missä on matriisin A ensimmäisen asteen diagonaalisten molliarvojen summa

– matriisin A toisen kertaluvun diagonaalisten molliarvojen summa

– matriisin A kolmannen kertaluvun diagonaalisten ala-arvojen summa

Antaaa= - ,b= , niin 3. asteen XY muoto on:

Kunto:

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)>

Kaksi Rösslerin ominaisyhtälöä.

Kun ratkaistaan ​​differentiaaliyhtälöjärjestelmä, on olemassa 2 singulaarista pistettä P10(0,0,0) ja P20==(c-ab,b-c/a,c/a-b), jos teet kaikki operaatiot jakobilaisen ja diagonaalisten elementtien summat, niin saadaan 2 yhtälöä Resslera:

3.3 Kolmannen asteen ominaisyhtälön ominaisarvojen tyypin määrittämisen ehto.

Kunto:

Ф(a,b,c)=(9c-ab) 2-(6b-2a 2)(6ac-2b 2)

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)=0 – kaksi (kolme) useampaa ainetta. juuri

Ф(a,b,c)>0 – kaksi kompleksista konjugaattijuurta

Ominaisuusyhtälön juuret parametreilla: 0,38; 0,30; 4,82 (epävakaa tarkennussatula).

Integraalikäyrät on muodostettava suhteessa jokaiseen singulaaripisteeseen.

Kaikki "ehdot" otetaan huomioon + ehto (s-av)>0ja (s-av)<0 рассматирваием для Ро1=(0,0,0)

Jos tarkastellaan yhtälöitä parametreilla 0,38..., niin saadaan mielenkiintoinen liikerata, joka hylätään Po1(0,0,0):sta R2:ta (x1,x2) pitkin vaiheavaruudessa R3 ja vetää puoleensa yksiulotteinen käyrä, joka muodostaa satulatyyppisen -focusin kiinteän pisteen. Esittävä piste poistuu Po1-tyypin epävakaan tasapainopisteen alueelta muuttujien tasossa (x1,x3) ja palaa sitten uudelleen tähän pisteeseen.

Homokliininen liikerata järjestelmän vaiheavaruudessa.

Vaihemuotokuva mahdollistaa laadullisen ominaisuuden kuvaamisen koko vapaan liikkeiden (prosessien) sarjasta valitulle NU-juuriavaruuden alueelle.

jos liikerata jättää koordinaattien origon, niin tehtyään täyden kierroksen yhden vakaan pisteen ympäri, se palaa takaisin alkupisteeseen - syntyy kaksi homokliinistä silmukkaa (Homokliinisen liikeradan käsite tarkoittaa, että se lähtee ja saapuu sama tasapainotila).

Homokliininen liikerata– ei tapahdu, jos parametrit eivät täytä jotakin tiukkaa rajoitusta.

Homokliinisen liikeradan rakenteellinen epävakaus.

Parametrin suurilla arvoilla lentorata muuttuu merkittävästi. Shilnikov ja Kaplan osoittivat, että erittäin suurella r:llä järjestelmä menee itsevärähtelytilaan, ja jos parametria pienennetään, havaitaan siirtymä kaaokseen värähtelyjakson kaksinkertaistumissarjan kautta.

Homokliiniset liikeradat- rakenteellisesti epävakaa.

Outo vetovoima

Outo vetovoima: epävakaa tasapaino-asento on kaoottisen käyttäytymisen pääpiirre. Liikeradat ovat erittäin herkkiä alkuolosuhteiden muutoksille - tämä laatu on ominaista omituisille houkuttelijoille.

Outo attraktori on attraktori, jolla on kaksi merkittävää eroa tavalliseen houkuttimeen: tällaisen attraktorin liikerata on ei-jaksollinen (se ei sulkeudu) ja toimintatila on epävakaa (pienet poikkeamat moodista lisääntyvät). Attraktorin kaoottisuuden pääkriteeri on eksponentiaalinen pienten häiriöiden ajan pidentyminen. Seurauksena on "sekoittuminen" järjestelmässä, järjestelmän minkä tahansa koordinaatin ajallinen epäjaksoisuus, jatkuva tehospektri ja ajassa pienenevä autokorrelaatiofunktio.

Dynamiikka outoissa attraktoreissa on usein kaoottista: houkuttimeen putoavan lentoradan ennustaminen on vaikeaa, koska pieni epätarkkuus alkutiedoissa voi jonkin ajan kuluttua johtaa vahvaan poikkeamaan ennusteen ja todellisen lentoradan välillä. Determinististen dynaamisten järjestelmien liikeradan arvaamattomuutta kutsutaan dynaamiseksi kaaokseksi, mikä erottaa sen stokastisissa dynaamisissa järjestelmissä syntyvästä stokastisesta kaaoksesta. Tätä ilmiötä kutsutaan myös perhosilmiöksi, mikä tarkoittaa mahdollisuutta muuttaa heikot turbulenttiset ilmavirrat, jotka johtuvat perhosen siipien räpytyksestä yhdessä planeetan pisteessä, voimakkaaksi tornadoksi toisella puolella, koska ne voivat moninkertaisesti voimistua ilmakehässä. Aikavälillä.

Onko mahdollista käyttäytyä yhtä aikaa sekä stokastista että säännöllistä? Vai onko se aina joko säännöllistä vai stokastista?

Monien muuttujien (n>2) dynaamisten dissipatiivisten järjestelmien sekä säännöllinen että kaoottinen käyttäytyminen ovat mahdollisia, ei vain erikseen (joko tai), vaan myös samanaikaisesti.

Ei voida sanoa, että järjestelmä menisi kaaokseen ensimmäisen haarautuman jälkeen (koska se meni yhteen paikkaan ja tuli toiseen)

Miksi kolmas tilaus? Voiko toisen kertaluvun järjestelmissä syntyä outoja attraktoreja? Ja kolmannen asteen järjestelmissä?

Tarkemmat matemaattiset ehdot kaaoksen syntymiselle näyttävät tältä:

Järjestelmällä on oltava epälineaariset ominaisuudet, globaalisti stabiili, mutta vähintään yksi epävakaa värähtelevän tyyppinen tasapainopiste ja järjestelmän dimensio on vähintään 1,5 (eli differentiaaliyhtälön järjestys on vähintään 3).

Lineaariset järjestelmät eivät ole koskaan kaoottisia. Jotta dynaaminen järjestelmä olisi kaoottinen, sen on oltava epälineaarinen. Poincaré-Bendixsonin lauseen mukaan jatkuva dynaaminen järjestelmä tasossa ei voi olla kaoottinen. Jatkuvien järjestelmien joukossa vain ei-tasaiset spatiaaliset järjestelmät käyttäytyvät kaoottisesti (vähintään kolmen ulottuvuuden tai ei-euklidisen geometrian läsnäolo vaaditaan). Diskreetti dynaaminen järjestelmä voi jossain vaiheessa kuitenkin käyttäytyä kaoottisesti jopa yksi- tai kaksiulotteisessa tilassa.

Luento 3. Integroitavat ja ei-integroidut järjestelmät. Konservatiiviset järjestelmät

Integroidut järjestelmät

1. Pelkistävissä järjestelmien vapaaseen (häiriöttömään) liikkumiseen. Mitä tapahtuu, jos on redusoitumattomuus?

Integroitavissa järjestelmissä voimme eliminoida vuorovaikutuksia ja vähentää ongelman ongelmaksi vapaa liikkuvuus. Vapaalle liikkeelle ei ole vaikeaa löytää ilmaisuja koordinaateille ja nopeuksille eksplisiittisten ajan funktioiden muodossa. Ei-integroitavissa järjestelmissä on välttämätöntä luopua lentoratojen kuvauksesta ja mennä todennäköisyyskuvaukseen (pelkistyskyvyttömyydellä).

Onko mahdollista kuvata ei-integroituvaa järjestelmää lentoratojen avulla?

ei mahdotonta. Puhumme pohjimmiltaan todennäköisestä kuvauksesta, jota ei voi pelkistää kuvaukseksi yksittäisten lentoratojen perusteella.

Voiko deterministisellä yhtälöllä määritellyllä järjestelmällä olla stokastista dynamiikkaa?

D. s. vastustaa todennäköisyysjärjestelmää, jonka lähdöt ovat vain satunnaisesti, eivätkä yksiselitteisesti riippuvaisia ​​tuloista (ds:ssä se riippuu yksiselitteisesti tuloista).Mutta mikä tahansa järjestelmä, vaikka se olisikin deterministinen, sisältää jonkin verran satunnaisuutta.

Hei kaikki!

Tämä artikkeli on omistettu kaaoksen maailman hämmästyttäville piirteille. Yritän puhua kuinka hillitä niin outoa ja monimutkaista asiaa kuin kaoottinen prosessi ja oppia luomaan omia yksinkertaisia ​​kaaosgeneraattoreita. Yhdessä kanssasi siirrymme kuivasta teoriasta avaruuden kaoottisten prosessien kauniiseen visualisointiin. Erityisesti käytän hyvin tunnettujen kaoottisten attraktoreiden esimerkkiä, ja osoitan kuinka luodaan dynaamisia järjestelmiä ja käytetään niitä ohjelmoitaviin logiikka-integraatteihin (FPGA) liittyvissä ongelmissa.

