Laajenna lausekemoduuli:

Osa 2. Perusominaisuudet.

Toinen tärkeä fakta: moduuli ei ole koskaan negatiivinen. Minkä tahansa luvun otammekin - oli se sitten positiivinen tai negatiivinen - sen moduuli osoittautuu aina positiiviseksi (tai äärimmäisissä tapauksissa nollaksi). Tästä syystä moduulia kutsutaan usein luvun itseisarvoksi.

Lisäksi, jos yhdistämme moduulin määritelmän positiiviselle ja negatiiviselle luvulle, saamme globaalin moduulin määritelmän kaikille luvuille. Nimittäin: luvun moduuli on yhtä suuri kuin itse luku, jos luku on positiivinen (tai nolla), tai yhtä suuri kuin vastakkainen luku, jos luku on negatiivinen. Voit kirjoittaa tämän kaavana:

On myös nollamoduuli, mutta se on aina yhtä suuri kuin nolla. Lisäksi nolla on ainoa luku, jolla ei ole vastakohtaa.

Jos siis tarkastellaan funktiota $y=\left| x \right|$ ja yritä piirtää sen kaavio, saat jotain tällaista:

Moduulikaavio ja esimerkki yhtälön ratkaisusta

Tästä kuvasta käy heti selväksi, että $\left| -m \oikea|=\vasen| m \right|$, ja moduulikaavio ei koskaan putoa x-akselin alapuolelle. Mutta siinä ei vielä kaikki: punainen viiva merkitsee suoraa $y=a$, joka positiiviselle $a$ antaa meille kaksi juuria kerralla: $((x)_(1))$ ja $((x) _(2)) $, mutta puhumme siitä myöhemmin. :)

Puhtaasti algebrallisen määritelmän lisäksi on olemassa geometrinen määritelmä. Oletetaan, että lukurivillä on kaksi pistettä: $((x)_(1))$ ja $((x)_(2))$. Tässä tapauksessa lauseke $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ on yksinkertaisesti määritettyjen pisteiden välinen etäisyys. Tai, jos haluat, nämä pisteet yhdistävän segmentin pituus:

Tämä määritelmä viittaa myös siihen, että moduuli on aina ei-negatiivinen. Mutta tarpeeksi määritelmiä ja teoriaa - siirrytään todellisiin yhtälöihin. :)

Peruskaava

Okei, olemme selvittäneet määritelmän. Mutta se ei tehnyt siitä yhtään helpompaa. Kuinka ratkaista yhtälöt, jotka sisältävät juuri tämän moduulin?

Rauhallinen, vain rauhallinen. Aloitetaan yksinkertaisimmista asioista. Harkitse jotain tällaista:

\[\left| x\oikea|=3\]

Joten $x$:n moduuli on 3. Mitä $x$ voisi olla yhtä suuri? No, määritelmän perusteella olemme melko tyytyväisiä arvoon $x=3$. Todella:

\[\left| 3\oikea|=3\]

Onko muita numeroita? Cap näyttää vihjaavan, että on olemassa. Esimerkiksi $x=-3$ on myös $\left| -3 \oikea|=3$, ts. vaadittu tasa-arvo täyttyy.

Joten ehkä jos etsimme ja ajattelemme, löydämme lisää numeroita? Mutta totta puhuen: numeroita ei ole enää. Yhtälö $\left| x \right|=3$ on vain kaksi juuria: $x=3$ ja $x=-3$.

Monimutkaistaan ​​nyt tehtävää hieman. Anna funktion $f\left(x \right)$ roikkua moduulimerkin alla muuttujan $x$ sijaan ja laita mielivaltainen luku $a$ oikeanpuoleisen kolmion tilalle. Saamme yhtälön:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\]

Joten kuinka voimme ratkaista tämän? Haluan muistuttaa: $f\left(x \right)$ on mielivaltainen funktio, $a$ on mikä tahansa luku. Nuo. Ihan mitä tahansa! Esimerkiksi:

\[\left| 2x+1 \right|=5\]

\[\left| 10x-5 \oikea|=-65\]

Kiinnitetään huomiota toiseen yhtälöön. Voit heti sanoa hänestä: hänellä ei ole juuria. Miksi? Kaikki on oikein: koska se edellyttää, että moduuli on yhtä suuri kuin negatiivinen luku, mitä ei koskaan tapahdu, koska tiedämme jo, että moduuli on aina positiivinen luku tai äärimmäisissä tapauksissa nolla.

Mutta ensimmäisellä yhtälöllä kaikki on hauskempaa. Vaihtoehtoja on kaksi: joko moduulimerkin alla on positiivinen lauseke ja sitten $\left| 2x+1 \right|=2x+1$, tai tämä lauseke on edelleen negatiivinen, ja sitten $\left| 2x+1 \oikea|=-\vasen(2x+1 \oikea)=-2x-1$. Ensimmäisessä tapauksessa yhtälömme kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

\[\left| 2x+1 \right|=5\Rightarrow 2x+1=5\]

Ja yhtäkkiä käy ilmi, että alimodulaarinen lauseke $2x+1$ on todella positiivinen - se on yhtä suuri kuin luku 5. voimme turvallisesti ratkaista tämän yhtälön - tuloksena oleva juuri on osa vastausta:

Erityisen epäluuloiset voivat yrittää korvata löydetyn juuren alkuperäiseen yhtälöön ja varmistaa, että moduulin alla on todella positiivinen luku.

