Kaikki tämän osan tehtävät ovat valinnaisia siinä mielessä, että kaikkien opiskelijoiden ei tarvitse pystyä ratkaisemaan niitä. Käytä niitä niin paljon kuin se on kiinnostavaa opiskelijoillesi, sikäli kuin voit järjestää koululaisten oppimistoimintaa, joka edistää heidän kehitystään. Ensimmäiset tehtävät sopivat luokan edessä työskentelyyn. Heidän kanssaan työskenneltyään opiskelijat oppivat erottamaan paremmin suoran ja käänteisen suhteellisuuden ja kokevat vähemmän vaikeuksia tehtävien suorittamisessa yksinkertaisen kolmoissäännön mukaan.
278 .* 3 kanaa muni 3 munaa 3 päivässä. Kuinka monta munaa 12 kanaa munii 12 päivässä?
Opiskelijat hämmästyvät suuresti, kun he saavat tietää, että "ilmeinen" vastaus "12 munaa" on väärä. Tämän osan ensimmäisen ongelman ratkaisu on parasta analysoida kollektiivisesti, kenties jonkinlaisen kotona harkinnan jälkeen. Ohjaavat kysymykset on annettu "Vastaukset ja vinkit" -osiossa. Kirjoita lyhyesti ongelman tila:
kananmunien päivät
12 12 x,
vuoropuhelun aikana sinun on selvitettävä, kuinka monta kertaa kanojen määrä on kasvanut (4 kertaa); kuinka munien määrä muuttui, jos päivien lukumäärä ei muuttunut (lisäsi 4 kertaa); kuinka monta kertaa päivien määrä on kasvanut (4 kertaa); kuinka munien määrä muuttui (nousu 4 kertaa). Seurauksena on, että munien määrä on:
x = 3 4 4 = 48.
279 .* 100 tissiä 100 päivässä syö 100 kg jyviä. Kuinka monta kiloa viljaa 10 tiaista syö 10 päivässä?
280 .* 3 maalaria voi maalata 60 ikkunaa 5 päivässä.
a) Kuinka monta maalaria pitäisi määrätä maalaamaan ikkunat, jotta he maalaavat 64 ikkunaa kahdessa päivässä?
b) Kuinka monta ikkunaa viisi maalaria maalaa 4 päivässä?
c) Kuinka monta päivää kahdella maalarilla kestää 48 ikkunan maalaamiseen?
281 .* a) 2 kaivuria kahdelle h kaivaa 2 m ojia. Kuinka monta kaivuria 5:lle h kaivaa 5 m ojia?
b) 10 pumppua 10:lle min pumppaa pois 10 t vettä. Kuinka monta minuuttia 25 pumppua pumppaa ulos 25 t vettä?
282 .* Vieraiden kielten kurssit vuokraavat koulun luokkahuoneita. Ensimmäisellä vuosipuoliskolla koulu sai 4 luokkahuoneen vuokrauksesta 6 päiväksi viikossa 336 R. kuukaudessa. Mikä on kuukausivuokra toisella vuosipuoliskolla 5 luokkahuoneelle, 5 päivää viikossa samoin ehdoin?
283 .* From "Aritmeettinen" L.F. Magnitski. Joku sai 100 R. kauppiaissa 1 vuoden ajan ja osti niistä vain 7 R. Ja kun hän antoi 1000 kauppiaille R. 5 vuoden ajan, kuinka paljon he saavat?
284 .* I. Newtonin "Yleinen aritmetiikka". Jos kirjuri pystyy kirjoittamaan 15 foliota kahdeksassa päivässä, kuinka monta kirjuria tarvitaan 405 folion kirjoittamiseen 9 päivässä?
285 .* Vanha ongelma. Kopioija voi kopioida 40 arkkia neljässä päivässä ja työstää 9 h päivässä. Kuinka monessa päivässä hän kopioi 60 arkkia ja työskentelee 12 h päivässä?
286 .* Emäntä kysyi:
Munivatko kanasi hyvin?
Ajattele itse, - kuului vastaus, - puolitoista kanaa munii puolitoista munaa puolessatoista päivässä, ja yhteensä minulla on 12 kanaa.
Kuinka monta munaa kanat munivat päivässä?
287 .* a) Ensimmäisessä kaivuriryhmässä on 4 henkilöä - ne ovat 4:lle h kaivoi 4 m ojia. Toisessa kaivurijoukossa on 5 henkilöä - he ovat viidelle h kaivoi 5 m ojia. Mikä tiimi toimii parhaiten?
b) Ensimmäinen emäntä 3 kanaa muni 6 munaa 3 päivässä ja toinen emäntä 4 kanaa muni 8 munaa 4 päivässä. Kummalla emännällä on parempia kanoja?
288 .* Vanhoja tehtäviä. a) 45 henkilön ylläpito käytettiin 56 päivässä 2040 R. Kuinka paljon pitäisi käyttää 75 ihmisen tukemiseen 70 päivän ajan?
b) Jos haluat tulostaa kirjan, jossa on 32 riviä sivulla ja 30 kirjainta rivillä, kutakin kopiota kohden tarvitaan 24 arkkia paperia. Kuinka monta paperiarkkia kuluu tämän kirjan tulostamiseen samassa muodossa, mutta 36 riviä/sivu ja 32 kirjainta/rivi?
Harkitse monimutkaisempia ongelmia neljällä ja jopa kuudella suurella. Ne voidaan antaa valinnaisena kotitehtävänä vahvimmille opiskelijoille, jotka haluavat purkaa pulmatehtäviä.
289 .* A.P.:n "Aritmetiikasta" Kiseleva.
a) 120 kiloa kerosiinia käytettiin 18 huoneen valaisemiseen 48 päivässä, ja jokaisessa huoneessa paloi 4 lamppua. Kuinka monta päivää 125 kiloa kerosiinia riittää, jos 20 huonetta valaistaan ja jokaisessa huoneessa sytytetään 3 lamppua?
b) 5 identtiselle petroliuunille, jotka paloivat 24 päivää, 6 h päivittäin, käytetty 120 l kerosiini. Kuinka monta päivää riittää 216 l kerosiinia, jos 9 samaa kerosiinia polttaa 8 h päivässä?
290 .* Vanha tehtävä. 26 hengen kaivurien artelli, joka työskentelee 12 henkilön koneilla h päivässä, voi kaivaa kanavan 96:een m pituus, 20 m leveys ja 12 dm syvyys 40 päivän kuluessa. Kuinka kauan kanavaa voi kaivaa 39 kaivuria, jotka työskentelevät 80 päivää klo 10 h päivässä, jos kanavan leveys on 10 m, syvyys 18 dm?
Tehtävä 290 S.I. Shokhor-Trotski piti sitä epätyydyttävänä elinolosuhteisiin eikä kouluharjoitteluun, hän piti sitä "Aritmeettisessa menetelmässä" (1935) "itsekseen". Otetaan käyttöön parantamamme "lopullinen kaava". Vahvalla luokalla tämä menetelmä voidaan näyttää opiskelijoille, mutta vain heidän aktiivisella osallistumisellaan ratkaisuun - muuten työ on merkityksetöntä. Alla on lyhyt ehto ongelmasta ja argumentti, jonka rinnalla voidaan pitää taululle asteittain täydennettyä, oikealla näkyvää tietuetta.
Pituus Pers. päivää Tunnin. Shir. Ch.
96 26 40 12 20 12
x 39 80 10 10 18
Kanavan pituus kasvaa alkaen
ihmisten määrä lisääntyy 39 / 26 kertaa, x = 96· 39/26
päivien määrän kasvusta 80 / 40 kertaa x = 96 39/26 80/40
ja leveyden pienentämisestä 20 / 10 ajat; x = 96 39/26 80/40 .
Kanavan pituus pienenee
tuntien määrän väheneminen 12 / 10 kertaa ja x = 96 39 / 26 80 / 40 20 / 10: 12 / 10
ja kasvavasta syvyydestä 18 / 12 kertaa: x = 96· 39 / 26 · 80 / 40 · 20 / 10: 12 / 10: 18 / 12.
Lopuksi meillä on: x = 320. Tämä tarkoittaa, että 39 kaivuria voi kaivaa 320 metrin pituisen kanavan.
Kaikki tämän osan tehtävät ovat valinnaisia siinä mielessä, että kaikkien opiskelijoiden ei tarvitse pystyä ratkaisemaan niitä. Käytä niitä niin paljon kuin se on kiinnostavaa opiskelijoillesi.
Kolme kanaa muni 3 munaa 3 päivässä. Kuinka monta munaa 12 kanaa munii 12 päivässä?
Opiskelijat hämmästyvät suuresti, kun he saavat tietää, että "ilmeinen" vastaus "12 munaa" on väärä. On parempi analysoida tämän osan ensimmäisen ongelman ratkaisua kollektiivisesti, ehkä kotona pohdittuaan ja kirjoittamalla ongelman tila lyhyesti:
Kanapäivien munat
3 33
12 12 x
Vuoropuhelun aikana sinun on selvitettävä, kuinka monta kertaa kanojen määrä on kasvanut (4 kertaa); kuinka munien määrä muuttui, jos päivien lukumäärä ei muuttunut (lisäsi 4 kertaa); kuinka monta kertaa päivien määrä on kasvanut (4 kertaa); kuinka munien määrä muuttui (nousu 4 kertaa). Munien lukumäärä on: x = 3 4 4 = 48.
2. Kolme maalaria voi maalata 60 ikkunaa 5 päivässä. Kuinka monta maalaria pitäisi määrätä maalaamaan ikkunat, jotta he maalaavat 64 ikkunaa kahdessa päivässä?
3. Vieraiden kielten kurssit vuokraavat tiloja koulun tunneille. Ensimmäisellä vuosipuoliskolla koulu sai 336 ruplaa neljän luokkahuoneen vuokraamisesta kuudeksi päiväksi viikossa. kuukaudessa. Mikä on kuukausivuokra toisella vuosipuoliskolla 5 luokkahuoneelle, 5 päivää viikossa samoin ehdoin?
4. (I. Newtonin teoksesta "Yleinen aritmetiikka".) Jos kirjuri pystyy kirjoittamaan 15 foliota kahdeksassa päivässä, kuinka monta kirjuria tarvitaan 405 folion kirjoittamiseen 9 päivässä?
5. (Vanha ongelma.) 45 ihmisen ylläpitoon käytettiin 2040 ruplaa 56 päivässä. Kuinka paljon pitäisi käyttää 75 ihmisen tukemiseen 70 päivän ajan?
Harkitse monimutkaisempia ongelmia neljällä ja jopa kuudella suurella. Ne voidaan antaa valinnaisena kotitehtävänä vahvimmille opiskelijoille, jotka haluavat purkaa pulmatehtäviä.
6. (A. Kiseljovin "Aritmetiikasta".) 18 huoneen valaisemiseen käytettiin 120 kiloa kerosiinia 48 päivässä ja jokaisessa huoneessa poltettiin 4 lamppua. Kuinka monta päivää 125 kiloa kerosiinia riittää, jos 20 huonetta valaistaan ja jokaisessa huoneessa sytytetään 3 lamppua?
7. (Vanha ongelma.) 26 kaivurin artelli, joka työskentelee koneilla 12 tuntia päivässä, pystyy kaivaamaan 96 m pitkän, 20 m leveän ja 12 dm syvän kanavan 40 päivässä. Kuinka pitkän kanavan voi kaivaa 39 kaivuria, jotka työskentelevät 80 päivää 10 tuntia päivässä, jos kanavan leveys on 10 m, syvyys 18 dm?
Hyvä kestää, hyvä opettaa,
Saavuta tavoitteet vastoinkäymisten kautta
Palvele totuutta rakkaudella -
Kutsun sitä viisaudeksi.
A. V. Elisov.
Matematiikan kokeen läpäiseminen uudessa muodossa peruskoulusta valmistuneiden ja lukiosta valmistuneiden yhtenäisen valtiontutkinnon muodossa herätti opettajille useita kysymyksiä: Kuinka opettaa uusissa olosuhteissa? Kuinka järjestää oppitunti niin, että opiskelijat ovat tyytyväisiä kokeen jälkeen, eivätkä sano, että "emme ratkaisseet tällaisia ongelmia"? L.G.:n sanat. Peterson: ”Tänään arvo ei ole sitä, missä maailmaa nähdään kaavion ”tiedän – en tiedä, voin – en voi, omistan – en omista” mukaan, vaan missä on opinnäytetyö "etsin ja löydän, ajattelen ja opin, harjoittelen ja teen". Opiskelijan persoonallisuus, asenne maailmaan, kulttuurisen kommunikaatio- ja reflektiokyky, riittävä itsetunto ja itsensä kehittäminen, luomiseen ja hyvyyteen keskittyminen nousevat esiin.
Millaisen modernin oppitunnin pitäisi olla? Ensinnäkin tämä on mielenkiintoinen oppitunti. Tämä on ainoa tapa säilyttää korkea motivaatio ja oppitunnin emotionaalinen väritys. Tämä on oppitunnin harkittu rakenne ja uuden materiaalin oppimisen logiikka ja didaktisen materiaalin monimuotoisuus ja opiskelijoiden työn organisointi sekä jatkuva opetusmuotojen ja -menetelmien etsiminen sekä oppilaitoksen tekniset varusteet. oppitunti.
Mistä aloittaa? Teen jokaisen lukuvuoden alussa luokilla 5-9 panostenseurantatestejä opiskelijoiden jäännöstiedon tunnistamiseksi. Jäljelle jääneiden tietojen mukaan istutan lapset kolmen koulutustason mukaisesti tiettyihin riveihin. Samalla opiskelijat tietävät, että materiaalia hallitseessaan he voivat siirtyä valmistautumistasoltaan seuraavaan ryhmään.
Hyvien tulosten saavuttamiseksi jokaisella oppitunnilla teen pakollisen suullisen laskennan, opetan itsenäistä työtä, kokeita. 6. luokalla opiskelijoiden tulee hallita aihe hyvin positiivisilla ja negatiivisilla luvuilla, 7. luokalla opiskella lyhennetyn kertolaskukaavoja hyvin, 8. luokalla ratkaista toisen asteen yhtälöt. Nämä ovat globaaleja teemoja, joita ei voida ajaa. Luokilla 5-7 käytän työkirjoja, joissa on testitehtäviä, sekä tehtäväkokoelmia testeillä. Opiskelijoiden tutustuminen ongelmien ratkaisun algoritmeihin tapahtuu oppitunnilla - luennoilla. Pojilla on erillinen muistivihko, johon he kirjoittavat ohjeet ja mallin tehtävästä. Jatkokehitystä tehdään käytännön tunneilla erilaisilla työmuodoilla (frontaalinen, ryhmä, yksilöllinen). Algoritmin omaksumisen hallitsemiseksi nopeasti teen hyvin usein (jokainen oppitunti tai jokainen oppitunti) pieniä itsenäisiä töitä, joiden tarkoituksena ei ole antaa arvosanoja, vaan tunnistaa ne opiskelijat, jotka eivät ymmärrä jotain. Konsultit antavat näille kavereille nopeaa apua tai selitän uudelleen, soitan hallitukselle. Ryhmätyötä organisoitaessa osa opiskelijoista saa pakollisten oppimistuloksien saavuttamiseen tähtääviä tehtäviä ja osalla on mallitehtävä edessä, toisilla vain algoritmi, vahvemmat opiskelijat edistyneellä tasolla. Tällaisella tunnilla työni keskittyy heikompiin opiskelijoihin, vahvassa ryhmässä pääsääntöisesti he löytävät aina oikean ratkaisun yhteisin ponnistuksin, itsenäisesti soveltaen tietoa ja toimintatapoja uudessa tilanteessa. Opiskelijoita arvioiessani minulla ei ole kiirettä laittamaan arvosanoja päiväkirjaan, annan aina mahdollisuuden saada korkeampi arvosana ja muista korjata "kakkonen", tätä varten opiskelijan on tehtävä työ virheiden parissa. itse tai konsulttien avulla (minun avullani) ja ratkaise sitten vastaava tehtävä oppitunnilla .
Tärkeintä on, että ajan myötä kaverit lakkaavat pelkäämästä "kaksikoita", esittävät kysymyksiä rohkeammin, selviävät pakollisen tason tehtävistä. Tunnelma oppitunnilla on ystävällinen, rauhallinen.
Opetusalgoritmien avulla on mahdollista saavuttaa pakollinen oppimistaso heikoimmille opiskelijoille, eikä se voi johtaa ajattelun standardointiin ja lasten luovien voimien tukahduttamiseen, koska erilaisten automatisoitujen toimien (taitojen) kehittäminen on luovan prosessin välttämätön osa. , jota ilman se on yksinkertaisesti mahdotonta.
Algoritmien oppiminen ei rajoitu niiden muistamiseen, vaan se sisältää myös itsenäisen algoritmien löytämisen, rakentamisen ja muodostamisen, ja tämä on luova prosessi. Lopuksi algoritmisointi ei kata koko koulutusprosessia, vaan vain sen komponentteja, joissa se on tarkoituksenmukaista. Algoritmijärjestelmä - ohjelmat mahdollistaa jossain määrin koulutusprosessin automatisoinnin tyypillisten ongelmien ratkaisemisen taitojen kehittämisvaiheessa ja luo runsaasti mahdollisuuksia opiskelijoiden aktiiviseen itsenäiseen työhön.
7. luokan lopussa ja 8. luokalla esittelen oppilaat L. V. Kuznetsovan, Prosveshchenie-kustantamon 2007-2009 tehtäväkokoelman 9. luokan valtion loppututkintoon valmistautumista varten. Tämä kokoelma on tarkoitettu valmistautumaan valtion loppututkintoon algebrassa uudessa muodossa, joka koostuu kolmesta pääosasta ja kahdesta liitteestä.
Kehitän 9. luokalla järjestelmääni valmistautua peruskoulun kurssin tenttiin.
9. luokan algebratuntien kalenteriteemaattisessa suunnittelussa esitän aiheita, jotka on toistettava
Suhteen pääominaisuus;
Ongelmat mittasuhteiden laatimisessa ja ratkaisemisessa;
Kiinnostustehtävät;
Lyhennetyt kertolaskukaavat;
Ilmaisut ja niiden muunnokset
Yhtälöt ja yhtälöjärjestelmät;
Eriarvoisuudet ja eriarvoisuusjärjestelmät;
Aritmeettinen ja geometrinen progressio.
Teen toistoa sekä tunnilla että tunnin jälkeen systeemisten konsultaatioiden kautta. Oppitunnilla luotuani mikroilmaston luokkahuoneeseen, teen toimintojen algoritmisoinnin; Säilytän opiskelijoiden kiinnostuksen aihetta kohtaan muodostan motivaatiota oppimiseen. Opiskelija oppii matematiikan vähimmäismateriaalin hyvin, jos hän käyttää metodologisia tekniikoita:
Ongelmanratkaisu mallin mukaan;
Erilaisten lähestymistapojen pohtiminen saman ongelman ratkaisemiseksi;
Viitekaavioiden laatiminen ja muiden visuaalisten opetusapuvälineiden käyttö;
Oikea aiheiden ja tehtävien tason valinta, viihdyttävä muoto;
Kilpailun käyttö aiheutti seuraavat opettajan kysymykset: "Kuinka ratkaista nopeammin?", Kenellä on lyhin ratkaisu? , Helpoin?".
Suoritan temaattista ohjausta testaamalla noudattaen testityön organisointisääntöjä:
Oppilaat tekevät muistiinpanoja vastauskortteihin;
Opettaja antaa ohjeita kortin oikeaan täyttämiseen;
Suoritusajat ja arviointinormit tulee selittää opiskelijalle etukäteen.
Tunneilla käytän kortteja-konsultteja, joiden avulla he toistavat opittua materiaalia. Ne sisältävät kaikki tutkittavan aiheen ehdolliset momentit sekä tehtävien ratkaisun algoritmin.
KORTTI-KONSULTANTI AIHEESSA
"LINEAARINEN YHTÄLÖJÄRJESTELMÄ"
Lineaarinen yhtälöjärjestelmä: 
:
Tapoja ratkaista se
| Graafinen tapa | Korvausmenetelmä | Lisäysmenetelmä |
| 1. Ilmaise y jokaisessa yhtälössä x:llä 2. Piirrä kunkin yhtälön funktio 3. Määritä leikkauspisteen koordinaatit | 1. Mistä tahansa yhtälöstä ilmaista yhtä muuttujaa toisella. 2. Korvaa saadut lausekkeet ja ratkaise se. 3. Korvaa muuttujan löydetty arvo ja laske toisen muuttujan arvo. | 1. Tasaa minkä tahansa muuttujan kertoimet. 2. Lisää (vähennä) järjestelmän vastaanotetut yhtälöt. 3. Laadi uusi järjestelmä: yksi yhtälö on uusi: toinen on yksi vanhoista. 4. Ratkaise uusi yhtälö ja löydä yhden muuttujan arvo. 5. Korvaa löydetyn muuttujan arvo vanhaan yhtälöön ja etsi toisen muuttujan arvo. |
Vastaus: x \u003d _______; y =_______
Työskentelyssä huonosti menestyvien lasten kanssa käytän koko korttiarsenaalia, Työskentele mallin mukaan! , joiden avulla voit selvittää eri toimien ja matemaattisten operaatioiden algoritmeja.
Esimerkkitehtävät.
| 1 lauseke | 2 ilmaisu | Näiden lausekkeiden eron tulo niiden summalla | Näiden lausekkeiden neliöiden ero |
| kanssa 3v 0,5 x av | kanssa 5v 2v 2s | (c - x) (c + x) (3u - 5v) (3u + 5v) | C 2 - x 2 9u 2 - 25v 2 |
Opiskelijoiden on suoritettava tehtävät aukkoineen. Avainsanat jätetään pois, joiden oikea ulkoa oppiminen osoittaa materiaalin ymmärtämisen.
Ohjaa tehtäviä.
neliöjuuret.
Käytä teemataulukoita koulukurssin eri osissa. Jokainen taulukko hahmottelee lyhyesti tietyn kysymyksen teorian (määritelmät, lauseet, seuraukset, kaavat); annetaan piirustuksia, kaavioita sekä esimerkkejä perusongelmien ratkaisemisesta.
Taulukot auttavat systematisoimaan tietoa, toistavat nopeasti ja täydellisesti tietyn aiheen pääkohdat.
Pöytä. neliöjuuret.
| Aritmeettisen juuren määritelmä  |  = 4, koska 4 0, 4 2 = 16;
−5, koska −5 0;
| 
2 0,8 |
| Identiteetit | Perusominaisuudet |
|
| 
| 
|
7, koska 7 2 25;
ei määritetty. 
3;
0,9. 
Neliöjuuriin liittyvät vertailut
Jos a b 0, niin 
.
.
Jos a 1, niin a ja 1.
Jos 0 a 1, niin a ja 0 1.
| Irrotus juuren alta
| Esittely juuren alla
|
 ;
|  ;
|
, b 0
;
;
;Pidän tiedon yleistämisen ja systematisoinnin oppitunteja. Ilman tiedon yleistämisen ja systematisoinnin oppitunteja, joita kutsutaan myös yleistävän toiston oppitunteiksi, opiskelijoiden suorittamaa opetusmateriaalin toistoa ei voida pitää täydellisenä. Näiden oppituntien päätarkoituksena on omaksua opiskelijoille käsitteiden, teorioiden välisiä yhteyksiä ja suhteita, jotta opiskelijat muodostavat kokonaisvaltaisen näkemyksen opiskelusta, sen merkityksestä ja soveltamisesta tietyissä olosuhteissa. Yhteenveto ja toisto keskittyvät varmistamaan, että opiskelijat menestyvät matematiikan kokeissa. Annan esimerkin yleistävästä toistosta aiheesta: "Tekstiongelmien ratkaiseminen".
Kysymyksiä:
Yksinkertaisia suhteellisia ongelmia.
Vaikeita suhdeongelmia.
Testi numero 1.
Luvun löytäminen sen prosentteina.
Prosentin löytäminen.
Testi numero 2.
Monimutkaiset prosenttiongelmat. Harjoittele.
Tehtävät liikkumiseen joen varrella.
Liikuntatehtävät.
Testi numero 3.
Testi numero 4.
Luonnollisten lukujen kerto- ja jakotehtävät.
Osatehtävät.
Yhteistyötehtävät.
Ongelmanratkaisu yhtälöiden avulla.
Testi numero 5.
Erilaisia tehtäviä. Kysymyksiä ja tehtäviä.
Käytetyt lähteet :
Algebra: la. tehtävät valmistautua arvosanan 9 loppututkintoon / [L. V. Kuznetsova, S. B. Suvorova, E. A. Bunimovich ja muut]. M.: Koulutus, 2007.
Koulutus- ja menetelmälehti Mathematics 2005, nro 18,19, 20, 21, 22, 23, 2007 nro 18, 19 2008 nro 11, 12.
Oppilaitosten ohjelmat. Algebra 7-9. Moskova. koulutus. 2008 Kokoonpano: Burmistrova T. A.
Yksinkertaiset suhteelliset ongelmat
Ensimmäiset tehtävät sisältävät vastauksen saamisen opiskelijoiden kokeneiden ajatusten perusteella, niillä pyritään toistamaan suoran ja käänteisen suhteellisuuden käsitteitä.
Ensimmäisiä ongelmia ratkaistaessa on hyödyllistä korostaa, että ostohinta määräytyy kaavan mukaan
hinta = hinta määrä,
ja seuraa kuinka yhden arvon kasvaessa (pienentyessä) useita kertoja toinen arvo muuttuu kolmannen muuttumattomana.
1°. Useista identtisistä kynistä maksettiin 8 ruplaa. Kuinka paljon sinun pitäisi maksaa samoista kynistä, jos ne ostettaisiin 2 kertaa vähemmän?
2°. Useista identtisistä kynistä maksettiin 8 ruplaa. Kuinka paljon sinun pitäisi maksaa samasta määrästä kyniä, joista jokainen on 2 kertaa kalliimpi?
3°. Rahaa on ostaa 30 kynää. Kuinka monta muistikirjaa voi ostaa samalla rahalla, jos vihko on 2 kertaa halvempi kuin kynä?
Pyöräilijä kulki 36 km muutamassa tunnissa. Mikä on matka, jonka samassa ajassa kulkee jalankulkija, jonka nopeus on 3 kertaa pienempi kuin pyöräilijän nopeus?
Pyöräilijä kulki tietyn matkan 3 tunnissa Kuinka monta tuntia moottoripyöräilijällä kestää tämän matkan, jonka nopeus on 5 kertaa pyöräilijän nopeus?
Siirrytään ongelmien ratkaisemiseen mittasuhteiden avulla. Ensimmäinen niistä sisältää suureiden kokonaislukuarvot, joiden suhde on myös kokonaisluku.
6. Juna kulki 6 tunnissa 480 km. Minkä matkan juna kulki kahden ensimmäisen tunnin aikana, jos sen nopeus oli vakio?
7. Jos haluat valmistaa kirsikkahilloa 6 kg marjoja varten, ota 4 kg kidesokeria. Kuinka monta kiloa kidesokeria tulisi ottaa 12 kiloa kohti?
100 g liuosta sisältää 4 g suolaa. Kuinka monta grammaa suolaa sisältää 300 g liuosta?
9. Matkustajajuna kulki kahden kaupungin välisen matkan nopeudella 80 km/h 3 tunnissa Kuinka monta tuntia tavarajunalla kestäisi kulkea saman matkan nopeudella 40 km/h?
10. Viisi maalaria pystyi maalaamaan aidan 8 päivässä. Kuinka monta päivää kestää 10 maalaria saman aidan maalaamiseen?
Tehtävässä 10, kuten monissa muissakin ongelmissa, oletetaan, että kaikki työntekijät työskentelevät samalla tuottavuudella eivätkä häiritse toisiaan. Tämä on toivottavaa määrätä joka kerta, jotta opiskelijat ovat tarkkaavaisempia tällaisiin olosuhteisiin.
Jotta he eivät saisi vaikutelman, että riippuvuutta on vain kahdenlaisia - suoraa tai käänteisesti verrannollista - on hyödyllistä harkita provokatiivisia tehtäviä, joissa riippuvuus on erilaista.
11. 1) 12 ristikkoa saatiin kiinni kahdessa tunnissa. Kuinka monta karppia pyydetään 3 tunnissa?
Kolme kukkoa herätti 6 ihmistä. Kuinka monta ihmistä herättää viisi kukkoa?
Kun Vasya on lukenut 10 sivua kirjasta, hänellä on vielä 90 sivua luettavana. Kuinka monta sivua hänellä on lukematta, kun hän on lukenut 30 sivua?
Kirjan luettujen sivujen määrän ja jäljellä olevien sivujen välistä suhdetta pidetään usein käänteisenä suhteena: mitä enemmän sivuja luetaan, sitä vähemmän on jäljellä luettavaa. Kiinnitä huomiota lapsiin, että yhden arvon nousu ja toisen arvon lasku eivät tapahdu yhtä monta kertaa.
Harkitse ongelmaa, jossa määrien välinen riippuvuus katsotaan usein suoraksi suhteeksi ja vastaus "4 viikossa" katsotaan oikeaksi.
12*. Lampi kasvaa liljoilla, ja viikossa liljoilla peitetty alue tuplaantuu. Kuinka monessa viikossa lampi on puoliksi liljojen peitossa, jos se peittyy kokonaan liljoilla 8 viikossa?
Koska liljoilla peitetty alue kaksinkertaistuu viikossa, niin viikko ennen lampi oli kokonaan liljojen peitossa, niin liljojen peittämä alue oli puolet. Eli oliko lampi puoliksi liljojen peitossa 7 viikossa?
8 m kangasta maksoi saman verran kuin 63 m chintsia. Kuinka monta metriä chintsiä voi ostaa 12 metrin kankaan sijaan?
(Vanha ongelma.) Kuumana päivänä 6 ruohonleikkuria joi tynnyrin kvassia kahdeksassa tunnissa Meidän täytyy selvittää kuinka moni niittokone juo saman tynnyrin kvassia 3 tunnissa?
(Al. Kiseljovin "Aritmetiikasta"?) 8 arshins kangasta maksoi 30 ruplaa. Minkä arvoisia on 15 arshinia tätä kangasta?
Kuorma-auto nopeudella 60 km/h kulki kaupunkien välisen matkan 8 tunnissa. Kuinka monessa tunnissa henkilöauto ajaa saman matkan 80 km/h nopeudella?
Autoilija huomasi, että 60 km/h nopeudella hän ajoi sillan joen yli 40 sekunnissa. Paluumatkalla hän ylitti sillan 30 sekunnissa. Määritä auton nopeus paluumatkalla.
Kaksi hammaspyörää on verkotettu hampailla. Ensimmäinen, jossa on 60 hammasta, tekee 50 kierrosta minuutissa. Kuinka monta kierrosta minuutissa tekee toinen, jossa on 40 hammasta?
Yllä käsitellyt ongelmat ovat aivan riittäviä, jotta opiskelijat oppivat erottamaan suoran ja käänteisen suhteellisuuden, muodostamaan mittasuhteita] ja ratkaisemaan ne.
(A. P. Kiselevin "Aritmetiikasta".) 8 työntekijää tekee osan työstä 18 päivässä; kuinka monta päivää 9 henkilöä suorittaa saman työn ja työskentelee yhtä menestyksekkäästi kuin ensimmäinen?
20*. (Vanha ongelma.) Kymmenen työntekijän on lopetettava työnsä 8 päivässä. Kun he olivat työskennelleet 2 päivää, työ osoittautui tarpeelliseksi tehdä 3 päivän kuluttua. Kuinka monta työntekijää tarvitset lisää?
(L.F. Magnitskyn "Aritmetiikasta".) Eräs herrasmies kutsui puusepän ja käski rakentaa pihan. Hän antoi hänelle 20 työntekijää ja kysyi, kuinka monta päivää he rakentaisivat hänen pihansa. Puuseppä vastasi: 30 päivässä. Ja isäntä tarvitsee rakentaa 5 päivässä, minkä vuoksi hän kysyi puusepältä: kuinka monta ihmistä sinulla on oltava, jotta voit rakentaa heidän kanssaan pihan 5 päivässä; ja minä olen puuseppä, hämmentyneenä, kysyy sinulta, aritmeetikko: kuinka monta ihmistä hän tarvitsee rakentaakseen sen pihan 5 päivässä?
22*. (Vanha ongelma.) He ottivat 560 sotilasta ruokkimaan 7 kuukaudeksi, ja heidät määrättiin olemaan palveluksessa 10 kuukautta; ja he halusivat viedä ihmiset pois itsestään, jotta ruokaa riittäisi 10 kuukaudeksi. Kysymys kuuluu, kuinka monta ihmistä pitäisi vähentää.
(Vanha ongelma.) Yksi 28 hengen puuseppäjengi pystyy rakentamaan talon 54 päivässä ja toinen - 30 hengen - 45 päivässä. Mikä artelli toimii parhaiten?
Keskustelun päätteeksi mittasuhteiden avulla ratkaistuista ongelmista on tarpeen antaa esimerkki ongelmasta, jota ei voida ratkaista "vanhalla tavalla"
24. Matkustajajuna ajaa tietyn matkan 3 tunnissa ja pikajuna - 2 tunnissa Kerran nämä junat lähtivät kahdesta kaupungista toisiaan kohti samanaikaisesti. Matkustajajuna kulki 120 km ennen ambulanssin tapaamista. Kuinka monta kilometriä pikajuna kulki ennen kuin kohtasi matkustajajunan?
Täällä et voi jakaa 120 km:ää kolmella tunnilla, koska jokin muu matka on ajettu 3 tunnissa. Kirjoitetaanpa lyhyesti ongelman tila.
Aikaetäisyys
Express 2h x km
Matkustajamatka 120 km
Ensimmäistä kertaa junat kulkivat samaa reittiä, kun nopeus on kääntäen verrannollinen aikaan, eli pikajunan nopeus on kaksi kertaa matkustajajunan nopeus.
Ja toisella kerralla liikkeen aika oli vakio, kun taas etäisyys on suoraan verrannollinen nopeuteen, eli pikajunan kulkema matka on kaksi kertaa matkustajajunan kulkema matka.
Tehdään suhde 
, ratkaisemalla saamme x = 180. Pikajuna kulki 180 km ennen kuin kohtasi matkustajajunan.
Vaikeita mittasuhteita tehtäviä
Kanapäivien munat
3 33
12 12 x
4.
5. (Vanha ongelma.)
6.
7.
(Vanha ongelma.)
Testi 1
Vaihtoehto 1
Molemmissa kirjastoissa oli sama määrä kirjoja. Vuotta myöhemmin kirjojen määrä ensimmäisessä kirjastossa kasvoi 50%, ja toisessa - 2 kertaa. Missä kirjastossa on enemmän kirjoja?
B. Toisessa kirjastossa
AT. Kirjoja on yhtä paljon
G
Kun ostat pesukoneen, jonka arvo on 6500 r. ostaja esitti lehdestä leikatun ilmoituksen, joka antoi oikeuden 5 % alennukseen. Paljonko hän maksaa autosta?
Instituutin ensimmäiselle kurssille voidaan ottaa 180 henkilöä. Hakemusten määrä oli 120 % kurssin paikoista. Kuinka monta hakemusta on jätetty?
Joen vedenkorkeus oli noin 2,4 m. Tulvan ensimmäisinä tunteina se nousi 5 %. Minkä tason joen vesi saavutti?
Vaihtoehto 2
Molemmissa kirjastoissa oli sama määrä kirjoja. Vuotta myöhemmin kirjojen määrä ensimmäisessä kirjastossa kasvoi 50% ja toisessa - 1,5-kertaiseksi. Missä kirjastossa on enemmän kirjoja?
B. Toisessa kirjastossa
AT. Kirjoja on yhtä paljon
G. Ei tarpeeksi dataa vastaamiseen
Sähkölasku on 800 ruplaa. Kuinka paljon joudut maksamaan yleishyödyllisistä, kun ne ovat nousseet 6 %?
Joulukuussa jokaiselle yrityksen työntekijälle maksettiin palkkiota, joka oli 130 euroa kuukausipalkasta. Minkä bonuksen sai työntekijä, jonka palkka on 5500 ruplaa?
Yritys asetti pankkiin 5 miljoonaa ruplaa. 8 % vuodessa. Paljonko tulee yrityksen tilille vuodessa?
B. 9 miljoonaa ruplaa D. 0,4 miljoonaa ruplaa
Luvun löytäminen sen prosentteina
Hehkulamput tuotiin sähkökauppaan. Heidän joukossaan oli 16 rikkinäistä hehkulamppua, mikä oli 2 % heistä. Kuinka monta hehkulamppua tuotiin
pisteet?
Etsi luku, jonka 110 % on 33.
60 % luokasta kävi elokuvissa ja loput 12 henkilöä kävi näyttelyssä. Kuinka monta oppilasta luokassa on?
4. Tavaran hinta on noussut 30 % ja on nyt 91 ruplaa. Paljonko tuote oli ennen hinnankorotusta?
5. Tehdas suunnitteli valmistavansa 10 000 autoa. Suunnitelma ylittyi kahdella prosentilla. Kuinka monta autoa tehdas tuotti yli suunnitelman? Kuinka monta autoa päästit ulos vedestä?
Tehtävä 5 on paras ratkaista kahdella tavalla. Ensinnäkin, vastaamalla esitettyihin kysymyksiin:
10 000 0,02 = 200 (kone);
10 000 + 200 = 10 200 (kone),
sitten lisää kysymyksiä:
-Kuinka monta prosenttia tehdas täytti suunnitelman?
- 100 + 2 = 102 (%).
-Kuinka monen auton osuus on 102 %?
10 000-1,02 = 10 200 (kone)
Kuivumisen aikana ruoho menettää 80% massastaan. Kuinka monta tonnia heinää saadaan 4 tonnista tuoretta ruohoa? Kuinka monta tonnia ruohoa pitää leikata, jotta 4 tonnia heinää kuivuu?
100 - 80 \u003d 20 (%) - ruohon massa on heinän massa;
4 0,2 \u003d 0,8 (t) - heinää saadaan 4 tonnista ruohoa;
4: 0,2 \u003d 20 (t) - ruoho on leikattava.
Albumin hintaa alennettiin ensin 15%, sitten vielä 15 ruplaa. Albumin uusi hinta kahden 19 ruplan alennuksen jälkeen. Määritä sen alkuperäinen hinta.
15 + 19 = 34 (s.) - albumi maksoi toiseen asti
hinnanalennus;
100 - 15 \u003d 85 (%) - laskee 34 ruplaa;
3) 
= 40 (s.) - albumi oli alunperin arvoinen.
Yhdistä kolme numeroa. Ensimmäinen oli 25 prosenttia määrästä ja toinen - 40 prosenttia. Etsi kolmas luku, jos se on 45 pienempi kuin toinen.
100 - 25 - 40 = 35 (%) - lasketut määrät
kolmannessa numerossa;
40 - 35 \u003d 5 (%) - määrä on 45;
3) 
= 315 on kolmas luku.
30% luokasta ja 5 muuta henkilöä kävi elokuvissa, ja loput 3 meni luokalle ja 8 muuta kävi retkellä. Kuinka monta henkilöä luokassa on?
Kolmannes yrityksen työntekijöistä oli lomalla kesällä, 35 % muista työntekijöistä oli lomalla syksyllä ja vielä 2 314 henkilöä oli lomalla talvella ja keväällä. Kuinka monta työntekijää yrityksessä on?
Kun myyt tavaroita 693 p. sai 10 % voittoa. Määritä tuotteen hinta.
Prosentin löytäminen
Ratkaiseessaan tämän osan tehtäviä opiskelijoiden tulee hallita yksi yksinkertainen idea: löytää kahden luvun prosenttiosuus, ts. kuinka monta prosenttia ensimmäinen luku on toisesta, voit ilmaista ensimmäisen ja toisen suhteen prosentteina.
Tämän tyyppisten ensimmäisten tehtävien tulee olla yksinkertaisia, toisin sanoen lukujen suhde tulee ilmaista äärellisenä desimaalilukuna.
Voit selvittää kahden luvun prosenttiosuuden jakamalla ensimmäisen luvun toisella ja kertomalla tuloksen 100:lla.
16 kg tuoreista päärynöistä saatiin 4 kg kuivattuja päärynöitä. Minkä osan tuoreiden päärynöiden massasta jättää kuivattujen päärynöiden massasta? Ilmaise tämä osa prosentteina. Kuinka monta prosenttia massasta häviää kuivauksen aikana?
Kuinka monta prosenttia 50:stä on 40? Kuinka monta prosenttia luvusta 40 on luku 50?
Masha on lukenut 120 sivua ja hänellä on 130 sivua kirjasta lukematta. Kuinka monta prosenttia kaikista sivuista hän luki? Kuinka monta prosenttia kaikista sivuista hänellä on lukematta?
Kuukaudessa oli 12 aurinkoista ja 18 pilvistä päivää. Kuinka monta prosenttia kuukaudesta on aurinkoisia päiviä? pilvisiä päiviä?
5. Kuinka monta prosenttia 50 on enemmän kuin 40? 40 alle 50?
50/40 on 
, tai 
% = 125% ;
50 enemmän kuin 40 x 125 - 100 = 25 (%);
40/50 on 
, tai 
% = 80% ;
40 on pienempi kuin 50 x 100 - 80 = 20 (%).
6. Tavaran hinta on laskenut 40 ruplasta. jopa 30 r. Paljonko hinta on pudonnut? Kuinka monta prosenttia hinta laski?
Tehtävässä 6 oppilaiden on vaikea määrittää, mikä luku otetaan 100 %:ksi. Sinun on kiinnitettävä heidän huomionsa numeroon, johon he vertaavat toista numeroa. Ongelman uudelleenmuotoilu auttaa tässä: "Kuinka monta prosenttia 30 r. alle 40 ruplaa? Vertaa 40 ruplan summaan, mikä tarkoittaa 40 ruplaa. on 100 %.
Testi 2
Vaihtoehto 1
Liikenneonnettomuuksien määrä kesäkaudella oli 0,7 niistä talvikauden määrästä. Kuinka monta prosenttia liikenneonnettomuuksien määrä väheni kesällä talveen verrattuna?
A. 70 % B. 30 % C. 7 % D. 3 %
A. B. C. 0,08 D. 0,8
1) 50% 2) 80% 3) 75% 4) 8%
Vaihtoehto 2
Television alennuksen jälkeen sen uusi hinta oli 0,8 vanhasta. Kuinka monta prosenttia vanhasta hinnasta on uusi?
A. 0,8 % B. 8 % C. 20 % D. 80 %
Yhdistä murtoluvut, jotka ilmaisevat tietyn arvon murto-osat, ja niitä vastaavat prosenttiosuudet.
1) 40% 2) 25% 3) 80% 4) 4%
Vaikeita mittasuhteita tehtäviä
Kaikki tämän osan tehtävät ovat valinnaisia siinä mielessä, että kaikkien opiskelijoiden ei tarvitse pystyä ratkaisemaan niitä. Käytä niitä niin paljon kuin se on kiinnostavaa opiskelijoillesi.
Kolme kanaa muni 3 munaa 3 päivässä. Kuinka monta munaa 12 kanaa munii 12 päivässä?
Opiskelijat hämmästyvät suuresti, kun he saavat tietää, että "ilmeinen" vastaus "12 munaa" on väärä. Ensimmäisen päätöstämän osan dachat on parasta purkaa yhdessä,ehkä kotona pohdittuaan, kirjoittamisen jälkeentehtävän lyhyt ehto:
Kanapäivien munat
3 33
12 12 x
Vuoropuhelun aikana sinun on selvitettävä, kuinka monta kertaa kanojen määrä on kasvanut (4 kertaa); kuinka munien määrä muuttui, jos päivien lukumäärä ei muuttunut (lisäsi 4 kertaa); kuinka monta kertaa päivien määrä on kasvanut (4 kertaa); kuinka munien määrä muuttui (nousu 4 kertaa). Munien lukumäärä on: x = 3 4 4 = 48.
2. Kolme maalaria voi maalata 60 ikkunaa 5 päivässä. Kuinka monta maalaria pitäisi määrätä maalaamaan ikkunat, jotta he maalaavat 64 ikkunaa kahdessa päivässä?
3. Vieraiden kielten kurssit vuokraavat tiloja koulun tunneille. Ensimmäisellä vuosipuoliskolla koulu sai 336 ruplaa neljän luokkahuoneen vuokraamisesta kuudeksi päiväksi viikossa. kuukaudessa. Mikä on kuukausivuokra toisella vuosipuoliskolla 5 luokkahuoneelle, 5 päivää viikossa samoin ehdoin?
4. (I. Newtonin teoksesta "Yleinen aritmetiikka".) Jos kirjuri pystyy kirjoittamaan 15 foliota kahdeksassa päivässä, kuinka monta kirjuria tarvitaan 405 folion kirjoittamiseen 9 päivässä?
5. (Vanha ongelma.) 45 ihmisen ylläpitoon käytettiin 2040 ruplaa 56 päivässä. Kuinka paljon pitäisi käyttää 75 ihmisen tukemiseen 70 päivän ajan?
Harkitse monimutkaisempia ongelmia neljällä ja jopa kuudella suurella. Ne voidaan antaa valinnaisena kotitehtävänä vahvimmille opiskelijoille, jotka haluavat purkaa pulmatehtäviä.
6. (A. Kiseljovin "Aritmetiikasta".) 18 huoneen valaisemiseen käytettiin 120 kiloa kerosiinia 48 päivässä ja jokaisessa huoneessa poltettiin 4 lamppua. Kuinka monta päivää 125 kiloa kerosiinia riittää, jos 20 huonetta valaistaan ja jokaisessa huoneessa sytytetään 3 lamppua?
7.
(Vanha ongelma.) 26 kaivurin artelli, joka työskentelee koneilla 12 tuntia päivässä, pystyy kaivaamaan 96 m pitkän, 20 m leveän ja 12 dm syvän kanavan 40 päivässä. Kuinka pitkän kanavan voi kaivaa 39 kaivuria, jotka työskentelevät 80 päivää 10 tuntia päivässä, jos kanavan leveys on 10 m, syvyys 18 dm?
Tehtävät liikkumiseen joen varrella
Nopeudet myötä- ja vastavirtaan ovat oman nopeuden ja virran nopeuden summa ja erotus. Niiden löytämiseksi sinun on sovellettava aiemmin hallittua menetelmää kahden suuren löytämiseksi niiden summan ja eron perusteella: nopeuksien ero alavirtaan ja ylävirtaan on yhtä suuri kuin kaksi kertaa nykyinen nopeus.
1. Matkalla pisteestä MUTTA kohtaan AT laiva vietti 1 tunti 40 minuuttia ja paluumatkalla 2 tuntia Mihin suuntaan joki virtaa?
Veneen nopeus tyynessä vedessä on 18 km/h. Joen nopeus on 2 km/h. Kuinka nopeasti vene liikkuu alas jokea? Puroa vastaan?
Veneen nopeus seisovassa vedessä (oma nopeus) on 12 km/h ja joen nopeus 3 km/h. Määritä: veneen nopeus virtauksen kanssa ja joen virtausta vastaan; veneen polku jokea pitkin 3 tunnissa; veneen polku joen virtausta vastaan 5 tunnissa.
Laivan oma nopeus on 27 km/h, joen nopeus 3 km/h. Kuinka kauan laiva kulkee alavirtaan kahden laituripaikan välillä, jos niiden välinen etäisyys on 120 km?
Vene, jonka oma nopeus oli 15 km/h, purjehti 2 tuntia alavirtaan ja 3 tuntia virtausta vastaan. Kuinka pitkälle hän ui koko ajan, jos joen nopeus on 2 km/h?
Kahden laituripaikan välinen etäisyys on 24 km. Kuinka kauan moottori kestää
Alla olevaa taulukkoa (muilla numeerisilla tiedoilla) on kätevä käyttää itsenäiseen työskentelyyn.
Määritä nopeudet ja täytä taulukko:
| oma nopeus | Joen nopeus | Nopeus mennessä alavirtaan Joen virtaus | Nopeus virtaa vastaan |
|
| 1 | 12 km/h | 4 km/h | ||
| 2 | 25 km/h | 28 km/h | ||
| 3 | 24 km/h | 20 km/h |
||
| 4 | 5 km/h | 17 km/h | ||
| 5 | 3 km/h | 16 km/h |
||
| 6 | 48 km/h | 42 km/h |
Moottorivene ui 48 km alavirtaan 3 tunnissa ja virtausta vastaan 4 tunnissa. Selvitä virran nopeus.
Joen nopeus on 3 km/h. Kuinka monta kilometriä tunnissa on veneen nopeus alavirtaan suurempi kuin sen nopeus vastavirtaan?
5 poistoaste.)
sulkemisnopeus.)
(Vanha ongelma.)
(Vanha ongelma.)
sisään ensimmäisen junan polku;
8. Kaupunkien välinen etäisyys MUTTA ja AT vastaa 720 km. From MUTTA sisään AT
10. 1) Kohdasta MUTTA kohtaan AT A ja B vastaa 30 km?
Pisteestä A pisteeseen AT,
30-2 = 60 (km);
10 + 5 = 15 (km/h);
60:15 = 4 (h).
Tehtävät liikkumiseen
1. Kaksi jalankulkijaa poistui samasta pisteestä vastakkaisiin suuntiin samanaikaisesti. Ensimmäisen nopeus on 4 km/h, toisen nopeus 5 km/h Kuinka kaukana ne ovat toisistaan 3 tunnin kuluttua? Kuinka monta kilometriä tunnissa jalankulkijat siirtyvät kauemmaksi toisistaan? (Tätä arvoa kutsutaan poistoaste.)
2. Kahdesta kylästä, joiden välinen etäisyys on 36 km, tuli samanaikaisesti kaksi jalankulkijaa toisiaan kohti. Niiden nopeudet ovat 4 km/h ja 5 km/h. Kuinka monta kilometriä tunnissa jalankulkijat lähestyvät toisiaan? (Tätä arvoa kutsutaan sulkemisnopeus.)
Kuinka kaukana ne ovat toisistaan 3 tunnin kuluttua?
Kaksi pyöräilijää lähti samaan aikaan toisiaan kohti kahdesta pisteestä, joiden välinen etäisyys on 36 km. Ensimmäisen nopeus on 10 km/h, toisen 8 km/h. Kuinka monessa tunnissa he tapaavat?
1) Kahden kaupungin välinen etäisyys on 900 km. Kaksi junaa lähti näistä kaupungeista toisiaan kohti 60 km/h ja 80 km/h nopeuksilla. Kuinka kaukana toisistaan junat olivat 1 tunti ennen kokousta? Onko tehtävässä lisäehtoa?
3) Kaksi pyöräilijää lähti samaan aikaan kohtaamaan toisiaan kahdesta kylästä, joiden etäisyys oli 54 km. Ensimmäisen nopeus on 12 km/h, toisen 15 km/h. Kuinka monessa tunnissa ne ovat 27 km:n päässä toisistaan?
Pyöräilijä ja moottoripyöräilijä poistuivat samasta paikasta samaan aikaan samaan suuntaan. Moottoripyöräilijän nopeus on 40 km/h ja pyöräilijän 12 km/h. Mikä on niiden poistamisen nopeus toisistaan? Kuinka monessa tunnissa niiden välinen etäisyys on 56 km?
(Vanha ongelma.) Eräs nuori mies meni Moskovasta Vologdaan. Hän käveli 40 mailia päivässä. Päivää myöhemmin hänen perässään lähetettiin toinen nuori mies, joka kulki 45 mailia päivässä. Kuinka monessa päivässä toinen ohittaa ensimmäisen?
(Vanha ongelma.) Kaksi junaa lähti Moskovasta Tveriin samaan aikaan. Ensimmäinen kulki 39 verstassa ja saapui Tveriin kaksi tuntia aikaisemmin.
toinen, joka kului 26 verstin tunnissa. Kuinka monta mailia Moskovasta Tveriin?
26 2 \u003d 52 (verstiä) - kuinka paljon juna oli jäljessä ensimmäisestä;
39 - 26 \u003d 13 (verstiä) - kuinka paljon toinen juna oli jäljessä ensimmäisestä junasta 1 tunnissa;
52: 13 \u003d 4 (h) - niin paljon aikaa oli sisään ensimmäisen junan polku;
39 4 \u003d 156 (verstiä) - etäisyys Moskovasta Tveriin.
8. Kaupunkien välinen etäisyys MUTTA ja AT vastaa 720 km. From MUTTA sisään AT Nopea juna lähtee nopeudella 80 km/h. Kahden tunnin kuluttua matkustajajuna lähti B:stä A:hen häntä kohti nopeudella 60 km/h. Kuinka monta tuntia pikajunan lähdön jälkeen he tapaavat?
9. Kaksi junaa liikkuu toisiaan kohti - toinen nopeudella 70 km/h, toinen 80 km/h. Toisessa junassa istuva matkustaja huomasi, että ensimmäinen juna ohitti hänet 12 sekunnissa. Mikä on ensimmäisen junan pituus?
10. 1) Kohdasta MUTTA kohtaan AT Jalankulkija lähtee 5 km/h nopeudella. Samaan aikaan pyöräilijä lähti A:sta B:lle nopeudella 10 km/h. Pyöräilijä ajoi kohtaan B, kääntyi takaisin ja ajoi samalla nopeudella jalankulkijaa kohti. Kuinka monen tunnin kuluttua liikkeen alkamisesta he kohtaavat, jos etäisyys on A ja B vastaa 30 km?
Pisteestä A pisteeseen AT, joiden välinen etäisyys on 17 km, pyöräilijä lähti nopeudella 12 km/h. Samaan aikaan jalankulkija lähtee A:sta B:lle nopeudella 5 km/h. Pyöräilijä ajoi kohtaan B, kääntyi ja ajoi takaisin samalla nopeudella.
Kuinka monta tuntia liikkeen alkamisen jälkeen he tapaavat?
Kahden pisteen välinen etäisyys on 12 km. Kaksi pyöräilijää lähti samaan aikaan toisiaan kohti nopeuksilla 10 km/h ja 8 km/h. Jokainen heistä saavutti eri pisteen, kääntyi ja ajoi takaisin samalla nopeudella. Kuinka monen tunnin kuluttua liikkeen alkamisesta he tapaavat toisen kerran?
1) 30:10 = 3 (h); 4) 10 + 5 = 15 (km/h);
5-3 = 15 (km); 5) 15:15 = 1 (h);
30 - 15 = 15 (km); 6) 3 + 1 = 4 (h).
30-2 = 60 (km);
10 + 5 = 15 (km/h);
60:15 = 4 (h).
Testi #4
1. Etsi aika, joka kuluu pyöräilijän päästä pisteestä A pisteeseen B
(katso kaavio kuvassa 1).
υ=12 km/h
A| _________________________________________ AT
s = 6 km
Riisi. yksi.
MUTTA. 72 h B. 0,5 tuntia AT. 2 h
G. 5 h D. ________________
Kahdesta pisteestä, joiden välinen etäisyys on 10 km, lähti kaksi turistia samaan aikaan samaan suuntaan. Ensimmäisen turistin nopeus on 4 km/h ja häntä seuraavan 6 km/h. Kuinka kauan kestää, että toinen turisti ohittaa ensimmäisen?
MUTTA. 1 tunnin kuluttua B. 2,5 tunnin kuluttua AT. Kohdassa 1
G. 5 tunnin kuluttua D. ________________________
Jokea pitkin asemalta toiselle vene kulki 3 tuntia ja paluumatkalla 4 tuntia Joen nopeus on 1 km/h. Kirjoita yhtälö löytääksesi veneen oman nopeuden käyttämällä x km/h.
Vastaus: _____________________
Oppitunnin tavoitteet:
- monimutkaisempien ongelmien ratkaiseminen suhteellisille suureille ("Monimutkainen kolmoissääntö");
- ei vain loogisen, vaan myös kuviollisen ajattelun, lasten mielikuvituksen ja heidän kykynsä ajatella, esittää kysymyksiä ja vastata niihin, eli harjoittelijoiden puheen kehittäminen;
- horisonttien laajentaminen muinaisten käytännön (tai uskottavien) ongelmien ratkaisemisessa;
- ideoiden muodostuminen ihmiskunnan kulttuurisen ja historiallisen perinnön rikkaudesta.
Tuntien aikana
I. Organisaatiohetki:
Tänään alamme ratkaista monimutkaisempia, mutta yhtä mielenkiintoisia suhteellisia määriä koskevia ongelmia.
Suhteiden ja näiden riippuvuuksien tutkiminen on erittäin tärkeää matematiikan myöhemmän tutkimuksen kannalta.
Myöhemmin mittasuhteiden avulla ratkaiset kemian, fysiikan ja geometrian tehtäviä.
Mistä he aloittivat?
- Tutustu käsitteisiin "suhde", "osuus"
(suhde - ………., osuus - ……… (opiskelijoiden vastauksia odotetaan) - Opimme ratkaisemaan mittasuhteet ja huomasimme, että pääasiallinen tapa ratkaista ne tulisi perustua ……. (suhteiden perusominaisuus)
- Opimme erottamaan kaksi määrää ongelmien olosuhteissa, määrittämään riippuvuuden tyyppi heidän välillään. (suora tai käänteinen suhde)
- Opimme tekemään lyhyen muistiin ongelman tilasta ja laatimaan osuuden (arvon aleneminen näkyy nuolella alas ja nosto ylös nuolella)
Mutta älkäämme unohtako sitä - analysoinut ongelmien ratkaisumenetelmää ilman mittasuhteita (tämän tekniikan soveltamista tulisi edeltää tehtäviä ratkaistaessa kysytyt kysymykset: kuinka monta kertaa arvo on kasvanut tai laskenut?)
Siirrytään eteenpäin yksinkertaisesta monimutkaiseen.
II. suullinen työ.
1. Valitse näistä arvoista ne, jotka ovat suoraan tai käänteisesti verrannollisia:
a) neliön sivun pituus ja kehä.
b) neliön sivun pituus ja sen pinta-ala.
c) tietyn alueen suorakulmion pituus ja leveys.
d) auton nopeus ja tie, jonka se ajaa tietyn ajan kuluessa.
e) turistin nopeus leirintäalueelta asemalle ja aika, joka häneltä kuluu asemalle saavuttamiseen.
e) puun ikä ja korkeus.
g) teräspallon tilavuus ja massa.
h) kirjassa luettujen sivujen määrä ja luettavana olevien sivujen määrä.
(Kirjan luetun sivumäärän ja jäljellä olevien sivujen välistä suhdetta pidetään usein suhteellisena: mitä enemmän sivuja luetaan, sitä vähemmän on jäljellä luettavaa. Huomaa, että yhden lisäys ja toisen pieneneminen ei esiintyy yhtä monta kertaa.).
2. Analysoidaan ongelma:
Kun Vasya on lukenut 10 sivua kirjasta, hänellä on vielä 90 sivua luettavana. Kuinka monta sivua hänellä on lukematta, kun hän on lukenut 30 sivua.
3. Harkitse tehtäviä ("provokatiivisuus"):
a) 12 ristikkoa saatiin kiinni kahdessa tunnissa. Kuinka monta karppia pyydetään 3 tunnissa.
b) Kolme kukkoa herätti 6 ihmistä. Kuinka moni ihminen herättää 5 kukkoa.
c) * Lampi kasvaa liljoilla, ja viikossa liljoilla peitetty alue kaksinkertaistuu. Kuinka monessa viikossa lampi peittyy puoliksi liljoilla, jos se peittyy kokonaan liljoilla 8 viikossa?
(Ratkaisu: koska liljoilla peitetty alue kaksinkertaistuu viikossa, niin viikko ennen kuin lampi on kokonaan liljojen peitossa, sen pinta-ala oli puoliksi liljoilla peitetty, eli lampi oli puoliksi liljojen peitossa 7 viikossa)
III. Ongelmanratkaisu:
(tehtävien ehdot ilmoitetaan taululla)
Lyhyt ehto ja kaksi ratkaisua ehdotetaan opiskelijoiden tehtäväksi nopeasti.
1 tapa:
Tapa 2: kankaan määrä kasvoi 15/8 kertaa, mikä tarkoittaa, että he maksavat 15/8 kertaa enemmän rahaa
Х=30*15/8=56r25k
2. Eräs herrasmies kutsui puusepän ja käski rakentaa pihan. Hän antoi hänelle 20 työntekijää ja kysyi, kuinka monta päivää he rakentaisivat hänelle pihan. Puuseppä vastasi: 30 päivässä. Ja isäntä tarvitsee rakentaa 5 päivässä, ja tätä varten hän kysyi puusepältä: kuinka monta ihmistä sinulla on oltava, jotta voit rakentaa heidän kanssaan pihan 5 päivässä; ja puuseppä hämmentyneenä kysyy sinulta, aritmeetikko: kuinka monta ihmistä hänen pitää palkata rakentaakseen pihan 5 päivässä?
Taululle kirjoitetaan keskeneräinen lyhyt ehto:
Täydennä ehto ja ratkaise ongelma kahdella tavalla.
I vaihtoehto: suhteellinen
II vaihtoehto: ilman mittasuhteita
Samaan aikaan kaksi opiskelijaa työskentelee taululla.
minä 
II. X \u003d 20 * 6 = 120 työntekijää
3. He ottivat 560 sotilaalta ruokaa 7 kuukaudeksi, ja heidät määrättiin olemaan palveluksessa 10 kuukaudeksi ja he halusivat viedä ihmiset pois itsestään, jotta ruokaa riittäisi 10 kuukaudeksi. Kysymys kuuluu, kuinka monta ihmistä pitäisi vähentää?
Vanha tehtävä.
(kirjoittaa taululle)
(oppilaiden tekemä lyhyt muistiinpano)
Ratkaise tämä ongelma ilman suhteita:
(Kuukausien määrä kasvaa kertoimella, mikä tarkoittaa, että sotilaiden määrä vähenee kertoimella.
560 - 392 = 168 (sotilaita on vähennettävä)
Muinaisina aikoina monentyyppisten ongelmien ratkaisemiseksi oli erityisiä sääntöjä niiden ratkaisemiseksi. Meille tuttuja suoran ja käänteisen suhteellisuuden ongelmia, joissa neljäs on löydettävä kahden suuren kolmella arvolla, kutsuttiin "kolmoissäännön" ongelmiksi.
Jos kolmelle arvolle annettiin viisi arvoa ja kuudes oli löydettävä, sääntöä kutsuttiin "viisiksi". Samoin neljälle määrälle oli "seitsemänvuotissääntö". Näiden sääntöjen soveltamista koskevia tehtäviä kutsuttiin myös "monimutkaisen kolmoissäännön" tehtäviksi.
Kokeillaan!!!
4. Ota sinulle tarjottu tehtävä lisätehtävänä.
Kotitehtävä.
Kolme kanaa muni 3 munaa 3 päivässä. Kuinka monta munaa 12 kanaa munii 12 päivässä?
Vastaus ongelmaan on ………?
Analysoimme ongelman ratkaisua yhdessä ja kirjoitamme lyhyesti ongelman tilan:
Oppilaat yrittävät yhdessä esittää kysymyksiä ja vastata niihin.
(kirjoittajien määrä kasvaa arkkien lisääntyessä kertaa ja vähenee
työpäivien kasvusta 
(kirjurit)).
Harkitse monimutkaisempaa ongelmaa neljällä suurella.
Ota yksi tehtävä, jossa on kuusi arvoa, valinnaiseksi kotitehtäväksi niille opiskelijoille, jotka haluavat selvittää pulmatehtäviä.
6. 18 huoneen valaisemiseen 48 päivässä käytettiin 120 tonnia kerosiinia ja jokaisessa huoneessa poltettiin 4 lamppua. Kuinka monta päivää 125 kiloa kerosiinia riittää, jos 20 huonetta valaistaan ja jokaisessa huoneessa sytytetään 3 lamppua?
Tehtävän lyhyt ehto kirjoitetaan muistiin ja esitetään argumentti, jonka rinnalla voidaan pitää taululla asteittain täydennetty tietue X = ... ...
Kerosiinin käyttöpäivien määrä kasvaa kerosiinin määrän lisääntyessä
kertaa ja vähentämällä lamppuja puoleen.
Kerosiinin käyttöpäivien määrä vähenee huoneiden lisääntyessä 20 ajat.
X = 48 * * : = 60 (päivää)
Lopulta X = 60. Tämä tarkoittaa, että 125 kiloa kerosiinia riittää 60 päiväksi.
IV. Yhteenveto oppitunnista.
Ratkaisi koko oppitunnin nyt melkein unohdetut tehtävät. Siirryimme yksinkertaisesta monimutkaiseen. Oli selvää, että vanhat ongelmat kiinnostavat, on kiva nähdä teidän kovaa työtänne ongelmien ratkaisemisessa, meillä oli hyvä koulutus suoran ja käänteisen suhteellisuuden erottamiseen.
Opettajan antamat selitykset vaikuttavat selkeiltä, mutta sinun on myös edettävä omatoimisesti.
V. Kotitehtävät.
Tiaisen viljan päivää
X \u003d 100:10:10 \u003d 1 kg
2. Vanha ongelma.
Dirham tulotermi
3. * Lisätehtävä.
26 kaivurin artelli, joka työskentelee koneilla 12 tuntia päivässä, voi kaivaa 96 metriä pitkän, 20 metriä leveän ja 12 metriä syvän kanavan 40 päivässä. Kuinka pitkän kanavan voi kaivaa 30 kaivuria, jotka työskentelevät 80 päivää, 10 tuntia päivässä, jos leveyden pitäisi olla
10 m, syvyys 18 dm?
päätös. 
Yhteistyö- ja tuottavuustehtävät
Tämän tyyppiset tehtävät sisältävät yleensä tietoa useiden oppiaineiden (työntekijät, mekanismit, pumput jne.) suorittamisesta tietyssä työssä, jonka määrää ei ole ilmoitettu eikä vaadita (esim. käsikirjoituksen uusintapainos, osien valmistus, kaivaminen ojat, täyttö säiliön putkien kautta jne.). Oletetaan, että suoritettava työ suoritetaan tasaisesti, ts. jatkuvalla suorituskyvyllä jokaiselle aiheelle. Koska suoritetun työn määrä (tai esimerkiksi täytettävän altaan tilavuus) ei kiinnosta meitä, niin kaiken työn määrä. tai allas otetaan yksikkönä. Aikatvaaditaan tekemään kaikki työ, ja P on tuottajatyövoimaintensiteetti eli aikayksikköä kohden tehdyn työn määrä liittyvät toisiinsa
suhdeP= 1/t .On hyödyllistä tuntea standardimalli tyypillisten ongelmien ratkaisemiseksi.
Anna yhden työntekijän tehdä työtä x tunnissa ja toisen työntekijän y tunnissa. Sitten tunnin kuluttua he esittävät vastaavasti 1/xja 1/yosa työtä. Yhdessä tunnissa he suorittavat 1/x +1/ yosa työtä. Siksi, jos he työskentelevät yhdessä, kaikki työ tehdään 1/ (1/x+ 1/ y)
Yhteistyöongelmat ovat opiskelijoiden vaikeita ratkaista, joten tenttiin valmistautuessasi voit aloittaa ratkaisemalla yksinkertaisimmat tehtävät. Mieti, minkä tyyppisiä ongelmia varten riittää, että esittelemme vain yhden muuttujan.
Tehtävä 1. Yksi rappaaja voi suorittaa tehtävän 5 tuntia nopeammin kuin toinen. Yhdessä he suorittavat tämän tehtävän 6 tunnissa. Kuinka monta tuntia kukin heistä suorittaa tehtävän?
Päätös. Anna ensimmäisen rappaajan suorittaa tehtäväxtuntia, sitten toinen rappaaja suorittaa tämän tehtävänx+5 tuntia. 1 tunnin yhteistyössä he suorittavat 1/x + 1/( x+5) tehtävät. Tehdään yhtälö
6×(1/x+ 1/( x+5))= 1 taix² - 7 x-30 = 0. Ratkaisemalla tämän yhtälön saammex= 10 jax= -3. Tehtävän mukaanxon positiivinen arvo. Siksi ensimmäinen rappaaja voi suorittaa työn 10 tunnissa ja toinen 15 tunnissa.
Tehtävä 2 . Kaksi työntekijää sai työn valmiiksi 12 päivässä. Kuinka monessa päivässä kukin työntekijä voi suorittaa työn, jos yhdellä heistä meni 10 päivää enemmän koko työn suorittamiseen kuin toisella?
Päätös . Anna ensimmäisen työntekijän kuluttaa kaikkiin töihinxpäivää, sitten toinen- (x-10 päivää. 1 yhteistä työpäivää kohden he suorittavat 1/x+ 1/( x-10) tehtävät. Tehdään yhtälö
12×(1/x+ 1/( x-10) = 1 taix²-34x+120=0. Ratkaisemalla tämän yhtälön saammex= 30 jax= 4. Vainx= 30. Siksi ensimmäinen työntekijä voi suorittaa työn 30 päivässä ja toinen 20 päivässä.
Tehtävä 3. Neljän päivän yhteistyössä 2/3 pellosta kynnettiin kahdella traktorilla. Kuinka monta päivää koko pellon kyntämiseen kuluisi jokaisella traktorilla, jos ensimmäinen kynnetään 5 päivää nopeammin kuin toinen?
Päätös. Anna ensimmäisen traktorin kuluttaasuorittaaksesi tehtävän x päivää, sitten toinen - x + 5 päivää. 4 päivää yhteistä työtä varten molemmat traktorit kynsi 4×(1/ x + 1/( x +5)) tehtäviä eli 2/3 kentästä. Kirjoitamme yhtälön 4×(1/ x + 1/ ( x +5)) = 2/3 taix² -7x-30 = 0. . Ratkaisemalla tämän yhtälön saammex= 10 jax= -3. Tehtävän mukaanxon positiivinen arvo. Siksi ensimmäinen traktori pystyy kyntämään pellon 10 tunnissa ja toinen - 15 tunnissa.
Tehtävä 4 . Masha voi tulostaa 10 sivua 1 tunnissa, Tanya - 4 sivua 0,5:ssä ja Olya - 3 sivua 20 minuutissa. Miten tytöt voivat jakaa keskenään 54 sivua tekstiä niin, että jokainen toimii saman ajan?
Päätös . Ehdon mukaan Tanya tulostaa 4 sivua 0,5 tunnissa, ts. 8 sivua 1 tunnissa ja Olya - 9 sivua 1 tunnissa. Merkitsemällä X tuntia aikaa, jonka tytöt työskentelivät, saadaan yhtälö
10X + 8X + 9X \u003d 54, mistä X \u003d 2.
Joten Tanjan on tulostettava 20 sivua, Tanjan 16 sivua ja Olyan 18 sivua.
Tehtävä 5. Kahdella samanaikaisesti toimivalla monistimella voit tehdä kopion käsikirjoituksesta 20 minuutissa. Missä ajassa tämä työ voidaan tehdä jokaiselle laitteelle erikseen, jos tiedetään, että ensimmäisen työskentelyn aikana se kestää 30 minuuttia vähemmän kuin toisella?
Päätös. Olkoon X min aika, joka kuluu kopion tekemiseen ensimmäisellä koneella, sitten X + 30 min on aika, joka kuluu työskentelyyn toisella koneella. Sitten ensimmäinen laite suorittaa 1/X-kopion 1 minuutissa, ja 1/(X + 30) kopiota - toinen laite.
Tehdään yhtälö: 20× (1/X + 1/(X+30)) = 1, saammeX²-10X-600= 0. Mistä X = 30 ja X = - 20. Ongelman ehto tyydyttää X = 30. Saimme: 30 minuuttia - aika, jonka ensimmäinen laite tekee kopion, 60 minuuttia - toinen.
Tehtävä 6. Yritys A voi suorittaa osan lelujen tuotantotilauksesta 4 päivää nopeammin kuin yritys B. Kuinka kauan kukin yritys voi suorittaa tämän tilauksen, jos tiedetään, että tehdessään yhteistyötä 24 päivässä ne tekevät 5 kertaa suuremman tilauksen?
Päätös. Merkitään X päivää yrityksen A tilauksen tekemiseen vaatimaa aikaa, sitten X + 4 päivää on yrityksen B aika. Yhtälöä laadittaessa on huomioitava, että 24 päivän yhteistyöhön, ei 1 tilaukseen valmistuu, mutta 5 tilausta. Saamme, 24× (1/X + 1/( X+4)) = 5. Mistä seuraa 5 X²-28X-96 = 0. Kun toisen asteen yhtälö on ratkaistu, saadaan X = 8 ja X = - 12/5. Ensimmäinen yritys voi suorittaa tilauksen 8 päivässä, yritys B 12 päivässä.
Kun ratkaiset seuraavia tehtäviä, sinun on syötettävä useampi kuin yksi muuttujaja ratkaista yhtälöjärjestelmiä.
Tehtävä 7 . Kaksi työntekijää tekee töitä. 45 minuutin yhteistyön jälkeen ensimmäinen työntekijä siirrettiin toiseen työhön ja toinen työntekijä suoritti loput työt 2 tunnissa ja 15 minuutissa. Missä ajassa jokainen työntekijä voisi tehdä kaikki työt erikseen, jos tiedetään, että toinen tarvitsee 1 tunnin enemmän kuin ensimmäinen?
Päätös. Anna ensimmäisen työntekijän tehdä kaikki työt x tunnissa ja toisen työntekijän y tunnissa. Tehtävän ehdosta saamme x = y -1. 1 tunti ensin
työntekijä tekee 1/xosa työstä ja toinen - 1/yosa työtä.T.to. he työskentelivät yhdessä ¾ tuntia, sitten tänä aikana he suorittivat ¾ (1 /x + 1/ y)
osa työtä. Takana2i 1/4h työtä toinen suoritettu 9/4× (1/y) osa työtä.T.to. kaikki työ on tehty, muodostamme yhtälön ¾ (1/x+1/ y)+9/4×1/y=1 tai
¾×1/x+ 3 × 1/y =1
Arvon korvaaminenxtähän yhtälöön, saamme ¾ × 1/ (y-1)+ 3×1/y= 1. Pelistämme tämän yhtälön toisen asteen yhtälöksi 4y2 -19v + 12 =0, joka onpäätökset klo 1 = h jaklo 2 = 4 h. Ensimmäinen ratkaisu ei sovellu (molemmatnoinjotka työskentelivät yhdessä vain ¾ tuntia!). Sitten y \u003d 4 ja x \u003d3.
Vastaus. 3 tuntia, 4 tuntia.
Tehtävä 8. Allas voidaan täyttää vedellä kahdesta hanasta. Jos ensimmäinen hana avataan 10 minuutiksi ja toinen - 20 minuutiksi, allas täyttyy.
Jos ensimmäinen hana avataan 5 minuutiksi ja toinen - 15 minuutiksi, 3/5 täyttyy uima-allas.
Kuinka kauan kestää, että jokainen hana täyttää koko altaan?
Päätös.
Ensimmäisestä hanasta on mahdollista täyttää allas x minuutissa ja toisesta - y:ssä 1 minuutissa. Ensimmäinen hana täyttyy osa uima-allasta ja toinen . 10 minuutin kuluttua ensimmäinen napautus täyttyy osa uima-allasta, ja 20 minuutin kuluttua toisesta hanasta - .
T.to. allas täyttyy, niin saamme ensimmäisen yhtälön: 
. Samalla tavalla kirjoitamme toisen yhtälön 
(täytetty koko uima-altaalle, mutta vain sen tilavuus). Ongelman ratkaisun yksinkertaistamiseksi otamme käyttöön uusia muuttujia: 
Sitten meillä on lineaarinen yhtälöjärjestelmä:
10u + 20v =1,
,jonka ratkaisu on u = v = . Tästä saamme vastauksen: x = min, y = 50 min.
Tehtävä 9 . Kaksi tekee työtä. Ensimmäinen toimi aika, jonka toinen tekee kaiken työn. Sitten toinen toimi aika, joka kesti ensimmäisellä saada loput työt valmiiksi. Molemmat esiintyivät vain kaikki toimii. Kuinka kauan kukin kestää tämän työn tekemiseen, jos tiedetään, että he tekevät sen yhdessä tehdessään3 h36 min?
Päätös. Merkitse x tunnilla ja y tunnilla aika, jonka ensimmäinen ja toinen vastaavasti tekevät kaiken työn. Sitten ja
Heidän tekemänsä työn osat1 tuntiToimiva (kunnon mukaan)
aika, ensimmäinen suoritetaan
osa työtä. Jää toteutumatta osa työstä, johon ensimmäinen käyttäisi tuntia. Ehdolla toinen toimii 1/3
tällä kertaa. Sitten hän tekee 
osa työtä. Molemmat vasta valmistuneet kaikki toimii. Siksi saamme yhtälön 
.
Yhdessä tekeminen1
molemmat käyvät +
osa työtä. Koska ongelman tilanteen mukaan he tekevät tämän työn3
h36
min (ts.a 3
tuntia), sitten1
tunnin he tekevät kaikki toimii. Siksi 1/x + 1/
y = 5/18.
Merkitsee ensimmäisessä yhtälössä , saamme toisen asteen yhtälön
6 t 2 - 13 t + 6 = 0 , jonka juuret ovat samatt 1 =2/3 , t 2 =3/2. Koska ei tiedetä, kuka juoksee nopeammin, harkitsemme molempia tapauksia.
a)t = => y= X. Korvaa y toiseen yhtälöön: Ilmeisesti tämä ei ole ratkaisu.
tehtäviä, koska yhdessä he tekevät työn yli 3 tunnissa.
b) t=3/2 => y=3/2 x. Toisesta yhtälöstä meillä on 1/x+2/3×1/x\u003d 5/18. Täältäx=6,y = 9.
Tehtävä 10. Vesi tulee säiliöön kahdesta halkaisijaltaan eri putkesta. Ensimmäisenä päivänä molemmat putket, jotka toimivat samanaikaisesti, arkistoitiin 14m 3 vettä. Toisena päivänä vain pieni trumpetti laitettiin päälle. Hän jätti 14 m 3 vettä, työskenneltyään 5 tuntia pidempään kuin ensimmäisenä päivänä. Kolmantena päivänä työ jatkui saman ajan kuin toisena, mutta aluksi molemmat putket toimi, jolloin 21 m 3 vettä. Ja sitten vain iso putki toimi ja antoi vielä 20 m 3 vettä. Etsi kunkin putken suorituskyky.
Päätös. Tässä ongelmassa ei ole abstraktia käsitettä "säiliön tilavuus", mutta putkien läpi virtaavien vesimäärät on ilmoitettu. Menetelmä ongelman ratkaisemiseksi on kuitenkin itse asiassa sama.
Anna pienempien ja suurempien putkien pumpata 1 tunnissa x ja y m3 vettä. Yhdessä toimivat molemmat putket syöttävät x + y m3 vettä.
Siksi putket toimi ensimmäisenä päivänä 14/(x+ y) tuntia. Toisena päivänä pieni putki toimi 5 tuntia enemmän, eli 5+14/(x+ y) . Tätä varten
kun hän jätti 14 m 3
vettä. Tästä saamme ensimmäisen yhtälön 
14 tai 5+14/(x+
y)=14/
x. Kolmantena päivänä molemmat putket toimivat yhdessä21/(x+
y) tuntia ja sitten iso putki toimi 20/xtuntia. Putkien kokonaisaika on sama kuin ensimmäisen putken toiminta-aika toisena päivänä, ts.
5+14/( x+ y) =21/( x+ y)+ 20/ x. Koska yhtälön vasemmat puolet ovat yhtä suuret, meillä on . Eroon nimittäjistä saadaan homogeeninen yhtälö 20x 2 +27 xy-14 y 2 =0. Jakamalla yhtälöny 2 ja nimeäminenx/ y= t, meillä on 20t 2 +27 t-14 = 0. Tämän toisen asteen yhtälön kahdesta juuresta (t 1 = , t 2 = ) ongelman merkityksen mukaan sopii vaint= . Siten,x= y. Korvaaminenxensimmäiseen yhtälöön, löydämmey=5. Sittenx=2.
Tehtävä 11. Kaksi miehistöä kaivoivat kaivannon yhdessä kahdessa päivässä. Sen jälkeen he alkoivat kaivaa kaivantoa, jolla oli sama syvyys ja leveys, mutta 5 kertaa pidempi kuin ensimmäinen. Aluksi vain ensimmäinen prikaati työskenteli ja sitten vain toinen prikaati, joka oli suorittanut puolitoista kertaa vähemmän työtä kuin ensimmäinen prikaati. Toisen kaivannon kaivaminen valmistui 21 päivässä. Kuinka monessa päivässä toiselta tiimiltä kestäisi ensimmäisen kaivannon kaivaminen, jos tiedetään, että ensimmäisen ryhmän yhdessä päivässä tekemä työmäärä on suurempi kuin toisen ryhmän yhdessä päivässä tekemä työmäärä?
Päätös.Tämä ongelma on helpompi ratkaista, jos saat suoritetun työn samaan mittakaavaan. Jos molemmat miehistöt kaivasivat ensimmäisen kaivantotyöskentelyn kahdessa päivässä, he olisivat kaivaneet toisen (viisi kertaa niin pitkän) 10 päivässä. Kaivakoon ensimmäinen prikaati tämä kaivannon x päivässä ja toinen prikaati y:ssä, ts. 1 päivässä ensimmäinen olisi kaivanut osa kaivannosta, toinen - 1/y , ja yhdessä -1/x+1/ y osa kaivantoa.
Sitten meillä on 
.
Prikaatit työskentelivät erikseen toisen kaivannuksen kaivamisessa. Jos toinen ryhmä suoritti työn laajuudenm, sitten (ongelman tilanteen mukaan) - ensimmäinen prikaati .
Kutenm +
m
=
m
yhtä suuri kuin työn määrä yksikkönä otettunam
=
.
Tämän seurauksena toinen prikaati kaivoi
juoksuhautoja ja käytetty siihen päivinä. Ensimmäinen prikaati kaivoi
juoksuhautoja ja käytetty X
päivää. Siksi meillä on 
taiX
=
35-
.
Korvaamalla x:n ensimmäiseen yhtälöön pääsemme neliöyhtälöön2v 2
- 95y +1050 = 0, jonka juuret ovat y 1
=
ja
klo 2
= 30. Sitten vastaavastiX 1
=
ja
X 2
=15.
Ongelman tilasta valitse tarvitsemasi: y \u003d 30. Koska löydetty arvo viittaa toiseen kaivantoon, toinen joukkue olisi kaivanut ensimmäisen (viisi kertaa lyhyemmän) kaivannon 6 päivässä.
Tehtävä 12. Kolme kaivinkonetta osallistui 340 m:n kuopan kaivamiseen 3 . Tunnissa ensimmäinen kaivinkone nostaa 40 metriä 3 puntaa, toinen - päällä m 3 vähemmän kuin ensimmäinen ja kolmas - 2s enemmän kuin ensimmäinen. Ensinnäkin ensimmäinen ja toinen kaivinkone työskentelivät samanaikaisesti ja kaivoivat 140 m 3 maaperää. Sitten loput kaivosta kaivettiin, työskennellen samanaikaisesti ensimmäinen ja kolmas kaivinkone. Määritä arvot käyttämällä(0<с<15), jossa kuoppa kaivettiin ulos 4 tunnissa, jos työ tehtiin keskeytyksettä.
Päätös. Ensimmäisen kaivinkoneen jälkeen 40 m 3 maaperää tunnissa, sitten toinen - (40 s) m 3 , ja kolmas - (40 + 2s) m 3 puntaa tunnissa. Anna ensimmäisen ja toisen kaivinkoneen työskennellä yhdessä x tuntia. Sitten ongelman ehdosta seuraa (40+40-s)x = 140 tai (80-s)x = 140. Jos ensimmäinen ja kolmas kaivinkone työskentelivät yhdessä kellossa, niin meillä on (40+40+2s) y = 340-140 tai (80 + 2s) y - 200. Koska kokonaiskäyttöaika on 4 tuntia, saamme seuraavan yhtälön määrittämistä varten x + y \u003d 4 tai
Tämä yhtälö vastaa toisen asteen yhtälöäkanssa 2 -30s+ 200 =0, kenen päätökset tulevat olemaan 1 = 10 m 3 ja kanssa 2 = 20 m 3 . Ongelman tilanteen mukaan vainkohtaan
c = 10 m 3 .
Tehtävä 10. Kumpikin kahdesta työntekijästä määrättiin käsittelemään sama määrä osia. Ensimmäinen aloitti työn välittömästi ja sai sen valmiiksi 8 tunnissa, toinen käytti aluksi yli 2 tuntia laitteen asennukseen ja sitten sen avulla saatiin työ valmiiksi 3 tuntia aikaisemmin kuin ensimmäinen. Tiedetään, että toinen työntekijä tunti työnsä aloittamisen jälkeen käsitteli niin monta yksityiskohtaa kuin ensimmäinen työntekijä oli käsitellyt siihen mennessä. Kuinka monta kertaa valaisin lisää koneen tuottavuutta (eli työstettyjen osien määrää työtuntia kohti)?
Päätös. Tämä on esimerkki ongelmasta, jossa kaikkia tuntemattomia ei tarvitse löytää.
Merkitään toisen työntekijän koneen asennusajaksi x (ehdolla x>2). Oletetaan, että jokainen oli tarpeen käsitellänyksityiskohdat.
Sitten ensimmäinen työntekijä per tunti käsittelee yksityiskohdat ja toinen yksityiskohdat. Molemmat työntekijät käsittelivät saman määrän osia tunnin kuluttua toisen työn alkamisesta. Se tarkoittaa sitä Täältä saamme yhtälön x:n määrittämiseksi: X 2 -4x + 3-0 jonka juuret ovat x 1 = 1 jaX 2 = 3. Koska
x > 2, niin vaadittu arvo on x = 3. Siksi toinen työntekijä käsittelee tunnissa yksityiskohdat. Koska ensimmäinen työntekijä tunnissa käsittelee
osia, niin täältä huomaamme, että laite lisää työn tuottavuutta = 4 kertaa.
Tehtävä 1 3. Kolmen työntekijän on valmistettava useita osia. Aluksi vain yksi työntekijä alkoi työskennellä, ja hetken kuluttua toinen tuli hänen luokseen. Kun 1/6 kaikista osista oli tehty, aloitti työt myös kolmas työntekijä. He saivat työn valmiiksi samaan aikaan ja kukin teki saman määrän osia. Kuinka kauan kolmas työntekijä työskenteli, jos tiedetään, että hän työskenteli kaksi tuntia vähemmän kuin toinen ja että ensimmäinen ja toinen työskennellen pystyivät valmistamaan kaikki tarvittava määrä osia 9 tuntia aikaisemmin kuin kolmas olisi tehnyt työskennellen erikseen ?
Päätös. Anna ensimmäisen työntekijän työskennellä x tuntia ja kolmannen työntekijän x tuntia. Sitten toinen työntekijä työskenteli 2 tuntia lisää, eli y + 2 tuntia. Jokainen niistä teki saman määrän osia, eli 1/3 kaikista osista. Näin ollen ensimmäinen tekisi kaikki yksityiskohdat 3 tunnissa, toinen 3 (v + 2) tunnissa ja kolmas 3 vuodessa. Siksi ensimmäinen tuottaa tunnissa osa kaikista yksityiskohdista, toinen - ja kolmas - .
Koska kaikki kolme yhteisen työnsä aikana tuottivat kaikki yksityiskohdat, niin saamme ensimmäisen yhtälön (kaikki kolme toimivat yhdessä kellossa)
. (1)
Ensimmäinen ja toinen, yhdessä, olisivat tehneet kaikki osat yhdessä 9 tuntia aikaisemmin kuin kolmas työntekijä olisi tehnyt työskennellen yksin. Tästä saamme toisen yhtälön
.
(2)
Nämä kaksi yhtälöä on helppo pelkistää vastaavaksi järjestelmäksi
Ilmaisemalla x toisesta yhtälöstä ja korvaamalla ensimmäisellä yhtälöllä saamme y:n 3 -5v 2 - 32y - 36 = 0. Tämä yhtälö on kerrottu(y-9) (y +2) 2 = 0.
Koska y > 0, yhtälöllä on vain yksi haluttu juuri y \u003d 9.Vastaus:y = 9.
Tehtävä 14. Vesi tulee tasaisesti kaivoon, 10 identtistä pumppua, jotka toimivat samanaikaisesti, voivat pumpata vettä täytetystä kaivosta 12 tunnissa ja 15 tällaista pumppua - 6:ssah.Kuinka kauan 25 tällaista pumppua voivat toimia yhdessä pumppaamaan vettä täytetystä kaivosta?
Päätös.Anna tilavuus kuoppaanVm 3 , ja kunkin pumpun suorituskyky on x m 3 kello yhdeltä. Vettä virtaa kaivoon jatkuvasti.T.k. sen vastaanottamisen määrä on tuntematon, niin merkitsemme y m:llä 3 tunnissa - kaivoon tulevan veden määrä. Kymmenen pumppua pumpataan ulos 12 tunnissa X= 120x vettä. Tämä vesimäärä on yhtä suuri kuin kaivon kokonaistilavuus ja kaivoon 12 tunnissa tulevan veden tilavuus. Tämä koko volyymi onV+12 y. Yhtälöimällä nämä tilavuudet, teemme ensimmäisen yhtälön 120x =V + 12 y .
Samalla tavalla laaditaan yhtälö 15 tällaiselle pumpulle:15-6 x = V + 6 ytai 90x = V + 6 y. Ensimmäisestä yhtälöstä saamme V = 120x - 12y. Korvaamalla V toiseen yhtälöön, saamme y = 5x.
Ajanjakso, jonka aikana 25 tällaista pumppua toimii, ei ole tiedossa. Merkitään se numerollat. Sitten, ottaen huomioon ongelman ehdot, laadimme analogisesti viimeisen yhtälön. Meillä on 25tx=V+ty. Korvaamalla y ja V tähän yhtälöön, löydämme 25tx= 120x -12 5x +t 5x tai 20tx= 60x. Täältä saammet= 3 tuntia.Vastaus: 3 tunnin ajan.
Tehtävä 15. Kaksi tiimiä työskenteli yhdessä 15 päivää, ja sitten niihin liittyi kolmas tiimi, ja 5 päivää sen jälkeen kaikki työt oli tehty. Tiedetään, että toinen prikaati tuottaa 20% enemmän päivässä kuin ensimmäinen. Toinen ja kolmas prikaati pystyivät yhdessä tekemään kaiken työn aika, joka tarvitaan kaikkien ensimmäisen ja kolmannen ryhmän työn suorittamiseen, kun he työskentelevät yhdessä. Kuinka kauan kaikilta kolmelta tiimiltä kestäisi tehdä kaikki työ yhdessä?
Päätös. Suorittakoon kaikki erikseen työskennellyt työt ensimmäisen, toisen ja kolmannen tiimin toimesta, vastaavasti x:lle, y:lle jazpäivää. Sitten sinä päivänä, kun he esiintyvät osa työtä. Muuntamalla ongelman ensimmäinen ehto yhtälöksi olettaen, että koko työn määrä on yhtä suuri, saadaan
15 tai
(1)
20
.
Koska toinen prikaati tuottaa 120 % siitä, mitä ensimmäinen prikaati tekee (20 % enemmän), meillä on tai . (2)
Toinen ja kolmas prikaati tekisi kaiken työn 1/ päivää ja ensimmäinen ja kolmas - 1/ päivää. Ehdon mukaan ensimmäinen arvo on yhtä suuri kuin
(3)
Toinen, eli 1/ . Tästä saamme kolmannen yhtälön .Tehtävässä on määritettävä aika koko työn suorittamiseen kolmessa tiimit työskentelevät yhdessä, eli suuruus1/ .
On selvää, että yhtälöjärjestelmä (1)-(3) on helpompi ratkaista, jos otamme käyttöön uusia muuttujia: ,
Arvon löytäminen on välttämätöntä
l/(u + v+ w) .Silloin meillä on vastaava järjestelmä
Ratkaisemalla tämän lineaarisen järjestelmän löydämme helpostiu= Sitten haluttu arvo on yhtä suuri kuin 1/ NiinYhdessä työskentelemällä kaikki kolme tiimiä suorittavat koko työn 16 päivässä.
Vastaus: 16 päivän ajan. Jos toisen tehtaan tuottavuus kaksinkertaistuisi, se olisi yhtä suuri lähes kaikki kohdatut suoritustehtävät.
Tehtävät
Kaksi työntekijää yhdessä voivat suorittaa osan työstä 10 päivässä. 7 päivän työskentelyn jälkeen yksi heistä sairastui ja toinen lopetti työnsä työskenneltyään vielä 9 päivää. Kuinka monta päivääVoiko jokainen työntekijä tehdä kaiken työn erikseen?
Useat työntekijät saivat työn valmiiksi muutamassa päivässä. Jos työntekijöiden määrää lisätääntsya 3:lla, niin työ tehdään 2 päivää aikaisemmin, ja jos työntekijöiden määrä kasvaa 12:lla, niin 5 päivää aikaisemmin. Määritä työntekijöiden lukumäärä ja tämän työn suorittamiseen tarvittava aika.
Kaksi eri tehoista pumppua, jotka toimivat yhdessä, täyttävät altaan 4 tunnissa. Puoleen altaaseen täyttämiseen ensimmäinen pumppu kestää 4 tuntia kauemmin kuin toinen pumppu täyttää kolme neljäsosaa altaasta. Kuinka kauan kukin yksittäinen pumppu kestää täyttää altaan?
10. Laiva on lastattu nostureilla. Ensin neljä samantehoista nosturia työskenteli 2 tuntia, sitten niihin liittyi vielä kaksi, mutta pienempitehoista nosturia ja 3 tuntia myöhemmin lastaus saatiin päätökseen. Jos kaikki nosturit alkaisivat toimia yhtä aikaa, niin kuormaus olisi jäljellä oleva työ. Kolmannen joukkueen tuottavuus on puolet ensimmäisen ja toisen joukkueen tuottavuuden summasta. Kuinka monta kertaa toisen prikaatin tuottavuus on suurempi kuin kolmannen prikaatin tuottavuus?
15. Kaksi rappaajien tiimiä yhdessä rappasivat asuinrakennuksen 6 päivässä. Toisen kerran he rappasivat mailan ja tekivät kolminkertaisen määrän töitä kerrostalon kipsistä. Ensin seurassa työskenteli ensimmäinen prikaati, jonka jälkeen toinen prikaati korvasi sen ja toi työn loppuun, ja ensimmäinen prikaati suoritti työn määrän kaksi kertaa niin paljon kuin toinen. He rapasivat klubin 35 päivässä. Kuinka monessa päivässä ensimmäinen prikaati pystyisikierrellä asuinrakennusta, jos tiedetään, että toinen prikaati viettäisi tähän yli 14 päivää?
Ryhmät aloittivat työskentelyn klo 8. Tehtyään 72 osaa yhdessä aloitettiin työskentely erikseen. Klo 15.00 kävi ilmi, että erillisen työn aikana ensimmäinen prikaati teki 8 yksityiskohtaa enemmän kuin toinen. Seuraavana päivänä ensimmäinen prikaati teki yhden osan enemmän 1 tunnissa ja toinen prikaati yhden osan vähemmän kuin ensimmäisenä päivänä. Prikaatin työ alkoi yhdessä kello 8 ja tehtyään 72 osaa, aloitettiin taas työskentely erikseen. Nyt erillistyön aikana ensimmäinen prikaati teki 8 osaa enemmän kuin toinen, jo kello 13. Kuinka monta osaa kukin prikaati teki tunnissa?
Kolmen työntekijän on valmistettava 80 identtistä osaa. Tiedetään, että kaikki kolme yhdessä tekevät 20 osaa tunnissa. Ensimmäinen aloitti työnsä ensin.työskentelee. Hän teki 20 osaa ja käytti niiden valmistukseen yli 3 tuntia. Loput työt tehtiin yhdessä toisen ja kolmannen työntekijän toimesta. Koko työ kesti 8 tuntia. Kuinka monta tuntia kestäisi ensimmäisellä työntekijällä valmistaa kaikki 80 osaa?
Allas täyttyy vedellä ensimmäisen putken kautta 5 tuntia nopeammin kuin toisesta ja 30 tuntia nopeammin kuin kolmannesta putkesta. Tiedetään, että prkolmannen putken laskukapasiteetti on 2,5 kertaa pienempi kuin ensimmäisen putken kantavuus ja 24 m 3 /h on pienempi kuin toisen putken kapasiteetti. Selvitä ensimmäisen ja kolmannen putken kapasiteetti.
Kahdella kaivinkoneella kaivettiin, joista ensimmäisen tuottavuus on pienempiyhteinen työlouhinta, jonka tilavuus on 240 m 3 . Sitten ensimmäinen alkoi kaivaa toista ojaa ja toinen jatkoi ensimmäisen kaivaamista. 7 tuntia työnsä alkamisen jälkeen ensimmäisen kuopan tilavuus oli 480 m 3 enemmän kuin toisen kuopan tilavuus. Seuraavana päivänä toinen kaivinkone lisäsi tuottavuuttaan 10 m 3 / h, ja ensimmäinen laski 10 m 3 /h Ensin he kaivoivat yhdessä kuopan 240 m 3 , jonka jälkeen ensimmäinen alkoi kaivaa toista kuoppaa ja toinen jatkoi ensimmäisen kaivaamista. Nyt ensimmäisen kuopan tilavuudesta on tullut 480 metriä 3 enemmän kuin toisen kuopan tilavuus jo 5 tuntia kaivinkoneiden työn alkamisen jälkeen. Kuinka paljon maata tunnissa kaivinkoneet kaivoivat ensimmäisenä työpäivänä?
Kolme moottoriajoneuvoa kuljettaa viljaa, lastaten jokaisella matkalla kokonaan. Yhdellä lennolla ensimmäinen ja toinen auto kuljetetaan yhdessä6 tonnia viljaa, ja ensimmäinen ja kolmas kuljettavat yhdessä saman määrän viljaa kahdella lennolla kuin toinen 3 lennolla. Kuinka paljon viljaa kuljetetaan yhdellä matkalla toisella autolla, jos tiedetään, että toisella ja kolmannella kuljetetaan tietty määrä viljaa yhdessä,tehdä 3 kertaa vähemmän matkoja kuin saman viljamäärän kuljettamiseen kuluisi kolmas auto?
Kahden erityyppisen kaivinkoneen on asennettava kaksi saman ristin kaivantoaselkeä osa, jonka pituus on 960mi180 m. Koko työ kesti 22 päivää, jonka aikana ensimmäinen kaivinkone teki suuren kaivantonsa. Toinen kaivinkone aloitti toimintansa 6 päivää myöhemmin kuin ensimmäinen, kaivoi pienemmän kaivan, korjasi sitä 3 päivää ja auttoi sitten ensimmäistä. Jos ei tarvitsisi käyttää aikaa korjauksiin, niin työ valmistuisi 21 päivässä. Kuinka monta metriä kaivantoa kukin kaivinkone voi kaivaa päivässä?
Kolme prikaatia kynsi kahta peltoa, joiden kokonaispinta-ala oli 120 hehtaaria. Ensimmäinen pelto kynnettiin 3 päivässä, ja kaikki kolme tiimiä työskentelivät yhdessä. Toista peltoa kynnettiin 6 päivää ensimmäisen ja toisen brigadas. Jos kaikki kolme joukkuetta työskentelivät toisella pellolla 1 päivän, ensimmäinen joukkue voisi kyntää loput toisesta pellosta 8 päivässä. Kuinka monta hehtaaria päivässä toinen prikaati kynsi?
Kaksi halkaisijaltaan yhtäläistä putkea on yhdistetty kahteen altaaseen(tojokaisella uima-altaalla on oma putki). Ensimmäiseen altaaseen kaadettiin tietty määrä vettä ensimmäisen putken kautta ja heti sen jälkeen sama määrä vettä kaadettiin toiseen altaaseen toisen putken kautta, ja kaikki tämä kesti 16 tuntia. Jos vesi virtasi ensimmäisen läpi putken läpi yhtä paljon aikaa kuin toisen läpi ja toisen läpi - yhtä kauan kuin ensimmäisen läpi, sitten vettä kaadetaan ensimmäisen putken läpi 320 m 3 vähemmän kuin toinen. Jos ensimmäisen läpi menisi 10 m 3 vähemmän ja toisen kautta - 10 m 3 enemmän vettä, niin aluksi vesimäärän kaataminen altaaseen kestäisi 20 tuntia (ensin ensimmäiseen ja sitten toiseen.) Kuinka kauan vesi virtasi kunkin putken läpi?
Kaksi saattuetta, jotka koostuvat samasta määrästä autoja, kuljettavat rahtia. JokaisessaLähistöllä olevilla ajoneuvoilla on sama kantokyky ja ne ovat matkan aikana täyteen lastattuja. Autojen kantokyky eri kolonneissa on erilainen ja 1 matkaa kohden ensimmäinen saattue kuljettaa 40 tonnia enemmän rahtia kuin toinen saattue. Jos vähennämme autojen määrää ensimmäisessä saattueessa 2:lla ja toisessa saattueessa - 10:llä, niin ensimmäinen saattue kuljettaa 90 tonnia rahtia yhdellä ajolla ja toinen saattue kuljettaa 90 tonnia rahtia 3 ajossa. . Mikä on toisen saattueen ajoneuvojen kantavuus?
Yksi työntekijä pystyy valmistamaan osien erän 12 tunnissa. Yksi työntekijä aloitti työn, toinen tuli hänen luokseen tunnin kuluttua, kolmas tunnin kuluttua ja niin edelleen, kunnes työ oli tehty. Kuinka kauan ensimmäinen työntekijä työskenteli? (Kaikkien työntekijöiden työn tuottavuus on sama.)
Saman pätevyyden omaavien työntekijöiden ryhmän oli valmistettava erä osia. EnsimmäinenAlussa yksi työntekijä lähti töihin, tuntia myöhemmin toinen liittyi hänen luokseen, tunnin kuluttua kolmas ja niin edelleen, kunnes koko tiimi alkoi työskennellä. Jos kaikki tiimin jäsenet olisivat työskennelleet alusta asti, työ olisi tehty 2 tuntia nopeammin. Kuinka monta työntekijää tiimissä on?
Kolme työntekijää kaivoi ojaa. Aluksi ensimmäinen työntekijä työskenteli puolet työajasta, neokaksi muuta vaativat kaivamaan koko ojan, sitten toinen työntekijä työskenteli puolet ajasta kuin kaksi muuta koko ojan kaivamiseen, ja lopuksi kolmas työntekijä työskenteli puolet ajasta kuin kahdella muulla meni koko ojan kaivamiseen. Tämän seurauksena oja kaivettiin. Kuinka monta kertaa nopeammin oja kaivettaisiin, jos kaikki kolme työntekijää olisivat olleet töissä yhtä aikaa alusta asti?
