Hakasulkeiden päätehtävä on muuttaa toimintojen järjestystä arvoja laskettaessa. esimerkiksi, numeerisessa lausekkeessa \(5 3+7\) lasketaan ensin kertolasku ja sitten yhteenlasku: \(5 3+7 =15+7=22\). Mutta lausekkeessa \(5·(3+7)\) lasketaan ensin yhteenlasku suluissa ja vasta sitten kertolasku: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Esimerkki. Laajenna kiinnike: \(-(4m+3)\).
Päätös : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Esimerkki. Laajenna hakasulku ja anna vastaavat termit \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Päätös : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Esimerkki. Laajenna sulut \(5(3-x)\).
Päätös : Meillä on \(3\) ja \(-x\) suluissa ja viisi suluissa. Tämä tarkoittaa, että jokainen hakasulkeen jäsen kerrotaan luvulla \ (5 \) - Muistutan, että luvun ja hakasulkujen välistä kertomerkkiä matematiikassa ei kirjoiteta tietueiden koon pienentämiseksi.

Esimerkki. Laajenna sulut \(-2(-3x+5)\).
Päätös : Kuten edellisessä esimerkissä, hakasulkeet \(-3x\) ja \(5\) kerrotaan \(-2\).

Esimerkki. Yksinkertaista lauseke: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Päätös : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Jäljelle jää viimeinen tilanne.

Kun sulut kerrotaan suluilla, jokainen ensimmäisen sulkeen termi kerrotaan toisen jokaisen termillä:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Esimerkki. Laajenna sulut \((2-x)(3x-1)\).
Päätös : Meillä on sulujen tuote ja se voidaan avata välittömästi yllä olevan kaavan avulla. Mutta jotta se ei hämmentyisi, tehdään kaikki vaihe vaiheelta.
Vaihe 1. Poista ensimmäinen kiinnike - jokainen sen jäsen kerrotaan toisella kiinnikkeellä:

Vaihe 2. Laajenna hakasulkujen tuotteet edellä kuvatulla kertoimella:
- ensimmäinen ensin...

Sitten toinen.

Vaihe 3. Nyt kerromme ja tuomme samanlaiset termit:

Kaikkia muunnoksia ei tarvitse maalata yksityiskohtaisesti, voit kertoa heti. Mutta jos opettelet vain avaamaan hakasulkeet - kirjoita yksityiskohtaisesti, virheen tekemisen mahdollisuus on pienempi.

Huomautus koko jaksoon. Itse asiassa sinun ei tarvitse muistaa kaikkia neljää sääntöä, sinun täytyy muistaa vain yksi, tämä: \(c(a-b)=ca-cb\) . Miksi? Koska jos korvaamme yhden c:n sijaan, saamme säännön \((a-b)=a-b\) . Ja jos korvaamme miinus yksi, saamme säännön \(-(a-b)=-a+b\) . No, jos korvaat toisen hakasulkeen c:n sijaan, saat viimeisen säännön.

suluissa suluissa

Käytännössä toisinaan on ongelmia muiden sulujen sisäkkäisissä suluissa. Tässä on esimerkki tällaisesta tehtävästä: yksinkertaistaa lauseketta \(7x+2(5-(3x+y))\).

Menestyäksesi näissä tehtävissä sinun tulee:
- ymmärrä huolellisesti sulujen sisäkkäisyys - mikä niistä on missä;
- avaa kiinnikkeet peräkkäin aloittaen esimerkiksi sisimmästä.

Se on tärkeää avattaessa jokin kiinnikkeistä älä koske muuhun ilmaisuun, kirjoita se uudelleen sellaisenaan.
Otetaan esimerkkinä yllä oleva tehtävä.

Esimerkki. Avaa sulut ja anna vastaavat termit \(7x+2(5-(3x+y))\).
Päätös:

Esimerkki. Laajenna sulut ja anna vastaavat termit \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Päätös :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Tämä on kolminkertainen sulkeiden sisäkkäisyys. Aloitamme sisimmästä (korostettu vihreällä). Sulujen edessä on plus, joten se yksinkertaisesti poistetaan.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Nyt sinun on avattava toinen kiinnike, väli. Mutta ennen sitä yksinkertaistamme lauseketta lisäämällä samankaltaisia ​​termejä tähän toiseen hakasulkeeseen.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Nyt avaamme toisen hakasulkeen (korostettu sinisellä). Sulujen edessä on kerroin - joten jokainen suluissa oleva termi kerrotaan sillä.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Ja avaa viimeinen sulkumerkki. Ennen hakasulkua miinus - joten kaikki merkit ovat käänteisiä.

Hakasulkeiden avaaminen on matematiikan perustaito. Ilman tätä taitoa on mahdotonta saada yli kolmea arvosanaa 8 ja 9. Siksi suosittelen tämän aiheen hyvää ymmärtämistä.

Tässä videossa analysoimme koko sarjan lineaarisia yhtälöitä, jotka ratkaistaan ​​samalla algoritmilla - siksi niitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi.

Aluksi määritellään: mikä on lineaarinen yhtälö ja mitä niistä pitäisi kutsua yksinkertaisimmaksi?

Lineaarinen yhtälö on sellainen, jossa on vain yksi muuttuja ja vain ensimmäisessä asteessa.

Yksinkertaisin yhtälö tarkoittaa rakennetta:

Kaikki muut lineaariset yhtälöt pelkistetään yksinkertaisimpiin käyttämällä algoritmia:

1. Avoimet sulut, jos sellaisia ​​on;
2. Siirrä muuttujan sisältävät termit yhtäläisyysmerkin toiselle puolelle ja termit ilman muuttujaa toiselle puolelle;
3. Tuo samat termit yhtäläisyysmerkin vasemmalle ja oikealle puolelle;
4. Jaa saatu yhtälö muuttujan $x$ kertoimella.

Tämä algoritmi ei tietenkään aina auta. Tosiasia on, että joskus kaikkien näiden koneistusten jälkeen muuttujan $x$ kerroin osoittautuu nollaksi. Tässä tapauksessa kaksi vaihtoehtoa on mahdollista:

1. Yhtälöllä ei ole ratkaisuja ollenkaan. Esimerkiksi kun saat jotain $0\cdot x=8$, ts. vasemmalla on nolla ja oikealla on nollasta poikkeava luku. Alla olevassa videossa tarkastellaan useita syitä, miksi tämä tilanne on mahdollinen.
2. Ratkaisu on kaikki numerot. Ainoa tapaus, jolloin tämä on mahdollista, on, kun yhtälö on pelkistetty konstruktioon $0\cdot x=0$. On aivan loogista, että riippumatta siitä, mitä $x$ korvaamme, siitä huolimatta tulee esiin "nolla on yhtä suuri kuin nolla", ts. oikea numeerinen yhtäläisyys.

Ja nyt katsotaan kuinka se kaikki toimii todellisten ongelmien esimerkissä.

Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta

Nykyään käsittelemme lineaarisia yhtälöitä, ja vain yksinkertaisimpia. Yleensä lineaarinen yhtälö tarkoittaa mitä tahansa yhtälöä, joka sisältää täsmälleen yhden muuttujan, ja se menee vain ensimmäiseen asteeseen.

Tällaiset rakenteet ratkaistaan ​​suunnilleen samalla tavalla:

1. Ensinnäkin sinun on avattava mahdolliset sulut (kuten viimeisessä esimerkissämme);
2. Tuo sitten samanlainen
3. Lopuksi eristetään muuttuja, ts. kaikki muuttujaan liittyvä - sen sisältämät ehdot - siirretään toiselle puolelle ja kaikki, mikä jää ilman sitä, siirretään toiselle puolelle.

Sitten pääsääntöisesti sinun on tuotava samanlainen tuloksena olevan tasa-arvon kummallekin puolelle, ja sen jälkeen jää vain jakaa kertoimella kohdassa "x", ja saamme lopullisen vastauksen.

Teoriassa tämä näyttää mukavalta ja yksinkertaiselta, mutta käytännössä jopa kokeneet lukiolaiset voivat tehdä loukkaavia virheitä melko yksinkertaisissa lineaarisissa yhtälöissä. Yleensä virheitä tehdään joko sulkuja avattaessa tai "plussia" ja "miinuksia" laskettaessa.

Lisäksi käy niin, että lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja ollenkaan tai niin, että ratkaisu on koko lukuviiva, ts. mikä tahansa numero. Analysoimme näitä hienouksia tämän päivän oppitunnilla. Mutta aloitamme, kuten jo ymmärsit, yksinkertaisimmista tehtävistä.

Kaavio yksinkertaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Aluksi haluan kirjoittaa vielä kerran koko kaavion yksinkertaisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Laajenna mahdolliset sulkeet.
2. Eristä muuttujat, ts. kaikki, mikä sisältää "x":n, siirretään toiselle puolelle ja ilman x:tä - toiselle.
3. Esittelemme samanlaisia ​​termejä.
4. Jaamme kaiken kertoimella "x".

Tämä järjestelmä ei tietenkään aina toimi, sillä on tiettyjä hienouksia ja temppuja, ja nyt opimme tuntemaan ne.

Tosiesimerkkien ratkaiseminen yksinkertaisista lineaarisista yhtälöistä

Tehtävä 1

Ensimmäisessä vaiheessa meidän on avattava kiinnikkeet. Mutta ne eivät ole tässä esimerkissä, joten ohitamme tämän vaiheen. Toisessa vaiheessa meidän on eristettävä muuttujat. Huomaa: puhumme vain yksittäisistä ehdoista. Kirjoitetaan:

Annamme samanlaisia ​​termejä vasemmalla ja oikealla, mutta tämä on jo tehty täällä. Siksi siirrymme neljänteen vaiheeseen: jaa kertoimella:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Tässä saimme vastauksen.

Tehtävä #2

Tässä tehtävässä voimme tarkkailla sulkuja, joten laajennetaan niitä:

Sekä vasemmalla että oikealla näemme suunnilleen saman konstruktion, mutta toimitaan algoritmin mukaan, ts. Sequester muuttujat:

Tässä on joitain kuten:

Millä juurilla tämä toimii? Vastaus: mihin tahansa. Siksi voimme kirjoittaa, että $x$ on mikä tahansa luku.

Tehtävä nro 3

Kolmas lineaarinen yhtälö on jo mielenkiintoisempi:

\[\vasen(6-x \oikea)+\vasen(12+x \oikea)-\vasen(3-2x \oikea)=15\]

Tässä on useita suluita, mutta niitä ei kerrota millään, niiden edessä on vain erilaisia ​​merkkejä. Puretaan ne:

Suoritamme jo tuntemamme toisen vaiheen:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Lasketaan:

Suoritamme viimeisen vaiheen - jaamme kaiken kertoimella "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Muistettavaa, kun ratkaiset lineaarisia yhtälöitä

Jos jätämme huomiotta liian yksinkertaiset tehtävät, haluaisin sanoa seuraavaa:

• Kuten edellä sanoin, jokaisella lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua - joskus juuria ei yksinkertaisesti ole;
• Vaikka juuret olisivat, nolla voi päästä niiden joukkoon - siinä ei ole mitään vikaa.

Nolla on sama luku kuin muut, sinun ei pitäisi jotenkin syrjiä sitä tai olettaa, että jos saat nollan, olet tehnyt jotain väärin.

Toinen ominaisuus liittyy sulkeiden laajentamiseen. Huomaa: kun niiden edessä on "miinus", poistamme sen, mutta suluissa muutamme merkit vastapäätä. Ja sitten voimme avata sen standardialgoritmien mukaan: saamme sen, mitä näimme yllä olevissa laskelmissa.

Tämän yksinkertaisen tosiasian ymmärtäminen auttaa sinua välttämään typeriä ja loukkaavia virheitä lukiossa, kun tällaisia ​​toimia pidetään itsestäänselvyytenä.

Monimutkaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Siirrytään monimutkaisempiin yhtälöihin. Nyt rakenteet monimutkaistuvat ja erilaisia ​​muunnoksia suoritettaessa tulee näkyviin neliöfunktio. Sinun ei kuitenkaan pitäisi pelätä tätä, koska jos ratkaisemme kirjoittajan tarkoituksen mukaisesti lineaarisen yhtälön, niin muunnosprosessissa kaikki monomit, jotka sisältävät toisen asteen funktion, pelkistyvät välttämättä.

Esimerkki #1

On selvää, että ensimmäinen askel on avata sulut. Tehdään tämä erittäin huolellisesti:

Otetaan nyt yksityisyys:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tässä on joitain kuten:

Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, joten vastauksessa kirjoitamme seuraavasti:

\[\lajike \]

tai ei juuria.

Esimerkki #2

Suoritamme samat vaiheet. Ensimmäinen askel:

Siirretään kaikki muuttujan kanssa vasemmalle ja ilman sitä - oikealle:

Tässä on joitain kuten:

Ilmeisesti tällä lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten kirjoitamme sen näin:

\[\varnothing\],

tai ei juuria.

Ratkaisun vivahteet

Molemmat yhtälöt ovat täysin ratkaistu. Näiden kahden lausekkeen esimerkissä varmistimme jälleen kerran, että jopa yksinkertaisimmissa lineaarisissa yhtälöissä kaikki ei voi olla niin yksinkertaista: niitä voi olla joko yksi tai ei yhtään tai äärettömän monta. Meidän tapauksessamme tarkastelimme kahta yhtälöä, molemmissa ei yksinkertaisesti ole juuria.

Mutta haluaisin kiinnittää huomiosi toiseen tosiasiaan: kuinka työskennellä sulujen kanssa ja kuinka ne avataan, jos niiden edessä on miinusmerkki. Harkitse tätä ilmaisua:

Ennen avaamista sinun on kerrottava kaikki "x":llä. Huomaa: kerro jokainen yksittäinen termi. Sisällä on kaksi termiä - vastaavasti kaksi termiä ja kerrotaan.

Ja vasta kun nämä näennäisesti alkeelliset, mutta erittäin tärkeät ja vaaralliset muutokset on saatu päätökseen, voidaan sulku avata siltä kannalta, että sen jälkeen on miinusmerkki. Kyllä, kyllä: vasta nyt, kun muunnokset on tehty, muistamme, että suluissa on miinusmerkki, mikä tarkoittaa, että kaikki alaspäin vain vaihtaa merkkejä. Samaan aikaan itse kiinnikkeet katoavat ja mikä tärkeintä, myös etuosan "miinus" katoaa.

Teemme saman toisen yhtälön kanssa:

Ei ole sattumaa, että kiinnitän huomiota näihin pieniin, näennäisesti merkityksettömiin faktoihin. Koska yhtälöiden ratkaiseminen on aina alkeismuunnosten sarja, jossa kyvyttömyys tehdä selkeästi ja pätevästi yksinkertaisia ​​​​toimintoja johtaa siihen, että lukiolaiset tulevat luokseni ja oppivat ratkaisemaan niin yksinkertaisia ​​yhtälöitä uudelleen.

Tietysti tulee päivä, jolloin hioat nämä taidot automatismiin. Sinun ei enää tarvitse tehdä niin monia muunnoksia joka kerta, kirjoitat kaiken yhdelle riville. Mutta kun olet vain oppimassa, sinun on kirjoitettava jokainen toiminto erikseen.

Vielä monimutkaisempien lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Sitä, mitä aiomme ratkaista nyt, voidaan tuskin kutsua yksinkertaisimmaksi tehtäväksi, mutta merkitys pysyy samana.

Tehtävä 1

\[\vasen(7x+1 \oikea)\vasen(3x-1 \oikea)-21((x)^(2))=3\]

Kerrotaan kaikki ensimmäisen osan elementit:

Tehdään retriitti:

Tässä on joitain kuten:

Tehdään viimeinen vaihe:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tässä on lopullinen vastauksemme. Ja huolimatta siitä, että ratkaisuprosessissa meillä oli neliöfunktion kertoimia, ne kuitenkin tuhosivat toisensa, mikä tekee yhtälöstä täsmälleen lineaarisen, ei neliön.

Tehtävä #2

\[\vasen(1-4x \oikea)\vasen(1-3x \oikea)=6x\vasen(2x-1 \oikea)\]

Tehdään ensimmäinen vaihe huolellisesti: kerrotaan jokainen ensimmäisen sulussa oleva elementti jokaisella toisen elementillä. Yhteensä neljä uutta termiä tulisi saada muunnosten jälkeen:

Ja nyt suorita kertolasku huolellisesti jokaisessa termissä:

Siirretään termit "x":n kanssa vasemmalle ja ilman - oikealle:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tässä on samanlaisia ​​termejä:

Olemme saaneet lopullisen vastauksen.

Ratkaisun vivahteet

Tärkein huomautus näistä kahdesta yhtälöstä on tämä: heti kun alamme kertoa hakasulkeet, joissa on enemmän kuin termi, niin tämä tehdään seuraavan säännön mukaisesti: otetaan ensimmäinen termi ensimmäisestä ja kerrotaan jokaisella elementillä toisesta; sitten otetaan toinen elementti ensimmäisestä ja kerrotaan samalla tavalla jokaisella toisesta elementistä. Tuloksena saamme neljä termiä.

Algebrallisella summalla

Viimeisellä esimerkillä haluaisin muistuttaa oppilaita, mikä on algebrallinen summa. Klassisessa matematiikassa $1-7$ tarkoitamme yksinkertaista konstruktiota: vähennämme seitsemän yhdestä. Algebrassa tarkoitamme tällä seuraavaa: numeroon "yksi" lisäämme toisen luvun, nimittäin "miinus seitsemän". Tämä algebrallinen summa eroaa tavallisesta aritmeettisesta summasta.

Heti kun suoritat kaikkia muunnoksia, jokaista yhteenlaskua ja kertolaskua, alat nähdä edellä kuvattujen rakenteita, sinulla ei yksinkertaisesti ole ongelmia algebrassa työskennellessäsi polynomien ja yhtälöiden kanssa.

Lopuksi katsotaan vielä muutama esimerkki, jotka ovat vieläkin monimutkaisempia kuin juuri tarkastelimme, ja niiden ratkaisemiseksi meidän on laajennettava hieman standardialgoritmiamme.

Yhtälöiden ratkaiseminen murtoluvulla

Tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi algoritmiimme on lisättävä vielä yksi vaihe. Mutta ensin muistutan algoritmimme:

1. Avaa kiinnikkeet.
2. Erilliset muuttujat.
3. Tuo samanlainen.
4. Jaa kertoimella.

Valitettavasti tämä upea algoritmi kaikesta tehokkuudestaan ​​huolimatta ei ole täysin sopiva, kun meillä on edessämme murto-osia. Ja mitä näemme alla, molemmissa yhtälöissä on murto-osa vasemmalla ja oikealla.

Kuinka toimia tässä tapauksessa? Kyllä, se on hyvin yksinkertaista! Tätä varten sinun on lisättävä algoritmiin vielä yksi vaihe, joka voidaan suorittaa sekä ennen ensimmäistä toimintoa että sen jälkeen, nimittäin päästä eroon murtoluvuista. Algoritmi on siis seuraava:

1. Päästä eroon murtoluvuista.
2. Avaa kiinnikkeet.
3. Erilliset muuttujat.
4. Tuo samanlainen.
5. Jaa kertoimella.

Mitä tarkoittaa "päästä eroon murtoluvuista"? Ja miksi tämä on mahdollista tehdä sekä ensimmäisen vakiovaiheen jälkeen että ennen sitä? Itse asiassa meidän tapauksessamme kaikki murtoluvut ovat numeerisia nimittäjän suhteen, ts. kaikkialla nimittäjä on vain numero. Siksi, jos kerromme yhtälön molemmat osat tällä luvulla, pääsemme eroon murtoluvuista.

Esimerkki #1

\[\frac(\vasen(2x+1 \oikea)\vasen(2x-3 \oikea))(4)=((x)^(2))-1\]

Päätetään eroon tämän yhtälön murtoluvuista:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Huomaa: kaikki kerrotaan "neljällä" kerran, ts. se, että sinulla on kaksi hakasulkua, ei tarkoita, että sinun täytyy kertoa niistä jokainen "neljällä". Kirjoitetaan:

\[\vasen(2x+1 \oikea)\vasen(2x-3 \oikea)=\vasen(((x)^(2))-1 \oikea)\cdot 4\]

Nyt avataan:

Suoritamme muuttujan eristämisen:

Suoritamme vastaavien ehtojen vähentämisen:

\[-4x=-1\left| :\vasen(-4 \oikea) \oikea.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Olemme saaneet lopullisen ratkaisun, siirrymme toiseen yhtälöön.

Esimerkki #2

\[\frac(\vasen(1-x \oikea)\vasen(1+5x \oikea))(5)+((x)^(2))=1\]

Täällä teemme kaikki samat toiminnot:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Ongelma ratkaistu.

Se on itse asiassa kaikki, mitä halusin kertoa tänään.

Avainkohdat

Tärkeimmät havainnot ovat seuraavat:

• Tunne lineaaristen yhtälöiden ratkaisualgoritmi.
• Kyky avata kiinnikkeitä.
• Älä huoli, jos sinulla on toisen asteen funktioita jossain, todennäköisimmin lisämuunnosprosessissa niitä pienennetään.
• Lineaaristen yhtälöiden juuret, jopa yksinkertaisimmat, ovat kolmenlaisia: yksi juuri, koko lukuviiva on juuri, juuria ei ole ollenkaan.

Toivon, että tämä oppitunti auttaa sinua hallitsemaan yksinkertaisen, mutta erittäin tärkeän aiheen kaiken matematiikan ymmärtämiseksi paremmin. Jos jokin on epäselvää, mene sivustolle ja ratkaise siellä esitetyt esimerkit. Pysy kuulolla, sinua odottaa paljon muuta mielenkiintoista!

"Alusulut" - Matematiikan oppikirja luokka 6 (Vilenkin)

Lyhyt kuvaus:

Tässä osiossa opit avaamaan sulut esimerkeissä. Mitä varten se on? Kaikki samasta syystä kuin ennenkin - jotta sinun olisi helpompi ja helpompi laskea, tehdä vähemmän virheitä ja ihannetapauksessa (matematiikan opettajasi unelma) ratkaistaksesi kaiken ilman virheitä.
Tiedät jo, että hakasulkeet matemaattisissa merkinnöissä sijoitetaan, jos kaksi matemaattista merkkiä menee peräkkäin, jos haluamme näyttää numeroiden liiton, niiden uudelleenjärjestelyn. Hakasulkeiden laajentaminen tarkoittaa ylimääräisten merkkien poistamista. Esimerkki: (-15)+3=-15+3=-12, 18+(-16)=18-16=2. Muistatko kertomisen distributiivisen ominaisuuden summauksen suhteen? Loppujen lopuksi tuossa esimerkissä pääsimme eroon myös suluista laskelmien yksinkertaistamiseksi. Nimettyä kertolaskuominaisuutta voidaan soveltaa myös neljään, kolmeen, viiteen tai useampaan termiin. Esimerkki: 15*(3+8+9+6)=15*3+15*8+15*9+15*6=390. Oletko huomannut, että sulkuja avattaessa niiden numerot eivät vaihda etumerkkiä, jos suluissa oleva luku on positiivinen? Loppujen lopuksi viisitoista on positiivinen luku. Ja jos ratkaiset tämän esimerkin: -15*(3+8+9+6)=-15*3+(-15)*8+(-15)*9+(-15)*6=-45+( -120)+(-135)+(-90)=-45-120-135-90=-390. Meillä oli negatiivinen luku miinus viisitoista sulujen edessä, kun sulut avattiin, kaikki numerot alkoivat vaihtaa merkkiään toiseksi - päinvastoin - plussasta miinukseen.
Yllä olevien esimerkkien perusteella voidaan sanoa kaksi perussääntöä sulujen avaamisesta:
1. Jos suluissa on positiivinen luku, sulujen avaamisen jälkeen kaikki suluissa olevien numeroiden merkit eivät muutu, vaan pysyvät täsmälleen samoina kuin ne olivat.
2. Jos suluissa on negatiivinen luku, sulujen avaamisen jälkeen miinusmerkkiä ei enää kirjoiteta, ja kaikkien suluissa olevien absoluuttisten lukujen etumerkit ovat jyrkästi käänteisiä.
Esimerkiksi: (13+8)+(9-8)=13+8+9-8=22; (13+8)-(9-8)=13+8-9+8=20. Monimutkaistaan ​​hieman esimerkkejämme: (13+8)+2(9-8)=13+8+2*9-2*8=21+18-16=23. Huomasit, että avattaessa toiset sulut, kerroimme 2:lla, mutta merkit pysyivät samoina kuin ne olivat. Ja tässä on esimerkki: (3+8)-2*(9-8)=3+8-2*9+2*8=11-18+16=9, tässä esimerkissä numero kaksi on negatiivinen, se on ennen sulkuja miinusmerkillä, joten avattaessa niitä vaihdoimme numeroiden merkit vastakkaisiin (yhdeksän oli plussalla, siitä tuli miinus, kahdeksan oli miinus, siitä tuli plus ).

500-luvulla eKr. antiikin kreikkalainen filosofi Zeno Elealainen muotoili kuuluisat aporiat, joista kuuluisin on aporia "Achilles ja kilpikonna". Tältä se kuulostaa:

Oletetaan, että Akhilleus juoksee kymmenen kertaa nopeammin kuin kilpikonna ja on tuhat askelta sen takana. Kun Akhilleus juoksee tämän matkan, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Kun Akhilleus on juossut sata askelta, kilpikonna ryömii vielä kymmenen askelta ja niin edelleen. Prosessi jatkuu loputtomiin, Akhilleus ei koskaan saavuta kilpikonnaa.

Tästä päättelystä tuli looginen shokki kaikille seuraaville sukupolville. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Heitä kaikkia, tavalla tai toisella, katsottiin Zenonin aporiaksi. Järkytys oli niin voimakas, että " ... keskustelut jatkuvat tälläkin hetkellä, tiedeyhteisö ei ole vielä päässyt yhteisymmärrykseen paradoksien olemuksesta ... matemaattista analyysiä, joukkoteoriaa, uusia fysikaalisia ja filosofisia lähestymistapoja on otettu mukaan asian tutkimiseen ; mikään niistä ei tullut yleisesti hyväksyttyä ratkaisua ongelmaan ..."[Wikipedia," Zenon Aporias "]. Kaikki ymmärtävät, että heitä huijataan, mutta kukaan ei ymmärrä, mikä petos on.

Matematiikan näkökulmasta Zeno osoitti aporiassaan selvästi siirtymisen arvosta toiseen. Tämä siirtymä edellyttää soveltamista vakioiden sijaan. Ymmärtääkseni matemaattista laitteistoa muuttuvien mittayksiköiden soveltamiseen ei ole vielä kehitetty tai sitä ei ole sovellettu Zenon aporiaan. Tavallisen logiikkamme soveltaminen johtaa meidät ansaan. Me, ajattelun inertialla, sovellamme käänteisarvoon vakioaikayksiköitä. Fyysisesti katsottuna aika näyttää hidastuvan täydelliseen pysähtymiseen hetkellä, kun Akhilleus saa kiinni kilpikonnan. Jos aika pysähtyy, Akhilleus ei voi enää ohittaa kilpikonnaa.

Jos käännämme logiikkaa, johon olemme tottuneet, kaikki loksahtaa paikoilleen. Akhilleus juoksee tasaisella nopeudella. Jokainen sen polun seuraava osa on kymmenen kertaa lyhyempi kuin edellinen. Näin ollen sen voittamiseen käytetty aika on kymmenen kertaa vähemmän kuin edellinen. Jos käytämme "äärettömyyden" käsitettä tässä tilanteessa, olisi oikein sanoa "Achilles ohittaa äärettömän nopeasti kilpikonnan".

Kuinka välttää tämä looginen ansa? Pysy vakioissa aikayksiköissä äläkä vaihda käänteisarvoihin. Zenon kielellä se näyttää tältä:

Kun Akhilleus juoksee tuhat askelta, kilpikonna ryömii sata askelta samaan suuntaan. Seuraavan aikavälin aikana, joka on yhtä suuri kuin ensimmäinen, Akhilleus juoksee toiset tuhat askelta ja kilpikonna ryömi sata askelta. Nyt Akhilleus on kahdeksansataa askelta kilpikonnan edellä.

Tämä lähestymistapa kuvaa todellisuutta riittävästi ilman loogisia paradokseja. Mutta tämä ei ole täydellinen ratkaisu ongelmaan. Einsteinin lausunto valonnopeuden ylitsepääsemättömyydestä on hyvin samanlainen kuin Zenon aporia "Achilles ja kilpikonna". Meidän on vielä tutkittava, pohdittava ja ratkaistava tämä ongelma. Ja ratkaisua ei tarvitse etsiä äärettömän suurista luvuista, vaan mittayksiköistä.

Toinen Zenonin mielenkiintoinen aporia kertoo lentävästä nuolesta:

Lentävä nuoli on liikkumaton, koska se on joka hetki levossa, ja koska se on levossa joka hetki, se on aina levossa.

Tässä aporiassa looginen paradoksi voitetaan hyvin yksinkertaisesti - riittää selventämään, että lentävä nuoli on joka hetki levossa avaruuden eri pisteissä, mikä itse asiassa on liikettä. Tässä on huomioitava toinen seikka. Yhdestä valokuvasta tiellä olevasta autosta on mahdotonta määrittää sen liikkeen tosiasiaa tai etäisyyttä siihen. Auton liikkeen tosiasian selvittämiseksi tarvitaan kaksi valokuvaa, jotka on otettu samasta pisteestä eri ajankohtina, mutta niitä ei voida käyttää etäisyyden määrittämiseen. Etäisyyden määrittämiseksi autoon tarvitset kaksi valokuvaa, jotka on otettu avaruuden eri pisteistä samanaikaisesti, mutta et voi määrittää niistä liikkeen tosiasiaa (tietenkin tarvitset edelleen lisätietoja laskelmia varten, trigonometria auttaa sinua) . Haluan erityisesti korostaa, että kaksi pistettä ajassa ja kaksi pistettä avaruudessa ovat kaksi eri asiaa, joita ei pidä sekoittaa, koska ne tarjoavat erilaisia ​​mahdollisuuksia tutkimiseen.

Keskiviikkona 4.7.2018

Erot setin ja multisetin välillä on kuvattu hyvin Wikipediassa. Me katsomme.

Kuten näet, "joukossa ei voi olla kahta identtistä elementtiä", mutta jos joukossa on identtisiä elementtejä, tällaista joukkoa kutsutaan "multisiksi". Järkevät olennot eivät koskaan ymmärrä tällaista absurdin logiikkaa. Tämä on puhuvien papukaijojen ja koulutettujen apinoiden taso, jossa mieli puuttuu sanasta "täysin". Matemaatikot toimivat tavallisina kouluttajina ja saarnaavat meille absurdeja ideoitaan.

Kerran sillan rakentaneet insinöörit olivat sillan alla veneessä sillan kokeiden aikana. Jos silta romahti, keskinkertainen insinööri kuoli luomansa raunioiden alle. Jos silta kesti kuormituksen, lahjakas insinööri rakensi muita siltoja.

Riippumatta siitä, kuinka matemaatikot piiloutuvat lauseen "huomaa minua, olen kotona" tai pikemminkin "matematiikka tutkii abstrakteja käsitteitä" taakse, on olemassa yksi napanuora, joka yhdistää ne erottamattomasti todellisuuteen. Tämä napanuora on rahaa. Sovelletaan matemaattista joukkoteoriaa matemaatikoihin itseensä.

Opiskelimme matematiikkaa erittäin hyvin ja nyt istumme kassalla ja maksamme palkkoja. Täällä matemaatikko tulee meille rahoilleen. Laskemme hänelle koko summan ja levitämme sen pöydällemme eri pinoihin, joihin laitamme samanarvoisia seteleitä. Sitten otamme yhden laskun jokaisesta pinosta ja annamme matemaatikolle hänen "matemaattisen palkkasarjansa". Selitämme matematiikan, että hän saa loput laskut vasta kun hän osoittaa, että joukko ilman identtisiä elementtejä ei ole sama kuin joukko, jossa on identtisiä elementtejä. Tästä hauskuus alkaa.

Ensinnäkin kansanedustajien logiikka toimii: "se voi soveltaa muihin, mutta ei minuun!" Lisäksi aletaan varmistua siitä, että samanarvoisissa seteleissä on eri setelinumeroita, joten niitä ei voida pitää identtisinä elementteinä. No, me laskemme palkan kolikoissa - kolikoissa ei ole numeroita. Täällä matemaatikko muistelee kiihkeästi fysiikkaa: eri kolikoissa on eri määrä likaa, kunkin kolikon kiderakenne ja atomien järjestely on ainutlaatuinen ...

Ja nyt minulla on mielenkiintoisin kysymys: missä on raja, jonka jälkeen monijoukon elementit muuttuvat joukon elementeiksi ja päinvastoin? Tällaista linjaa ei ole olemassa - shamaanit päättävät kaikesta, tiede ei ole edes lähellä.

Kuulehan. Valitsemme jalkapallostadionit, joilla on sama kenttäalue. Kenttien pinta-ala on sama, mikä tarkoittaa, että meillä on multiset. Mutta jos otamme huomioon samojen stadionien nimet, saamme paljon, koska nimet ovat erilaisia. Kuten näet, sama elementtijoukko on samanaikaisesti sekä joukko että monijoukko. Kuinka oikein? Ja tässä matemaatikko-shamaani-shuller ottaa valttiässän hihastaan ​​ja alkaa kertoa meille joko setistä tai multisetistä. Joka tapauksessa hän saa meidät vakuuttuneeksi siitä, että hän on oikeassa.

Ymmärtääksemme, kuinka nykyaikaiset shamaanit toimivat joukkoteorian kanssa ja sitovat sen todellisuuteen, riittää, kun vastaat yhteen kysymykseen: kuinka yhden joukon elementit eroavat toisen joukon elementeistä? Näytän sinulle ilman mitään "ei ole ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena" tai "ei ajateltavissa yhtenä kokonaisuutena".

sunnuntaina 18. maaliskuuta 2018

Luvun numeroiden summa on shamaanien tanssi tamburiinilla, jolla ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Kyllä, matematiikan tunneilla meitä opetetaan etsimään luvun numeroiden summa ja käyttämään sitä, mutta he ovat shamaaneja sitä varten, opettaakseen jälkeläisilleen heidän taitojaan ja viisauttaan, muuten shamaanit yksinkertaisesti kuolevat sukupuuttoon.

Tarvitsetko todisteita? Avaa Wikipedia ja yritä löytää "Luvun numeroiden summa" -sivu. Häntä ei ole olemassa. Matematiikassa ei ole kaavaa, jolla voit löytää minkä tahansa luvun numeroiden summan. Loppujen lopuksi numerot ovat graafisia symboleja, joilla kirjoitamme numeroita, ja matematiikan kielellä tehtävä kuulostaa tältä: "Etsi mitä tahansa numeroa edustavien graafisten symbolien summa." Matemaatikot eivät voi ratkaista tätä ongelmaa, mutta shamaanit voivat tehdä sen alkeellisesti.

Selvitetään mitä ja miten teemme löytääksemme tietyn luvun numeroiden summan. Ja niin, oletetaan, että meillä on numero 12345. Mitä on tehtävä tämän luvun numeroiden summan löytämiseksi? Harkitsemme kaikkia vaiheita järjestyksessä.

1. Kirjoita numero paperille. Mitä me olemme tehneet? Olemme muuntaneet numeron numerograafiseksi symboliksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

2. Leikkaamme yhden vastaanotetun kuvan useiksi kuviksi, joissa oli erilliset numerot. Kuvan leikkaaminen ei ole matemaattinen operaatio.

3. Muunna yksittäiset graafiset merkit numeroiksi. Tämä ei ole matemaattinen operaatio.

4. Laske yhteen saadut luvut. Nyt se on matematiikkaa.

Numeron 12345 numeroiden summa on 15. Nämä ovat matemaatikoiden käyttämiä shamaanien "leikkaus- ja ompelukursseja". Mutta siinä ei vielä kaikki.

Matematiikan kannalta ei ole väliä kumpaan lukujärjestelmään numero kirjoitetaan. Joten eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Matematiikassa numerojärjestelmä ilmoitetaan alaindeksinä luvun oikealla puolella. Suurella luvulla 12345 en halua huijata päätäni, harkitse artikkelin numeroa 26. Kirjoitetaan tämä luku binääri-, oktaali-, desimaali- ja heksadesimaalilukujärjestelmiin. Emme harkitse jokaista askelta mikroskoopin alla, olemme jo tehneet sen. Katsotaanpa tulosta.

Kuten näet, eri numerojärjestelmissä saman numeron numeroiden summa on erilainen. Tällä tuloksella ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa. Aivan kuin suorakulmion alueen löytäminen metreinä ja senttimetreinä antaisi täysin erilaisia ​​tuloksia.

Nolla kaikissa numerojärjestelmissä näyttää samalta, eikä siinä ole numeroiden summaa. Tämä on toinen argumentti sen tosiasian puolesta, että . Kysymys matemaatikoille: miten matematiikassa ilmaistaan ​​sitä, mikä ei ole luku? Mitä matemaatikoille ei ole olemassa mitään muuta kuin numeroita? Shamaaneille voin sallia tämän, mutta tiedemiehille en. Todellisuus ei ole vain numeroita.

Saatua tulosta tulee pitää todisteena siitä, että lukujärjestelmät ovat lukujen mittayksiköitä. Emmehän voi verrata lukuja eri mittayksiköihin. Jos samat toiminnot saman suuren eri mittayksiköillä johtavat erilaisiin tuloksiin niitä vertaamalla, niin tällä ei ole mitään tekemistä matematiikan kanssa.

Mitä on oikea matematiikka? Tällöin matemaattisen toiminnon tulos ei riipu luvun arvosta, käytetystä mittayksiköstä ja siitä, kuka tämän toiminnon suorittaa.

Ovessa kyltti Avaa oven ja sanoo:

Auts! Eikö tämä ole naisten vessa?
- Nuori nainen! Tämä on laboratorio, jossa tutkitaan sielujen loputonta pyhyyttä taivaaseen nousemisen yhteydessä! Nimbus päällä ja nuoli ylös. Mikä muu wc?

Naaras... Halo päällä ja nuoli alas on miespuolinen.

Jos sinulla on tällainen taideteos, joka vilkkuu silmiesi edessä useita kertoja päivässä,

Sitten ei ole yllättävää, että löydät yhtäkkiä oudon kuvakkeen autostasi:

Itse yritän itselleni nähdä miinus neljä astetta kakkaavassa ihmisessä (yksi kuva) (usean kuvan kokoonpano: miinusmerkki, numero neljä, asteen merkintä). Enkä pidä tätä tyttöä typeränä, joka ei tunne fysiikkaa. Hänellä on vain stereotypia graafisten kuvien käsityksestä. Ja matemaatikot opettavat meille tätä koko ajan. Tässä on esimerkki.

1A ei ole "miinus neljä astetta" tai "yksi a". Tämä on "kakkava mies" tai luku "kaksikymmentäkuusi" heksadesimaalilukujärjestelmässä. Ne ihmiset, jotka työskentelevät jatkuvasti tässä numerojärjestelmässä, näkevät numeron ja kirjaimen automaattisesti yhtenä graafisena symbolina.

Sulkuja käytetään osoittamaan järjestys, jossa toiminnot suoritetaan numeerisissa ja aakkosellisissa lausekkeissa sekä lausekkeissa, joissa on muuttujia. Hakasulkeista lausekkeesta on kätevää siirtyä identtiseen yhtäläiseen lausekkeeseen ilman sulkuja. Tätä tekniikkaa kutsutaan sulkujen avaamiseksi.

Hakasulkeiden laajentaminen tarkoittaa näiden sulujen ilmaisun poistamista.

Toinen seikka ansaitsee erityistä huomiota, joka koskee kirjoitusratkaisujen erityispiirteitä sulkuja avattaessa. Alkulauseke voidaan kirjoittaa hakasulkeilla ja hakasulkujen avaamisen jälkeen saatu tulos tasa-arvoksi. Esimerkiksi sulkujen avaamisen jälkeen lausekkeen sijaan
3−(5−7) saadaan lauseke 3−5+7. Voimme kirjoittaa molemmat lausekkeet yhtälöksi 3−(5−7)=3−5+7.

Ja vielä yksi tärkeä kohta. Matematiikassa merkintöjen vähentämiseksi on tapana olla kirjoittamatta plusmerkkiä, jos se on lausekkeen ensimmäinen tai suluissa. Jos esimerkiksi lisäämme kaksi positiivista lukua, esimerkiksi seitsemän ja kolme, emme kirjoita +7 + 3, vaan yksinkertaisesti 7 + 3, huolimatta siitä, että seitsemän on myös positiivinen luku. Vastaavasti, jos näet esimerkiksi lausekkeen (5 + x) - tiedä, että hakasulkeen edessä on plus, jota ei kirjoiteta, ja sen edessä on plus + (+5 + x). viisi.

Kiinnikkeen laajennussääntö lisäystä varten

Jos sulkuja avattaessa on plusmerkki ennen sulkuja, tämä plus jätetään pois sulkien mukana.

Esimerkki. Avaa sulut lausekkeessa 2 + (7 + 3) Ennen sulkeita plus, sitten suluissa olevien numeroiden edessä olevat merkit eivät muutu.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Hakasulkeiden laajentamisen sääntö vähennettäessä

Jos ennen sulkuja on miinus, tämä miinus jätetään pois suluissa, mutta suluissa olleet termit muuttavat merkkinsä päinvastaiseksi. Merkin puuttuminen ennen ensimmäistä termiä suluissa tarkoittaa +-merkkiä.

Esimerkki. Avaa sulut lausekkeessa 2 − (7 + 3)

Ennen sulkeita on miinus, joten sinun on vaihdettava merkit ennen suluissa olevia numeroita. Ennen numeroa 7 ei ole merkkiä suluissa, mikä tarkoittaa, että seitsemän on positiivinen, katsotaan, että +-merkki on sen edessä.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Sulkeja avattaessa poistamme esimerkistä miinusmerkin, joka oli ennen sulkuja, ja itse sulut 2 − (+ 7 + 3), ja muutamme suluissa olleet merkit vastakkaisiin.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Sulkujen laajentaminen kertolaskussa

Jos hakasulkeiden edessä on kertomerkki, jokainen suluissa oleva luku kerrotaan suluissa olevalla kertoimella. Samaan aikaan miinuksen kertominen miinuksella antaa plussan ja miinuksen kertominen plussalla, kuten plussan kertominen miinuksella, antaa miinuksen.

Siten tulojen sulkeita laajennetaan kertolaskun jakautumisominaisuuden mukaisesti.

Esimerkki. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Kun sulut kerrotaan suluilla, jokainen ensimmäisen sulussa oleva termi kerrotaan jokaisella toisen sulkeen termillä.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Itse asiassa kaikkia sääntöjä ei tarvitse muistaa, riittää, että muistat vain yhden, tämän: c(a−b)=ca−cb. Miksi? Koska jos korvaamme yhden c:n sijaan, saamme säännön (a−b)=a−b. Ja jos korvataan miinus yksi, saadaan sääntö −(a−b)=−a+b. No, jos korvaat toisen hakasulkeen c:n sijaan, saat viimeisen säännön.

Laajenna sulut jakaessasi

Jos hakasulkeiden jälkeen on jakomerkki, niin jokainen hakasulkujen sisällä oleva luku on jaollinen hakasulkujen jälkeisellä jakajalla ja päinvastoin.

Esimerkki. (9 + 6) : 3 = 9: 3 + 6: 3

Sisäkkäisten sulkeiden laajentaminen

Jos lauseke sisältää sisäkkäisiä sulkeita, ne laajennetaan järjestyksessä alkaen ulkoisesta tai sisäisestä.

Samanaikaisesti, kun avaat yhden suluista, on tärkeää olla koskematta muihin suluihin, vaan kirjoita ne uudelleen sellaisina kuin ne ovat.

Esimerkki. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b