Määritelmän mukaan funktion differentiaali (ensimmäinen differentiaali) lasketaan kaavalla
jos on riippumaton muuttuja.

ESIMERKKI.

Osoitetaan, että ensimmäisen differentiaalin muoto pysyy muuttumattomana (se on invariantti) myös siinä tapauksessa, että funktion argumentti on itse funktio, toisin sanoen monimutkaiselle funktiolle
.

Anna olla
ovat erotettavissa määritelmän mukaan

Lisäksi tarpeen mukaan.

ESIMERKKEJÄ.

Ensimmäisen differentiaalin muodon todistettu muuttumattomuus mahdollistaa sen oletuksen
eli derivaatta on yhtä suuri kuin funktion differentiaalin suhde sen argumenttien ero, riippumatta siitä, onko argumentti itsenäinen muuttuja vai funktio.

Parametrisesti määritellyn funktion differentiointi

Anna Ifin toimia
on asetettu päinvastoin siis
Sitten tasa-arvo
määritelty sarjassa parametrisesti määritelty funktio, – parametri (välimuuttuja).

ESIMERKKI. Piirrä funktio
.

y Noin 1 x

Muodostettua käyrää kutsutaan sykloidi(Kuva 25) ja on sellaisen pisteen liikerata, jonka säde on 1 ympyrä, joka vierii ilman luistoa OX-akselia pitkin.

KOMMENTTI. Joskus, mutta ei aina, parametri voidaan poistaa parametrikäyräyhtälöistä.

ESIMERKKEJÄ.
ovat ympyrän parametriset yhtälöt, koska ilmeisesti

ovat ellipsin parametriyhtälöitä, koska

ovat paraabelin parametriset yhtälöt

Etsi parametrisesti annetun funktion derivaatta:

Parametrisesti määritellyn funktion derivaatta on myös parametrisesti määritelty funktio: .

MÄÄRITELMÄ. Funktion toista derivaatta kutsutaan sen ensimmäisen derivaatan derivaataksi.

johdannainen -th kerta on sen järjestyksen derivaatan derivaatta
.

tarkoittaa toisen ja johdannaisia järjestys näin:

Toisen derivaatan määritelmästä ja parametrisesti annetun funktion differentiaatiosäännöstä seuraa, että
Kolmannen derivaatan laskemiseksi on tarpeen esittää toinen derivaatta muodossa
ja käytä tuloksena saatua sääntöä uudelleen. Korkeamman asteen johdannaiset lasketaan samalla tavalla.

ESIMERKKI. Etsi funktion ensimmäisen ja toisen kertaluvun derivaatat

.

Differentiaalilaskennan peruslauseet

LAUSE(Maatila). Anna toiminnon
on pisteessä
ääripää. Jos on olemassa
, sitten

TODISTE. Anna olla
esimerkiksi on minimipiste. Vähimmäispisteen määritelmän mukaan tämän pisteen lähialue on olemassa
, minkä sisällä
, eli
- lisäys
pisteessä
. A-priory
Laske yksipuoliset derivaatat pisteessä
:

siirtymällä epäyhtälön rajalauseeseen,

kuten

, kuten
Mutta ehdon mukaan
on olemassa, joten vasen derivaatta on yhtä suuri kuin oikea, ja tämä on mahdollista vain, jos

Oletus, että
- maksimipiste johtaa samaan.

Lauseen geometrinen merkitys:

LAUSE(Roll). Anna toiminnon
jatkuva
, erottuva
ja
sitten on
sellasta

TODISTE. Kuten
jatkuva
, niin toisella Weierstrassin lauseella se saavuttaa
heidän suurin
ja vähiten
arvot joko ääripisteissä tai janan päissä.

1. Anna
, sitten

2. Anna
Kuten
jompikumpi
, tai
saavutettu ääripisteeseen
, mutta Fermatin lauseen mukaan
Q.E.D.

LAUSE(Lagrange). Anna toiminnon
jatkuva
ja erottuva
, sitten on olemassa
sellasta
.

Lauseen geometrinen merkitys:

Kuten
, niin sekantti on tangentin suuntainen. Siten lause sanoo, että pisteiden A ja B kautta kulkevan sekantin kanssa on samansuuntainen tangentti.

TODISTE. Pisteiden A kautta
ja B
piirrä sekantti AB. Hänen yhtälön
Harkitse toimintoa

- etäisyys kaavion ja sekantin AB vastaavien pisteiden välillä.

1.
jatkuva
jatkuvien funktioiden erona.

2.
erottuva
differentioituvien funktioiden erona.

3.

tarkoittaa,
täyttää Rollen lauseen ehdot, joten on olemassa
sellasta

Lause on todistettu.

KOMMENTTI. Kaava on ns Lagrangen kaava.

LAUSE(Koshi). Anna toiminnot
jatkuva
, erottuva
ja
, niin siinä on perää
sellasta
.

TODISTE. Näytämme se
. Jos
, sitten toiminto
täyttäisi Rollen lauseen ehdon, joten siinä olisi kohta
sellasta
on ristiriita ehdon kanssa. tarkoittaa,
, ja molemmat kaavan osat on määritelty. Tarkastellaanpa aputoimintoa.

jatkuva
, erottuva
ja
, eli
täyttää Rollen lauseen ehdot. Sitten on pointti
, jossa
, mutta

Q.E.D.

Todistettu kaava on ns Cauchyn kaava.

L'Hopitalin sääntö(Lause L'Hopital-Bernoulli). Anna toiminnot
jatkuva
, erottuva
,
ja
. Lisäksi on olemassa äärellinen tai ääretön
.

Sitten on

TODISTE. Koska kunnon mukaan
, sitten määrittelemme
pisteessä
, olettaen
Sitten
muuttua jatkuvaksi
. Näytämme se

Kuvitellaanpa sitä
sitten on
sellasta
, koska toiminto
päällä
täyttää Rollen lauseen ehdot. Mutta ehdon mukaan
- ristiriita. Niin

. Toiminnot
täyttävät Cauchyn lauseen ehdot millä tahansa aikavälillä
, joka sisältyy
. Kirjoitetaan Cauchyn kaava:

,
.

Siksi meillä on:
, koska jos
, sitten
.

Nimeämällä muuttuja uudelleen viimeisellä rajalla, saadaan vaadittu:

HUOMAA 1. L'Hopitalin sääntö pysyy voimassa myös silloin, kun
ja
. Sen avulla voit paljastaa paitsi muodon epävarmuuden , mutta myös muodoltaan :

.

MUISTIO 2. Jos L'Hopital-säännön soveltamisen jälkeen epävarmuutta ei paljasteta, sitä tulee soveltaa uudelleen.

ESIMERKKI.

KOMMENTTI 3 . L'Hopitalin sääntö on universaali tapa paljastaa epävarmuustekijät, mutta on olemassa rajoja, jotka voidaan paljastaa käyttämällä vain yhtä aiemmin tutkituista erityistekniikoista.

Mutta ilmeisesti
, koska osoittajan aste on yhtä suuri kuin nimittäjän aste ja raja on yhtä suuri kuin kertoimien suhde suuremmilla tehoilla

Usean muuttujan funktion kokonaisdifferentiaalin lauseke on sama riippumatta siitä, ovatko u ja v riippumattomia muuttujia tai muiden riippumattomien muuttujien funktioita.

Todistus perustuu kokonaisdifferentiaalikaavaan

Q.E.D.

5.Funktion kokonaisderivaata on funktion aikaderivaata liikeradalla. Olkoon funktiolla muoto ja sen argumentit riippuvat ajasta: . Sitten missä ovat lentoradan määrittävät parametrit. Funktion kokonaisderivaata (pisteessä ) on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin osaaikaderivaata (vastaavassa pisteessä) ja se voidaan laskea kaavalla:

missä - osittaiset johdannaiset. On huomattava, että nimitys on ehdollinen eikä sillä ole mitään tekemistä differentiaalien jaon kanssa. Lisäksi funktion kokonaisderivaata ei riipu pelkästään funktiosta itsestään, vaan myös liikeradastaan.

Esimerkiksi funktion kokonaisderivaata:

Täällä ei ole, koska sinänsä ("nimenomaan") ei riipu .

Täysi differentiaali

Täysi differentiaali

useiden riippumattomien muuttujien funktiot f (x, y, z, ...) - lauseke

siinä tapauksessa, että se eroaa täydestä lisäyksestä

Δf = f(x + Δx, y + Δy, z + Δz,…) - f(x, y, z, …)

äärettömään pieneen arvoon verrattuna

Tangentti tasosta pintaan

(X, Y, Z - pisteen nykyiset koordinaatit tangenttitasolla; - tämän pisteen sädevektori; x, y, z - tangenttipisteen koordinaatit (vastaavasti normaalille); - koordinaattiviivojen tangenttivektorit, vastaavasti v = const u = const ; )

1.

2.

3.

Pinta normaali

3.

4.

Differentiaalin käsite. Differentiaalin geometrinen merkitys. Ensimmäisen differentiaalin muodon muuttumattomuus.

Tarkastellaan funktiota y = f(x), joka on differentioituva tietyssä pisteessä x. Sen lisäys Dy voidaan esittää muodossa

D y \u003d f "(x) D x + a (D x) D x,

jossa ensimmäinen termi on lineaarinen suhteessa Dx:ään ja toinen termi pisteessä Dx = 0 on infinitesimaalinen funktio, joka on suurempaa kuin Dx. Jos f "(x) nro 0, niin ensimmäinen termi on inkrementin Dy pääosa. Tämä inkrementin pääosa on argumentin Dx lineaarinen funktio ja sitä kutsutaan funktion y \u003d f () differentiaaliksi. x). Jos f "(x) \u003d 0, niin differentiaalifunktion määritelmän mukaan katsotaan olevan nolla.

Määritelmä 5 (differentiaali). Funktion y = f(x) differentiaali on inkrementin Dy päälineaari suhteessa Dx-osaan, joka on yhtä suuri kuin derivaatan ja riippumattoman muuttujan inkrementin tulo.

Huomaa, että riippumattoman muuttujan differentiaali on yhtä suuri kuin tämän muuttujan inkrementti dx = Dx. Siksi differentiaalin kaava kirjoitetaan yleensä seuraavassa muodossa: dy \u003d f "(x) dx. (4)

Selvitetään mikä on differentiaalin geometrinen merkitys. Otetaan mielivaltainen piste M(x, y) funktion y = f(x) kuvaajasta (kuva 21.). Piirrä käyrän y = f(x) tangentti pisteeseen M, joka muodostaa kulman f akselin OX positiivisen suunnan kanssa, eli f "(x) = tgf. Suorasta kolmiosta MKN

KN \u003d MNtgf \u003d D xtg f \u003d f "(x) D x,

eli dy = KN.

Siten funktion differentiaali on funktion y = f(x) kuvaajaan piirretyn tangentin ordinaatin lisäys tietyssä pisteessä, kun x:ää kasvatetaan Dx:llä.

Huomaamme differentiaalin pääominaisuudet, jotka ovat samanlaisia ​​kuin derivaatan ominaisuudet.

2. d(c u(x)) = c d u(x);

3. d(u(x) ± v(x)) = d u(x) ± d v(x);

4. d(u(x) v(x)) = v(x)d u(x) + u(x)d v(x);

5. d(u(x) / v(x)) = (v(x) d u(x) - u(x) d v(x)) / v2(x).

Osoitetaan vielä yksi ominaisuus, joka differentiaalilla on, mutta derivaatalla ei. Tarkastellaan funktiota y = f(u), jossa u = f (x), eli tarkastellaan kompleksifunktiota y = f(f(x)). Jos kumpikin funktioista f ja f ovat differentioituvia, niin yhdistelmäfunktion derivaatta Lauseen (3) mukaan on yhtä suuri kuin y" = f"(u) u. Silloin funktion differentiaali

dy \u003d f "(x) dx \u003d f "(u) u" dx \u003d f "(u) du,

koska u "dx = du. Eli dy = f" (u) du. (5)

Viimeinen yhtälö tarkoittaa, että differentiaalikaava ei muutu, jos x:n funktion sijasta tarkastellaan muuttujan u funktiota. Tätä differentiaalin ominaisuutta kutsutaan ensimmäisen differentiaalin muodon invarianssiksi.

Kommentti. Huomaa, että kaavassa (4) dx = Dx, kun taas kaavassa (5) du on vain funktion u inkrementin lineaarinen osa.

Integraalilaskenta on matematiikan ala, joka tutkii integraalien ja niiden sovellusten ominaisuuksia ja laskentamenetelmiä. Minä ja. liittyy läheisesti differentiaalilaskentaan ja muodostaa yhdessä sen kanssa yhden pääosista

Toimintoero

Funktiota kutsutaan erottuva jossain kohdassa, rajoittaa sarjaa E, jos sen lisäys Δ f(x 0) joka vastaa argumentin lisäystä x, voidaan esittää muodossa

Δ f(x 0) = A(x 0)(x - x 0) + ω (x - x 0), (1)

missä ω (x - x 0) = noin(x - x 0) klo x → x 0 .

Näyttö, ns ero toimintoja f pisteessä x 0 ja arvo A(x 0)h - erotusarvo tässä tilanteessa.

Funktioeron arvolle f hyväksytty nimitys df tai df(x 0) jos haluat tietää, missä vaiheessa se on laskettu. Täten,

df(x 0) = A(x 0)h.

Jakamalla (1):llä x - x 0 ja tähtääminen x kohtaan x 0, saamme A(x 0) = f"(x 0). Siksi meillä on

df(x 0) = f"(x 0)h. (2)

Vertaamalla (1) ja (2) näemme, että differentiaalin arvo df(x 0) (kun f"(x 0) ≠ 0) on funktion inkrementin pääosa f pisteessä x 0, lineaarinen ja homogeeninen samanaikaisesti inkrementin suhteen h = x - x 0 .

Funktioiden erilaistumiskriteeri

Toiminnon vuoksi f oli erotettavissa tietyssä pisteessä x 0 , on välttämätöntä ja riittävää, että sillä on tässä pisteessä äärellinen derivaatta.

Ensimmäisen differentiaalin muodon muuttumattomuus

Jos x on siis itsenäinen muuttuja dx = x - x 0 (kiinteä lisäys). Tässä tapauksessa meillä on

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Jos x = φ (t) on sitten differentioituva funktio dx = φ" (t 0)dt. Siten,