Kuinka lisätä matemaattisia kaavoja sivustolle?

Jos sinun on joskus lisättävä yksi tai kaksi matemaattista kaavaa verkkosivulle, helpoin tapa tehdä tämä on artikkelissa kuvattu: matemaattiset kaavat voidaan helposti lisätä sivustoon kuvien muodossa, jotka Wolfram Alpha luo automaattisesti. Yksinkertaisuuden lisäksi tämä universaali menetelmä auttaa parantamaan sivuston näkyvyyttä hakukoneissa. Se on toiminut pitkään (ja uskon, että se toimii ikuisesti), mutta se on moraalisesti vanhentunut.

Jos käytät jatkuvasti matemaattisia kaavoja sivustollasi, suosittelen käyttämään MathJaxia, erityistä JavaScript-kirjastoa, joka näyttää matemaattiset merkinnät verkkoselaimissa käyttämällä MathML-, LaTeX- tai ASCIIMathML-merkintöjä.

On kaksi tapaa aloittaa MathJaxin käyttö: (1) käyttämällä yksinkertaista koodia, voit nopeasti liittää sivustoosi MathJax-skriptin, joka ladataan automaattisesti etäpalvelimelta oikeaan aikaan (palvelinluettelo); (2) Lataa MathJax-skripti etäpalvelimelta palvelimellesi ja yhdistä se sivustosi kaikille sivuille. Toinen menetelmä on monimutkaisempi ja aikaa vievämpi ja sen avulla voit nopeuttaa sivustosi sivujen lataamista, ja jos MathJax-ylemmän palvelimen palvelin ei jostain syystä ole tilapäisesti käytettävissä, tämä ei vaikuta omaan sivustoosi millään tavalla. Näistä eduista huolimatta valitsin ensimmäisen menetelmän, koska se on yksinkertaisempi, nopeampi eikä vaadi teknisiä taitoja. Seuraa esimerkkiäni, ja 5 minuutin sisällä voit käyttää kaikkia MathJaxin ominaisuuksia verkkosivustollasi.

Voit yhdistää MathJax-kirjaston komentosarjan etäpalvelimelta käyttämällä kahta koodivaihtoehtoa, jotka on otettu MathJaxin pääsivustolta tai dokumentaatiosivulta:

Yksi näistä koodivaihtoehdoista on kopioitava ja liitettävä verkkosivusi koodiin, mieluiten tunnisteiden väliin ja tai heti tagin jälkeen . Ensimmäisen vaihtoehdon mukaan MathJax latautuu nopeammin ja hidastaa sivua vähemmän. Mutta toinen vaihtoehto seuraa ja lataa automaattisesti MathJaxin uusimmat versiot. Jos lisäät ensimmäisen koodin, se on päivitettävä säännöllisesti. Jos liität toisen koodin, sivut latautuvat hitaammin, mutta sinun ei tarvitse jatkuvasti seurata MathJax-päivityksiä.

Helpoin tapa yhdistää MathJax on Bloggerissa tai WordPressissä: lisää sivuston ohjauspaneeliin widget, joka on suunniteltu lisäämään kolmannen osapuolen JavaScript-koodia, kopioi siihen ensimmäinen tai toinen versio yllä esitetystä latauskoodista ja aseta widget lähemmäs. mallin alkuun (muuten, tämä ei ole ollenkaan välttämätöntä, koska MathJax-skripti ladataan asynkronisesti). Siinä kaikki. Opi nyt MathML-, LaTeX- ja ASCIIMathML-merkintäsyntaksi ja olet valmis upottamaan matemaattisia kaavoja verkkosivuillesi.

Mikä tahansa fraktaali rakennetaan tietyn säännön mukaan, jota sovelletaan johdonmukaisesti rajoittamattoman määrän kertoja. Jokaista tällaista aikaa kutsutaan iteraatioksi.

