Tässä artikkelissa opit löytämään viivoilla rajatun kuvion alueen integraalilaskelmien avulla. Ensimmäistä kertaa tällaisen ongelman muotoiluun törmäämme lukiossa, kun tiettyjen integraalien opiskelu on juuri saatu päätökseen ja on aika aloittaa käytännössä saadun tiedon geometrinen tulkinta.
Joten, mitä tarvitaan, jotta voidaan ratkaista onnistuneesti kuvion alueen löytäminen integraaleja käyttämällä:
- Kyky piirtää piirustuksia oikein;
- Kyky ratkaista määrätty integraali käyttämällä hyvin tunnettua Newton-Leibnizin kaavaa;
- Kyky "nähdä" kannattavampi ratkaisu - ts. ymmärtääksesi, kuinka tässä tai tuossa tapauksessa integrointi on helpompaa suorittaa? x-akselia (OX) vai y-akselia (OY) pitkin?
- No, missä ilman oikeita laskelmia?) Tämä sisältää ymmärryksen siitä, kuinka toisentyyppiset integraalit ratkaistaan ja oikeat numeeriset laskelmat.
Algoritmi viivojen rajoittaman kuvion alueen laskenta-ongelman ratkaisemiseksi:
1. Rakennamme piirustuksen. On suositeltavaa tehdä tämä paperille häkissä suuressa mittakaavassa. Allekirjoitamme kynällä kunkin kaavion yläpuolelle tämän funktion nimen. Kaavioiden allekirjoitus tehdään yksinomaan lisälaskelmien helpottamiseksi. Saatuaan halutun kuvan kaavion useimmissa tapauksissa on heti selvää, mitä integrointirajoja käytetään. Siten ratkaisemme ongelman graafisesti. Kuitenkin tapahtuu, että rajojen arvot ovat murto-osia tai irrationaalisia. Siksi voit tehdä lisälaskelmia, siirry vaiheeseen kaksi.
2. Jos integrointirajoja ei ole nimenomaisesti asetettu, etsitään graafien leikkauspisteet toistensa kanssa ja katsotaan, osuuko graafinen ratkaisumme analyyttiseen ratkaisuun.
3. Seuraavaksi sinun on analysoitava piirustus. Riippuen siitä, kuinka funktioiden kaaviot sijaitsevat, on olemassa erilaisia lähestymistapoja kuvion alueen löytämiseen. Harkitse erilaisia esimerkkejä kuvion alueen löytämisestä integraaleja käyttämällä.
3.1. Klassisin ja yksinkertaisin versio ongelmasta on, kun sinun on löydettävä kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Mikä on kaareva trapetsi? Tämä on litteä kuva, jota rajoittaa x-akseli (y=0), suoraan x = a, x = b ja mikä tahansa käyrä, joka on jatkuva välissä alkaen a ennen b. Samanaikaisesti tämä luku ei ole negatiivinen ja ei sijaitse x-akselin alapuolella. Tässä tapauksessa kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin Newton-Leibnizin kaavalla laskettu kiinteä integraali:
Esimerkki 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Mitkä viivat määrittelevät hahmon? Meillä on paraabeli y = x2 - 3x + 3, joka sijaitsee akselin yläpuolella VAI NIIN, se ei ole negatiivinen, koska kaikki tämän paraabelin pisteet ovat positiivisia. Seuraavaksi annettu suorat viivat x = 1 ja x = 3 jotka kulkevat yhdensuuntaisesti akselin kanssa OU, ovat kuvion rajaviivat vasemmalla ja oikealla. Hyvin y = 0, hän on x-akseli, joka rajoittaa kuvaa alhaalta. Tuloksena oleva kuva on varjostettu, kuten näkyy vasemmalla olevassa kuvassa. Tässä tapauksessa voit aloittaa ongelman ratkaisemisen välittömästi. Edessämme on yksinkertainen esimerkki kaarevasta puolisuunnikasta, jonka sitten ratkaisemme Newton-Leibnizin kaavalla.
3.2. Edellisessä kappaleessa 3.1 analysoitiin tapaus, jossa kaareva puolisuunnikkaan sijoittuu x-akselin yläpuolelle. Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa tehtävän ehdot ovat samat, paitsi että funktio on x-akselin alla. Newton-Leibnizin standardikaavaan lisätään miinus. Kuinka ratkaista tällainen ongelma, harkitsemme edelleen.
Esimerkki 2 . Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Tässä esimerkissä meillä on paraabeli y=x2+6x+2, joka on peräisin akselin alta VAI NIIN, suoraan x = -4, x = -1, y = 0. Tässä y = 0 rajoittaa haluttua lukua ylhäältä. Suoraan x = -4 ja x = -1 nämä ovat rajat, joiden sisällä määrällinen integraali lasketaan. Kuvion alueen löytämisongelman ratkaisuperiaate on lähes täysin sama kuin esimerkin numero 1. Ainoa ero on, että annettu funktio ei ole positiivinen, ja kaikki on myös jatkuvaa välissä [-4; -1] . Mitä positiivinen ei tarkoita? Kuten kuvasta voidaan nähdä, annetussa x:ssä olevalla kuviolla on yksinomaan "negatiiviset" koordinaatit, mikä meidän on nähtävä ja muistettava ongelmaa ratkaistaessa. Etsimme kuvion aluetta Newton-Leibnizin kaavalla, vain miinusmerkillä alussa.
Artikkeli ei ole valmis.
Tässä artikkelissa opit löytämään viivoilla rajatun kuvion alueen integraalilaskelmien avulla. Ensimmäistä kertaa tällaisen ongelman muotoiluun törmäämme lukiossa, kun tiettyjen integraalien opiskelu on juuri saatu päätökseen ja on aika aloittaa käytännössä saadun tiedon geometrinen tulkinta.
Joten, mitä tarvitaan, jotta voidaan ratkaista onnistuneesti kuvion alueen löytäminen integraaleja käyttämällä:
- Kyky piirtää piirustuksia oikein;
- Kyky ratkaista määrätty integraali käyttämällä hyvin tunnettua Newton-Leibnizin kaavaa;
- Kyky "nähdä" kannattavampi ratkaisu - ts. ymmärtääksesi, kuinka tässä tai tuossa tapauksessa integrointi on helpompaa suorittaa? x-akselia (OX) vai y-akselia (OY) pitkin?
- No, missä ilman oikeita laskelmia?) Tämä sisältää ymmärryksen siitä, kuinka toisentyyppiset integraalit ratkaistaan ja oikeat numeeriset laskelmat.
Algoritmi viivojen rajoittaman kuvion alueen laskenta-ongelman ratkaisemiseksi:
1. Rakennamme piirustuksen. On suositeltavaa tehdä tämä paperille häkissä suuressa mittakaavassa. Allekirjoitamme kynällä kunkin kaavion yläpuolelle tämän funktion nimen. Kaavioiden allekirjoitus tehdään yksinomaan lisälaskelmien helpottamiseksi. Saatuaan halutun kuvan kaavion useimmissa tapauksissa on heti selvää, mitä integrointirajoja käytetään. Siten ratkaisemme ongelman graafisesti. Kuitenkin tapahtuu, että rajojen arvot ovat murto-osia tai irrationaalisia. Siksi voit tehdä lisälaskelmia, siirry vaiheeseen kaksi.
2. Jos integrointirajoja ei ole nimenomaisesti asetettu, etsitään graafien leikkauspisteet toistensa kanssa ja katsotaan, osuuko graafinen ratkaisumme analyyttiseen ratkaisuun.
3. Seuraavaksi sinun on analysoitava piirustus. Riippuen siitä, kuinka funktioiden kaaviot sijaitsevat, on olemassa erilaisia lähestymistapoja kuvion alueen löytämiseen. Harkitse erilaisia esimerkkejä kuvion alueen löytämisestä integraaleja käyttämällä.
3.1. Klassisin ja yksinkertaisin versio ongelmasta on, kun sinun on löydettävä kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Mikä on kaareva trapetsi? Tämä on litteä kuva, jota rajoittaa x-akseli (y=0), suoraan x = a, x = b ja mikä tahansa käyrä, joka on jatkuva välissä alkaen a ennen b. Samanaikaisesti tämä luku ei ole negatiivinen ja ei sijaitse x-akselin alapuolella. Tässä tapauksessa kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin Newton-Leibnizin kaavalla laskettu kiinteä integraali:
Esimerkki 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Mitkä viivat määrittelevät hahmon? Meillä on paraabeli y = x2 - 3x + 3, joka sijaitsee akselin yläpuolella VAI NIIN, se ei ole negatiivinen, koska kaikki tämän paraabelin pisteet ovat positiivisia. Seuraavaksi annettu suorat viivat x = 1 ja x = 3 jotka kulkevat yhdensuuntaisesti akselin kanssa OU, ovat kuvion rajaviivat vasemmalla ja oikealla. Hyvin y = 0, hän on x-akseli, joka rajoittaa kuvaa alhaalta. Tuloksena oleva kuva on varjostettu, kuten näkyy vasemmalla olevassa kuvassa. Tässä tapauksessa voit aloittaa ongelman ratkaisemisen välittömästi. Edessämme on yksinkertainen esimerkki kaarevasta puolisuunnikasta, jonka sitten ratkaisemme Newton-Leibnizin kaavalla.
3.2. Edellisessä kappaleessa 3.1 analysoitiin tapaus, jossa kaareva puolisuunnikkaan sijoittuu x-akselin yläpuolelle. Tarkastellaan nyt tilannetta, jossa tehtävän ehdot ovat samat, paitsi että funktio on x-akselin alla. Newton-Leibnizin standardikaavaan lisätään miinus. Kuinka ratkaista tällainen ongelma, harkitsemme edelleen.
Esimerkki 2 . Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
Tässä esimerkissä meillä on paraabeli y=x2+6x+2, joka on peräisin akselin alta VAI NIIN, suoraan x = -4, x = -1, y = 0. Tässä y = 0 rajoittaa haluttua lukua ylhäältä. Suoraan x = -4 ja x = -1 nämä ovat rajat, joiden sisällä määrällinen integraali lasketaan. Kuvion alueen löytämisongelman ratkaisuperiaate on lähes täysin sama kuin esimerkin numero 1. Ainoa ero on, että annettu funktio ei ole positiivinen, ja kaikki on myös jatkuvaa välissä [-4; -1] . Mitä positiivinen ei tarkoita? Kuten kuvasta voidaan nähdä, annetussa x:ssä olevalla kuviolla on yksinomaan "negatiiviset" koordinaatit, mikä meidän on nähtävä ja muistettava ongelmaa ratkaistaessa. Etsimme kuvion aluetta Newton-Leibnizin kaavalla, vain miinusmerkillä alussa.
Artikkeli ei ole valmis.
Tehtävä numero 3. Piirrä piirustus ja laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala
Integraalin soveltaminen sovellettavien ongelmien ratkaisemiseen
Pinta-alan laskenta
Jatkuvan ei-negatiivisen funktion f(x) määrällinen integraali on numeerisesti yhtä suuri kuin käyrän y \u003d f (x), O x -akselin ja suorien x \u003d a ja x \u003d b rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Vastaavasti pinta-alakaava kirjoitetaan seuraavasti:
Harkitse joitain esimerkkejä tasokuvioiden pinta-alojen laskemisesta.
Tehtävä numero 1. Laske linjojen y \u003d x 2 +1, y \u003d 0, x \u003d 0, x \u003d 2 rajoittama alue.
Päätös. Rakennetaan kuvio, jonka pinta-ala meidän on laskettava.
y \u003d x 2 + 1 on paraabeli, jonka haarat on suunnattu ylöspäin ja paraabelia on siirretty ylöspäin yhden yksikön verran suhteessa O y -akseliin (kuva 1).
Kuva 1. Kuvaaja funktiosta y = x 2 + 1
Tehtävä numero 2. Laske viivojen y \u003d x 2 - 1, y \u003d 0 rajoittama alue välillä 0 - 1.
 |
Päätös. Tämän funktion kuvaaja on haaran paraabeli, joka on suunnattu ylöspäin ja paraabelia on siirretty yksikön verran alaspäin suhteessa O y-akseliin (kuva 2).
Kuva 2. Kuvaaja funktiosta y \u003d x 2 - 1
Tehtävä numero 3. Piirrä piirustus ja laske viivojen rajoittaman kuvan pinta-ala
y = 8 + 2x - x 2 ja y = 2x - 4.
Päätös. Ensimmäinen näistä kahdesta suorasta on paraabeli, jonka haarat osoittavat alaspäin, koska kerroin kohdassa x 2 on negatiivinen, ja toinen suora on molempien koordinaattiakselien ylittävä suora.
Paraabelin muodostamiseksi etsitään sen kärjen koordinaatit: y'=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – vertex abskissa; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 on sen ordinaatti, N(1;9) on sen kärki.
Nyt löydämme paraabelin ja suoran leikkauspisteet ratkaisemalla yhtälöjärjestelmän:
Yhtälön oikeat puolet, joiden vasemmat sivut ovat yhtä suuret.
Saamme 8 + 2x - x 2 \u003d 2x - 4 tai x 2 - 12 \u003d 0, mistä 
.
Pisteet ovat siis paraabelin ja suoran leikkauspisteitä (kuva 1).
Kuva 3 Kuvaajat funktioista y = 8 + 2x – x 2 ja y = 2x – 4
Muodostetaan suora y = 2x - 4. Se kulkee koordinaattiakseleiden pisteiden (0;-4), (2; 0) kautta.
Paraabelin rakentamiseksi voit saada myös sen leikkauspisteet 0x-akselin kanssa, eli yhtälön 8 + 2x - x 2 = 0 tai x 2 - 2x - 8 = 0 juuret. Vieta-lauseen mukaan se on sen juuret on helppo löytää: x 1 = 2, x 2 = 4.
Kuva 3 esittää kuvion (parabolinen segmentti M 1 N M 2), jota rajoittavat nämä viivat.
Toinen osa ongelmasta on löytää tämän kuvan alue. Sen pinta-ala voidaan löytää käyttämällä määrättyä integraalia kaavan avulla 
.
Tämän ehdon osalta saamme integraalin: 
2 Kierroskappaleen tilavuuden laskeminen
Käyrän y \u003d f (x) kiertämisestä O x -akselin ympäri saatu kappaleen tilavuus lasketaan kaavalla:
Kierrettäessä O y -akselin ympäri kaava näyttää tältä:
Tehtävä numero 4. Määritä kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörimällä kaarevaa puolisuunnikasta, jota rajoittavat suorat viivat x \u003d 0 x \u003d 3 ja käyrä y \u003d O x -akselin ympäri.
Päätös. Rakennetaan piirustus (kuva 4).
Kuva 4. Kuvaaja funktiosta y =
Haluttu tilavuus on yhtä suuri kuin 
Tehtävä numero 5. Laske kappaleen tilavuus, joka saadaan pyörimällä kaarevaa puolisuunnikasta, jota rajoittavat käyrä y = x 2 ja suorat y = 0 ja y = 4 akselin O y ympäri.
Päätös. Meillä on:
Tarkasta kysymykset
a)
Päätös.
Päätöksen ensimmäinen ja tärkein hetki on piirustuksen rakentaminen.
Tehdään piirustus:
Yhtälö y = 0 asettaa x-akselin;
- x=-2 ja x=1 - suora, yhdensuuntainen akselin kanssa OU;
- y \u003d x 2 +2 - paraabeli, jonka haarat ovat ylöspäin ja jonka kärki on pisteessä (0;2).
Kommentti. Paraabelin rakentamiseksi riittää, kun etsitään sen koordinaattiakselien ja sen leikkauspisteiden pisteet, ts. laittaa x=0 etsi leikkauspiste akselin kanssa OU ja ratkaisemalla vastaavan toisen asteen yhtälön, etsi leikkauspiste akselin kanssa vai niin .
Paraabelin kärkipiste löytyy kaavojen avulla: 
Voit piirtää viivoja ja piste pisteeltä.
Välillä [-2;1] funktion kuvaaja y = x 2 +2 sijaitsee akselin yli Härkä , Siksi:
Vastaus: S \u003d 9 neliöyksikköä
Kun tehtävä on suoritettu, on aina hyödyllistä katsoa piirustusta ja selvittää, onko vastaus todellinen. Tässä tapauksessa "silmällä" laskemme solujen lukumäärän piirustuksessa - no, noin 9 kirjoitetaan, se näyttää olevan totta. On aivan selvää, että jos meillä olisi vaikka vastaus: 20 neliöyksikköä, niin ilmeisesti jossain on tehty virhe - 20 solua ei selvästikään mahdu kyseiseen kuvaan, korkeintaan tusina. Jos vastaus osoittautui kielteiseksi, myös tehtävä ratkaistiin väärin.
Mitä tehdä, jos kaareva puolisuunnikas sijaitsee akselin alla Vai niin?
b) Laske viivojen rajoittaman kuvion pinta-ala y=-e x , x=1 ja koordinaattiakselit.
Päätös.
Tehdään piirustus.
Jos kaareva puolisuunnikas kokonaan akselin alle vai niin , niin sen pinta-ala voidaan löytää kaavalla:
Vastaus: S=(e-1) neliöyksikkö" 1,72 neliöyksikköä
Huomio! Älä sekoita kahta tehtävätyyppiä:
1) Jos sinua pyydetään ratkaisemaan vain tietty integraali ilman geometristä merkitystä, se voi olla negatiivinen.
2) Jos sinua pyydetään löytämään hahmon pinta-ala määrätyn integraalin avulla, pinta-ala on aina positiivinen! Siksi miinus näkyy juuri tarkasteltavassa kaavassa.
Käytännössä hahmo sijaitsee useimmiten sekä ylä- että alapuoliskolla.
kanssa) Etsi viivojen rajaama tasokuvan pinta-ala y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
Päätös.
Ensin sinun on tehtävä piirustus. Yleisesti ottaen piirustusta rakennettaessa aluetehtävässä meitä kiinnostavat eniten viivojen leikkauspisteet. Etsi paraabelin leikkauspisteet 
ja suora 
Tämä voidaan tehdä kahdella tavalla. Ensimmäinen tapa on analyyttinen.
Ratkaisemme yhtälön:
Integraation alaraja siis a = 0 , integroinnin yläraja b = 3 .
|
Rakennamme annetut suorat: 1. Paraabeli - kärki pisteessä (1;1); akselin leikkauspiste Vai niin - pisteet (0;0) ja (0;2). 2. Suora - 2. ja 4. koordinaattikulman puolittaja. Ja nyt Huomio! Jos segmentillä [ a;b] jokin jatkuva toiminto f(x) suurempi tai yhtä suuri kuin jokin jatkuva funktio g(x), niin vastaavan kuvan pinta-ala löytyy kaavasta: Ja sillä ei ole väliä, missä kuva sijaitsee - akselin yläpuolella vai akselin alapuolella, vaan on tärkeää, kumpi kaavio on KORKEAMALLA (suhteessa toiseen kaavioon) ja kumpi on ALALLA. Tarkasteltavassa esimerkissä on ilmeistä, että janalla paraabeli sijaitsee suoran yläpuolella, ja siksi siitä on vähennettävä |
.On mahdollista rakentaa viivoja piste pisteeltä, kun taas integroinnin rajat selvitetään ikään kuin "itse". Silti analyyttistä menetelmää rajojen löytämiseksi on joskus vielä käytettävä, jos esimerkiksi graafi on riittävän suuri tai kierteitetty rakenne ei paljastanut integroinnin rajoja (ne voivat olla murto-osia tai irrationaalisia).
Haluttua hahmoa rajoittaa ylhäältä paraabeli ja alhaalta suora viiva.
Segmentillä 
, vastaavan kaavan mukaan:
Vastaus: S \u003d 4,5 neliöyksikköä
Tehtävä 1(käyräviivaisen puolisuunnikkaan alueen laskemisesta).
Karteesisessa suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä xOy on annettu kuva (katso kuva), jota rajoittavat x-akseli, suorat viivat x \u003d a, x \u003d b (kaareva puolisuunnikas. On laskettava pinta-ala u200b\u200bkäyräsuunnikas.
Päätös. Geometria antaa meille reseptejä monikulmioiden ja joidenkin ympyrän osien (sektorin, janan) pinta-alojen laskemiseen. Geometristen näkökohtien avulla voimme löytää vain likimääräisen arvon vaaditusta alueesta seuraavalla tavalla.
Jaetaan segmentti [a; b] (kaareva puolisuunnikkaan kanta) n yhtä suureen osaan; tämä osio on toteutettavissa pisteiden x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 avulla . Piirretään näiden pisteiden läpi y-akselin suuntaiset viivat. Sitten annettu kaareva puolisuunnikas jaetaan n osaan, n kapeaan sarakkeeseen. Koko puolisuunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin sarakkeiden pinta-alojen summa.
Tarkastellaan erikseen k:nnettä saraketta, ts. kaareva puolisuunnikas, jonka kanta on segmentti. Korvataan se suorakulmiolla, jolla on sama kanta ja korkeus f(x k) (katso kuva). Suorakulmion pinta-ala on \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), missä \(\Delta x_k \) on janan pituus; on luonnollista pitää koottu tuotetta k:nnen sarakkeen pinta-alan likimääräisenä arvona. 
Jos nyt tehdään sama kaikille muille sarakkeille, niin saadaan seuraava tulos: tietyn kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala S on suunnilleen yhtä suuri kuin n suorakulmiosta koostuvan porrastetun kuvion pinta-ala S n (katso kuva):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \pisteet + f(x_k)\Delta x_k + \pisteet + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Tässä merkinnän yhtenäisyyden vuoksi katsomme, että a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - segmentin pituus, \(\Delta x_1 \) - segmentin pituus jne; kun taas, kuten yllä sovimme, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)
Joten \(S \noin S_n \), ja tämä likimääräinen yhtälö on sitä tarkempi, mitä suurempi n.
Määritelmän mukaan oletetaan, että kaarevan puolisuunnikkaan haluttu alue on yhtä suuri kuin sekvenssin raja (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Tehtävä 2(pisteen siirtämisestä)
Materiaalipiste liikkuu suorassa linjassa. Nopeuden riippuvuus ajasta ilmaistaan kaavalla v = v(t). Etsi pisteen siirtymä aikavälillä [a; b].
Päätös. Jos liike olisi tasaista, niin ongelma ratkeaisi hyvin yksinkertaisesti: s = vt, ts. s = v(b-a). Epätasaista liikettä varten on käytettävä samoja ideoita, joihin edellisen tehtävän ratkaisu perustui.
1) Jaa aikaväli [a; b] n yhtä suureen osaan.
2) Tarkastellaan aikaväliä ja oletetaan, että tämän ajanjakson aikana nopeus oli vakio, kuten hetkellä t k . Joten oletetaan, että v = v(t k).
3) Etsi pisteen siirtymän likimääräinen arvo aikavälillä , tämä likimääräinen arvo merkitään s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Laske siirtymän s likimääräinen arvo:
\(s \noin S_n \) missä
\(S_n = s_0 + \pisteet + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \pisteet + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Vaadittu siirtymä on yhtä suuri kuin sekvenssin raja (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$
Tehdään yhteenveto. Erilaisten tehtävien ratkaisut pelkistettiin samaan matemaattiseen malliin. Monet ongelmat eri tieteen ja teknologian aloilta johtavat samaan malliin ratkaisuprosessissa. Joten tätä matemaattista mallia tulisi erityisesti tutkia.
Määrätyn integraalin käsite
Tehdään matemaattinen kuvaus mallista, joka rakennettiin kolmessa tarkastelussa tehtävässä funktiolle y = f(x), joka on jatkuva (mutta ei välttämättä ei-negatiivinen, kuten tarkasteluissa tehtävissä oletettiin) segmentillä [ a; b]:
1) jakaa segmentti [a; b] n yhtä suureen osaan;
2) summa $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) laske $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$
Matemaattisen analyysin aikana osoitettiin, että tämä raja on olemassa jatkuvan (tai paloittain jatkuvan) funktion tapauksessa. Häntä kutsutaan funktion y = f(x) määrätty integraali janan [a; b] ja ne merkitään näin:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Lukuja a ja b kutsutaan integroinnin rajoituksiksi (alempi ja ylempi).
Palataanpa yllä käsiteltyihin tehtäviin. Tehtävässä 1 annettu alueen määritelmä voidaan nyt kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
tässä S on yllä olevassa kuvassa näkyvän kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala. Tämä on mitä kiinteän integraalin geometrinen merkitys.
Tehtävässä 2 annettu pisteen siirtymän s määritelmä, joka liikkuu suorassa linjassa nopeudella v = v(t) aikavälillä t = a - t = b, joka on annettu tehtävässä 2, voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavasti:
Newton - Leibnizin kaava
Aluksi vastataan kysymykseen: mikä on määrätyn integraalin ja antiderivaalin välinen suhde?
Vastaus löytyy tehtävästä 2. Toisaalta nopeudella v = v(t) suoraa viivaa pitkin liikkuvan pisteen siirtymä s aikavälillä t = a - t = b ja se lasketaan kaava
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)
Toisaalta liikkuvan pisteen koordinaatti on nopeuden antiderivaata - merkitään se s(t); näin ollen siirtymä s ilmaistaan kaavalla s = s(b) - s(a). Tuloksena saamme:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
missä s(t) on v(t):n antijohdannainen.
Seuraava lause todistettiin matemaattisen analyysin aikana.
Lause. Jos funktio y = f(x) on jatkuva janalla [a; b], sitten kaava
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
jossa F(x) on f(x:n) antiderivaata.
Tätä kaavaa kutsutaan yleensä Newton-Leibnizin kaava englantilaisen fyysikon Isaac Newtonin (1643-1727) ja saksalaisen filosofin Gottfried Leibnizin (1646-1716) kunniaksi, jotka saivat sen toisistaan riippumatta ja lähes samanaikaisesti.
Käytännössä F(b) - F(a) kirjoittamisen sijaan he käyttävät merkintää \(\left. F(x)\right|_a^b \) (se on joskus ns. kaksoiskorvaus) ja kirjoita vastaavasti Newton-Leibnizin kaava uudelleen tähän muotoon:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)
Kun lasketaan määrätty integraali, etsi ensin antiderivaata ja suorita sitten kaksoissubstituutio.
Newton-Leibnizin kaavan perusteella voidaan saada kaksi kiinteän integraalin ominaisuutta.
Kiinteistö 1. Toimintojen summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien summa:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)
Kiinteistö 2. Vakiotekijä voidaan ottaa pois integraalimerkistä:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)
Tasokuvioiden pinta-alojen laskeminen kiinteällä integraalilla
Integraalin avulla voit laskea kaarevien puolisuunnikkaan pinta-alan lisäksi myös monimutkaisempia tasokuvioita, kuten kuvassa näkyvä. Kuvaa P rajoittavat suorat x = a, x = b ja jatkuvien funktioiden y = f(x), y = g(x) kuvaajat ja janalla [a; b] epäyhtälö \(g(x) \leq f(x) \) pätee. Laskeaksemme tällaisen kuvion alueen S, toimimme seuraavasti:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
Joten kuvion alue S, jota rajoittavat suorat x = a, x = b ja funktioiden y = f(x), y = g(x) kuvaajat, jatkuva janalla ja sellainen, että millä tahansa x:llä segmentti [a; b] epäyhtälö \(g(x) \leq f(x) \) täyttyy, lasketaan kaavalla
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)
