استفاده از معادلات در زندگی ما بسیار رایج است. آنها در بسیاری از محاسبات، ساخت سازه ها و حتی ورزش استفاده می شوند. معادلات از زمان های قدیم توسط انسان استفاده می شده است و از آن زمان استفاده از آنها فقط افزایش یافته است. در ریاضیات، معادلات درجات بالاتر با ضرایب اعداد صحیح بسیار رایج است. برای حل این نوع معادله، شما نیاز دارید:

ریشه های منطقی معادله را تعیین کنید.

چند جمله ای را که در سمت چپ معادله قرار دارد، فاکتور بگیرید.

ریشه های معادله را پیدا کنید.

فرض کنید یک معادله به ما داده شده است نوع زیر:

بیایید همه ریشه های واقعی آن را پیدا کنیم. دو طرف چپ و راست معادله را در \ ضرب کنید

بیایید متغیرها را تغییر دهیم \

بنابراین، معادله کاهش یافته درجه چهارم را به دست آورده ایم که طبق الگوریتم استاندارد حل می شود: مقسوم علیه ها را بررسی می کنیم، تقسیم را انجام می دهیم و در نتیجه متوجه می شویم که معادله دارای دو ریشه واقعی \ و دو مختلط است. آنهایی که به معادله درجه چهارم خود پاسخ زیر را می گیریم:

کجا می توانم معادله قدرت های بالاتر را به صورت آنلاین با حل کننده حل کنم؟

می توانید معادله را در وب سایت ما https: // سایت حل کنید. حل کننده آنلاین رایگان به شما امکان می دهد معادله آنلاین با هر پیچیدگی را در چند ثانیه حل کنید. تنها کاری که باید انجام دهید این است که داده های خود را در حل کننده وارد کنید. همچنین می توانید آموزش تصویری را مشاهده کنید و نحوه حل معادله را در وب سایت ما بیاموزید. و اگر سؤالی دارید، می توانید آنها را در گروه Vkontakte ما بپرسید http://vk.com/pocketteacher. به گروه ما بپیوندید، ما همیشه خوشحالیم که به شما کمک می کنیم.

روش های حل معادلات: n n n جایگزینی معادله h(f(x)) = h(g(x)) با معادله f(x) = g(x) فاکتورسازی. معرفی یک متغیر جدید روش عملکردی - گرافیکی. انتخاب ریشه استفاده از فرمول های Vieta.

جایگزینی معادله h(f(x)) = h(g(x)) با معادله f(x) = g(x). این روش فقط زمانی قابل اعمال است که y = h(x) یک تابع یکنواخت است که هر یک از مقادیر آن را یک بار می گیرد. اگر عملکرد غیر یکنواخت باشد، از دست دادن ریشه ها امکان پذیر است.

معادله (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ y = x ²³ تابع افزایشی را حل کنید، بنابراین از معادله (3 x + 2)²³ = (5 x - 9)²³ می توانید به معادله بروید. 3 x + 2 \u003d 5 x - 9، از آنجا x \u003d 5.5 را پیدا می کنیم. پاسخ: 5.5.

فاکتورسازی معادله f(x)g(x)h(x) = 0 را می توان با مجموعه معادلات f(x) = 0 جایگزین کرد. g(x) = 0; h(x) = 0. پس از حل معادلات این مجموعه، باید آن ریشه هایی را که متعلق به حوزه تعریف معادله اصلی هستند، بگیرید و بقیه را به عنوان غیرمجاز کنار بگذارید.

معادله x³ - 7 x + 6 = 0 را حل کنید که عبارت 7 x را به صورت x + 6 x نشان می دهد، به ترتیب به دست می آوریم: x³ - x - 6 x + 6 = 0 x(x² - 1) - 6 (x - 1) = 0 x (x - 1) (x + 1) - 6 (x - 1) = 0 (x - 1) (x² + x - 6) = 0 اکنون مسئله به حل مجموعه ای از معادلات کاهش می یابد x - 1 = 0; x² + x - 6 = 0. پاسخ: 1، 2، - 3.

معرفی یک متغیر جدید اگر می توان معادله y(x) = 0 را به شکل p(g(x)) = 0 تبدیل کرد، باید یک متغیر جدید u = g(x) معرفی کنید، معادله p(u) = 0 را حل کنید. و سپس مجموعه معادلات را حل کنید g( x) = u 1; g(x) = u2; … g(x) = un، که در آن u 1، u 2، ...، un ریشه های معادله p(u) = 0 هستند.

حل معادله یکی از ویژگی های این معادله برابری ضرایب سمت چپ آن است که از انتهای آن به یک اندازه فاصله دارد. چنین معادلاتی را متقابل می نامند. از آنجایی که 0 ریشه این معادله نیست، تقسیم بر x2 به دست می آید

بیایید یک متغیر جدید معرفی کنیم سپس یک معادله درجه دوم بدست می آوریم بنابراین ریشه y 1 = - 1 را می توان نادیده گرفت. به جواب می رسیم: 2، 0، 5.

معادله 6 (x² - 4)² + 5 (x² - 4) (x² - 7 x +12) + (x² - 7 x + 12)² = 0 این معادله را می توان به صورت همگن حل کرد. دو طرف معادله را بر (x² - 7 x +12)² تقسیم کنید (مشخص است که مقادیر x به گونه‌ای که x² - 7 x +12=0 راه‌حل نیستند). حالا بیایید پاسخ We Have From Here را مشخص کنیم:

روش عملکردی - گرافیکی. اگر یکی از توابع y \u003d f (x) ، y \u003d g (x) افزایش یابد و دیگری کاهش یابد ، معادله f (x) \u003d g (x) یا ریشه ندارد یا یک ریشه دارد.