Iteratiivinen algoritmi Menger-sienen rakentamiseksi on melko yksinkertainen: alkuperäinen kuutio, jonka sivu on 1, jaetaan sen pintojen suuntaisilla tasoilla 27 yhtä suureen kuutioon. Siitä poistetaan yksi keskuskuutio ja 6 sen vieressä olevaa kuutiota. Siitä tulee sarja, joka koostuu 20 jäljellä olevasta pienemmästä kuutiosta. Toimimalla samalla tavalla jokaisella näistä kuutioista saadaan sarja, joka koostuu 400 pienemmästä kuutiosta. Jatkamalla tätä prosessia loputtomiin, saamme Menger-sienen.

Funktionaalisten sarjojen teoriassa funktion laajentamiselle sarjaksi omistettu jakso on keskeisellä paikalla.

Siten ongelma esitetään: tietylle funktiolle sellainen tehosarja on löydettävä

joka konvergoi jollain aikavälillä ja sen summa oli yhtä suuri
, nuo.

= ..

Tämä tehtävä on ns ongelma funktion laajentamisesta potenssisarjaksi.

Välttämätön ehto funktion laajentamiselle potenssisarjaksi onko sen differentioituvuus äärettömän monta kertaa - tämä seuraa konvergenttien potenssisarjojen ominaisuuksista. Tämä ehto täyttyy pääsääntöisesti niiden määritelmäalueen perusfunktioille.

Oletetaan siis, että funktio
on minkä tahansa luokan johdannaisia. Voidaanko sitä laajentaa tehosarjaksi, jos voi, miten tämä sarja löytyy? Ongelman toinen osa on helpompi ratkaista, joten aloitetaan siitä.

Oletetaan, että funktio
voidaan esittää pisteen sisältävässä välissä konvergoivien potenssisarjojen summana X 0 :

= .. (*)

missä a 0 ,a 1 ,a 2 ,...,a P ,... – epävarmat (vielä) kertoimet.

Laitetaan tasa-arvoon (*) arvo x = x 0 , sitten saamme

.

Erottelemme potenssisarjan (*) termillä

= ..

ja laittaa tänne x = x 0 , saamme

.

Seuraavalla erottelulla saamme sarjan

= ..

olettaen x = x 0 , saamme
, missä
.

Jälkeen P-saamme kertaiseksi erottelun

Olettaen viimeisessä tasa-arvossa x = x 0 , saamme
, missä

Joten kertoimet löytyvät

,
,
, …,
,….,

korvaamalla mikä riviksi (*), saamme

Tuloksena oleva sarja on ns lähellä tayloria toimintoa varten
.

Näin olemme todenneet sen jos funktio voidaan laajentaa potenssisarjaksi potenssien (x - x 0 ), tämä laajennus on ainutlaatuinen ja tuloksena oleva sarja on välttämättä Taylor-sarja.

Huomaa, että Taylor-sarja voidaan saada mille tahansa funktiolle, jolla on missä tahansa järjestyksessä derivaatat pisteessä x = x 0 . Mutta tämä ei vielä tarkoita, että funktion ja tuloksena olevan sarjan väliin voidaan laittaa yhtäläisyysmerkki, ts. että sarjan summa on yhtä suuri kuin alkuperäinen funktio. Ensinnäkin tällaisella yhtälöllä voi olla järkeä vain konvergenssin alueella ja funktiolle saatu Taylor-sarja voi poiketa, ja toiseksi, jos Taylor-sarja konvergoi, niin sen summa ei välttämättä ole sama kuin alkuperäinen funktio.

3.2. Riittävät edellytykset funktion laajentamiselle Taylor-sarjaksi

Muotoilkaamme lausunto, jonka avulla esitetty ongelma ratkaistaan.

Jos toiminto
jossain pisteen x läheisyydessä 0 on johdannaisia ​​aina (n+ 1)-:nnen kertaluvun mukaan lukien, niin tässä naapurustossa meillä onkaava Taylor

missäR n (X)-Taylor-kaavan jäännöstermi - sillä on muoto (Lagrange-muoto)

missä pisteξ on x:n ja x:n välissä 0 .

Huomaa, että Taylor-sarjan ja Taylor-kaavan välillä on ero: Taylor-kaava on äärellinen summa, ts. P - kiinteä numero.

Muista, että sarjan summa S(x) voidaan määritellä osasummien funktionaalisen sarjan rajaksi S P (x) jossain välissä X:

.

Tämän mukaan funktion laajentaminen Taylor-sarjaksi tarkoittaa sellaisen sarjan löytämistä, joka sopii mille tahansa XX

Kirjoitamme Taylorin kaavan muodossa missä

huomaa, että
määrittelee saamamme virheen, korvaa funktio f(x) polynomi S n (x).

Jos
, sitten
,nuo. toiminto laajenee Taylor-sarjaksi. Päinvastoin, jos
, sitten
.

Olemme siis todistaneet kriteeri funktion laajentamiselle Taylor-sarjaksi.

Jotta jossain välissä funktiof(x) laajenee Taylor-sarjassa, on välttämätöntä ja riittävää, että tällä välillä
, missäR n (x) on Taylor-sarjan loppuosa.

Muotoillun kriteerin avulla voidaan saada riittäväehdot funktion laajentamiseksi Taylor-sarjaksi.

Jos sisäänjokin pisteen x lähialue 0 funktion kaikkien derivaattojen absoluuttisia arvoja rajoittaa sama luku M≥ 0 eli

, to tällä alueella toiminto laajenee Taylor-sarjaksi.

Yllä olevasta se seuraa algoritmitoiminnon laajennus f(x) Taylor-sarjassa pisteen läheisyydessä X 0 :

1. Johdannaisten funktioiden löytäminen f(x):

f(x), f'(x), f"(x), f'"(x), f (n) (x),…

2. Laskemme funktion arvon ja sen johdannaisten arvot pisteessä X 0

f(x 0 ), f'(x 0 ), f"(x 0 ), f’”(x 0 ), f (n) (x 0 ),…

3. Kirjoitamme muodollisesti Taylor-sarjan ja löydämme tuloksena olevan potenssisarjan konvergenssialueen.

4. Tarkistamme riittävien ehtojen täyttymisen, ts. perustaa mille X lähentymisalueelta, jäljellä oleva aika R n (x) yleensä nollaan
tai
.

Tämän algoritmin mukaista Taylor-sarjan funktioiden laajennusta kutsutaan funktion laajennus Taylor-sarjassa määritelmän mukaan tai suora hajoaminen.

Kuinka lisätä matemaattisia kaavoja sivustolle?

Jos sinun on joskus lisättävä yksi tai kaksi matemaattista kaavaa verkkosivulle, helpoin tapa tehdä tämä on artikkelissa kuvattu: matemaattiset kaavat voidaan helposti lisätä sivustoon kuvien muodossa, jotka Wolfram Alpha luo automaattisesti. Yksinkertaisuuden lisäksi tämä universaali menetelmä auttaa parantamaan sivuston näkyvyyttä hakukoneissa. Se on toiminut pitkään (ja uskon, että se toimii ikuisesti), mutta se on moraalisesti vanhentunut.

Jos käytät jatkuvasti matemaattisia kaavoja sivustollasi, suosittelen käyttämään MathJaxia, erityistä JavaScript-kirjastoa, joka näyttää matemaattiset merkinnät verkkoselaimissa käyttämällä MathML-, LaTeX- tai ASCIIMathML-merkintöjä.

On kaksi tapaa aloittaa MathJaxin käyttö: (1) käyttämällä yksinkertaista koodia, voit nopeasti liittää sivustoosi MathJax-skriptin, joka ladataan automaattisesti etäpalvelimelta oikeaan aikaan (palvelinluettelo); (2) Lataa MathJax-skripti etäpalvelimelta palvelimellesi ja yhdistä se sivustosi kaikille sivuille. Toinen menetelmä on monimutkaisempi ja aikaa vievämpi ja sen avulla voit nopeuttaa sivustosi sivujen lataamista, ja jos MathJax-ylemmän palvelimen palvelin ei jostain syystä ole tilapäisesti käytettävissä, tämä ei vaikuta omaan sivustoosi millään tavalla. Näistä eduista huolimatta valitsin ensimmäisen menetelmän, koska se on yksinkertaisempi, nopeampi eikä vaadi teknisiä taitoja. Seuraa esimerkkiäni, ja 5 minuutin sisällä voit käyttää kaikkia MathJaxin ominaisuuksia verkkosivustollasi.

Voit yhdistää MathJax-kirjaston komentosarjan etäpalvelimelta käyttämällä kahta koodivaihtoehtoa, jotka on otettu MathJaxin pääsivustolta tai dokumentaatiosivulta:

Yksi näistä koodivaihtoehdoista on kopioitava ja liitettävä verkkosivusi koodiin, mieluiten tunnisteiden väliin ja tai heti tagin jälkeen . Ensimmäisen vaihtoehdon mukaan MathJax latautuu nopeammin ja hidastaa sivua vähemmän. Mutta toinen vaihtoehto seuraa ja lataa automaattisesti MathJaxin uusimmat versiot. Jos lisäät ensimmäisen koodin, se on päivitettävä säännöllisesti. Jos liität toisen koodin, sivut latautuvat hitaammin, mutta sinun ei tarvitse jatkuvasti seurata MathJax-päivityksiä.

Helpoin tapa yhdistää MathJax on Bloggerissa tai WordPressissä: lisää sivuston ohjauspaneeliin widget, joka on suunniteltu lisäämään kolmannen osapuolen JavaScript-koodia, kopioi siihen ensimmäinen tai toinen versio yllä esitetystä latauskoodista ja aseta widget lähemmäs. mallin alkuun (muuten, tämä ei ole ollenkaan välttämätöntä, koska MathJax-skripti ladataan asynkronisesti). Siinä kaikki. Opi nyt MathML-, LaTeX- ja ASCIIMathML-merkintäsyntaksi ja olet valmis upottamaan matemaattisia kaavoja verkkosivuillesi.

Mikä tahansa fraktaali rakennetaan tietyn säännön mukaan, jota sovelletaan johdonmukaisesti rajoittamattoman määrän kertoja. Jokaista tällaista aikaa kutsutaan iteraatioksi.

Iteratiivinen algoritmi Menger-sienen rakentamiseksi on melko yksinkertainen: alkuperäinen kuutio, jonka sivu on 1, jaetaan sen pintojen suuntaisilla tasoilla 27 yhtä suureen kuutioon. Siitä poistetaan yksi keskuskuutio ja 6 sen vieressä olevaa kuutiota. Siitä tulee sarja, joka koostuu 20 jäljellä olevasta pienemmästä kuutiosta. Toimimalla samalla tavalla jokaisella näistä kuutioista saadaan sarja, joka koostuu 400 pienemmästä kuutiosta. Jatkamalla tätä prosessia loputtomiin, saamme Menger-sienen.

Jos toiminto f(x) on jollain välillä, joka sisältää pisteen a, kaikkien järjestysten johdannaisia, siihen voidaan soveltaa Taylor-kaavaa:

missä rn- ns. jäännöstermi tai sarjan loppuosa, se voidaan arvioida Lagrangen kaavalla:

, jossa numero x on välissä X ja a.

Jos jollain arvolla x r n®0 klo n®¥, niin rajassa tämän arvon Taylor-kaava muuttuu konvergenttikaavaksi Taylor-sarja:

Toiminto siis f(x) voidaan laajentaa Taylor-sarjaksi tarkasteltavassa kohdassa X, jos:

1) sillä on johdannaisia ​​kaikista tilauksista;

2) konstruoitu sarja konvergoi tässä vaiheessa.

klo a=0 saamme sarjan nimeltä lähellä Maclaurinia:

Esimerkki 1 f(x)= 2x.

Ratkaisu. Etsitään funktion ja sen johdannaisten arvot osoitteessa X=0

f(x) = 2x, f( 0) = 2 0 =1;

f¢(x) = 2x ln2, f¢( 0) = 2 0 ln2=ln2;

f¢¢(x) = 2x 22, f¢¢( 0) = 2 0 log 2 2 = log 2 2;

f(n)(x) = 2x ln n 2, f(n)( 0) = 2 0 ln n 2=ln n 2.

Korvaamalla saadut johdannaisten arvot Taylor-sarjan kaavaan, saamme:

Tämän sarjan konvergenssisäde on yhtä suuri kuin ääretön, joten tämä laajennus on voimassa -¥<x<+¥.

Esimerkki 2 X+4) toiminnolle f(x)= e x.

Ratkaisu. Funktion e derivaattojen löytäminen x ja niiden arvot pisteessä X=-4.

f(x)= e x, f(-4) = e -4 ;

f¢(x)= e x, f¢(-4) = e -4 ;

f¢¢(x)= e x, f¢¢(-4) = e -4 ;

f(n)(x)= e x, f(n)( -4) = e -4 .

Siksi funktion halutulla Taylor-sarjalla on muoto:

Tämä jaottelu pätee myös -¥:lle<x<+¥.

Esimerkki 3 . Laajenna toimintoa f(x)=ln x sarjassa asteittain ( X- 1),

(eli Taylor-sarjassa pisteen läheisyydessä X=1).

Ratkaisu. Löydämme tämän funktion derivaatat.

Korvaamalla nämä arvot kaavaan, saamme halutun Taylor-sarjan:

D'Alembertin testin avulla voidaan varmistaa, että sarja konvergoi milloin

½ X- 1½<1. Действительно,

Sarja konvergoi, jos ½ X- 1½<1, т.е. при 0<x<2. При X=2 saadaan vuorotteleva sarja, joka täyttää Leibnizin testin ehdot. klo X=0-funktiota ei ole määritetty. Siten Taylor-sarjan konvergenssialue on puoliavoin väli (0;2]).

Esitetään tällä tavalla saadut laajennukset Maclaurin-sarjassa (eli pisteen läheisyydessä) X=0) joillekin perusfunktioille:

(2) ,

(3) ,

( viimeistä laajennusta kutsutaan binomisarja)

Esimerkki 4 . Laajenna funktio potenssisarjaksi

Ratkaisu. Hajotessa (1), korvaamme X- X 2, saamme:

Esimerkki 5 . Laajenna toimintoa Maclaurin-sarjassa

Ratkaisu. Meillä on

Kaavan (4) avulla voimme kirjoittaa:

korvaamalla sen sijaan X kaavaan -X, saamme:

Täältä löydämme:

Laajentamalla sulkuja, järjestämällä sarjan ehdot uudelleen ja tekemällä samankaltaisia ​​termejä pienennettynä saamme

Tämä sarja konvergoi välissä

(-1;1), koska se on johdettu kahdesta sarjasta, joista kukin konvergoi tällä välillä.

Kommentti .

Kaavoilla (1)-(5) voidaan myös laajentaa Taylor-sarjan vastaavia funktioita, ts. funktioiden laajentamiseen positiivisissa kokonaislukupotensseissa ( Ha). Tätä varten on tarpeen suorittaa tällaisia ​​identtisiä muunnoksia tietylle funktiolle, jotta saadaan yksi funktioista (1) - (5), jossa sen sijaan X maksaa k( Ha) m , missä k on vakioluku, m on positiivinen kokonaisluku. Usein on kätevää vaihtaa muuttuja t=Ha ja laajentaa tuloksena olevaa funktiota t:n suhteen Maclaurin-sarjassa.

Tämä menetelmä havainnollistaa lausetta funktion laajennuksen ainutlaatuisuudesta potenssisarjassa. Tämän lauseen ydin on, että saman pisteen läheisyydessä ei voida saada kahta erilaista potenssisarjaa, jotka konvergoisivat samaan funktioon, riippumatta siitä, miten sen laajennus suoritetaan.

Esimerkki 6 . Laajenna funktiota Taylor-sarjassa pisteen läheisyydessä X=3.

Ratkaisu. Tämä ongelma voidaan ratkaista, kuten ennenkin, käyttämällä Taylor-sarjan määritelmää, jolle on tarpeen löytää funktioiden derivaatat ja niiden arvot X=3. On kuitenkin helpompi käyttää olemassa olevaa hajotusta (5):

Tuloksena oleva sarja konvergoi pisteessä tai -3<x- 3<3, 0<x< 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.

Esimerkki 7 . Kirjoita Taylor-sarja tehoissa ( X-1) ominaisuuksia .

Ratkaisu.

Sarja lähentyy klo , tai 2< x£5.

Fourier-sarja jaksollisia funktioita jaksolla 2π.

Fourier-sarjan avulla voit tutkia jaksollisia funktioita jakamalla ne komponenteiksi. Vaihtovirrat ja -jännitteet, siirtymät, kampimekanismien nopeus ja kiihtyvyys sekä akustiset aallot ovat tyypillisiä jaksollisten funktioiden käytännön sovelluksia teknisissä laskelmissa.

Fourier-sarjan laajennus perustuu oletukseen, että kaikki funktiot, joilla on käytännön merkitystä välillä -π ≤ x ≤ π, voidaan ilmaista suppenevina trigonometrisinä sarjoina (sarjaa pidetään konvergensina, jos sen termeistä muodostuva osasummien sarja konvergoi) :

Normaali (=tavallinen) merkintä sinx:n ja cosx:n summan kautta

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

missä a o , a 1 ,a 2 ,...,b 1 ,b 2 ,.. ovat todellisia vakioita, ts.

Jos alueella -π - π, Fourier-sarjan kertoimet lasketaan kaavoilla:

Kutsutaan kertoimia a o ,a n ja b n Fourier-kertoimet, ja jos ne löytyvät, kutsutaan sarjaa (1). lähellä Fourieria, joka vastaa funktiota f(x). Sarjassa (1) termiä (a 1 cosx+b 1 sinx) kutsutaan ensimmäiseksi tai pääharppu,

Toinen tapa kirjoittaa sarja on käyttää suhdetta acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

Kun a o on vakio, c 1 \u003d (a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n \u003d (a n 2 +b n 2) 1/2 ovat eri komponenttien amplitudit ja on yhtä suuri kuin a n \ u003d arctg a n /b n.

Sarjassa (1) termiä (a 1 cosx + b 1 sinx) tai c 1 sin (x + α 1) kutsutaan ensimmäiseksi tai pääharppu,(a 2 cos2x+b 2 sin2x) tai c 2 sin(2x+α 2) kutsutaan toinen harmoninen ja niin edelleen.

Monimutkaisen signaalin tarkka esittäminen edellyttää yleensä ääretöntä määrää termejä. Kuitenkin monissa käytännön ongelmissa riittää, että huomioidaan vain muutama ensimmäinen termi.

Fourier-sarja ei-jaksollisia funktioita jaksolla 2π.

Ei-jaksollisten funktioiden hajottaminen.

Jos funktio f(x) on ei-jaksollinen, sitä ei voi laajentaa Fourier-sarjassa kaikille x:n arvoille. On kuitenkin mahdollista määrittää Fourier-sarja, joka edustaa funktiota millä tahansa leveysalueella 2π.

Epäjaksollisen funktion perusteella voidaan muodostaa uusi funktio valitsemalla f(x)-arvot tietyltä alueelta ja toistamalla ne tämän alueen ulkopuolella 2π välein. Koska uusi funktio on jaksollinen jaksolla 2π, sitä voidaan laajentaa Fourier-sarjassa kaikille x:n arvoille. Esimerkiksi funktio f(x)=x ei ole jaksollinen. Jos se on kuitenkin tarpeen laajentaa Fourier-sarjaksi välillä 0 - 2π, jaksollinen funktio, jonka jakso on 2π, muodostetaan tämän intervallin ulkopuolelle (kuten alla olevasta kuvasta näkyy).

Ei-jaksollisille funktioille, kuten f(x)=x, Fourier-sarjan summa on sama kuin f(x):n arvo kaikissa tietyn alueen pisteissä, mutta se ei ole yhtä suuri kuin f(x) pisteille alueen ulkopuolella. Ei-jaksollisen funktion Fourier-sarjan löytämiseksi alueella 2π käytetään samaa Fourier-kertoimien kaavaa.

Parilliset ja parittomat funktiot.

He sanovat funktion y=f(x) jopa jos f(-x)=f(x) kaikille x:n arvoille. Parillisten funktioiden kuvaajat ovat aina symmetrisiä y-akselin suhteen (eli ne ovat peilattuja). Kaksi esimerkkiä parillisista funktioista: y=x 2 ja y=cosx.