Katsotaan nyt negatiivisen alimodulaarisen lausekkeen tapausta:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end(align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \Nuoli oikealle 2x+1=-5\]

Oho! Jälleen kaikki on selvää: oletimme, että $2x+1 \lt 0$, ja tuloksena saimme, että $2x+1=-5$ - todellakin tämä lauseke on pienempi kuin nolla. Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön tietäen jo varmaksi, että löydetty juuri sopii meille:

Yhteensä saimme jälleen kaksi vastausta: $x=2$ ja $x=3$. Kyllä, laskelmien määrä osoittautui hieman suuremmiksi kuin hyvin yksinkertaisessa yhtälössä $\left| x \right|=3$, mutta mikään ei ole olennaisesti muuttunut. Joten ehkä on olemassa jokin universaali algoritmi?

Kyllä, tällainen algoritmi on olemassa. Ja nyt analysoimme sen.

Moduulimerkin eroon pääseminen

Olkoon meille yhtälö $\left| f\left(x \right) \right|=a$ ja $a\ge 0$ (muuten, kuten jo tiedämme, juuria ei ole). Sitten voit päästä eroon moduulimerkistä seuraavalla säännöllä:

\[\left| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

Siten yhtälömme moduulilla jakautuu kahteen osaan, mutta ilman moduulia. Siinä kaikki tekniikka on! Yritetään ratkaista pari yhtälöä. Aloitetaan tästä

\[\left| 5x+4 \right|=10\Rightarrow 5x+4=\pm 10\]

Tarkastellaan erikseen, milloin oikealla on kymmenen plussaa, ja erikseen, milloin on miinus. Meillä on:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\end(tasaa)\]

Siinä kaikki! Meillä on kaksi juuria: $x=1.2$ ja $x=-2.8$. Koko ratkaisu kesti kirjaimellisesti kaksi riviä.

Ok, ei epäilystäkään, katsotaanpa jotain hieman vakavampaa:

\[\left| 7-5x\oikea|=13\]

Avaamme jälleen moduulin plus- ja miinusmerkillä:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\end(tasaa)\]

Pari riviä taas - ja vastaus on valmis! Kuten sanoin, moduuleissa ei ole mitään monimutkaista. Sinun tarvitsee vain muistaa muutama sääntö. Siksi siirrymme eteenpäin ja aloitamme todella monimutkaisemmista tehtävistä.

Oikeanpuoleisen muuttujan tapaus

Mieti nyt tätä yhtälöä:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\]

Tämä yhtälö on pohjimmiltaan erilainen kuin kaikki aiemmat. Miten? Ja se, että yhtäläisyysmerkin oikealla puolella on lauseke $2x$ - emmekä voi tietää etukäteen, onko se positiivinen vai negatiivinen.

Mitä tehdä tässä tapauksessa? Ensinnäkin meidän on ymmärrettävä se kerta kaikkiaan jos yhtälön oikea puoli osoittautuu negatiiviseksi, yhtälöllä ei ole juuria- Tiedämme jo, että moduuli ei voi olla yhtä suuri kuin negatiivinen luku.

Ja toiseksi, jos oikea osa on edelleen positiivinen (tai yhtä suuri kuin nolla), voit toimia täsmälleen samalla tavalla kuin ennen: yksinkertaisesti avaa moduuli erikseen plusmerkillä ja erikseen miinusmerkillä.

Näin ollen muotoilemme säännön mielivaltaisille funktioille $f\left(x \right)$ ja $g\left(x \right)$ :

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \right) ), \\& g\left(x \right)\ge 0. \\\end(tasaa) \oikea.\]

Suhteessa yhtälöimme saamme:

\[\left| 3x-2 \right|=2x\Rightarrow \left\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end(align) \right.\]

No, jotenkin selviämme vaatimuksesta $2x\ge 0$. Lopulta voimme typerästi korvata ensimmäisestä yhtälöstä saamamme juuret ja tarkistaa, päteekö epäyhtälö vai ei.

Ratkaistaan ​​siis itse yhtälö:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\end(tasaa)\]

No, mikä näistä kahdesta juurista täyttää vaatimuksen $2x\ge 0$? Kyllä molemmat! Siksi vastaus on kaksi numeroa: $x=(4)/(3)\;$ ja $x=0$. Siinä se ratkaisu. :)

Epäilen, että osa opiskelijoista alkaa jo kyllästyä? No, katsotaanpa vielä monimutkaisempaa yhtälöä:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \oikea|=x-((x)^(3))\]

Vaikka se näyttää pahalta, itse asiassa se on silti sama yhtälö muodossa "moduuli on yhtä suuri funktio":

\[\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)\]

Ja se ratkaistaan ​​täsmälleen samalla tavalla:

\[\left| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \oikea|=x-((x)^(3))\Oikeanuoli \vasen\( \begin(align)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \vasen(x-((x)^(3)) \oikea), \\& x-((x) )^(3))\ge 0. \\\end(tasaa) \oikea.\]

Käsittelemme eriarvoisuutta myöhemmin - se on jotenkin liian paha (itse asiassa se on yksinkertainen, mutta emme ratkaise sitä). Toistaiseksi on parempi käsitellä tuloksena olevia yhtälöitä. Tarkastellaan ensimmäistä tapausta - tämä on, kun moduulia laajennetaan plusmerkillä:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

No, se on turhaa, että sinun täytyy kerätä kaikki vasemmalta, tuoda samanlaiset ja katsoa mitä tapahtuu. Ja näin tapahtuu:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\end(tasaa)\]

Otamme yhteisen tekijän $((x)^(2))$ suluista ja saamme hyvin yksinkertaisen yhtälön:

\[((x)^(2))\left(2x-3 \right)=0\Rightarrow \left[ \begin(align)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\end(tasaa) \oikea.\]

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1,5.\]

Tässä hyödynnettiin tuotteen tärkeä ominaisuus, jonka vuoksi laskettiin alkuperäinen polynomi: tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla.

Käsitellään nyt toista yhtälöä täsmälleen samalla tavalla, joka saadaan laajentamalla moduulia miinusmerkillä:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \oikea); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\end(tasaa)\]

Jälleen sama asia: tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun ainakin yksi tekijöistä on yhtä suuri kuin nolla. Meillä on:

\[\left[ \begin(align)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\end(tasaa) \right.\]

No, meillä on kolme juuria: $x=0$, $x=1.5$ ja $x=(2)/(3)\;$. No, mikä näistä joukosta menee lopulliseen vastaukseen? Tätä varten muista, että meillä on lisärajoitus epätasa-arvon muodossa:

Miten tämä vaatimus otetaan huomioon? Korvataan vain löydetyt juuret ja tarkistetaan, päteekö epäyhtälö näihin $x$-arvoihin vai ei. Meillä on:

\[\begin(align)& x=0\Oikeanuoli x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1,5\Nuoli oikealle x-((x)^(3))=1,5-((1,5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\Rightarrow x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\end(tasaa)\]

Siksi juuri $x=1.5$ ei sovi meille. Ja vastauksena on vain kaksi juurta:

\[((x)_(1))=0;\quad ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

Kuten näette, tässäkään tapauksessa ei ollut mitään monimutkaista - moduulien yhtälöt ratkaistaan ​​aina algoritmin avulla. Sinun tarvitsee vain ymmärtää polynomit ja epäyhtälöt hyvin. Siksi siirrymme monimutkaisempiin tehtäviin - moduulia ei ole jo yksi, vaan kaksi.

Yhtälöt kahdella moduulilla

Tähän asti olemme tutkineet vain yksinkertaisimpia yhtälöitä - siellä oli yksi moduuli ja jotain muuta. Lähetimme tämän "jotain muuta" epäyhtälön toiseen osaan, pois moduulista, jotta lopulta kaikki pelkistyisi yhtälöön muotoa $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ tai jopa yksinkertaisempi $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

Mutta päiväkoti on ohi - on aika harkita jotain vakavampaa. Aloitetaan kaltaisilla yhtälöillä:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\]

Tämä on yhtälö muotoa "moduuli on yhtä suuri kuin moduuli". Pohjimmiltaan tärkeä kohta on muiden termien ja tekijöiden puuttuminen: vain yksi moduuli vasemmalla, yksi moduuli oikealla - eikä mitään muuta.

Joku ajattelee nyt, että tällaisia ​​yhtälöitä on vaikeampi ratkaista kuin mitä olemme tähän mennessä tutkineet. Mutta ei: nämä yhtälöt on vielä helpompi ratkaista. Tässä kaava:

\[\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \right)\]

Kaikki! Me yksinkertaisesti rinnastamme alimodulaariset lausekkeet asettamalla plus- tai miinusmerkin yhden niistä eteen. Ja sitten ratkaisemme tuloksena olevat kaksi yhtälöä - ja juuret ovat valmiita! Ei ylimääräisiä rajoituksia, ei eriarvoisuutta jne. Kaikki on hyvin yksinkertaista.

