Lapsi on helppo opettaa jakamaan sarakkeella. On tarpeen selittää tämän toiminnon algoritmi ja yhdistää käsitelty materiaali.

• Koulun opetussuunnitelman mukaan lapset alkavat selittää jakoa sarakkeella jo kolmannella luokalla. Opiskelijat, jotka ymmärtävät kaiken "lennossa" ymmärtävät tämän aiheen nopeasti
• Mutta jos lapsi sairastui ja jäi väliin matematiikan tunneista tai hän ei ymmärtänyt aihetta, vanhempien on selitettävä materiaali lapselle itse. Tieto on tarpeen välittää hänelle mahdollisimman selkeästi.
• Äitien ja isien tulee olla lapsen koulutusprosessin aikana kärsivällisiä ja osoittavat tahdikkuutta lastaan ​​kohtaan. Älä missään tapauksessa saa huutaa lapselle, jos jokin ei toimi hänelle, koska tällä tavalla voit lannistaa hänet kaikesta opiskeluhalusta

Tärkeää: Jotta lapsi ymmärtäisi lukujen jaon, hänen on tunnettava kertotaulukko perusteellisesti. Jos lapsi ei osaa kertolaskua hyvin, hän ei ymmärrä jakoa.

Kotiylitunnilla voidaan käyttää huijauslappuja, mutta lapsen on opittava kertotaulukko ennen kuin siirtyy aiheeseen "Jako".

Joten miten selität lapselle sarakkeen jako:

• Yritä ensin selittää pienin numeroin. Otetaan esimerkiksi laskentatikkuja 8 kappaletta
• Kysy lapselta kuinka monta paria tässä tikkarivissä on? Oikein - 4. Joten jos jaat 8 2:lla, saat 4, ja jos jaat 8 4:llä, saat 2
• Anna lapsen jakaa itsellään toinen luku, esimerkiksi monimutkaisempi: 24:4
• Kun vauva on oppinut alkulukujen jakamisen, voit jatkaa kolminumeroisten lukujen jakamista yksinumeroisiksi

Jako annetaan lapsille aina hieman vaikeampaa kuin kertolasku. Mutta ahkerat lisätunnit kotona auttavat vauvaa ymmärtämään tämän toiminnon algoritmin ja pysymään ikätovereidensa kanssa koulussa.

Aloita yksinkertaisesta - jakamalla yhdellä numerolla:

Tärkeää: Laske mielessäsi niin, että jako tulee ilman jäännöstä, muuten lapsi voi hämmentyä.

Esimerkiksi 256 jaettuna 4:llä:

• Piirrä pystyviiva paperiarkille ja jaa se kahtia oikealta puolelta. Kirjoita ensimmäinen numero vasemmalle ja toinen oikealle rivin yläpuolelle.
• Kysy vauvalta, kuinka monta neljää mahtuu kahteen - ei ollenkaan
• Sitten otetaan 25. Selvyyden vuoksi erota tämä luku ylhäältä kulmalla. Kysy uudelleen lapselta, kuinka monta neljää mahtuu kahteenkymmeneenviiteen? Aivan oikein, kuusi. Kirjoitamme numeron "6" oikeaan alakulmaan rivin alle. Lapsen tulee käyttää kertotaulukkoa oikean vastauksen saamiseksi.
• Kirjoita numero 24 25:n alle ja kirjoita vastaus alle alleviivauksella - 1
• Kysy uudelleen: kuinka monta neljää mahtuu yksikköön - ei ollenkaan. Sitten puretaan numero "6" yhdeksi
• Osoittautui 16 - kuinka monta neloa mahtuu tähän numeroon? Oikein - 4. Kirjoitamme vastaukseen "6":n viereen "4".
• Alle 16 kirjoitetaan 16, alleviivataan ja siitä tulee "0", mikä tarkoittaa, että jaoimme oikein ja vastaukseksi tuli "64"

Kirjoitettu jako kahdella numerolla

Kun lapsi on oppinut jakamisen yhdellä numerolla, voit jatkaa eteenpäin. Kirjoitettu jako kaksinumeroisella numerolla on hieman monimutkaisempaa, mutta jos vauva ymmärtää, kuinka tämä toiminto suoritetaan, hänen ei ole vaikeaa ratkaista tällaisia ​​esimerkkejä.

Tärkeää: Aloita jälleen selittäminen yksinkertaisilla vaiheilla. Lapsi oppii valitsemaan numerot oikein ja hänen on helppo jakaa kompleksiluvut.

Suorita yhdessä tämä yksinkertainen toimenpide: 184:23 - miten selittää:

• Ensin jaetaan 184 20:llä, saadaan noin 8. Mutta emme kirjoita vastaukseen numeroa 8, koska tämä on koenumero
• Tarkista sopiiko 8 vai ei. Kerromme 8:lla 23:lla, osoittautuu 184 - tämä on täsmälleen sama luku, joka meillä on jakajassa. Vastaus on 8

Tärkeää: Jotta lapsi ymmärtäisi, yritä ottaa 9 kahdeksan sijaan, anna hänen kertoa 9 23:lla, osoittautuu 207 - tämä on enemmän kuin meillä on jakajassa. Numero 9 ei sovi meille.

Joten vähitellen vauva ymmärtää jaon, ja hänen on helppo jakaa monimutkaisempia lukuja:

• Jaa 768 24:llä. Määritä yksityisen ensimmäinen numero - emme jaa 76:lla 24:llä, vaan 20:lla, osoittautuu 3. Kirjoitamme vastauksena 3 oikealla olevan rivin alle
• 76:n alle kirjoitetaan 72 ja piirretään viiva, kirjoitetaan ero - kävi ilmi 4. Onko tämä luku jaollinen 24:llä? Ei - me puramme 8, osoittautuu 48
• Onko 48 jaollinen 24:llä? Aivan oikein - kyllä. Osoittautuu 2, kirjoitamme tämän luvun vastauksena
• Se osoittautui 32. Nyt voit tarkistaa, suoritimmeko jakotoiminnon oikein. Kerro sarakkeessa: 24x32, tulee 768, niin kaikki on oikein

Jos lapsi on oppinut jakamaan kaksinumeroisella luvulla, sinun on siirryttävä seuraavaan aiheeseen. Kolminumeroisella luvulla jakamisen algoritmi on sama kuin kaksinumeroisella luvulla jakamisen algoritmi.

