Geometria on hyvin monipuolinen tiede. Se kehittää logiikkaa, mielikuvitusta ja älykkyyttä. Tietenkin sen monimutkaisuuden ja suuri määrä lauseet ja aksioomit, koululaiset eivät aina pidä siitä. Lisäksi on jatkuvasti todistettava johtopäätöksensä yleisesti hyväksyttyjen standardien ja sääntöjen avulla.

Vierekkäiset ja pystysuorat kulmat ovat olennainen osa geometriaa. Varmasti monet koululaiset vain ihailevat niitä siitä syystä, että niiden ominaisuudet ovat selkeitä ja helppo todistaa.

Kulmien muodostuminen

Mikä tahansa kulma muodostuu kahden suoran leikkauspisteestä tai vetämällä kaksi sädettä yhdestä pisteestä. Niitä voidaan kutsua joko yhdeksi kirjaimeksi tai kolmeksi, jotka osoittavat peräkkäin kulman rakennuspisteitä.

Kulmat mitataan asteina ja niitä voidaan (arvosta riippuen) kutsua eri tavalla. Joten on olemassa suora kulma, terävä, tylppä ja levitetty. Jokainen nimi vastaa tietyn asteen mittaa tai sen väliä.

Terävä kulma on kulma, jonka mitta ei ylitä 90 astetta.

Tylsä kulma on kulma, joka on suurempi kuin 90 astetta.

Kulmaa kutsutaan oikeaksi, kun sen mitta on 90.

Siinä tapauksessa, että se muodostuu yhdestä jatkuvasta suorasta ja sen astemitta on 180, sitä kutsutaan levitetyksi.

Kulmia, joilla on yhteinen sivu, jonka toinen puoli jatkaa toisiaan, kutsutaan vierekkäisiksi. Ne voivat olla teräviä tai tylsiä. Suoran leikkauspiste muodostaa vierekkäisiä kulmia. Niiden ominaisuudet ovat seuraavat:

1. Tällaisten kulmien summa on 180 astetta (tämän todistaa lause). Siksi yksi niistä voidaan helposti laskea, jos toinen tunnetaan.
2. Ensimmäisestä pisteestä seuraa, että vierekkäisiä kulmia ei voi muodostaa kahdella tylpällä tai kahdella terävällä kulmalla.

Näiden ominaisuuksien ansiosta voidaan aina laskea kulman astemitta toisen kulman arvolla tai ainakin niiden välisellä suhteella.

Pystykulmat

Kulmia, joiden sivut jatkavat toisiaan, kutsutaan pystysuoraksi. Mikä tahansa niiden lajikkeista voi toimia sellaisena parina. Pystykulmat ovat aina yhtä suuret keskenään.

Ne muodostuvat, kun viivat leikkaavat. Yhdessä niiden kanssa vierekkäiset kulmat ovat aina läsnä. Kulma voi olla sekä vierekkäinen toiselle että pystysuora toiselle.

Kun ylitetään mielivaltainen viiva, otetaan huomioon myös useita muita kulmia. Tällaista viivaa kutsutaan sekantiksi, ja se muodostaa vastaavat yksipuoliset ja ristikkäiset kulmat. He ovat tasa-arvoisia keskenään. Niitä voidaan tarkastella pystysuorien ja vierekkäisten kulmien ominaisuuksien valossa.

Siten kulmien aihe näyttää varsin yksinkertaiselta ja ymmärrettävältä. Kaikki niiden ominaisuudet on helppo muistaa ja todistaa. Tehtävien ratkaiseminen ei ole vaikeaa, kunhan kulmat vastaavat numeerista arvoa. Jo edelleen, kun synnin ja cosin tutkimus alkaa, sinun on opittava ulkoa monia monimutkaisia ​​kaavoja, niiden päätelmät ja seuraukset. Siihen asti voit vain nauttia helpoista pulmatehtävistä, joissa sinun on löydettävä vierekkäiset kulmat.

Kahta kulmaa kutsutaan vierekkäisiksi, jos niillä on toinen puoli yhteinen ja näiden kulmien muut sivut ovat komplementaarisia säteitä. Kuvassa 20 kulmat AOB ja BOC ovat vierekkäisiä.

Vierekkäisten kulmien summa on 180°

Lause 1. Vierekkäisten kulmien summa on 180°.

Todiste. OB-palkki (katso kuva 1) kulkee kehitetyn kulman sivujen välistä. Niin ∠ AOB + ∠ BOC = 180°.

Lauseesta 1 seuraa, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin niiden vieressä olevat kulmat ovat yhtä suuret.

Pystykulmat ovat yhtä suuret

Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos toisen kulman sivut ovat toisen kulman sivujen täydentäviä säteitä. Kahden suoran leikkauspisteeseen muodostuneet kulmat AOB ja COD, BOD ja AOC ovat pystysuoria (kuva 2).

Lause 2. Pystykulmat ovat yhtä suuret.

Todiste. Harkitse pystykulmia AOB ja COD (katso kuva 2). Kulma BOD on kunkin kulman AOB ja COD vieressä. Lauseen 1 mukaan ∠ AOB + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Tästä päätämme, että ∠ AOB = ∠ COD.

Johtopäätös 1. Suoran kulman vieressä oleva kulma on suora kulma.

Tarkastellaan kahta leikkaavaa suoraa AC ja BD (kuva 3). Ne muodostavat neljä kulmaa. Jos yksi niistä on suora (kulma 1 kuvassa 3), niin muutkin kulmat ovat suorat (kulmat 1 ja 2, 1 ja 4 ovat vierekkäisiä, kulmat 1 ja 3 ovat pystysuoria). Tässä tapauksessa näiden viivojen sanotaan leikkaavan suorassa kulmassa ja niitä kutsutaan kohtisuoraksi (tai keskenään kohtisuoraksi). Viivojen AC ja BD kohtisuoraa merkitään seuraavasti: AC ⊥ BD.

Janan kohtisuora puolittaja on viiva, joka on kohtisuorassa tätä janaa vastaan ​​ja kulkee sen keskipisteen kautta.

AN - kohtisuorassa viivaa vastaan

Tarkastellaan suoraa a ja pistettä A, jotka eivät ole sen päällä (kuva 4). Yhdistä piste A janalla pisteeseen H suoralla a. Janaa AH kutsutaan kohtisuoraksi pisteestä A suoralle a, jos suorat AN ja a ovat kohtisuorassa. Pistettä H kutsutaan kohtisuoran kannaksi.

Piirustus neliö

Seuraava lause pitää paikkansa.

Lause 3. Mistä tahansa pisteestä, joka ei ole suoralla, voidaan piirtää kohtisuora tälle suoralle, ja lisäksi vain yksi.

Pystysuoran piirtämiseksi pisteestä suoralle piirustuksessa käytetään piirustusneliötä (kuva 5).

Kommentti. Lauseen lause koostuu yleensä kahdesta osasta. Yksi osa puhuu siitä, mitä annetaan. Tätä osaa kutsutaan lauseen ehdoksi. Toinen osa puhuu siitä, mikä on todistettava. Tätä osaa kutsutaan lauseen johtopäätökseksi. Esimerkiksi Lauseen 2 ehto on pystykulmat; johtopäätös - nämä kulmat ovat yhtä suuret.

Mikä tahansa lause voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti sanoilla siten, että sen ehto alkaa sanalla "jos" ja johtopäätös sanalla "sitten". Esimerkiksi Lause 2 voidaan ilmaista yksityiskohtaisesti seuraavasti: "Jos kaksi kulmaa ovat pystysuorat, ne ovat yhtä suuret."

Esimerkki 1 Yksi vierekkäisistä kulmista on 44°. Mihin toinen vastaa?

Päätös. Merkitse toisen kulman astemitta x:llä, sitten Lauseen 1 mukaan.
44° + x = 180°.
Ratkaisemalla tuloksena olevan yhtälön huomaamme, että x \u003d 136 °. Siksi toinen kulma on 136°.

Esimerkki 2 Olkoon COD-kulma kuvassa 21 45°. Mitä ovat kulmat AOB ja AOC?

Päätös. Kulmat COD ja AOB ovat pystysuorat, joten ne ovat Lauseen 1.2 mukaan yhtä suuret, eli ∠ AOB = 45°. Kulma AOC on kulman COD vieressä, joten Lauseen 1 mukaan.
∠ AOC = 180° - ∠ COD = 180° - 45° = 135°.

Esimerkki 3 Etsi vierekkäiset kulmat, jos yksi niistä on 3 kertaa toinen.

Päätös. Merkitse pienemmän kulman astemitta x:llä. Tällöin suuremman kulman astemitta on Zx. Koska vierekkäisten kulmien summa on 180° (Lause 1), niin x + 3x = 180°, josta x = 45°.
Vierekkäiset kulmat ovat siis 45° ja 135°.

Esimerkki 4 Kahden pystykulman summa on 100°. Etsi kunkin neljän kulman arvo.

Päätös. Vastaako tehtävän ehtoa kuva 2. Pystykulmat COD ja AOB ovat yhtä suuret (Lause 2), mikä tarkoittaa, että myös niiden astemitat ovat yhtä suuret. Siksi ∠ COD = ∠ AOB = 50° (niiden summa on 100° ehdon mukaan). Kulma BOD (myös kulma AOC) on kulman COD vieressä, ja siksi Lauseen 1 mukaan
∠ BOD = ∠ AOC = 180° - 50° = 130°.

Vierekkäiset kulmat- kaksi kulmaa, joilla on yksi yhteinen sivu ja kaksi muuta ovat toistensa jatkoja.

Vierekkäisten kulmien summa on 180°

Pystykulmat ovat kaksi kulmaa, joissa yhden kulman sivut ovat jatkoa toisen kulman sivuille.

Pystykulmat ovat yhtä suuret.

2. Kolmioiden tasa-arvomerkit:

allekirjoitan: Jos yhden kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma on vastaavasti yhtä suuri kuin toisen kolmion kaksi sivua ja niiden välinen kulma, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä.

II merkki: Jos yhden kolmion sivut ja kaksi sen vieressä olevaa kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion sivu ja kaksi sen vieressä olevaa kulmaa, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneväisiä.

III merkki: Jos yhden kolmion kolme sivua ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion kolme sivua, niin tällaiset kolmiot ovat yhteneviä

3. Kahden suoran yhdensuuntaisuuden merkit: yksipuoliset kulmat, jotka ovat ristikkäin ja vastaavat:

Kahta tasossa olevaa suoraa kutsutaan rinnakkain jos ne eivät risteä.

Makuukulmat poikittain: 3 ja 5, 4 ja 6;

Yksipuoliset kulmat: 4 ja 5, 3 ja 6; riisi. Sivu 55

Vastaavat kulmat: 1 ja 5, 4 ja 8, 2 ja 6, 3 ja 7;

Lause: Jos poikittaisviivan kahden suoran leikkauskohdassa makuukulmat ovat yhtä suuret, niin suorat ovat yhdensuuntaiset.

Lause: Jos sekantin kahden suoran leikkauskohdassa vastaavat kulmat ovat yhtä suuret, niin suorat ovat yhdensuuntaiset.

Lause: Jos sekantin kahden suoran leikkauskohdassa yksipuolisten kulmien summa on 180°, niin suorat ovat yhdensuuntaiset.

Lause: jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa kulmaviivan, poikittainen makuukulmat ovat yhtä suuret

Lause: jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikataan sekantilla, vastaavat kulmat ovat yhtä suuret

Lause: jos kaksi yhdensuuntaista suoraa leikkaa sekantti, niin yksipuolisten kulmien summa on 180°

4. Kolmion kulmien summa:

Kolmion kulmien summa on 180°

5. Tasakylkisen kolmion ominaisuudet:

Lause: Tasakylkisessä kolmiossa kantakulmat ovat yhtä suuret.

Lause: Tasakylkisessä kolmiossa kantaan vedetty puolittaja on mediaani ja korkeus (mediaani on päinvastoin), (puolittaja puolittaa kulman, mediaani puolittaa sivun, korkeus muodostaa 90° kulman)

Merkki: Jos kolmion kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin kolmio on tasakylkinen.

6. Oikea kolmio:

Suorakulmainen kolmio on kolmio, jossa yksi kulma on suora kulma (eli se on 90 astetta)

Suorakulmaisessa kolmiossa hypotenuusa on jalkaa pidempi

1. Suorakulmaisen kolmion kahden terävän kulman summa on 90°

2. Suorakulmaisen kolmion jalka, joka sijaitsee vastapäätä 30°:n kulmaa, on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta

3. Jos suorakulmaisen kolmion haara on yhtä suuri kuin puolet hypotenuusasta, niin tämän haaran vastainen kulma on 30°

7. Tasasivuinen kolmio:

TASAPUOLINEN KOLMIO, litteä hahmo, jolla on kolme yhtä pitkää sivua; sivujen muodostamat kolme sisäkulmaa ovat myös yhtä suuret ja yhtä suuret kuin 60 °C.

8. Sin, cos, tg, ctg:

Sin= , Cos= , tg= , ctg= , tg= ,ctg=

9. Nelikulman merkit^

Nelikulman kulmien summa on 2 π = 360°.

Nelikulmio voidaan piirtää ympyrään silloin ja vain, jos vastakkaisten kulmien summa on 180°

10. Kolmioiden samankaltaisuuden merkit:

allekirjoitan: jos yhden kolmion kaksi kulmaa ovat vastaavasti yhtä suuria kuin toisen kolmion kaksi kulmaa, niin tällaiset kolmiot ovat samanlaisia

II merkki: jos yhden kolmion kaksi sivua ovat verrannollisia toisen kolmion kahteen sivuun ja näiden sivujen välissä olevat kulmat ovat yhtä suuret, niin tällaiset kolmiot ovat samanlaisia.

III merkki: jos yhden kolmion kolme sivua ovat verrannollisia toisen kolmion kolmeen sivuun, niin tällaiset kolmiot ovat samanlaisia

11. Kaavat:

· Pythagoraan lause: a 2 +b 2 =c 2

· Syntilause:

· cos lause:

· 3 kolmion pintakaavaa:

· Suorakulmaisen kolmion pinta-ala: S = S =

· Tasasivuisen kolmion pinta-ala:

· Rinnakkaisalue: S=ah

· Neliön alue: S = a2

· Trapetsion alue:

· Rombin alue:

· Suorakulmion alue: S=ab

· Tasasivuinen kolmio. Korkeus: h=

· Trigonometrinen yksikkö: sin 2 a+cos 2 a=1

· Kolmion keskiviiva: S=

· Puolisuunnikkaan mediaaniviiva:MK=

©2015-2019 sivusto
Kaikki oikeudet kuuluvat niiden tekijöille. Tämä sivusto ei vaadi tekijää, mutta tarjoaa ilmaisen käytön.
Sivun luomispäivämäärä: 12.12.2017

LUKU I.

PERUSKONSEPTIT.

§yksitoista. LÄHETTÄVÄT JA PYSTYKULMAT.

1. Vierekkäiset kulmat.

Jos jatkamme jonkin kulman sivua sen kärjen yli, saadaan kaksi kulmaa (kuva 72): / Aurinko ja / SVD, jossa yksi puoli BC on yhteinen ja kaksi muuta AB ja BD muodostavat suoran.

Kahta kulmaa, joilla on yksi yhteinen sivu ja kaksi muuta muodostavat suoran viivan, kutsutaan vierekkäisiksi kulmiksi.

Vierekkäiset kulmat voidaan saada myös tällä tavalla: jos vedämme säteen jostakin suoran pisteestä (ei ole tietyllä suoralla), niin saadaan vierekkäiset kulmat.
Esimerkiksi, / ADF ja / FDВ - vierekkäiset kulmat (kuva 73).

Vierekkäisillä kulmilla voi olla monenlaisia ​​​​asentoja (kuva 74).

Vierekkäiset kulmat muodostavat suoran kulman, joten kahden vierekkäisen kulman umma on 2d.

Siten suora kulma voidaan määritellä kulmaksi, joka on yhtä suuri kuin sen viereinen kulma.

Kun tiedämme yhden viereisen kulman arvon, voimme löytää toisen viereisen kulman arvon.

Esimerkiksi jos yksi vierekkäisistä kulmista on 3/5 d, niin toinen kulma on yhtä suuri kuin:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Pystykulmat.

Jos ulotamme kulman sivut sen kärjen yli, saamme pystykulmat. Piirustuksessa 75 kulmat EOF ja AOC ovat pystysuorat; Kulmat AOE ja COF ovat myös pystysuorat.

Kahta kulmaa kutsutaan pystysuoraksi, jos yhden kulman sivut ovat toisen kulman sivujen jatkeita.

Anna olla / 1 = 7 / 8 d(Kuva 76). Sen vieressä / 2 on yhtä kuin 2 d- 7 / 8 d, eli 1 1/8 d.

Samalla tavalla voit laskea mitkä ovat yhtä suuria / 3 ja / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Kuva 77).

Näemme sen / 1 = / 3 ja / 2 = / 4.

Voit ratkaista useita muita samoja tehtäviä, ja joka kerta, kun saat saman tuloksen: pystykulmat ovat samat keskenään.

Yksittäisten numeeristen esimerkkien huomioiminen ei kuitenkaan riitä, jotta pystykulmat ovat aina yhtä suuret, koska yksittäisistä esimerkeistä tehdyt johtopäätökset voivat joskus olla virheellisiä.

Pystykulmien ominaisuuden pätevyys on tarkistettava perustelemalla, todistamalla.

Todistus voidaan suorittaa seuraavasti (kuva 78):

/ +/ c = 2d;
/ b+/ c = 2d;

(koska vierekkäisten kulmien summa on 2 d).

/ +/ c = / b+/ c

(koska tämän yhtälön vasen puoli on yhtä suuri kuin 2 d, ja sen oikea puoli on myös yhtä suuri kuin 2 d).

Tämä tasa-arvo sisältää saman kulman kanssa.

Jos vähennämme yhtä suurista arvoista yhtä paljon, se pysyy samana. Tuloksena tulee olemaan: / a = / b, eli pystykulmat ovat yhtä suuret keskenään.

Kun pohdimme kysymystä pystykulmista, selitimme ensin, mitä kulmia kutsutaan pystysuoraksi, eli annoimme määritelmä pystysuorat kulmat.

Sitten teimme tuomion (väitteen) pystykulmien yhtäläisyydestä ja vakuuttuimme tämän tuomion pätevyydestä todisteiden avulla. Sellaisia ​​tuomioita, joiden pätevyys on todistettava, kutsutaan lauseita. Tässä osiossa olemme siis antaneet pystykulmien määritelmän sekä esittäneet ja todistaneet lauseen niiden ominaisuudesta.

Jatkossa geometriaa opiskellessa joudumme jatkuvasti kohtaamaan lauseiden määritelmiä ja todisteita.

3. Kulmien summa, joilla on yhteinen kärki.

Piirustuksessa 79 / 1, / 2, / 3 ja / 4 sijaitsevat samalla puolella suoraa ja niillä on yhteinen kärki tällä suoralla. Yhteenvetona nämä kulmat muodostavat suoran kulman, ts.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Piirustuksessa 80 / 1, / 2, / 3, / 4 ja / 5:llä on yhteinen toppi. Yhteenvetona nämä kulmat muodostavat täyden kulman, ts. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Harjoitukset.

1. Yksi vierekkäisistä kulmista on 0,72 d. Laske näiden vierekkäisten kulmien puolittajien muodostama kulma.

2. Osoita, että kahden vierekkäisen kulman puolittajat muodostavat suoran kulman.

3. Osoita, että jos kaksi kulmaa ovat yhtä suuret, niin myös niiden vierekkäiset kulmat ovat yhtä suuret.

4. Kuinka monta paria vierekkäisiä kulmia on piirustuksessa 81?

5. Voiko vierekkäisten kulmien pari koostua kahdesta terävästä kulmasta? kahdesta tylpästä kulmasta? oikeasta ja tylppästä kulmasta? suorasta ja terävästä kulmasta?

6. Jos jokin viereisistä kulmista on oikea, niin mitä voidaan sanoa sen viereisen kulman arvosta?

7. Jos kahden suoran leikkauskohdassa on yksi suora kulma, niin mitä voidaan sanoa kolmen muun kulman koosta?