Johdanto

Kaaosteoria on epätavallinen ja nuori tiede, joka kuvaa epälineaaristen dynaamisten järjestelmien käyttäytymistä. Syntyessään kaaosteoria yksinkertaisesti käänsi modernin tieteen ylösalaisin! Hän innosti tiedemiesten mielet ja pakotti heidät uppoutumaan yhä enemmän kaaoksen ja sen ominaisuuksien tutkimukseen. Toisin kuin melu, joka on satunnainen prosessi, kaaos on deterministinen. Toisin sanoen kaaokselle on olemassa kaoottista prosessia kuvaaviin yhtälöihin sisältyvien suureiden muutoslaki. Vaikuttaa siltä, ​​​​että tällä määritelmällä kaaos ei eroa muista funktiona kuvatuista värähtelyistä. Mutta se ei ole totta. Kaoottiset järjestelmät ovat erittäin herkkiä alkuolosuhteille, ja pienimmätkin muutokset niissä voivat johtaa valtaviin eroihin. Nämä erot voivat olla niin suuria, että on mahdotonta sanoa, onko tutkittu yhtä vai useampaa järjestelmää. Suosituista tieteellisistä lähteistä tätä kaaoksen ominaisuutta kuvaa parhaiten prosessi nimeltä " perhosvaikutus"Monet ihmiset ovat kuulleet siitä ja jopa lukeneet kirjoja ja katsoneet elokuvia, joissa tekniikkaa käytettiin perhostehosteella. Perhosefekti heijastelee pohjimmiltaan kaaoksen pääominaisuutta.

Amerikkalainen tiedemies Edward Lorenz, yksi kaaoksen alan pioneereista, sanoi kerran:

Siipiään räpyttelevä perhonen Iowassa voi aiheuttaa vaikutusten vyöryn, joka voi huipentua sadekauteen Indonesiassa.

Sukellaan siis kaaosteoriaan ja katsotaan, mitkä improvisoidut keinot voivat aiheuttaa kaaosta.

Teoria

Ennen kuin esittelen päämateriaalin, haluaisin antaa muutamia määritelmiä, jotka auttavat ymmärtämään ja selventämään joitain artikkelin kohtia.

Dynaaminen järjestelmä– tämä on tietty joukko elementtejä, joille on määritelty toiminnallinen suhde aikakoordinaatin ja järjestelmän kunkin elementin vaiheavaruudessa olevan sijainnin välillä. Yksinkertaisesti sanottuna dynaaminen järjestelmä on järjestelmä, jonka tila avaruudessa muuttuu ajan myötä.
Monet fysikaaliset prosessit luonnossa kuvataan yhtälöjärjestelmillä, jotka ovat dynaamisia järjestelmiä. Näitä ovat esimerkiksi palamisprosessit, nesteiden ja kaasujen virtaus, magneettikenttien ja sähköisten värähtelyjen käyttäytyminen, kemialliset reaktiot, meteorologiset ilmiöt, kasvi- ja eläinpopulaatioiden muutokset, merivirtojen turbulenssi, planeettojen ja jopa galaksien liikkeet. Kuten näet, monet fysikaaliset ilmiöt voidaan kuvata tavalla tai toisella kaoottiseksi prosessiksi.

Vaihe muotokuva on koordinaattitaso, jossa jokainen piste vastaa dynaamisen järjestelmän tilaa tietyllä hetkellä. Toisin sanoen tämä on järjestelmän spatiaalinen malli (voi olla kaksiulotteinen, kolmiulotteinen ja jopa neliulotteinen tai enemmän).

Houkuttelija– tietty joukko dynaamisen järjestelmän vaiheavaruutta, jonka kaikki liikeradat vetäytyvät tähän joukkoon ajan myötä. Hyvin yksinkertaisesti sanottuna tämä on tietty alue, jolle järjestelmän käyttäytyminen avaruudessa on keskittynyt. Monet kaoottiset prosessit ovat houkuttelevia, koska ne ovat keskittyneet tietylle tilan alueelle.

Toteutus

Tässä artikkelissa haluaisin puhua neljästä tärkeimmästä houkuttimesta - Lorentz, Ressler, Rikitake ja Nose-Hoover. Teoreettisen kuvauksen lisäksi artikkelissa käsitellään dynaamisten järjestelmien luomista ympäristöön MATLAB Simulink ja niiden integroiminen edelleen yhtiön FPGA:han Xilinx työkalun avulla Järjestelmän generaattori. Miksei VHDL/Verilog? Attraktoreita on mahdollista syntetisoida RTL-kielillä, mutta kaikkien prosessien parempaan visualisointiin MATLAB on ihanteellinen vaihtoehto. En käsittele Ljapunov-eksponenttien spektrin laskemiseen tai Poincarén osien rakentamiseen liittyviä monimutkaisia ​​kysymyksiä. Ja vielä enemmän, ei tule olemaan hankalia matemaattisia kaavoja ja johtopäätöksiä. Joten aloitetaan.

Kaaosgeneraattoreiden luomiseen tarvitsemme seuraavan ohjelmiston:

• MATLAB R2014 Simulink- ja DSP Toolbox -lisenssillä.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 System-Generator (DSP Edition) -lisenssillä

Nämä ohjelmat ovat melko raskaita, joten ole kärsivällinen, kun asennat niitä. On parempi aloittaa asennus MATLABilla ja vasta sitten asentaa Xilinx-ohjelmisto (eri järjestyksessä, jotkut ystäväni eivät pystyneet integroimaan sovellusta toiseen). Jälkimmäistä asennettaessa avautuu ikkuna, jossa voit linkittää Simulinkin ja System Generatorin. Asennuksessa ei ole mitään monimutkaista tai epätavallista, joten jätämme tämän prosessin väliin.

Lorentzin houkutin

Lorentzin houkutin on ehkä tunnetuin dynaaminen järjestelmä kaaosteoriassa. Se on jo useiden vuosikymmenten ajan herättänyt suurta huomiota monilta tutkijoilta tiettyjen fysikaalisten prosessien kuvaamiseen. Attraktori mainittiin ensimmäisen kerran vuonna 1963 E. Lorenzin teoksissa, joka osallistui ilmakehän ilmiöiden mallintamiseen. Lorentzin attraktori on kolmiulotteinen dynaaminen ensimmäisen kertaluvun epälineaaristen autonomisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmä. Sillä on monimutkainen topologinen rakenne, se on asymptoottisesti stabiili ja Ljapunov stabiili. Lorentzin attraktoria kuvataan seuraavalla differentiaaliyhtälöjärjestelmällä:

Kaavassa parametrin päällä oleva piste tarkoittaa derivaatan ottamista, joka heijastaa suuren muutosnopeutta suhteessa parametriin (derivaatan fyysinen merkitys).

Parametriarvoilla σ = 10, r= 28 ja b= 8/3 tämän yksinkertaisen dynaamisen järjestelmän on saanut E. Lorentz. Hän ei pitkään aikaan voinut ymmärtää, mitä hänen tietokoneelleen tapahtui, kunnes hän lopulta tajusi, että järjestelmällä oli kaoottisia ominaisuuksia! Se saatiin kokeiden aikana nesteen konvektion mallintamiseen. Lisäksi tämä dynaaminen järjestelmä kuvaa seuraavien fyysisten prosessien käyttäytymistä:

• – yksimuotolaserin malli,
• - konvektio suljetussa silmukassa ja tasaisessa kerroksessa,
• - vesipyörän pyöriminen,
• - harmoninen oskillaattori, jolla on inertiaalinen epälineaarisuus,
• – pilvimassojen turbulenssi jne.

Seuraavassa kuvassa näkyy Lorentz-attraktorijärjestelmä MATLABissa:

Kuvassa käytetään useita seuraavista symboleista:

• vähentäjät: SUB0-3;
• kertoimet vakiolla: SIGMA, B, R;
• kertoimet: MULT0-1;
• integraattorit, joissa on solu alkuehdon määrittämiseksi: INTEGRAATTORI X,Y,Z;
• OUT-portit: TIEDOT X,Y,Z signaaleja varten XSIG, YSIG, ZSIG;

Lisäksi kaaviossa näkyy apuanalyysityökaluja, joita ovat:

• laskentatulosten tallentaminen tiedostoon: Työtilaan X,Y,Z;
• tilakaavioiden rakentaminen: Kaavio XY, YZ, XZ;
• aikakaavioiden rakentaminen: Laajuus XYZ;
• työkaluja varattujen kideresurssien arvioimiseen ja HDL-koodin luomiseen mallista " Resurssiarvioija"ja" Järjestelmän generaattori».

Jokaisen matemaattisten operaatioiden solmun sisällä on tarpeen ilmoittaa välitiedon bittisyvyys ja niiden tyyppi. Valitettavasti FPGA:ssa ei ole niin helppoa työskennellä liukulukulla ja useimmissa tapauksissa kaikki toiminnot suoritetaan kiinteän pisteen muodossa. Parametrien väärä asetus voi johtaa vääriin tuloksiin ja aiheuttaa pettymyksen järjestelmiä rakennettaessa. Kokeilin erilaisia ​​määriä, mutta päädyin seuraavaan tietotyyppiin: 32-bittinen etumerkittyjen lukujen vektori kiinteän pisteen muodossa. Kokonaislukuosalle on varattu 12 bittiä, murto-osalle 20 bittiä.

Asettamalla järjestelmän alkuarvo integraattoreihin X, Y, Z liipaisulohkossa, esim. {10, 0, 0} , Juoksin mallia. Seuraavat kolme signaalia voidaan havaita aikapohjassa:


Vaikka simulointiaika menisi äärettömään, ajallinen toteutus ei koskaan toistu. Kaoottiset prosessit ovat ei-jaksollisia.

Kolmiulotteisessa avaruudessa Lorentzin attraktori näyttää tältä:

Voidaan nähdä, että attraktorilla on kaksi vetopistettä, joiden ympärillä koko prosessi tapahtuu. Pienellä alkuolosuhteiden muutoksella prosessi keskittyy myös näiden pisteiden ympärille, mutta sen liikeradat poikkeavat merkittävästi edellisestä versiosta.

Rössler houkutin

Toiseksi houkutteleva tekijä tieteellisissä artikkeleissa ja julkaisuissa mainittujen mainintojen määrässä. varten Rössler houkutin jolle on ominaista rajapisteen läsnäolo kaoottisten tai jaksollisten ominaisuuksien ilmentymiselle. Dynaamisen järjestelmän tietyillä parametreilla värähtelyt lakkaavat olemasta jaksollisia ja syntyy kaoottisia värähtelyjä. Eräs Rössler-attraktorin merkittävistä ominaisuuksista on fraktaalirakenne vaihetasossa eli itsesamankaltaisuuden ilmiö. Voidaan huomata, että muilla houkuttimilla on yleensä tämä ominaisuus.

Rössler-attraktoria havaitaan monissa järjestelmissä. Sitä käytetään esimerkiksi kuvaamaan nestevirtoja ja myös kuvaamaan erilaisten kemiallisten reaktioiden ja molekyyliprosessien käyttäytymistä. Rössler-järjestelmää kuvataan seuraavilla differentiaaliyhtälöillä:

MATLAB-ympäristössä attraktori rakennetaan seuraavasti:

Tilasuureiden ajallinen toteutus:

Rössler-traktorin kolmiulotteinen malli:

Bam! Arvot ovat hieman muuttuneet:

Vetokone hieman muuttuneilla alkuolosuhteilla (lentoreitit ovat erilaisia!)

Attraktori, jolla on erilaiset kertoimet yhtälöjärjestelmässä (kaoottinen prosessi on muuttunut jaksolliseksi!)

Vertaa kuvia kolmiulotteisista attraktoreista eri alkuolosuhteille ja kertoimille yhtälöjärjestelmässä. Näetkö kuinka liikeradat muuttuivat dramaattisesti ensimmäisessä tapauksessa? Mutta tavalla tai toisella ne ovat keskittyneet yhden vetovoimaalueen lähelle. Toisessa tapauksessa attraktori lakkasi näyttämästä kaaoksen merkkejä kokonaan ja muuttui suljetuksi jaksolliseksi silmukaksi (rajajakso).

Houkuttaja Rikitake

Dynamo Rikitake– yksi tunnetuista kolmannen asteen dynaamisista systeemeistä, joilla on kaoottinen käyttäytyminen. Se on kaksilevyisen dynamon malli, ja sitä ehdotettiin ensimmäisen kerran Maan geomagneettisen kentän kaoottisen inversion ongelmissa. Tiedemies Rikitake tutki dynamojärjestelmää, jossa oli kaksi toisiinsa kytkettyä levyä, jotka oli rakennettu siten, että levyn yhdestä kelasta virta virtasi toiseen ja viritti toisen levyn ja päinvastoin. Jossain vaiheessa järjestelmä alkoi toimia väärin ja näyttää odottamattomia asioita. Aktiiviset attraktorin tutkimukset mahdollistivat Rikitaken dynamon projisoinnin malliin, jossa maapallon ytimessä olevat suuret magneettikenttien pyörteet kytkeytyvät.

Rikitaken dynamoa kuvataan seuraavalla yhtälöjärjestelmällä:

Rikitake-dynamo malli MATLABissa:

Väliaikainen toteutus:

Attractor (ensimmäinen versio):

Dynamo (toinen versio)

Saatat huomata, että Rikitake-dynamo on jossain määrin samanlainen kuin Lorentz-traktori, mutta nämä ovat täysin erilaisia ​​​​järjestelmiä ja kuvaavat erilaisia ​​fysikaalisia prosesseja!

Nenä-Hoover houkutin

Vähemmän kuuluisa mutta yhtä tärkeä kolmiulotteinen dynaaminen järjestelmä on Nose-Hoover termostaatti. Käytetään molekyyliteoriassa aikareversiibelinä termostaattijärjestelmänä. Valitettavasti en tiedä tästä houkuttimesta niin paljon kuin muista, mutta pidin sitä mielenkiintoisena ja sisällytin sen arvosteluun.

Nose-Hoover-termostaatti kuvataan seuraavalla yhtälöjärjestelmällä:

Nose-Hoover malli MATLABissa:

Väliaikainen toteutus:

1

Artikkeli on omistettu aggregoitujen säätimien analyyttisen suunnittelun menetelmän käytölle ohjauslakien kehittämiseksi tyypillisille epälineaarisille dynaamisille järjestelmille, joilla on kaoottinen dynamiikka, jotka varmistavat tasapainotilojen stabiloinnin tällaisissa järjestelmissä. Artikkeli esittelee ratkaisun yhteen antikaoottisen hallinnan tyypillisistä ongelmista, nimittäin ongelmaan vaimentaa ajoittain tapahtuvia värähtelyjä tällaisissa järjestelmissä. Kaoottisille Lorentz- ja Ressler-malleille on kehitetty synergiset ohjauslait, jotka varmistavat vaihemuuttujien stabiloinnin näissä malleissa. Syntetisoidun palautteen käyttöönotto johtaa tasapainotilan syntymiseen järjestelmissä. Syntetisoitujen suljettujen dynaamisten järjestelmien tietokonemallinnus on suoritettu, mikä vahvistaa synergisen säätöteorian teoreettiset ehdot. Syntetisoituja ohjauslakeja voidaan käyttää erilaisissa teknisissä sovelluksissa niiden toiminnan tehostamiseksi.

Lorentzin malli

Ressler malli

dynaaminen järjestelmä

ohjata

synergiaa

Palaute

itsevärähtelyjä

1. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E. Luentoja epälineaarisesta dynamiikasta // Korkeakoulujen uutisia. Sovellettu epälineaarinen dynamiikka. – 2010. – T. 18. – Nro 3. – S. 186–191.

2. Kolesnikov A.A. Sovellettu synergia: systeemisynteesin perusteet. – Taganrog: Kustantaja TTI SFU, 2007. – 384 s.

3. Kolesnikov A.A. Synergisen johtamisen teoria. – M.: Energoatomizdat, 1994. – 344 s.

4. Malinetsky G.G. Kaaos. Rakenteet. Laskennallinen koe: Johdatus epälineaariseen dynamiikkaan. – M.: Pääkirjoitus URSS, 2002. – 255 s.

5. Neymark Yu.I., Landa P.S. Stokastiset ja kaoottiset värähtelyt. – M.: Nauka, 1987. – 424 s.

6. Nykyaikainen soveltavan johtamisen teoria. Osa II: Synerginen lähestymistapa ohjausteoriaan / toim. toim. A.A. Kolesnikova. – M.-Taganrog: TRTU Publishing House, 2000. – 558 s.

7. Lorenz E.N. Deterministinen ei-jaksollinen virtaus // J. Atmos. Sci. – 1963. – nro 20. – s. 130–133.

8. Rossler O.E. Jatkuvan kaaoksen yhtälö // Phys. Lett. A. – 1976. – Voi. 57A, nro 5. – s. 397–398.

Nykyään termin "kaaos" käyttö tieteellisessä tutkimuksessa liittyy tarpeeseen kuvata järjestelmiä, joille on ominaista ensi silmäyksellä täysin satunnainen dynamiikka ja samalla piilotetun järjestyksen läsnäolo niissä.

Melko kiireellistä tieteellistä ongelmaa kaoottisen dynamiikan hallinnassa ei ole ratkaistu tällä hetkellä. Sen ratkaisun lukuisista käytettävissä olevista näkökohdista erittäin tärkeäksi voidaan tunnistaa erilaisten menetelmien ja lakien tutkiminen, jotka vaimentavat epälineaaristen järjestelmien epäsäännöllisiä värähtelyjä, joille on ominaista kaoottisen dynamiikan läsnäolo.

Kaoottisen dynamiikan omaavien epälineaaristen järjestelmien ohjaamisen ongelmalla on suuri käytännön merkitys. On syytä huomata, että tässä ei ole kyse vain taistelusta kaaosta vastaan, joka usein häiritsee monimutkaisten järjestelmien toiminnan laatua, vaan myös ajatuksessa niin sanotun "kaaosjärjestyksen" syntymisestä, joka soveltuu useisiin teknologisiin prosesseihin.

Epäsäännöllisten värähtelyjen vaimennusongelma on yksi kaoottisen dynamiikan hallintamallien tyypillisistä ongelmista ja koostuu ohjaustoimenpiteiden muodostamisesta siten, että alun perin kaoottisen mallin stabiloituminen stabiilissa stationaaritilassa varmistetaan. Seuraavassa oletetaan, että mallin dynamiikkaan on mahdollista vaikuttaa jonkin ulkoisen ohjaustoiminnon avulla, joka sisältyy additiivisesti jonkin sen differentiaaliyhtälön oikealle puolelle.

Tutkimuksen tarkoitus. Tässä työssä ratkaisimme ongelman luoda skalaarisäätölakeja, jotka varmistavat kaoottisten värähtelyjen vaimenemisen Lorenzin ja Rösslerin tyypillisissä kaoottisissa järjestelmissä, joissa alkuperäisten mallien epäsäännölliset värähtelyt ovat stabiloituneet tasapainostabiiliin tilaan. Samantyyppisiä ongelmia syntyy, kun on tarpeen poistaa rakenteiden ei-toivotut värähtelyt, erilaiset äänet jne. .

Materiaalit ja tutkimusmenetelmät

Yksi menetelmistä ratkaista tehokkaasti kaaoksen hallinnan monimutkainen ongelma ja syntetisoida objektiivisia lakeja epälineaaristen järjestelmien ohjaamiseksi kaoottisella dynamiikalla on menetelmä aggregated controllers (ACAR) analyyttiseen suunnitteluun, jota on ehdottanut professori A.A. Kolesnikov.

Skalaarisäätimien rakentaminen aggregoitujen säätimien analyyttisen suunnittelun menetelmällä perustuu invarianttien sarjan käyttöönottoon, jonka geometrinen ulottuvuus on pienenevä, ja sitä seuraavaan alkuperäisen dynaamisen järjestelmän vaiheittaiseen dynaamiseen hajotukseen. Tässä tapauksessa järjestelmän esityspiste (IT) alkaa liikkua mielivaltaisesta alkutilasta ja siirtyy peräkkäin vetopinnalta toiselle, kunnes se saavuttaa muotoa ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → olevan viimeistelypinnan. .. → ψm = 0. " Sisäiset" jakosarjat ovat topologisesti upotettuja "ulkoisiin". Syntetisoituun järjestelmään syntyy siis sisäinen itsehallinnon prosessi. Seurauksena syntyy sarja sisäisiä ohjauksia, jotka puristavat järjestelmän vaihetilavuutta suunnassa vaiheavaruuden ulkopuolelta sisäisten alueiden joukkoon, kunnes IT saavuttaa halutun järjestelmän tila.

Oletetaan, että suljetun järjestelmän tila-avaruudessa on houkutteleva invariantti monisto muotoa ψ(x) = 0, joka on vaiheratojen asymptoottinen raja. Yleensä tällaisia ​​​​lajikkeita voi olla useita. Invarianttien jakotukien määrä on pääsääntöisesti sama kuin ohjauskanavien lukumäärä. Sitten järjestelmän edustava piste alkaa taipua invarianttien monistojen leikkauspisteeseen. Välttämätön ehto suljetun järjestelmän "olio-ohjaimen" esityspisteen putoamiselle invariantille monistolle ψ(x) = 0 on, että sen liike täyttää jonkin stabiilin differentiaaliyhtälön, joka on kirjoitettu suhteessa aggregoituun makromuuttujaan ψ(x). Tällaista yhtälöä synergisen ohjauksen teoriassa kutsutaan toiminnalliseksi tai evolutionaariseksi. Tyypillisesti funktionaalisten yhtälöiden järjestelmä määritellään muodon ensimmäisen kertaluvun tavallisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmäksi

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Tässä m on annettujen invarianttien monistojen lukumäärä; Ts on ohjausparametri, φ s (ψ s) on funktio, jonka on täytettävä seuraavat ehdot:

1) φ s (ψ s) on jatkuva, yksikäsitteinen ja differentioituva kaikille ψ:ille;

2) φ s(0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 mille tahansa 0:lle,

nuo. ne häviävät vain monisarjoilla φ s = 0, joiden suhteen annettujen funktionaalisten yhtälöiden järjestelmä on kokonaisuutena asymptoottisesti stabiili.

Pääsääntöisesti ACAR-menetelmä käyttää funktionaalisia yhtälöitä:

nuo. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Tämän tyyppisille yhtälöille, kuten voidaan nähdä, on tunnusomaista asymptoottinen stabiilisuus suhteessa jakosarjaan ψ s = 0 ehdolla Ts > 0.

Tässä tilanteessa kaoottisten mallien vakauttavan ohjauksen lakien syntetisoimisen ongelma yleisessä tapauksessa muotoillaan seuraavasti. On tarpeen löytää funktio uS(x) tiettynä takaisinkytkentäjoukona, joka varmistaa alkuperäisen kaoottisen mallin esityspisteen siirtymisen mielivaltaisista alkuehdoista jollain sallitulla alueella tiettyyn tilaan (tilasarjaan), joka vastaa vakaaseen tilaan. Yksinkertaisimmassa tapauksessa ohjaus menee vain yhteen alkuperäisen järjestelmän differentiaaliyhtälöön. Vaihtoehtoja voi olla, kun sama ohjaustoiminto sijaitsee lähdejärjestelmän eri riveillä.

Ohjauslakien synergisen synteesin ongelman muotoilun erottuva näkökohta on lisävaatimus järjestelmän liikkumiselle alkutilasta lopputilaan, joka koostuu järjestelmän vaihereittien asymptoottisesta vetovoimasta. järjestelmän tilaavaruudessa (SS) tietylle invariantille monistolle (jakotukien leikkauspisteelle).

Stabiloivan takaisinkytkennän sisällyttäminen alkuperäisen mallin yhtälöihin johtaa kohdennettuun muutokseen sen tila-avaruuden topologiassa. Tällaisen uudelleenjärjestelyn seurauksena kaoottinen attraktori katoaa ja muodostuu säännöllinen "piste"-tyyppinen attraktori, joka vastaa haluttua tasapainotilaa.

Tutkimustuloksia ja keskustelua

Tarkastellaan toteutetun proseduurin vaiheita stabiloivan ohjauslain syntetisoimiseksi AKAR-menetelmällä kaoottiselle Lorentz-järjestelmälle.

Lorentzin malli johdettiin alun perin Navier–Stokes- ja lämmönjohtavuusyhtälöistä tutkimaan mahdollisuutta ennustaa sääolosuhteet, kun ohjausparametrit vaihtelevat. Malli kuvaa konvektiivisten telojen liikettä nesteessä, jossa on lämpötilagradientti.

Malli edustaa seuraavaa kolmen tavallisen differentiaaliyhtälön järjestelmää:

missä σ on Prandtl-luku; ρ - normalisoitu Rayleigh-luku; parametri b riippuu tasojen keskinäisestä etäisyydestä ja vaakajaksosta.

Riisi. 1. Lorentz-järjestelmän kaoottinen attraktori

Tässä järjestelmässä tietyissä olosuhteissa muodostuu kaoottisia värähtelyjä. Kuvassa Kuvassa 1 on esitetty järjestelmän vaiheraja parametriarvoille σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 deterministisessä kaaostilassa. Tässä dynaamisessa järjestelmässä tutkittiin ensimmäistä kertaa stokastisia itsevärähtelyjä. Järjestelmän (1) kaoottinen attraktori eroaa pohjimmiltaan useimpien epälineaarisen dynamiikan mallien kaoottisista attraktoreista. Sen rakenne vastaa täysin outoa attraktoria, ja sille on ominaista vain satulan tyyppinen liike.

Oletetaan, että ohjaustoiminto u1 sisältyy järjestelmän (1) ensimmäiseen yhtälöön sisäisen palautteen muodossa:

Esitetään yksi muodon muuttumaton muunnelma

missä μ on jokin ohjausparametri.

Jos erotamme funktion ψ1 (3) ajan suhteen ja korvaamme sen derivaatan funktionaaliseen yhtälöön

saamme halutun ohjauslain:

Ohjauslaki (5) varmistaa takaisinkytkennällä (5) suljetun järjestelmän (2) edustavan pisteen siirron invariantille jakosarjalle ψ1 = 0.

Mallin esityspisteen liikkeen dynamiikkaa pitkin annettua invarianttia monistoa kuvataan käyttämällä hajautetun mallin differentiaaliyhtälöitä, jotka muodostetaan korvaamalla yhtälön ψ1 = 0 (3) lauseke toiseen ja kolmanteen yhtälöön. järjestelmästä (2):

(6)

Riisi. 2. Vaihekuvat järjestelmistä (2), (5) ja (6)

Riisi. Kuvassa 2 on havainnollistettu järjestelmän (2), (5) numeerisen simulaation tulokset ohjausparametrien arvoilla σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, jotka ovat tunnusomaisia ​​kaoottisen Lorentz-attraktorin olemassaololle ja säätimen parametrien arvot T1 = 0,1, μ = 4, jotka vahvistavat AKAR-menetelmän teoreettisten määräysten tehokkuuden. Ensimmäinen yhtälö hajautetussa järjestelmässä (6) on täysin identtinen synergiikan perusyhtälön kanssa, jossa on haarukkatyyppinen bifurkaatio.

Muodostetaan stabiloiva ohjauslaki ACAR-menetelmällä Ressler-mallille. Rössler-malli on epälineaarinen dynaaminen järjestelmä kolmannen asteen differentiaaliyhtälöiden muodossa:

jossa a, b, c ovat ohjausparametreja.

Ressler ehdotti järjestelmää (7) mallintamaan useiden kemiallisten aineiden vuorovaikutusprosesseja. Tätä järjestelmää käytetään melko usein erilaisissa tieteellisissä tutkimuksissa erityyppisistä ilmiöistä johtuen kaoottisen dynamiikan esiintymisestä ja olemassaolosta ominaisten merkkien läsnäolosta. Riisi. Kuva 3 esittää Rössler-järjestelmän kaoottista attraktoria parametriarvoilla a = b = 0,2; c = 9.

Oletetaan, että ohjaustoiminto sisältyy alkuperäisen järjestelmän toiseen yhtälöön (7):

Invariantin jakotukin tyyppi

ja funktionaalinen yhtälö (4) antavat meille mahdollisuuden saada haluttu ohjauslaki:

(10)

Ohjauslaki (10) takaa takaisinkytkennällä (10) suljetun ohjatun järjestelmän (8) edustavan pisteen siirtymisen invariantille ψ2 = 0 (9).

Riisi. 3. Rössler-järjestelmän kaoottinen attraktori

Järjestelmän liikkeen luonnetta pitkin invarianttia monistoa ψ2 = 0 kuvaa hajautettu malli:

(11)

jossa haarukkatyyppinen bifurkaatioyhtälö on ensimmäisellä rivillä.

Riisi. 4. Vaihekuvat järjestelmistä (8), (10) ja (11)

Riisi. Kuvassa 4 on havainnollistettu suljetun silmukan järjestelmän (8), (10) numeerisen simuloinnin tuloksia mallin ohjausparametrien arvoille a = b = 0,2; c = 9, jotka ovat ominaisia ​​kaoottisen tyyppisen houkuttimen syntymiselle, samoin kuin säätimen parametrien arvot T2 = 0,1; μ = 25.

Molemmissa saaduissa hajautetuissa malleissa (6), (11) ensimmäisellä rivillä olevat yhtälöt osuvat yhteen haarukkatyyppisen haaroittumisen synergiikan perusevoluutioyhtälön kanssa. Tässä suhteessa voimme vahvistaa alkuperäisten kaoottisten järjestelmien vakauttavan ohjauksen syntetisoitujen lakien luonnollisen luonteen ja epälineaarisen itseorganisaatio- ja synergiikan teorian universaalien evoluutioyhtälöiden olemassa olevan yhtenäisyyden ja sisäisen yhteyden.

Syntetisoitujen ohjauslakien luonnollinen luonne johtuu ennen kaikkea tyypillisten bifurkaatioominaisuuksien joukosta suljetuissa järjestelmissä.

Tutkimuksen tuloksena syntetisoitiin joukko takaisinkytkentäyhteyksiä, jolloin alkuperäisiä kaoottisia järjestelmiä suljettaessa tapahtuu muutos niiden käyttäytymisen luonteessa ja kaoottisen tyyppisen attraktorin muuttuminen ”piste”-tyyppiseksi attraktoriksi. Saadut ohjauslait u1 (5) ja u2 (10) takaavat asymptoottisen stabiilisuuden koko vaiheavaruudessa suhteessa haluttuihin tasapainotiloihin parametrin μ arvoilla< 0 или μ >0 vastaaville alkuperäisille kaoottisille malleille. Saadut lait u1 (5) ja u2 (10) kuuluvat objektiivisten ohjauslakien luokkaan, jotka muuttavat Lorentzin ja Resslerin järjestelmät, joilla on kaoottinen dynamiikka, itseorganisoitumisen ja synergiikan teorian evoluution perusyhtälöiksi.

Syntetisoidut ohjauslait u1 (5) ja u2 (10) ovat alkuperäisiä ja universaaleja. Niitä voidaan käyttää ohjattujen järjestelmien suunnittelussa eri tarkoituksiin, mikä lisää merkittävästi niiden toiminnan tehokkuutta.

Bibliografinen linkki

Kucherova V.Yu., Petkov V.N., Artamonov P.A. AKAR-MENETELMÄN SOVELTAMINEN TYYPILLISTEN EI-LINEAARISTEN JÄRJESTELMIEN TASAPAUTILOJEN STABILIOINTI-ONGELMAN RATKAISEMINEN // Perustutkimus. – 2016. – Nro 5-2. – s. 264-268;
URL-osoite: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (käyttöpäivä: 15.1.2020). Tuomme huomionne "Luonnontieteiden Akatemian" kustantajan julkaisemat lehdet

Materiaali Wikipediasta - vapaasta tietosanakirjasta

Rössler houkutin- kaoottinen attraktori, joka on Rösslerin differentiaaliyhtälöjärjestelmän hallussa:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matriisi)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\backslash end(matriisi)\backslash oikea.$ ;

Missä $a,b,c$- positiiviset vakiot. Parametriarvoilla $a\; =\; b\; =\; 0,2$ Ja $2,\; 6\; \backslash le\; c\; \backslash le\; 4,2$ Rösslerin yhtälöillä on vakaa rajasykli. Näille parametriarvoille rajajakson jakso ja muoto käyvät läpi jakson kaksinkertaistumissekvenssin. Heti pisteen jälkeen $c\; =\; 4,2$ kaoottisen houkuttimen ilmiö syntyy. Hyvin määritellyt rajasyklien rivit hämärtävät ja täyttävät vaiheavaruuden äärettömällä laskettavalla liikeradalla, jolla on fraktaalin ominaisuudet.

Joskus Rössler-traktorit rakennetaan koneelle, eli kanssa $z\; =\; 0$.

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matriisi)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(matriisi)\; \backslash oikea.$

Kestäviä ratkaisuja $x,\; y$ voidaan löytää laskemalla muodon Jacobian matriisin ominaisvektori , mille $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Tästä on selvää, että milloin , ominaisvektorit ovat monimutkaisia ​​ja niillä on positiivisia reaalikomponentteja, mikä tekee attraktorista epästabiilin. Nyt harkitsemme lentokonetta $Z$ samalla alueella $a$. Hei hei $x$ Vähemmän $c$, parametri $c$ pitää lentoradan lähellä konetta $x,\; y$. Niin pian kuin $x$ tulee lisää $c$, $z$-koordinaatti alkaa kasvaa ja vähän myöhemmin parametri $-z$ hidastaa kasvua $x$ V $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Tasapainopisteet

Tasapainopisteiden löytämiseksi kolme Rössler-yhtälöä asetetaan nollaksi ja $xyz$- jokaisen tasapainopisteen koordinaatit löydetään ratkaisemalla tuloksena olevat yhtälöt. Lopulta:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matriisi)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2)\; -4ab))(2a)\backslash oikea)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(matriisi)\; \backslash oikea.$

Kuten Rösslerin yleisistä attraktoriyhtälöistä käy ilmi, yksi näistä kiinteistä pisteistä on attraktorin keskustassa, kun taas muut ovat suhteellisen kaukana keskustasta.

Parametrien a, b ja c muuttaminen

Rössler-traktorin käyttäytyminen riippuu suurelta osin vakioparametrien arvoista. Kunkin parametrin muuttaminen antaa tietyn vaikutuksen, jonka seurauksena järjestelmä voi konvergoida jaksoittaiselle kiertoradalle, kiinteään pisteeseen tai ryntää äärettömään. Rössler-attraktorin jaksojen lukumäärä määräytyy sen kierrosten lukumäärästä keskipisteen ympäri, jotka tapahtuvat ennen sarjaa silmukoita.

Bifurkaatiokaaviot ovat vakiotyökalu dynaamisten järjestelmien käyttäytymisen analysointiin, mukaan lukien Rössler-traktori. Ne luodaan ratkaisemalla järjestelmäyhtälöitä, joissa kaksi muuttujaa on kiinteä ja yksi muutetaan. Tällaista kaaviota rakennettaessa saadaan lähes täysin "varjostetut" alueet; tämä on dynaamisen kaaoksen alue.

Parametrin muuttaminen a

Korjataan se $b\; =\; 0,2$, $c\; =\; 5,7$ ja me muutumme $a$.

Tuloksena kokeellisesti saamme seuraavan taulukon:

• $a\backslash leq\; 0$: Konvergoi vakaaseen pisteeseen.
• $a\; =\; 0,1$: Pyörii jaksolla 2.
• $a\; =\; 0,2$: Kaaos (Rössler-yhtälöiden vakioparametri) .
• $a\; =\; 0,3$: Kaoottinen houkutin.
• $a\; =\; 0,35$: Samanlainen kuin edellinen, mutta kaaos on selvempi.
• $a\; =\; 0,38$: Samanlainen kuin edellinen, mutta kaaos on vielä vahvempi.

Parametrin muuttaminen b

Korjataan se $a\; =\; 0,2$, $c\; =\; 5,7$ ja nyt muutamme parametria $b$. Kuten kuvasta näkyy, milloin $b$ Koska attraktori pyrkii nollaan, se on epävakaa. Kun $b$ tulee lisää $a$ Ja $c$, järjestelmä tasapainottuu ja siirtyy kiinteään tilaan.

Parametrin muuttaminen c

Korjataan se $a\; =\; b\; =\; 0,1$ ja me muutumme $c$. Bifurkaatiokaaviosta on selvää, että pienille $c$ järjestelmä on jaksollinen, mutta kasvaessaan se muuttuu nopeasti kaoottiseksi. Luvut osoittavat tarkalleen kuinka järjestelmän kaaos muuttuu lisääntyessä $c$. Esimerkiksi milloin $c$= 4 attraktorin jakso on yhtä suuri kuin yksi, ja kaaviossa on yksi rivi, sama asia toistuu, kun $c$= 3 ja niin edelleen; Hei hei $c$ ei tule enempää kuin 12: viimeiselle jaksoittaiselle käyttäytymiselle on ominaista juuri tämä arvo, sitten kaaos syntyy kaikkialla.

Annamme esimerkkejä houkuttimen käyttäytymisestä määritellyllä arvoalueella $c$, jotka kuvaavat tällaisten järjestelmien yleistä käyttäytymistä - toistuvia siirtymiä jaksollisuudesta dynaamiseen kaaokseen.

Kirjoita arvostelu artikkelista "Rössler Attractor"

Huomautuksia

Linkit

• Rakentaja

Kirjallisuus

• Voronov V.K., Podoplelov A.V. Moderni fysiikka: Oppikirja. M., KomKniga, 2005, 512 s., ISBN 5-484-00058-0, ch. 2 Avointen järjestelmien fysiikka. s. 2.4 Kaoottinen Rössler-attraktori.

Ote Rössler Attractorista

"Päästä minut läpi, minä kerron sinulle", prinssi Andrei toisti jälleen puristaen huuliaan.
- Ja kuka sinä olet? - upseeri kääntyi yhtäkkiä hänen puoleensa humalassa raivoissaan. - Kuka sinä olet? Oletko sinä (hän ​​korosti sinua erityisesti) pomo vai mitä? Minä olen täällä pomo, et sinä. "Mene takaisin", hän toisti, "minä murskaan sinut palaksi kakkua."
Upseeri ilmeisesti piti tästä ilmauksesta.
"Hän ajeli adjutantin vakavasti", kuului ääni takaapäin.
Prinssi Andrei näki, että upseeri oli siinä humalassa syyttömän raivokohtauksen vallassa, jossa ihmiset eivät muista mitä he sanovat. Hän näki, että hänen esirukouksensa vaunussa olevan lääkärin vaimon puolesta oli täynnä sitä, mitä hän pelkäsi eniten maailmassa, mitä kutsutaan pilkaksi [naurettavaksi], mutta hänen vaistonsa sanoi jotain muuta. Ennen kuin upseeri ehti lopettaa viimeiset sanansa, prinssi Andrei, hänen kasvonsa raivosta vääristyneinä, ratsasti hänen luokseen ja nosti ruoskansa:
- Ole hyvä ja päästä minut sisään!
Virkailija heilutti kättään ja ajoi kiireesti pois.
"Se on kaikki heiltä, ​​henkilökunnalta, kaikki on sotkua", hän mutisi. - Tee kuten haluat.
Prinssi Andrei ratsasti kiireesti, silmiään nostamatta, pois lääkärin vaimon luota, joka kutsui häntä pelastajaksi, ja muistuttaen inhosta tämän nöyryyttävän kohtauksen pienimpiä yksityiskohtia, laukkahti edelleen kylään, jossa, kuten hänelle kerrottiin, komentaja päällikkö sijaitsi.
Tultuaan kylään hän nousi hevosensa selästä ja meni ensimmäiseen taloon aikomuksenaan levätä ainakin minuutin, syödä jotain ja tuoda selvyyttä kaikki nämä häntä piinaavat loukkaavat ajatukset. "Tämä on roistojoukko, ei armeija", hän ajatteli lähestyessään ensimmäisen talon ikkunaa, kun tuttu ääni kutsui häntä nimeltä.
Hän katsoi taaksepäin. Nesvitskin komeat kasvot työntyivät ulos pienestä ikkunasta. Nesvitski, pureskelen jotain mehukkaalla suullaan ja heilutellen käsiään, kutsui hänet luokseen.
- Bolkonsky, Bolkonsky! Etkö kuule, vai mitä? "Mene nopeasti", hän huusi.
Sisään astuessaan prinssi Andrei näki Nesvitskin ja toisen adjutantin syövän jotain. He kääntyivät kiireesti Bolkonskyn puoleen kysyen, tiesikö hän jotain uutta. Prinssi Andrei luki heidän kasvoiltaan, jotka olivat hänelle niin tuttuja, ahdistuksen ja huolen ilmaisun. Tämä ilme oli erityisen havaittavissa Nesvitskyn aina nauravilla kasvoilla.
- Missä ylipäällikkö on? Bolkonsky kysyi.
"Tässä, siinä talossa", vastasi adjutantti.
- No, onko totta, että on rauhaa ja antautumista? – kysyi Nesvitsky.
- Kysyn sinulta. En tiedä muuta kuin sen, että sain sinut väkisin.
- Entä me, veli? Kauhu! "Olen pahoillani, veli, he nauroivat Makille, mutta se on vielä pahempaa meille", Nesvitsky sanoi. - No, istu alas ja syö jotain.
"Nyt, prinssi, et löydä kärryjä tai mitään, ja Pietarisi, Jumala tietää mistä", sanoi toinen adjutantti.
- Missä pääasunto on?
– Vietämme yön Tsnaimissa.
"Latasin kaiken tarvitsemani kahdelle hevoselle", sanoi Nesvitsky, "ja he tekivät minulle erinomaisia ​​pakkauksia." Ainakin paeta Böömin vuorten läpi. Se on paha, veli. Oletko todella huonovointinen, miksi vapiset noin? - Nesvitsky kysyi huomatessaan kuinka prinssi Andrei nykisi, ikään kuin koskettaen Leydenin purkkia.
"Ei mitään", vastasi prinssi Andrei.
Sillä hetkellä hän muisti äskettäisen yhteenottonsa lääkärin vaimon ja Furshtatin upseerin kanssa.
- Mitä ylipäällikkö tekee täällä? - hän kysyi.
"En ymmärrä mitään", sanoi Nesvitski.
"Ymmärrän vain, että kaikki on inhottavaa, inhottavaa ja inhottavaa", sanoi prinssi Andrei ja meni taloon, jossa ylipäällikkö seisoi.
Kulkiessaan Kutuzovin vaunun, seurakunnan kidutettujen hevosten ja äänekkäästi keskenään puhuvien kasakkojen ohi, ruhtinas Andrei astui sisään sisäänkäynnille. Kutuzov itse, kuten prinssi Andreille kerrottiin, oli kota prinssi Bagrationin ja Weyrotherin kanssa. Weyrother oli itävaltalainen kenraali, joka korvasi murhatun Schmitin. Sisäänkäynnissä pieni Kozlovsky kyykisi virkailijan edessä. Virkailija ylösalaisin käännetyllä kylpyammeella, käänsi univormunsa hihansuita ylös, kirjoitti hätäisesti. Kozlovskyn kasvot olivat uupuneet - ilmeisesti hän ei ollut myöskään nukkunut yöllä. Hän katsoi prinssi Andreita eikä edes nyökkäsi hänelle.
– Toinen rivi... Kirjoititko? - hän jatkoi saneleen virkailijalle, - Kiovan Grenadier, Podolsk...
"Sinulla ei ole aikaa, kunnia", virkailija vastasi epäkunnioittavasti ja vihaisesti katsoen takaisin Kozlovskyyn.
Tuolloin oven takaa kuului Kutuzovin elävästi tyytymätön ääni, jonka keskeytti toinen, tuntematon ääni. Näiden äänten äänellä, välinpitämättömyydellä, jolla Kozlovsky katsoi häntä, uupuneen virkailijan välinpitämättömyydestä, siitä tosiasiasta, että virkailija ja Kozlovsky istuivat niin lähellä ylipäällikköä lattialla lähellä kylpyammetta. , ja se, että hevosia pitelevät kasakat nauroivat äänekkäästi talon ikkunan alla - kaikesta tästä prinssi Andrei tunsi, että jotain tärkeää ja valitettavaa oli tapahtumassa.
Prinssi Andrei kääntyi kiireellisesti Kozlovskyn puoleen kysymyksillä.
"Nyt, prinssi", sanoi Kozlovsky. – Suhtautuminen Bagrationiin.
- Entä antautuminen?
- Ei ole yhtään; taistelukäskyt on annettu.
Prinssi Andrei suuntasi kohti ovea, jonka takaa kuului ääniä. Mutta juuri kun hän halusi avata oven, äänet huoneessa vaikenivat, ovi avautui itsestään, ja Kutuzov, kiiltävä nenä pulleilla kasvoillaan, ilmestyi kynnykselle.
Prinssi Andrei seisoi suoraan Kutuzovia vastapäätä; mutta ylipäällikön ainoan näkevän silmän ilmeestä oli selvää, että ajatus ja huoli valtasivat häntä niin paljon, että se näytti hämärtävän hänen näkemyksensä. Hän katsoi suoraan adjutanttinsa kasvoihin eikä tunnistanut häntä.
- No, oletko lopettanut? – hän kääntyi Kozlovskiin.
- Juuri nyt, teidän ylhäisyytenne.
Bagration, lyhyt mies, jolla oli itämaiset kiinteät ja liikkumattomat kasvot, kuiva, ei vielä vanha mies, seurasi ylipäällikköä.
"Minulla on kunnia esiintyä", prinssi Andrei toisti melko äänekkäästi luovuttaen kirjekuoren.
- Ai, Wienistä? Hieno. Jälkeen, jälkeen!
Kutuzov meni Bagrationin kanssa kuistille.
"No, prinssi, hyvästi", hän sanoi Bagrationille. - Kristus on kanssasi. Siunaan sinua tästä mahtavasta saavutuksesta.
Kutuzovin kasvot pehmenivät yhtäkkiä ja kyyneleet ilmestyivät hänen silmiinsä. Hän veti Bagrationin itselleen vasemmalla kädellä, ja oikealla kädellään, jossa oli sormus, ilmeisesti ristisi hänet tutulla eleellä ja tarjosi hänelle pulleaa poskea, jonka sijaan Bagration suuteli häntä niskaan.

Tässä kirjassa olemme omaksuneet empiirisen lähestymistavan kaoottisiin värähtelyihin ja hahmotelleet joukon erilaisia ​​fysikaalisia ilmiöitä, joissa kaoottisella dynamiikalla on tärkeä rooli. Kaikilla lukijoilla ei tietenkään ole pääsyä laboratorioon tai halukkuuteen kokeilla, vaikka useimmat voivat käyttää digitaalisia tietokoneita. Tätä silmällä pitäen esittelemme tässä liitteessä sarjan numeerisia kokeita, jotka ovat toteutettavissa joko henkilökohtaisella tietokoneella tai mikrotietokoneella, siinä toivossa, että ne auttavat lukijaa tutkimaan klassisten kaaosmallien dynamiikkaa.

B.1. LOGISTIINEN YHTÄLÖ: KAKSOIDA PERIODIA

Yksi yksinkertaisimmista ongelmista, jolla uuden dynamiikan käyttöön ottaminen on aloitettava, täytyy olla väestönkasvumalli tai logistinen yhtälö

Jakson kaksinkertaistumiseen liittyviä ilmiöitä havaitsivat useat tutkijat (ks. esim. toukokuun työ) ja tietysti Feigenbaum, joka löysi kuuluisat parametrien samankaltaisuuden lait (ks. luvut 1 ja 5). Henkilökohtainen tietokone tekee kahden numeerisen kokeen toistamisen erittäin helpoksi.

Ensimmäisessä kokeessa meillä on kaavio riippuvuudesta alueella . Jakson tuplaustilaa havaitaan alla olevilla arvoilla Alkaen voit nähdä lentoradan jaksolla 1. Jos haluat nähdä pidemmät liikeradat, merkitse ensimmäiset 30-50 iteraatiota pisteillä ja seuraavat iteraatiot eri symbolilla.

Tietenkin piirtämällä riippuvuuden , voit tarkkailla ohimeneviä ja paikallaan olevia tiloja. Kaoottiset liikeradat voidaan havaita osoitteessa . Lähistöllä voidaan havaita lentorata jaksolla 3.

Seuraava numeerinen koe liittyy bifurkaatiokaavion rakentamiseen. Tätä varten sinun tulee rakentaa kaavio riippuvuudesta yleensä ohjausparametrista. Valitse jokin alkuehto (esimerkiksi ja tee 100 kartoitusiteraatiota. Piirrä sitten seuraavan 50 iteroinnin tuloksena saadut arvot pystyakselille ja vastaava arvo vaaka-akselille (tai päinvastoin). Valitse a askel noin 0,01 ja käy läpi alue On Kaaviossa jakson tuplauspisteissä pitäisi saada klassiset haarukkatyyppiset bifurkaatiot. Voitko määrittää Feigenbaumin luvun numeerisen kokeen tiedoista?

May tarjoaa myös luettelon numeerisista kokeista muilla yksiulotteisilla kartoituksella, esimerkiksi kartoituksella

Hän kuvailee tätä kartoitusta epidemian sairauden säätelemän yksittäisen lajin populaation kasvumalliksi. Tutustu alueeseen. Jakson tuplaamisen kertymispiste ja kaaoksen alku vastaavat . Toukokuun julkaisu sisältää tietoja myös joistakin muista numeerisista kokeista.

B.2. LORENTZ-YHTÄLÖT

Lorentzin alkuperäinen teos sisältää merkittävän numeerisen kokeen, joka on epäilemättä toistamisen arvoinen. Lorentz yksinkertaisti Salzmanin johtamia yhtälöitä nesteen lämpökonvektion yhtälöiden perusteella (katso luku 3). Kuten Lorenz myönsi, etusija konvektioyhtälöiden ei-jaksollisten ratkaisujen löytämisessä kuuluu Salzmanille. Kaoottisten liikkeiden tutkimiseksi Lorentz valitsi yhtälöiden parametrien nyt klassiset arvot

Kuvassa näkyvät tiedot. Lorentzin artikkelin 1 ja 2 voidaan toistaa valitsemalla alkuehdot ja aikaaskel ja projisoimalla ratkaisu joko tasolle tai tasolle

Tämän virtauksen indusoiman yksiulotteisen kartoituksen saamiseksi Lorentz tarkasteli muuttujan z peräkkäisiä maksimiarvoja, joille hän nimesi riippuvuuskaavion, joka osoitti, että tässä tapauksessa kartoitus annetaan käyrällä, joka muistuttaa talon katon muotoa. Sitten Lorentz tutki tämän kartoituksen yksinkertaistettua versiota, nimeltään "talotyyppinen kartoitus", logistisen yhtälön bilineaarinen versio.

B.3. KATKETTAVUUS JA LORENTZ-YHTÄLÖT

Selkeä esimerkki katkonaisuudesta voidaan nähdä integroimalla numeerisesti Lorentzin yhtälöt tietokoneella:

parametreilla Runge-Kutta menetelmän mukaisesti. Kun saat säännöllisen lentoradan, mutta milloin ja enemmän "purskauksia" tai kaoottista melua ilmaantuu (katso Mannevillen ja Pomon työ). Mittaamalla jaksollisten jaksojen keskimääräisen lukumäärän N purskeiden välillä (laminaarivaihe), sinun pitäisi saada samankaltaisuuslaki

B.4. OENON-VETOKORI

Ranskalainen tähtitieteilijä Hénon ehdotti neliulotteisen kartoituksen yleistämistä linjalla kaksiulotteisessa tapauksessa (tasossa):

Hénon-kartta pelkistyy Mayn ja Feigenbaumin tutkimaan logistiikkakarttaan. A:n ja b:n arvot, joilla outo houkuttelija esiintyy, sisältävät erityisesti . Muodosta kuvaaja tästä kartoituksesta tasolle ja rajaa se suorakulmioon. Saatuasi houkuttimen, keskitä huomiosi johonkin sen pieneen alueeseen ja suurenna tätä aluetta samankaltaisuusmuunnoksen avulla. Seuraa huomattavasti suurempaa määrää kartoitusiteraatioita ja yritä paljastaa pienimuotoinen fraktaalirakenne. Jos sinulla on tarpeeksi kärsivällisyyttä tai sinulla on nopea tietokone käsilläsi, suorita toinen samankaltaisuusmuunnos ja toista se uudelleen vielä pienemmälle attraktorin alueelle (katso kuva 1.20, 1.22).

Jos sinulla on ohjelma Ljapunov-eksponenttien laskemiseen, on hyödyllistä pitää mielessä, että Ljapunov-eksponentin arvo on annettu kirjallisuudessa ja attraktorin fraktaaliulottuvuus Henon-kartassa on yhtä suuri kuin . Vaihtelemalla parametreja a ja b, voit yrittää määrittää niiden arvojen alueen, joilla attraktori on olemassa, ja löytää jakson tuplausalueen tasosta (a, b).

B.5. DUFFING YHTÄLÖ: UEDA ATTRACTOR

Tätä epälineaarisen induktanssin sähköpiirin mallia käsiteltiin luvussa. 3. Tämän mallin yhtälöillä, jotka on kirjoitettu ensimmäisen asteen yhtälöjärjestelmän muotoon, on muoto

Ueda tutki tämän mallin kaoottisia värähtelyjä erittäin yksityiskohtaisesti. Käytä jotain standardia numeerista integrointialgoritmia, kuten neljännen asteen Runge-Kutta -kaaviota, ja harkitse tapausta. Kun sinun pitäisi saada jaksollinen liikerata jaksolla 3. (Suorita Poincarén-osio osoitteessa ) Arvon läheisyydessä jaksolla 3 olevan lentoradan tulisi mennä kaoottiseen liikkeeseen bifurkaation jälkeen.