Esimerkiksi:

• Jaa 146064 716:lla. Otetaan ensin 146 - kysy lapselta, onko tämä luku jaollinen 716:lla vai ei. Aivan oikein - ei, sitten otetaan 1460
• Kuinka monta kertaa luku 716 mahtuu numeroon 1460? Oikein - 2, joten kirjoitamme tämän luvun vastaukseen
• Kerromme 2:lla 716:lla, saadaan 1432. Kirjoitamme tämän luvun 1460:n alle. Ero on 28, kirjoitamme rivin alle
• Purkaminen 6. Kysy lapselta - onko 286 jaollinen luvulla 716? Aivan oikein - ei, joten kirjoitamme 0:n vastaukseen 2:n viereen. Puramme toisen luvun 4
• Jaamme 2864 716:lla. Otamme 3 kutakin - vähän, 5 kutakin - paljon, mikä tarkoittaa, että saamme 4. Kerromme 4 716:lla, saamme 2864
• Kirjoita 2864 2864:n alle, jos ero on 0. Vastaa 204

Tärkeää: Tarkista jaon oikeellisuus kertomalla yhdessä lapsen kanssa sarakkeessa - 204x716 = 146064. Jako on oikea.

Lapsen on aika selittää, että jakautuminen ei voi olla vain kokonaista, vaan myös loppuosaa. Jäännös on aina pienempi tai yhtä suuri kuin jakaja.

Jako jäännöksellä tulisi selittää yksinkertaisella esimerkillä: 35:8=4 (loppu 3):

• Kuinka monta kahdeksaa mahtuu 35:een? Oikein - 4. Jää 3
• Onko tämä luku jaollinen 8:lla? Aivan oikein - ei. Loppuosa on siis 3.

Sen jälkeen lapsen tulee oppia, että voit jatkaa jakoa lisäämällä 0 numeroon 3:

• Vastaus on numero 4. Sen jälkeen kirjoitetaan pilkku, koska nollan lisääminen tarkoittaa, että luku on murto-osalla
• Tuli 30. Jaa 30 8:lla, tulee 3. Kirjoitamme vastaukseksi ja alle 30 kirjoitamme 24, alleviivaamme ja kirjoitamme 6
• Kannamme luvun 0 numeroon 6. Jaa 60 8:lla. Ota 7, tulee 56. Kirjoita alle 60 ja kirjoita erotus 4
• Lisäämme 0: n numeroon 4 ja jaamme 8:lla, saadaan 5 - kirjoitamme sen ylös vastauksena
• Vähennämme 40:stä 40, saamme 0. Joten vastaus on: 35:8=4,375

Vinkki: Jos lapsi ei ymmärrä jotain, älä ole vihainen. Anna muutaman päivän kulua ja yritä selittää materiaali uudelleen.

Myös matematiikan tunnit koulussa vahvistavat tietoa. Aika kuluu ja lapsi ratkaisee nopeasti ja helposti kaikki jakoesimerkit.

Lukujen jakamisen algoritmi on seuraava:

• Arvioi vastauksessa oleva luku
• Etsi ensimmäinen epätäydellinen osinko
• Määritä osamäärässä olevien numeroiden lukumäärä
• Etsi luvut osamäärän jokaisesta numerosta
• Etsi loput (jos sellaisia ​​on)

Tämän algoritmin mukaan jako suoritetaan sekä yksinumeroisilla luvuilla että millä tahansa moninumeroisella luvulla (kaksinumeroinen, kolminumeroinen, nelinumeroinen ja niin edelleen).

Kun opiskelet lapsen kanssa, kysy häneltä usein esimerkkejä arvion tekemiseksi. Hänen on nopeasti laskettava vastaus mielessään. Esimerkiksi:

• 1428:42
• 2924:68
• 30296:56
• 136576:64
• 16514:718

Voit vahvistaa tuloksen käyttämällä seuraavia jakopelejä:

• "Palapeli". Kirjoita viisi esimerkkiä paperille. Vain yksi niistä saa olla oikean vastauksen kanssa.

Edellytys lapselle: Useista esimerkeistä vain yksi on ratkaistu oikein. Löydä hänet hetkessä.

Video: Aritmeettinen peli lapsille yhteenlasku-jakokertolasku

Video: Opetussarjakuva Matematiikka Kerto- ja jakotaulukoiden ulkoa oppiminen kahdella

Lukujen jakamista pidetään jäännöksellä jakamisena: ei-negatiivisen kokonaisluvun jakaminen a luonnolliseen numeroon b- se tarkoittaa sellaisten kokonaislukujen löytämistä, jotka eivät ole negatiivisia q ja r, mitä a = b q + r, ja 0 ≤ r< b .

Jos yksi- tai kaksinumeroinen luku (enintään 89) jaetaan yksinumeroisella luvulla, käytetään yksinumeroisten lukujen taulukkoa. Esimerkiksi yksityiset numerot 56 ja 8 ovat numero 7, koska 8 7 \u003d 56. Jos sinun on jaettava 52 8:lla, etsi lähin pienempi luku, joka on jaollinen 8:lla - tämä on numero 48, ja siksi epätäydellinen osamäärä, kun jaetaan 52 8:lla, on luku 6. Jäännöksen löytämiseksi sinun on vähennettävä 48 luvusta 52: 52 - 48 = 4. Näin ollen 52 = 8 6 + 4, ts. kun 52 jaetaan 8:lla, osaosamäärä on 6 ja jäännös on 4.

Tehtävä 8. Kuvaa teoreettinen perusta kolminumeroisen luvun 377 jakamiselle yksinumeroisella luvulla 4.

Päätös. 377:n jakaminen 4:llä tarkoittaa sellaisen epätäydellisen osamäärän löytämistä q ja loput r että 377 = 4 q+ r, ja loput r täytyy täyttää ehto 0 ≤ r< b , mutta epätäydellinen osamäärä q- kunto 4 q≤ 377 < 4·(q+ 1).