حل معادله کاملاً واضح است که x = 2 ریشه معادله است. اجازه دهید ثابت کنیم که این تنها ریشه است. معادله را به شکل تبدیل می کنیم. متوجه می شویم که تابع در حال افزایش است و تابع در حال کاهش است. بنابراین معادله فقط یک ریشه دارد. جواب: 2.

انتخاب ریشه ها n n n قضیه 1: اگر یک عدد صحیح m ریشه یک چند جمله ای با ضرایب صحیح باشد، آنگاه جمله ثابت چند جمله ای بر m بخش پذیر است. قضیه 2: چند جمله ای کاهش یافته با ضرایب صحیح هیچ ریشه کسری ندارد. قضیه 3: – معادله با ضرایب اجازه دهید عدد صحیح. اگر عدد و کسری که در آن p و q اعداد صحیح هستند تقلیل ناپذیر باشد، ریشه معادله است، پس p مقسوم علیه جمله آزاد an و q مقسوم علیه ضریب بالاترین جمله a 0 است.

قضیه بزوت. باقیمانده هنگام تقسیم هر چند جمله ای بر یک دو جمله ای (x - a) برابر است با مقدار چند جمله ای قابل تقسیم در x = a. پیامدهای قضیه بزوت n n n n اختلاف توانهای یکسان دو عدد بدون باقیمانده بر اختلاف اعداد یکسان بخش پذیر است. تفاوت توان زوج های یکسان دو عدد، هم بر تفاضل این اعداد و هم بر مجموع آنها، بدون باقیمانده بخش پذیر است. تفاوت قدرت های فرد یکسان دو عدد بر مجموع این اعداد بخش پذیر نیست. مجموع توانهای مساوی دو غیرعدد بر اختلاف این اعداد بخش پذیر است. مجموع توانهای فرد یکسان دو عدد بدون باقیمانده بر مجموع این اعداد بخش پذیر است. مجموع توانهای زوج یکسان دو عدد نه بر اختلاف این اعداد و نه بر مجموع آنها قابل بخش نیست. چند جمله ای بر دو جمله ای (x - a) بخش پذیر است اگر و فقط اگر عدد a ریشه این چند جمله ای باشد. تعداد ریشه های متمایز یک چند جمله ای غیر صفر بیشتر از درجه آن نیست.

معادله x³ - 5 x² - x + 21 = 0 را حل کنید چند جمله ای x³ - 5 x² - x + 21 دارای ضرایب صحیح است. با قضیه 1، ریشه های عدد صحیح آن، در صورت وجود، جزو مقسوم علیه های عبارت آزاد هستند: ± 1، 3 ±، 7 ±، 21 ±. با بررسی، مطمئن می شویم که عدد 3 یک ریشه است. با نتیجه قضیه بزوت، چند جمله ای بر (x – 3) بخش پذیر است. بنابراین، x³ - 5 x² - x + 21 \u003d (x - 3) (x² - 2 x - 7). پاسخ:

حل معادله 2 x³ - 5 x² - x + 1 = 0 طبق قضیه 1، فقط اعداد ± 1 می توانند ریشه صحیح معادله باشند، بررسی نشان می دهد که این اعداد ریشه نیستند. از آنجایی که معادله کاهش نمی یابد، می تواند ریشه های گویا کسری داشته باشد. بیایید آنها را پیدا کنیم. برای انجام این کار، هر دو طرف معادله را در 4 ضرب کنید: 8 x³ - 20 x² - 4 x + 4 = 0 با جایگزینی 2 x = t، t³ - 5 t² - 2 t + 4 = 0 به دست می آوریم. توسط Terem 2، تمام ریشه های منطقی این معادله کاهش یافته باید کل باشند. آنها را می توان در میان مقسوم علیه های جمله ثابت یافت: ± 1، ± 2، ± 4. در این مورد، t = - 1 مناسب است. بنابراین، چند جمله ای 2 x³ - 5 x² - x + 1 بر (x) بخش پذیر است. + 0, 5 ): 2 x³ - 5 x² - x + 1 \u003d (x + 0, 5) (2 x² - 6 x + 2) حل معادله درجه دوم 2 x² - 6 x + 2 \u003d 0، پیدا می کنیم ریشه های باقی مانده: پاسخ:

معادله 6 x³ + x² - 11 x - 6 = 0 را حل کنید طبق قضیه 3، ریشه های گویا این معادله را باید در بین اعداد جست و جو کرد که با جایگزینی یکی یکی در معادله متوجه می شویم که معادله را برآورده می کنند. آنها تمام ریشه های معادله را خسته می کنند. پاسخ:

مجموع مجذورات ریشه های معادله x³ + 3 x² - 7 x +1 = 0 را با قضیه Vieta توجه داشته باشید که از کجا

روش حل هر یک از این معادلات را مشخص کنید. معادلات 1، 4، 15، 17 را حل کنید.

پاسخ ها و دستورالعمل ها: 1. معرفی یک متغیر جدید. 2. روش عملکردی - گرافیکی. 3. جایگزینی معادله h(f(x)) = h(g(x)) با معادله f(x) = g(x). 4. فاکتورسازی. 5. انتخاب ریشه. 6 روش کارکردی - گرافیکی. 7. کاربرد فرمول های Vieta. 8. انتخاب ریشه. 9. جایگزینی معادله h(f(x)) = h(g(x)) با معادله f(x) = g(x). 10. معرفی یک متغیر جدید. 11. فاکتورسازی. 12. معرفی یک متغیر جدید. 13. انتخاب ریشه. 14. کاربرد فرمول های Vieta. 15. روش عملکردی – گرافیکی. 16. فاکتورسازی. 17. معرفی یک متغیر جدید. 18. فاکتورسازی.