Jaksottaisuus palautuu jälleen ohimenevällä kaoottisella järjestelyllä (katso kuva 3.13).

Vertaa attraktorin fraktaaliluonnetta vaimennuksen pienentyessä olettaen ja 0,05. Huomaa, että kohdassa , vain pieni osa attraktorista on jäljellä, ja klo , liike muuttuu jaksolliseksi.

B.6. DUFFING YHTÄLÖ, JOLLA KAHDELLA MAHDOLLISIA REIKÄ: HOLMES ATTRACTOR

Tätä esimerkkiä käsiteltiin kirjassamme. Useita numeerisia kokeita kannattaa toistaa. Tässä tapauksessa dimensiottomilla yhtälöillä on muoto

(Asettamalla ja ottamalla käyttöön lisäyhtälö z = w, ne voidaan kirjoittaa autonomiseksi kolmannen kertaluvun järjestelmäksi.) Tekijä 1/2 tekee pienten värähtelyjen ominaistaajuuden kussakin potentiaalikuoppassa yhtä suureksi kuin yksikkö. Kaaoskriteeriä kiinteälle vaimennuskertoimelle ja muuttujille tarkastelimme kappaleessa. 5. Tutkimuksen kiinnostava alue on. Tällä alueella pitäisi tapahtua siirtyminen jaksollisesta kaoottiseen järjestelmään, kaoottiseen järjestelmään jaksolliset ikkunat ja kaoottisesta järjestelmästä poistuminen klo . On toinenkin mielenkiintoinen alue: Kaikissa tutkimuksissa suosittelemme lukijaa käyttämään Poincarén karttaa. Henkilökohtaista tietokonetta käytettäessä tiedon nopea käsittely voidaan saavuttaa erityisillä temppuilla ohjelmaa luotaessa (ks. kuva 5.3).

Toinen mielenkiintoinen numeerinen koe on korjata parametreja, esimerkiksi asettaa ja vaihdella Poincarén kartan vaihetta, eli piirtää pisteet vaihtelevasti 0:sta - Huomioi kartan inversio osoitteessa Onko tämä yhtälön symmetriaa? (Katso kuva 4.8.)

B.7. KUUTIOPARTO (HOLMES)

Havainnollistimme monia kaoottisten värähtelyjen teorian käsitteitä houkuttimen esimerkillä mallissa, jossa on kaksi potentiaalikaivoa. Tällaisen mallin dynamiikkaa kuvataan tavallisella toisen asteen epälineaarisella differentiaaliyhtälöllä (katso luku.

2 ja 3), mutta eksplisiittistä kaavaa tällaisen attraktorin Poincarén kartalle ei tunneta. Holmes ehdotti kaksiulotteista kuutiokartoitusta, jolla on joitain negatiivisen jäykkyyden omaavan Duffing-oskillaattorin ominaisuuksia:

Parametriarvojen läheltä löytyy kaoottinen houkutin

B.8. Pomppivan PALLON NÄYTTÖ (STANDARDINÄYTTÖ)

(Katso Holmesin artikkeli ja Lichtenbergin ja Liebermanin kirja.) Kuten kappaleessa todetaan. 3, tärisevällä pöydällä pomppivan pallon Poincarén kartta voidaan kirjoittaa tarkasti pöytään osuvan pallon dimensiottoman nopeuden ja pöydän liikevaiheen perusteella.

missä on energiahäviö törmäyksessä.

Case (konservatiivinen kaaos). Tätä tapausta on tutkittu Lichtenbergin ja Liebermanin kirjassa mallina elektronien kiihtyvyydelle sähkömagneettisissa kentissä. Kun näyttö on iteroitu, piirrä tuloksena saadut pisteet tasolle Laskemiseen käytä lauseketta

BASICin parannetussa versiossa. Hyvän kuvan saamiseksi sinun on vaihdettava alkuolosuhteita. Voit esimerkiksi valita ja seurata useita satoja kartoitusiteraatioita eri v-arvoilla väliltä -

Löydät mielenkiintoisia tapauksia, kun. Kun voidaan tarkkailla kvasiperiodisia suljettuja lentoratoja kartoituksen jaksollisten kiinteiden pisteiden ympärillä. Kohteessa , konservatiivisen kaaoksen alueiden tulisi ilmestyä erottimien pisteiden lähelle (katso kuva 5.21).

Asia. Tämä tapaus vastaa dissipatiivista kartoitusta, kun energiaa menetetään jokaisessa pallon ja pöydän välisessä törmäyksessä. Aloita . Huomaa, että vaikka ensimmäiset iteraatiot näyttävät kaoottisilta, kuten tapauksessa 1, liikkeestä tulee jaksollista. Fraktaalimaisen kaaoksen saamiseksi K-arvot on nostettava arvoon . Saat oudon houkuttimen, joka muistuttaa vielä enemmän fraktaaleja, olettaen .

B.9. YMPYRÄN NÄYTTÄMINEN ITSEESSÄ: PYÖRIÖIDEN JA KEIPUPUIEN MÄÄRÄN SYNKRONOINTI

Toruksen pintaa pitkin liikkuva piste voi toimia abstraktina matemaattisena mallina kahden kytketyn oskillaattorin dynamiikasta. Oskillaattorien liikeamplitudit toimivat toruksen sivu- ja pääsäteenä, ja niiden oletetaan usein olevan kiinteitä. Oskillaattorien vaiheet vastaavat kahta kulmaa, jotka määrittelevät pisteen sijainnin toruksen pinnalla pienellä ympyrällä (meridiaani) ja suurella ympyrällä (rinnakkais). Poincarén leikkaus toruksen pieniä ympyröitä pitkin muodostaa yksiulotteisen eroyhtälön, jota kutsutaan ympyrän kartaksi itseensä:

missä on jaksollinen funktio.

Jokainen tämän kartoituksen iteraatio vastaa yhden oskillaattorin liikerataa toruksen suurta ympyrää pitkin. Suosittu tutkimuskohde on ns. standardiympyräkartoitus (normalisoitu )

Mahdollisia tällä kartoituksella havaittuja liikkeitä ovat: jaksollinen, kvasiperiodinen ja kaoottinen moodi. Jos haluat nähdä jaksolliset syklit, piirrä pisteet ympyrään suorakaiteen muotoisilla koordinaatteilla

Parametrilla 0 ei ole mitään muuta kuin kierrosten lukumäärä - riippumattomien oskillaattorien kahden taajuuden suhde.

Milloin näyttö voi olla jaksollinen ja milloin se on irrationaalinen luku. Tässä tapauksessa he sanovat, että oskillaattorit ovat synkronoituja tai että tila on kiristynyt. Kun voidaan havaita synkronoituja tai jaksollisia liikkeitä äärellisillä alueilla O-akselia pitkin, jotka tietysti sisältävät parametrin irrationaalisia arvoja. Esimerkiksi kun aikavälistä löytyy jakso jaksolla 2 ja väliltä jakso 3. Jos haluat löytää nämä aikavälit milloin, laske kierrosten lukumäärä W parametrin funktiona arvossa 0 01. Laskemme kierrosten lukumäärän, jos hylkäämme vertailutoiminnon ja siirrymme rajaan

Käytännössä saadaksesi kierrosten määrän riittävällä tarkkuudella, sinun on otettava N > 500. Piirtämällä W vs. , näet sarjan tasankoja, jotka vastaavat synkronointialueita. Jos haluat nähdä lisää synkronointialueita, sinun tulee valita pieni AP-alue ja piirtää W suurelle määrälle pisteitä tälle pienelle alueelle.

Kukin synkronointitaso kaaviossa ) vastaa rationaalilukua - yhden oskillaattorin jaksojen suhdetta toisen oskillaattorin q jaksoon. Suhteet on järjestetty sarjaan, joka tunnetaan Fary-puuna. Jos parametriarvoille annetaan kaksi moodisynkronointialuetta, niin niiden välillä on varmasti toinen synkronointialue kierrosten lukumäärällä

Alkaen 0/1 at ja 1/1 at, voit rakentaa koko loputtoman synkronointialueiden sarjan. Suurin osa niistä on hyvin kapeita.

Huomaa, että näiden alueiden leveys pyrkii nollaan ja kasvaa suuremmiksi Tason () synkronointialueet ovat pitkien ulkonemien muotoisia, ja niitä kutsutaan joskus Arnold-kieliksi.

B.10. RÖSSLER TRAKTORI: KEMIALLISET REAKTIOT, MONIULOTTEISTEN JÄRJESTELMIEN YKSIULOTTEINEN LÄHESTYMINEN

Jokainen klassisen fysiikan pääalueista on luonut oman mallinsa kaoottisesta dynamiikasta: nestemekaniikka - Lorentz-yhtälöt, rakennemekaniikka - Duffing-Holmes-attraktori, jossa on kaksi potentiaalikaivoa, sähkötekniikka - Duffing-Ueda-attraktori. Toinen yksinkertainen malli syntyi kemiallisten reaktioiden dynamiikassa, joka tapahtui jossain astiassa sekoittaen. Sitä ehdotti Rubssler.