Määritä kuinka monta numeroa numero sisältää q. yksinumeroinen q ei voi olla, koska silloin tuote 4 q voi olla maksimissaan 36 ja siksi edellä muotoiltuja ehtoja varten r ja q. Jos numero q kaksinumeroinen, ts. jos 10< q< 100, то тогда 40 < 4q< 400 и, следовательно, 40 < 377 < 400, что верно. Значит, частное чисел 377 и 4 - число двузначное.

Osamäärän kymmenien numeron löytämiseksi kerrotaan jakaja 4 luvulla 20, 30, 40 jne. sarjassa. Koska 4 90 = 360 ja 4 100 = 400 ja 360< 377 < 400, то неполное частное заключено между числами 90 и 100, т.е. q= 90 + q0. Mutta sitten seuraavien epätasa-arvojen on oltava voimassa:

4 (90+ q0) ≤ 377 < 360 + 4·(90 + q0+1), mistä

360 + 4q0≤ 377 < 360 + 4·(q0+ 1) ja 4 q 0 ≤ 17 < 4·(q0+ 1).

Määrä q0(osamääräyksiköiden lukumäärä), joka täyttää viimeisen epäyhtälön, löytyy valitsemalla taulukon avulla. Me ymmärrämme sen q0= 4 ja siten epätäydellinen osamäärä q\u003d 90 + 4 \u003d 94. Jäännös saadaan vähentämällä: 377 - 4 94 \u003d 1.

Joten jakamalla luku 377 4:llä osaosamäärä on 94 ja jäännös on 1: 377=4 94+1.

Tehtävä 9. Kuvaa teoreettinen perusta moninumeroisen luvun 4316 jakamiselle moninumeroisella luvulla 52.

Päätös. 4316:n jakaminen 52:lla tarkoittaa tällaisten ei-negatiivisten kokonaislukujen löytämistä q ja r että 4316 = 52 q + r, 0 ≤ r < 52, а неполное частное должно удовлетворять неравенству 52q ≤ 4316 < 52(q + 1).

Määritä osamäärän numeroiden lukumäärä q. Ilmeisesti osamäärä on lukujen 10 ja 100 välillä (ts. q- kaksinumeroinen luku), alkaen 520< 4316 < 5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последовательно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52·80 = 4160, а 52·90 = 4680 и 4160 < 4316 < 4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q = 80 + q0. Mutta sitten seuraavien epätasa-arvojen on oltava voimassa:

52 (80+ q0) ≤ 4316 < 52·(80 + q0+ 1),

4160 + 52 q0≤ 4316 < 4160 + 52·(q0+ 1),

52 q0≤ 153 < 52·(q0+ 1).

Määrä q0(osamääräyksiköiden lukumäärä), joka tyydyttää viimeisen epäyhtälön, löytyy valinnalla: 156 = 52 3, ts. meillä on tapaus, jossa jäännös on 0. Siksi jakamalla 4316 luvulla 52, saamme osamäärän 83.

Yllä oleva perustelu on kulman jaon taustalla:

Ei-negatiivisen kokonaisluvun eri jakamistapausten yleistys a luonnolliseen numeroon b on seuraava algoritmi kulmalla jakamiseen.

1. Jos a= b, sitten yksityinen q = 1, loput r = 0.

2. Jos a >b ja numeroiden lukumäärä numeroissa a ja b sama, sitten yksityinen q löydämme luettelemalla peräkkäin kertomalla b 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, koska a< 10b. Tätä luettelointia voidaan nopeuttaa suorittamalla jako numeroiden korkeimpien numeroiden jäljellä olevilla numeroilla a ja b.

3. Jos a >b ja numeron numeroiden lukumäärä a enemmän kuin määrällisesti b, kirjoita sitten osinko a ja sen oikealla puolella on jakaja b, joka on erotettu a kulma ja etsi osamäärä ja jäännös seuraavassa järjestyksessä:

a) valitse jokin a niin monta alkunumeroa kuin numerossa on numeroita b tai tarvittaessa vielä yksi numero, mutta niin, että ne muodostavat luvun d1 suurempi tai yhtä suuri b. Osamäärää etsitään q1 numeroita d1 ja b, kerrotaan peräkkäin b 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Kirjoita ylös q1 kulma (alla) b);

b) kerrotaan b päällä q1 ja kirjoita tuote numeron alle a niin että luvun vähiten merkitsevä numero bq1 kirjoitettiin korostetun luvun vähiten merkitsevän numeron alle d1;

c) vedä viiva alle bq1 ja löydä ero r1= d1- bq1;

d) kirjoita ero ylös r1 numeron alla bq1, kohdistaa oikealle r1 osingon käyttämättömistä numeroista merkittävin numero a ja vertaa saatua lukua d2 numerolla b.

e) jos tuloksena oleva luku d2 enemmän tai yhtä paljon b, sitten toimimme sen suhteen kohdan 1 tai 2 mukaisesti. Yksityinen q2 kirjoittaa sen jälkeen q1;

e) jos tuloksena oleva luku d2 pienempi b, annamme niin monta seuraavaa numeroa kuin on tarpeen ensimmäisen numeron saamiseksi d3, suurempi tai yhtä suuri b. Tässä tapauksessa kirjoitamme jälkeen q1 sama määrä nollia. Siis suhteellisesti d3 toimia kohtien 1, 2 mukaisesti. Yksityinen q2 kirjoittaa nollien jälkeen. Jos, kun käytetään luvun vähiten merkitsevää numeroa a siitä käy ilmi d3< b, sitten osamäärä d3 ja b on yhtä kuin nolla, ja tämä nolla kirjoitetaan osamäärän viimeisenä numerona ja jäännös r= d3.

Harjoituksia itsenäiseen työskentelyyn

1. Määritä yksityisten numeroiden numeroiden lukumäärä jakamatta:

a) 475 ja 7; b) 6134 ja 226; c) 5683 ja 25; d) 43127 ja 536.

2. Havainnollista teoreettinen perusta kolminumeroisen luvun 868 jakamiselle yksinumeroisella luvulla 3.

3. Etsi lausekkeen arvo kahdella tavalla:

a) (297 + 405 + 567): 27; c) 56 (378:14);

b) (240 23):48; d) 15120:(14 5 8).

4. Etsi lausekkeen arvo:

a) 8919:9 + 114240:21; b) 1190 - 35360: 34 + 271; c) 8631 - (99 + 44352:63);

d) 48600 (5045 - 2040): 243 - (8604 3:43 + 504) 200.

Tarkastellaan algoritmeja positiivisten kokonaislukujen binäärilukujen jakamiseen , missä MUTTA– 2n-bittinen osinko; AT– i-bittijakaja; . Oletetaan, että osamäärä on kokonaisluku alkaen bitin numero , while

Jakoalgoritmi ja jäännöspalautus. Osamäärän numeroiden arvot määritetään jakajan vähentämisen jälkeen saatujen jäännösten analyysin tuloksena AT algoritmin ensimmäisessä vaiheessa jaettavan Dst:n suurimmista numeroista ja seuraavissa vaiheissa nykyisen jäännöksen suurimmista numeroista.

klo positiivinen ja luoti jäännösarvot osamäärän numero c k = 1. Tässä tapauksessa seuraavan jäännöksen saamiseksi nykyistä jäännöstä siirretään bitin verran vasemmalle ja siitä vähennetään jakaja AT.

klo negatiivinen jäännöksen arvo on osamäärän nykyinen numero c k = 0. Syntyy umpikuja. Siitä poistumiseksi edellinen jäännös palautetaan lisäämällä jakaja AT negatiiviseen saldoon. Palautettu jäännös siirretään yhden bitin vasemmalle ja jakaja vähennetään siitä. AT. Palautus- ja siirtotoimintojen avulla voit kaksinkertaistaa edellisen jäännöksen ja jatkaa jakotoimintoa.

Esimerkki 2.30. Havainnollistetaan algoritmia tapauksen jäännöksen palauttamisella P = 3, kun osinko A = 100011 (35|0), jakaja B = 111 (710). Jakajan vähentäminen AT Käytetään lisäkoodissa algebrallista summausoperaatiota. Jakajan negatiivinen arvo lisäkoodissa (~B) = 1001. Jakamista varten otamme käyttöön lisämerkkinumeroita, jotka korostetaan lihavoidulla. Toimintojen järjestys jaon aikana on esitetty alla, kuvassa 1. 2.17.

Riisi. 2.17.

Esimerkki 2.31. Jaosto käyttää lisäys- ja vuorotoimintoja.

Jakamisen tuloksena saadaan osamäärä C= 0101, joka itse asiassa on kokoelma lisäysoperaatioista saatuja siirtoja.

Algoritmi jakamiseen ilman jäännöksen palauttamista. Binäärilukujen jaon laitteistototeutuksessa summaimessa on toteutettu yhteenlaskutoiminto ja rekisteriin siirtotoiminto. Rekisteri pystyy tallentamaan edellisen saldon summausoperaation aikana. Siksi tasapainon palauttaminen on valinnainen toimenpide. klo negatiivinen nykyisen saldon arvoa, sinun on käytettävä aiempaa rekisteriin tallennettua saldoa ja siirrettävä sitä vasemmalle yhdellä numerolla.

Esimerkki 2.32. Algoritmi palauttamatta jäännöstä samoilla jakaja- ja osinkoarvoilla on samanlainen kuin esimerkissä 2.29 (kuva 2.18).

Riisi. 2.18.

Binäärilukujen algebrallisessa jaossa on tarpeen suorittaa erilliset vaiheet osamäärän etumerkin ja moduulin määrittämiseksi. Osamäärän etumerkki määritetään käyttämällä modulo kaksi yhteenlaskua etumerkkibittien päälle samalla tavalla kuin kertomalla binäärilukuja.

Luonnollisten lukujen, erityisesti moniarvoisten, jako suoritetaan kätevästi erityisellä menetelmällä, jota ns. jako sarakkeella (sarakkeessa). Voit myös nähdä nimen kulmajako. Huomaamme välittömästi, että sarake voidaan suorittaa sekä luonnollisten lukujen jakaminen ilman jäännöstä että luonnollisten lukujen jako jäännöksellä.

Tässä artikkelissa ymmärrämme, kuinka sarakkeella jako suoritetaan. Täällä puhumme kirjoitussäännöistä ja kaikista välilaskutoimista. Aluksi tarkastellaan moniarvoisen luonnollisen luvun jakamista yksinumeroisella luvulla sarakkeella. Sen jälkeen keskitymme tapauksiin, joissa sekä osinko että jakaja ovat moniarvoisia luonnollisia lukuja. Tämän artikkelin koko teoria sisältää tyypillisiä esimerkkejä jakamisesta luonnollisten lukujen sarakkeella sekä ratkaisun yksityiskohtaiset selitykset ja kuvat.

Sivulla navigointi.

Tallennussäännöt sarakkeella jaettaessa

Aloitetaan tutkimalla osingon, jakajan, kaikkien välilaskutoimitusten ja tulosten kirjoittamista koskevia sääntöjä, kun luonnollisia lukuja jaetaan sarakkeella. Sanotaan heti, että on kätevintä jakaa sarakkeeseen kirjallisesti paperille ruudullisella viivalla - niin on vähemmän mahdollisuuksia eksyä halutusta rivistä ja sarakkeesta.

Ensin osinko ja jakaja kirjoitetaan yhdelle riville vasemmalta oikealle, minkä jälkeen kirjoitettujen numeroiden väliin ilmestyy lomakkeen symboli. Jos osinko on esimerkiksi luku 6 105 ja jakaja on 5 5, niiden oikea merkintä sarakkeeseen jaettuna on:

Katso seuraavaa kaaviota, joka havainnollistaa osingon, jakajan, osamäärän, jäännöksen ja välilaskutoimitusten kirjoituspaikat sarakkeella jakamisen yhteydessä.