1. دستورالعمل. معادله را به صورت 4(x²+17 x+60)(x+16 x+60)=3 x² بنویسید، هر دو طرف را بر x2 تقسیم کنید. متغیر را وارد کنید پاسخ: x 1 = - 8; x 2 \u003d - 7، 5. 4. نشانه. 6 y و - y را به سمت چپ معادله اضافه کنید و آن را به صورت (y³ - 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y - 2)(y² - بنویسید. 3 سال - هشت). پاسخ:

14. دستورالعمل. طبق قضیه ویتا از آنجایی که - اعداد صحیح هستند، پس فقط اعداد - 1، - 2، - 3 می توانند ریشه معادله باشند پاسخ: 15. پاسخ: - 1. 17. نشان. دو طرف معادله را بر x2 تقسیم کرده و آن را به صورت متغیر وارد کنید پاسخ: 1; پانزده 2 3.

کتابشناسی - فهرست کتب. n n n Kolmogorov A. N. "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، 10-11" (M.: Prosveshchenie، 2003). باشماکوف M. I. "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، 10 - 11" (M.: آموزش و پرورش، 1993). موردکوویچ A. G. "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، 10 - 11" (M.: Mnemozina، 2003). Alimov Sh. A.، Kolyagin Yu. M. و همکاران "جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، 10-11" (M.: Prosveshchenie، 2000). Galitsky M. L.، Goldman A. M.، Zvavich L. I. "مجموعه مسائل در جبر، 8 - 9" (M.: آموزش و پرورش، 1997). Karp A.P. "مجموعه مسائل در جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، 10 - 11" (M .: آموزش و پرورش، 1999). شاریگین I. F. "درس اختیاری در ریاضیات، حل مسئله، 10" (M.: آموزش و پرورش. 1989). Skopets Z. A. "فصل های اضافی در درس ریاضیات، 10" (M .: آموزش و پرورش، 1974). Litinsky G.I. "درس هایی در ریاضیات" (مسکو: اصلان، 1994). Muravin G. K. "معادلات، نابرابری ها و سیستم های آنها" (ریاضیات، ضمیمه روزنامه "اول شهریور"، شماره 2، 3، 2003). Kolyagin Yu. M. "چند جمله ای ها و معادلات درجات بالاتر" (ریاضیات ، ضمیمه روزنامه "اول سپتامبر" ، شماره 3 ، 2005).

تریفانووا مارینا آناتولیوا
معلم ریاضی، دبیرستان شماره 48 (چند پروفایل)

هدف سه گانه درس:

آموزشی:
سیستم سازی و تعمیم دانش در حل معادلات درجات بالاتر.
در حال توسعه:
برای ترویج توسعه تفکر منطقی، توانایی کار مستقل، مهارت های کنترل متقابل و خودکنترلی، توانایی صحبت کردن و گوش دادن.
پرورش:
ایجاد عادت اشتغال مداوم، آموزش پاسخگویی، سخت کوشی، دقت.

نوع درس:

درسی در کاربرد یکپارچه دانش، مهارت ها و توانایی ها.

فرم درس:

پخش، دقیقه فیزیکی، اشکال مختلف کار.

تجهیزات:

یادداشت های مرجع، کارت های وظیفه، ماتریس نظارت بر درس.

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی

1. هدف از درس را به دانش آموزان منتقل کنید.
2. بررسی تکالیف (پیوست 1). با چکیده اولیه کار کنید (پیوست 2).

معادلات و پاسخ های هر کدام روی تخته نوشته شده است. دانش‌آموزان پاسخ‌ها را بررسی می‌کنند و تحلیل مختصری از راه‌حل هر معادله ارائه می‌کنند یا به سؤالات معلم پاسخ می‌دهند (نظرسنجی پیشانی). خودکنترلی - دانش آموزان به خود نمره می دهند و دفترچه هایی را به معلم می دهند تا تصحیح نمرات یا تایید آنها را بررسی کند. نمرات مدرسه روی تخته سیاه نوشته شده است:

"5+" - 6 معادله؛
"5" - 5 معادله؛
"4" - 4 معادله؛
"3" - 3 معادله.

سوالات معلم برای تکالیف:

1 معادله

1. تغییر متغیرها در معادله چقدر است؟
2. بعد از تغییر متغیرها چه معادله ای به دست می آید؟

2 معادله

1. کدام چند جمله ای دو طرف معادله را تقسیم می کند؟
2. چه جایگزینی از متغیرها به دست آمد؟

3 معادله

1. برای ساده کردن حل این معادله چه چند جمله ای باید ضرب شود؟

4 معادله

1. تابع f(x) را نام ببرید.
2. ریشه های دیگر چگونه پیدا شد؟

5 معادله

1. چند بازه برای حل معادله به دست آمد؟

6 معادله

1. چگونه می توان این معادله را حل کرد؟
2. کدام راه حل منطقی تر است؟

II. کار گروهی بخش اصلی درس است.

کلاس به 4 گروه تقسیم می شود. به هر گروه کارتی با سوالات نظری و عملی (پیوست 3) داده می شود: "روش پیشنهادی برای حل معادله را از هم جدا کنید و با استفاده از این مثال توضیح دهید."

1. کار گروهی 15 دقیقه
2. نمونه هایی روی تخته نوشته شده است (تخته به 4 قسمت تقسیم می شود).
3. گزارش گروه 2-3 دقیقه طول می کشد.
4. معلم گزارش های گروه ها را تصحیح می کند و در صورت مشکل کمک می کند.

