klo arvioitaessa minkä tahansa satunnaisen tapahtuman todennäköisyyttä, on erittäin tärkeää saada hyvä käsitys etukäteen siitä, riippuuko meitä kiinnostavan tapahtuman todennäköisyys () muiden tapahtumien kehittymisestä.

Klassisessa kaaviossa, kun kaikki tulokset ovat yhtä todennäköisiä, voimme jo itse arvioida meitä kiinnostavan yksittäisen tapahtuman todennäköisyysarvot. Pystymme tekemään tämän, vaikka tapahtuma olisi monimutkainen kokoelma useista alkeellisista tuloksista. Ja jos useita satunnaisia ​​tapahtumia tapahtuu samanaikaisesti tai peräkkäin? Miten tämä vaikuttaa meitä kiinnostavan tapahtuman todennäköisyyteen?

Jos heitän noppaa muutaman kerran ja haluan saada kuuden enkä ole onnekas koko ajan, tarkoittaako se, että minun pitäisi korottaa panostani, koska todennäköisyysteorian mukaan minulla on kohta onnekas? Valitettavasti todennäköisyysteoria ei sano mitään tuollaista. Ei noppaa, ei kortteja, ei kolikoita ei voi muistaa mitä he näyttivät meille viime kerralla. Heille ei ole ollenkaan väliä, testaanko kohtaloani tänään ensimmäistä kertaa vai kymmenennen kerran. Joka kerta kun heittelen uudestaan, tiedän vain yhden asian: ja tällä kertaa todennäköisyys heittää "kuutta" uudelleen on yksi kuudesosa. Tämä ei tietenkään tarkoita, etteikö tarvitsemani numero koskaan putoaisi. Se tarkoittaa vain, että tappioni ensimmäisen heiton jälkeen ja minkä tahansa muun heiton jälkeen ovat itsenäisiä tapahtumia.

Tapahtumat A ja B kutsutaan riippumaton, jos yhden niistä toteutus ei vaikuta millään tavalla toisen tapahtuman todennäköisyyteen. Esimerkiksi todennäköisyys osua kohteeseen ensimmäisellä kahdesta aseesta ei riipu siitä, osuiko toinen ase kohteeseen, joten tapahtumat "ensimmäinen ase osui kohteeseen" ja "toinen ase osui kohteeseen" ovat riippumattomia.

Jos kaksi tapahtumaa A ja B ovat riippumattomia ja kummankin todennäköisyys tunnetaan, niin tapahtuman A ja B:n (merkitty AB) samanaikaisen toteutumisen todennäköisyys voidaan laskea seuraavan lauseen avulla.

Riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulause

P(AB) = P(A)*P(B)- todennäköisyys samanaikaisesti kaksi riippumaton tapahtumat on työ näiden tapahtumien todennäköisyyksiä.

Esimerkki.Todennäköisyys osua kohteeseen ampuessaan ensimmäistä ja toista tykkiä ovat vastaavasti yhtä suuret: p 1 =0,7; p 2 = 0,8. Selvitä todennäköisyys osua yhdellä lentopallolla molemmilla aseilla samanaikaisesti.

Ratkaisu: Kuten olemme jo nähneet, tapahtumat A (ensimmäisen aseen osuma) ja B (toisen aseen osuma) ovat itsenäisiä, ts. P (AB) \u003d P (A) * P (B) \u003d p 1 * p 2 = 0,56.

Mitä arvioillemme tapahtuu, jos alkutapahtumat eivät ole riippumattomia? Muutetaan hieman edellistä esimerkkiä.

Esimerkki.Kilpailussa kaksi ampujaa ampuu maaliin, ja jos toinen ampuu tarkasti, niin vastustaja alkaa hermostua ja hänen tulokset huononevat. Kuinka muuttaa tämä jokapäiväinen tilanne matemaattiseksi ongelmaksi ja hahmotella tapoja ratkaista se? On intuitiivisesti selvää, että nämä kaksi skenaariota on jotenkin erotettava toisistaan, itse asiassa laadittava kaksi skenaariota, kaksi erilaista tehtävää. Ensimmäisessä tapauksessa, jos vastustaja epäonnistuu, skenaario on hermostuneelle urheilijalle suotuisa ja hänen tarkkuus on suurempi. Toisessa tapauksessa, jos vastustaja tajusi kunnollisesti mahdollisuutensa, toisen urheilijan todennäköisyys osua maaliin pienenee.

Tapahtumien kehityksen mahdollisten skenaarioiden (niitä kutsutaan usein hypoteesiksi) erottamiseksi, käytämme usein "todennäköisyyspuu"-mallia. Tämä kaavio on merkitykseltään samanlainen kuin päätöspuu, jonka kanssa olet todennäköisesti joutunut käsittelemään. Jokainen haara on erillinen skenaario, vain nyt sillä on oma merkityksensä ns ehdollinen todennäköisyydet (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Tämä menetelmä on erittäin kätevä peräkkäisten satunnaisten tapahtumien analysointiin.