Yllä olevasta kaaviosta voidaan nähdä, että haluttu osamäärä (tai jäännöksellä jaettuna epätäydellinen osamäärä) kirjoitetaan jakajan alle vaakaviivan alle. Ja välilaskelmat suoritetaan osingon alapuolella, ja sinun on huolehdittava sivun tilan saatavuudesta etukäteen. Tässä tapauksessa on noudatettava sääntöä: mitä suurempi ero merkkien lukumäärässä on osingon ja jakajan merkinnöissä, sitä enemmän tilaa tarvitaan. Esimerkiksi kun jaetaan luonnollinen luku 614 808 luvulla 51 234 sarakkeella (614 808 on kuusinumeroinen luku, 51 234 on viisinumeroinen luku, tietueiden merkkien lukumäärän ero on 6−5=1), väli laskelmat vaativat vähemmän tilaa kuin jakamalla luvut 8 058 ja 4 (tässä merkkien lukumäärän ero on 4−1=3 ). Sanojemme vahvistamiseksi esitämme valmiit jakotietueet näiden luonnollisten lukujen sarakkeella:

Nyt voit siirtyä suoraan luonnollisten lukujen jakamiseen sarakkeella.

Jako luonnollisen luvun sarakkeella yksinumeroisella luonnollisella luvulla, algoritmi sarakkeella jakamiseen

On selvää, että yksinumeroisen luonnollisen luvun jakaminen toisella on melko yksinkertaista, eikä ole mitään syytä jakaa näitä lukuja sarakkeeseen. On kuitenkin hyödyllistä harjoitella jaon alkutaitoja sarakkeella näissä yksinkertaisissa esimerkeissä.

Esimerkki.

Meidän on jaettava sarakkeella 8 kahdella.

Päätös.

Tietenkin voimme tehdä jakoa käyttämällä kertotaulukkoa ja kirjoittaa heti vastauksen 8:2=4.

Mutta olemme kiinnostuneita siitä, kuinka nämä luvut jaetaan sarakkeella.

Ensin kirjoitetaan osinko 8 ja jakaja 2 menetelmän edellyttämällä tavalla:

Nyt alamme selvittää, kuinka monta kertaa jakaja on osingossa. Tätä varten kerromme jakajaa peräkkäin luvuilla 0, 1, 2, 3, ..., kunnes tuloksena on luku, joka on yhtä suuri kuin osinko (tai luku, joka on suurempi kuin osinko, jos on jako jakojäännöksellä ). Jos saamme luvun, joka on yhtä suuri kuin osinko, kirjoitamme sen välittömästi osingon alle ja yksityisen tilalle luvun, jolla kerroimme jakajan. Jos saamme luvun, joka on suurempi kuin jaollinen, niin jakajan alle kirjoitetaan toiseksi viimeisessä vaiheessa laskettu luku, ja epätäydellisen osamäärän tilalle kirjoitetaan luku, jolla jakaja kerrottiin toiseksi viimeisessä vaiheessa.

Mennään: 2 0=0 ; 2 1 = 2; 2 2 = 4; 2 3 = 6; 2 4 = 8 . Saimme osinkoa vastaavan luvun, joten kirjoitamme sen osingon alle ja yksityisen tilalle luvun 4. Levy näyttää sitten tältä:

Jäljelle jää viimeinen vaihe, jossa yksinumeroiset luonnolliset luvut jaetaan sarakkeella. Osingon alle kirjoitetun luvun alle on piirrettävä vaakasuora viiva ja vähennettävä tämän rivin yläpuolella olevat luvut samalla tavalla kuin luonnollisia lukuja vähennettäessä sarakkeella. Vähennyksen jälkeen saatu luku on jaon loppuosa. Jos se on nolla, alkuperäiset luvut jaetaan ilman jäännöstä.

Esimerkissämme saamme

Nyt meillä on valmis tietue jakamisesta sarakkeella, jonka numero on 8 ja 2. Näemme, että osamäärä 8:2 on 4 (ja jäännös on 0).

Vastaus:

8:2=4 .

Mieti nyt, kuinka jako yksinumeroisten luonnollisten lukujen sarakkeella jakojäännöksellä suoritetaan.

Esimerkki.

Jaa sarakkeella 7 kolmella.

Päätös.

Alkuvaiheessa merkintä näyttää tältä:

Alamme selvittää, kuinka monta kertaa osinko sisältää jakajan. Kerromme 3:lla 0, 1, 2, 3 jne. kunnes saamme luvun, joka on yhtä suuri tai suurempi kuin osinko 7. Saamme 3 0 = 0<7 ; 3·1=3<7 ; 3·2=6<7 ; 3·3=9>7 (katso tarvittaessa artikkelin luonnollisten lukujen vertailu). Osingon alle kirjoitetaan numero 6 (se saatiin toiseksi viimeisessä vaiheessa) ja epätäydellisen osamäärän tilalle numero 2 (sille suoritettiin kertominen toiseksi viimeisessä vaiheessa).

Vielä on suoritettava vähennys, ja jako yksinumeroisten luonnollisten lukujen 7 ja 3 sarakkeella valmistuu.

Joten osittaisosamäärä on 2 ja jäännös on 1.

Vastaus:

7:3=2 (lop. 1) .

Nyt voimme siirtyä jakamaan moniarvoiset luonnolliset luvut yksinumeroisilla luonnollisilla luvuilla sarakkeella.

Nyt analysoimme sarakkeen jakoalgoritmi. Jokaisessa vaiheessa esitämme tulokset, jotka on saatu jakamalla moniarvoinen luonnollinen luku 140 288 yksiarvoisella luonnollisella luvulla 4 . Tätä esimerkkiä ei valittu sattumalta, koska sitä ratkaiseessa kohtaamme kaikki mahdolliset vivahteet, voimme analysoida niitä yksityiskohtaisesti.

Ensin katsomme ensimmäistä numeroa vasemmalta osinkomerkinnässä. Jos tämän luvun määrittelemä luku on suurempi kuin jakaja, niin seuraavassa kappaleessa meidän on työskenneltävä tämän luvun kanssa. Jos tämä luku on pienempi kuin jakaja, meidän on lisättävä seuraava numero vasemmalle osinkotietueeseen ja työskenneltävä edelleen kahden kyseessä olevan numeron määrittämän luvun kanssa. Mukavuuden vuoksi valitsemme tietueestamme numeron, jonka kanssa työskentelemme.

