Haluatko tietää, mitkä ovat matemaattiset mahdollisuudet vetosi onnistumiseen? Sitten meillä on sinulle kaksi hyvää uutista. Ensinnäkin: avoimuuden laskemiseksi sinun ei tarvitse suorittaa monimutkaisia laskelmia ja viettää paljon aikaa. Riittää, kun käytät yksinkertaisia kaavoja, joiden kanssa työskentely kestää muutaman minuutin. Toiseksi, kun olet lukenut tämän artikkelin, voit helposti laskea minkä tahansa kaupasi läpimenon todennäköisyyden.
Avaavuuden määrittämiseksi oikein sinun on suoritettava kolme vaihetta:
- Laske prosenttiosuus tapahtuman lopputuloksen todennäköisyydestä vedonvälittäjän toimiston mukaan;
- Laske itse todennäköisyys tilastotiedoista;
- Selvitä vedon arvo molemmilla todennäköisyyksillä.
Tarkastellaan yksityiskohtaisesti jokaista vaihetta käyttämällä kaavojen lisäksi myös esimerkkejä.
Nopea kulku
Vedonlyöntikertoimiin upotetun todennäköisyyden laskeminen
Ensimmäinen askel on selvittää, millä todennäköisyydellä vedonvälittäjä arvioi tietyn tuloksen mahdollisuudet. Loppujen lopuksi on selvää, että vedonvälittäjät eivät lyö vetoa vain sillä tavalla. Tätä varten käytämme seuraavaa kaavaa:
PB=(1/K)*100%,
missä P B on vedonvälittäjän toimiston tuloksen todennäköisyys;
K - vedonvälittäjän kertoimet tulokselle.
Oletetaan, että Lontoon Arsenalin voiton todennäköisyys kaksintaistelussa Bayernia vastaan on 4. Tämä tarkoittaa, että BC:n voiton todennäköisyydeksi katsotaan (1/4) * 100 % = 25 %. Tai Djokovic pelaa Etelää vastaan. Novakin voiton kerroin on 1,2, hänen mahdollisuutensa ovat (1/1,2)*100%=83%.
Näin vedonvälittäjä itse arvioi jokaisen pelaajan ja joukkueen menestymisen mahdollisuudet. Kun ensimmäinen vaihe on suoritettu, siirrymme toiseen.
Pelaajan suorittaman tapahtuman todennäköisyyden laskeminen
Suunnitelmamme toinen kohta on oma arviomme tapahtuman todennäköisyydestä. Koska emme voi matemaattisesti ottaa huomioon sellaisia parametreja kuin motivaatio, pelin sävy, käytämme yksinkertaistettua mallia ja käytämme vain aiempien tapaamisten tilastoja. Tuloksen tilastollisen todennäköisyyden laskemiseksi käytämme kaavaa:
PJa\u003d (UM / M) * 100%,
missäPJa- tapahtuman todennäköisyys pelaajan mukaan;
UM - onnistuneiden otteluiden lukumäärä, joissa tällainen tapahtuma tapahtui;
M on otteluiden kokonaismäärä.
Selvyttääksemme asiaa, annamme esimerkkejä. Andy Murray ja Rafael Nadal ovat pelanneet 14 ottelua. Niistä 6:ssa kirjattiin yhteensä alle 21 peliä, 8:ssa yhteensä yli. On tarpeen selvittää todennäköisyys, että seuraava ottelu pelataan yhteensä yli: (8/14)*100=57%. Valencia pelasi Mestallassa 74 ottelua Atléticoa vastaan, joissa se saavutti 29 voittoa. Valencian voiton todennäköisyys: (29/74)*100 %=39 %.
Ja me kaikki tiedämme tämän vain aiempien pelien tilastojen ansiosta! Luonnollisesti tällaista todennäköisyyttä ei voida laskea jollekin uudelle joukkueelle tai pelaajalle, joten tämä vedonlyöntistrategia sopii vain otteluihin, joissa vastustajat kohtaavat ei ensimmäistä kertaa. Nyt tiedämme kuinka määrittää vedonlyönti ja omat tulosten todennäköisyydet, ja meillä on kaikki tiedot mennäksesi viimeiseen vaiheeseen.
Panoksen arvon määrittäminen
Vedon arvo (arvostettavuus) ja kelvollisuus liittyvät suoraan toisiinsa: mitä korkeampi arvo on, sitä suurempi on läpimenon mahdollisuus. Arvo lasketaan seuraavasti:
V=PJa*K-100%,
jossa V on arvo;
P I - tuloksen todennäköisyys paremman mukaan;
K - vedonvälittäjän kertoimet tulokselle.
Oletetaan, että haluamme lyödä vetoa siitä, että Milan voittaa ottelun Romaa vastaan, ja laskimme, että punamustien voiton todennäköisyys on 45%. Vedonvälittäjä tarjoaa meille kertoimen 2,5 tälle tulokselle. Olisiko tällainen veto arvokasta? Suoritamme laskelmia: V \u003d 45% * 2,5-100% \u003d 12,5%. Hienoa, meillä on arvokas veto, jolla on hyvät mahdollisuudet ohittaa.
Otetaan toinen tapaus. Maria Sharapova pelaa Petra Kvitovaa vastaan. Haluamme tehdä sopimuksen, että Maria voittaa, mikä on laskelmiemme mukaan 60 % todennäköisyydellä. Vedonvälittäjät tarjoavat tälle tulokselle kertoimen 1,5. Määritä arvo: V=60%*1,5-100=-10%. Kuten näet, tällä vedolla ei ole arvoa, ja sitä tulisi pidättäytyä.
ontologisena kategoriana heijastaa minkä tahansa entiteetin syntymisen mahdollisuutta missä tahansa olosuhteissa. Toisin kuin tämän käsitteen matemaattiset ja loogiset tulkinnat, ontologinen V. ei liity kvantitatiivisen ilmaisun välttämättömyyteen. V:n arvo paljastuu determinismin ja yleensä kehityksen luonteen ymmärtämisen yhteydessä.
Suuri määritelmä
Epätäydellinen määritelmä ↓
TODENNÄKÖISYYS
käsite, joka luonnehtii määriä. mitta tietyn tapahtuman esiintymisen mahdollisuudesta tietyllä hetkellä. ehdot. Tieteellisesti V:stä on kolme tulkintaa. Klassinen V:n käsite, joka syntyi matemaattisesta. uhkapelaamisen analyysi, jonka B. Pascal, J. Bernoulli ja P. Laplace ovat täysin kehittäneet, pitää V.:tä suotuisten tapausten lukumäärän suhdelukuna kaikkien yhtä mahdollisten tapausten kokonaismäärään. Esimerkiksi heitettäessä noppaa, jossa on 6 sivua, voidaan olettaa, että jokainen niistä saa V:n, joka on 1/6, koska kummallakaan puolella ei ole etuja toiseen nähden. Tällainen kokemusten tulosten symmetria otetaan erityisesti huomioon pelejä organisoitaessa, mutta se on suhteellisen harvinaista tieteen ja käytännön objektiivisten tapahtumien tutkimisessa. Klassikko V.:n tulkinta väistyi tilastolliselle. V:n käsitteet, joiden ytimessä ovat päteviä. tietyn tapahtuman esiintymisen tarkkailu keston aikana. kokemusta täsmällisesti määrätyissä olosuhteissa. Käytäntö vahvistaa, että mitä useammin tapahtuma esiintyy, sitä suurempi on sen objektiivisen mahdollisuuden aste tai V. Siksi tilastollinen. V:n tulkinta perustuu suhteiden käsitteeseen. taajuudet, leikkaus voidaan määrittää empiirisesti. V. teoreettisena. käsite ei kuitenkaan koskaan täsmää empiirisesti määrätyn taajuuden kanssa, mutta monella tapaa. tapauksissa se eroaa käytännössä vähän suhteellisesta. keston tuloksena löydetty taajuus. havainnot. Monet tilastotieteilijät pitävät V:tä "kaksoisviitteenä". taajuus, reuna määräytyy tilastollisesti. havainnointitulosten tutkimus
tai kokeiluja. Vähemmän realistinen oli V:n määritelmä, koska raja liittyy. R. Misesin ehdottamien joukkotapahtumien tai kollektiivien taajuudet. V:n taajuuslähestymistavan jatkokehityksenä esitetään V.:n dispositiivinen tai taipumus tulkinta (K. Popper, J. Hecking, M. Bunge, T. Setl). Tämän tulkinnan mukaan V. luonnehtii esimerkiksi ominaisuutta luoda ehtoja. koe. asennus, jotta saadaan sarja massiivisia satunnaisia tapahtumia. Tämä asenne synnyttää fyysisen dispositiot tai taipumukset, V. to-rykh voidaan tarkistaa suhteellisesti. taajuuksia.
Tilastollinen V:n tulkinta hallitsee tieteellistä. tieto, koska se heijastaa erityistä. satunnaisten massailmiöiden luontaisten kuvioiden luonne. Monissa fyysisissä, biologisissa, taloudellisissa ja demografisissa ja muut sosiaaliset prosessit, on tarpeen ottaa huomioon toiminta monien satunnaisten tekijöiden, to-ruis on ominaista vakaa taajuus. Tämän vakaan taajuuden ja määrien tunnistaminen. sen arviointi V.:n avulla mahdollistaa monien onnettomuuksien kumulatiivisen vaikutuksen läpi kulkevan välttämättömyyden paljastamisen. Tässä ilmenee sattuman välttämättömyydeksi muuttumisen dialektiikka (ks. F. Engels, kirjassa: K. Marx ja F. Engels, Soch., vol. 20, s. 535-36).
Looginen tai induktiivinen päättely luonnehtii ei-demonstratiivisen ja erityisesti induktiivisen päättelyn premissien ja päätelmien välistä suhdetta. Toisin kuin deduktio, induktion premissit eivät takaa päätelmän totuutta, vaan tekevät siitä enemmän tai vähemmän uskottavan. Tämä uskottavuus täsmällisesti muotoilluilla oletuksilla voidaan joskus arvioida V:n avulla. Tämän V:n arvo määritetään useimmiten vertaamalla. käsitteitä (suurempi, pienempi tai yhtä suuri) ja joskus numeerisella tavalla. Logiikka tulkintaa käytetään usein analysoimaan induktiivista päättelyä ja rakentamaan erilaisia todennäköisyyslogiikkajärjestelmiä (R. Carnap, R. Jeffrey). Semantiikassa loogisia käsitteitä. V. määritellään usein asteena, jolla toiset ovat vahvistaneet yhden väitteen (esimerkiksi sen empiiristen tietojen hypoteesi).
Päätöksenteon ja pelien teorioiden kehittymisen yhteydessä ns. V:n personalistinen tulkinta. Vaikka V. ilmaisee tässä tapauksessa subjektin uskon asteen ja tietyn tapahtuman esiintymisen, itse V. on valittava siten, että V:n laskennan aksioomat täyttyvät. Siksi V. sellaisella tulkinnalla ei ilmaise niinkään subjektiivisen kuin rationaalisen uskon astetta. Näin ollen tällaisen V:n perusteella tehdyt päätökset ovat järkeviä, koska niissä ei oteta huomioon psykologista. aiheen ominaisuudet ja taipumukset.
Epistemologisesta t. sp. ero tilasto., looginen. ja personalistiset V:n tulkinnat ovat siinä, että jos ensimmäinen luonnehtii satunnaisten massailmiöiden objektiivisia ominaisuuksia ja suhteita, niin kaksi viimeistä analysoivat subjektiivisen, tiedostavan piirteitä. ihmisen toiminnasta epävarmuuden olosuhteissa.
TODENNÄKÖISYYS
Yksi tärkeimmistä tieteen käsitteistä, joka luonnehtii erityistä systeemistä näkemystä maailmasta, sen rakenteesta, evoluutiosta ja kognitiosta. Probabilistisen maailmankuvan spesifisyyttä paljastaa sattuman, riippumattomuuden ja hierarkian käsitteiden sisällyttäminen olemisen peruskäsitteisiin.
Ajatukset todennäköisyydestä syntyivät antiikissa ja liittyivät tietomme ominaisuuksiin, kun taas todennäköisyystiedon olemassaolo tunnistettiin, mikä eroaa luotettavasta tiedosta ja väärästä tiedosta. Todennäköisyysajatuksen vaikutus tieteelliseen ajatteluun, tiedon kehittämiseen liittyy suoraan todennäköisyysteorian kehittymiseen matemaattisena tieteenalana. Matemaattisen todennäköisyysopin alkuperä juontaa juurensa 1600-luvulle, jolloin kehitettiin käsitteiden ydin, jotka mahdollistavat. määrälliset (numeeriset) ominaisuudet ja todennäköisyysperiaatteen ilmaiseminen.
Intensiiviset todennäköisyyssovellukset tiedon kehittämiseen putoavat 2. kerrokseen. 19-1. kerros. 20. vuosisata Todennäköisyys on astunut sellaisten luonnonperustaisten tieteiden rakenteisiin kuin klassinen tilastollinen fysiikka, genetiikka, kvanttiteoria, kybernetiikka (informaatioteoria). Näin ollen todennäköisyys personoi sen tieteen kehitysvaiheen, joka nyt määritellään ei-klassiseksi tieteeksi. Probabilistisen ajattelutavan uutuuden, piirteiden paljastamiseksi on lähdettävä liikkeelle todennäköisyysteorian aiheen ja sen monien sovellusten perusteiden analyysistä. Todennäköisyysteoria määritellään yleensä matemaattiseksi tieteenalaksi, joka tutkii massasatunnaisten ilmiöiden lakeja tietyissä olosuhteissa. Satunnaisuus tarkoittaa sitä, että massaluonteen puitteissa jokaisen alkeisilmiön olemassaolo ei riipu muiden ilmiöiden olemassaolosta eikä määräydy niiden olemassaolosta. Samaan aikaan ilmiöiden massaluonteella on vakaa rakenne, se sisältää tiettyjä säännönmukaisuuksia. Massailmiö on jaettu melko tiukasti osajärjestelmiin, ja alkuaineilmiöiden suhteellinen lukumäärä kussakin osajärjestelmässä (suhteellinen taajuus) on erittäin vakaa. Tätä vakautta verrataan todennäköisyyteen. Massailmiölle kokonaisuutena on tunnusomaista todennäköisyyksien jakauma, eli osajärjestelmien ja niitä vastaavien todennäköisyyksien osoitus. Todennäköisyysteorian kieli on todennäköisyysjakaumien kieli. Vastaavasti todennäköisyysteoria määritellään jakaumien kanssa toimimisen abstraktiksi tieteeksi.
Todennäköisyys herätti tieteessä ajatuksia tilastollisista säännönmukaisuuksista ja tilastojärjestelmistä. Jälkimmäiset ovat itsenäisistä tai kvasiriippumattomista olioista muodostettuja järjestelmiä, joiden rakenteeseen on tunnusomaista todennäköisyysjakaumat. Mutta kuinka on mahdollista muodostaa järjestelmiä itsenäisistä kokonaisuuksista? Yleensä oletetaan, että järjestelmien muodostamiseksi, joilla on kiinteät ominaisuudet, on välttämätöntä, että niiden elementtien välillä on riittävän vakaat sidokset, jotka sementoivat järjestelmät. Tilastojärjestelmien vakauden antaa ulkoisten olosuhteiden, ulkoisen ympäristön, ulkoisten eikä sisäisten voimien läsnäolo. Todennäköisyyden määritelmä perustuu aina alkumassailmiön muodostumisen edellytysten asettamiseen. Toinen tärkeä ajatus, joka luonnehtii todennäköisyysparadigmaa, on ajatus hierarkiasta (alistus). Tämä ajatus ilmaisee yksittäisten elementtien ominaisuuksien ja järjestelmien kokonaisominaisuuksien välisen suhteen: jälkimmäiset rakentuvat ikään kuin edellisen päälle.
Probabilististen menetelmien merkitys kognitiossa on siinä, että niiden avulla voimme tutkia ja teoreettisesti ilmaista hierarkkisen, "kaksitasoisen" rakenteen omaavien objektien ja järjestelmien rakenne- ja käyttäytymismalleja.
Todennäköisyyden luonteen analyysi perustuu sen esiintymistiheyteen, tilastolliseen tulkintaan. Samaan aikaan tieteessä hallitsi hyvin pitkään sellainen todennäköisyyden ymmärtäminen, jota kutsuttiin loogiseksi tai induktiiviseksi todennäköisyydeksi. Looginen todennäköisyys kiinnostaa kysymykset erillisen, yksilöllisen tuomion pätevyydestä tietyissä olosuhteissa. Onko mahdollista arvioida induktiivisen päätelmän (hypoteettisen päätelmän) vahvistusastetta (luotettavuus, totuus) kvantitatiivisessa muodossa? Todennäköisyysteorian muodostumisen aikana tällaisista kysymyksistä keskusteltiin toistuvasti, ja he alkoivat puhua hypoteettisten johtopäätösten vahvistusasteista. Tämän todennäköisyysmitan määräävät tietyn henkilön käytettävissä olevat tiedot, hänen kokemuksensa, näkemyksensä maailmasta ja psykologinen ajattelutapa. Kaikissa tällaisissa tapauksissa todennäköisyyden suuruus ei ole tiukkojen mittausten kohteena, ja se on käytännössä todennäköisyysteorian kompetenssin ulkopuolella johdonmukaisena matemaattisena tieteenalana.
Todennäköisyyden objektiivinen, frekvenssitulkinta luotiin tieteessä huomattavin vaikeuksin. Aluksi todennäköisyyden luonteen ymmärtämiseen vaikuttivat voimakkaasti ne filosofiset ja metodologiset näkemykset, jotka olivat tyypillisiä klassiselle tieteelle. Historiallisesti todennäköisyyslaskentamenetelmien muodostuminen fysiikassa tapahtui mekaniikan ideoiden ratkaisevan vaikutuksen alaisena: tilastollisia järjestelmiä käsiteltiin yksinkertaisesti mekaanisina. Koska vastaavia ongelmia ei ratkaistu tiukoilla mekaniikan menetelmillä, syntyi väitteitä, että vetoomus todennäköisyysmenetelmiin ja tilastollisiin säännönmukaisuuksiin on seurausta tietämyksemme epätäydellisyydestä. Klassisen tilastollisen fysiikan kehityshistoriassa sitä on yritetty perustella lukuisia yrityksiä klassisen mekaniikan perusteella, mutta ne kaikki epäonnistuivat. Todennäköisyysperusteena on, että se ilmaisee tietyn luokan järjestelmien rakenteen piirteitä, jotka eivät ole mekaniikkajärjestelmiä: näiden järjestelmien elementtien tilaan on ominaista epävakaus ja erityinen (mekaniikkaan pelkistävä) vuorovaikutuksen luonne. .
Todennäköisyyden tulo kognitioon johtaa jäykän determinismin käsitteen kieltämiseen, klassisen tieteen muodostumisprosessissa kehitetyn olemisen ja kognition perusmallin kieltämiseen. Tilastoteorioiden edustamat perusmallit ovat luonteeltaan erilaisia, yleisempiä: ne sisältävät ajatuksia satunnaisuudesta ja riippumattomuudesta. Ajatus todennäköisyydestä liittyy esineiden ja järjestelmien sisäisen dynamiikan paljastamiseen, jota ulkoiset olosuhteet ja olosuhteet eivät voi täysin määrittää.
Todennäköisyyskäsitys maailmasta, joka perustuu itsenäisyyttä koskevien käsitysten absolutisoimiseen (kuten ennenkin, jäykän päättäväisyyden paradigma), on nyt paljastanut rajoituksensa, mikä vaikuttaa voimakkaimmin modernin tieteen siirtymiseen analyyttisiin menetelmiin monimutkaisen opiskeluun. järjestäytyneet järjestelmät ja itseorganisaatioilmiöiden fyysiset ja matemaattiset perusteet.
Suuri määritelmä
Epätäydellinen määritelmä ↓
Todennäköisyyksiin liittyvien toimenpiteiden tarve syntyy, kun joidenkin tapahtumien todennäköisyydet tiedetään, ja muiden näihin tapahtumiin liittyvien tapahtumien todennäköisyydet on laskettava.
Todennäköisyyslaskua käytetään, kun on tarpeen laskea satunnaisten tapahtumien yhdistelmän tai loogisen summan todennäköisyys.
Tapahtumien summa A ja B nimetä A + B tai A ∪ B. Kahden tapahtuman summa on tapahtuma, joka tapahtuu, jos ja vain jos vähintään yksi tapahtumista tapahtuu. Se tarkoittaa sitä A + B- tapahtuma, joka tapahtuu silloin ja vain, jos tapahtuma tapahtuu havainnon aikana A tai tapahtuma B, tai samaan aikaan A ja B.
Jos tapahtumia A ja B ovat keskenään ristiriidassa ja niiden todennäköisyydet on annettu, todennäköisyys, että jokin näistä tapahtumista tapahtuu yhden kokeen tuloksena, lasketaan todennäköisyyksien summalla.
Todennäköisyyksien yhteenlaskulause. Todennäköisyys, että toinen kahdesta keskenään yhteensopimattomasta tapahtumasta tapahtuu, on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa:
Esimerkiksi metsästyksen aikana ammuttiin kaksi laukausta. Tapahtuma MUTTA– ankan lyöminen ensimmäisestä laukauksesta, tapahtuma AT– osuma toisesta laukauksesta, tapahtuma ( MUTTA+ AT) - osuma ensimmäisestä tai toisesta laukauksesta tai kahdesta laukauksesta. Jos siis kaksi tapahtumaa MUTTA ja AT ovat siis yhteensopimattomia tapahtumia MUTTA+ AT- vähintään yhden näistä tapahtumista tai kahdesta tapahtumasta.
Esimerkki 1 Laatikossa on 30 samankokoista palloa: 10 punaista, 5 sinistä ja 15 valkoista. Laske todennäköisyys, että värillinen (ei valkoinen) pallo otetaan katsomatta.
Päätös. Oletetaan, että tapahtuma MUTTA– "punainen pallo on otettu" ja tapahtuma AT- "Sininen pallo on otettu." Sitten tapahtuma on "värillinen (ei valkoinen) pallo otetaan". Selvitä tapahtuman todennäköisyys MUTTA:
ja tapahtumia AT:
Tapahtumat MUTTA ja AT- keskenään yhteensopimaton, koska jos yksi pallo otetaan, erivärisiä palloja ei voida ottaa. Siksi käytämme todennäköisyyksien lisäystä:
Useiden yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien yhteenlaskulause. Jos tapahtumat muodostavat koko tapahtumajoukon, niin niiden todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin 1:
Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien summa on myös yhtä suuri kuin 1:
Vastakkaiset tapahtumat muodostavat täydellisen tapahtumasarjan, ja kokonaisen tapahtumasarjan todennäköisyys on 1.
Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyydet on yleensä merkitty pienillä kirjaimilla. p ja q. Erityisesti,
joista seuraavat vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyden kaavat:
Esimerkki 2 Kohde viivalla on jaettu 3 vyöhykkeeseen. Todennäköisyys, että tietty ampuja ampuu maaliin ensimmäisessä vyöhykkeessä, on 0,15, toisella alueella - 0,23, kolmannella - 0,17. Laske todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin, ja todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin.
Ratkaisu: Selvitä todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin:
Laske todennäköisyys, että ampuja ohittaa kohteen:
Vaikeammat tehtävät, joissa joudut käyttämään sekä todennäköisyyksien yhteen- että kertolaskua - sivulla "Erilaisia tehtäviä todennäköisyyksien yhteen- ja kertomiseen" .
Yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien lisäys
Kahden satunnaisen tapahtuman sanotaan olevan yhteisiä, jos yhden tapahtuman esiintyminen ei sulje pois toisen tapahtuman esiintymistä samassa havainnossa. Esimerkiksi noppaa heittäessä tapahtuma MUTTA katsotaan olevan luvun 4 esiintyminen ja tapahtuma AT- parillisen luvun pudottaminen. Koska numero 4 on parillinen luku, nämä kaksi tapahtumaa ovat yhteensopivia. Käytännössä on tehtäviä jonkin yhteisen tapahtuman toteutumisen todennäköisyyksien laskemiseksi.
Yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien yhteenlaskulause. Todennäköisyys, että jokin yhteisistä tapahtumista toteutuu, on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa, josta vähennetään molempien tapahtumien yhteisen esiintymisen todennäköisyys, eli todennäköisyyksien tulo. Yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien kaava on seuraava:
Koska tapahtumat MUTTA ja AT yhteensopiva, tapahtuma MUTTA+ AT tapahtuu, jos tapahtuu yksi kolmesta mahdollisesta tapahtumasta: tai AB. Yhteensopimattomien tapahtumien yhteenlaskulauseen mukaan laskemme seuraavasti:
Tapahtuma MUTTA tapahtuu, jos toinen kahdesta yhteensopimattomasta tapahtumasta tapahtuu: tai AB. Yhden tapahtuman todennäköisyys useista yhteensopimattomista tapahtumista on kuitenkin yhtä suuri kuin kaikkien näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa:
Samalla lailla:
Korvaamalla lausekkeet (6) ja (7) lausekkeeksi (5), saadaan yhteisten tapahtumien todennäköisyyskaava:
Kaavaa (8) käytettäessä tulee ottaa huomioon, että tapahtumat MUTTA ja AT voi olla:
- toisistaan riippumaton;
- toisistaan riippuvaisia.
Todennäköisyyskaava toisistaan riippumattomille tapahtumille:
Todennäköisyyskaava toisistaan riippuvaisille tapahtumille:
Jos tapahtumia MUTTA ja AT ovat epäjohdonmukaisia, silloin niiden yhteensattuma on mahdoton tapaus ja siten P(AB) = 0. Neljäs yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyskaava on seuraava:
Esimerkki 3 Autokilpailussa ensimmäisellä autolla ajettaessa voiton todennäköisyys, kun ajetaan toisella autolla. Löytää:
- todennäköisyys, että molemmat autot voittaa;
- todennäköisyys, että vähintään yksi auto voittaa;
1) Todennäköisyys, että ensimmäinen auto voittaa, ei riipu toisen auton tuloksesta, joten tapahtumat MUTTA(ensimmäinen auto voittaa) ja AT(toinen auto voittaa) - itsenäiset tapahtumat. Laske todennäköisyys, että molemmat autot voittavat:
2) Laske todennäköisyys, että toinen kahdesta autosta voittaa:
Vaikeammat tehtävät, joissa joudut käyttämään sekä todennäköisyyksien yhteen- että kertolaskua - sivulla "Erilaisia tehtäviä todennäköisyyksien yhteen- ja kertomiseen" .
Ratkaise itse todennäköisyyksien lisäämisen ongelma ja katso sitten ratkaisua
Esimerkki 4 Kaksi kolikkoa heitetään. Tapahtuma A- ensimmäisen kolikon vaakunan menetys. Tapahtuma B- vaakunan menetys toisesta kolikosta. Selvitä tapahtuman todennäköisyys C = A + B .
Todennäköisyyskerroin
Todennäköisyyksien kertolaskua käytetään, kun halutaan laskea tapahtumien loogisen tuotteen todennäköisyys.
Tässä tapauksessa satunnaisten tapahtumien on oltava riippumattomia. Kahden tapahtuman sanotaan olevan toisistaan riippumattomia, jos yhden tapahtuman esiintyminen ei vaikuta toisen tapahtuman todennäköisyyteen.
Riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulause. Kahden riippumattoman tapahtuman samanaikaisen esiintymisen todennäköisyys MUTTA ja AT on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo ja se lasketaan kaavalla:
Esimerkki 5 Kolikkoa heitetään kolme kertaa peräkkäin. Laske todennäköisyys, että vaakuna putoaa kaikki kolme kertaa.
Päätös. Todennäköisyys, että vaakuna putoaa kolikon ensimmäisellä heitolla, toisella ja kolmannella kerralla. Laske todennäköisyys, että vaakuna putoaa kaikki kolme kertaa:
Ratkaise itse todennäköisyyksien kertomiseen liittyvät tehtävät ja katso sitten ratkaisua
Esimerkki 6 Siellä on laatikko, jossa on yhdeksän uutta tennispalloa. Peliä varten otetaan kolme palloa, pelin jälkeen ne laitetaan takaisin. Palloja valitessaan he eivät tee eroa pelattujen ja pelaamattomien pallojen välillä. Millä todennäköisyydellä kolmen pelin jälkeen laatikossa ei ole yhtään pelaamatonta palloa?
Esimerkki 7 32 venäjän aakkosten kirjainta on kirjoitettu leikatuille aakkoskorteille. Viisi korttia vedetään satunnaisesti peräkkäin ja asetetaan pöydälle siinä järjestyksessä, jossa ne ilmestyvät. Laske todennäköisyys, että kirjaimet muodostavat sanan "loppu".
Esimerkki 8 Täydestä korttipakasta (52 arkkia) otetaan neljä korttia kerralla. Laske todennäköisyys, että kaikki nämä neljä korttia ovat samaa maata.
Esimerkki 9 Sama ongelma kuin esimerkissä 8, mutta jokainen kortti palautetaan pakkaan vedon jälkeen.
Monimutkaisempia tehtäviä, joissa sinun on käytettävä sekä todennäköisyyksien yhteen- että kertolaskua, sekä laskettava useiden tapahtumien tulo, sivulla "Erilaisia tehtäviä todennäköisyyksien yhteen- ja kertomiseen" .
Todennäköisyys, että ainakin yksi toisistaan riippumattomista tapahtumista tapahtuu, voidaan laskea vähentämällä vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien tulo 1:stä, eli kaavalla:
Esimerkki 10 Tavarat kuljetetaan kolmella kuljetusmuodolla: joki-, rautatie- ja maantiekuljetukset. Todennäköisyys, että lasti toimitetaan jokikuljetuksella, on 0,82, rautateitse 0,87, maanteitse 0,90. Laske todennäköisyys, että tavarat toimitetaan vähintään yhdellä kolmesta kuljetusmuodosta.
- Todennäköisyys - aste (suhteellinen mitta, määrällinen arvio) jonkin tapahtuman mahdollisuudesta. Kun syyt jonkin mahdollisen tapahtuman tosiasialliseen toteutumiseen ovat suuremmat kuin päinvastaiset syyt, tätä tapahtumaa kutsutaan todennäköiseksi, muuten - epätodennäköiseksi tai epätodennäköiseksi. Positiivisten perusteiden ylivoima negatiivisiin nähden ja päinvastoin voi olla vaihtelevaa, minkä seurauksena todennäköisyys (ja epätodennäköisyys) on suurempi tai pienempi. Siksi todennäköisyys arvioidaan usein laadullisella tasolla, varsinkin tapauksissa, joissa enemmän tai vähemmän tarkka kvantitatiivinen arviointi on mahdotonta tai erittäin vaikeaa. Erilaiset todennäköisyyden "tasojen" asteet ovat mahdollisia.
Todennäköisyyden tutkimus matemaattisesta näkökulmasta on erityinen tieteenala - todennäköisyysteoria. Todennäköisyysteoriassa ja matemaattisessa tilastotiedossa todennäköisyyskäsite formalisoidaan tapahtuman numeerisena ominaisuutena - todennäköisyysmitta (tai sen arvo) - tapahtumajoukon (alkutapahtumien joukon osajoukkojen) mitta, joka ottaa arvot alkaen
(\displaystyle 0)
(\displaystyle 1)
Merkitys
(\displaystyle 1)
Vastaa pätevää tapahtumaa. Mahdoton tapahtuman todennäköisyys on 0 (käänteinen ei yleensä ole aina totta). Jos tapahtuman todennäköisyys on
(\displaystyle p)
Silloin sen todennäköisyys on yhtä suuri kuin
(\displaystyle 1-p)
Erityisesti todennäköisyys
(\displaystyle 1/2)
Tarkoittaa yhtäläistä todennäköisyyttä tapahtuman esiintymiselle ja toteutumattomuudelle.
Klassinen todennäköisyyden määritelmä perustuu tulosten tasatodennäköisyyden käsitteeseen. Todennäköisyys on tiettyä tapahtumaa suosivien tulosten lukumäärän suhde yhtä todennäköisten tulosten kokonaismäärään. Esimerkiksi todennäköisyys saada "päät" tai "hännät" satunnaisessa kolikonheitossa on 1/2, jos oletetaan, että vain nämä kaksi mahdollisuutta toteutuvat ja ne ovat yhtä todennäköisiä. Tämä klassinen todennäköisyyden "määritelmä" voidaan yleistää tapaukseen, jossa on ääretön määrä mahdollisia arvoja - esimerkiksi jos tapahtuma voi tapahtua yhtä todennäköisyydellä missä tahansa kohdassa (pisteiden määrä on ääretön) jollakin rajoitetulla alueella. tila (taso), niin todennäköisyys, että se tapahtuu jossain osassa tätä sallittua aluetta, on yhtä suuri kuin tämän osan tilavuuden (pinta-alan) suhde kaikkien mahdollisten pisteiden alueen tilavuuteen (pinta-alaan) .
Todennäköisyyden empiirinen "määritelmä" liittyy tapahtuman esiintymistiheyteen, joka perustuu siihen, että riittävän suurella koemäärällä frekvenssin tulisi pyrkiä tämän tapahtuman objektiiviseen mahdollisuuteen. Nykyaikaisessa todennäköisyysteorian esityksessä todennäköisyys määritellään aksiomaattisesti, joukon suuren abstraktin teorian erityistapauksena. Abstraktin suuren ja tapahtuman mahdollisuutta ilmaisevan todennäköisyyden välinen yhteys on kuitenkin juuri sen havainnointitiheys.
Tiettyjen ilmiöiden todennäköisyyspohjainen kuvaus on yleistynyt modernissa tieteessä, erityisesti ekonometriassa, makroskooppisten (termodynaamisten) järjestelmien tilastollisessa fysiikassa, jossa jopa klassisen deterministisen hiukkasten liikkeen kuvauksen tapauksessa koko järjestelmän deterministinen kuvaus. hiukkasten poistaminen ei ole käytännössä mahdollista ja tarkoituksenmukaista. Kvanttifysiikassa itse kuvatut prosessit ovat luonteeltaan todennäköisyyspohjaisia.
Jos tapahtumat H 1 , H 2 , …, H n muodostavat täydellisen ryhmän, niin mielivaltaisen tapahtuman todennäköisyyden laskemiseen voidaan käyttää kokonaistodennäköisyyskaavaa:
P (A) \u003d P (A / H 1) P (H 1) + P (A / H 2) P (H 2)
Sen mukaan tapahtuman A toteutumistodennäköisyys voidaan esittää tapahtuman A ehdollisten todennäköisyyksien tulojen summana tapahtumien H i toteutumisen ehdolla näiden tapahtumien H i ehdottomilla todennäköisyyksillä . Näitä tapahtumia H i kutsutaan hypoteesiksi.
Bayesin kaava seuraa kokonaistodennäköisyyskaavasta:
Hypoteesien H i todennäköisyyksiä P(H i) kutsutaan a priori todennäköisyyksiksi - todennäköisyyksiksi ennen kokeita.
Todennäköisyyksiä P(A/H i) kutsutaan a posteriori todennäköisyyksiksi - kokeen tuloksena tarkennettujen hypoteesien H i todennäköisyyksiksi.
Palvelutehtävä. Online-laskin on suunniteltu laskemaan kokonaistodennäköisyys suunnittelulla koko ratkaisun kulku Word-muodossa (katso esimerkkejä ongelmanratkaisusta).
Esimerkki #1. Kauppa vastaanottaa hehkulamppuja kahdelta tehtaalta, joista ensimmäisen tehtaan osuus on 25 %. Tiedetään, että vikojen osuus näissä tehtaissa on 5 % ja 10 % kaikista valmistetuista tuotteista. Myyjä ottaa satunnaisesti yhden hehkulampun. Mikä on todennäköisyys, että se on viallinen?
Päätös: Merkitse A:lla tapahtumaa - "lamppu on viallinen". Seuraavat hypoteesit tämän hehkulampun alkuperästä ovat mahdollisia: H1- "Hehkulamppu tuli ensimmäisestä tehtaasta." H2- "Hehkulamppu tuli toisesta tehtaasta." Koska ensimmäisen tehtaan osuus on 25%, näiden hypoteesien todennäköisyydet ovat vastaavasti 
; 
.
Ehdollinen todennäköisyys, että viallinen hehkulamppu on valmistettu ensimmäisessä tehtaassa, on 
, toinen kasvi - p(A/H2)=
halutun todennäköisyyden, että myyjä otti viallisen hehkulampun, löydämme kokonaistodennäköisyyskaavalla
0,25 0,05+0,75 0,10=0,0125+0,075=0,0875
Vastaus: p(A)= 0,0875.
Esimerkki #2. Myymälä vastaanotti kaksi erää samaa samannimistä tuotetta, saman verran. Tiedetään, että 25 % ensimmäisestä erästä ja 40 % toisesta erästä on ensimmäisen luokan tavaroita. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valittu hyödykkeen yksikkö ei ole ensiluokkaista?
Päätös:
Merkitse A:lla tapahtuma - "tuote on ensimmäistä luokkaa". Seuraavat hypoteesit tämän tuotteen alkuperästä ovat mahdollisia: H1- "tavarat ensimmäisestä erästä." H2- "tavarat toisesta erästä". Koska ensimmäisen osapuolen osuus on 25%, niin näiden hypoteesien todennäköisyydet ovat vastaavasti samat. ; 
.
Ehdollinen todennäköisyys, että ensimmäisen erän nimike on 
, toisesta erästä - 
haluttu todennäköisyys, että satunnaisesti valittu tavarayksikkö on ensiluokkaista
p(A) \u003d P (H 1) p (A / H 1) + P (H 2) (A / H 2) \u003d 0,25 0,5+0,4 0,5=0,125+0,2=0,325
Tällöin todennäköisyys, että satunnaisesti valittu tavarayksikkö ei ole ensimmäinen luokka, on yhtä suuri: 1-0,325 = 0,675
Vastaus:
.
Esimerkki #3. Tiedetään, että 5 % miehistä ja 1 % naisista on värisokeita. Satunnaisesti valittu henkilö ei ollut värisokea. Millä todennäköisyydellä tämä on mies (oletetaan, että miehet ja naiset jakautuvat tasan).
Päätös.
Tapahtuma A - satunnaisesti valittu henkilö ei ollut värisokea.
Selvitä tämän tapahtuman todennäköisyys.
P(A) = P(A|H=mies) + P(A|H=naaras) = 0,95*0,5 + 0,99*0,5 = 0,475 + 0,495 = 0,97
Tällöin todennäköisyys, että tämä on mies, on: p = P(A|H=mies) / P(A) = 0,475/0,97 = 0,4897
Esimerkki #4. Urheiluolympialaisiin osallistuu ensimmäiseltä vuodelta 4 oppilasta, toisesta - 6, kolmannesta - 5. Todennäköisyys, että ensimmäisen, toisen ja kolmannen vuoden opiskelija voittaa olympian, on vastaavasti 0,9; 0,7 ja 0,8.
a) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu osallistuja voittaa.
b) Tämän tehtävän olosuhteissa yksi oppilas voitti olympialaiset. Mihin ryhmään hän todennäköisimmin kuuluu?
Päätös.
Tapahtuma A - voitto satunnaisesti valitun osallistujan mukaan.
Tässä P(H1) = 4/(4+6+5) = 0,267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0,4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0,333,
P(A|H1) = 0,9, P(A|H2) = 0,7, P(A|H3) = 0,8
a) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,267*0,9 + 0,4*0,7 + 0,333*0,8 = 0,787
b) Ratkaisu saadaan tällä laskimella.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
Valitse p1, p2, p3 maksimi.
Esimerkki numero 5. Yrityksellä on kolme samantyyppistä konetta. Toinen niistä antaa 20% kokonaistuotannosta, toinen - 30%, kolmas - 50%. Samaan aikaan ensimmäinen kone tuottaa 5% hylkyistä, toinen 4%, kolmas - 2%. Laske todennäköisyys, että ensimmäinen kone tuottaa satunnaisesti valitun käyttökelvottoman tuotteen.
