Ohjeet

Muista ensin, että murtoluku on vain tavanomainen merkintä luvun jakamiseen toisella. Lisäksi jakamalla kaksi kokonaislukua, kokonaislukua ei aina saada. Joten kutsu näitä kahta "jakoista" numeroa. Jaettu luku on osoittaja ja jaettu luku on nimittäjä.

Jos haluat kirjoittaa murtoluvun, kirjoita ensin osoittaja, piirrä sitten vaakaviiva luvun alle ja kirjoita nimittäjä rivin alle. Vaakaviivaa, joka erottaa osoittajan ja nimittäjän, kutsutaan murtoviivaksi. Joskus se on kuvattu vinoviivana "/" tai "∕". Tässä tapauksessa osoittaja kirjoitetaan rivin vasemmalle puolelle ja nimittäjä oikealle. Joten esimerkiksi murto-osa "kaksi kolmasosaa" kirjoitetaan 2/3. Selvyyden vuoksi osoittaja kirjoitetaan yleensä rivin yläosaan ja nimittäjä alareunaan, eli 2/3:n sijaan löydät: ⅔.

Jos murto-osan osoittaja on suurempi kuin sen nimittäjä, niin väärä murto-osa kirjoitetaan yleensä sekamurtolukuna. Jos haluat muodostaa sekaluvun väärästä murtoluvusta, jaa osoittaja nimittäjällä ja kirjoita tuloksena oleva osamäärä. Aseta sitten jaon loppuosa murtoluvun osoittajaan ja kirjoita tämä murtoosamäärän oikealle puolelle (älä koske nimittäjään). Esimerkiksi 7/3 = 2⅓.

Jos haluat lisätä kaksi murto-osaa, joilla on sama nimittäjä, lisää vain niiden osoittajat (jätä nimittäjät rauhaan). Esimerkiksi 2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7. Vähennä kaksi murtolukua samalla tavalla (osoittajat vähennetään). Esimerkiksi 6/7 – 2/7 = (6-2)/7 = 4/7.

Jos haluat lisätä kaksi murto-osaa, joilla on eri nimittäjä, kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä toisen nimittäjällä ja kerro toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ensimmäisen nimittäjällä. Tuloksena saat kahden murto-osan summan, joilla on samat nimittäjät, joiden yhteenlasku on kuvattu edellisessä kappaleessa.

Esimerkiksi 3/4 + 2/3 = (3*3)/(4*3) + (2*4)/(3*4) = 9/12 + 8/12 = (9+8)/12 = 12/17 = 1 5/12.

Jos murtolukujen nimittäjillä on yhteisiä kertoimia, eli ne ovat jaollisia samalla luvulla, valitse yhteiseksi nimittäjäksi pienin luku, joka on jaollinen ensimmäisellä ja toisella nimittäjällä samanaikaisesti. Joten esimerkiksi jos ensimmäinen nimittäjä on 6 ja toinen on 8, niin yhteiseksi nimittäjäksi ei oteta heidän tuloaan (48), vaan luku 24, joka on jaollinen sekä 6:lla että 8:lla. Murtolukujen osoittajat ovat kerrottuna jakamalla yhteinen nimittäjä kunkin murtoluvun nimittäjällä. Esimerkiksi nimittäjälle 6 tämä luku on 4 – (24/6) ja nimittäjälle 8 – 3 (24/8). Tämä prosessi näkyy selkeämmin tietyssä esimerkissä:

5/6 + 3/8 = (5*4)/24 + (3*3)/24 = 20/24 + 9/24 = 29/24 = 1 5/24.

Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen tapahtuu täsmälleen samalla tavalla.

Sovitaan, että "toiminnot murtoluvuilla" tarkoittavat oppitunnillamme toimintaa tavallisilla murtoluvuilla. Yhteinen murtoluku on murto-osa, jolla on attribuutteja, kuten osoittaja, murtoviiva ja nimittäjä. Tämä erottaa tavallisen murtoluvun desimaaliluvusta, joka saadaan tavallisesta murtoluvusta vähentämällä nimittäjä 10:n kerrannaiseksi. Desimaalimurto kirjoitetaan pilkulla, joka erottaa koko osan murto-osasta. Puhumme operaatioista tavallisilla murtoluvuilla, koska ne aiheuttavat eniten vaikeuksia opiskelijoille, jotka ovat unohtaneet tämän koulun matematiikan kurssin ensimmäisellä puoliskolla käsitellyn aiheen perusteet. Samanaikaisesti korkeamman matematiikan lausekkeita muunnettaessa käytetään pääasiassa operaatioita tavallisilla murtoluvuilla. Vain murto-osien lyhenteet ovat sen arvoisia! Desimaalimurtoluvut eivät aiheuta erityisiä vaikeuksia. Joten, eteenpäin!

Kahden murtoluvun sanotaan olevan yhtä suuri, jos .

Esimerkiksi siitä lähtien

Murtoluvut ja (kun) ja (kun) ovat myös yhtä suuret.

Ilmeisesti molemmat murtoluvut ja ovat yhtä suuret. Tämä tarkoittaa, että jos tietyn murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan tai jaetaan samalla luonnollisella luvulla, saadaan murto, joka on yhtä suuri kuin annettu: .

Tätä ominaisuutta kutsutaan murto-osan perusominaisuudeksi.

Murtoluvun perusominaisuudella voidaan muuttaa murtoluvun osoittajan ja nimittäjän etumerkkejä. Jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan -1:llä, saadaan . Tämä tarkoittaa, että murto-osan arvo ei muutu, jos osoittajan ja nimittäjän etumerkkejä muutetaan samanaikaisesti. Jos muutat vain osoittajan tai vain nimittäjän etumerkkiä, murtomerkki muuttaa etumerkkiään:

Murtolukujen vähentäminen

Murtoluvun perusominaisuutta käyttämällä voit korvata annetun murtoluvun toisella murtoluvulla, joka on yhtä suuri kuin annettu, mutta pienemmällä osoittajalla ja nimittäjällä. Tätä substituutiota kutsutaan fraktion vähentämiseksi.

Annetaan esimerkiksi murto-osa. Numeroilla 36 ja 48 on suurin yhteinen jakaja 12. Sitten

.

Yleensä murto-osan pienentäminen on aina mahdollista, jos osoittaja ja nimittäjä eivät ole keskenään alkulukuja. Jos osoittaja ja nimittäjä ovat keskenään alkulukuja, niin murto-osaa kutsutaan redusoitumattomaksi.

Joten murto-osan vähentäminen tarkoittaa murtoluvun osoittajan ja nimittäjän jakamista yhteisellä kertoimella. Kaikki yllä oleva koskee myös muuttujia sisältäviä murtolausekkeita.

Esimerkki 1. Pienennä fraktiota

Ratkaisu. Jos haluat kertoa osoittajan, esitä ensin monomi - 5 xy summana - 2 xy - 3xy, saamme

Nimittäjän kertoimeksi käytämme neliöiden erotuskaavaa:

Tuloksena

.

Murtolukujen pelkistäminen yhteiseksi nimittäjäksi

Olkoon kaksi murtolukua ja . Niillä on eri nimittäjät: 5 ja 7. Murtolukujen perusominaisuutta käyttämällä voit korvata nämä murtoluvut muilla, jotka ovat yhtä suuret kuin ne, ja siten, että tuloksena olevilla murtoluvuilla on samat nimittäjät. Kerrotaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä 7:llä, saadaan

Kerrotaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä 5:llä, saadaan

Joten murtoluvut vähennetään yhteiseksi nimittäjäksi:

.

Mutta tämä ei ole ainoa ratkaisu ongelmaan: esimerkiksi nämä murtoluvut voidaan myös vähentää yhteiseksi nimittäjäksi 70:

,

ja yleensä mihin tahansa nimittäjään, joka on jaollinen sekä 5:llä että 7:llä.

Tarkastellaanpa toista esimerkkiä: tuodaan murtoluvut ja yhteiseen nimittäjään. Väittelemällä kuten edellisessä esimerkissä saamme

,

.

Mutta tässä tapauksessa on mahdollista vähentää murtoluvut yhteiseen nimittäjään, joka on pienempi kuin näiden murto-osien nimittäjien tulo. Etsitään lukujen 24 ja 30 pienin yhteinen kerrannainen: LCM(24, 30) = 120.

Koska 120:4 = 5, jos haluat kirjoittaa murtoluvun, jonka nimittäjä on 120, sinun on kerrottava sekä osoittaja että nimittäjä 5:llä, tätä lukua kutsutaan lisätekijäksi. Keinot .