Ensimmäinen numero vasemmalta osingossa 140 288 on numero 1. Luku 1 on pienempi kuin jakaja 4, joten katsomme myös seuraavaa numeroa vasemmalla osinkotietueessa. Samalla näemme numeron 14, jonka kanssa meidän on työskenneltävä edelleen. Valitsemme tämän luvun osingon merkinnässä.

Seuraavat kohdat toisesta neljänteen toistetaan syklisesti, kunnes luonnollisten lukujen jako sarakkeella on valmis.

Nyt meidän on määritettävä, kuinka monta kertaa jakaja sisältyy käsittelemäänsä numeroon (merkitkäämme mukavuussyistä tämä luku x:ksi). Tätä varten kerromme jakajaa peräkkäin luvuilla 0, 1, 2, 3, ..., kunnes saamme luvun x tai luvun, joka on suurempi kuin x. Kun luku x on saatu, kirjoitetaan se valitun luvun alle luonnollisten lukujen sarakkeella vähennettäessä käytettyjen merkintäsääntöjen mukaisesti. Luku, jolla kertolasku suoritettiin, kirjoitetaan osamäärän tilalle algoritmin ensimmäisen läpimenon aikana (algoritmin 2-4 pisteen myöhemmissä siirroissa tämä luku kirjoitetaan jo olemassa olevien numeroiden oikealle puolelle). Kun saadaan luku, joka on suurempi kuin luku x, niin valitun luvun alle kirjoitetaan toiseksi viimeisessä vaiheessa saatu luku ja osamäärän tilalle (tai jo olemassa olevien numeroiden oikealle puolelle) kirjoitetaan luku jonka kertolasku suoritettiin toiseksi viimeisessä vaiheessa. (Teimme samanlaisia ​​toimia kahdessa edellä käsitellyssä esimerkissä).

Kerrotaan 4:n jakaja luvuilla 0, 1, 2, ..., kunnes saadaan luku, joka on yhtä suuri kuin 14 tai suurempi kuin 14. Meillä on 4 0 = 0<14 , 4·1=4<14 , 4·2=8<14 , 4·3=12<14 , 4·4=16>neljätoista. Koska viimeisessä vaiheessa saimme luvun 16, joka on suurempi kuin 14, niin valitun luvun alle kirjoitetaan numero 12, joka osoittautui toiseksi viimeisessä vaiheessa, ja osamäärän tilalle kirjoitamme numeron 3, koska toiseksi viimeisessä kappaleessa kertolasku suoritettiin juuri siinä.


Tässä vaiheessa vähennä valitusta numerosta sen alapuolella oleva luku sarakkeessa. Vaakaviivan alapuolella on vähennyksen tulos. Jos vähennyksen tulos on kuitenkin nolla, sitä ei tarvitse kirjoittaa muistiin (ellei vähennys ole tässä vaiheessa viimeinen toiminto, joka täydentää sarakkeella jaon). Tässä ei ole tarpeetonta verrata vähennyksen tulosta jakajaan ja varmistaa, että se on pienempi kuin jakaja. Muuten jossain on tehty virhe.

Meidän on vähennettävä luku 12 sarakkeen luvusta 14 (oikean merkinnän vuoksi älä unohda laittaa miinusmerkkiä vähennettyjen numeroiden vasemmalle puolelle). Tämän toiminnon jälkeen numero 2 ilmestyi vaakaviivan alle. Nyt tarkistamme laskelmamme vertaamalla saatua lukua jakajaan. Koska luku 2 on pienempi kuin jakaja 4, voit turvallisesti siirtyä seuraavaan kohtaan.


Nyt, siellä olevien numeroiden oikealla puolella olevan vaakaviivan alle (tai sen paikan oikealle puolelle, johon emme kirjoittaneet nollaa), kirjoitamme samassa sarakkeessa olevan numeron osinkotietueeseen. Jos tämän sarakkeen osinkotietueessa ei ole numeroita, sarakkeella jako päättyy tähän. Sen jälkeen valitsemme vaakaviivan alle muodostetun luvun, otamme sen työnumeroksi ja toistamme sen kanssa algoritmin 2-4 pistettä.

Jo olemassa olevan luvun 2 oikealla puolella olevan vaakaviivan alle kirjoitetaan numero 0, koska juuri luku 0 on tässä sarakkeessa oleva osingon 140 288 tietueessa. Siten luku 20 muodostuu vaakaviivan alle.


Valitsemme tämän luvun 20, otamme sen työnumeroksi ja toistamme algoritmin toisen, kolmannen ja neljännen pisteen toimet sen kanssa.

Kerrotaan 4:n jakaja luvulla 0, 1, 2, ..., kunnes saadaan luku 20 tai luku, joka on suurempi kuin 20. Meillä on 4 0 = 0<20 , 4·1=4<20 , 4·2=8<20 , 4·3=12<20 , 4·4=16<20 , 4·5=20 . Так как мы получили число, равное числу 20 , то записываем его под отмеченным числом, а на месте частного, справа от уже имеющегося там числа 3 записываем число 5 (на него производилось умножение).


Suoritamme vähennyksen sarakkeella. Koska vähennämme yhtä suuret luonnolliset luvut, saamme tuloksena nollan yhtäläisten luonnollisten lukujen vähentämisominaisuuden vuoksi. Emme kirjoita nollaa (koska tämä ei ole sarakkeella jakamisen viimeinen vaihe), mutta muistamme paikan, johon voimme kirjoittaa sen muistiin (mukavuussyistä merkitsemme tämän paikan mustalla suorakulmiolla).


Muistetun paikan oikealla puolella olevan vaakaviivan alle kirjoitetaan numero 2, koska juuri hän on tässä sarakkeessa osingon 140 288 merkinnässä. Siten vaakaviivan alla meillä on numero 2 .


Otamme luvun 2 työnumeroksi, merkitsemme sen, ja jälleen kerran meidän on suoritettava vaiheet algoritmin 2-4 pisteestä.

Kerrotaan jakaja luvulla 0 , 1 , 2 ja niin edelleen ja verrataan saatuja lukuja merkittyyn numeroon 2 . Meillä on 4 0 = 0<2 , 4·1=4>2. Siksi merkityn numeron alle kirjoitetaan numero 0 (se saatiin toiseksi viimeisessä vaiheessa) ja jo olemassa olevan luvun oikealla puolella olevan osamäärän tilalle kirjoitetaan numero 0 (kerroimme 0:lla toiseksi viimeisessä vaihe).


Suoritamme vähennyksen sarakkeella, saamme luvun 2 vaakaviivan alle. Tarkistamme itsemme vertaamalla saatua lukua jakajaan 4 . Vuodesta 2<4 , то можно спокойно двигаться дальше.


Numeron 2 oikealla puolella olevan vaakaviivan alle lisäämme luvun 8 (koska se on tässä sarakkeessa osinkotietueessa 140 288). Siten vaakaviivan alla on numero 28.


Hyväksymme tämän numeron työntekijänä, merkitsemme sen ja toistamme kappaleiden vaiheet 2–4.

Tässä ei pitäisi olla ongelmia, jos olet ollut varovainen tähän asti. Kun kaikki tarvittavat toimet on tehty, saadaan seuraava tulos.

Jäljelle jää viimeinen toimintojen suorittaminen kohdista 2, 3, 4 (me tarjoamme sen sinulle), jonka jälkeen saat täydellisen kuvan luonnollisten lukujen 140 288 ja 4 jakamisesta sarakkeessa:

Huomaa, että numero 0 kirjoitetaan rivin alareunaan. Jos tämä ei olisi sarakkeella jakamisen viimeinen vaihe (eli jos osinkotietueen oikeanpuoleisissa sarakkeissa olisi numeroita), emme kirjoittaisi tätä nollaa.

Näin ollen tarkasteltaessa valmiita tietueita moniarvoisen luonnollisen luvun 140 288 jakamisesta yksiarvoisella luonnollisella luvulla 4, huomaamme, että luku 35 072 on yksityinen (ja jaon loppuosa on nolla, se on alarivi).

Tietenkin, kun jaat luonnolliset luvut sarakkeella, et kuvaile kaikkia toimiasi niin yksityiskohtaisesti. Ratkaisusi näyttävät jotain seuraavista esimerkeistä.

Esimerkki.

Suorita pitkä jako, jos osinko on 7136 ja jakaja on yksi luonnollinen luku 9.

Päätös.

Luonnollisten lukujen sarakkeella jakamisalgoritmin ensimmäisessä vaiheessa saamme lomakkeen tietueen

Kun toiminnot on suoritettu algoritmin toisesta, kolmannesta ja neljännestä pisteestä, sarakkeella jakamisen tietue saa muotoa

Toistamalla sykliä, meillä on

Vielä yksi siirto antaa meille täydellisen kuvan jakamisesta luonnollisten lukujen 7 136 ja 9 sarakkeella

Siten osittaisosamäärä on 792 ja jaon loppuosa on 8 .

Vastaus:

7 136:9=792 (loput 8) .

Ja tämä esimerkki osoittaa, kuinka pitkältä jaon tulisi näyttää.

Esimerkki.

Jaa luonnollinen luku 7 042 035 yksinumeroisella luonnollisella luvulla 7 .

Päätös.

On kätevintä tehdä jako sarakkeella.

Vastaus:

7 042 035:7=1 006 005 .

Jako moniarvoisten luonnollisten lukujen sarakkeella

Kiirehdimme miellyttämään sinua: jos olet hyvin hallinnut sarakkeella jakamisen algoritmin tämän artikkelin edellisestä kappaleesta, tiedät jo melkein, kuinka toimia jakaminen moniarvoisten luonnollisten lukujen sarakkeella. Tämä pitää paikkansa, koska algoritmin vaiheet 2-4 pysyvät ennallaan ja ensimmäisessä vaiheessa tulee vain pieniä muutoksia.

Moniarvoisten luonnollisten lukujen sarakkeeseen jakamisen ensimmäisessä vaiheessa sinun ei tarvitse katsoa osinkomerkinnän ensimmäistä numeroa vasemmalla, vaan niin montaa kuin jakajamerkinnässä on numeroita. Jos näiden lukujen määrittelemä luku on suurempi kuin jakaja, niin seuraavassa kappaleessa meidän on työskenneltävä tämän luvun kanssa. Jos tämä luku on pienempi kuin jakaja, meidän on lisättävä huomioimaan seuraava numero vasemmalla osinkotietueessa. Tämän jälkeen suoritetaan algoritmin kohdissa 2, 3 ja 4 ilmoitetut toimenpiteet, kunnes saadaan lopullinen tulos.

Jäljelle jää vain moniarvoisten luonnollisten lukujen sarakkeella jakamisen algoritmin soveltaminen käytännössä esimerkkejä ratkaistaessa.

Esimerkki.

Suoritetaan jako moniarvoisten luonnollisten lukujen 5562 ja 206 sarakkeella.

Päätös.

Koska jakajan 206 tietueessa on 3 merkkiä, tarkastelemme osinkotietueen 5 562 vasemmalla puolella olevia kolmea ensimmäistä numeroa. Nämä luvut vastaavat numeroa 556. Koska 556 on suurempi kuin jakaja 206, otamme luvun 556 työskentelylukuna, valitsemme sen ja siirrymme algoritmin seuraavaan vaiheeseen.

Nyt kerrotaan jakaja 206 luvuilla 0, 1, 2, 3, ..., kunnes saadaan luku, joka on joko yhtä suuri kuin 556 tai suurempi kuin 556. Meillä on (jos kertominen on vaikeaa, niin luonnollisten lukujen kertolasku on parempi suorittaa sarakkeessa): 206 0=0<556 , 206·1=206<556 , 206·2=412<556 , 206·3=618>556 . Koska saimme luvun, joka on suurempi kuin 556, niin valitun luvun alle kirjoitetaan numero 412 (se saatiin toiseksi viimeisessä vaiheessa) ja osamäärän tilalle kirjoitetaan numero 2 (koska se kerrottiin toiseksi viimeisessä vaiheessa vaihe). Sarakejaon merkintä on seuraavassa muodossa:

Suorita sarakkeen vähennyslasku. Saamme eron 144, tämä luku on pienempi kuin jakaja, joten voit turvallisesti jatkaa vaadittujen toimien suorittamista.

Siellä olevan numeron oikealla puolella olevan vaakaviivan alle kirjoitetaan numero 2, koska se on osinkotietueessa 5 562 tässä sarakkeessa:

Nyt työskentelemme numeron 1442 kanssa, valitsemme sen ja käymme uudelleen vaiheet 2–4 läpi.

Kerrotaan jakaja 206 luvuilla 0, 1, 2, 3, ..., kunnes saadaan luku 1442 tai luku, joka on suurempi kuin 1442. Mennään: 206 0=0<1 442 , 206·1=206<1 442 , 206·2=412<1 332 , 206·3=618<1 442 , 206·4=824<1 442 , 206·5=1 030<1 442 , 206·6=1 236<1 442 , 206·7=1 442 . Таким образом, под отмеченным числом записываем 1 442 , а на месте частного правее уже имеющегося там числа записываем 7 :

Vähennämme sarakkeella, saamme nollan, mutta emme kirjoita sitä heti muistiin, vaan muistamme vain sen sijainnin, koska emme tiedä päättyykö jako tähän vai joudumme toistamaan algoritmin vaiheet uudelleen:

Nyt näemme, että muistiin tallennetun paikan oikealla puolella olevan vaakaviivan alle emme voi kirjoittaa yhtään numeroa, koska tässä sarakkeessa ei ole numeroita osinkotietueessa. Siksi tämä sarakkeella jakaminen on ohi, ja täydennämme merkinnän:

• Matematiikka. Kaikki oppikirjat oppilaitosten luokille 1, 2, 3, 4.
• Matematiikka. Kaikki oppikirjat 5 oppilaitoksen luokalle.

Mitä tulee lukujen jakamistekniikkaan, tätä prosessia pidetään jakamisena jäännöksellä: jakaa ei-negatiivinen kokonaisluku a luonnollisella luvulla b - tämä tarkoittaa ei-negatiivisten kokonaislukujen q r etsimistä siten, että a = bq + r ja 0 £ r< b.

Otetaan ensin selvää miten jakamalla yhdellä numerolla. Jos yksi- tai kaksinumeroinen luku (enintään 89) jaetaan yksinumeroisella luvulla, käytetään yksinumeroisten lukujen kertotaulukkoa. esimerkiksi, yksityiset numerot 54 ja 9 ovat numero 6, koska 9 × 6 \u003d 54. Jos sinun on jaettava 51 9:llä, etsi sitä lähin pienempi luku, joka on jaollinen 9:llä - tämä on luku 45 , ja siksi epätäydellinen osamäärä 51:n jakamiselle 9:llä on luku 5. Jäännöksen saamiseksi sinun on vähennettävä 45 luvusta 51: 51 - 45 \u003d 6. Näin ollen 51 \u003d 9 × 5 + 6, eli kun jaat 51:n 9:llä, saat epätäydellisen osamäärän 5 ja jäännöksen 6. Voit kirjoittaa tämän eri tavalla käyttämällä kulmalla jakamista:

Jaamme nyt kolminumeroisen luvun yksinumeroisella luvulla, esimerkiksi 378 4:llä. 378:n jakaminen 4:llä tarkoittaa sellaisen epätäydellisen osamäärän q ja jäännöksen r löytämistä, että 378=4q+r ja jakojäännöksen r täytyy täyttää ehdon 0£r

Määritetään kuinka monta numeroa luvun q tietue sisältää. Luku q ei voi olla yksinumeroinen, koska silloin tulo 4q voi olla maksimissaan 36 ja siksi edellä muotoiltu r:lle ja q:lle ehdot eivät täyty. Jos luku q on kaksinumeroinen, ts. niitä on 10

Osamäärän kymmenien numeron löytämiseksi kerrotaan jakaja 4 luvulla 20, 30, 40 jne. sarjassa. Koska 4x90=360 ja 4x100=400 ja 360<378<400, то неполное частное заключено между числами90 и100, т.е. q=90+q 0. Но тогда должны выполняться неравенства: 4×(90+q 0)£ 378<4×(90q+q 0 +1), откуда 360+4q 0 £78<360+4(q 0 +1) и 4q 0 £18<4(q 0 +1). Число q 0 (цифра единиц частного), удовлетво­ряющее последнему неравенству, можно найти подбором, воспользовавшись таблицей умножения. Получаем, что q 0 =4 и, следовательно, неполное частное q=90+4=94. Остаток находится вычитание: 378–4×94=2.

Joten kun 378 jaetaan 4:llä, osaosamäärä on 94 ja jäännös on 2: 378–4×94+2.

Kuvattu prosessi on kulman jakamisen perusta:

Samalla tavalla suoritettu moninumeroisen luvun jakaminen moninumeroisella luvulla . Jaetaan esimerkiksi 4316 52:lla. Tämän jaon suorittaminen tarkoittaa sellaisten ei-negatiivisten kokonaislukujen q ja r löytämistä, että 4316=52q+r, 0£r < 52, ja epätäydellisen osamäärän on täytettävä epäyhtälö 52q £ 4316<52(q+1).

Määritetään osamäärän q numeroiden lukumäärä. Ilmeisesti osamäärä on lukujen 10 ja 100 välillä (eli q on kaksinumeroinen luku), koska 520<4316<5200. Чтобы найти цифру десятков частного, умножим последова­тельно делитель 52 на 20, 30, 40, 50 и т.д. Поскольку 52× 80=4160 ja 52 × 90=4680 ja 4160<4316<4680, то неполное частное заключено между числами 80 и 90, т.е. q=80+q 0 .

Mutta sitten seuraavien epätasa-arvojen on oltava voimassa:

52× (80+q 0) 4 316 £< 52× (80+q 0 +1),

4160+52q 0 4316 puntaa<4160+52× (q 0 +1),

52q 0 156 puntaa<52× (q 0 +1).

Luku q 0 (osamäärän yksikkömäärä), joka täyttää viimeisen epäyhtälön, löytyy valinnalla: 156=52 × 3, eli meillä on tapaus, jossa jäännös on 0. Siksi jakamalla 4316 luvulla 52, saamme osamäärän 83.

Yllä oleva päättely on kulman jaon taustalla.