کار گروهی روی کارت های شماره 5 - 8 ادامه دارد. برای هر معادله 5 دقیقه برای بحث در گروه داده می شود. سپس تخته سیاه گزارشی در مورد این معادله دارد - تجزیه و تحلیل مختصری از راه حل. معادله ممکن است به طور کامل حل نشود - در خانه در حال نهایی شدن است، اما کل دنباله حل آن در کلاس مورد بحث قرار می گیرد.

III. کار مستقل.پیوست 4.

1. هر دانش آموز یک تکلیف فردی دریافت می کند.
2. کار 20 دقیقه طول می کشد.
3. 5 دقیقه قبل از پایان درس، معلم برای هر معادله پاسخ های باز می دهد.
4. دانش آموزان دفترچه ها را به صورت دایره ای تغییر می دهند و پاسخ ها را با یک دوست بررسی می کنند. رتبه بندی.
5. دفترچه ها برای بررسی و تصحیح نمرات به معلم تحویل داده می شود.

IV. خلاصه درس.

مشق شب.

حل معادلات ناقص را کامل کنید. برای برش کنترلی آماده شوید.

درجه بندی.

اهداف اساسی:

1. برای ادغام مفهوم یک معادله گویا عدد صحیح درجه هفتم.
2. روش‌های اصلی برای حل معادلات درجات بالاتر (n > 3).
3. آموزش روشهای اساسی حل معادلات درجات بالاتر.
4. آموزش از طریق فرم معادله برای تعیین موثرترین راه برای حل آن.

فرم ها، روش ها و تکنیک های آموزشی که توسط معلم در کلاس استفاده می شود:

• سیستم آموزشی سخنرانی-سمینار (سخنرانی - توضیح مطالب جدید، سمینارها - حل مسئله).
• فن آوری های اطلاعات و ارتباطات (نظرسنجی پیشانی، کار شفاهی با کلاس).
• آموزش متمایز، فرم های گروهی و فردی.
• استفاده از روش تحقیق در تدریس، با هدف توسعه دستگاه ریاضی و توانایی های ذهنی هر دانش آموز.
• مطالب چاپی - خلاصه فردی از درس (مفاهیم اساسی، فرمول ها، بیانیه ها، مطالب سخنرانی در قالب نمودارها یا جداول فشرده شده است).

طرح درس:

1. زمان سازماندهی
   هدف مرحله: شامل کردن دانش آموزان در فعالیت های یادگیری، تعیین محتوای درس.
2. به روز رسانی دانش دانش آموزان.
   هدف از مرحله: به روز رسانی دانش دانش آموزان در مورد موضوعات مرتبط قبلا مطالعه شده است
3. یادگیری یک موضوع جدید (سخنرانی). هدف از مرحله: تدوین روش های اصلی برای حل معادلات درجات بالاتر (n > 3)
4. خلاصه کردن
   هدف مرحله: یک بار دیگر نکات کلیدی در مطالب مورد مطالعه در درس برجسته شود.
5. مشق شب.
   هدف از مرحله: تدوین تکالیف برای دانش آموزان.

خلاصه درس

1. لحظه سازمانی.

جمله بندی موضوع درس: «معادلات درجات بالاتر. روش‌هایی برای حل آنها».

2. فعلیت بخشیدن به دانش دانش آموزان.

نظرسنجی - گفتگو. تکرار برخی از اطلاعات قبلاً مطالعه شده از نظریه. دانش آموزان تعاریف اساسی را تدوین می کنند و قضایای ضروری را بیان می کنند. مثال هایی آورده شده است که سطح دانش کسب شده قبلی را نشان می دهد.

• مفهوم معادله با یک متغیر.
• مفهوم ریشه معادله، حل معادله.
• مفهوم یک معادله خطی با یک متغیر، مفهوم یک معادله درجه دوم با یک متغیر.
• مفهوم هم ارزی معادلات، پیامدهای معادله (مفهوم ریشه های خارجی)، انتقال نه بر اساس پیامد (مورد از دست دادن ریشه ها).
• مفهوم یک عبارت منطقی کامل با یک متغیر.
• مفهوم کل معادله منطقی nدرجه ام فرم استاندارد یک معادله منطقی کامل. معادله کل منطقی کاهش یافت.
• انتقال به مجموعه ای از معادلات درجات پایین تر با فاکتورگیری معادله اصلی.
• مفهوم چند جمله ای nدرجه ام از ایکس. قضیه بزوت. پیامدهای قضیه بزوت. قضایای ریشه ( ز-ریشه و س-ریشه ها) یک معادله گویا با ضرایب صحیح (به ترتیب کاهش یافته و غیرکاهش شده).
• طرح هورنر

3. یادگیری یک موضوع جدید.

ما کل معادله عقلی را در نظر خواهیم گرفت nتوان هفتم فرم استاندارد با یک متغیر مجهول x:Pn(x)= 0، کجا P n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0- چند جمله ای nدرجه ام از ایکس, آ n ≠ 0 . اگر یک آ n = 1 پس چنین معادله ای معادله کل گویا کاهش یافته نامیده می شود nدرجه ام اجازه دهید چنین معادلاتی را برای مقادیر مختلف در نظر بگیریم nو روشهای اصلی حل آنها را فهرست کنید.

n= 1 یک معادله خطی است.

n= 2 یک معادله درجه دوم است.فرمول تشخیصی فرمول محاسبه ریشه قضیه ویتا انتخاب یک مربع کامل

n= 3 یک معادله مکعبی است.

روش گروه بندی

مثال: x 3 – 4x 2 – x+ 4 = 0 (x - 4) (x 2– 1) = 0 ایکس 1 = 4 , x2 = 1,ایکس 3 = -1.

معادله مکعب متقابل فرم تبر 3 + bx 2 + bx + آ= 0. ما با ترکیب عبارت با ضرایب یکسان حل می کنیم.