Vielä yksi tärkeä kysymys on selvitettävä: missä ovat todennäköisyyksien alkuarvot todellisia tilanteita ? Loppujen lopuksi todennäköisyysteoria ei toimi samoilla kolikoilla ja noppien kanssa, eihän? Yleensä nämä arviot otetaan tilastoista, ja kun tilastoja ei ole saatavilla, teemme oman tutkimuksen. Ja meidän ei useinkaan tarvitse aloittaa tietojen keräämisestä, vaan kysymyksestä, mitä tietoa yleensä tarvitsemme.

Esimerkki.Oletetaan, että 100 000 asukkaan kaupungissa meidän on arvioitava markkinoiden koko uudelle ei-välttämättömälle tuotteelle, kuten värjätylle hiushoitoaineelle. Tarkastellaan "todennäköisyyspuu" -kaaviota. Tässä tapauksessa meidän on arvioitava likimääräisesti kunkin "haaran" todennäköisyyden arvo. Joten arviomme markkinakapasiteetista:

1) 50% kaikista kaupungin asukkaista on naisia,

2) naisista vain 30 % värjää hiuksiaan usein,

3) Näistä vain 10 % käyttää balsamia värjätyille hiuksille,

4) Näistä vain 10 % voi kerätä rohkeutta kokeilla uutta tuotetta,

5) 70 % heistä ei yleensä osta kaikkea meiltä, ​​vaan kilpailijoiltamme.

Ratkaisu: Todennäköisyyksien kertolaskulain mukaan määritämme meitä kiinnostavan tapahtuman todennäköisyyden A \u003d (kaupungin asukas ostaa meiltä tämän uuden balsamin) \u003d 0,00045.

Kerro tämä todennäköisyysarvo kaupungin asukkaiden määrällä. Tämän seurauksena meillä on vain 45 potentiaalista ostajaa, ja kun otetaan huomioon, että yksi pullo tätä tuotetta riittää useiksi kuukausiksi, kauppa ei ole kovin vilkasta.

Silti arvioinneistamme on hyötyä.

Ensinnäkin voimme verrata eri liikeideoiden ennusteita, niillä on erilaiset "haarukat" kaavioissa, ja tietysti myös todennäköisyysarvot ovat erilaisia.

Toiseksi, kuten olemme jo todenneet, satunnaismuuttujaa ei kutsuta satunnaiseksi, koska se ei riipu ollenkaan mistään. Vain häntä tarkka arvoa ei tiedetä etukäteen. Tiedämme, että keskimääräistä ostajien määrää voidaan kasvattaa (esimerkiksi mainostamalla uutta tuotetta). Joten on järkevää keskittyä niihin "haarukoihin", joissa todennäköisyyksien jakauma ei erityisen sovi meille, niihin tekijöihin, joihin voimme vaikuttaa.

Harkitse toista kvantitatiivista esimerkkiä kuluttajakäyttäytymisen tutkimuksesta.

Esimerkki. Ruokatorilla käy keskimäärin 10 000 ihmistä päivässä. Todennäköisyys, että markkinavierailija kävelee meijeripaviljonkiin, on 1/2. Tiedetään, että tässä paviljongissa myydään keskimäärin 500 kg erilaisia ​​tuotteita päivässä.

Voidaanko väittää, että keskimääräinen ostos paviljongissa painaa vain 100 g?

Keskustelu. Ei tietenkään. On selvää, että kaikki paviljonkiin saapuneet eivät päätyneet ostamaan sieltä jotain.

Kuten kaaviosta näkyy, keskimääräistä ostopainoa koskevaan kysymykseen vastaamiseksi on löydettävä vastaus kysymykseen, millä todennäköisyydellä paviljonkiin saapuva henkilö ostaa sieltä jotain. Jos tällaisia ​​tietoja ei ole käytettävissämme, mutta tarvitsemme niitä, meidän on hankittava ne itse, tarkkailtuamme paviljongin kävijöitä jonkin aikaa. Oletetaan, että havainnot osoittavat, että vain viidennes paviljongin kävijöistä ostaa jotain.

Heti kun saamme nämä arviot, tehtävästä tulee jo yksinkertainen. Markkinoille tulleesta 10 000 ihmisestä maitotuotepaviljonkiin menee 5 000, ostoja tulee vain 1 000. Keskimääräinen ostopaino on 500 grammaa. On mielenkiintoista huomata, että täydellisen kuvan muodostamiseksi siitä, mitä tapahtuu, ehdollisen "haaroitumisen" logiikka on määriteltävä jokaisessa päättelymme vaiheessa yhtä selkeästi kuin jos työskentelisimme "konkreettisen" tilanteen kanssa, eikä todennäköisyyksien kanssa.

Tehtävät itsetestaukseen

1. Olkoon sähköpiiri, joka koostuu n sarjaan kytketystä elementistä, joista jokainen toimii toisistaan ​​riippumatta.

Kunkin elementin epäonnistumisen todennäköisyys p tunnetaan. Määritä piirin koko osan oikean toiminnan todennäköisyys (tapahtuma A).