Yritetään ratkaista tämä ongelma:

\[\left| 2x+3 \oikea|=\vasen| 2x-7 \oikea|\]

Alkeis Watson! Moduulien laajentaminen:

\[\left| 2x+3 \oikea|=\vasen| 2x-7 \oikea|\Nuoli oikealle 2x+3=\pm \vasen(2x-7 \oikea)\]

Tarkastellaan jokaista tapausta erikseen:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\vasen(2x-7 \oikea)\Nuoli oikealle 2x+3=-2x+7. \\\end(tasaa)\]

Ensimmäisellä yhtälöllä ei ole juuria. Koska milloin on $3=-7$? Millä arvoilla $x$? "Mikä helvetti on $x$? Oletko kivitetty? Siellä ei ole $x$ ollenkaan", sanot. Ja olet oikeassa. Olemme saaneet yhtälön, joka ei riipu muuttujasta $x$, ja samalla itse yhtälö on virheellinen. Siksi ei ole juuria. :)

Toisella yhtälöllä kaikki on hieman mielenkiintoisempaa, mutta myös hyvin, hyvin yksinkertaista:

Kuten näette, kaikki ratkesi kirjaimellisesti parilla rivillä - emme odottaneet mitään muuta lineaarisesta yhtälöstä. :)

Tämän seurauksena lopullinen vastaus on: $x=1$.

Niin miten? Vaikea? Ei tietenkään. Kokeillaan jotain muuta:

\[\left| x-1 \oikea|=\vasen| ((x)^(2))-3x+2 \oikea|\]

Jälleen meillä on yhtälö muodossa $\left| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. Siksi kirjoitamme sen välittömästi uudelleen paljastaen moduulimerkin:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \left(x-1 \right)\]

Ehkä joku kysyy nyt: "Hei, mitä hölynpölyä? Miksi "plus-miinus" näkyy oikeanpuoleisessa ilmaisussa eikä vasemmassa?" Rauhoitu, selitän nyt kaiken. Todellakin, hyvällä tavalla meidän olisi pitänyt kirjoittaa yhtälömme uudelleen seuraavasti:

Sitten sinun on avattava sulut, siirrettävä kaikki termit yhtäläisyysmerkin yhdelle puolelle (koska yhtälö on ilmeisesti molemmissa tapauksissa neliö) ja etsi sitten juuret. Mutta sinun on myönnettävä: kun "plus-miinus" esiintyy ennen kolmea termiä (varsinkin kun yksi näistä termeistä on neliöllinen lauseke), se näyttää jotenkin monimutkaisemmalta kuin tilanne, jossa "plus-miinus" esiintyy ennen vain kahta termiä.

Mutta mikään ei estä meitä kirjoittamasta alkuperäistä yhtälöä uudelleen seuraavasti:

\[\left| x-1 \oikea|=\vasen| ((x)^(2))-3x+2 \oikea|\Oikeanuoli \vasen| ((x)^(2))-3x+2 \oikea|=\vasen| x-1 \oikea|\]

Mitä tapahtui? Ei mitään erikoista: he vain vaihtoivat vasenta ja oikeaa puolta. Pieni asia, joka lopulta helpottaa elämäämme. :)

Yleensä ratkaisemme tämän yhtälön harkiten vaihtoehtoja plus- ja miinusmerkillä:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\nuoli oikealle ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\vasen(x-1 \oikea)\nuoli oikealle ((x)^(2))-2x+1=0. \\\end(tasaa)\]

Ensimmäisellä yhtälöllä on juuret $x=3$ ja $x=1$. Toinen on yleensä tarkka neliö:

\[((x)^(2))-2x+1=((\vasen(x-1 \oikea))^(2))\]

Siksi sillä on vain yksi juuri: $x=1$. Mutta olemme saaneet tämän juuren jo aiemmin. Siten vain kaksi numeroa menee lopulliseen vastaukseen:

\[((x)_(1))=3;\quad ((x)_(2))=1.\]

Tehtävä suoritettu! Voit ottaa piirakan hyllystä ja syödä sen. Niitä on 2, sinun on keskimmäinen. :)

Tärkeä muistiinpano. Moduulin eri laajennusmuunnelmien identtisten juurien läsnäolo tarkoittaa, että alkuperäiset polynomit on jaettu tekijöihin, ja näiden tekijöiden joukossa on varmasti yhteinen. Todella:

\[\begin(align)& \left| x-1 \oikea|=\vasen| ((x)^(2))-3x+2 \oikea|; \\& \left| x-1 \oikea|=\vasen| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\end(tasaa)\]

Yksi moduulin ominaisuuksista: $\left| a\cdot b \right|=\left| a \right|\cdot \left| b \right|$ (eli tulon moduuli on yhtä suuri kuin moduulin tulo), joten alkuperäinen yhtälö voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:

\[\left| x-1 \oikea|=\vasen| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \oikea|\]

Kuten näette, meillä on todella yhteinen tekijä. Nyt, jos keräät kaikki moduulit yhdelle puolelle, voit ottaa tämän tekijän pois suluista:

\[\begin(align)& \left| x-1 \oikea|=\vasen| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \oikea|; \\& \left| x-1 \oikea|-\vasen| x-1 \right|\cdot \left| x-2 \oikea|=0; \\& \left| x-1 \oikea|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\end(tasaa)\]

Muista nyt, että tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \right|=0, \\& \left| x-2 \oikea|=1. \\\end(tasaa) \oikea.\]

Siten alkuperäinen kahdella moduulilla varustettu yhtälö on pelkistetty kahdeksi yksinkertaisimmaksi yhtälöksi, joista puhuimme aivan oppitunnin alussa. Tällaiset yhtälöt voidaan ratkaista kirjaimellisesti parilla rivillä. :)