مثال: ایکس 3 – 5ایکس 2 – 5ایکس + 1 = 0 (ایکس + 1)(ایکس 2 – 6ایکس + 1) = 0 ایکس 1 = -1, ایکس 2 = 3 + 2, ایکس 3 = 3 – 2.

انتخاب ریشه های Z بر اساس قضیه. طرح هورنر هنگام استفاده از این روش، لازم است تأکید شود که شمارش در این مورد محدود است و ریشه ها را مطابق با یک الگوریتم خاص مطابق با قضیه روی انتخاب می کنیم. ز-ریشه های معادله کل منطقی کاهش یافته با ضرایب عدد صحیح.

مثال: ایکس 3 – 9ایکس 2 + 23ایکس– 15 = 0. معادله کاهش می یابد. مقسوم علیه های عبارت آزاد را می نویسیم ( + 1; + 3; + 5; + پانزده). بیایید طرح هورنر را اعمال کنیم:

	ایکس 3	ایکس 2	ایکس 1	ایکس 0	نتیجه
	1	-9	23	-15
1	1	1 x 1 - 9 = -8	1 x (-8) + 23 = 15	1 × 15 - 15 = 0	1 - ریشه
	ایکس 2	ایکس 1	ایکس 0

ما گرفتیم ( ایکس – 1)(ایکس 2 – 8ایکس + 15) = 0 ایکس 1 = 1, ایکس 2 = 3, ایکس 3 = 5.

معادله با ضرایب صحیح انتخاب ریشه های Q بر اساس قضیه. طرح هورنر هنگام استفاده از این روش، باید تاکید کرد که شمارش در این مورد محدود است و ریشه ها را طبق یک الگوریتم خاص مطابق با قضیه در مورد انتخاب می کنیم. س-ریشه های یک معادله کل گویا کاهش نیافته با ضرایب صحیح.

مثال: 9 ایکس 3 + 27ایکس 2 – ایکس– 3 = 0. معادله کاهش نمی یابد. مقسوم علیه های عبارت آزاد را می نویسیم ( + 1; + 3). اجازه دهید مقسوم علیه ضریب را در بالاترین توان مجهول بنویسیم. ( + 1; + 3; + 9) بنابراین، ما به دنبال ریشه در میان مقادیر ( + 1; + ; + ; + 3). بیایید طرح هورنر را اعمال کنیم:

	ایکس 3	ایکس 2	ایکس 1	ایکس 0	نتیجه
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 - 1 = 35	1 x 35 - 3 = 32 ≠ 0	1 ریشه نیست
-1	9	-1 × 9 + 27 = 18	-1 × 18 - 1 = -19	-1 x (-19) - 3 = 16 ≠ 0	-1 ریشه نیست
	9	x9 + 27 = 30	x 30 - 1 = 9	x 9 - 3 = 0	ریشه
	ایکس 2	ایکس 1	ایکس 0

ما گرفتیم ( ایکس – )(9ایکس 2 + 30ایکس + 9) = 0 ایکس 1 = , ایکس 2 = - , ایکس 3 = -3.

برای راحتی محاسبه هنگام انتخاب Q -ریشه هامی تواند راحت باشد که متغیر را تغییر دهید، به معادله بالا بروید و Z را تنظیم کنید -ریشه ها.

• اگر رهگیری 1 باشد

.

• در صورت امکان از جایگزینی فرم استفاده کنید y=kx

.

فرمول کاردانو یک روش جهانی برای حل معادلات مکعب وجود دارد - این فرمول کاردانو است. این فرمول با نام های ریاضیدانان ایتالیایی جرولامو کاردانو (1501-1576)، نیکولو تارتالیا (1500-1557)، سیپیو دل فرو (1465-1526) مرتبط است. این فرمول خارج از محدوده دوره ما قرار دارد.

n= 4 معادله درجه چهارم است.

روش گروه بندی

مثال: ایکس 4 + 2ایکس 3 + 5ایکس 2 + 4ایکس – 12 = 0 (ایکس 4 + 2ایکس 3) + (5ایکس 2 + 10ایکس) – (6ایکس + 12) = 0 (ایکس + 2)(ایکس 3 + 5ایکس- 6) = 0 (ایکس + 2)(ایکس– 1)(ایکس 2 + ایکس + 6) = 0 ایکس 1 = -2, ایکس 2 = 1.

روش جایگزینی متغیر

• معادله دو درجه ای فرم تبر 4 + bx 2+s = 0 .

مثال: ایکس 4 + 5ایکس 2 - 36 = 0. تعویض y = ایکس 2. از اینجا y 1 = 4, y 2 = -9. بنابراین ایکس 1,2 = + 2 .

• معادله متقابل درجه چهارم فرم تبر 4 + bx 3+c ایکس 2 + bx + آ = 0.

ما با ترکیب عبارت با ضرایب مشابه با جایگزین کردن فرم حل می کنیم

• تبر 4 + bx 3 + cx 2 – bx + آ = 0.

• معادله معکوس تعمیم یافته درجه چهارم فرم تبر 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + k2 a = 0.

• تعویض کلی برخی از تعویض های استاندارد

مثال 3 . تعویض نمای کلی(از شکل یک معادله خاص به دست می آید).

n = 3.

معادله با ضرایب عدد صحیح. انتخاب Q-roots n = 3.

فرمول کلی یک روش جهانی برای حل معادلات درجه چهارم وجود دارد. این فرمول با نام لودویکو فراری (1522-1565) مرتبط است. این فرمول خارج از محدوده دوره ما قرار دارد.

n > 5- معادلات درجات پنجم و بالاتر.

معادله با ضرایب عدد صحیح. انتخاب ریشه های Z بر اساس قضیه. طرح هورنر الگوریتم مشابه الگوریتمی است که در بالا برای آن بحث شد n = 3.

معادله با ضرایب عدد صحیح. انتخاب Q-rootsبر اساس قضیه طرح هورنر الگوریتم مشابه الگوریتمی است که در بالا برای آن بحث شد n = 3.

معادلات متقارن هر معادله متقابلی با درجه فرد ریشه دارد ایکس= -1 و پس از تجزیه آن به عوامل، به این نتیجه می رسیم که یک عامل دارای شکل ( ایکس+ 1) و عامل دوم یک معادله متقابل با درجه زوج است (درجه آن یک درجه کمتر از درجه معادله اصلی است). هر معادله متقابلی با درجه زوج همراه با یک ریشه شکل x = φهمچنین حاوی ریشه فرم است. با استفاده از این عبارات، با کاهش درجه معادله مورد مطالعه، مشکل را حل می کنیم.

روش جایگزینی متغیر استفاده از همگنی

هیچ فرمول کلی برای حل کل معادلات درجه پنجم (این توسط ریاضیدان ایتالیایی پائولو روفینی (1765-1822) و ریاضیدان نروژی نیلز هنریک آبل (1802-1829) نشان داده شد) و قدرت های بالاتر (این توسط فرانسوی ها نشان داده شد) وجود ندارد. ریاضیدان Evariste Galois (1811-1832)).

• دوباره به یاد بیاورید که در عمل امکان استفاده وجود دارد ترکیباتروش های ذکر شده در بالا عبور به مجموعه ای از معادلات درجات پایین تر توسط فاکتورسازی معادله اصلی.
• خارج از محدوده بحث امروز ما، به طور گسترده در عمل استفاده می شود روش های گرافیکیحل معادلات و روش های حل تقریبیمعادلات درجات بالاتر
• شرایطی وجود دارد که معادله ریشه R ندارد.
سپس جواب به این می رسد که نشان می دهد معادله ریشه ندارد. برای اثبات این موضوع، رفتار توابع در نظر گرفته شده را در فواصل یکنواختی تحلیل می کنیم. مثال: معادله ایکس 8 – ایکس 3 + 1 = 0 هیچ ریشه ای ندارد.
• استفاده از خاصیت یکنواختی توابع
. شرایطی وجود دارد که استفاده از ویژگی های مختلف توابع به ما امکان می دهد کار را ساده کنیم.
مثال 1: معادله ایکس 5 + 3ایکس– 4 = 0 یک ریشه دارد ایکس= 1. با خاصیت یکنواختی توابع تجزیه و تحلیل شده، هیچ ریشه دیگری وجود ندارد.
مثال 2: معادله ایکس 4 + (ایکس– 1) 4 = 97 ریشه دارد ایکس 1 = -2 و ایکس 2 = 3. با تجزیه و تحلیل رفتار توابع مربوطه در فواصل یکنواختی، نتیجه می گیریم که هیچ ریشه دیگری وجود ندارد.

4. جمع بندی.

خلاصه: اکنون ما بر روش های اساسی برای حل معادلات مختلف درجات بالاتر (برای n) مسلط شده ایم. > 3). وظیفه ما یادگیری نحوه استفاده موثر از الگوریتم های فوق است. بسته به نوع معادله، ما باید یاد بگیریم که چگونه تعیین کنیم کدام روش حل در این مورد مؤثرتر است و همچنین روش انتخابی را به درستی اعمال کنیم.

5. تکالیف.

: مورد 7، ص 164-174، شماره های 33-36، 39-44، 46،47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

موضوعات احتمالی گزارش یا چکیده در این موضوع:

• فرمول کاردانو
• روش گرافیکی برای حل معادلات. نمونه های راه حل
• روشهای حل تقریبی معادلات

تجزیه و تحلیل جذب مطالب و علاقه دانش آموزان به موضوع:

تجربه نشان می دهد که علاقه دانش آموزان در وهله اول امکان انتخاب است ز-ریشه و س-ریشه های معادلات با استفاده از یک الگوریتم نسبتا ساده با استفاده از طرح هورنر. دانش آموزان همچنین به انواع استاندارد جایگزینی متغیر علاقه مند هستند که می تواند به طور قابل توجهی نوع مسئله را ساده کند. روش های گرافیکی حل معمولاً مورد توجه خاص هستند. در این مورد، می توانید وظایف را به یک روش گرافیکی برای حل معادلات تجزیه کنید. در مورد نمای کلی نمودار برای یک چند جمله ای 3، 4، 5 درجه بحث کنید. بررسی کنید که چگونه تعداد ریشه های معادلات 3، 4، 5 درجه با نوع نمودار مربوطه مرتبط است. در زیر فهرستی از کتاب ها آمده است که در آن می توانید اطلاعات بیشتری در مورد این موضوع پیدا کنید.

کتابشناسی - فهرست کتب:

