Matemaattiset lausekkeet (kaavat) lyhennetty kertolasku(summan ja erotuksen neliö, summan ja erotuksen kuutio, neliöiden erotus, kuutioiden summa ja ero) ovat erittäin korvaamattomia monilla eksaktien tieteiden alueilla. Nämä 7 merkkiä ovat korvaamattomia lausekkeiden yksinkertaistamisessa, yhtälöiden ratkaisemisessa, polynomien kertomisessa, murtolukujen pienentämisessä, integraalien ratkaisemisessa ja paljon muuta. Joten on erittäin hyödyllistä selvittää, miten ne on saatu, mihin ne on tarkoitettu, ja mikä tärkeintä, kuinka muistaa ne ja sitten soveltaa niitä. Sitten hakeminen lyhennetyt kertolaskut käytännössä vaikeinta on nähdä, mikä on X ja mitä on. Ilmeisesti ei ole rajoituksia a ja b ei, mikä tarkoittaa, että se voi olla mikä tahansa numeerinen tai kirjaimellinen lauseke.
Ja tässä ne ovat:
Ensimmäinen x 2 - klo 2 = (x - y) (x + y).Laskea neliöiden ero kaksi lauseketta, on tarpeen kertoa näiden lausekkeiden erot niiden summilla.
Toinen (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y 2. Löytää neliösumma kaksi lauseketta, sinun on lisättävä ensimmäisen lausekkeen neliöön kaksi kertaa ensimmäisen lausekkeen tulo toisella plus toisen lausekkeen neliö.
Kolmanneksi (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y 2. Laskea ero neliöity kaksi lauseketta, sinun on vähennettävä ensimmäisen lausekkeen neliöstä kaksi kertaa ensimmäisen lausekkeen tulo toisella plus toisen lausekkeen neliö.
Neljäs (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 v + 3x 2 + klo 3. Laskea summa kuutio kaksi lauseketta, sinun on lisättävä ensimmäisen lausekkeen kuutioon kolme kertaa ensimmäisen ja toisen lausekkeen neliön tulo plus kolme kertaa ensimmäisen lausekkeen ja toisen lausekkeen neliön tulo sekä lausekkeen kuutio. toinen ilmaus.
Viides (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 v + 3x 2 - klo 3. Laskea ero kuutio kaksi lauseketta, on tarpeen vähentää ensimmäisen lausekkeen kuutiosta kolme kertaa ensimmäisen lausekkeen neliön tulo toisella plus kolme kertaa ensimmäisen lausekkeen tulo ja toisen neliö miinus toisen lausekkeen kuutio ilmaisu.
kuudes x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Laskea kuutioiden summa kaksi lauseketta, sinun on kerrottava ensimmäisen ja toisen lausekkeen summat näiden lausekkeiden erotuksen epätäydellisellä neliöllä.
seitsemäs x 3 - klo 3 \u003d (x - y) (x 2 + xy + y 2) Laskelman tekemiseen kuution eroja kaksi lauseketta, on välttämätöntä kertoa ensimmäisen ja toisen lausekkeen ero näiden lausekkeiden summan epätäydellisellä neliöllä.
Ei ole vaikea muistaa, että kaikkia kaavoja käytetään laskelmien tekemiseen vastakkaiseen suuntaan (oikealta vasemmalle).
Näiden säännönmukaisuuksien olemassaolo tiedettiin noin 4 tuhatta vuotta sitten. Muinaisen Babylonin ja Egyptin asukkaat käyttivät niitä laajasti. Mutta niinä aikakausina ne ilmaistiin sanallisesti tai geometrisesti, eivätkä ne käyttäneet kirjaimia laskelmissa.
Analysoidaan summa neliötodistus(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2.
Tämä matemaattinen säännöllisyys todisti antiikin kreikkalainen tiedemies Euklid, joka työskenteli Aleksandriassa 3. vuosisadalla eKr., hän käytti geometrista menetelmää todistaakseen tämän kaavan, koska antiikin Hellaksen tiedemiehet eivät myöskään käyttäneet kirjaimia osoittamaan numeroita. He eivät kaikkialla käyttäneet "a 2", vaan "neliötä segmentillä a", ei "ab", vaan "suorakulmio, joka on suljettu segmenttien a ja b väliin".
Lyhennettyjä kertolaskukaavoja (FSU) käytetään lukujen ja lausekkeiden eksponentioimiseen ja kertomiseen. Usein näiden kaavojen avulla voit tehdä laskelmia kompaktimmin ja nopeammin.
Tässä artikkelissa luetellaan lyhennettyjen kertolaskujen pääkaavat, ryhmitellään ne taulukkoon, tarkastellaan esimerkkejä näiden kaavojen käytöstä ja myös lyhennettyjen kertolaskujen todistamisen periaatteissa.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ensimmäistä kertaa FSU-aihetta tarkastellaan 7. luokan kurssilla "Algebra". Alla on 7 peruskaavaa.
Lyhennetyt kertolaskukaavat
- summaneliökaava: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- eron neliökaava: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- summakuution kaava: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- erotuskuution kaava: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- neliöiden erotuskaava: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- kaava kuutioiden summalle: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- kuution erotuskaava: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
Kirjaimet a, b, c näissä lausekkeissa voivat olla mitä tahansa numeroita, muuttujia tai lausekkeita. Käytön helpottamiseksi on parempi oppia seitsemän peruskaavaa ulkoa. Teemme niistä yhteenvedon taulukossa ja annamme ne alla ympyröimällä ne laatikolla.
Neljän ensimmäisen kaavan avulla voit laskea kahden lausekkeen summan tai erotuksen neliön tai kuution.
Viides kaava laskee lausekkeiden neliöiden eron kertomalla niiden summan ja erotuksen.
Kuudes ja seitsemäs kaava ovat vastaavasti lausekkeiden summan ja erotuksen kertominen erotuksen epätäydellisellä neliöllä ja summan epätäydellisellä neliöllä.
Lyhennettyä kertolaskukaavaa kutsutaan joskus myös lyhennetyksi kertolasku-identiteetiksi. Tämä ei ole yllättävää, koska jokainen tasa-arvo on identiteetti.
Käytännön esimerkkejä ratkaistaessa käytetään usein lyhennettyjen kertolaskujen kaavoja, joissa vasen ja oikea osa on järjestetty uudelleen. Tämä on erityisen kätevää, kun tapahtuu polynomin kertoimet.
Muita lyhennettyjä kertolaskukaavoja
Emme rajoitu 7. luokan algebran kurssiin vaan lisäämme FSU-taulukkoomme muutamia kaavoja.
Harkitse ensin Newtonin binomikaavaa.
a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
Tässä C n k ovat binomiaalikertoimia, jotka ovat Pascalin kolmion rivillä numero n. Binomiaaliset kertoimet lasketaan kaavalla:
C nk = n! k! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2). . (n - (k - 1)) k !
Kuten näet, erotuksen ja summan neliön ja kuution FSU on Newtonin binomiaalikaavan erikoistapaus, kun n=2 ja n=3, vastaavasti.
Mutta entä jos potenssiin korotettavassa summassa on enemmän kuin kaksi termiä? Kolmen, neljän tai useamman termin summan neliön kaava on hyödyllinen.
a 1 + a 2 +. . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n
Toinen kaava, joka voi olla hyödyllinen, on kaava kahden termin n:nnen potenssien erolle.
a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1
Tämä kaava on yleensä jaettu kahteen kaavaan - vastaavasti parillisille ja parittomille asteille.
Parillisille eksponenteille 2m:
a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. . + b 2 m - 2
Parittomille eksponenteille 2m+1:
a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. . + b 2 m
Arvasit, että neliöiden eron ja kuutioiden eron kaavat ovat tämän kaavan erikoistapauksia, kun n = 2 ja n = 3. Kuutioiden erona b korvataan myös -b:llä.
Kuinka lukea lyhennettyjä kertolaskukaavoja?
Annamme kunkin kaavan vastaavat formulaatiot, mutta ensin käsittelemme kaavojen lukemisen periaatetta. Helpoin tapa tehdä tämä on esimerkin avulla. Otetaan ensimmäinen kaava kahden luvun summan neliölle.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
He sanovat: kahden lausekkeen a ja b summan neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen lausekkeen neliön summa, kaksi kertaa lausekkeiden tulo ja toisen lausekkeen neliö.
Kaikki muut kaavat luetaan samalla tavalla. Neliöerolle a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 kirjoitamme:
kahden lausekkeen a ja b erotuksen neliö on yhtä suuri kuin näiden lausekkeiden neliöiden summa miinus kaksi kertaa ensimmäisen ja toisen lausekkeen tulo.
Luetaan kaava a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Kahden lausekkeen a ja b summan kuutio on yhtä suuri kuin näiden lausekkeiden kuutioiden summa, kolme kertaa ensimmäisen ja toisen lausekkeen neliön tulo ja kolme kertaa toisen lausekkeen neliön tulo ja ensimmäinen lauseke.
Jatkamme kuutioiden a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 erotuksen kaavan lukemista. Kahden lausekkeen a ja b erotuksen kuutio on yhtä suuri kuin ensimmäisen lausekkeen kuutio miinus kolme kertaa ensimmäisen lausekkeen ja toisen lausekkeen neliö plus kolme kertaa toisen lausekkeen ja ensimmäisen lausekkeen neliö, josta on vähennetty kuutio toisesta lausekkeesta.
Viides kaava a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (neliöiden ero) kuuluu seuraavasti: kahden lausekkeen neliöiden ero on yhtä suuri kuin eron ja kahden lausekkeen summan tulo.
Sellaisia lausekkeita kuin a 2 + a b + b 2 ja a 2 - a b + b 2 kutsutaan mukavuuden vuoksi summan epätäydelliseksi neliöksi ja erotuksen epätäydelliseksi neliöksi.
Tätä silmällä pitäen kuutioiden summan ja eron kaavat luetaan seuraavasti:
Kahden lausekkeen kuutioiden summa on yhtä suuri kuin näiden lausekkeiden summan ja niiden erotuksen epätäydellisen neliön tulo.
Kahden lausekkeen kuutioiden erotus on yhtä suuri kuin näiden lausekkeiden eron tulo niiden summan epätäydellisellä neliöllä.
FSU todiste
FSU:n todistaminen on melko yksinkertaista. Kertomisen ominaisuuksien perusteella suoritamme suluissa olevien kaavojen osien kertomisen.
Harkitse esimerkiksi erotuksen neliön kaavaa.
a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Lausekkeen nostamiseksi toiseen potenssiin lauseke on kerrottava itsestään.
a - b 2 \u003d a - b a - b.
Laajennamme sulkuja:
a - b a - b \u003d a 2 - a b - b a + b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2.
Kaava on todistettu. Muut FSO:t ovat todistettu samalla tavalla.
Esimerkkejä FSO:n soveltamisesta
Supistettujen kertolaskujen käyttötarkoitus on kertoa ja eksponentioida lausekkeita nopeasti ja ytimekkäästi. Tämä ei kuitenkaan ole koko FSO:n soveltamisala. Niitä käytetään laajalti lausekkeiden vähentämiseen, murtolukujen vähentämiseen ja polynomien tekijöihin laskemiseen. Annetaan esimerkkejä.
Esimerkki 1. FSO
Yksinkertaistetaan lauseke 9 y - (1 + 3 y) 2 .
Käytä neliöiden summakaavaa ja saa:
9 v - (1 + 3 v) 2 = 9 v - (1 + 6 v + 9 v 2) = 9 v - 1 - 6 v - 9 v 2 = 3 v - 1 - 9 v 2
Esimerkki 2. FSO
Pienennä murto-osaa 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .
Huomaamme, että osoittajassa oleva lauseke on kuutioiden erotus ja nimittäjässä neliöiden erotus.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.
Vähennämme ja saamme:
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSU:t auttavat myös laskemaan lausekkeiden arvot. Tärkeintä on pystyä huomaamaan, mihin kaavaa sovelletaan. Osoitetaan tämä esimerkillä.
Nelitetään luku 79. Hankalien laskelmien sijaan kirjoitamme:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Vaikuttaa siltä, että monimutkainen laskenta suoritettiin nopeasti vain lyhennettyjen kertolaskujen ja kertotaulukon avulla.
Toinen tärkeä pointti- binomiaalin neliön valinta. Lauseke 4 x 2 + 4 x - 3 voidaan muuntaa 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Tällaisia muunnoksia käytetään laajasti integraatiossa.
Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter
Algebrallisia polynomeja laskettaessa käytämme laskelmien yksinkertaistamiseksi lyhennetyt kertolaskut . Tällaisia kaavoja on yhteensä seitsemän. Ne kaikki täytyy tuntea ulkoa.
On myös muistettava, että a:n ja b:n sijasta kaavoissa voi olla sekä lukuja että mitä tahansa muita algebrallisia polynomeja.
Neliöiden ero
Kahden luvun neliöiden erotus on yhtä suuri kuin näiden lukujen ja niiden summan eron tulo.
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
summa neliö
Kahden luvun summan neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun neliö plus kaksi kertaa ensimmäisen luvun tulo ja toisen plus toisen luvun neliö.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Huomaa, että tämän pienennetyn kertolaskukaavan avulla se on helppoa löytää suurten lukujen neliöt ilman laskinta tai pitkää kertolaskua. Selitetäänpä esimerkillä:
Etsi 112 2 .
Jaetaan 112 lukujen summaksi, joiden neliöt muistamme hyvin.2
112 = 100 + 1
Kirjoitamme lukujen summan hakasulkeisiin ja laitamme neliön sulkeiden päälle.
112 2 = (100 + 12) 2
Käytetään summaneliökaavaa:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 x 100 x 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Muista, että neliösummakaava pätee myös kaikille algebrallisille polynomeille.
(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2
Varoitus!!!
(a + b) 2 ei ole yhtä suuri kuin a 2 + b 2
Eron neliö
Kahden luvun välisen eron neliö on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun neliö miinus kaksi kertaa ensimmäisen ja toisen tulo plus toisen luvun neliö.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
On myös syytä muistaa erittäin hyödyllinen muunnos:
(a - b) 2 = (b - a) 2
Yllä oleva kaava todistetaan yksinkertaisesti laajentamalla sulkeita:
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2
summa kuutio
Kahden luvun summan kuutio on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun kuutio plus kolme kertaa ensimmäisen luvun neliö kertaa toinen plus kolme kertaa ensimmäisen kerran toisen neliö plus toisen kuution tulo.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Tämän "kauhean" näköisen kaavan muistaminen on melko yksinkertaista.
Opi, että 3 tulee ensin.
Kahden keskellä olevan polynomin kertoimet ovat 3.
ATmuista, että mikä tahansa luku nollapotenssiin on 1. (a 0 = 1, b 0 = 1). On helppo nähdä, että kaavassa aste a pienenee ja aste b kasvaa. Voit varmistaa tämän:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Varoitus!!!
(a + b) 3 ei ole yhtä suuri kuin a 3 + b 3
ero kuutio
Kahden luvun välisen eron kuutio on yhtä suuri kuin ensimmäisen luvun kuutio miinus kolme kertaa ensimmäisen ja toisen luvun neliö plus kolme kertaa ensimmäisen luvun tulo ja toisen luvun neliö miinus toisen luvun kuutio .
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Tämä kaava muistetaan edellisenä, mutta vain ottaen huomioon merkkien "+" ja "-" vuorottelu. 3:n ensimmäistä jäsentä edeltää "+" (matematiikan sääntöjen mukaan emme kirjoita sitä). Tämä tarkoittaa, että seuraavaa jäsentä edeltää "-", sitten taas "+" jne.
(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
kuutioiden summa ( Ei pidä sekoittaa summakuutioon!)
Kuutioiden summa on yhtä suuri kuin kahden luvun summan ja erotuksen epätäydellisen neliön tulo.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
Kuutioiden summa on kahden hakasulkeen tulo.
Ensimmäinen sulkumerkki on kahden luvun summa.
Toinen hakasulke on lukujen eron epätäydellinen neliö. Eron epätäydellistä neliötä kutsutaan lausekkeeksi:
A 2 - ab + b 2
Tämä neliö on epätäydellinen, koska keskellä on kaksoistulon sijaan tavallinen lukujen tulo.
Cube Difference (Ei pidä sekoittaa Difference Cubeen!!!)
Kuutioiden erotus on yhtä suuri kuin kahden luvun eron tulo summan epätäydellisellä neliöllä.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Ole varovainen kirjoittaessasi merkkejä.On syytä muistaa, että kaikkia yllä olevia kaavoja käytetään myös oikealta vasemmalle.
Helppo tapa muistaa lyhennetyt kertolaskut tai... Pascalin kolmio.
Onko vaikea muistaa lyhennettyjen kertolaskujen kaavoja? Tapaus on helppo auttaa. Sinun tarvitsee vain muistaa, kuinka niin yksinkertainen asia kuin Pascalin kolmio on kuvattu. Sitten muistat nämä kaavat aina ja kaikkialla, tai pikemminkin, älä muista, vaan palautat.
Mikä on Pascalin kolmio? Tämä kolmio koostuu kertoimista, jotka muodostavat muodon binomin minkä tahansa potenssin laajennuksen polynomiksi.
Puretaan se esimerkiksi:
Tässä tietueessa on helppo muistaa, että alussa on ensimmäisen numeron kuutio ja lopussa - toisen numeron kuutio. Mutta mitä keskellä on, on vaikea muistaa. Ja jopa se, että jokaisella seuraavalla termillä yhden tekijän aste laskee koko ajan ja toinen kasvaa - se on helppo huomata ja muistaa, kertoimia ja merkkejä on vaikeampi muistaa (plus vai miinus?).
Joten ensin kertoimet. Sinun ei tarvitse opetella niitä ulkoa! Muistikirjan reunoihin piirrämme nopeasti Pascalin kolmion, ja tässä ne ovat - kertoimet, jo edessämme. Aloitamme piirtämisen kolmella, yksi ylhäällä, kaksi alla, oikealle ja vasemmalle - kyllä, kolmio on jo saatu:
Ensimmäinen rivi, jossa on yksi, on nolla. Sitten tulee ensimmäinen, toinen, kolmas ja niin edelleen. Saadaksesi toisen rivin, sinun on lisättävä uudelleen reunoja pitkin ja kirjoitettava keskelle numero, joka on saatu lisäämällä kaksi numeroa sen yläpuolelle:
Kirjoitamme kolmannen rivin: jälleen yksikön reunoja pitkin ja jälleen saadaksesi seuraavan numeron uudelle riville lisäämällä numerot sen yläpuolelle edellisellä rivillä:
Kuten olet ehkä arvannut, saamme jokaiselle riville kertoimet binomiaalin hajoamisesta polynomiksi:
No, on vielä helpompi muistaa merkit: ensimmäinen on sama kuin laajennetussa binomiaalissa (asetamme summan, mikä tarkoittaa plus, ero, mikä tarkoittaa miinusta), ja sitten merkit vuorottelevat!
Tämä on niin hyödyllinen asia - Pascalin kolmio. Nauttia!
Niitä käytetään yksinkertaistamaan laskelmia, samoin kuin polynomien hajottamista tekijöiksi, polynomien nopeaa kertomista. Suurin osa lyhennetyistä kertolaskukaavoista saadaan Newtonin binomiaalista – näet tämän pian.
Kaavat neliöille käytetään usein laskelmissa. Niitä aletaan tutkia koulun opetussuunnitelmassa 7. luokasta koulutuksen loppuun asti, neliöiden ja kuutioiden kaavat, opiskelijoiden tulisi tietää ulkoa.
Kuution kaavat eivät ole kovin monimutkaisia, ja ne on tunnettava, kun polynomit pelkistetään vakiomuotoon, jotta muuttujan ja luvun summan tai eron nousu kuutioon yksinkertaistuu.
Punaisella merkityt kaavat on saatu edellisestä samankaltaisten termien ryhmittelystä.
Kaavat neljännelle ja viidennelle potenssille koulukurssilla harvat ovat hyödyllisiä, mutta korkeamman matematiikan opiskelussa on tehtäviä, joissa sinun on laskettava kertoimet asteilla.
Tutkintokaavat n on maalattu binomikertoimilla käyttämällä kertoimia seuraavasti 
Esimerkkejä lyhennettyjen kertolaskujen soveltamisesta
Esimerkki 1. Laske 51^2.
Päätös. Jos sinulla on laskin, löydät sen helposti
Vitsailin - kaikki ovat viisaita laskimen kanssa, ilman sitä ... (älkäämme puhuko surullisista asioista).
Ilman laskinta ja tietäen yllä olevat säännöt, löydämme luvun neliön säännön perusteella
Esimerkki 2 Etsi 99^2.
Päätös. Käytä toista kaavaa
Esimerkki 3: Lausekkeen neliöinti
(x+y-3).
Päätös. Pidämme mielessämme kahden ensimmäisen termin summaa yhtenä terminä ja toisen lyhennetyn kertolaskukaavan mukaan meillä on
Esimerkki 4. Etsi neliöiden erotus
11^2-9^2.
Päätös. Koska luvut ovat pieniä, voit yksinkertaisesti korvata neliöiden arvot
Mutta tavoitteemme on täysin erilainen - oppia käyttämään lyhennettyjä kertolaskukaavoja laskelmien yksinkertaistamiseksi. Käytä tässä esimerkissä kolmatta kaavaa
Esimerkki 5. Etsi neliöiden ero
17^2-3^2
.
Päätös. Tässä esimerkissä haluat jo opetella säännöt laskelmien vähentämiseksi yhdelle riville
Kuten näette, emme tehneet mitään ihmeellistä.
Esimerkki 6: Yksinkertaista lauseke
(x-y)^2-(x+y)^2.
Päätös. Voit asettaa neliöt ja myöhemmin ryhmitellä samankaltaisia termejä. Neliöiden eroa voidaan kuitenkin soveltaa suoraan 
Yksinkertaisia ja ilman pitkiä ratkaisuja.
Esimerkki 7. Kuutio polynomi
x^3-4.
Päätös. Sovelletaan 5-lyhennettyä kertolaskukaavaa 
Esimerkki 8. Kirjoita neliöiden erotuksena tai niiden summana
a) x^2-8x+7
b) x^2+4x+29
Päätös. a) Järjestä ehdot uudelleen
b) Yksinkertaista edellisen päättelyn perusteella 
Esimerkki 9. Laajenna rationaalinen murtoluku
Päätös. Käytä neliöiden erotuskaavaa 
Muodostamme yhtälöjärjestelmän vakioiden määrittämiseksi
Lisäämme toisen yhtälön kolminkertaiseen ensimmäiseen yhtälöön. Korvaamme löydetyn arvon ensimmäiseen yhtälöön 
Lopulta laajennus saa muodon 
Usein on tarpeen laajentaa rationaalista murtolukua ennen integrointia nimittäjän tehon pienentämiseksi.
Esimerkki 10. Newtonin binomia käyttäen maalaa
lauseke (x-a)^7.
Päätös. Tiedät varmaan jo mikä Newtonin binomi on. Jos ei, niin alla ovat binomiaaliset kertoimet
Ne muodostetaan seuraavasti: reunaa pitkin on yksiköitä, joiden väliset kertoimet alimmalla rivillä muodostetaan summaamalla vierekkäiset ylemmät. Jos etsimme eroa jossain määrin, niin aikataulun merkit vuorottelevat plussasta miinukseen. Siten seitsemännelle tilaukselle saadaan seuraava kohdistus
Katso myös tarkasti, kuinka indikaattorit muuttuvat - ensimmäisellä muuttujalla ne pienenevät yhdellä jokaisella seuraavalla termillä, vastaavasti toisella - ne kasvavat yhdellä. Yhteenvetona indikaattoreiden tulee aina olla yhtä suuria kuin hajoamisaste (= 7).
Luulen, että yllä olevan materiaalin perusteella pystyt ratkaisemaan Newtonin binomiaalin tehtäviä. Opi lyhennettyjä kertolaskukaavoja ja käytä niitä kaikkialla, missä se voi yksinkertaistaa laskelmia ja säästää aikaa tehtävässä.
Edellisellä oppitunnilla käsittelimme faktorointia. Hallitsimme kaksi tapaa: yhteisen tekijän poistamisen suluista ja ryhmittelyn. Tässä opetusohjelmassa seuraava tehokas menetelmä: lyhennetyt kertolaskut. Lyhyesti sanottuna - FSU.
Lyhennetyt kertolaskut (summan ja erotuksen neliö, summan ja erotuksen kuutio, neliöiden erotus, kuutioiden summa ja erotus) ovat välttämättömiä kaikilla matematiikan aloilla. Niitä käytetään lausekkeiden yksinkertaistamiseen, yhtälöiden ratkaisemiseen, polynomien kertomiseen, murtolukujen vähentämiseen, integraalien ratkaisemiseen jne. jne. Lyhyesti sanottuna on kaikki syyt käsitellä niitä. Ymmärrä, mistä ne tulevat, miksi niitä tarvitaan, kuinka muistaa ne ja miten niitä sovelletaan.
Ymmärrämmekö?)
Mistä lyhennetyt kertolaskukaavat ovat peräisin?
Yhtälöitä 6 ja 7 ei kirjoiteta kovin tavallisella tavalla. Kuten päinvastoin. Tämä on tarkoituksellista.) Mikä tahansa tasa-arvo toimii sekä vasemmalta oikealle että oikealta vasemmalle. Tällaisessa tietueessa on selvempää, mistä FSO tulee.
Ne on otettu kertolaskusta.) Esimerkiksi:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
Siinä se, ei tieteellisiä temppuja. Kerromme vain hakasulkeet ja annamme samanlaiset. Näin se käy kaikki lyhennetyt kertolaskukaavat. lyhennettynä kertominen johtuu siitä, että itse kaavoissa ei ole hakasulkujen kertolaskua ja samankaltaisten pelkistämistä. Pienennetty.) Tulos ilmoitetaan välittömästi.
FSU:n on tiedettävä ulkoa. Ilman kolmea ensimmäistä et voi haaveilla kolmosta, ilman muita - noin neljästä viidellä.)
Miksi tarvitsemme lyhennettyjä kertolaskukaavoja?
On kaksi syytä oppia nämä kaavat, jopa oppia ulkoa. Ensimmäinen - koneessa oleva valmis vastaus vähentää dramaattisesti virheiden määrää. Mutta tämä ei ole tärkein syy. Ja tässä toinen...
Jos pidät tästä sivustosta...
Muuten, minulla on sinulle pari mielenkiintoista sivustoa.)
Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Oppiminen - mielenkiinnolla!)
voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.