He sanovat, että funktio y=f(x) outo, jos f(-x)=-f(x) kaikille x:n arvoille. Parittomien funktioiden kuvaajat ovat aina symmetrisiä origon suhteen.

Monet funktiot eivät ole parillisia eivätkä parittomia.

Fourier-sarjan laajennus kosineissa.

Parillisen jaksollisen funktion f(x), jonka jakso on 2π, Fourier-sarja sisältää vain kosinitermejä (eli ei sisällä sinitermejä) ja voi sisältää vakiotermin. Näin ollen

missä ovat Fourier-sarjan kertoimet,

Parittoman jaksollisen funktion f(x), jonka jakso on 2π, Fourier-sarja sisältää vain sinisiä termejä (eli ei sisällä kosinisia termejä).

Näin ollen

missä ovat Fourier-sarjan kertoimet,

Fourier-sarja puolijaksolla.

Jos funktio on määritelty alueelle, esimerkiksi 0 - π, eikä vain 0 - 2π, se voidaan laajentaa sarjaksi vain sinien tai vain kosinien suhteen. Tuloksena oleva Fourier-sarja on ns lähellä Fourieria puolisyklissä.

Jos haluat saada hajoamisen Fourier puolisyklissä kosineissa funktiot f(x) välillä 0 - π, silloin on tarpeen muodostaa parillinen jaksollinen funktio. Kuvassa alla on funktio f(x)=x, joka on rakennettu välille x=0 - x=π. Koska parillinen funktio on symmetrinen f(x)-akselin suhteen, piirretään viiva AB kuvan 1 mukaisesti. alla. Jos oletetaan, että tarkastelun välin ulkopuolella tuloksena oleva kolmion muoto on jaksollinen jaksolla 2π, niin lopullisella kaaviolla on muoto, näyttö. kuvassa alla. Koska Fourier-laajennus vaaditaan kosineissa, kuten edellä, laskemme Fourier-kertoimet a o ja a n

Jos on pakko saada sinin puolijakson Fourier-laajennus funktio f(x) alueella 0 - π, silloin on tarpeen muodostaa pariton jaksollinen funktio. Kuvassa alla on funktio f(x)=x, joka on rakennettu välille x=0 - x=π. Koska pariton funktio on symmetrinen origon suhteen, rakennamme viiva CD:n kuvan 1 mukaisesti. Jos oletetaan, että tarkasteltavan aikavälin ulkopuolella vastaanotettu sahanhammassignaali on jaksollinen jaksolla 2π, niin lopullinen käyrä on kuvan 2 mukaisessa muodossa. Koska Fourier-laajennus vaaditaan puolijaksolla sinien muodossa, kuten aiemmin, laskemme Fourier-kertoimen. b

Fourier-sarja mielivaltaiselle välille.

Jaksottaisen funktion laajennus jaksolla L.

Jaksollinen funktio f(x) toistuu x:n kasvaessa L:llä, ts. f(x+L)=f(x). Siirtyminen aiemmin käsitellyistä funktioista jaksolla 2π funktioihin, joilla on jakso L, on melko yksinkertaista, koska se voidaan tehdä muuttujan muutoksella.

Löytääksemme funktion f(x) Fourier-sarjan alueelta -L/2≤x≤L/2, otamme käyttöön uuden muuttujan u siten, että funktion f(x) jakso on 2π suhteessa u:iin. Jos u=2πx/L, niin x=-L/2, kun u=-π ja x=L/2, kun u=π. Olkoon myös f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Fourier-sarjalla F(u) on muoto

(Integraatiorajat voidaan korvata millä tahansa pituisella L välillä, esimerkiksi 0 - L)

Fourier-sarja puolijaksolla välissä L≠2π annetuille funktioille.

Substituutiolle u=πx/L väli x=0 - x=L vastaa väliä u=0 - u=π. Siksi funktio voidaan laajentaa sarjaksi vain kosinien tai vain sinien suhteen, ts. sisään Fourier-sarja puolijaksolla.

Laajennuksella kosineissa välillä 0 - L on muoto