1. ویلنکین N.Ya.و غیره «جبر. کتاب درسی برای دانش آموزان کلاس 9 با مطالعه عمیق ریاضیات "- M.، آموزش و پرورش، 2007 - 367 ص.
2. Vilenkin N.Ya.، Shibasov L.P.، Shibasova Z.F.«پشت صفحات کتاب ریاضی. حسابی. جبر. کلاس های 10-11” – م.، روشنگری، 2008 – 192 ص.
3. ویگودسکی ام.یا."راهنمای ریاضیات" - M., AST, 2010 - 1055 p.
4. گالیتسکی ام.ال.«مجموعه مسائل جبر. کتاب درسی کلاس های 8-9 با مطالعه عمیق ریاضیات "- M.، آموزش و پرورش، 2008 - 301 p.
5. زواویچ ال.آی.و همکاران «جبر و آغاز تحلیل. 8-11 سلول کتابچه راهنمای مدارس و کلاس ها با مطالعه عمیق ریاضیات "- M., Drofa, 1999 - 352 p.
6. Zvavich L.I.، Averyanov D.I.، Pigarev B.P.، Trushanina T.N."تکالیف در ریاضیات برای آمادگی برای امتحان کتبی در کلاس 9" - M.، آموزش و پرورش، 2007 - 112 ص.
7. ایوانف A.A., Ivanov A.P."آزمون های موضوعی برای سیستم سازی دانش در ریاضیات" قسمت 1 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
8. ایوانف A.A., Ivanov A.P."آزمون های موضوعی برای سیستم سازی دانش در ریاضیات" قسمت 2 - M., Fizmatkniga, 2006 - 176 p.
9. ایوانف A.P."تست و تست در ریاضیات. آموزش". - م.، فیزمتکنگا، 1387 - 304 ص.
10. لیبسون K.L.«مجموعه کارهای عملی در ریاضیات. بخش 2-9 کلاس” – M., MTsNMO, 2009 – 184 p.
11. Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G."جبر. فصل های اضافی کتاب درسی نهم دبستان. کتاب درسی برای دانش آموزان مدارس و کلاس های با مطالعه عمیق ریاضی. - م.، آموزش و پرورش، 1385 - 224 ص.
12. موردکوویچ A.G."جبر. مطالعه عمیق. کلاس هشتم. کتاب درسی – M., Mnemosyne, 2006 – 296 p.
13. ساوین A.P."فرهنگ دایره المعارف یک ریاضیدان جوان" - M., Pedagogy, 1985 - 352 p.
14. Survillo G.S.، Simonov A.S."مواد آموزشی در مورد جبر برای کلاس 9 با مطالعه عمیق ریاضیات" - M.، آموزش و پرورش، 2006 - 95 ص.
15. چولکوف P.V.معادلات و نابرابری ها در درس ریاضی مدرسه. Lectures 1-4” – M., First of September, 2006 – 88 p.
16. چولکوف P.V.معادلات و نابرابری ها در درس ریاضی مدرسه. Lectures 5-8” – M., First of September, 2009 – 84 p.

به طور کلی معادله ای که دارای درجه بالاتر از 4 باشد را نمی توان با رادیکال حل کرد. اما گاهی اوقات می‌توانیم ریشه‌های چند جمله‌ای سمت چپ را در معادله بالاترین درجه پیدا کنیم، اگر آن را به عنوان حاصلضرب چندجمله‌ای در درجه‌ای بیش از 4 نشان دهیم. حل چنین معادلاتی بر اساس تجزیه چند جمله ای به عوامل است، بنابراین به شما توصیه می کنیم قبل از مطالعه این مقاله این موضوع را مرور کنید.

اغلب، باید با معادلات درجات بالاتر با ضرایب صحیح سروکار داشت. در این موارد می‌توانیم سعی کنیم ریشه‌های گویا را پیدا کنیم و سپس چند جمله‌ای را فاکتور کنیم تا بتوانیم آن را به معادله‌ای با درجه پایین‌تر تبدیل کنیم که حل آن آسان خواهد بود. در چارچوب این مطالب، نمونه هایی از این دست را بررسی خواهیم کرد.

Yandex.RTB R-A-339285-1

معادلات درجه بالاتر با ضرایب صحیح

همه معادلات به شکل a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0، می‌توانیم با ضرب هر دو طرف در n n - 1 و تغییر متغیری مانند y = a n x به معادله‌ای با همان درجه کاهش دهیم:

a n x n + a n - 1 x n - 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n x n + a n - 1 a n n - 1 x n - 1 + ... + a 1 (a n) n - 1 x + a 0 (a n) n - 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n - 1 y n - 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

ضرایب حاصل نیز اعداد صحیح خواهند بود. بنابراین، ما باید معادله کاهش یافته درجه n را با ضرایب صحیح حل کنیم که به شکل x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 = 0 است.

ما ریشه های عدد صحیح معادله را محاسبه می کنیم. اگر معادله دارای ریشه های اعداد صحیح است، باید آنها را در میان مقسوم علیه های جمله آزاد a 0 جستجو کنید. بیایید آنها را بنویسیم و آنها را یکی یکی با برابری اصلی جایگزین کنیم و نتیجه را بررسی کنیم. وقتی هویتی به دست آوردیم و یکی از ریشه های معادله را پیدا کردیم، می توانیم آن را به شکل x - x 1 · P n - 1 (x) = 0 بنویسیم. در اینجا x 1 ریشه معادله است و P n - 1 (x) ضریب x n + a n x n - 1 + ... + a 1 x + a 0 تقسیم بر x - x 1 است.

بقیه مقسوم‌گیرنده‌هایی که نوشته‌ایم را با P n - 1 (x) = 0 جایگزین می‌کنیم و با x 1 شروع می‌کنیم، زیرا ریشه‌ها قابل تکرار هستند. پس از به دست آوردن هویت، ریشه x 2 پیدا شده در نظر گرفته می شود و معادله را می توان به صورت (x - x 1) (x - x 2) P n - 2 (x) \u003d 0 نوشت. در اینجا P n - 2 (x ) حاصل از تقسیم P n - 1 (x) بر x - x 2 خواهد بود.

ما به مرتب کردن از طریق مقسوم‌گیرنده‌ها ادامه می‌دهیم. همه ریشه های اعداد صحیح را بیابید و تعداد آنها را m نشان دهید. پس از آن، معادله اصلی را می توان به صورت x - x 1 x - x 2 · … · x - x m · P n - m (x) = 0 نشان داد. در اینجا P n - m (x) چند جمله‌ای با درجه n - m است. برای محاسبه، استفاده از طرح هورنر راحت است.

اگر معادله اصلی ما دارای ضرایب صحیح باشد، نمی توانیم به ریشه های کسری بپردازیم.

در نتیجه، معادله P n - m (x) = 0 را به دست آوردیم که ریشه های آن را می توان به هر روشی راحت پیدا کرد. آنها می توانند غیرمنطقی یا پیچیده باشند.

اجازه دهید در یک مثال خاص نشان دهیم که چگونه چنین طرح راه حلی اعمال می شود.

مثال 1

شرایط. شرط:جواب معادله x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = 0 را پیدا کنید.

تصمیم گیری

بیایید با یافتن ریشه های عدد صحیح شروع کنیم.

ما یک قطع برابر با منهای سه داریم. مقسوم علیه های 1، - 1، 3 و - 3 دارد. بیایید آنها را در معادله اصلی جایگزین کنیم و ببینیم کدام یک از آنها در نتیجه هویت می دهد.

برای x برابر با یک، 1 4 + 1 3 + 2 1 2 - 1 - 3 \u003d 0 می گیریم، به این معنی که یک ریشه این معادله خواهد بود.

حالا بیایید چند جمله ای x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 را بر (x - 1) به یک ستون تقسیم کنیم:

بنابراین x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 - 1 + 3 = 0

ما یک هویت به دست آوردیم، به این معنی که ریشه دیگری از معادله را پیدا کردیم، برابر با - 1.

چند جمله ای x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 را در یک ستون بر (x + 1) تقسیم می کنیم:

ما آن را دریافت می کنیم

x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = (x - 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x - 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

مقسوم‌کننده بعدی را با معادله x 2 + x + 3 = 0 جایگزین می‌کنیم و از - 1 شروع می‌کنیم:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

برابری های حاصل نادرست خواهند بود، به این معنی که معادله دیگر ریشه های عدد صحیح ندارد.

ریشه های باقی مانده ریشه های عبارت x 2 + x + 3 خواهند بود.

D \u003d 1 2 - 4 1 3 \u003d - 11< 0

از این نتیجه می شود که این مثلث مربع هیچ ریشه واقعی ندارد، اما دارای ریشه های مزدوج پیچیده است: x = - 1 2 ± i 11 2 .

اجازه دهید توضیح دهیم که به جای تقسیم به یک ستون، می توان از طرح هورنر استفاده کرد. این کار به این صورت انجام می شود: پس از اینکه ریشه اول معادله را مشخص کردیم، جدول را پر می کنیم.

در جدول ضرایب بلافاصله می توان ضرایب ضرایب را از تقسیم چندجمله ای ها مشاهده کرد که به معنای x 4 + x 3 + 2 x 2 - x - 3 = x - 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + است. 3.

پس از یافتن ریشه بعدی، برابر با - 1، به صورت زیر می رسیم:

پاسخ: x \u003d - 1، x \u003d 1، x \u003d - 1 2 ± i 11 2.

مثال 2

شرایط. شرط:معادله x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 = 0 را حل کنید.

تصمیم گیری

عضو آزاد دارای مقسوم علیه های 1، - 1، 2، - 2، 3، - 3، 4، - 4، 6، - 6، 12، - 12 است.

بیایید آنها را به ترتیب بررسی کنیم:

1 4 - 1 3 - 5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 - (- 1) 3 - 5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3 - 5 2 2 + 12 = 0

بنابراین x = 2 ریشه معادله خواهد بود. با استفاده از طرح هورنر x 4 - x 3 - 5 x 2 + 12 را بر x - 2 تقسیم کنید:

در نتیجه x - 2 (x 3 + x 2 - 3 x - 6) = 0 بدست می آوریم.

2 3 + 2 2 - 3 2 - 6 = 0

بنابراین 2 دوباره یک ریشه خواهد بود. x 3 + x 2 - 3 x - 6 = 0 را بر x - 2 تقسیم کنید:

در نتیجه (x - 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0 بدست می آوریم.

بررسی مقسوم‌گیرنده‌های باقی‌مانده منطقی نیست، زیرا تساوی x 2 + 3 x + 3 = 0 برای حل با استفاده از تفکیک‌کننده سریع‌تر و راحت‌تر است.

بیایید معادله درجه دوم را حل کنیم:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 - 4 1 3 = - 3< 0

یک جفت ریشه مزدوج پیچیده بدست می آوریم: x = - 3 2 ± i 3 2 .

پاسخ: x = - 3 2 ± i 3 2 .

مثال 3

شرایط. شرط:ریشه های واقعی معادله x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 را پیدا کنید.

تصمیم گیری

x 4 + 1 2 x 3 - 5 2 x - 3 = 0 2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0

ضرب 2 3 هر دو قسمت معادله را انجام می دهیم:

2 x 4 + x 3 - 5 x - 6 = 0 2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0

متغیرهای y = 2 x را جایگزین می کنیم:

2 4 x 4 + 2 3 x 3 - 20 2 x - 48 = 0 y 4 + y 3 - 20 y - 48 = 0

در نتیجه یک معادله استاندارد درجه 4 به دست آوردیم که طبق طرح استاندارد قابل حل است. بیایید مقسوم علیه ها را بررسی کنیم، تقسیم کنیم و در پایان دریافتیم که دارای 2 ریشه واقعی y \u003d - 2، y \u003d 3 و دو ریشه پیچیده است. ما در اینجا کل راه حل را ارائه نمی کنیم. به موجب جایگزینی، ریشه های واقعی این معادله x = y 2 = - 2 2 = - 1 و x = y 2 = 3 2 خواهد بود.

پاسخ: x 1 \u003d - 1، x 2 \u003d 3 2

اگر متوجه اشتباهی در متن شدید، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید