیم:

با تخصیص هر مقدار به مجهولات رایگان، هر تعداد راه حل خاص را به دست می آوریم. بیایید دو راه حل خاص پیدا کنیم:
1) اجازه دهید x 1 = x 5 = 0، سپس x 2 = 1، x 3 = -3، x 4 = 3.
2) x 1 = 1، x 5 = -1، سپس x 2 = 4، x 3 = -7، x 4 = 7 قرار دهید.
بنابراین، دو راه حل پیدا شد: (0،1،-3،3،0) - یک راه حل، (1،4،-7،7،-1) - راه حل دیگر.

مثال 2. سازگاری را بررسی کنید، یک راه حل کلی و یک راه حل خاص برای سیستم پیدا کنید

راه حل. بیایید معادلات اول و دوم را دوباره مرتب کنیم تا در معادله اول یکی داشته باشیم و ماتریس B را بنویسیم.

در ستون چهارم با عمل کردن با سطر اول، صفر می گیریم:

حالا با استفاده از خط دوم، صفرهای ستون سوم را بدست می آوریم:

خطوط سوم و چهارم متناسب هستند، بنابراین می توان یکی از آنها را بدون تغییر رتبه خط زد:
خط سوم را در (-2) ضرب کرده و به خط چهارم اضافه کنید:

می بینیم که رتبه های ماتریس های اصلی و توسعه یافته برابر با 4 است و رتبه با تعداد مجهول ها منطبق است، بنابراین، سیستم یک راه حل منحصر به فرد دارد:
;
x 4 = 10- 3x 1 – 3x 2 – 2x 3 = 11.

مثال 3. سیستم را از نظر سازگاری بررسی کنید و در صورت وجود راه حل پیدا کنید.

راه حل. ما یک ماتریس توسعه یافته از سیستم را می سازیم.

دو معادله اول را طوری مرتب می کنیم که در گوشه سمت چپ بالا عدد 1 باشد:
سطر اول را در (-1) ضرب کنید و آن را به خط سوم اضافه کنید:

خط دوم را در (2-) ضرب کرده و به خط سوم اضافه کنید:

این سیستم ناسازگار است، زیرا در ماتریس اصلی یک ردیف متشکل از صفر دریافت کردیم که با یافتن رتبه خط زده می شود، اما در ماتریس توسعه یافته آخرین ردیف باقی می ماند، یعنی r B > r A.

ورزش. این سیستم معادلات را برای سازگاری بررسی کنید و آن را با استفاده از حساب ماتریسی حل کنید.
راه حل

مثال. سازگاری سیستم معادلات خطی را ثابت کنید و آن را به دو روش حل کنید: 1) با روش گاوس. 2) روش کرامر. (پاسخ را به شکل x1,x2,x3 وارد کنید)
راه حل:doc:doc:xls
پاسخ: 2,-1,3.

مثال. یک سیستم معادلات خطی داده شده است. سازگاری آن را ثابت کنید. یک راه حل کلی سیستم و یک راه حل خاص پیدا کنید.
راه حل
پاسخ: x 3 = - 1 + x 4 + x 5 ; x 2 = 1 - x 4 ; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

ورزش. راه حل های کلی و خاص هر سیستم را بیابید.
راه حل.ما این سیستم را با استفاده از قضیه کرونکر-کاپلی مطالعه می کنیم.
بیایید ماتریس های توسعه یافته و اصلی را بنویسیم:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

در اینجا ماتریس A به صورت پررنگ برجسته شده است.
بیایید ماتریس را به شکل مثلثی کاهش دهیم. ما فقط با سطرها کار خواهیم کرد، زیرا ضرب یک ردیف ماتریس در عددی غیر از صفر و اضافه کردن آن به سطر دیگری برای سیستم به معنای ضرب معادله در همان عدد و اضافه کردن آن با معادله دیگری است که جواب سوال را تغییر نمی دهد. سیستم.
بیایید خط اول را در (3) ضرب کنیم. خط دوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

بیایید خط دوم را در (2) ضرب کنیم. خط سوم را در (3-) ضرب کنید. بیایید خط 3 را به خط 2 اضافه کنیم:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

خط دوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

مینور انتخابی بالاترین مرتبه (از مینورهای ممکن) را دارد و غیر صفر است (برابر حاصلضرب عناصر در مورب معکوس است) و این مینور هم به ماتریس اصلی و هم به ماتریس توسعه یافته تعلق دارد، بنابراین زنگ ( A) = Rang(B) = 3 از آنجایی که رتبه ماتریس اصلی برابر است با رتبه ماتریس توسعه یافته، پس سیستم مشارکتی است.
این مینور پایه است. این شامل ضرایبی برای مجهولات x 1 , x 2 , x 3 می باشد که به این معنی است که مجهولات x 1 , x 2 , x 3 وابسته (اساسی) و x 4 , x 5 آزاد هستند.
بیایید ماتریس را تبدیل کنیم و فقط پایه را در سمت چپ مینور می‌گذاریم.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x 1	x 2	x 3		x 4	x 5

سیستم با ضرایب این ماتریس معادل سیستم اصلی است و به شکل زیر است:
27x3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4 - 6x 5
2x 1 + 3x 2 - 3x 3 = 1 - 3x 4 + 2x 5
با استفاده از روش حذف مجهولات متوجه می شویم:
روابطی به دست آوردیم که متغیرهای وابسته x 1 , x 2 , x 3 را از طریق متغیرهای آزاد x 4 , x 5 بیان می کند، یعنی یافتیم تصمیم مشترک:
x 3 = 0
x 2 = 1 - 3x 4 + 6x 5
x 1 = - 1 + 3x 4 - 8x 5
نا معلوم، زیرا بیش از یک راه حل دارد

ورزش. سیستم معادلات را حل کنید.
پاسخ:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
با تخصیص هر مقدار به مجهولات رایگان، هر تعداد راه حل خاص را به دست می آوریم. سیستم است نا معلوم