Tämä huomautus saattaa tuntua tarpeettoman monimutkaiselta ja käytännössä soveltumattomalta. Todellisuudessa saatat kuitenkin kohdata paljon monimutkaisempia ongelmia kuin ne, joita tarkastelemme tänään. Niissä moduuleja voidaan yhdistää polynomeihin, aritmeettisiin juuriin, logaritmiin jne. Ja tällaisissa tilanteissa kyky alentaa yhtälön kokonaisastetta ottamalla jotain pois suluista voi olla erittäin hyödyllistä. :)

Nyt haluaisin tarkastella toista yhtälöä, joka voi ensi silmäyksellä tuntua hullulta. Monet opiskelijat jäävät siihen kiinni, jopa ne, jotka luulevat ymmärtävänsä moduulit hyvin.

Tämä yhtälö on kuitenkin vielä helpompi ratkaista kuin mitä tarkastelimme aiemmin. Ja jos ymmärrät miksi, saat toisen tempun yhtälöiden nopeaan ratkaisemiseen moduulien avulla.

Joten yhtälö on:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \oikea|=0\]

Ei, tämä ei ole kirjoitusvirhe: se on plussa moduulien välillä. Ja meidän on löydettävä missä $x$ kahden moduulin summa on nolla. :)

Mikä muuten on ongelmana? Mutta ongelmana on, että jokainen moduuli on positiivinen luku tai äärimmäisissä tapauksissa nolla. Mitä tapahtuu, jos lisäät kaksi positiivista lukua? Ilmeisesti taas positiivinen luku:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0,004+0,0001=0,0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\end(tasaa)\]

Viimeinen rivi saattaa antaa sinulle käsityksen: moduulien summa on vain nolla, jos jokainen moduuli on nolla:

\[\left| x-((x)^(3)) \right|+\left| ((x)^(2))+x-2 \oikea|=0\Oikeanuoli \vasen\( \begin(align)& \left| x-((x)^(3)) \right|=0, \\& \left| ((x)^(2))+x-2 \right|=0. \\\end(tasaa) \oikea.\]

Ja milloin moduuli on yhtä suuri kuin nolla? Vain yhdessä tapauksessa - kun alimodulaarinen lauseke on yhtä suuri kuin nolla:

' x=-2 \\& x=1 \\\end(tasaa) \oikea.\]

Näin ollen meillä on kolme pistettä, joissa ensimmäinen moduuli nollataan: 0, 1 ja −1; sekä kaksi pistettä, joissa toinen moduuli nollataan: −2 ja 1. Meidän on kuitenkin nollattava molemmat moduulit samanaikaisesti, joten löydetyistä numeroista on valittava ne, jotka sisältyvät molemmat setit. On selvää, että tällaisia ​​lukuja on vain yksi: $x=1$ - tämä on lopullinen vastaus.

Katkaisumenetelmä

No, olemme jo käsitelleet joukon ongelmia ja oppineet paljon tekniikoita. Luuletko, että siinä on kaikki? Mutta ei! Nyt tarkastellaan lopullista tekniikkaa - ja samalla tärkeintä. Puhumme yhtälöiden jakamisesta moduulilla. Mistä me edes puhumme? Palataanpa hieman taaksepäin ja katsotaan jotain yksinkertaista yhtälöä. Esimerkiksi tämä:

\[\left| 3x-5 \oikea|=5-3x\]

Periaatteessa tiedämme jo kuinka ratkaista tällainen yhtälö, koska se on standardikonstruktio muotoa $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. Mutta yritetään katsoa tätä yhtälöä hieman eri näkökulmasta. Tarkemmin sanottuna, harkitse moduulimerkin alla olevaa lauseketta. Haluan muistuttaa, että minkä tahansa luvun moduuli voi olla yhtä suuri kuin itse luku tai se voi olla tämän luvun vastainen:

\[\left| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Itse asiassa tämä epäselvyys on koko ongelma: koska moduulin alla oleva luku muuttuu (se riippuu muuttujasta), meille ei ole selvää, onko se positiivinen vai negatiivinen.

Mutta entä jos haluat aluksi, että tämä luku on positiivinen? Vaadimme esimerkiksi, että $3x-5 \gt 0$ - tässä tapauksessa saamme taatusti positiivisen luvun moduulimerkin alle, ja voimme päästä kokonaan eroon tästä moduulista:

Siten yhtälöstämme tulee lineaarinen, joka voidaan helposti ratkaista:

Totta, kaikki nämä ajatukset ovat järkeviä vain ehdolla $3x-5 \gt 0$ - otimme itse käyttöön tämän vaatimuksen paljastaaksemme moduulin yksiselitteisesti. Korvataan siis löydetty $x=\frac(5)(3)$ tähän ehtoon ja tarkistetaan:

Osoittautuu, että määritetylle arvolle $x$ vaatimus ei täyty, koska lauseke osoittautui yhtä suureksi kuin nolla, ja sen on oltava ehdottomasti suurempi kuin nolla. Surullista. :(

Mutta se on okei! Onhan olemassa toinenkin vaihtoehto $3x-5 \lt 0$. Lisäksi: on myös tapaus $3x-5=0$ - tämäkin on otettava huomioon, muuten ratkaisu jää kesken. Joten harkitse tapausta $3x-5 \lt 0$:

Ilmeisesti moduuli avautuu miinusmerkillä. Mutta sitten syntyy outo tilanne: sekä vasemmalla että oikealla alkuperäisessä yhtälössä näkyy sama lauseke:

Mietin, missä $x$ lauseke $5-3x$ on yhtä suuri kuin lauseke $5-3x$? Jopa Captain Obviousness tukehtuisi sylkeensä sellaisista yhtälöistä, mutta tiedämme: tämä yhtälö on identiteetti, ts. se pätee mille tahansa muuttujan arvolle!

Tämä tarkoittaa, että mikä tahansa $x$ sopii meille. Meillä on kuitenkin rajoitus:

Toisin sanoen vastaus ei ole yksittäinen numero, vaan koko väli:

Lopuksi on vielä yksi tapaus harkittavaksi: $3x-5=0$. Täällä kaikki on yksinkertaista: moduulin alla on nolla, ja nollamoduuli on myös nolla (tämä seuraa suoraan määritelmästä):

Mutta sitten alkuperäinen yhtälö $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ kirjoitetaan uudelleen seuraavasti:

Saimme tämän juuren jo yllä, kun tarkastelimme tapausta $3x-5 \gt 0$. Lisäksi tämä juuri on ratkaisu yhtälöön $3x-5=0$ - tämä on rajoitus, jonka otimme itse käyttöön moduulin nollaamiseksi. :)

Siten välin lisäksi olemme tyytyväisiä myös tämän välin lopussa olevaan numeroon:

Lopullinen vastaus yhteensä: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ Ei ole kovin yleistä nähdä tällaista paskaa vastauksessa melko yksinkertaiseen (olennaisesti lineaariseen) yhtälöön moduulilla , No, totu siihen: moduulin vaikeus on se, että tällaisten yhtälöiden vastaukset voivat osoittautua täysin arvaamattomiksi.

Jokin muu on paljon tärkeämpää: olemme juuri analysoineet universaalin algoritmin yhtälön ratkaisemiseksi moduulilla! Ja tämä algoritmi koostuu seuraavista vaiheista:

1. Yhdistä jokainen yhtälön moduuli nollaan. Saamme useita yhtälöitä;
2. Ratkaise kaikki nämä yhtälöt ja merkitse juuret numeroviivalle. Tämän seurauksena suora viiva jaetaan useisiin aikaväleihin, joista jokaisella kaikki moduulit paljastetaan yksilöllisesti;
3. Ratkaise kunkin intervallin alkuperäinen yhtälö ja yhdistä vastauksesi.

Siinä kaikki! Jäljelle jää vain yksi kysymys: mitä tehdä vaiheessa 1 saaduille juurille? Oletetaan, että meillä on kaksi juuria: $x=1$ ja $x=5$. He jakavat numerorivin kolmeen osaan:

Joten mitkä ovat välit? On selvää, että niitä on kolme:

1. Vasemmanpuoleisin: $x \lt 1$ — itse yksikkö ei sisälly väliin;
2. Keski: $1\le x \lt 5$ - tässä yksi sisältyy väliin, mutta viisi ei sisälly;
3. Oikeanpuoleisin: $x\ge 5$ - viisi sisältyy vain tähän!

Luulen, että ymmärrät jo mallin. Jokainen intervalli sisältää vasemman pään, mutta ei sisällä oikeaa.

Ensi silmäyksellä tällainen merkintä voi tuntua epämukavalta, epäloogiselta ja yleensä jonkinasteiselta hullulta. Mutta usko minua: pienen harjoituksen jälkeen huomaat, että tämä lähestymistapa on luotettavin eikä häiritse moduulien yksiselitteistä avaamista. On parempi käyttää tällaista kaaviota kuin ajatella joka kerta: antaa vasen/oikea pää nykyiselle välille tai "heittää" se seuraavaan.

Tämä päättää oppitunnin. Lataa tehtäviä ratkaistaksesi itse, harjoittele, vertaa vastauksia - ja nähdään seuraavalla oppitunnilla, joka on omistettu eriarvoisuuksille moduulien kanssa. :)

Ohjeet

Jos moduuli esitetään jatkuvana funktiona, sen argumentin arvo voi olla joko positiivinen tai negatiivinen: |x| = x, x ≥ 0; |x| = - x, x

Moduuli on nolla ja minkä tahansa positiivisen luvun moduuli on . Jos argumentti on negatiivinen, sen etumerkki muuttuu hakasulkeiden avaamisen jälkeen miinuksesta plussaan. Tämän perusteella voidaan päätellä, että vastakohtien moduulit ovat yhtä suuret: |-x| = |x| = x.

Kompleksiluvun moduuli saadaan kaavasta: |a| = √b ² + c ² ja |a + b| ≤ |a| + |b|. Jos argumentti sisältää kertoimena positiivisen luvun, se voidaan ottaa pois hakasulkumerkistä, esimerkiksi: |4*b| = 4*|b|.

Jos argumentti esitetään kompleksilukuna, niin laskennan helpottamiseksi suorakulmaisiin sulkuihin suljettu lausekkeen termien järjestys on sallittu: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, koska (2-3) on pienempi kuin nolla.

Potenssiin nostettu argumentti on samanaikaisesti saman kertaluvun juuren merkin alla - se ratkaistaan ​​käyttämällä: √a² = |a| = ±a.

Jos sinulla on tehtävä, jossa moduulisulujen laajentamisen ehtoa ei ole määritetty, niistä ei tarvitse päästä eroon - tämä on lopputulos. Ja jos sinun on avattava ne, sinun on osoitettava ±-merkki. Esimerkiksi sinun on löydettävä lausekkeen √(2 * (4-b))² arvo. Hänen ratkaisunsa näyttää tältä: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Koska lausekkeen 4-b merkkiä ei tunneta, se on jätettävä sulkeisiin. Jos lisäät lisäehdon, esimerkiksi |4-b| >

Nollan moduuli on yhtä suuri kuin nolla, ja minkä tahansa positiivisen luvun moduuli on yhtä suuri kuin itsensä. Jos argumentti on negatiivinen, sen etumerkki muuttuu hakasulkeiden avaamisen jälkeen miinuksesta plussaan. Tämän perusteella voidaan päätellä, että vastakkaisten lukujen moduulit ovat yhtä suuret: |-x| = |x| = x.

Kompleksiluvun moduuli saadaan kaavasta: |a| = √b ² + c ² ja |a + b| ≤ |a| + |b|. Jos argumentissa on tekijänä positiivinen kokonaisluku, se voidaan ottaa pois hakasulkumerkistä, esimerkiksi: |4*b| = 4*|b|.

Moduuli ei voi olla negatiivinen, joten mikä tahansa negatiivinen luku muunnetaan positiiviseksi: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.

Jos argumentti esitetään kompleksiluvun muodossa, niin laskennan helpottamiseksi on sallittua muuttaa suorakaiteen muotoisiin sulkuihin suljetun lausekkeen termien järjestystä: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, koska (2-3) on pienempi kuin nolla.

Jos sinulla on tehtävä, jossa moduulisulujen laajentamisen ehtoa ei ole määritetty, niistä ei tarvitse päästä eroon - tämä on lopputulos. Ja jos sinun on avattava ne, sinun on osoitettava ±-merkki. Esimerkiksi sinun on löydettävä lausekkeen √(2 * (4-b))² arvo. Hänen ratkaisunsa näyttää tältä: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Koska lausekkeen 4-b merkkiä ei tunneta, se on jätettävä sulkeisiin. Jos lisäät lisäehdon, esimerkiksi |4-b| > 0, niin tulos on 2 * |4-b| = 2*(4 - b). Tuntematon elementti voidaan asettaa myös tietylle numerolle, mikä tulee ottaa huomioon, koska se vaikuttaa ilmaisun merkkiin.

Tämä artikkeli on omistettu tekniikoille, joilla ratkaistaan ​​erilaisia ​​yhtälöitä ja epäyhtälöitä, jotka sisältävät
muuttuja moduulimerkin alla.

Jos törmäät kokeessa yhtälöön tai epäyhtälöön, jolla on moduuli, voit ratkaista sen seuraavasti
tuntematta lainkaan erityisiä menetelmiä ja käyttämällä vain moduulimäärittelyä. Onko se totta,
Tämä voi viedä puolitoista tuntia arvokasta koeaikaa.

Siksi haluamme kertoa sinulle tekniikoista, jotka yksinkertaistavat tällaisten ongelmien ratkaisemista.

Ensinnäkin muistetaan se

Katsotaanpa eri tyyppejä yhtälöt moduulilla. (Epätasa-arvoon siirrymme myöhemmin.)

Moduuli vasemmalla, numero oikealla

Tämä on yksinkertaisin tapaus. Ratkaistaan ​​yhtälö

On vain kaksi lukua, joiden moduulit ovat yhtä suuret kuin neljä. Nämä ovat 4 ja −4. Siksi yhtälö
vastaa kahden yksinkertaisen yhdistelmää:

Toisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Ensimmäisen ratkaisut: x = 0 ja x = 5.

Vastaus: 0; 5.

Muuttuva sekä moduulin alla että ulkoisen moduulin alla

Tässä meidän on laajennettava moduulia määritelmän mukaan. . . tai ajattele!

Yhtälö jakautuu kahteen tapaukseen riippuen moduulin alla olevan lausekkeen etumerkistä.
Toisin sanoen se vastaa kahden järjestelmän yhdistelmää:

Ensimmäisen järjestelmän ratkaisu: . Toisessa järjestelmässä ei ole ratkaisuja.
Vastaus: 1.

Ensimmäinen tapaus: x ≥ 3. Irrota moduuli:

Luku, joka on negatiivinen, ei täytä ehtoa x ≥ 3, joten se ei ole alkuperäisen yhtälön juuri.

Selvitetään, täyttääkö numero tämän ehdon. Tätä varten muodostamme eron ja määritämme sen merkin:

Tämä tarkoittaa, että se on suurempi kuin kolme ja on siksi alkuperäisen yhtälön juuri

Toinen tapaus: x< 3. Снимаем модуль:

Numero . suurempi kuin , ja siksi se ei täytä ehtoa x< 3. Проверим :

Tarkoittaa,. on alkuperäisen yhtälön juuri.

Poistetaanko moduuli määritelmän mukaan? On pelottavaa edes ajatella sitä, koska erottaja ei ole täydellinen neliö. Käytetään paremmin seuraavaa pohdintaa: yhtälö muotoa |A| = B vastaa kahden järjestelmän yhdistelmää:

Sama asia, mutta hieman erilainen:

Toisin sanoen ratkaisemme kaksi yhtälöä, A = B ja A = −B, ja valitsemme sitten juuret, jotka täyttävät ehdon B ≥ 0.

Aloitetaan. Ensin ratkaisemme ensimmäisen yhtälön:

Sitten ratkaisemme toisen yhtälön:

Nyt tarkastetaan jokaisessa tapauksessa oikean puolen merkki:

Siksi vain ja sopivat.

Neliöyhtälöt korvauksella |x| = t

Ratkaistaan ​​yhtälö:

Koska , on kätevää tehdä korvaava |x| = t. Saamme:

Vastaus: ±1.

Moduuli yhtä suuri kuin moduuli

Puhumme yhtälöistä muotoa |A| = |B|. Tämä on kohtalon lahja. Ei moduulin paljastamista määritelmän mukaan! Se on yksinkertaista:

Harkitse esimerkiksi yhtälöä: . Se vastaa seuraavaa sarjaa:

Jäljelle jää ratkaista jokainen joukon yhtälö ja kirjoittaa vastaus muistiin.

Kaksi tai useampi moduuli

Ratkaistaan ​​yhtälö:

Älkäämme vaivautuko jokaiseen moduuliin erikseen ja avaamaan sitä määritelmän mukaan - vaihtoehtoja tulee liikaa. On järkevämpi tapa - intervallimenetelmä.

Moduulilausekkeet häviävät pisteistä x = 1, x = 2 ja x = 3. Nämä pisteet jakavat lukujonon neljään väliin (intervalle). Merkitään nämä pisteet numeroriville ja laitetaan merkit jokaiselle lausekkeelle moduulien alle tuloksena oleville intervalleille. (Etumerkkien järjestys on sama kuin yhtälön vastaavien moduulien järjestys.)

Siksi meidän on tarkasteltava neljää tapausta - kun x on kussakin välissä.

Tapaus 1: x ≥ 3. Kaikki moduulit poistetaan "plussalla":

Tuloksena oleva arvo x = 5 täyttää ehdon x ≥ 3 ja on siten alkuperäisen yhtälön juuri.

Tapaus 2: 2 ≤ x ≤ 3. Viimeinen moduuli on nyt poistettu "miinusmerkillä":

Tuloksena oleva x:n arvo on myös sopiva - se kuuluu tarkasteltavaan väliin.

Tapaus 3: 1 ≤ x ≤ 2. Toinen ja kolmas moduuli poistetaan "miinusmerkillä":

Olemme saaneet tarkasteltavana olevan välin minkä tahansa x:n oikean numeerisen yhtälön, jotka toimivat tämän yhtälön ratkaisuina.

Tapaus 4: x ≤ 1 ≤ 1. Toinen ja kolmas moduuli poistetaan "miinusmerkillä":

Ei mitään uutta. Tiedämme jo, että x = 1 on ratkaisu.

Vastaus: ∪ (5).

Moduuli moduulin sisällä

Ratkaistaan ​​yhtälö:

Aloitamme avaamalla sisäisen moduulin.

1) x ≤ 3. Saamme:

Moduulin alla oleva lauseke häviää kohdassa . Tämä kohta kuuluu harkittuun
välillä. Siksi meidän on analysoitava kaksi alitapausta.

1.1) Tässä tapauksessa saamme:

Tämä x-arvo ei sovellu, koska se ei kuulu tarkasteltavaan väliin.

1.2) . Sitten:

Tämä x-arvo ei myöskään ole hyvä.

Joten arvolle x ≤ 3 ei ole ratkaisuja. Siirrytään toiseen tapaukseen.

2) x ≥ 3. Meillä on:

Tässä olemme onnekkaita: lauseke x + 2 on positiivinen tarkasteluvälillä! Siksi alitapauksia ei enää ole: moduuli poistetaan "plussalla":

Tämä x:n arvo on tarkasteluvälissä ja on siksi alkuperäisen yhtälön juuri.

Näin kaikki tämän tyyppiset ongelmat ratkaistaan ​​- avaamme sisäkkäiset moduulit yksitellen, alkaen sisäisestä.