2. Opiskelija tietää 20 koekysymyksestä 25:stä. Laske todennäköisyys, että opiskelija tietää kolme tutkijan hänelle antamaa kysymystä.

3. Tuotanto koostuu neljästä peräkkäisestä vaiheesta, joista jokainen käyttää laitteita, joiden vikatodennäköisyys seuraavan kuukauden aikana on vastaavasti p 1 , p 2 , p 3 ja p 4 . Laske todennäköisyys, että kuukaudessa ei ole tuotantokatkoksia laitevian vuoksi.

Todennäköisyyksien operaatioiden tarve syntyy, kun joidenkin tapahtumien todennäköisyydet tiedetään, ja on tarpeen laskea muiden tapahtumien todennäköisyydet, jotka liittyvät näihin tapahtumiin.

Todennäköisyyslaskua käytetään, kun on tarpeen laskea satunnaisten tapahtumien yhdistelmän tai loogisen summan todennäköisyys.

Tapahtumien summa A ja B nimetä A + B tai A ∪ B. Kahden tapahtuman summa on tapahtuma, joka tapahtuu, jos ja vain jos vähintään yksi tapahtumista tapahtuu. Se tarkoittaa sitä A + B- tapahtuma, joka tapahtuu silloin ja vain, jos tapahtuma tapahtuu havainnon aikana A tai tapahtuma B, tai samaan aikaan A ja B.

Jos tapahtumia A ja B ovat keskenään ristiriidassa ja niiden todennäköisyydet on annettu, todennäköisyys, että jokin näistä tapahtumista tapahtuu yhden kokeen tuloksena, lasketaan todennäköisyyksien summalla.

Todennäköisyyksien yhteenlaskulause. Todennäköisyys, että toinen kahdesta keskenään yhteensopimattomasta tapahtumasta tapahtuu, on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa:

Esimerkiksi metsästyksen aikana ammuttiin kaksi laukausta. Tapahtuma MUTTA– ankan lyöminen ensimmäisestä laukauksesta, tapahtuma AT– osuma toisesta laukauksesta, tapahtuma ( MUTTA+ AT) - osuma ensimmäisestä tai toisesta laukauksesta tai kahdesta laukauksesta. Jos siis kaksi tapahtumaa MUTTA ja AT ovat siis yhteensopimattomia tapahtumia MUTTA+ AT- vähintään yhden näistä tapahtumista tai kahdesta tapahtumasta.

Esimerkki 1 Laatikossa on 30 samankokoista palloa: 10 punaista, 5 sinistä ja 15 valkoista. Laske todennäköisyys, että värillinen (ei valkoinen) pallo otetaan katsomatta.

Ratkaisu. Oletetaan, että tapahtuma MUTTA– "punainen pallo on otettu" ja tapahtuma AT- "Sininen pallo on otettu." Sitten tapahtuma on "värillinen (ei valkoinen) pallo otetaan". Selvitä tapahtuman todennäköisyys MUTTA:

ja tapahtumia AT:

Kehitys MUTTA ja AT- keskenään yhteensopimaton, koska jos yksi pallo otetaan, erivärisiä palloja ei voida ottaa. Siksi käytämme todennäköisyyksien lisäystä:

Useiden yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyksien yhteenlaskulause. Jos tapahtumat muodostavat koko tapahtumajoukon, niin niiden todennäköisyyksien summa on yhtä suuri kuin 1:

Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien summa on myös yhtä suuri kuin 1:

Vastakkaiset tapahtumat muodostavat täydellisen tapahtumasarjan, ja kokonaisen tapahtumasarjan todennäköisyys on 1.

Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyydet on yleensä merkitty pienillä kirjaimilla. p ja q. Erityisesti,

joista seuraavat vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyden kaavat:

Esimerkki 2 Kohde viivalla on jaettu 3 vyöhykkeeseen. Todennäköisyys, että tietty ampuja ampuu maaliin ensimmäisessä vyöhykkeessä, on 0,15, toisella alueella - 0,23, kolmannella - 0,17. Laske todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin, ja todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin.

Ratkaisu: Selvitä todennäköisyys, että ampuja osuu maaliin:

Laske todennäköisyys, että ampuja ohittaa kohteen:

Vaikeammat tehtävät, joissa joudut käyttämään sekä todennäköisyyksien yhteen- että kertolaskua - sivulla "Erilaisia ​​tehtäviä todennäköisyyksien yhteen- ja kertomiseen" .

Yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien lisäys

Kahden satunnaisen tapahtuman sanotaan olevan yhteisiä, jos yhden tapahtuman esiintyminen ei sulje pois toisen tapahtuman esiintymistä samassa havainnossa. Esimerkiksi noppaa heittäessä tapahtuma MUTTA katsotaan olevan luvun 4 esiintyminen ja tapahtuma AT- parillisen luvun pudottaminen. Koska numero 4 on parillinen luku, nämä kaksi tapahtumaa ovat yhteensopivia. Käytännössä on tehtäviä jonkin yhteisen tapahtuman toteutumisen todennäköisyyksien laskemiseksi.

Yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien yhteenlaskulause. Todennäköisyys, että jokin yhteisistä tapahtumista toteutuu, on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa, josta vähennetään molempien tapahtumien yhteisen esiintymisen todennäköisyys, eli todennäköisyyksien tulo. Yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien kaava on seuraava:

Koska tapahtumat MUTTA ja AT yhteensopiva, tapahtuma MUTTA+ AT tapahtuu, jos tapahtuu yksi kolmesta mahdollisesta tapahtumasta: tai AB. Yhteensopimattomien tapahtumien yhteenlaskulauseen mukaan laskemme seuraavasti:

Tapahtuma MUTTA tapahtuu, jos toinen kahdesta yhteensopimattomasta tapahtumasta tapahtuu: tai AB. Yhden tapahtuman todennäköisyys useista yhteensopimattomista tapahtumista on kuitenkin yhtä suuri kuin kaikkien näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa:

Samoin:

Korvaamalla lausekkeet (6) ja (7) lausekkeeksi (5), saadaan yhteisten tapahtumien todennäköisyyskaava:

Kaavaa (8) käytettäessä tulee ottaa huomioon, että tapahtumat MUTTA ja AT voi olla:

• toisistaan ​​riippumaton;
• toisistaan ​​riippuvaisia.

Todennäköisyyskaava toisistaan ​​riippumattomille tapahtumille:

Todennäköisyyskaava toisistaan ​​riippuvaisille tapahtumille:

Jos tapahtumia MUTTA ja AT ovat epäjohdonmukaisia, silloin niiden yhteensattuma on mahdoton tapaus ja siten P(AB) = 0. Neljäs yhteensopimattomien tapahtumien todennäköisyyskaava on seuraava:

Esimerkki 3 Autokilpailussa ensimmäisellä autolla ajettaessa voiton todennäköisyys, kun ajetaan toisella autolla. Löytö:

• todennäköisyys, että molemmat autot voittaa;
• todennäköisyys, että vähintään yksi auto voittaa;

1) Todennäköisyys, että ensimmäinen auto voittaa, ei riipu toisen auton tuloksesta, joten tapahtumat MUTTA(ensimmäinen auto voittaa) ja AT(toinen auto voittaa) - itsenäiset tapahtumat. Laske todennäköisyys, että molemmat autot voittavat:

2) Laske todennäköisyys, että toinen kahdesta autosta voittaa:

Vaikeammat tehtävät, joissa joudut käyttämään sekä todennäköisyyksien yhteen- että kertolaskua - sivulla "Erilaisia ​​tehtäviä todennäköisyyksien yhteen- ja kertomiseen" .

Ratkaise itse todennäköisyyksien lisäämisen ongelma ja katso sitten ratkaisua

Esimerkki 4 Kaksi kolikkoa heitetään. Tapahtuma A- ensimmäisen kolikon vaakunan menetys. Tapahtuma B- vaakunan menetys toisesta kolikosta. Selvitä tapahtuman todennäköisyys C = A + B .

Todennäköisyyskerroin

Todennäköisyyksien kertolaskua käytetään, kun halutaan laskea tapahtumien loogisen tuotteen todennäköisyys.

Tässä tapauksessa satunnaisten tapahtumien on oltava riippumattomia. Kahden tapahtuman sanotaan olevan toisistaan ​​riippumattomia, jos yhden tapahtuman esiintyminen ei vaikuta toisen tapahtuman todennäköisyyteen.

Riippumattomien tapahtumien todennäköisyyksien kertolaskulause. Kahden riippumattoman tapahtuman samanaikaisen esiintymisen todennäköisyys MUTTA ja AT on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien tulo ja se lasketaan kaavalla:

Esimerkki 5 Kolikkoa heitetään kolme kertaa peräkkäin. Laske todennäköisyys, että vaakuna putoaa kaikki kolme kertaa.

Ratkaisu. Todennäköisyys, että vaakuna putoaa kolikon ensimmäisellä heitolla, toisella ja kolmannella kerralla. Laske todennäköisyys, että vaakuna putoaa kaikki kolme kertaa:

Ratkaise itse todennäköisyyksien kertomiseen liittyvät tehtävät ja katso sitten ratkaisua

Esimerkki 6 Siellä on laatikko, jossa on yhdeksän uutta tennispalloa. Peliä varten otetaan kolme palloa, pelin jälkeen ne laitetaan takaisin. Palloja valitessaan he eivät tee eroa pelattujen ja pelaamattomien pallojen välillä. Millä todennäköisyydellä kolmen pelin jälkeen laatikossa ei ole yhtään pelaamatonta palloa?

Esimerkki 7 32 venäjän aakkosten kirjainta on kirjoitettu leikatuille aakkoskorteille. Viisi korttia vedetään satunnaisesti peräkkäin ja asetetaan pöydälle siinä järjestyksessä, jossa ne ilmestyvät. Laske todennäköisyys, että kirjaimet muodostavat sanan "loppu".

