Palvelutehtävä. Käyttämällä tätä online-laskinta, tuntemattomat (x 1 , x 2 , ..., x n ) lasketaan yhtälöjärjestelmässä. Päätöstä tehdään käänteismatriisimenetelmä. Jossa:

• matriisin A determinantti lasketaan;
• algebrallisten lisäysten avulla löydetään käänteimatriisi A -1;
• ratkaisumalli luodaan Excelissä;

Ratkaisu suoritetaan suoraan sivustolla (verkossa) ja se on ilmainen. Laskentatulokset esitetään Word-muodossa raportissa (katso suunnitteluesimerkki).

Ohje. Ratkaisun saamiseksi käänteismatriisimenetelmällä on tarpeen määrittää matriisin dimensio. Täytä seuraavaksi uudessa valintaikkunassa matriisi A ja tulosvektori B .

Muuttujien lukumäärä 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Katso myös Matriisiyhtälöiden ratkaisu.

Ratkaisualgoritmi

1. Matriisin A determinantti lasketaan. Jos determinantti on nolla, niin ratkaisun loppu. Järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja.
2. Kun determinantti on eri kuin nolla, käänteimatriisi A -1 löydetään algebrallisten summausten avulla.
3. Päätösvektori X =(x1, x2, ..., xn) saadaan kertomalla käänteismatriisi tulosvektorilla B.

Esimerkki. Etsi järjestelmän ratkaisu matriisimenetelmällä. Kirjoitamme matriisin muodossa:
Algebralliset lisäykset.

A 1,1 = (-1) 1+1

1 2 0 -2

∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2

A 1,2 = (-1) 1+2

3 2 1 -2

∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8

A 1,3 = (-1) 1+3

3 1 1 0

∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1

A 2,1 = (-1) 2+1

-2 1 0 -2

∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4

A 2,2 = (-1) 2+2

2 1 1 -2

∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5

A 2,3 = (-1) 2+3

2 -2 1 0

∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2

A 3,1 = (-1) 3+1

-2 1 1 2

∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5

·

3

-2

-1

X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
Tutkimus:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1

Aihe 2. LINEAARISET ALGEBRAISET YHTÄLÖJÄRJESTELMÄT.

Peruskonseptit.

Määritelmä 1. järjestelmä m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon on järjestelmä muotoa:

missä ja ovat numerot.

Määritelmä 2. Järjestelmän (I) ratkaisu on sellainen tuntemattomien joukko, jossa jokainen tämän järjestelmän yhtälö muuttuu identiteetiksi.

Määritelmä 3. Järjestelmää (I) kutsutaan liitos jos siinä on ainakin yksi ratkaisu ja yhteensopimaton jos siihen ei ole ratkaisuja. Yhteistä järjestelmää kutsutaan varma jos sillä on ainutlaatuinen ratkaisu, ja epävarma muuten.

Määritelmä 4. Tyyppiyhtälö

nimeltään nolla, ja muodon yhtälö

nimeltään yhteensopimaton. On selvää, että yhtälöjärjestelmä, joka sisältää epäjohdonmukaisen yhtälön, on epäjohdonmukainen.

Määritelmä 5. Näitä kahta lineaariyhtälöjärjestelmää kutsutaan vastaava jos yhden järjestelmän jokainen ratkaisu on toisen ratkaisu ja päinvastoin toisen järjestelmän jokainen ratkaisu on ensimmäisen ratkaisu.

Matriisimerkintä lineaariyhtälöjärjestelmälle.

Harkitse järjestelmää (I) (katso §1).

Merkitse:

Tuntemattomien kerroinmatriisi

Matrix - ilmaisten jäsenten sarake

Matriisi - tuntemattomien sarake

.

Määritelmä 1. Matriisia kutsutaan järjestelmän päämatriisi(I), ja matriisi on järjestelmän (I) lisätty matriisi.

Matriisiyhtälön määritelmän mukaan järjestelmä (I) vastaa matriisiyhtälön:

.

Tämän yhtälön oikea puoli matriisien tulon määritelmän mukaan ( katso määritelmä 3 § 5 luku 1) voidaan jakaa tekijöihin:

, eli

Tasa-arvo (2) nimeltään järjestelmän matriisimerkintä (I).

Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen Cramerin menetelmällä.

Päästä sisään järjestelmä (I) (katso §1) m = n, eli yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, ja järjestelmän päämatriisi on ei-degeneroitu, ts. . Sitten §1:n järjestelmällä (I) on ainutlaatuinen ratkaisu

missä ∆ = paikka A kutsutaan pääasialliseksi järjestelmän määräävä tekijä(I), ∆ i saadaan determinantista Δ korvaamalla i-th sarake järjestelmän vapaiden jäsenten sarakkeeseen (I).

Esimerkki: Ratkaise järjestelmä Cramerin menetelmällä:

.

Kaavojen mukaan (3) .

Laskemme järjestelmän determinantit:

,

,

.

Determinantin saamiseksi olemme korvanneet determinantin ensimmäisen sarakkeen vapaiden jäsenten sarakkeella; korvaamalla determinantin 2. sarakkeen vapaiden jäsenten sarakkeella saamme ; samoin korvaamalla determinantin 3. sarakkeen vapaiden jäsenten sarakkeella, saadaan . Järjestelmäratkaisu:

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaiseminen käänteismatriisin avulla.

Päästä sisään järjestelmä (I) (katso §1) m = n ja järjestelmän päämatriisi on ei-degeneroitunut. Kirjoitamme järjestelmän (I) matriisimuodossa ( katso §2):

koska matriisi A on rappeutumaton, niin sillä on käänteimatriisi ( katso luvun 1 Lause 1 §6). Kerro yhtälön molemmat puolet (2) matriisiin siis

Käänteimatriisin määritelmän mukaan . Tasa-arvosta (3) meillä on

Ratkaise järjestelmä käänteismatriisin avulla

.

Merkitse

Esimerkissä (§ 3) laskettiin determinantti, siis matriisi A on käänteinen matriisi. Sitten voimassa (4) , eli

. (5)

Etsi matriisi ( katso §6 luku 1)

, , ,

, , ,

,

.

Gaussin menetelmä.

Olkoon lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

. (minä)

On löydettävä kaikki järjestelmän (I) ratkaisut tai varmistettava, että järjestelmä on epäjohdonmukainen.

Määritelmä 1.Kutsukaamme järjestelmän alkeismuunnoksia(I) jokin kolmesta toiminnosta:

1) nollayhtälön poistaminen;

2) lisäämällä yhtälön molempiin osiin toisen yhtälön vastaavat osat, kerrottuna luvulla l;

3) termien vaihtaminen järjestelmän yhtälöissä siten, että tuntemattomat, joilla on sama luku kaikissa yhtälöissä, ovat samoilla paikoilla, ts. jos esimerkiksi 1. yhtälössä muutimme 2. ja 3. termiä, niin sama on tehtävä kaikissa järjestelmän yhtälöissä.

Gaussin menetelmä koostuu siitä, että järjestelmä (I) pelkistetään alkeismuunnosten avulla ekvivalentiksi systeemiksi, jonka ratkaisu löydetään suoraan tai sen ratkaisemattomuus todetaan.

Kuten kappaleessa 2 on kuvattu, järjestelmän (I) määrittää yksiselitteisesti sen laajennettu matriisi, ja mikä tahansa järjestelmän (I) alkeismuunnos vastaa laajennetun matriisin alkeismuunnosta:

.

Muunnos 1) vastaa nollarivin poistamista matriisista , muunnos 2) vastaa sen toisen rivin lisäämistä vastaavaan matriisin riviin luvulla l, muunnos 3) vastaa sarakkeiden uudelleenjärjestelyä matriisissa .

On helppo nähdä, että päinvastoin, jokainen matriisin alkeismuunnos vastaa järjestelmän (I) alkeismuunnosta. Sen perusteella, mitä on sanottu, järjestelmän (I) kanssa suoritettujen operaatioiden sijaan työskentelemme tämän järjestelmän lisätyn matriisin kanssa.

Matriisissa 1. sarake koostuu kertoimista at x 1, 2. sarake - kertoimista klo x 2 jne. Sarakkeiden uudelleenjärjestelyn yhteydessä on otettava huomioon, että tätä ehtoa rikotaan. Jos esimerkiksi vaihdamme 1. ja 2. sarakkeen, niin nyt ensimmäisessä sarakkeessa on kertoimet x 2, ja toisessa sarakkeessa - kertoimet klo x 1.

Ratkaisemme järjestelmän (I) Gaussin menetelmällä.

1. Yliviivaa matriisin kaikki nollarivit, jos niitä on (eli yliviivaa kaikki nollayhtälöt järjestelmässä (I).

2. Tarkista, onko matriisin rivien joukossa riviä, jossa kaikki alkiot paitsi viimeinen ovat nollia (kutsutaanko tällaista riviä epäjohdonmukaiseksi). Ilmeisesti tällainen suora vastaa epäjohdonmukaista yhtälöä järjestelmässä (I), joten järjestelmällä (I) ei ole ratkaisuja, ja tähän prosessi päättyy.

3. Matriisi ei saa sisältää epäjohdonmukaisia ​​rivejä (järjestelmä (I) ei sisällä epäjohdonmukaisia ​​yhtälöitä). Jos a 11 = 0, sitten etsitään 1. riviltä jokin nollasta poikkeava elementti (paitsi viimeinen) ja järjestellään sarakkeet uudelleen niin, että 1. rivillä ei ole nollaa. Oletetaan nyt, että (eli vaihdamme vastaavat termit järjestelmän (I) yhtälöissä).

4. Kerro 1. rivi ja lisää tulos 2. riviin, kerro sitten 1. rivi ja lisää tulos 3. riviin jne. Ilmeisesti tämä prosessi vastaa tuntemattoman poistamista x 1 kaikista järjestelmän (I) yhtälöistä, paitsi 1. Uudessa matriisissa saamme nollia 1. sarakkeeseen elementin alle a 11:

.

5. Yliviivaa matriisin kaikki mahdolliset nollarivit ja tarkista, onko rivissä epäjohdonmukainen (jos on, järjestelmä on epäjohdonmukainen ja ratkaisu päättyy siihen). Katsotaan jos a 22 / =0, jos kyllä, niin löydämme 2. riviltä elementin, joka eroaa nollasta, ja järjestämme sarakkeet uudelleen niin, että . Seuraavaksi kerromme 2. rivin elementit ja lisää 3. rivin vastaavilla elementeillä, sitten - 2. rivin elementit päälle ja lisää 4. rivin vastaavilla elementeillä jne., kunnes saamme alle nollia a 22 /

.

Suoritetut toiminnot vastaavat tuntemattoman poistamista x 2 kaikista järjestelmän (I) yhtälöistä, paitsi 1. ja 2. Koska rivien määrä on äärellinen, niin äärellisen askelmäärän jälkeen saamme, että joko järjestelmä on epäjohdonmukainen tai pääsemme askelmatriisiin ( katso määritelmä 2 §7 luku 1) :

,

Kirjoitetaan matriisia vastaava yhtälöjärjestelmä. Tämä järjestelmä vastaa järjestelmää (I)

.

Viimeisestä yhtälöstä ilmaisemme ; korvaamme edellisen yhtälön, etsimme jne., kunnes saamme .

Huomautus 1. Siten, kun järjestelmää (I) ratkaistaan ​​Gaussin menetelmällä, päästään yhteen seuraavista tapauksista.

1. Järjestelmä (I) on epäjohdonmukainen.

2. Järjestelmällä (I) on ainutlaatuinen ratkaisu, jos matriisin rivien määrä on yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä ().

3. Järjestelmällä (I) on ääretön määrä ratkaisuja, jos matriisin rivien määrä on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä ().

Siksi seuraava lause pätee.

Lause. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on joko epäjohdonmukainen tai sillä on ainutlaatuinen ratkaisu tai ratkaisuja on ääretön joukko.

Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä tai todista sen epäjohdonmukaisuus:

b) ;

a) Kirjoitetaan annettu järjestelmä muotoon:

.

Vaihdoimme alkuperäisen järjestelmän 1. ja 2. yhtälön laskelmien yksinkertaistamiseksi (murtolukujen sijaan toimimme vain kokonaisluvuilla käyttämällä tällaista permutaatiota).

Luomme laajennetun matriisin:

.

Ei ole nollarivejä; ei yhteensopimattomia linjoja, ; jätämme ensimmäisen tuntemattoman pois kaikista järjestelmän yhtälöistä, paitsi ensimmäistä. Tätä varten kerromme matriisin 1. rivin elementit "-2":lla ja lisäämme ne 2. rivin vastaaviin elementteihin, mikä vastaa 1. yhtälön kertomista "-2":lla ja sen lisäämistä 2. yhtälö. Sitten kerromme 1. rivin elementit "-3":lla ja lisäämme ne kolmannen rivin vastaaviin elementteihin, ts. kerro annetun järjestelmän 2. yhtälö "-3":lla ja lisää se kolmanteen yhtälöön. Saada

.

Matriisi vastaa yhtälöjärjestelmää). - (katso määritelmä 3 luvun 1 7 §).

M lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on n tuntematonta kutsutaan muotojärjestelmäksi

missä aij ja b i (i=1,…,m; b=1,…,n) ovat joitain tunnettuja numeroita ja x 1,…,x n- tuntematon. Kertoimien merkinnöissä aij ensimmäinen indeksi i tarkoittaa yhtälön numeroa ja toista j on tuntemattoman numero, jossa tämä kerroin on.

Tuntemattomien kertoimet kirjoitetaan matriisin muotoon , jota kutsumme järjestelmämatriisi.

Numerot yhtälöiden oikealla puolella b 1,…,b m nimeltään ilmaisia ​​jäseniä.

Aggregaatti n numeroita c 1,…,c n nimeltään päätös tämän järjestelmän, jos jokaisesta järjestelmän yhtälöstä tulee yhtälö sen jälkeen, kun siihen on korvattu lukuja c 1,…,c n vastaavien tuntemattomien sijaan x 1,…,x n.

Tehtävämme on löytää ratkaisuja järjestelmään. Tässä tapauksessa voi syntyä kolme tilannetta:

Lineaarista yhtälöjärjestelmää, jolla on vähintään yksi ratkaisu, kutsutaan liitos. Muuten, ts. jos järjestelmällä ei ole ratkaisuja, niin sitä kutsutaan yhteensopimaton.

Harkitse tapoja löytää ratkaisuja järjestelmään.

MATRIISIMENETELMÄ LINEAARIEN YHTÄLÖJÄRJESTELMIEN RATKAISEMINEN

Matriisit mahdollistavat lineaarisen yhtälöjärjestelmän lyhyen kirjoittamisen. Olkoon 3 yhtälöjärjestelmä, jossa on kolme tuntematonta:

Harkitse järjestelmän matriisia ja matriisisarakkeet tuntemattomista ja vapaista jäsenistä

Etsitään tuote

nuo. tuotteen tuloksena saamme tämän järjestelmän yhtälöiden vasemmat puolet. Sitten, käyttämällä matriisiyhtälön määritelmää, tämä järjestelmä voidaan kirjoittaa muodossa

tai lyhyempi A∙X = B.

Tässä matriiseja A ja B tunnetaan, ja matriisi X tuntematon. Hänet on löydettävä, koska. sen elementit ovat tämän järjestelmän ratkaisu. Tätä yhtälöä kutsutaan matriisiyhtälö.

Olkoon matriisideterminantti eri kuin nolla | A| ≠ 0. Sitten matriisiyhtälö ratkaistaan ​​seuraavasti. Kerro vasemmalla olevan yhtälön molemmat puolet matriisilla A-1, matriisin käänteisarvo A: . Koska A -1 A = E ja E∙X = X, niin saadaan matriisiyhtälön ratkaisu muodossa X = A -1 B .

Huomaa, että koska käänteimatriisi löytyy vain neliömatriiseille, matriisimenetelmä voi ratkaista vain ne järjestelmät, joissa yhtälöiden määrä on sama kuin tuntemattomien lukumäärä. Järjestelmän matriisimerkintä on kuitenkin mahdollista myös siinä tapauksessa, että yhtälöiden lukumäärä ei ole yhtä suuri kuin tuntemattomien lukumäärä, niin matriisi A ei ole neliö ja siksi on mahdotonta löytää ratkaisua järjestelmään muodossa X = A -1 B.

Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöjärjestelmiä.

CRAMERIN SÄÄNTÖ

Tarkastellaan 3 lineaarisen yhtälön järjestelmää, joissa on kolme tuntematonta:

Kolmannen kertaluvun determinantti, joka vastaa järjestelmän matriisia, ts. koostuu kertoimista tuntemattomissa,

nimeltään järjestelmän määräävä tekijä.

Muodostamme kolme muuta determinanttia seuraavasti: korvaamme peräkkäin 1, 2 ja 3 saraketta determinantissa D vapaiden termien sarakkeella

Sitten voimme todistaa seuraavan tuloksen.

Lause (Cramerin sääntö). Jos järjestelmän determinantti on Δ ≠ 0, niin tarkasteltavalla järjestelmällä on yksi ja vain yksi ratkaisu, ja

Todiste. Tarkastellaan siis kolmen yhtälön järjestelmää, jossa on kolme tuntematonta. Kerro järjestelmän 1. yhtälö algebrallisella komplementilla A 11 elementti a 11, 2. yhtälö - päällä A21 ja 3. - päällä A 31:

Lisätään nämä yhtälöt:

Harkitse tämän yhtälön jokaista sulkua ja oikeaa puolta. Lauseen mukaan determinantin laajenemisesta 1. sarakkeen elementtien suhteen

Samalla tavalla voidaan osoittaa, että ja .

Lopulta se on helppo nähdä

Siten saamme tasa-arvon: .

Tämän seurauksena,.

Yhtälöt ja johdetaan samalla tavalla, mistä seuraa lauseen väite.

Täten huomaamme, että jos järjestelmän determinantti on Δ ≠ 0, niin järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu ja päinvastoin. Jos järjestelmän determinantti on nolla, niin systeemillä on joko ääretön joukko ratkaisuja tai ei ole ratkaisuja, ts. yhteensopimaton.

Esimerkkejä. Ratkaise yhtälöjärjestelmä

GAUSS-MENETELMÄ

Aiemmin käsitellyillä menetelmillä voidaan ratkaista vain sellaisia ​​järjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä on sama kuin tuntemattomien lukumäärä ja järjestelmän determinantin on oltava eri kuin nolla. Gaussin menetelmä on yleismaailmallisempi ja sopii järjestelmiin, joissa on kuinka monta yhtälöä tahansa. Se koostuu tuntemattomien peräkkäisestä poistamisesta järjestelmän yhtälöistä.

Tarkastellaan jälleen kolmen yhtälön järjestelmää, jossa on kolme tuntematonta:

.

Jätämme ensimmäisen yhtälön ennalleen, ja 2. ja 3:sta jätämme pois sisältävät termit x 1. Tätä varten jaamme toisen yhtälön arvolla a 21 ja kerro - a 11 ja lisää sitten 1. yhtälöllä. Samalla tavalla jaamme kolmannen yhtälön a 31 ja kerro - a 11 ja lisää se sitten ensimmäiseen. Tämän seurauksena alkuperäinen järjestelmä on seuraavanlainen:

Nyt, viimeisestä yhtälöstä, poistamme termin sisältävän x2. Voit tehdä tämän jakamalla kolmannen yhtälön luvulla, kertomalla ja lisäämällä sen toiseen. Sitten meillä on yhtälöjärjestelmä:

Siksi se on helppo löytää viimeisestä yhtälöstä x 3, sitten 2. yhtälöstä x2 ja lopuksi 1. päivästä - x 1.

Gaussin menetelmää käytettäessä yhtälöt voidaan tarvittaessa vaihtaa keskenään.

Usein uuden yhtälöjärjestelmän kirjoittamisen sijaan he rajoittuvat kirjoittamaan järjestelmän laajennetun matriisin:

ja tuo se sitten kolmion tai diagonaalin muotoon käyttämällä alkeismuunnoksia.

Vastaanottaja alkeellisia muunnoksia matriisit sisältävät seuraavat muunnokset:

1. rivien tai sarakkeiden permutaatio;
2. merkkijonon kertominen nollasta poikkeavalla luvulla;
3. lisäämällä yhdelle riville muita rivejä.

Esimerkkejä: Ratkaise yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä.

Siten järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja.

Harkitse lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä(HIDAS) koskien n tuntematon x 1 , x 2 , ..., x n :

Tämä järjestelmä "taitetussa" muodossa voidaan kirjoittaa seuraavasti:

S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.

Tarkasteltu lineaariyhtälöjärjestelmä voidaan kirjoittaa matriisin kertolaskusäännön mukaisesti matriisimuoto ax=b, missä

, ,.

Matriisi A, jonka sarakkeet ovat kertoimia vastaaville tuntemattomille ja rivit ovat kertoimia tuntemattomille vastaavassa yhtälössä on ns. järjestelmämatriisi. sarakematriisi b, jonka alkiot ovat järjestelmän yhtälöiden oikeat osat, kutsutaan oikean osan matriisiksi tai yksinkertaisesti järjestelmän oikealla puolella. sarakematriisi x , jonka elementit ovat tuntemattomia tuntemattomia, kutsutaan järjestelmäratkaisu.

Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmä kirjoitettuna ax=b, On matriisiyhtälö.

Jos järjestelmän matriisi ei-degeneroitunut, sitten sillä on käänteinen matriisi ja sitten järjestelmän ratkaisu ax=b annetaan kaavalla:

x=A -1 b.

Esimerkki Ratkaise järjestelmä matriisimenetelmä.

Ratkaisu etsi käänteismatriisi järjestelmän kerroinmatriisille

Laske determinantti laajentamalla ensimmäisen rivin yli:

Koska Δ ≠ 0 , sitten A -1 olemassa.

Käänteinen matriisi löytyy oikein.

Etsitään ratkaisu järjestelmään

Näin ollen x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .

Tutkimus:

7. Kronecker-Capellin lause lineaarisen algebrallisen yhtälöjärjestelmän yhteensopivuudesta.

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä näyttää:

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)

a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m .

Tässä on annettu a i j ja b i (i = ; j = ) ja x j ovat tuntemattomia reaalilukuja. Käyttämällä matriisien tulon käsitettä voimme kirjoittaa järjestelmän (5.1) uudelleen muotoon:

missä A = (a i j) on järjestelmän (5.1) tuntemattomien kertoimista koostuva matriisi, jota ns. järjestelmämatriisi, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T - sarakevektorit, jotka koostuvat vastaavasti tuntemattomista x j:istä ja vapaista termeistä b i .

Tilattu kokoelma n reaalilukuja (c 1 , c 2 ,..., c n) kutsutaan järjestelmäratkaisu(5.1) jos näiden lukujen korvaamisen seurauksena vastaavien muuttujien x 1 , x 2 ,..., x n sijasta järjestelmän jokainen yhtälö muuttuu aritmeettiseksi identiteetiksi; toisin sanoen, jos on olemassa vektori C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T siten, että AC  B.

Järjestelmä (5.1) kutsutaan yhteinen, tai ratkaistavissa jos siinä on ainakin yksi ratkaisu. Järjestelmää kutsutaan yhteensopimaton, tai liukenematon jos siihen ei ole ratkaisuja.

,

muodostetaan osoittamalla vapaiden termien sarake oikealla olevaan matriisiin A, kutsutaan laajennettu matriisijärjestelmä.

Kysymys järjestelmän (5.1) yhteensopivuudesta ratkaistaan ​​seuraavalla lauseella.

Kronecker-Capellin lause . Lineaariyhtälöjärjestelmä on johdonmukainen silloin ja vain, jos matriisien A ja A rivit ovat samat, ts. r(A) = r(A) = r.

Järjestelmän (5.1) ratkaisujoukolle M on kolme vaihtoehtoa:

1) M =  (tässä tapauksessa järjestelmä on epäjohdonmukainen);

2) M koostuu yhdestä alkiosta, ts. järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu (tässä tapauksessa järjestelmä on ns varma);

3) M koostuu useammasta kuin yhdestä elementistä (silloin järjestelmää kutsutaan epävarma). Kolmannessa tapauksessa järjestelmällä (5.1) on ääretön määrä ratkaisuja.

Järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu vain, jos r(A) = n. Tässä tapauksessa yhtälöiden lukumäärä ei ole pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä (mn); jos m>n, niin m-n yhtälöt ovat seurauksia muista. Jos 0

Mielivaltaisen lineaariyhtälöjärjestelmän ratkaisemiseksi on kyettävä ratkaisemaan järjestelmiä, joissa yhtälöiden lukumäärä on yhtä suuri kuin tuntemattomien, ns. Cramer-tyyppiset järjestelmät:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 ,

a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3)

... ... ... ... ... ...

a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n .

Järjestelmät (5.3) ratkaistaan ​​jollakin seuraavista tavoista: 1) Gaussin menetelmällä tai tuntemattomien eliminointimenetelmällä; 2) Cramerin kaavojen mukaan; 3) matriisimenetelmällä.

Esimerkki 2.12. Tutki yhtälöjärjestelmää ja ratkaise se, jos se on yhteensopiva:

5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7,

2x1 + x2 + 4x3 - 2x4 = 1,

x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0.

Ratkaisu. Kirjoitamme järjestelmän laajennetun matriisin:

 .

Lasketaan järjestelmän päämatriisin sijoitus. On selvää, että esimerkiksi toisen asteen molli vasemmassa yläkulmassa = 7  0; sen sisältävät kolmannen asteen alaikäiset ovat yhtä suuria kuin nolla:

Siksi järjestelmän päämatriisin sijoitus on 2, ts. r(A) = 2. Laajennetun matriisin A järjestyksen laskemiseksi harkitse reunustavaa mollia

näin ollen laajennetun matriisin järjestys on r(A) = 3. Koska r(A)  r(A), järjestelmä on epäjohdonmukainen.

(joskus tätä menetelmää kutsutaan myös matriisimenetelmäksi tai käänteismatriisimenetelmäksi) vaatii etukäteen perehtymisen sellaiseen käsitteeseen kuin SLAE-kirjoituksen matriisimuoto. Käänteismatriisimenetelmä on tarkoitettu niiden lineaaristen algebrallisten yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen, joiden järjestelmämatriisideterminantti on nollasta poikkeava. Luonnollisesti tämä tarkoittaa, että järjestelmän matriisi on neliömäinen (determinantin käsite on olemassa vain neliömatriiseilla). Käänteismatriisimenetelmän olemus voidaan ilmaista kolmella pisteellä:

1. Kirjoita muistiin kolme matriisia: järjestelmämatriisi $A$, tuntemattomien matriisi $X$, vapaiden termien matriisi $B$.
2. Etsi käänteismatriisi $A^(-1)$.
3. Yhtälön $X=A^(-1)\cdot B$ avulla saadaan annetun SLAE:n ratkaisu.

Mikä tahansa SLAE voidaan kirjoittaa matriisimuodossa muodossa $A\cdot X=B$, missä $A$ on järjestelmän matriisi, $B$ on vapaiden termien matriisi, $X$ on tuntemattomien matriisi. Olkoon matriisi $A^(-1)$ olemassa. Kerro yhtälön $A\cdot X=B$ molemmat puolet vasemmalla olevalla matriisilla $A^(-1)$:

$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Koska $A^(-1)\cdot A=E$ ($E$ on identiteettimatriisi), niin yllä kirjoitetusta yhtälöstä tulee:

$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$

Koska $E\cdot X=X$, niin:

$$X=A^(-1)\cdot B.$$

Esimerkki #1

Ratkaise SLAE $ \left \( \begin(tasattu) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(tasattu) \right.$ käyttämällä käänteismatriisia.

$$ A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right). $$

Etsitään järjestelmän matriisin käänteismatriisi, ts. laske $A^(-1)$. Esimerkissä #2

$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right) . $$

Korvataan nyt kaikki kolme matriisia ($X$, $A^(-1)$, $B$) yhtälöön $X=A^(-1)\cdot B$. Sitten suoritetaan matriisikerto

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(array)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (c) 29\\ -11 \end(array)\right)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(array)\right)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (c) 309\\ -206 \end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) -3\\ 2\end(array)\right). $$

Joten saimme $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) -3\\ 2\end(array )\ oikea) $. Tästä yhtälöstä saamme: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Vastaus: $x_1=-3$, $x_2=2$.

Esimerkki #2

Ratkaise SLAE $ \left\(\begin(tasattu) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6. \end(tasattu)\oikea .$ käänteismatriisimenetelmällä.

Kirjataan muistiin järjestelmän $A$ matriisi, vapaiden termien matriisi $B$ ja tuntemattomien matriisi $X$.

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(array)\right);\; B=\left(\begin(array) (c) -1\\0\\6\end(array)\right);\; X=\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right). $$

Nyt on vuoro löytää järjestelmämatriisin käänteismatriisi, ts. etsi $A^(-1)$. Esimerkissä #3 sivulla, joka on omistettu käänteismatriisien löytämiselle, käänteimatriisi on jo löydetty. Käytetään lopputulosta ja kirjoitetaan $A^(-1)$:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array)\right). $$

Nyt korvaamme kaikki kolme matriisia ($X$, $A^(-1)$, $B$) yhtälään $X=A^(-1)\cdot B$, minkä jälkeen suoritamme matriisin kertolaskua oikealla tämän tasa-arvon puolella.

$$ \left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (c) -1\\0\ \6\end(array)\right)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cpiste 6 \\ 8\cpiste (-1)+2\cpiste 0+(-16)\cpiste 6 \\ -12\cpiste (-1)+(-3)\cpiste 0+37\cpiste 6 \end(array)\right)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (c) 0\\-104\\234\end(array)\right)=\left( \begin(array) (c) 0\\-4\\9\end(array)\right) $$

Joten saimme $\left(\begin(array) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(array)\right)=\left(\begin(array) (c) 0\\-4\ \9 \end(array)\right)$. Tästä yhtälöstä meillä on: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.