Lausekkeet, lausekkeiden muuntaminen

Voimalausekkeet (lausekkeet potenssien kanssa) ja niiden muunnos

Tässä artikkelissa puhumme ilmaisujen muuntamisesta voimilla. Ensinnäkin keskitymme muunnoksiin, jotka suoritetaan kaikenlaisilla lausekkeilla, mukaan lukien teholausekkeet, kuten avaavat sulut, vähentävät samanlaisia ​​termejä. Ja sitten analysoimme muunnoksia, jotka ovat ominaisia ​​nimenomaan astelausekkeille: työskentely kanta- ja eksponentin kanssa, käyttämällä asteiden ominaisuuksia jne.

Sivulla navigointi.

Mitä ovat tehoilmaisut?

Termiä "voimailmaisut" ei käytännössä löydy matematiikan koulukirjoista, mutta se esiintyy usein tehtäväkokoelmissa, jotka on erityisesti suunniteltu valmistautumaan esimerkiksi yhtenäiseen valtionkokeeseen ja OGE:hen. Analysoitua tehtäviä, joissa vaaditaan mitä tahansa toimintoja teholausekkeilla, käy selväksi, että teholausekkeet ymmärretään lausekkeina, jotka sisältävät asteita merkinnöissään. Siksi voit itsellesi ottaa seuraavan määritelmän:

Määritelmä.

Voimailmaisuja ovat ilmaisuja, jotka sisältävät voimia.

Tuodaan esimerkkejä voimailmaisuista. Lisäksi esitämme niitä sen mukaan, kuinka näkemysten kehittyminen luonnollisen indikaattorin tutkinnosta todellisen indikaattorin tutkintoon tapahtuu.

Kuten tiedät, ensin tutustutaan luonnollisen eksponentin luvun asteeseen, tässä vaiheessa ensimmäiset yksinkertaisimmat potenssilausekkeet tyypistä 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2, x 3−1, (a 2) 3 jne.

Hieman myöhemmin tutkitaan kokonaislukueksponentilla varustetun luvun potenssia, mikä johtaa negatiivisten kokonaislukupotenssien potenssilausekkeiden esiintymiseen, kuten seuraava: 3 −2, , a -2 +2 b -3 + c 2 .

Vanhemmilla luokilla palataan taas tutkintojen pariin. Siellä otetaan käyttöön aste, jolla on rationaalinen eksponentti, mikä johtaa vastaavien potenssilausekkeiden ilmestymiseen: , , jne. Lopuksi tarkastellaan asteita, joissa on irrationaaliset eksponentit ja niitä sisältävät lausekkeet: , .

Asia ei rajoitu lueteltuihin potenssilausekkeisiin: edelleen muuttuja tunkeutuu eksponenttiin, ja on olemassa esimerkiksi sellaisia ​​lausekkeita 2 x 2 +1 tai . Ja tutustumisen jälkeen alkaa ilmaantua lausekkeita potenssien ja logaritmien kanssa, esimerkiksi x 2 lgx −5 x lgx.

Joten selvitimme kysymyksen siitä, mitä ovat voimailmaisut. Seuraavaksi opimme kuinka niitä muutetaan.

Valtalausekkeiden muunnosten päätyypit

Teholausekkeiden avulla voit suorittaa mitä tahansa lausekkeiden perusidentiteettimuunnoksia. Voit esimerkiksi laajentaa sulkeita, korvata numeerisia lausekkeita niiden arvoilla, lisätä vastaavia termejä ja niin edelleen. Luonnollisesti tässä tapauksessa on noudatettava hyväksyttyä menettelyä toimien suorittamiseksi. Annetaan esimerkkejä.

Esimerkki.

Laske potenssilausekkeen arvo 2 3 ·(4 2 −12) .

Ratkaisu.

Toimintojen järjestyksen mukaan suoritamme ensin suluissa olevat toiminnot. Siellä ensin korvataan 4 2:n potenssi sen arvolla 16 (katso tarvittaessa) ja toiseksi lasketaan ero 16−12=4 . Meillä on 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Tuloksena olevassa lausekkeessa korvataan 2 3:n potenssi sen arvolla 8, minkä jälkeen lasketaan tulo 8·4=32 . Tämä on haluttu arvo.

Niin, 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Vastaus:

2 3 (4 2 -12) = 32 .

Esimerkki.

Yksinkertaista voimailmaisuja 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Ratkaisu.

Ilmeisesti tämä lauseke sisältää samanlaisia ​​termejä 3 · a 4 · b − 7 ja 2 · a 4 · b − 7 , ja voimme pelkistää ne: .

Vastaus:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Esimerkki.

Ilmaise ilmaisu voimilla tuotteena.

Ratkaisu.

Tehtävän hoitaminen mahdollistaa luvun 9 esittämisen 3 2:n potenssina ja sen jälkeen pienennetyn kertolaskukaavan käytön, neliöiden eron:

Vastaus:

Teholausekkeisiin sisältyy myös useita identtisiä muunnoksia. Seuraavaksi analysoimme niitä.

Työskentely kanta- ja eksponentin kanssa

On asteita, joiden perustana ja/tai indikaattorina ei ole vain numeroita tai muuttujia, vaan joitain lausekkeita. Kirjoitetaan esimerkiksi (2+0.3 7) 5−3.7 ja (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Tällaisten lausekkeiden kanssa työskennellessä on mahdollista korvata sekä asteen pohjassa oleva lauseke että indikaattorin lauseke identtisellä yhtäläisellä lausekkeella sen muuttujien DPV:ssä. Toisin sanoen meille tunnettujen sääntöjen mukaan voimme erikseen muuntaa tutkinnon perusteen ja erikseen - indikaattorin. On selvää, että tämän muunnoksen tuloksena saadaan lauseke, joka on identtinen alkuperäisen kanssa.

Tällaiset muunnokset antavat meille mahdollisuuden yksinkertaistaa ilmaisuja voimalla tai saavuttaa muita tarvitsemiamme tavoitteita. Esimerkiksi edellä mainitussa potenssilausekkeessa (2+0.3 7) 5−3.7 voidaan suorittaa operaatioita kanta- ja eksponenttiluvuilla, jolloin päästään potenssiin 4.1 1.3. Ja kun sulut on avattu ja samat termit tuotu asteen kantaan (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) saadaan yksinkertaisemman muodon a 2·(x+1) potenssilauseke ) .

Virran ominaisuuksien käyttäminen

Yksi tärkeimmistä työkaluista lausekkeiden muuntamiseen potenssien kanssa ovat yhtäläisyydet, jotka heijastavat . Muistakaamme tärkeimmät. Kaikille positiivisille luvuille a ja b sekä mielivaltaisille reaaliluvuille r ja s seuraavat tehoominaisuudet pätevät:

• a r a s = a r+s;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a rbr;
• (a:b) r =a r:br;
• (a r) s = a r s .

Huomaa, että luonnollisten, kokonaislukujen ja positiivisten eksponentien kohdalla lukujen a ja b rajoitukset eivät välttämättä ole niin tiukkoja. Esimerkiksi luonnollisille luvuille m ja n yhtälö a m a n =a m+n pätee paitsi positiivisille a , myös negatiivisille, ja a=0 .

Koulussa päähuomio voimailmaisujen muuntamisessa keskittyy juuri kykyyn valita sopiva ominaisuus ja soveltaa sitä oikein. Tässä tapauksessa asteiden kantaluvut ovat yleensä positiivisia, jolloin voit käyttää asteiden ominaisuuksia ilman rajoituksia. Sama pätee astekantaisia ​​muuttujia sisältävien lausekkeiden muuntamiseen - muuttujien hyväksyttävien arvojen vaihteluväli on yleensä sellainen, että kannat ottavat siitä vain positiivisia arvoja, mikä mahdollistaa ominaisuuksien vapaan käytön. asteista. Yleensä on jatkuvasti kysyttävä, onko se mahdollista Tämä tapaus Käytä mitä tahansa asteen ominaisuutta, koska ominaisuuksien epätarkka käyttö voi johtaa ODZ:n kaventumiseen ja muihin ongelmiin. Näitä kohtia käsitellään yksityiskohtaisesti ja esimerkein artikkelissa lausekkeiden muunnos asteiden ominaisuuksilla. Tässä rajoitamme vain muutamaan yksinkertaiseen esimerkkiin.

Esimerkki.

Ilmaise lauseke a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 potenssina, jonka kanta on a .

Ratkaisu.

Ensin muunnamme toisen tekijän (a 2) −3 ominaisuudella nostaa potenssi potenssiksi: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Tässä tapauksessa alkuperäinen potenssilauseke on muotoa a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Ilmeisesti jää käyttää kertomisen ja valtuuksien jaon ominaisuuksia samalla pohjalla, meillä on
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5-6:a-5,5 =a-3,5:a-5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Vastaus:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Tehoominaisuuksia käytetään muunnettaessa potenssilausekkeita sekä vasemmalta oikealle että oikealta vasemmalle.

Esimerkki.

Etsi teholausekkeen arvo.

Ratkaisu.

Oikealta vasemmalle sovellettu yhtälö (a·b) r =a r ·b r mahdollistaa siirtymisen alkuperäisestä lausekkeesta muodon tuloon ja edelleen. Ja kun tehot kerrotaan samalla pohjalla, indikaattorit laskevat yhteen: .

Alkuperäisen lausekkeen muunnos oli mahdollista suorittaa toisella tavalla:

Vastaus:

.

Esimerkki.

Kun potenssilauseke a 1,5 −a 0,5 −6 , syötä uusi muuttuja t=a 0,5 .

Ratkaisu.

Aste a 1,5 voidaan esittää muodossa 0,5 3 ja edelleen asteen ominaisuuden perusteella asteen (a r) s =a r s oikealta vasemmalle sovellettaessa muuntaa se muotoon (a 0,5) 3 . Tällä tavalla, a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Nyt on helppo ottaa käyttöön uusi muuttuja t=a 0.5 , saadaan t 3 −t−6 .

Vastaus:

t 3 −t−6 .

Muunnetaan potenssit sisältävät murtoluvut

Potenssilausekkeet voivat sisältää murtolukuja potenssien kanssa tai edustaa sellaisia ​​murtolukuja. Mikä tahansa perusmurtomuunnos, joka on luontainen minkä tahansa tyyppisille jakeille, on täysin sovellettavissa tällaisiin murtolukuihin. Toisin sanoen asteita sisältävät murtoluvut voidaan pienentää, pienentää uuteen nimittäjään, työskennellä erikseen osoittajansa kanssa ja erikseen nimittäjän kanssa jne. Havainnollistaaksesi yllä olevia sanoja, harkitse useiden esimerkkien ratkaisuja.

Esimerkki.

Yksinkertaista Power Expression .

Ratkaisu.

Tämä teholauseke on murto-osa. Työskentelemme sen osoittajan ja nimittäjän kanssa. Avaamme osoittajassa sulut ja yksinkertaistamme sen jälkeen saatua lauseketta potenssien ominaisuuksilla, ja nimittäjässä esitämme vastaavat termit:

Ja muutamme myös nimittäjän etumerkkiä asettamalla miinuksen murtoluvun eteen: .

Vastaus:

.

Potensseja sisältävien murtolukujen pelkistäminen uuteen nimittäjään suoritetaan samalla tavalla kuin rationaaliset murtoluvut uuteen nimittäjään. Samalla löydetään myös lisäkerroin ja murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan sillä. Tätä toimintoa suoritettaessa on syytä muistaa, että vähentäminen uuteen nimittäjään voi johtaa DPV:n kaventumiseen. Tämän estämiseksi on välttämätöntä, että lisätekijä ei katoa millekään muuttujien arvolle alkuperäisen lausekkeen ODZ-muuttujista.

Esimerkki.

Tuo murtoluvut uuteen nimittäjään: a) nimittäjään a, b) nimittäjään.

Ratkaisu.

a) Tässä tapauksessa on melko helppoa selvittää, mikä lisätekijä auttaa saavuttamaan halutun tuloksen. Tämä on kerroin a 0,3, koska a 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Huomaa, että muuttujan a (tämä on kaikkien positiivisten reaalilukujen joukko) hyväksyttävien arvojen alueella aste a 0,3 ei katoa, joten meillä on oikeus kertoa annetun murtoluvun osoittaja ja nimittäjä tällä lisätekijällä:

b) Tarkastellessamme tarkemmin nimittäjä, huomaamme sen

ja kertomalla tämä lauseke antaa kuutioiden summan ja Eli . Ja tämä on uusi nimittäjä, johon meidän on tuotava alkuperäinen murtoluku.

Joten löysimme lisätekijän. Lauseke ei katoa muuttujien x ja y hyväksyttävien arvojen alueelle, joten voimme kertoa murtoluvun osoittajan ja nimittäjän sillä:

Vastaus:

a) , b) .

Myöskään asteita sisältävien murtolukujen pelkistymisessä ei ole mitään uutta: osoittaja ja nimittäjä esitetään tiettynä tekijämääränä ja osoittajan ja nimittäjän samat tekijät pienennetään.

Esimerkki.

Pienennä murtolukua: a) , b).

Ratkaisu.

a) Ensinnäkin osoittaja ja nimittäjä voidaan pienentää luvuilla 30 ja 45, mikä on 15. Voit myös luonnollisesti pienentää x 0,5 +1 ja . Tässä on mitä meillä on:

b) Tässä tapauksessa samat tekijät osoittajassa ja nimittäjässä eivät näy heti. Niiden saamiseksi sinun on suoritettava alustavia muunnoksia. Tässä tapauksessa ne koostuvat nimittäjän hajottamisesta tekijöiksi neliöiden erotuskaavan mukaan:

Vastaus:

a)

b) .

Murtolukujen pelkistämistä uuteen nimittäjään ja murtolukujen pienentämistä käytetään pääasiassa murto-operaatioiden suorittamiseen. Toiminnot suoritetaan tunnettujen sääntöjen mukaan. Murtolukuja lisättäessä (vähenntäessä) ne pienennetään yhteiseksi nimittäjäksi, jonka jälkeen osoittajat lisätään (vähennetään), ja nimittäjä pysyy samana. Tuloksena on murtoluku, jonka osoittaja on osoittajien tulo ja nimittäjä nimittäjien tulo. Jako murtoluvulla on kertolasku sen käänteisluvulla.

Esimerkki.

Seuraa vaiheita .

Ratkaisu.

Ensin vähennämme murtoluvut suluissa. Tätä varten tuomme ne yhteiselle nimittäjälle, joka on , vähennä sitten osoittajat:

Nyt kerrotaan murtoluvut:

On selvää, että vähennys teholla x 1/2 on mahdollista, minkä jälkeen meillä on .

Voit myös yksinkertaistaa teholauseketta nimittäjässä käyttämällä neliöiden erotuskaavaa: .

Vastaus:

Esimerkki.

Yksinkertaista Power Expression .

Ratkaisu.

Ilmeisesti tätä murto-osaa voidaan pienentää (x 2,7 +1) 2:lla, tämä antaa murto-osan . On selvää, että x:n potenssien kanssa on tehtävä jotain muuta. Tätä varten muunnamme tuloksena olevan jakeen tuotteeksi. Tämä antaa meille mahdollisuuden käyttää voimanjakoominaisuutta samoilla perusteilla: . Ja prosessin lopussa siirrymme viimeisestä tuotteesta fraktioon.

Vastaus:

.

Ja lisäämme, että on mahdollista ja monissa tapauksissa toivottavaa siirtää negatiivisen eksponentin omaavat tekijät osoittajasta nimittäjään tai nimittäjästä osoittajaan vaihtamalla eksponentin etumerkkiä. Tällaiset muutokset usein yksinkertaistavat jatkotoimenpiteitä. Esimerkiksi teholauseke voidaan korvata .

Lausekkeiden muuntaminen juurilla ja voimavaroilla

Usein lausekkeissa, joissa vaaditaan joitain muunnoksia, samoin kuin asteet murto-osien eksponenteilla, on myös juuria. Tällaisen lausekkeen muuttamiseksi haluttuun muotoon riittää useimmissa tapauksissa meneminen vain juuriin tai vain tehoihin. Mutta koska asteiden kanssa on helpompi työskennellä, ne yleensä siirtyvät juurista asteisiin. On kuitenkin suositeltavaa suorittaa tällainen siirtyminen, kun alkuperäisen lausekkeen muuttujien ODZ mahdollistaa juurten korvaamisen asteilla ilman tarvetta käyttää moduulia tai jakaa ODZ useisiin aikaväleihin (keskustelimme tästä yksityiskohtaisesti artikkeli, siirtyminen juurista potenssiin ja päinvastoin. Tutustuttuaan rationaalisen eksponentin asteeseen otetaan käyttöön irrationaalisen indikaattorin aste, jonka avulla voidaan puhua asteesta mielivaltaisella reaaliindikaattorilla. Tässä vaiheessa koulu alkaa opiskella eksponentti funktio, joka on analyyttisesti annettu asteella, jonka perusteella on luku, ja indikaattorissa - muuttuja. Kohtaamme siis eksponentiaalisia lausekkeita, jotka sisältävät lukuja asteen kantaosassa ja eksponenttilausekkeita - muuttujalausekkeita, ja luonnollisesti syntyy tarve suorittaa muunnoksia tällaisista lausekkeista.

On sanottava, että osoitetun tyyppisten lausekkeiden muunnos on yleensä suoritettava ratkaistaessa eksponentiaaliyhtälöt ja eksponentiaaliset epätasa-arvot, ja nämä muunnokset ovat melko yksinkertaisia. Useimmissa tapauksissa ne perustuvat tutkinnon ominaisuuksiin ja niillä on lähinnä tarkoitus ottaa käyttöön uusi muuttuja tulevaisuudessa. Yhtälön avulla voimme osoittaa ne 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Ensin eksponentit, joiden eksponenteista löytyy jonkin muuttujan (tai muuttujalausekkeen) ja luvun summa, korvataan tuloilla. Tämä koskee vasemmalla puolella olevan lausekkeen ensimmäistä ja viimeistä termiä:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Seuraavaksi molemmat yhtälön osat jaetaan lausekkeella 7 2 x , joka ottaa vain positiivisia arvoja muuttujan x ODZ:stä alkuperäiselle yhtälölle (tämä on standarditekniikka tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseen, emme ole puhumme siitä nyt, joten keskity seuraaviin ilmaisujen muunnoksiin, joilla on voimavarat ):

Nyt potenssien murtoluvut peruutetaan, mikä antaa .

Lopuksi potenssien suhde samoilla eksponenteilla korvataan suhteiden potenssilla, mikä johtaa yhtälöön , joka vastaa . Tehdyt muunnokset mahdollistavat uuden muuttujan käyttöönoton, joka pelkistää alkuperäisen eksponentiaaliyhtälön ratkaisun toisen asteen yhtälön ratkaisuksi

I. V. Boikov, L. D. Romanova Kokoelma tenttiin valmistautuvia tehtäviä. Osa 1. Penza 2003.

Osa 5 LAUSUKSET JA YHTÄLÖT

Osiossa opit:

ü o ilmaukset ja niiden yksinkertaistukset;

ü mitkä ovat tasa-arvojen ominaisuudet;

ü kuinka ratkaista yhtälöitä yhtäläisten ominaisuuksien perusteella;

ü minkä tyyppiset ongelmat ratkaistaan ​​yhtälöiden avulla; mitkä ovat kohtisuorat viivat ja kuinka ne rakennetaan;

ü mitä linjoja kutsutaan rinnakkaiksi ja miten ne rakennetaan;

ü mikä on koordinaattitaso;

ü kuinka määrittää tason pisteen koordinaatit;

ü mikä on suureiden välinen riippuvuusgraafi ja kuinka se rakennetaan;

ü kuinka soveltaa opittua materiaalia käytännössä

§ 30. MÄÄRÄYKSET JA NIIDEN YKSINKERTAISTAMINEN

Tiedät jo mitä kirjaimelliset lausekkeet ovat ja tiedät kuinka yksinkertaistaa niitä käyttämällä yhteen- ja kertolaskulakeja. Esimerkiksi 2a ∙ (-4 b) = -8 ab . Tuloksena olevassa lausekkeessa lukua -8 kutsutaan lausekkeen kertoimeksi.

Tekee ilmaisun CD kerroin? Niin. Se on yhtä suuri kuin 1, koska cd - 1∙ cd.

Muista, että suluissa varustetun lausekkeen muuntamista lausekkeeksi ilman sulkeita kutsutaan sulujen laajentamiseksi. Esimerkki: 5(2x + 4) = 10x + 20.

Käänteinen toiminta tässä esimerkissä on laittaa yhteinen tekijä pois suluista.

Termejä, jotka sisältävät samat kirjaimelliset tekijät, kutsutaan samanlaisiksi termeiksi. Poistamalla yhteinen tekijä suluista saadaan samanlaiset termit:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6v )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y-5 =

B x + 7v - 5.

Kiinnikkeen laajennussäännöt

1. Jos suluissa on "+" -merkki, suluissa olevien termien merkit säilyvät suluissa avattaessa;

2. Jos suluissa on "-"-merkki, suluissa olevien termien merkit käännetään, kun sulut avataan.

Tehtävä 1 . Yksinkertaista lauseke:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 v -(-8 + 7 v ).

Ratkaisut. 1. Ennen sulkuja on "+"-merkki, joten sulkuja avattaessa kaikkien termien merkit säilyvät:

4x + (-7x + 5) \u003d 4x - 7x + 5 \u003d -3x + 5.

2. Sulujen edessä on "-"-merkki, joten sulkujen avaamisen aikana: kaikkien termien merkit ovat käänteisiä:

15 - (- 8 + 7 v) \u003d 15 v + 8 - 7 v \u003d 8 v +8.

Käytä hakasulkeiden avaamiseen kertolaskuominaisuutta: a( b + c) = ab + ac. Jos a > 0, niin termien etumerkit b ja älä muuta. Jos< 0, то знаки слагаемых b ja alkaen ovat käänteisiä.

Tehtävä 2. Yksinkertaista lauseke:

1) 2(6y-8) + 7v;

2) -5 (2-5x) + 12.

Ratkaisut. 1. Hakasulkujen e edessä oleva kerroin 2 on positiivinen, joten sulkuja avattaessa säilytetään kaikkien termien merkit: 2(6 y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y = 19 y -16.

2. Hakasulkeiden e edessä oleva kerroin -5 on negatiivinen, joten sulkuja avattaessa muutamme kaikkien termien merkit vastakkaisiksi:

5 (2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Lue lisää

1. Sana "summa" tulee latinan kielestä summa , joka tarkoittaa "yhteensä", "yhteensä".

2. Sana "plus" tulee latinasta plus, joka tarkoittaa "enemmän", ja sana "miinus" - latinasta miinus, mikä tarkoittaa "vähemmän". Merkkejä "+" ja "-" käytetään osoittamaan yhteen- ja vähennysoperaatioita. Nämä merkit esitteli tšekkiläinen tiedemies J. Vidman vuonna 1489 kirjassaan "Nopea ja miellyttävä tili kaikille kauppiaille"(Kuva 138).

Riisi. 138

MUISTA PÄÄASIAT

1. Mitä termejä kutsutaan samanlaisiksi? Miten samankaltaiset termit rakennetaan?

2. Kuinka avaat hakasulkeet, joita edeltää "+"-merkki?

3. Kuinka avaat hakasulkeet, joita edeltää "-"-merkki?

4. Kuinka avaat sulut, joita edeltää positiivinen tekijä?

5. Kuinka avaat sulut, joita edeltää negatiivinen tekijä?

1374". Nimeä lausekkeen kerroin:

1) 12 a; 3) -5,6 xy;

2) 4 6; 4)-s.

1375". Nimeä termit, jotka eroavat vain kertoimella:

1) 10a + 76-26 + a; 3) 5n + 5m - 4n + 4;

2) bc -4d - bc + 4d; 4) 5x + 4y-x + y.

Millä nimellä näitä termejä kutsutaan?

1376". Onko lausekkeessa samanlaisia ​​termejä:

1) 11a + 10a; 3) 6n + 15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4) 12 m + m; 6) 8k +10k - n?

1377". Onko tarpeen muuttaa suluissa olevien termien merkkejä avaamalla sulut lausekkeessa:

1) 4 + (a + 3b); 2)-c+(5-d); 3) 16-(5m-8n)?

1378°. Yksinkertaista lauseke ja alleviivaa kerroin:

1379°. Yksinkertaista lauseke ja alleviivaa kerroin:

1380°. Vähennä samankaltaisia ​​termejä:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10-4 d - 12 + 4d;

2) 4b - 5b + 4 + 5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7ang="FI-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m - 4 n - 3 m.

1381°. Vähennä samankaltaisia ​​termejä:

1) 6a-5a + 8a-7a; 3) 5s + 4-2s-3s;

2)9 b +12-8-46; 4) -7n + 8m - 13n - 3m.

1382°. Ota yhteinen tekijä pois suluista:

1) 1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8 m; 5) -5p + 2,5k -0,5t;

2) 0,5 s + 5 d; 4) 1,2 n - 1,8 m; 6) -8p - 10k - 6t.

1383°. Ota yhteinen tekijä pois suluista:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 s + 1 4 d; A) 3 p - 0,9 t + 2,7 t.

1384°. Avaa hakasulkeet ja pienennä vastaavia termejä;

1) 5 + (4a-4); 4) -(5 c - d) + (4 d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7 (-5x + y) - (-2v + 4x) + (x - 3v).

1385°. Avaa sulut ja pienennä samankaltaisia ​​termejä:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5 d) - (-d + 5s);

2) -(46-10) + (4-56); 4) - (5 n + m) + (-4 n + 8 m) - (2 m - 5 n).

1386°. Laajenna sulut ja löydä ilmaisun merkitys:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Laajenna sulut ja löydä ilmaisun merkitys:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Avaa sulkumerkki:

1) 0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 d ); 5) 3 ∙ (-1,5 p + k - 0,2 t);

3) 1,6 ∙ (2n + m); 6) (4,2 p - 3,5 k -6 t) ∙ (-2a).

1389°. Avaa sulkumerkki:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y);

2) -2' (1,2 n - m); 4) 6- (-p + 0,3 k - 1,2 t).

1390. Yksinkertaista lauseke:

1391. Yksinkertaista lauseke:

1392. Vähennä samankaltaisia ​​termejä:

1393. Vähennä samankaltaisia ​​termejä:

1394. Yksinkertaista lauseke:

1) 2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. Yksinkertaista lauseke:

1396. Etsi ilmaisun merkitys;

1) 4-(0,2 a-3) - (5,8 a-16), jos a \u003d -5;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), jos = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. Etsi lausekkeen arvo:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), jos x = -0,25;

1398*. Etsi ratkaisusta virhe:

1) 5- (a-2,4) -7 ∙ (-a + 1,2) \u003d 5a - 12-7a + 8,4 \u003d -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) \u003d -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a \u003d -5,5 a + 8,26.

1399*. Laajenna sulut ja yksinkertaista lauseketta:

1) 2ab - 3 (6 (4a - 1) - 6 (6 - 10a)) + 76;

1400*. Järjestä sulut saadaksesi oikean tasa-arvon:

1) a-6-a + 6 \u003d 2a; 2) a -2 b -2 a + b \u003d 3 a -3 b.

1401*. Todista, että millä tahansa luvulla a ja b jos a > b , niin seuraava yhtäläisyys pätee:

1) (a + b) + (a-b) \u003d 2a; 2) (a + b) - (a - b) \u003d 2 b.

Onko tämä yhtäläisyys oikein, jos: a) a< b; b) a = 6?

1402*. Osoita, että minkä tahansa luonnollisen luvun a edeltävien ja seuraavien lukujen aritmeettinen keskiarvo on yhtä suuri kuin a.

HAKEMINEN KÄYTÄNNÖSSÄ

1403. Kolmen hengen hedelmäjälkiruoan valmistamiseen tarvitset: 2 omenaa, 1 appelsiini, 2 banaania ja 1 kiivi. Kuinka tehdä kirjaimellinen ilmaus määrittääksesi vieraiden jälkiruoan valmistamiseen tarvittavan hedelmämäärän? Auta Marinia laskemaan, kuinka monta hedelmää hänen on ostettava, jos hän tulee käymään: 1) 5 ystävää; 2) 8 ystävää.

1404. Tee kirjaimellinen lauseke määrittääksesi matematiikan kotitehtävien suorittamiseen tarvittavan ajan, jos:

1) minuutti käytettiin ongelmien ratkaisemiseen; 2) lausekkeiden yksinkertaistaminen on 2 kertaa enemmän kuin ongelmien ratkaisemisessa. Kuinka paljon aikaa Vasilko teki läksynsä, jos hän käytti 15 minuuttia ongelmien ratkaisemiseen?

1405. Lounas koulun ruokalassa sisältää salaattia, borssia, kaalikääryleitä ja hilloketta. Salaatin hinta on 20%, borssi - 30%, kaalirullat - 45%, kompotti - 5% koko aterian kokonaiskustannuksista. Kirjoita lauseke löytääksesi koulun kahvilan lounaan hinta. Kuinka paljon lounas maksaa, jos salaatin hinta on 2 UAH?

TOISTAMISTEHTÄVÄT

1406. Ratkaise yhtälö:

1407. Tanya käytti jäätelöäkaikki käytettävissä oleva raha ja makeiset -loput. Kuinka paljon Tanyalla on rahaa?

jos makeiset maksavat 12 UAH?

Algebrassa tarkasteltavien eri lausekkeiden joukossa monomiaalien summat ovat tärkeässä asemassa. Tässä on esimerkkejä tällaisista ilmaisuista:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7v^2 + 6x + 5v - 2 \)

Monomien summaa kutsutaan polynomiksi. Polynomin termejä kutsutaan polynomin jäseniksi. Mononomeja kutsutaan myös polynomeiksi, kun monomia pidetään polynomina, joka koostuu yhdestä jäsenestä.

Esimerkiksi polynomi
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
voidaan yksinkertaistaa.

Esitämme kaikki termit vakiomuodon monomialeina:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Annamme samanlaiset termit tuloksena olevaan polynomiin:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Tuloksena on polynomi, jonka kaikki jäsenet ovat vakiomuotoisia monomeja, eikä niiden joukossa ole vastaavia. Tällaisia ​​polynomeja kutsutaan vakiomuotoiset polynomit.

Per polynomin aste vakiolomakkeella sen jäsenten valtuuksista suurin. Joten binomiaalilla \(12a^2b - 7b \) on kolmas aste ja trinomilla \(2b^2 -7b + 6 \) toinen aste.

Yleensä yhden muuttujan sisältävien standardimuotoisten polynomien jäsenet on järjestetty sen eksponentin mukaan laskevaan järjestykseen. Esimerkiksi:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Useiden polynomien summa voidaan muuntaa (yksinkertaistaa) vakiomuotoiseksi polynomiksi.

Joskus polynomin jäsenet on jaettava ryhmiin siten, että jokainen ryhmä merkitään sulkeisiin. Koska sulut ovat sulkeiden vastakohta, se on helppo muotoilla sulkujen avaussäännöt:

Jos +-merkki on ennen sulkeita, suluissa olevat termit kirjoitetaan samoilla merkeillä.

Jos "-"-merkki on asetettu sulujen eteen, suluissa olevat termit kirjoitetaan vastakkaisilla merkeillä.

Monomin ja polynomin tulon muunnos (yksinkertaistaminen).

Kertolaskun distributiivista ominaisuutta käyttämällä voidaan muuntaa (yksinkertaistaa) monomin ja polynomin tulo polynomiksi. Esimerkiksi:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Monomin ja polynomin tulo on identtisesti yhtä suuri kuin tämän monomin ja polynomin kunkin ehdon tulojen summa.

Tämä tulos muotoillaan yleensä sääntönä.

Jotta monomi voidaan kertoa polynomilla, tämä monomi on kerrottava kullakin polynomin ehdolla.

Olemme toistuvasti käyttäneet tätä sääntöä summalla kertomiseen.

Polynomien tulo. Kahden polynomin tulon muunnos (yksinkertaistaminen).

Yleensä kahden polynomin tulo on identtisesti yhtä suuri kuin yhden polynomin kunkin termin ja toisen polynomin kunkin termin tulon summa.

Käytä yleensä seuraavaa sääntöä.

Jos haluat kertoa polynomin polynomilla, sinun on kerrottava yhden polynomin kukin termi toisen termillä ja laskettava tuloksena saadut tulot.

Lyhennetyt kertolaskukaavat. Summa-, ero- ja erotusneliöt

Joitakin algebrallisten muunnosten lausekkeita on käsiteltävä useammin kuin toisia. Ehkä yleisimmät lausekkeet ovat \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ja \(a^2 - b^2 \), eli summan neliö, eron neliö ja neliöero. Huomasit, että ilmoitettujen lausekkeiden nimet näyttävät olevan epätäydellisiä, joten esimerkiksi \((a + b)^2 \) ei tietenkään ole vain summan neliö, vaan summan neliö a ja b. A:n ja b:n summan neliö ei kuitenkaan ole niin yleinen, sillä se sisältää yleensä kirjainten a ja b sijasta erilaisia, joskus varsin monimutkaisia ​​lausekkeita.

Lausekkeet \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) on helppo muuntaa (yksinkertaistaa) vakiomuotoisiksi polynomeiksi, itse asiassa olet jo kohdannut tällaisen tehtävän kertoessasi polynomeja :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Tuloksena saadut identiteetit ovat hyödyllisiä muistaa ja soveltaa ilman välilaskutoimituksia. Lyhyet sanamuodot auttavat tässä.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - summan neliö on yhtä suuri kuin neliöiden ja kaksoistulon summa.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - erotuksen neliö on neliöiden summa ilman tulon kaksinkertaistamista.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - neliöiden erotus on yhtä suuri kuin erotuksen ja summan tulo.

Nämä kolme identiteettiä sallivat muunnoksissa korvata vasemman osansa oikeilla ja päinvastoin - oikeat osat vasemmalla. Vaikeinta tässä tapauksessa on nähdä vastaavat lausekkeet ja ymmärtää, mitä muuttujat a ja b niissä korvataan. Katsotaanpa muutamia esimerkkejä lyhennettyjen kertolaskujen käytöstä.

Jotkut algebralliset esimerkit voivat kauhistuttaa koululaisia. Pitkät ilmaisut eivät ole vain pelottavia, vaan myös erittäin vaikeita laskea. Yrittää heti ymmärtää, mitä seuraa ja mitä seuraa, jotta ei hämmentyisi pitkään. Tästä syystä matemaatikot yrittävät aina yksinkertaistaa "kauheaa" tehtävää mahdollisimman paljon ja vasta sitten ryhtyä ratkaisemaan sitä. Kummallista kyllä, tällainen temppu nopeuttaa prosessia huomattavasti.

Yksinkertaistaminen on yksi algebran peruskohdista. Jos yksinkertaisissa tehtävissä on edelleen mahdollista tehdä ilman sitä, niin vaikeammat laskettavat esimerkit voivat olla "liian kovia". Tässä nämä taidot ovat hyödyllisiä! Lisäksi ei vaadita monimutkaista matemaattista tietoa: riittää, kun muistat ja opit soveltamaan muutamia perustekniikoita ja kaavoja.

Laskelmien monimutkaisuudesta riippumatta se on tärkeää mitä tahansa lauseketta ratkaistaessa seuraa toimintojen järjestystä numeroiden kanssa:

1. suluissa;
2. eksponentio;
3. kertolasku;
4. jako;
5. lisäys;
6. vähennyslasku.

Kaksi viimeistä pistettä voidaan turvallisesti vaihtaa, eikä tämä vaikuta tulokseen millään tavalla. Mutta kahden vierekkäisen luvun lisääminen, kun yhden vieressä on kertomerkki, on täysin mahdotonta! Vastaus, jos sellainen on, on väärä. Siksi sinun on muistettava järjestys.

Sellaisten käyttö

Tällaisia ​​elementtejä ovat numerot, joiden muuttuja on samaa kertaluokkaa tai samaa astetta. On myös niin sanottuja vapaita jäseniä, joiden vieressä ei ole tuntemattoman kirjainmerkintää.

Tärkeintä on, että sulkujen puuttuessa Voit yksinkertaistaa lauseketta lisäämällä tai vähentämällä tykkää.

Muutama havainnollistava esimerkki:

• 8x 2 ja 3x 2 - molemmilla luvuilla on sama toisen asteen muuttuja, joten ne ovat samankaltaisia ​​ja lisättynä ne yksinkertaistuvat arvoon (8+3)x 2 =11x 2, kun taas vähentämällä tulee (8-3)x 2 = 5 x 2;
• 4x 3 ja 6x - ja tässä "x":llä on eri aste;
• 2y 7 ja 33x 7 - sisältävät erilaisia ​​muuttujia, joten, kuten edellisessä tapauksessa, ne eivät kuulu samanlaisiin muuttujiin.

Numeron laskeminen

Tämä pieni matemaattinen temppu, jos opit käyttämään sitä oikein, auttaa sinua selviytymään hankalasta ongelmasta useammin kuin kerran tulevaisuudessa. Ja on helppo ymmärtää, kuinka "järjestelmä" toimii: hajoaminen on useiden elementtien tulo, joiden laskeminen antaa alkuperäisen arvon. Siten 20 voidaan esittää muodossa 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 tai jollain muulla tavalla.

muistiinpanolla: kertoimet ovat aina samat kuin jakajat. Joten sinun on etsittävä toimiva "pari" laajentaaksesi lukujen joukosta, joilla alkuperäinen on jaollinen ilman jäännöstä.

Voit suorittaa tällaisen toiminnon sekä vapailla jäsenillä että muuttujaan liitetyillä numeroilla. Tärkeintä ei ole menettää jälkimmäistä laskelmien aikana - jopa hajoamisen jälkeen tuntematon ei voi ottaa ja "mennä minnekään". Se jää yhteen tekijöistä:

• 15x = 3(5x);
• 60v 2 \u003d (15v 2) 4.

Alkuluvut, jotka voidaan jakaa vain itsestään tai 1 ei kerro - siinä ei ole järkeä..

Yksinkertaistamisen perusmenetelmät

Ensimmäinen asia, joka pistää silmään:

• kiinnikkeiden läsnäolo;
• fraktiot;
• juuret.

Algebralliset esimerkit koulun opetussuunnitelmassa kootaan usein olettaen, että ne voidaan kauniisti yksinkertaistaa.

Kiinnityslaskelmat

Kiinnitä huomiota kiinnikkeiden edessä olevaan kylttiin! Kerto- tai jakolaskua sovelletaan jokaiseen sisällä olevaan elementtiin, ja miinus - muuttaa olemassa olevat merkit "+" tai "-" päinvastaiseksi.

Sulut lasketaan sääntöjen mukaan tai lyhennettyjen kertolaskujen kaavojen mukaan, minkä jälkeen annetaan samanlaiset.

Fraktion vähentäminen

Pienennä fraktioita on myös helppoa. He itse "pakenevat mielellään" silloin tällöin, tällaisten jäsenten mukaan kannattaa toimia. Mutta voit yksinkertaistaa esimerkkiä jo ennen tätä: kiinnitä huomiota osoittajaan ja nimittäjään. Ne sisältävät usein eksplisiittisiä tai piilotettuja elementtejä, joita voidaan vähentää keskenään. Totta, jos ensimmäisessä tapauksessa sinun on vain poistettava tarpeeton, toisessa joudut ajattelemaan ja tuomaan osan lausekkeesta muotoon yksinkertaistamiseksi. Käytetyt menetelmät:

• osoittajan ja nimittäjän suurimman yhteisen jakajan haku ja sulkeminen;
• jakamalla kunkin ylimmän elementin nimittäjällä.

Kun lauseke tai osa siitä on juuren alla, ensisijainen yksinkertaistamisongelma on melkein sama kuin murtolukujen tapauksessa. On tarpeen etsiä tapoja päästä eroon siitä kokonaan tai, jos tämä ei ole mahdollista, minimoida laskelmia häiritsevä merkki. Esimerkiksi huomaamattomaan √(3) tai √(7).

Varma tapa yksinkertaistaa radikaalia ilmaisua on yrittää ottaa se huomioon, joista osa on merkin ulkopuolella. Havainnollistava esimerkki: √(90)=√(9×10) = √(9)×√(10)=3√(10).

Muita pieniä temppuja ja vivahteita:

• tämä yksinkertaistamisoperaatio voidaan suorittaa murtoluvuilla poistamalla se merkistä sekä kokonaisuutena että erikseen osoittajana tai nimittäjänä;
• on mahdotonta hajottaa ja ottaa pois osan summasta tai erosta juuren yli;
• Kun työskentelet muuttujien kanssa, muista ottaa huomioon sen aste, sen on oltava yhtä suuri tai monikertainen juurilla, jotta esitys mahdollistaisi: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3)= √(x 2 x x)=x√(x);
• joskus radikaalimuuttujasta saa päästä eroon nostamalla se murto-osaan: √ (y 3)=y 3/2.

Tehoilmaisun yksinkertaistaminen

Jos yksinkertaisissa miinus- tai pluslaskelmissa esimerkit yksinkertaistetaan tuomalla samanlaisia, niin entä kertomalla tai jakamalla muuttujia eri potenssien kanssa? Niitä voidaan helposti yksinkertaistaa muistamalla kaksi pääkohtaa:

1. Jos muuttujien välillä on kertomerkki, eksponentit lisätään.
2. Kun ne jaetaan keskenään, sama nimittäjä vähennetään osoittajan astetta.

Ainoa ehto tällaiselle yksinkertaistamiselle on, että molemmilla termeillä on sama perusta. Esimerkkejä selvyyden vuoksi:

• 5x 2 × 4x 7 + (y 13 / y 11) \u003d (5 × 4) x 2+7 + y 13- 11 \u003d 20x 9 + y 2;
• 2z 3 + z × z 2 -(3 × z 8 /z 5) = 2z 3 +z 1 + 2 -(3 × z 8-5) = 2z 3 + z 3 - 3z 3 = 3z 3 - 3z 3 = 0.

Huomaa, että operaatiot, joissa on numeeriset arvot muuttujien edessä, tapahtuvat tavallisten matemaattisten sääntöjen mukaisesti. Ja jos katsot tarkasti, käy selväksi, että ilmaisun "toimivat" voimaelementit samalla tavalla:

• jäsenen nostaminen potenssiin tarkoittaa sen kertomista itsestään tietyn määrän kertoja, eli x 2 \u003d x × x;
• jako on samanlainen: jos laajennat osoittajan ja nimittäjän astetta, osa muuttujista pienenee, kun taas loput "kerätään", mikä vastaa vähennyslaskua.

Kuten missä tahansa liiketoiminnassa, algebrallisia lausekkeita yksinkertaistettaessa tarvitaan paitsi perusasioiden tuntemista, myös harjoittelua. Muutaman oppitunnin jälkeen monimutkaisilta tuntuneet esimerkit vähenevät ilman suurempia vaikeuksia ja muuttuvat lyhyiksi ja helposti ratkaistaviksi.

Video

Tämä video auttaa sinua ymmärtämään ja muistamaan, kuinka ilmaisuja yksinkertaistetaan.

Etkö saanut vastausta kysymykseesi? Ehdota aihetta kirjoittajille.

Tarkastellaan aihetta lausekkeiden muuntamisesta potenssien avulla, mutta ensin tarkastellaan useita muunnoksia, jotka voidaan suorittaa millä tahansa lausekkeella, mukaan lukien teholausekkeet. Opitaan avaamaan hakasulkeet, antamaan samanlaisia ​​termejä, työskentelemään kanta- ja eksponentin kanssa, käyttämään asteiden ominaisuuksia.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mitä ovat tehoilmaisut?

Koulukurssilla harvat käyttävät ilmaisua "voimailmaisut", mutta tämä termi löytyy jatkuvasti kokoelmista kokeeseen valmistautumiseen. Useimmissa tapauksissa lause tarkoittaa lausekkeita, joiden merkinnöissä on asteita. Tätä heijastamme määritelmässämme.

Määritelmä 1

Voiman ilmaisu on ilmaisu, joka sisältää voimia.

Annamme useita esimerkkejä potenssilausekkeista alkaen asteesta luonnollisella eksponentilla ja päättyen asteeseen reaalieksponentilla.

Yksinkertaisimpia potenssilausekkeita voidaan pitää luonnollisen eksponentin luvun potteina: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 − a + a 2 , x 3 − 1 , (a 2) 3 . Sekä potenssit, joiden eksponentti on nolla: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 − 3 , 2 0 . Ja potenssit negatiivisilla kokonaislukupotenssilla: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

On hieman vaikeampaa työskennellä tutkinnolla, jolla on rationaaliset ja irrationaaliset eksponentit: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .

Indikaattori voi olla muuttuja 3 x - 54 - 7 3 x - 58 tai logaritmi x 2 l g x − 5 x l g x.

Olemme käsitelleet kysymystä siitä, mitä voimailmaisut ovat. Katsotaanpa nyt niiden muutosta.

Valtalausekkeiden muunnosten päätyypit

Ensin tarkastellaan lausekkeiden perusidentiteettimuunnoksia, jotka voidaan suorittaa teholausekkeilla.

Esimerkki 1

Laske teholausekkeen arvo 2 3 (4 2 – 12).

Ratkaisu

Toteutamme kaikki muutokset toimintajärjestyksen mukaisesti. Tässä tapauksessa aloitamme suorittamalla suluissa olevat toiminnot: korvaamme tutkinnon digitaalisella arvolla ja laskemme näiden kahden luvun välisen eron. Meillä on 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Meidän tehtävämme on korvata tutkinto 2 3 sen tarkoitus 8 ja laske tuote 8 4 = 32. Tässä on vastauksemme.

Vastaus: 2 3 (4 2 - 12) = 32 .

Esimerkki 2

Yksinkertaista ilmaisu voimilla 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.

Ratkaisu

Ongelman ehtona meille annettu lauseke sisältää samanlaisia ​​termejä, jotka voimme tuoda: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.

Vastaus: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1 .

Esimerkki 3

Ilmaise lauseke, jonka potenssit ovat 9 - b 3 · π - 1 2 tulona.

Ratkaisu

Esitetään luku 9 potenssina 3 2 ja käytä lyhennettyä kertolaskua:

9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1

Vastaus: 9 - b 3 π - 1 2 = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1.

Ja nyt siirrytään identtisten muunnosten analysointiin, joita voidaan soveltaa erityisesti teholausekkeisiin.

Työskentely kanta- ja eksponentin kanssa

Kanta- tai eksponenttiasteessa voi olla lukuja, muuttujia ja joitain lausekkeita. Esimerkiksi, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 ja . Tällaisten levyjen kanssa on vaikea työskennellä. On paljon helpompaa korvata asteen kantaosassa oleva lauseke tai eksponentin lauseke identtisellä yhtäläisellä lausekkeella.

Tutkinnon ja osoittimen muunnokset suoritetaan meille tunnettujen sääntöjen mukaisesti toisistaan ​​erillään. Tärkeintä on, että muunnosten tuloksena saadaan lauseke, joka on identtinen alkuperäisen kanssa.

Transformaatioiden tarkoituksena on yksinkertaistaa alkuperäistä lauseketta tai saada ratkaisu ongelmaan. Esimerkiksi yllä antamassamme esimerkissä (2 + 0 , 3 7) 5 − 3 , 7 voit suorittaa operaatioita tutkintoon pääsemiseksi 4 , 1 1 , 3 . Hakasulkeet avattaessa voimme tuoda samanlaisia ​​termejä tutkinnon pohjaan (a (a + 1) − a 2) 2 (x + 1) ja saat yksinkertaisemman muodon voimailmaisun a 2 (x + 1).

Virran ominaisuuksien käyttäminen

Asteiden ominaisuudet, jotka on kirjoitettu yhtäläisyyksiksi, ovat yksi tärkeimmistä työkaluista asteilla olevien lausekkeiden muuntamiseen. Esittelemme tässä tärkeimmät, ottaen huomioon a ja b ovat positiivisia lukuja ja r ja s- mielivaltaiset reaaliluvut:

Määritelmä 2

• a r a s = a r + s;
• a r: a s = a r − s ;
• (a b) r = a rbr;
• (a: b) r = a r: br;
• (a r) s = a r s .

Tapauksissa, joissa on kyse luonnollisista, kokonaisluvuista, positiivisista eksponenteista, lukujen a ja b rajoitukset voivat olla paljon vähemmän tiukkoja. Esimerkiksi, jos ajatellaan tasa-arvoa a m a n = a m + n, missä m ja n ovat luonnollisia lukuja, niin se on totta kaikille a:n arvoille, sekä positiivisille että negatiivisille, sekä arvoille a = 0.

Asteiden ominaisuuksia voidaan käyttää rajoituksetta tapauksissa, joissa asteiden kanta on positiivinen tai sisältää muuttujia, joiden hyväksyttävien arvojen alue on sellainen, että kannat ottavat siitä vain positiivisia arvoja. Itse asiassa matematiikan koulun opetussuunnitelman puitteissa opiskelijan tehtävänä on valita sopiva ominaisuus ja soveltaa sitä oikein.

Yliopistoon pääsyä valmisteltaessa voi olla tehtäviä, joissa ominaisuuksien epätarkka soveltaminen johtaa ODZ:n kaventumiseen ja muihin ratkaisuongelmiin. Tässä osiossa tarkastelemme vain kahta tällaista tapausta. Lisätietoja aiheesta löytyy aiheesta "Laukeiden muuntaminen eksponenttiominaisuuksien avulla".

Esimerkki 4

Edustaa ilmaisua a 2, 5 (a 2) - 3: a - 5, 5 tutkinnona pohjalla a.

Ratkaisu

Aluksi käytämme eksponentio-ominaisuutta ja muunnamme toisen tekijän käyttämällä sitä (a 2) – 3. Sitten käytämme kerto- ja potenssien jakamisen ominaisuuksia samalla kantalla:

a 2 , 5 a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5 ) ) = a 2.

Vastaus: a 2, 5 (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2 .

Potenssilausekkeiden muunnos asteiden ominaisuuden mukaan voidaan tehdä sekä vasemmalta oikealle että vastakkaiseen suuntaan.

Esimerkki 5

Etsi potenssilausekkeen arvo 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Ratkaisu

Jos sovellamme tasa-arvoa (a b) r = a r b r, oikealta vasemmalle, niin saadaan tulo muotoa 3 7 1 3 21 2 3 ja sitten 21 1 3 21 2 3 . Lisätään eksponentit, kun kerrotaan potenssit samoilla kantoilla: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

On toinenkin tapa tehdä muunnoksia:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Vastaus: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Esimerkki 6

Annettu voimailmaisu a 1, 5 - a 0, 5 - 6, syötä uusi muuttuja t = a 0, 5.

Ratkaisu

Kuvittele tutkinto a 1, 5 Miten a 0, 53. Aste-ominaisuuden käyttäminen asteessa (a r) s = a r s oikealta vasemmalle ja saa (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Tuloksena olevaan lausekkeeseen voit helposti lisätä uuden muuttujan t = a 0, 5: saada t 3 − t − 6.

Vastaus: t 3 − t − 6 .

Muunnetaan potenssit sisältävät murtoluvut

Käsittelemme yleensä kahta muunnelmaa murtolukuja sisältävistä potenssilausekkeista: lauseke on murtoluku, jolla on aste tai sisältää sellaisen murtoluvun. Kaikki perusmurtomuunnokset ovat sovellettavissa tällaisiin lausekkeisiin ilman rajoituksia. Ne voidaan pienentää, tuoda uuteen nimittäjään, toimia erikseen osoittajan ja nimittäjän kanssa. Havainnollistetaan tätä esimerkein.

Esimerkki 7

Yksinkertaista teholauseke 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Ratkaisu

Käsittelemme murto-osaa, joten teemme muunnoksia sekä osoittajassa että nimittäjässä:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Laita miinus murtoluvun eteen muuttaaksesi nimittäjän etumerkkiä: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Vastaus: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Potensseja sisältävät murtoluvut pelkistetään uuteen nimittäjään samalla tavalla kuin rationaaliset murtoluvut. Tätä varten sinun on löydettävä lisätekijä ja kerrottava murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sillä. On tarpeen valita lisätekijä siten, että se ei katoa yhdellekään muuttujien arvolle alkuperäisen lausekkeen ODZ-muuttujista.

Esimerkki 8

Tuo murtoluvut uuteen nimittäjään: a) a + 1 a 0, 7 nimittäjään a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 nimittäjään x + 8 y 1 2 .

Ratkaisu

a) Valitsemme tekijän, jonka avulla voimme pelkistää uuteen nimittäjään. a 0 , 7 a 0 , 3 = a 0 , 7 + 0 , 3 = a , siksi otamme lisätekijänä a 0, 3. Muuttujan a sallittujen arvojen alue sisältää kaikkien positiivisten reaalilukujen joukon. Tällä alueella tutkinto a 0, 3 ei mene nollaan.

Kerrotaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä luvulla a 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Kiinnitä huomiota nimittäjään:

x 2 3 - 2 x 1 3 v 1 6 + 4 v 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 v 1 6 + 2 v 1 6 2

Kerro tämä lauseke x 1 3 + 2 · y 1 6 :lla, saadaan kuutioiden x 1 3 ja 2 · y 1 6 summa, ts. x + 8 · y 1 2 . Tämä on uusi nimittäjämme, johon meidän on tuotava alkuperäinen murtoluku.

Joten löysimme lisäkertoimen x 1 3 + 2 · y 1 6 . Muuttujien hyväksyttävien arvojen alueella x ja y lauseke x 1 3 + 2 y 1 6 ei katoa, joten voimme kertoa murtoluvun osoittajan ja nimittäjän sillä:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 v 1 6 + 4 v 1 3 = = x 1 3 + 2 v 1 6 x 1 3 + 2 v 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 v 1 6 + 4 v 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Vastaus: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 v 1 2 .

Esimerkki 9

Pienennä murto-osaa: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Ratkaisu

a) Käytä suurinta yhteistä nimittäjää (GCD), jolla osoittaja ja nimittäjä voidaan pienentää. Numeroille 30 ja 45 tämä on 15 . Voimme myös vähentää x 0, 5 + 1 ja x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Saamme:

30 x 3 (x 0 , 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Tässä identtisten tekijöiden läsnäolo ei ole ilmeistä. Sinun on suoritettava joitain muunnoksia saadaksesi samat tekijät osoittajassa ja nimittäjässä. Tätä varten laajennamme nimittäjä neliöiden erotuskaavalla:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Vastaus: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Tärkeimmät toiminnot murtoluvuilla ovat pelkistys uuteen nimittäjään ja murtolukujen pienentäminen. Molemmat toiminnot suoritetaan useiden sääntöjen mukaisesti. Murtolukuja lisättäessä ja vähennettäessä murtoluvut pelkistetään ensin yhteiseksi nimittäjäksi, jonka jälkeen suoritetaan toiminnot (yhteen- tai vähennyslasku) osoittajilla. Nimittäjä pysyy samana. Toimintamme tuloksena on uusi murtoluku, jonka osoittaja on osoittajien tulo ja nimittäjä nimittäjien tulo.

Esimerkki 10

Suorita vaiheet x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Ratkaisu

Aloitetaan vähentämällä suluissa olevat murtoluvut. Tuodaan ne yhteiseen nimittäjään:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Vähennetään osoittajat:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2

Nyt kerrotaan murtoluvut:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Vähennetään asteella x 1 2, saamme 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Lisäksi voit yksinkertaistaa nimittäjässä olevaa potenssilauseketta käyttämällä neliöiden erotuskaavaa: neliöt: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Vastaus: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Esimerkki 11

Yksinkertaista teholauseke x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Ratkaisu

Voimme pienentää murto-osuutta (x 2 , 7 + 1) 2. Saamme murto-osan x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Jatketaan muunnoksia x potenssien x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Nyt voit käyttää tehonjakoominaisuutta samoilla perusteilla: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Siirrymme viimeisestä tuotteesta murto-osaan x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Vastaus: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Useimmissa tapauksissa on kätevämpää siirtää kertoimet negatiivisilla eksponenteilla osoittajasta nimittäjään ja päinvastoin muuttamalla eksponentin etumerkkiä. Tämä toimenpide yksinkertaistaa jatkopäätöstä. Otetaan esimerkki: potenssilauseke (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 voidaan korvata x 3 · (x + 1) 0, 2 .

Lausekkeiden muuntaminen juurilla ja voimavaroilla

Tehtävissä on potenssilausekkeita, jotka eivät sisällä vain asteita murto-osien eksponenteilla, vaan myös juuria. On toivottavaa pelkistää tällaiset ilmaisut vain juuriksi tai vain tehoiksi. Siirtyminen tutkintoihin on parempi, koska niiden kanssa on helpompi työskennellä. Tällainen siirtymä on erityisen edullinen, kun alkuperäisen lausekkeen muuttujien DPV mahdollistaa juurien korvaamisen potenssilla ilman, että joudut käyttämään moduulia tai jakamaan DPV:tä useisiin aikaväleihin.

Esimerkki 12

Ilmaise lauseke x 1 9 x x 3 6 potenssina.

Ratkaisu

Muuttujan kelvollinen alue x määräytyy kahdella epätasa-arvolla x ≥ 0 ja x · x 3 ≥ 0 , jotka määrittelevät joukon [ 0 , + ∞) .

Tässä sarjassa meillä on oikeus siirtyä juurista voimiin:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Käyttämällä asteiden ominaisuuksia yksinkertaistamme tuloksena olevaa teholauseketta.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Vastaus: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Muunnetaan potenssit eksponentin muuttujilla

Nämä muunnokset ovat melko yksinkertaisia ​​tehdä, jos käytät oikein tutkinnon ominaisuuksia. Esimerkiksi, 5 2 x + 1 − 3 5 x 7 x − 14 7 2 x − 1 = 0.

Voimme korvata sen asteen tulon, jonka perusteella löydetään jonkin muuttujan ja luvun summa. Vasemmalla puolella tämä voidaan tehdä lausekkeen vasemman puolen ensimmäisellä ja viimeisellä termillä:

5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0 .

Jaetaan nyt yhtälön molemmat puolet 7 2 x. Tämä lauseke muuttujan x ODZ:ssä saa vain positiivisia arvoja:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Vähennetään murtolukuja potenssien kanssa, saadaan: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0.

Lopuksi potenssien suhde samoilla eksponenteilla korvataan suhteiden potenssilla, mikä johtaa yhtälöön 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , joka vastaa 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x-2 = 0.

Otetaan käyttöön uusi muuttuja t = 5 7 x , joka pelkistää alkuperäisen eksponentiaaliyhtälön ratkaisun toisen asteen yhtälön 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 ratkaisuksi.

Lausekkeiden muuntaminen potenssien ja logaritmien avulla

Tehtävissä on myös potenssia ja logaritmeja sisältäviä lausekkeita. Esimerkkejä tällaisista lausekkeista ovat: 1 4 1 - 5 log 2 3 tai log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Tällaisten lausekkeiden muunnos suoritetaan käyttämällä edellä olevia logaritmien lähestymistapoja ja ominaisuuksia, joita olemme analysoineet yksityiskohtaisesti aiheessa "Logaritmien lausekkeiden muuntaminen".

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter