Monien muuttujien funktiolle f(x) piste x on vektori, f'(x) on funktion f(x) ensimmäisten derivaattojen (gradientin) vektori, f ′ ′(x) on symmetrinen matriisi toisten osittaisderivaatojen (Hessen matriisi − Hesseninen) funktiot f(x).
Useiden muuttujien funktiolle optimaalisuusehdot muotoillaan seuraavasti.
Paikallisen optimaalisuuden välttämätön edellytys. Olkoon f(x) differentioituva pisteessä x * R n . Jos x * on paikallinen ääripiste, niin f'(x *) = 0.
Kuten ennenkin, pisteitä, jotka ovat yhtälöjärjestelmän ratkaisuja, kutsutaan paikallaan oleviksi. Stacionaarisen pisteen x * luonne liittyy Hessenin matriisin f′ ′(x) etumerkkimääräisyyteen.
Matriisin A etumerkkimäärä riippuu toisen muodon Q(α)= etumerkeistä< α A, α >kaikille nollasta poikkeaville α∈R n .
Tästä ja edelleen vektorien x ja y skalaaritulo on merkitty. A-priory,

Matriisi A on positiivisesti (ei-negatiivisesti) määrätty, jos Q(α)>0 (Q(α)≥0) kaikille nollasta poikkeaville α∈R n ; negatiivisesti (ei-positiivisesti) varma, jos Q(α)<0 (Q(α)≤0) при всех ненулевых α∈R n ; неопределенной, если Q(α)>0 joillekin nollasta poikkeaville arvoille α∈R n ja Q(α)<0 для остальных ненулевых α∈R n .
Riittävä kunto paikalliseen optimaalisuuteen. Olkoon f(x) kahdesti differentioituva pisteessä x * R n , ja f’(x *)=0 ts. x * − kiinteä piste. Sitten, jos matriisi f (x *) on positiivinen (negatiivinen) määrätty, niin x * on paikallinen minimi (maksimi) piste; jos matriisi f′′(x *) on epämääräinen, niin x * on satulapiste.
Jos matriisi f′′(x *) on ei-negatiivinen (ei-positiivisesti) definitiivinen, niin stationaarisen pisteen x * luonteen määrittämiseksi tarvitaan korkeamman asteen derivaattojen tutkimus.
Matriisin etumerkkitarkkuuden tarkistamiseen käytetään pääsääntöisesti Sylvester-kriteeriä. Tämän kriteerin mukaan symmetrinen matriisi A on positiivinen määrätty silloin ja vain, jos sen kaikki kulma-mollit ovat positiivisia. Tässä tapauksessa matriisin A kulmamolli on matriisin A elementeistä muodostetun matriisin determinantti, joka seisoo samoilla (ja ensimmäisillä) numeroilla olevien rivien ja sarakkeiden leikkauskohdassa. Jotta voidaan tarkistaa symmetrisen matriisin A negatiivinen mää- räisyys, täytyy matriisista (−A) tarkistaa positiivinen mää- räys.
Joten algoritmi useiden muuttujien funktion paikallisääripisteiden määrittämiseksi on seuraava.
1. Etsi f′(x).
2. Järjestelmä on ratkaistu

Tuloksena lasketaan kiinteät pisteet x i.
3. Etsi f′′(x), aseta i=1.
4. Etsi f′′(x i)
5. Lasketaan matriisin f′′(x i) kulmamoolit. Jos kaikki kulmamollit eivät ole nollia, niin stationaarisen pisteen x i luonteen määrittämiseksi tarvitaan korkeamman asteen derivaattojen tutkimus. Tässä tapauksessa siirtyminen kohtaan 8 suoritetaan.
Muussa tapauksessa siirry vaiheeseen 6.
6. Analysoidaan kulmamollien f′′(x i) merkit. Jos f′′(x i) on positiivinen määrätty, niin x i on paikallinen minimipiste. Tässä tapauksessa siirtyminen kohtaan 8 suoritetaan.
Muussa tapauksessa siirry kohtaan 7.
7. Matriisin -f′′(x i) kulmamollit lasketaan ja niiden etumerkit analysoidaan.
Jos -f′′(x i) − on positiivinen definiitti, niin f′′(x i) on negatiivinen definiitti ja x i on paikallinen maksimipiste.
Muuten f'(x i) on epämääräinen ja x i on satulapiste.
8. Kaikkien paikallaan olevien pisteiden i=N luonteen määrittämisen ehto tarkistetaan.
Jos se täyttyy, laskelmat on suoritettu.
Jos ehto ei täyty, oletetaan i=i+1 ja siirrytään vaiheeseen 4.

Esimerkki #1. Määritä funktion f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 paikallisääripisteet









Koska kaikki kulman alamerkit eivät ole nollia, x 2:n luonne määräytyy f′′(x) avulla.
Koska matriisi f′′(x 2) on positiivinen määrätty, x 2 on paikallinen minimipiste.
Vastaus: funktiolla f(x) = x 1 3 - 2x 1 x 2 + x 2 2 - 3x 1 - 2x 2 on paikallinen minimi pisteessä x = (5/3; 8/3).

Funktion ääripiste on se piste funktion alueella, jossa funktion arvo saa minimi- tai maksimiarvon. Näissä kohdissa olevia funktioarvoja kutsutaan funktion ääriarvoiksi (minimi ja maksimi)..

Määritelmä. Piste x1 toiminnon laajuus f(x) kutsutaan funktion maksimipiste , jos funktion arvo tässä pisteessä on suurempi kuin funktion arvot tarpeeksi lähellä sitä pisteissä, jotka sijaitsevat sen oikealla ja vasemmalla puolella (eli epäyhtälö f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimi.

Määritelmä. Piste x2 toiminnon laajuus f(x) kutsutaan funktion minimipiste, jos funktion arvo tässä pisteessä on pienempi kuin funktion arvot tarpeeksi lähellä sitä pisteissä, jotka sijaitsevat sen oikealla ja vasemmalla puolella (eli epäyhtälö f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Tässä tapauksessa funktiolla sanotaan olevan pisteessä x2 minimi.

Sanotaanpa pointti x1 - toiminnon maksimipiste f(x) . Sitten välissä asti x1 toiminta lisääntyy, joten funktion derivaatta on suurempi kuin nolla ( f "(x) > 0 ), ja sen jälkeen x1 toiminto vähenee, joten funktion derivaatta alle nolla ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Oletetaan myös, että kohta x2 - funktion minimipiste f(x) . Sitten välissä asti x2 funktio pienenee ja funktion derivaatta on pienempi kuin nolla ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funktio kasvaa ja funktion derivaatta on suurempi kuin nolla ( f "(x) > 0). Tässä tapauksessa myös pisteessä x2 funktion derivaatta on nolla tai sitä ei ole olemassa.

Fermatin lause (välttämätön kriteeri funktion ääripään olemassaololle). Jos kohta x0 - funktion ääripiste f(x), niin tässä vaiheessa funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla ( f "(x) = 0 ) tai sitä ei ole olemassa.

Määritelmä. Pisteitä, joissa funktion derivaatta on nolla tai ei ole olemassa, kutsutaan kriittiset kohdat .

Esimerkki 1 Tarkastellaan funktiota.

Pisteessä x= 0 funktion derivaatta on yhtä suuri kuin nolla, joten piste x= 0 on kriittinen piste. Kuitenkin, kuten funktion kaaviosta voidaan nähdä, se kasvaa koko määritelmäalueella, joten piste x= 0 ei ole tämän funktion ääripiste.

Siten ehdot, että funktion derivaatta pisteessä on nolla tai sitä ei ole olemassa, ovat välttämättömiä ehtoja ääripäälle, mutta eivät riittäviä, koska voidaan antaa muita esimerkkejä funktioista, joille nämä ehdot täyttyvät, mutta funktio ei ole ääripäätä vastaavassa pisteessä. Niin on oltava riittävät viitteet, joiden avulla voidaan arvioida, onko tietyssä kriittisessä pisteessä ääriarvo ja kumpi - maksimi vai minimi.

Lause (ensimmäinen riittävä kriteeri funktion ääripään olemassaololle). Kriittinen piste x0 f(x) , jos funktion derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan tämän pisteen läpi ja jos etumerkki muuttuu "plus":sta "miinus", niin maksimipiste, ja jos "miinuksesta" "plusiksi", niin minimipiste .

Jos lähellä pistettä x0 , sen vasemmalla ja oikealla puolella derivaatta säilyttää etumerkkinsä, mikä tarkoittaa, että funktio joko vain pienenee tai vain kasvaa jossain pisteen ympäristössä x0 . Tässä tapauksessa pisteessä x0 ei ole ääripäätä.

Niin, määrittääksesi funktion ääripisteet, sinun on tehtävä seuraava :

1. Etsi funktion derivaatta.
2. Yhdistä derivaatta nollaan ja määritä kriittiset pisteet.
3. Merkitse henkisesti tai paperille kriittiset pisteet numeeriselle akselille ja määritä funktion derivaatan merkit tuloksena olevissa intervalleissa. Jos derivaatan etumerkki muuttuu "plus":sta "miinus", niin kriittinen piste on maksimipiste, ja jos "miinuksesta" "plussiksi", kriittinen piste on minimipiste.
4. Laske funktion arvo ääripisteissä.

Esimerkki 2 Etsi funktion ääripäät .

Päätös. Etsitään funktion derivaatta:

Yhdistä derivaatta nollaan kriittisten pisteiden löytämiseksi:

.

Koska mille tahansa "x":n arvolle nimittäjä ei ole nolla, vertaamme osoittajan nollaan:

On yksi kriittinen kohta x= 3. Määritämme derivaatan etumerkin tämän pisteen rajaamissa väleissä:

alueella miinus äärettömyys - 3 - miinusmerkki, eli funktio pienenee,

alueella 3 plus äärettömään - plusmerkki, eli funktio kasvaa.

Eli piste x= 3 on minimipiste.

Etsi funktion arvo minimipisteestä:

Siten funktion ääripiste löytyy: (3; 0) , ja se on minimipiste.

Lause (toinen riittävä kriteeri funktion ääripään olemassaololle). Kriittinen piste x0 on funktion ääripiste f(x), jos funktion toinen derivaatta tässä pisteessä ei ole nolla ( f ""(x) ≠ 0 ), lisäksi jos toinen derivaatta on suurempi kuin nolla ( f ""(x) > 0 ), niin maksimipiste, ja jos toinen derivaatta on pienempi kuin nolla ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Huomautus 1. Jos jossain vaiheessa x0 sekä ensimmäinen että toinen derivaatta katoavat, niin tässä vaiheessa on mahdotonta arvioida ääripään olemassaoloa toisen riittävän merkin perusteella. Tässä tapauksessa sinun on käytettävä ensimmäistä riittävää kriteeriä funktion ääripäälle.

Huomautus 2. Toinen riittävä kriteeri funktion ääripäälle ei myöskään sovellu silloin, kun ensimmäistä derivaattia ei ole paikallaan olevassa pisteessä (siis ei ole myöskään toista derivaattia). Tässä tapauksessa on myös tarpeen käyttää ensimmäistä riittävää kriteeriä funktion ääripäälle.

Toiminnon ääripään paikallinen luonne

Yllä olevista määritelmistä seuraa, että funktion ääriarvo on luonteeltaan paikallinen - tämä on funktion suurin ja pienin arvo verrattuna lähimpiin arvoihin.

Oletetaan, että harkitset tulojasi yhden vuoden ajanjaksolla. Jos ansaitsit toukokuussa 45 000 ruplaa ja huhtikuussa 42 000 ruplaa ja kesäkuussa 39 000 ruplaa, niin toukokuun tulot ovat ansiofunktion maksimi verrattuna lähimpiin arvoihin. Mutta lokakuussa ansaitsit 71 000 ruplaa, syyskuussa 75 000 ruplaa ja marraskuussa 74 000 ruplaa, joten lokakuun tulos on ansiofunktion minimi verrattuna lähiarvoihin. Ja voit helposti nähdä, että huhti-touko-kesäkuun arvojen maksimi on pienempi kuin syys-loka-marraskuun minimi.

Yleisesti ottaen funktiolla voi olla useita ääriarvoja intervalleilla, ja voi käydä niin, että mikä tahansa funktion minimi on suurempi kuin mikä tahansa maksimi. Joten yllä olevassa kuvassa näkyvälle funktiolle .

Eli ei pidä ajatella, että funktion maksimi ja minimi ovat vastaavasti sen maksimi- ja minimiarvot koko tarkasteltavana olevalla segmentillä. Maksimipisteessä funktiolla on suurin arvo vain verrattuna niihin arvoihin, jotka sillä on kaikissa pisteissä riittävän lähellä maksimipistettä, ja minimipisteessä pienin arvo vain verrattuna niihin arvoihin, se on kaikissa kohdissa riittävän lähellä minimipistettä.

Siksi voimme tarkentaa yllä annetun funktion ääripistepisteiden käsitettä ja kutsua minimipisteitä paikallisiksi minimipisteiksi ja maksimipisteitä paikallisiksi maksimipisteiksi.

Etsimme yhdessä toiminnon ääripäätä

Esimerkki 3

Ratkaisu Funktio on määritelty ja jatkuva koko lukurivillä. Sen johdannainen esiintyy myös koko numerorivillä. Siksi tässä tapauksessa vain ne, joissa ts. toimivat kriittisinä pisteinä. , mistä ja . Kriittiset pisteet ja jaa funktion koko alue kolmeen monotonisuusväliin: . Valitsemme jokaisesta niistä yhden ohjauspisteen ja löydämme derivaatan etumerkin tästä pisteestä.

Välille vertailupiste voi olla: löydämme . Ottaen pisteen väliltä, ​​saamme , ja ottamalla pisteen väliltä, ​​meillä on . Joten, väliajoissa ja , ja välissä . Ekstreemumin ensimmäisen riittävän merkin mukaan pisteessä ei ole ääripäätä (koska derivaatta säilyttää etumerkkinsä välissä ), ja funktiolla on pisteessä minimi (koska derivaatta muuttaa etumerkin miinuksesta plussiksi ohittaessaan tämän kohdan kautta). Etsi funktion vastaavat arvot: , ja . Intervallissa funktio pienenee, koska tällä välillä , ja välissä se kasvaa, koska tällä välillä.

Kuvaajan rakenteen selventämiseksi löydämme sen leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa. Kun saadaan yhtälö, jonka juuret ja eli funktion kuvaajasta löytyy kaksi pistettä (0; 0) ja (4; 0). Rakennamme kaavion käyttämällä kaikkia vastaanotettuja tietoja (katso esimerkin alussa).

Esimerkki 4 Etsi funktion ääripiste ja rakenna sen kaavio.

Funktion toimialue on koko lukuviiva pistettä lukuun ottamatta, ts. .

Tutkimuksen lyhentämiseksi voimme käyttää sitä tosiasiaa, että tämä funktio on parillinen, koska . Siksi sen kuvaaja on symmetrinen akselin suhteen Oy ja tutkimus voidaan suorittaa vain ajanjaksolle .

Johdannan löytäminen ja toiminnon kriittiset kohdat:

1) ;

2) ,

mutta funktio kärsii katkoksen tässä vaiheessa, joten se ei voi olla ääripiste.

Siten annetulla funktiolla on kaksi kriittistä pistettä: ja . Kun otetaan huomioon funktion pariteetti, tarkastetaan vain piste ääripään toisella riittävällä merkillä. Tätä varten löydämme toisen derivaatan ja määritä sen merkki osoitteessa : saamme . Koska ja , Sitten on funktion vähimmäispiste, while .

Saadaksesi täydellisemmän kuvan funktion kaaviosta, selvitetään sen käyttäytyminen määritelmäalueen rajoilla:

(tässä symboli osoittaa halun x nollaan oikealla ja x pysyy positiivisena; tarkoittaa samalla tavalla pyrkimystä x nollaan vasemmalla ja x pysyy negatiivisena). Eli jos , niin . Seuraavaksi löydämme

,

nuo. jos sitten .

Funktion kuvaajalla ei ole leikkauspisteitä akselien kanssa. Kuva on esimerkin alussa.

Jatkamme toiminnon ääripäiden etsimistä yhdessä

Esimerkki 8 Etsi funktion ääripää.

Päätös. Etsi funktion toimialue. Koska epätasa-arvon on oltava voimassa, saamme osoitteesta .

Etsitään funktion ensimmäinen derivaatta:

Etsitään funktion kriittiset pisteet.

PAIKALLINEN MAKSIMI

PAIKALLINEN MAKSIMI

(paikallinen maksimi) funktion arvo, joka on suurempi kuin mikä tahansa sen argumentin tai argumenttijoukon viereinen arvo, dy/dx= 0 on välttämätön ehto paikallisen maksimin saavuttamiseksi y=f(x); tässä tilanteessa riittävä ehto paikallisen maksimin saavuttamiseksi on d2v/dx2 0. Paikallinen maksimi voi olla myös absoluuttinen maksimi, jos arvoa ei ole X, jonka alla klo lisää. Näin ei kuitenkaan aina välttämättä ole. Harkitse toimintoa y = x3–3x.dy/dx = 0 kun x2= yksi; ja d2v/dx2=6x. klo on maksimissaan x = - 1, mutta tämä on vain paikallinen, ei absoluuttinen maksimi, koska klo voi tulla äärettömän suuri, kun sille annetaan riittävän suuri positiivinen arvo X. Katso myös: artikkelin enimmäismäärä.

Talous. Sanakirja. - M.: "INFRA-M", Kustantaja "Ves Mir". J. Black. Päätoimitus: kauppatieteiden tohtori Osadchaya I.M.. 2000 .

Taloussanakirja. 2000 .

Katso, mitä "LOCAL MAXIMUM" on muissa sanakirjoissa:

paikallinen maksimi-- [A.S. Goldberg. Englannin venäjän energiasanakirja. 2006] Aiheet energia yleisesti FI paikallinen maksimi ... Teknisen kääntäjän käsikirja

paikallinen maksimi- lokalusis maksimumas statusas T ala automatika atitikmenys: engl. paikallinen maksimi vok. Lokalmaximum, n rus. paikallinen maksimi, m pranc. suurin paikallinen, m … Automatikos terminų žodynas

paikallinen maksimi- vietinė smailė statusas T ala fizika atitikmenys: angl. paikallinen maksimi; paikallinen huippu vok. locales Maksimi, n rus. paikallinen maksimi, m pranc. suurin paikallinen, m; pic local, m … Fizikos terminų žodynas

Paikallinen maksimi, paikallinen minimi- (paikallinen maksimi, paikallinen minimi) katso Function extremum... Talous- ja matemaattinen sanakirja

- (maksimi) Suurin funktion arvo, jonka se tarvitsee mille tahansa argumenttien arvolle. Maksimi voi olla paikallinen tai absoluuttinen. Esimerkiksi funktiolla y=1–x2 on absoluuttinen maksimi y=1 kohdassa x=0; x:llä ei ole muuta arvoa, joka ...... Taloussanakirja

- (paikallinen minimi) Funktion arvo, joka on pienempi kuin mikä tahansa sen argumentin tai argumenttijoukon naapuriarvo, dy/dx = 0, on välttämätön ehto paikallisen minimin y=f(x) saavuttamiseksi; tämän ehdon mukaisesti riittää ... ... Taloussanakirja

Ekstreemi (latinaksi extremum extreme) on matematiikassa funktion maksimi- tai minimiarvo tietyssä joukossa. Pistettä, jossa ääripiste saavutetaan, kutsutaan ääripisteeksi. Vastaavasti, jos minimiääripiste saavutetaan ... ... Wikipedia

Paikalliset hakualgoritmit ovat joukko algoritmeja, joissa haku suoritetaan vain senhetkisen tilan perusteella, eikä aiemmin suoritettuja tiloja oteta huomioon eikä niitä muisteta. Haun päätavoite ei ole löytää optimaalista polkua ... ... Wikipediaan

- (yleinen maksimi) funktion arvo, joka on yhtä suuri tai suurempi kuin sen arvot, jotka on otettu muille argumenttiarvoille. Riittävä ehto yhden argumentin funktion maksimille, joka koostuu siitä, että sen ensimmäinen derivaatta ... ... Taloussanakirja

- (eng. trend direction, trend) suunta, poliittisen prosessin kehityssuunta, ilmiö. Siinä on matemaattinen lauseke. Trendin (trendin) suosituin määritelmä on Dow-teorian määritelmä. Nousutrendi...... Valtiotiede. Sanasto.

$E \osajoukko \mathbb(R)^(n)$. Sanotaan, että $f$ on paikallinen maksimi pisteessä $x_(0) \in E$, jos pisteellä $x_(0)$ on naapurusto $U$ siten, että kaikille $x \in U$ epäyhtälö $f\left(x\right) \leqslant f \left(x_(0)\right)$.

Paikallista maksimiarvoa kutsutaan tiukka , jos lähiö $U$ voidaan valita siten, että kaikille $x \in U$:ille, jotka eroavat $x_(0)$:sta, on $f\left(x\right)< f\left(x_{0}\right)$.

Määritelmä
Olkoon $f$ reaalifunktio avoimessa joukossa $E \subset \mathbb(R)^(n)$. $f$:lla sanotaan olevan paikallinen minimi pisteessä $x_(0) \in E$, jos pisteellä $x_(0)$ on naapurusto $U$ siten, että kaikille $x \in U$ epäyhtälö $f\left(x\right) \geqslant f \left(x_(0)\right)$.

Paikallisen minimin sanotaan olevan tiukka, jos naapurusto $U$ voidaan valita siten, että kaikille $x \in U$ eroaa $x_(0)$ $f\left(x\right) > f\left(x_ (0)\oikea)$.

Paikallinen ääriarvo yhdistää paikallisen minimin ja paikallisen maksimin käsitteet.

Lause (välttämätön ehto differentioituvan funktion ääripäälle)
Olkoon $f$ reaalifunktio avoimessa joukossa $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Jos pisteessä $x_(0) \in E$ funktiolla $f$ on paikallinen ääriarvo myös tässä pisteessä, niin $$\text(d)f\left(x_(0)\right)=0. $$ Nolla-differentiaali vastaa sitä tosiasiaa, että kaikki ovat yhtä suuria kuin nolla, ts. $$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x_(i))\left(x_(0)\right)=0.$$

Yksiulotteisessa tapauksessa tämä on . Merkitään $\phi \left(t\right) = f \left(x_(0)+th\right)$, missä $h$ on mielivaltainen vektori. Funktio $\phi$ on määritelty riittävän pienille moduloarvoille $t$. Lisäksi suhteessa , se on differentioituva, ja $(\phi)' \left(t\right) = \text(d)f \left(x_(0)+th\right)h$.
Olkoon $f$ paikallinen maksimi x $0$. Siten funktiolla $\phi$ kohdassa $t = 0$ on paikallinen maksimi ja Fermat'n lauseen mukaan $(\phi)' \left(0\right)=0$.
Saimme siis, että $df \left(x_(0)\right) = 0$, ts. funktio $f$ pisteessä $x_(0)$ on yhtä suuri kuin nolla missä tahansa vektorissa $h$.

Määritelmä
Pisteet, joissa differentiaali on yhtä suuri kuin nolla, ts. Niitä, joissa kaikki osittaiset derivaatat ovat yhtä suuret kuin nolla, kutsutaan stationaarisiksi. kriittiset kohdat funktiot $f$ ovat pisteitä, joissa $f$ ei ole differentioituva tai se on nolla. Jos piste on paikallaan, ei siitä vielä seuraa, että funktiolla on ääriarvo tässä pisteessä.

Esimerkki 1
Olkoon $f \left(x,y\right)=x^(3)+y^(3)$. Sitten $\displaystyle\frac(\partial f)(\partial x) = 3 \cdot x^(2)$,$\displaystyle\frac(\partial f)(\partial y) = 3 \cdot y^(2 )$, joten $\left(0,0\right)$ on paikallaan oleva piste, mutta funktiolla ei ole ääriarvoa tässä pisteessä. Todellakin, $f \left(0,0\right) = 0$, mutta on helppo nähdä, että missä tahansa pisteen $\left(0,0\right)$ ympäristössä funktio saa sekä positiiviset että negatiiviset arvot.

Esimerkki 2
Funktiolla $f \left(x,y\right) = x^(2) − y^(2)$ on koordinaattien origo paikallaan olevana pisteenä, mutta on selvää, ettei tässä pisteessä ole ääripäätä.

Lause (riittävä ehto ääripäälle).
Olkoon funktio $f$ kahdesti jatkuvasti differentioituva avoimessa joukossa $E \subset \mathbb(R)^(n)$. Olkoon $x_(0) \in E$ kiinteä piste ja $$\displaystyle Q_(x_(0)) \left(h\right) \equiv \sum_(i=1)^n \sum_(j=1 ) ^n \frac(\osittais^(2) f)(\osittais x_(i) \osittais x_(j)) \left(x_(0)\right)h^(i)h^(j).$ $ Sitten

1. jos $Q_(x_(0))$ on , niin funktiolla $f$ pisteessä $x_(0)$ on paikallinen ääripää eli minimi, jos muoto on positiivinen määrätty ja maksimi jos muoto on negatiivinen-määräinen;
2. jos neliömuoto $Q_(x_(0))$ on epämääräinen, niin funktiolla $f$ pisteessä $x_(0)$ ei ole ääriarvoa.

Käytetään laajennusta Taylorin kaavan mukaan (12.7 s. 292) . Ottaen huomioon, että ensimmäisen kertaluvun osittaiset derivaatat pisteessä $x_(0)$ ovat yhtä suuret kuin nolla, saadaan $$\displaystyle f \left(x_(0)+h\right)−f \left(x_(0) )\right) = \ frac(1)(2) \sum_(i=1)^n \sum_(j=1)^n \frac(\partial^(2) f)(\partial x_(i) \ osittainen x_(j)) \vasen(x_(0)+\theta h\oikea)h^(i)h^(j),$$ missä $0<\theta<1$. Обозначим $\displaystyle a_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right)$. В силу теоремы Шварца (12.6 стр. 289-290) , $a_{ij}=a_{ji}$. Обозначим $$\displaystyle \alpha_{ij} \left(h\right)=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}+\theta h\right)−\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} \left(x_{0}\right).$$ По предположению, все непрерывны и поэтому $$\lim_{h \rightarrow 0} \alpha_{ij} \left(h\right)=0. \left(1\right)$$ Получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left.$$ Обозначим $$\displaystyle \epsilon \left(h\right)=\frac{1}{|h|^{2}}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \alpha_{ij} \left(h\right)h_{i}h_{j}.$$ Тогда $$|\epsilon \left(h\right)| \leq \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n |\alpha_{ij} \left(h\right)|$$ и, в силу соотношения $\left(1\right)$, имеем $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ при $h \rightarrow 0$. Окончательно получаем $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right)=\frac{1}{2}\left. \left(2\right)$$ Предположим, что $Q_{x_{0}}$ – положительноопределенная форма. Согласно лемме о положительноопределённой квадратичной форме (12.8.1 стр. 295, Лемма 1) , существует такое положительное число $\lambda$, что $Q_{x_{0}} \left(h\right) \geqslant \lambda|h|^{2}$ при любом $h$. Поэтому $$\displaystyle f \left(x_{0}+h\right)−f \left(x_{0}\right) \geq \frac{1}{2}|h|^{2} \left(λ+\epsilon \left(h\right)\right).$$ Так как $\lambda>0$ ja $\epsilon \left(h\right) \rightarrow 0$ arvolle $h \rightarrow 0$, niin oikea puoli on positiivinen mille tahansa riittävän pienelle vektorille $h$.
Siten olemme tulleet siihen tulokseen, että jossain pisteen $x_(0)$ ympäristössä epäyhtälö $f \left(x\right) >f \left(x_(0)\right)$ täyttyy, jos vain $ x \neq x_ (0)$ (laitamme $x=x_(0)+h$\oikea). Tämä tarkoittaa, että pisteessä $x_(0)$ funktiolla on tiukka paikallinen minimi, joten lauseemme ensimmäinen osa on todistettu.
Oletetaan nyt, että $Q_(x_(0))$ on epämääräinen muoto. Sitten on vektoreita $h_(1)$, $h_(2)$ siten, että $Q_(x_(0)) \left(h_(1)\right)=\lambda_(1)>0$, $Q_ ( x_(0)) \left(h_(2)\right)= \lambda_(2)<0$. В соотношении $\left(2\right)$ $h=th_{1}$ $t>0 $. Sitten saadaan $$f \left(x_(0)+th_(1)\right)−f \left(x_(0)\right) = \frac(1)(2) \left[ t^(2) \ lambda_(1) + t^(2) |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right] = \frac(1)(2) t^(2) \ vasen[ \lambda_(1) + |h_(1)|^(2) \epsilon \left(th_(1)\right) \right].$$ Riittävän pienelle $t>0$:lle oikea puoli on positiivinen. Tämä tarkoittaa, että missä tahansa pisteen $x_(0)$ ympäristössä funktio $f$ saa arvot $f \left(x\right)$, jotka ovat suurempia kuin $f \left(x_(0)\right)$.
Samalla tavalla saadaan, että missä tahansa pisteen $x_(0)$ ympäristössä funktio $f$ saa arvoja, jotka ovat pienempiä kuin $f \left(x_(0)\right)$. Tämä yhdessä edellisen kanssa tarkoittaa, että funktiolla $f$ ei ole ääriarvoa pisteessä $x_(0)$.

Tarkastellaan tämän lauseen erityistapausta kahden muuttujan funktiolle $f \left(x,y\right)$, joka on määritelty jossain pisteen $\left(x_(0),y_(0)\right) ympäristössä. $ ja joilla on jatkuvat osittaiset derivaatat ensimmäisestä ja toisesta järjestyksestä. Olkoon $\left(x_(0),y_(0)\right)$ paikallaan oleva piste ja olkoon $$\displaystyle a_(11)= \frac(\partial^(2) f)(\partial x ^( 2)) \left(x_(0) ,y_(0)\right), a_(12)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y) \left(x_( 0) , y_(0)\oikea), a_(22)=\frac(\osittais^(2) f)(\osittaisy^(2)) \left(x_(0), y_(0)\oikea ). $$ Sitten edellinen lause saa seuraavan muodon.

Lause
Olkoon $\Delta=a_(11) \cdot a_(22) − a_(12)^2$. Sitten:

1. jos $\Delta>0$, niin funktiolla $f$ on paikallinen ääriarvo pisteessä $\left(x_(0),y_(0)\right)$, eli minimi, jos $a_(11)> 0$ ja maksimi jos $a_(11)<0$;
2. jos $\Delta<0$, то экстремума в точке $\left(x_{0},y_{0}\right)$ нет. Как и в одномерном случае, при $\Delta=0$ экстремум может быть, а может и не быть.

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Algoritmi useiden muuttujien funktion ääripään löytämiseksi:

1. Löydämme kiinteitä pisteitä;
2. Löydämme 2. kertaluvun differentiaalin kaikista kiinteistä pisteistä
3. Käyttämällä useiden muuttujien funktion ääripään riittävää ehtoa, tarkastelemme toisen asteen differentiaalia kussakin paikallaan olevassa pisteessä

1. Tutki funktiota ääripäähän $f \left(x,y\right) = x^(3) + 8 \cdot y^(3) + 18 \cdot x — 30 \cdot y$.
   Päätös

   Etsi ensimmäisen asteen osittaiset johdannaiset: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=3 \cdot x^(2) — 6 \cdot y;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=24 \cdot y^(2) — 6 \cdot x.$$ Laadi ja ratkaise järjestelmä: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x ) = 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \Rightarrow \begin(cases)3 \cdot x^(2) - 6 \cdot y= 0\\24 \ cdot y^(2) - 6 \cdot x = 0\end(tapaukset) \Rightarrow \begin(cases)x^(2) - 2 \cdot y= 0\\4 \cdot y^(2) - x = 0 \end(cases)$$ Toisesta yhtälöstä ilmaisemme $x=4 \cdot y^(2)$ — korvaa 1. yhtälön: $$\displaystyle \left(4 \cdot y^(2)\ oikea )^(2)-2 \cdot y=0$$ $16 \cdot y^(4) — 2 \cdot y = 0$$ $$8 \cdot y^(4) — y = 0$$ $$ y \left(8 \cdot y^(3) -1\right)=0$$ Tuloksena saadaan 2 kiinteää pistettä:
   1) $y=0 \nuoli oikealle x = 0, M_(1) = \vasen(0, 0\oikea)$;
   2) $\displaystyle 8 \cdot y^(3) -1=0 \Rightarrow y^(3)=\frac(1)(8) \Rightarrow y = \frac(1)(2) \Rightarrow x=1 , M_(2) = \vasen(\frac(1)(2), 1\oikea)$
   Tarkastetaan riittävän äärimmäisen ehdon täyttyminen:
   $$\displaystyle \frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2))=6 \cdot x; \frac(\partial^(2) f)(\partial x \partial y)=-6; \frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2))=48 \cdot y$$
   1) Pisteelle $M_(1)= \left(0,0\right)$:
   $$\displaystyle A_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(0,0\right)=0; B_(1)=\frac(\osittais^(2) f)(\osittais x \osittainen y) \vasen(0,0\oikea)=-6; C_(1)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(0,0\right)=0;$$
   $A_(1) \cdot B_(1) - C_(1)^(2) = -36<0$ , значит, в точке $M_{1}$ нет экстремума.
   2) Kohdalle $M_(2)$:
   $$\displaystyle A_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=6; B_(2)=\frac(\osittais^(2) f)(\osittais x \osittainen y) \vasen(1,\frac(1)(2)\oikea)=-6; C_(2)=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(1,\frac(1)(2)\right)=24;$$
   $A_(2) \cdot B_(2) — C_(2)^(2) = 108>0$, joten pisteessä $M_(2)$ on ääriarvo ja koska $A_(2)>0 $, tämä on minimi.
   Vastaus: Piste $\displaystyle M_(2) \left(1,\frac(1)(2)\right)$ on funktion $f$ minimipiste.
   

2. Tutki funktiota äärisummalle $f=y^(2) + 2 \cdot x \cdot y - 4 \cdot x - 2 \cdot y - 3$.
   Päätös

   Etsi kiinteät pisteet: $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial x)=2 \cdot y - 4;$$ $$\displaystyle \frac(\partial f)(\partial y)=2 \cdot y + 2 \cdot x - 2.$$
   Laadi ja ratkaise järjestelmä: $$\displaystyle \begin(cases)\frac(\partial f)(\partial x)= 0\\\frac(\partial f)(\partial y)= 0\end(cases) \ Oikea nuoli \begin(tapaukset)2 \cdot y - 4= 0\\2 \cdot y + 2 \cdot x - 2 = 0\end(tapaukset) \Rightarrow \begin(tapaukset) y = 2\\y + x = 1\loppu(kirjaimet) \Oikeanuoli x = -1$$
   $M_(0) \left(-1, 2\right)$ on kiinteä piste.
   Tarkistetaan riittävän ääripääehdon täyttyminen: $$\displaystyle A=\frac(\partial^(2) f)(\partial x^(2)) \left(-1,2\right)=0; B=\frac(\partial^(2) f)(\osittais x \osittais y) \vasen(-1,2\oikea)=2; C=\frac(\partial^(2) f)(\partial y^(2)) \left(-1,2\right)=2;$$
   $A \cdot B - C^(2) = -4<0$ , значит, в точке $M_{0}$ нет экстремума.
   Vastaus: ääripäitä ei ole olemassa.
   

Aikaraja: 0

Navigointi (vain työnumerot)

0/4 tehtävää suoritettu

Tiedot

Vastaa tähän tietokilpailuun testataksesi tietosi juuri lukemastasi aiheesta, Monien muuttujien funktioiden paikallinen äärimmäisyys.

Olet jo tehnyt testin aiemmin. Et voi ajaa sitä uudelleen.

Testi latautuu...

Sinun tulee kirjautua sisään tai rekisteröityä aloittaaksesi testin.

Sinun on suoritettava seuraavat testit aloittaaksesi tämän:

tuloksia

Oikeat vastaukset: 0/4

Sinun aika:

Aika on lopussa

Sait 0/0 pistettä (0 )

Pistemääräsi on kirjattu tulostaulukkoon

1. Vastauksen kanssa
2. Tarkastettu

Tehtävä 1/4

1 .

Pisteiden määrä: 1

Tutki funktiota $f$ ääripäille: $f=e^(x+y)(x^(2)-2 \cdot y^(2))$

oikein


Ei oikein


1. Tehtävä 2/4

   2 .

   Pisteiden määrä: 1

   Onko funktio $f = 4 + \sqrt((x^(2)+y^(2))^(2))$

MAKSIMI- JA MINIMIPISTEET

pisteet, joissa se ottaa suurimmat tai pienimmät arvot määritelmäalueella; sellaisia ​​pisteitä kutsutaan myös absoluuttisen maksimin tai absoluuttisen minimin pisteet. Jos f on määritelty topologisessa tila X, sitten piste x 0 nimeltään paikallisen maksimin piste (paikallinen minimi), jos sellainen on olemassa x 0, että tarkasteltavana olevan toiminnon rajoittamiseksi tähän naapurustoon, piste x 0 on absoluuttinen maksimi (minimi) piste. Erottele tiukat ja ei-tiukat maksimipisteet (mini m u m a) (sekä absoluuttiset että paikalliset). Esimerkiksi piste nimeltä funktion f ei-tiukan (tiukan) paikallisen maksimin piste, jos sellainen pisteen lähialue on olemassa x 0, joka pätee kaikkiin (vastaavasti f(x) x0). )/

Äärillisulotteisilla alueilla määritetyille funktioille differentiaalilaskennassa on ehtoja ja kriteerejä sille, että tietty piste on paikallinen maksimi- (minimi)piste. Olkoon funktio f määritelty reaaliakselin laatikon x 0 tietyllä alueella. Jos x 0 - ei-tiukan paikallisen maksimin (minimi) piste ja tässä kohdassa on olemassa f"( x0), silloin se on nolla.

Jos annettu funktio f on differentioituva pisteen läheisyydessä x 0, paitsi ehkä itse tämä piste, jossa se on jatkuva, ja derivaatta f" pisteen kummallakin puolella x0 säilyttää jatkuvan merkin tällä naapurustolla, sitten jotta x0 oli tiukan paikallisen maksimin (paikallisen minimin) piste, on välttämätöntä ja riittävää, että derivaatta muuttaa etumerkin plussasta miinusmerkkiin, eli että f "(x)> 0 x:ssä<.x0 ja f"(x)<0 при x>x0(vastaavasti miinuksesta plussaan: f"(X) <0 klo x<x0 ja f"(x)>0 kun x>x 0). Ei kuitenkaan jokaiselle pisteen läheisyydessä differentioitavissa olevalle funktiolle x 0, tässä vaiheessa voidaan puhua derivaatan etumerkin muutoksesta. . "

Jos funktiolla f on pisteessä x 0 t johdannaisia ​​lisäksi x 0 on tiukan paikallisen maksimin piste, on välttämätöntä ja riittävää, että τ on parillinen ja että f (m) ( x0)<0, и - локального минимума, чтобы m было четно и f (m) (x0)>0.

Olkoon funktio f( x 1 ..., x s] määritellään pisteen n-ulotteisessa ympäristössä ja on tässä pisteessä differentioituva. Jos x (0) on ei-tiukka paikallinen maksimi (minimi)piste, niin funktio f tässä pisteessä on nolla. Tämä ehto vastaa kaikkien funktion f ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaataiden yhtäläisyyttä nollaan tässä pisteessä. Jos funktiolla on 2. jatkuva osittaisderivaata kohdassa x (0) , kaikki sen 1. derivaatat katoavat kohdassa x (0) ja 2. asteen differentiaali kohdassa x (0) on negatiivinen (positiivinen) neliömuoto, niin x(0) on tiukan paikallisen maksimin (minimi) piste. M. ja M. T. differentioituville funktioille tunnetaan ehdot, kun argumenttien muutoksille asetetaan tiettyjä rajoituksia: rajoitusyhtälöt täyttyvät. Monimutkaisemman rakenteen omaavan reaalifunktion maksimi (minimi) välttämättömiä ja riittäviä ehtoja tutkitaan matematiikan erikoisaloilla: esim. kupera analyysi, matemaattinen ohjelmointi(Katso myös Maksimointi ja toimintojen minimointi). Jakoputkissa määriteltyjä M.- ja m.t.-funktioita tutkitaan variaatiolaskelma yleensä, ja M. ja m.t. funktioavaruuksiin määritellyille funktioille, eli funktionaaleille, variaatiolaskenta. On myös erilaisia ​​menetelmiä M.:n ja m.t:n numeeriseen likimääräiseen löytämiseen.

Lit.: Il'in V. A., Poznya to E. G., Fundamentals of Mathematical Analysis, 3. painos, osa 1, M., 1971; KudrjavtsevL. L. D. Kudrjavtsev.

Matemaattinen tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Katso, mitä "MAKSIMI- JA MINIMIPISTE" on muissa sanakirjoissa:

Diskreetti Pontryagin-maksimiperiaate aikadiskreeteille ohjausprosesseille. Tällaiselle prosessille M. p. ei välttämättä täyty, vaikka sen jatkuvalle analogille, joka saadaan korvaamalla äärellinen erooperaattori differentiaalisella ... ... Matemaattinen tietosanakirja

Lause, joka ilmaisee yhden analytiikan moduulin pääominaisuuksista. toimintoja. Olkoon f(z) p-kompleksimuuttujien säännöllinen analyyttinen tai holomorfinen funktio kompleksilukuavaruuden alueella D, joka on muu kuin vakio, M. m. s. ... ... Matemaattinen tietosanakirja

Reaaliarvoja ottavan funktion suurimmat ja vastaavasti pienimmät arvot. Kutsutaan kyseessä olevan funktion määritelmäalueen piste, jossa se ottaa maksimin tai minimin. vastaavasti maksimipiste tai minimipiste ..... Matemaattinen tietosanakirja

Katso funktion maksimi ja minimi, pisteen maksimi ja minimi... Matemaattinen tietosanakirja

Jatkuvan funktion arvo, joka on suurin tai minimi (katso Maksimi- ja Minimipisteet). Termi LE... Matemaattinen tietosanakirja

Indikaattori- (Indikaattori) Indikaattori on tietojärjestelmä, aine, laite, laite, joka näyttää muutokset missä tahansa parametrissa Forexin valuuttamarkkinakaavioiden indikaattorit, mitä ne ovat ja mistä ne voidaan ladata? Kuvaus MACD-indikaattoreista, ... ... Sijoittajan tietosanakirja

Tällä termillä on muita merkityksiä, katso Extreme (merkityksiä). Ekstreemi (latinaksi extremum extreme) on matematiikassa funktion maksimi- tai minimiarvo tietyssä joukossa. Piste, jossa ääripää saavutetaan, on ... ... Wikipedia

Calculus on matemaattisen analyysin haara, joka tutkii derivaatan ja differentiaalin käsitteitä ja sitä, kuinka niitä voidaan soveltaa funktioiden tutkimiseen. Sisältö 1 Yhden muuttujan funktioiden differentiaalilaskenta ... Wikipedia

Lemniskaatti ja sen temppuja Bernoullin lemniskaatti on taso algebrallinen käyrä. Määritelty pisteiden paikkaksi, tuote ... Wikipedia

Eroaminen- (Divergenssi) Ero indikaattorina Kaupankäyntistrategia MACD-poikkeaman kanssa Sisältö Sisällys Osa 1. on. Osa 2. Ero miten. Divergentti on termi, jota käytetään taloustieteessä viittaamaan liikkumiseen erilaisten ... ... Sijoittajan tietosanakirja