Esimerkki 8 Täydestä korttipakasta (52 arkkia) otetaan neljä korttia kerralla. Laske todennäköisyys, että kaikki nämä neljä korttia ovat samaa maata.

Esimerkki 9 Sama ongelma kuin esimerkissä 8, mutta jokainen kortti palautetaan pakkaan vedon jälkeen.

Monimutkaisempia tehtäviä, joissa sinun on käytettävä sekä todennäköisyyksien yhteen- että kertolaskua, sekä laskettava useiden tapahtumien tulo, sivulla "Erilaisia ​​tehtäviä todennäköisyyksien yhteen- ja kertomiseen" .

Todennäköisyys, että ainakin yksi toisistaan ​​riippumattomista tapahtumista tapahtuu, voidaan laskea vähentämällä vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien tulo 1:stä, eli kaavalla:

Esimerkki 10 Tavarat kuljetetaan kolmella kuljetusmuodolla: joki-, rautatie- ja maantiekuljetukset. Todennäköisyys, että lasti toimitetaan jokikuljetuksella, on 0,82, rautateitse 0,87, maanteitse 0,90. Laske todennäköisyys, että tavarat toimitetaan vähintään yhdellä kolmesta kuljetusmuodosta.

Lukija on jo huomannut esityksessämme toistuvan "todennäköisyys"-käsitteen käytön.

Tämä on tyypillinen piirre modernille logiikalle antiikin ja keskiajan logiikan vastakohtana. Nykylogiikka ymmärtää, että kaikki tietomme on vain enemmän tai vähemmän todennäköistä, eikä varmaa, kuten filosofit ja teologit ovat tottuneet ajattelemaan. Hän ei ole liian huolissaan siitä, että induktiivinen päätelmä vain lisää hänen johtopäätöksensä todennäköisyyttä, koska hän ei odota mitään muuta. Hän kuitenkin epäröi, jos hän löytää syytä epäillä jopa johtopäätöksensä todennäköisyyttä.

Siten kahdesta ongelmasta on tullut paljon tärkeämpiä nykylogiikassa kuin ennen. Ensinnäkin se on todennäköisyyden luonne ja toiseksi induktion merkitys. Keskustellaanpa lyhyesti näistä ongelmista.

Todennäköisyyksiä on vastaavasti kahden tyyppisiä - määrätty ja epämääräinen.

Tietynlainen todennäköisyys esiintyy matemaattisessa todennäköisyysteoriassa, jossa keskustellaan ongelmista, kuten nopan heittäminen tai kolikoiden heittäminen. Se tapahtuu siellä, missä on useita mahdollisuuksia, eikä yhtäkään niistä voida suosia toiselle. Jos heität kolikon, sen on laskettava joko päät tai hännät, mutta molemmat vaikuttavat yhtä todennäköisiltä. Siksi pään ja hännän todennäköisyys on 50%, yksi pidetään luotettavuutena. Vastaavasti, jos heittät noppaa, se voi pudota mille tahansa kuudesta kasvosta, eikä ole mitään syytä suosia yhtä niistä, joten jokaisen mahdollisuus on 1/6. Vakuutuskampanjat käyttävät tällaista todennäköisyyttä työssään. He eivät tiedä, mikä rakennus palaa, mutta he tietävät kuinka suuri osa rakennuksista palaa vuosittain. He eivät tiedä, kuinka kauan tietty henkilö elää, mutta he tietävät keskimääräisen eliniän tietyllä ajanjaksolla. Kaikissa tällaisissa tapauksissa todennäköisyysarvio ei itsessään ole yksinkertaisesti todennäköinen, paitsi siinä mielessä, että kaikki tieto on vain todennäköistä. Itse todennäköisyysarviolla voi olla korkea todennäköisyysaste. Muuten vakuutusyhtiöt olisivat menneet konkurssiin.

Induktion todennäköisyyttä on yritetty lisätä, mutta on syytä uskoa, että kaikki nämä yritykset olivat turhia. Induktiivisten päätelmien todennäköisyysominaisuus on melkein aina, kuten edellä sanoin, epämääräinen.

Selitän nyt mikä se on.

On tullut triviaalia väittää, että kaikki ihmisten tieto on väärää. On selvää, että virheet ovat erilaisia. Jos sanon niin Buddha asui 6-luvulla ennen Kristuksen syntymää erehtymisen todennäköisyys on erittäin korkea. Jos sanon niin Caesar kuoli, virheen todennäköisyys on pieni.

Jos sanon, että nyt on meneillään suuri sota, niin virheen todennäköisyys on niin pieni, että vain filosofi tai loogikko voi myöntää sen olemassaolon. Nämä esimerkit koskevat historiallisia tapahtumia, mutta samanlainen asteikko on olemassa tieteellisten lakien suhteen. Jotkut niistä ovat luonteeltaan eksplisiittisiä hypoteeseja, joille kukaan ei anna vakavampaa asemaa, koska empiiristä tietoa ei ole heidän eduksi, kun taas toiset näyttävät niin varmilta, ettei tiedemiehillä ole käytännössä mitään epäilystäkään niistä. totuus. (Kun sanon "totuus", tarkoitan "likimääräistä totuutta", koska jokaiseen tieteelliseen lakiin tehdään joitain muutoksia.)

Todennäköisyys on jotain siltä väliltä, ​​mistä olemme varmoja, ja sen väliltä, ​​minkä olemme enemmän tai vähemmän taipuvaisia ​​myöntämään, jos tämä sana ymmärretään matemaattisen todennäköisyysteorian merkityksessä.

Olisi oikeampaa puhua varmuusasteista tai luotettavuusasteista . Se on laajempi käsite siitä, mitä olen kutsunut "tietyksi todennäköisyydeksi", joka on myös tärkeämpi."

Bertrand Russell, The Art of Drawing Conclusions / The Art of Thinking, M., House of Intellectual Books, 1999, s. 50-51.

• Todennäköisyys - aste (suhteellinen mitta, määrällinen arvio) jonkin tapahtuman mahdollisuudesta. Kun syyt jonkin mahdollisen tapahtuman tosiasialliseen toteutumiseen ovat suuremmat kuin päinvastaiset syyt, tätä tapahtumaa kutsutaan todennäköiseksi, muuten - epätodennäköiseksi tai epätodennäköiseksi. Positiivisten perusteiden ylivoima negatiivisiin nähden ja päinvastoin voi olla vaihtelevaa, minkä seurauksena todennäköisyys (ja epätodennäköisyys) on suurempi tai pienempi. Siksi todennäköisyys arvioidaan usein laadullisella tasolla, varsinkin tapauksissa, joissa enemmän tai vähemmän tarkka kvantitatiivinen arviointi on mahdotonta tai erittäin vaikeaa. Erilaiset todennäköisyyden "tasojen" asteet ovat mahdollisia.

  Todennäköisyyden tutkimus matemaattisesta näkökulmasta on erityinen tieteenala - todennäköisyysteoria. Todennäköisyysteoriassa ja matemaattisessa tilastotiedossa todennäköisyyskäsite formalisoidaan tapahtuman numeerisena ominaisuutena - todennäköisyysmitta (tai sen arvo) - tapahtumajoukon (alkutapahtumien joukon osajoukkojen) mitta, joka ottaa arvot ​alkaen

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Merkitys

  (\displaystyle 1)

  Vastaa pätevää tapahtumaa. Mahdoton tapahtuman todennäköisyys on 0 (käänteinen ei yleensä ole aina totta). Jos tapahtuman todennäköisyys on

  (\displaystyle p)

  Silloin sen todennäköisyys on yhtä suuri kuin

  (\displaystyle 1-p)

  Erityisesti todennäköisyys

  (\displaystyle 1/2)

  Tarkoittaa yhtäläistä todennäköisyyttä tapahtuman esiintymiselle ja toteutumattomuudelle.

  Klassinen todennäköisyyden määritelmä perustuu tulosten tasatodennäköisyyden käsitteeseen. Todennäköisyys on tiettyä tapahtumaa suosivien tulosten lukumäärän suhde yhtä todennäköisten tulosten kokonaismäärään. Esimerkiksi todennäköisyys saada "päät" tai "hännät" satunnaisessa kolikonheitossa on 1/2, jos oletetaan, että vain nämä kaksi mahdollisuutta toteutuvat ja ne ovat yhtä todennäköisiä. Tämä klassinen todennäköisyyden "määritelmä" voidaan yleistää tapaukseen, jossa on ääretön määrä mahdollisia arvoja - esimerkiksi jos tapahtuma voi tapahtua yhtä todennäköisyydellä missä tahansa kohdassa (pisteiden määrä on ääretön) jollakin rajoitetulla alueella. tila (taso), niin todennäköisyys, että se tapahtuu jossain osassa tätä sallittua aluetta, on yhtä suuri kuin tämän osan tilavuuden (pinta-alan) suhde kaikkien mahdollisten pisteiden alueen tilavuuteen (pinta-alaan) .

  Todennäköisyyden empiirinen "määritelmä" liittyy tapahtuman esiintymistiheyteen, joka perustuu siihen, että riittävän suurella koemäärällä frekvenssin tulisi pyrkiä tämän tapahtuman objektiiviseen mahdollisuuteen. Nykyaikaisessa todennäköisyysteorian esityksessä todennäköisyys määritellään aksiomaattisesti joukon suuren abstraktin teorian erikoistapauksena. Abstraktin suuren ja tapahtuman mahdollisuutta ilmaisevan todennäköisyyden välinen yhteys on kuitenkin juuri sen havainnointitiheys.

  Tiettyjen ilmiöiden todennäköisyyspohjainen kuvaus on yleistynyt modernissa tieteessä, erityisesti ekonometriassa, makroskooppisten (termodynaamisten) järjestelmien tilastollisessa fysiikassa, jossa jopa klassisen deterministisen hiukkasten liikkeen kuvauksen tapauksessa koko järjestelmän deterministinen kuvaus. hiukkasten poistaminen ei ole käytännössä mahdollista ja tarkoituksenmukaista. Kvanttifysiikassa itse kuvatut prosessit ovat luonteeltaan todennäköisyyspohjaisia.

Tämä on niiden havaintojen lukumäärän suhde, joissa kyseinen tapahtuma tapahtui, havaintojen kokonaismäärään. Tällainen tulkinta on hyväksyttävä, jos havaintoja tai kokeita on riittävästi. Esimerkiksi, jos noin puolet kadulla tapaamistasi ihmisistä on naisia, voit sanoa, että todennäköisyys, että kadulla tapaamasi henkilö on nainen, on 1/2. Toisin sanoen sen esiintymistiheys satunnaisen kokeen riippumattomien toistojen pitkässä sarjassa voi toimia arviona tapahtuman todennäköisyydestä.

Todennäköisyys matematiikassa

Modernissa matemaattisessa lähestymistavassa klassisen (eli ei kvantti) todennäköisyyden antaa Kolmogorovin aksiomatiikka. Todennäköisyys on mitta P, joka on asetettu sarjaan X, jota kutsutaan todennäköisyysavaruudeksi. Tällä toimenpiteellä on oltava seuraavat ominaisuudet:

Näistä ehdoista seuraa, että todennäköisyysmitta P on myös omaisuutta additiivisuus: jos asetettu A 1 ja A 2 eivät leikkaa sitten . Todistaaksesi sen, sinun on laitettava kaikki A 3 , A 4 , … yhtä kuin tyhjä joukko ja käytä laskettavan additiivisuuden ominaisuutta.

Todennäköisyysmittausta ei välttämättä ole määritetty kaikille joukon osajouksille X. Se riittää määrittämään se sigma-algebralla, joka koostuu joukon joistakin osajoukoista X. Tässä tapauksessa satunnaiset tapahtumat määritellään tilan mitattavissa oleviksi osajouksiksi X, eli sigma-algebran elementteinä.

Todennäköisyystieto

Kun huomaamme, että syyt jonkin mahdollisen tosiasian tosiasialliseen toteutumiseen ovat suuremmat kuin päinvastaiset syyt, harkitsemme tätä tosiasiaa todennäköistä, muuten - uskomaton. Tämä positiivisten perusteiden ylivoima negatiivisiin nähden ja päinvastoin voi edustaa määrittelemätöntä astejoukkoa, minkä seurauksena todennäköisyys(ja epätodennäköisyys) tapahtuu lisää tai Vähemmän .

Monimutkaiset yksittäiset tosiasiat eivät mahdollista niiden todennäköisyysasteiden tarkkaa laskemista, mutta tässäkin on tärkeää muodostaa joitain suuria alajakoja. Joten esimerkiksi oikeusalalla, kun oikeudenkäynnin kohteena oleva henkilökohtainen tosiasia todetaan todistajanlausuntojen perusteella, se jää aina tarkasti ottaen vain todennäköiseksi, ja on tiedettävä, kuinka merkittävä tämä todennäköisyys on; roomalaisessa oikeudessa tässä hyväksyttiin nelinkertainen jako: koeaika(missä todennäköisyys käytännössä muuttuu aitous), edelleen - probatio miinus plena, sitten - probatio semiplena major ja lopuksi probatio semiplena minor .

Tapauksen todennäköisyyttä koskevan kysymyksen lisäksi voi sekä oikeuden että moraalin alalla (tietyllä eettisellä näkökulmalla) nousta esiin kysymys siitä, kuinka todennäköistä on, että tietty tosiasia rikkoo yleistä lakia. Tämä kysymys, joka toimii Talmudin uskonnollisen oikeustieteen päämotiivina, synnytti roomalaiskatolisessa moraaliteologiassa (etenkin 1500-luvun lopulla) hyvin monimutkaisia ​​systemaattisia rakenteita ja valtavaa kirjallisuutta, dogmaattista ja poleemista (ks. Probabilismi). ).

Todennäköisyyskäsite sallii määrätyn numeerisen lausekkeen sovellettaessa vain sellaisiin tosiasioihin, jotka ovat osa tiettyjä homogeenisia sarjoja. Joten (yksinkertaisimmassa esimerkissä), kun joku heittää kolikon sata kertaa peräkkäin, löydämme tästä yhden yleisen tai suuren sarjan (kolikon kaikkien pudotusten summa), joka koostuu kahdesta yksityisestä tai pienemmästä tapaus numeerisesti yhtä suuri, sarja (putoa "kotka" ja putoaa "hännät"); Todennäköisyys, että tällä kertaa kolikko putoaa häntään, eli että tämä yleisen rivin uusi jäsen kuuluu tähän kahdesta pienemmästä rivistä, on yhtä suuri kuin murto-osa, joka ilmaisee tämän pienen ja suuremman rivin välisen numeerisen suhteen. nimittäin 1/2, eli sama todennäköisyys kuuluu jompaankumpaan kahdesta yksityisestä sarjasta. Vähemmän yksinkertaisissa esimerkeissä johtopäätöstä ei voida tehdä suoraan itse ongelman tiedoista, vaan se vaatii etukäteen induktion. Joten esimerkiksi kysytään: millä todennäköisyydellä tietty vastasyntynyt elää 80 vuotta? Tässä täytyy olla yleinen tai suuri sarja tunnetusta määrästä ihmisiä, jotka ovat syntyneet samanlaisissa olosuhteissa ja kuolevat eri ikäisinä (tämän määrän on oltava riittävän suuri satunnaisten poikkeamien poistamiseksi ja riittävän pieni sarjan homogeenisuuden säilyttämiseksi, koska henkilö, syntynyt esimerkiksi Pietarissa varakkaaseen kulttuuriperheeseen, kaupungin koko miljoonaväestö, josta merkittävä osa koostuu eri ryhmistä, jotka voivat kuolla ennenaikaisesti - sotilaita, toimittajia , vaarallisten ammattien työntekijät - edustaa ryhmää, joka on liian heterogeeninen todennäköisyyden todelliseen määritelmään) ; olkoon tämä yleinen sarja kymmenestä tuhannesta ihmishengestä; se sisältää pienempiä rivejä, jotka edustavat niiden lukumäärää, jotka elävät tähän tai tuohon ikään; yksi näistä pienistä riveistä edustaa 80-vuotiaiksi elävien määrää. Mutta tämän pienemmän sarjan (sekä kaikkien muiden) kokoa on mahdotonta määrittää. a priori; tämä tehdään puhtaasti induktiivisella tavalla tilastojen avulla. Oletetaan, että tilastotutkimukset ovat osoittaneet, että 10 000 keskiluokkaan kuuluvasta pietarilaisista vain 45 selviää 80-vuotiaaksi; siten tämä pienempi rivi liittyy suurempaan kohtaan 45 - 10 000, ja todennäköisyys sille, että tietty henkilö kuuluu tähän pienempään riviin, eli elää 80-vuotiaaksi, ilmaistaan ​​murto-osana 0,0045. Todennäköisyyden tutkiminen matemaattisesta näkökulmasta muodostaa erityisen tieteenalan, todennäköisyysteorian.

Katso myös

Huomautuksia

Kirjallisuus

• Alfred Renyi. Kirjaimet todennäköisyydestä / käännös. alkaen Hung. D. Saas ja A. Crumley, toim. B. V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
• Gnedenko B.V. Todennäköisyyskurssi. M., 2007. 42 s.
• Kuptsov V.I. Determinismi ja todennäköisyys. M., 1976. 256 s.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Synonyymit:

Antonyymit:

Katso, mitä "todennäköisyys" on muissa sanakirjoissa:

Yleinen tieteellinen ja filosofinen. luokka, joka ilmaisee massasatunnaisten tapahtumien esiintymismahdollisuuden kvantitatiivisen asteen kiinteissä havainnointiolosuhteissa ja luonnehtii niiden suhteellisten taajuuksien vakautta. Logiikassa semanttinen aste ...... Filosofinen tietosanakirja

TODENNÄKÖISYYS, luku välillä nollasta yhteen, joka edustaa tämän tapahtuman mahdollisuutta. Tapahtuman todennäköisyys määritellään tapahtuman sattumisen todennäköisyyksien määrän suhteeksi mahdollisten ... ... Tieteellinen ja tekninen tietosanakirja

Todennäköisesti .. Venäjän synonyymien ja merkitykseltään samankaltaisten ilmaisujen sanakirja. alla. toim. N. Abramova, M.: Venäjän sanakirjat, 1999. todennäköisyys, mahdollisuus, todennäköisyys, sattuma, objektiivinen mahdollisuus, maza, hyväksyttävyys, riski. Muurahainen. mahdottomuus...... Synonyymien sanakirja

todennäköisyys- Toimenpide, jolla tapahtuma voi tapahtua. Huomautus Todennäköisyyden matemaattinen määritelmä on "reaaliluku välillä 0 ja 1, joka liittyy satunnaiseen tapahtumaan". Luku voi heijastaa suhteellista esiintymistiheyttä havaintojen sarjassa ... ... Teknisen kääntäjän käsikirja

Todennäköisyys- "matemaattinen, numeerinen ominaisuus minkä tahansa tapahtuman mahdollisuudesta tietyissä erityisolosuhteissa, jotka voidaan toistaa rajoittamattoman määrän kertoja." Perustuu tähän klassikkoon…… Talous- ja matemaattinen sanakirja

- (todennäköisyys) Tapahtuman tai tietyn tuloksen toteutumisen mahdollisuus. Se voidaan esittää asteikolla, jossa on jaot 0-1. Jos tapahtuman todennäköisyys on nolla, sen toteutuminen on mahdotonta. Todennäköisyydellä 1 alkaa ... Liiketoiminnan termien sanasto