Tällä oppitunnilla puhumme eksponentiaalisista ja logaritmisista funktioista. Niitä tutkitaan yleensä yhdessä, koska ne ovat keskenään käänteisiä. Puhumme näiden funktioiden käytöstä, miksi nämä funktiot valitaan tutkittavaksi.

Eksponentiaalista funktiota käytetään kuvaamaan kaikkia ilmiöitä, joita kutsumme lumivyöryprosesseiksi. Selvemmin sanottuna nämä ovat prosesseja, joissa suuruuden muutos on verrannollinen jo saatavilla olevaan suuruusmäärään (mitä enemmän, sitä enemmän se muuttuu; mitä vähemmän, sitä vähemmän se muuttuu).

Esimerkki tällaisesta prosessista on bakteerien lisääntyminen. Ajatellaanpa tällaista tehtävää. Lasissa on yksi bakteeri. Joka sekunti se jakautuu kahdeksi bakteeriksi, myös uudet bakteerit jakautuvat kahdeksi joka sekunti ja niin edelleen. Minuutin sisällä koko lasi oli täynnä bakteereja. Kuinka monta bakteeria oli lasissa sekuntia aikaisemmin?

Haluaisin sanoa, että jossain oli täytetty hieman alle koko lasi, mutta oikea vastaus on: puoli lasia. Jos puolet lasista on täytetty, niin sekunnissa jokainen bakteeri jakautuu osiin ja ne täyttävät koko lasin. Kuten näet, lasin ensimmäinen puolisko täyttyi sekunneissa ja toinen puolikas vain sekunnissa.

Jäätiköiden sulaminen

Varmasti kaikki ovat kuulleet planeetan jään sulamisen ongelmasta. Miksi tällaisia ​​jääkauden ja päinvastoin lämpenemisen prosesseja tapahtuu? He olivat ennenkin, vaikka nyt he sanovat, että ihmisen toiminnalla on keskeinen vaikutus heidän nopeuteensa. On olemassa erilaisia ​​hypoteeseja, mutta tämä ei ole niin tärkeää.

Vielä tärkeämpää on, että jään määrän vähentäminen lisää absorboidun aurinkoenergian määrää. Eli mitä vähemmän jäätä tulee, sitä nopeammin se sulaa. Prosessi on eksponentiaalinen, eli toisin sanoen itseään kutsuva, itseään ruokkiva.

Sellainen prosessi on kuvattu eksponentiaalinen funktio (tai eksponentiaalinen): (Kuva 1). - kanta, , , ja - eksponentti, muuttuva arvo.

Riisi. 1. Funktion kuvaaja

Toinen monille tuttu esimerkki eksponentiaalisesta funktiosta on korkoa korolle. Jos laitamme rahaa pankkiin kiinteällä prosentilla, vaikka emme nosta rahaa, ja korko veloitetaan koko käytettävissä olevasta summasta, niin määrä, jonka saamme jaksoittain: , missä on alkuperäinen talletus, on korko, on kuluneiden jaksojen (vuosien, kuukausien jne.) lukumäärä. Aluksi määrä kasvaa hitaasti, mutta sitten kasvu kiihtyy.

Toinen hyvä esimerkki. Jos korotamme potenssiin, niin saamme likimääräisen, mutta potenssissa se on käytännössä. Jos esitämme tämän esimerkin koron muodossa, niin ensimmäisessä tapauksessa se veloitetaan päivässä, niin summa kasvaa kertoimella vuodella. Ja toisessa tapauksessa nostetaan yksi prosentti päivässä, niin vuoden kuluttua ei jää melkein mitään.

Samalla yksi eksponentiaalisen funktion tunnusomaisista piirteistä on, että tällaisessa kaaviossa summa ei voi pienentyä. Samanlainen esimerkki ydinfysiikasta on puoliintumisaika. Radioaktiivisilla elementeillä on puoliintumisaika, esimerkiksi vuosien kuluessa aineen massa pienenee puoleen (kuva 2).

Riisi. 2. Taulukko joidenkin alkuaineiden puoliintumisajoista

Eli jos meillä olisi kilogramma ainetta, niin ensimmäisinä vuosina gramma ainetta (melko paljon) katoaa, ja seuraavina vuosina - jo gramma jne. Ja sitten tulee ajanjakso, jolloin noin gramma ainetta menee vuosien varrella. Tämä on esimerkki laskevasta eksponentista.

Jos tarkastellaan kaikkien funktioiden joukkoa ja valitaan niistä ne, joilla on seuraava ominaisuus: , niin se täyttyy eksponentiaalisille funktioille: .