Seuraavaksi saamme 120:30=4. Kerrotaan murto-osan osoittaja ja nimittäjä lisäkertoimella 4, saadaan .

Joten nämä murtoluvut pelkistetään yhteiseksi nimittäjäksi.

Näiden murtolukujen nimittäjien pienin yhteinen kerrannainen on pienin mahdollinen yhteinen nimittäjä.

Murtolukulausekkeissa, joissa on muuttujia, yhteinen nimittäjä on polynomi, joka jaetaan kunkin murtoluvun nimittäjällä.

Esimerkki 2. Etsi murto-osien yhteinen nimittäjä ja.

Ratkaisu. Näiden murtolukujen yhteinen nimittäjä on polynomi, koska se on jaollinen molemmilla ja. Tämä polynomi ei kuitenkaan ole ainoa, joka voi olla näiden murtolukujen yhteinen nimittäjä. Se voi olla myös polynomi , ja polynomi , ja polynomi jne. Yleensä niillä on sellainen yhteinen nimittäjä, että mikä tahansa muu yhteinen nimittäjä jaetaan valitulla ilman jäännöstä. Tätä nimittäjää kutsutaan pienimmäksi yhteiseksi nimittäjäksi.

Esimerkissämme pienin yhteinen nimittäjä on . Sain:

;

.

Pystyimme vähentämään murtoluvut niiden pienimpään yhteiseen nimittäjään. Tämä tapahtui kertomalla ensimmäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla ja toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kertomalla . Polynomeja kutsutaan lisätekijöiksi ensimmäiselle ja toiselle murtoluvulle.

Murtolukujen lisääminen ja vähentäminen

Fraktioiden lisääminen määritellään seuraavasti:

.

Esimerkiksi,

.

Jos b = d, Tuo

.

Tämä tarkoittaa, että jos haluat lisätä murto-osia, joilla on sama nimittäjä, riittää, kun lisäät osoittajat ja jättää nimittäjä ennalleen. Esimerkiksi,

.

Jos lisäät murto-osia eri nimittäjillä, vähennät yleensä murtoluvut pienimpään yhteiseen nimittäjään ja lisäät sitten osoittajat. Esimerkiksi,

.

Katsotaanpa nyt esimerkkiä murtolukulausekkeiden lisäämisestä muuttujien kanssa.

Esimerkki 3. Muunna lauseke yhdeksi murtoluvuksi

.

Ratkaisu. Etsitään pienin yhteinen nimittäjä. Tätä varten laskemme ensin nimittäjät tekijöihin.

Murtolukujen kertominen ja jako.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Tämä operaatio on paljon mukavampi kuin yhteen- ja vähennyslasku! Koska se on helpompaa. Muistutuksena, jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava osoittajat (tämä on tuloksen osoittaja) ja nimittäjät (tämä on nimittäjä). Tuo on:

Esimerkiksi:

Kaikki on erittäin yksinkertaista. Ja älä etsi yhteistä nimittäjää! Ei häntä täällä tarvita...

Jos haluat jakaa murto-osan murtoluvulla, sinun on käännettävä toinen(tämä on tärkeää!) murtoluku ja kerro ne, eli:

Esimerkiksi:

Jos törmäät kerto- tai jakolaskuihin kokonaisluvuilla ja murtoluvuilla, se on okei. Kuten yhteenlaskussa, teemme murto-osan kokonaisluvusta, jonka nimittäjässä on yksi - ja jatka eteenpäin! Esimerkiksi:

Lukiossa joutuu usein käsittelemään kolmikerroksisia (tai jopa nelikerroksisia!) murto-osia. Esimerkiksi:

Miten saan tämän jakeen näyttämään kunnolliselta? Kyllä, hyvin yksinkertaista! Käytä kahden pisteen jakoa:

Mutta älä unohda jakojärjestystä! Toisin kuin kertolasku, tämä on erittäin tärkeää tässä! Emme tietenkään sekoita 4:2 tai 2:4. Mutta kolmikerroksisessa murto-osassa on helppo tehdä virhe. Huomaa esimerkiksi:

Ensimmäisessä tapauksessa (lauseke vasemmalla):

Toisessa (lauseke oikealla):

Tunnetko eron? 4 ja 1/9!

Mikä määrittää jakojärjestyksen? Joko suluilla tai (kuten tässä) vaakaviivojen pituudella. Kehitä silmääsi. Ja jos ei ole sulkeita tai viivoja, kuten:

sitten jaa ja kerro järjestyksessä, vasemmalta oikealle!

Ja toinen hyvin yksinkertainen ja tärkeä tekniikka. Tutkintotoimissa se on sinulle niin hyödyllistä! Jaetaan yksi millä tahansa murtoluvulla, esimerkiksi luvulla 13/15:

Laukaus on kääntynyt! Ja tätä tapahtuu aina. Kun jaetaan 1 millä tahansa murtoluvulla, tulos on sama murto-osa, vain ylösalaisin.

Siinä se operaatioille murtolukujen kanssa. Asia on melko yksinkertainen, mutta se antaa enemmän kuin tarpeeksi virheitä. Ota käytännön neuvot huomioon, niin niitä (virheitä) tulee vähemmän!

Käytännön vinkkejä:

1. Murtolausekkeiden kanssa työskennellessä tärkeintä on tarkkuus ja tarkkaavaisuus! Nämä eivät ole yleisiä sanoja, eivät hyviä toiveita! Tämä on kipeä välttämättömyys! Tee kaikki Unified State Exam -kokeen laskelmat täysimittaisena tehtävänä, keskittyneenä ja selkeänä. On parempi kirjoittaa luonnoksiin kaksi ylimääräistä riviä kuin sotkea mielenlaskuja.

2. Esimerkeissä, joissa on erityyppisiä murtolukuja, siirrytään tavallisiin murtolukuihin.

3. Vähennämme kaikkia murtolukuja, kunnes ne pysähtyvät.

4. Pelistämme monitasoiset murtolausekkeet tavallisiksi käyttämällä kahden pisteen jakoa (noudatamme jakojärjestystä!).

5. Jaa yksikkö päässäsi olevalla murto-osalla yksinkertaisesti kääntämällä murto-osa ympäri.

Tässä on tehtävät, jotka sinun on ehdottomasti suoritettava. Vastaukset annetaan kaikkien tehtävien jälkeen. Käytä tätä aihetta käsitteleviä materiaaleja ja käytännön vinkkejä. Arvioi kuinka monta esimerkkiä pystyit ratkaisemaan oikein. Ensimmäinen kerta! Ilman laskinta! Ja tee oikeat johtopäätökset...

Muista - oikea vastaus on toisesta (etenkin kolmannesta) kerrasta saatuja ei lasketa! Sellaista se ankara elämä on.

Niin, ratkaista koetilassa ! Tämä on muuten jo valmistautumista Unified State -kokeeseen. Ratkaisemme esimerkin, tarkistamme sen, ratkaisemme seuraavan. Päätimme kaiken - tarkistimme uudelleen ensimmäisestä viimeiseen. Mutta vain Sitten katso vastauksia.

Laskea:

Oletko päättänyt?

Etsimme vastauksia, jotka vastaavat sinun vastauksiasi. Kirjoitin ne tarkoituksella ylös sekaisin, niin sanoakseni pois kiusauksesta... Tässä ne ovat, puolipisteillä kirjoitetut vastaukset.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Nyt tehdään johtopäätökset. Jos kaikki sujui, olen iloinen puolestasi! Peruslaskelmat murtoluvuilla eivät ole sinun ongelmasi! Voit tehdä vakavampia asioita. Jos ei...

Sinulla on siis toinen kahdesta ongelmasta. Tai molemmat kerralla.) Tiedon puute ja (tai) välinpitämättömyys. Mutta tämä ratkaistavissa Ongelmia.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

1. Jos haluat lisätä murtolukuja, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen.
2. Vähentääksesi murto-osia, joilla on samanlainen nimittäjä, sinun on vähennettävä minuutin osoittaja minuutin osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen.
3. Jos haluat lisätä tai vähentää murtolukuja, joilla on eri nimittäjä, sinun on ensin vähennettävä ne yhteiseksi nimittäjäksi ja sitten on sovellettava yhteisen nimittäjän murtolukujen lisäämissääntöä.
4. Murtolukujen tulo on murtoluku, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin näiden murtolukujen osoittajien tulo, ja nimittäjä on näiden murtolukujen nimittäjien tulo.
5. Jos haluat jakaa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava osinko jakajan käänteisluvulla.
6. Mikä tahansa luonnollinen luku voidaan esittää murtolukuna millä tahansa luonnollisella nimittäjällä.
7. Jos haluat muuntaa murtoluvun (tai luonnollisen luvun) uudeksi nimittäjäksi, sinun on käytettävämurto-osan pääominaisuus :

Jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla, joka ei ole nolla, saadaan murto-osa, joka on yhtä suuri kuin annettu.

Säännöt sekalukujen käsittelyyn.

Sekaluku on luonnollisen luvun ja oikean murtoluvun summa. Luonnollista lukua kutsutaan kokonaislukuosuudeksi ja oikeaa murtolukua sekaluvun murto-osiksi.

Esimerkiksi, - sekoitettu fraktio.

1. Jos haluat lisätä sekalukuja, sinun on lisättävä kokonaiset osat erikseen ja murto-osat erikseen ja yhdistettävä saadut tulokset. Jos murto-osasta tulee lisäyksen seurauksena väärä murto-osa, koko osa on erotettava siitä ja lisättävä tuloksen koko osaan.
2. Jos sekalukujen murto-osilla on eri nimittäjät, ne on ensin saatava yhteiseen nimittäjään ja sitten on sovellettava sekalukujen yhteenlaskemissääntöä.
3. Sekalukujen vähentämiseksi sinun on vähennettävä kokonaisluku- ja murto-osa erikseen ja lisättävä sitten tulokset. Tämä on mahdollista, jos minuutin kokonaisluku- ja murto-osa ovat vastaavasti suurempia kuin osaluvun kokonaisluku- ja murto-osat.
4. Jos minuutin murto-osa on pienempi kuin aliosan murto-osa, sinun on otettava yksikkö minuutin koko osasta, esitettävä se murto-osana, jolla on sama nimittäjä, ja lisättävä se minuutin murto-osaan . Käytä sitten murtolukujen vähentämissääntöä.
5. Huomio! Ei ole tarvetta esittää koko minuuttia ja alaosaa vääränä murtolukuna! Tämä voi johtaa laskentavirheisiin!
6. Jos sekaluvuilla on eri nimittäjät, sinun on ennen vähentämistä tuotava ne yhteiseen nimittäjään ja sovellettava sitten sekalukujen vähentämissääntöä.
7. Voit kertoa tai jakaa sekalukuja ilmaisemalla ne virheellisinä murtolukuina ja soveltamalla sitten yleisten murtolukujen kerto- tai jakamissääntöä.

Murto-osa- luvun esittämisen muoto matematiikassa. Murto-osiopalkki tarkoittaa jakotoimintoa. Osoittaja murto-osaa kutsutaan osingoksi, ja nimittäjä-jakaja. Esimerkiksi murtoluvussa osoittaja on 5 ja nimittäjä 7.

Oikea Kutsutaan murtolukua, jossa osoittajan moduuli on suurempi kuin nimittäjän moduuli. Jos murtoluku on oikea, niin sen arvon moduuli on aina pienempi kuin 1. Kaikki muut murtoluvut ovat väärä.

Murtolukua kutsutaan sekoitettu, jos se kirjoitetaan kokonaislukuna ja murtolukuna. Tämä on sama kuin tämän luvun ja murtoluvun summa:

Murtoluvun pääominaisuus

Jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla, murto-osan arvo ei muutu, eli esim.

Murtolukujen pelkistäminen yhteiseksi nimittäjäksi

Kahden murtoluvun saattamiseksi yhteiseen nimittäjään tarvitset:

1. Kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä
2. Kerro toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen nimittäjällä
3. Korvaa molempien murtolukujen nimittäjät niiden tulolla

Operaatiot murtoluvuilla

Lisäys. Tarvitset kahden jakeen lisäämiseen

1. Lisää molempien murtolukujen uudet osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen

Esimerkki:

Vähennyslasku. Tarvitset murto-osan vähentämiseksi toisesta

1. Pienennä murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi
2. Vähennä toisen osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätä nimittäjä ennalleen

Esimerkki:

Kertominen. Jos haluat kertoa yhden murtoluvun toisella, kerro niiden osoittajat ja nimittäjät:

Division. Jos haluat jakaa yhden murtoluvun toisella, kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä ja kerro ensimmäisen murtoluvun nimittäjä toisen osoittajalla: