Monikulmiot. Polygonien tyypit. Kuperan monikulmion sisä- ja ulkokulmat. Kuperan n-kulman sisäkulmien summa (lause). Kuperan n-kulman ulkokulmien summa (lause). Säännölliset polygonit. Säännöllisen monikulmion ympärille rajattu ympyrä (lause, seuraus 1.2)

Kuperan monikulmion sisäkulma tietyssä kärjessä on kulma, jonka sen sivut yhtyvät kyseisessä kärjessä. Kuperan monikulmion ulkokulma tietyssä kärjessä on kulma, joka on sisäkulman vieressä kyseisessä kärjessä. sisäkulma ulkokulma

Lause. Kuperan monikulmion sisäkulmien summa on (n - 2) · 180 o, missä n on monikulmion sivujen lukumäärä. Annettu: kupera n-kulmio. Todista: α = (n – 2) ·180 o Todistus Ota n-kulman sisäpuolelta mielivaltainen piste O ja yhdistä se kaikkiin pisteisiin. Monikulmio jaetaan n kolmioon, joilla on yhteinen kärki O. Kunkin kolmion kulmien summa on 180 o, joten kaikkien kolmioiden kulmien summa on 180 o n. Tämä summa sisältää monikulmion kaikkien sisäkulmien summan lisäksi kolmioiden kulmien summan kärjessä O, joka on 360 o. Siten monikulmion kaikkien sisäisten kulmien summa on 180 o n - 360 o \u003d (n - 2) 180 o. Joten, n \u003d (n - 2) 180 o. Ch.t.d. noin

Lause. Kuperan monikulmion ulkokulmien summa, joka on otettu yksi kussakin kärjessä, ei riipu n:stä ja on yhtä suuri kuin 360, missä n on n-kulmion sivujen lukumäärä. Todiste. Koska monikulmion ulkokulma on vastaavan sisäkulman vieressä ja vierekkäisten kulmien summa on 180, niin monikulmion ulkokulmien summa on: . Ulkoinen ja sisäinen sisäinen Joten kuperan monikulmion ulkokulmien summa, joka on otettu yksi kussakin kärjessä, ei riipu n:stä ja on yhtä suuri kuin 360 o, missä n on n-kulmion sivujen lukumäärä. Ch.t.d.

Lause. Mikä tahansa säännöllinen monikulmio voidaan merkitä ympyrällä, ja lisäksi vain yksi. Todiste. Olkoon А1,А2,…,А n säännöllinen monikulmio, О rajatun ympyrän keskipiste. ОА1А2 =ОА2А3= ОАnА1, joten näiden kolmioiden korkeudet kärjestä О piirrettyinä ovat myös yhtä suuria kuin ОН1=ОН2=…=ОНn. Siksi ympyrä, jonka keskipiste on O ja jonka säde on OH1, kulkee pisteiden H1, H2, ..., Hn läpi ja koskettaa monikulmion sivuja näissä pisteissä, ts. ympyrä on merkitty annettuun monikulmioon. Hn H1 H2 H3 A1 A2 A3 An

Todistakaamme, että on vain yksi piirretty ympyrä. Oletetaan, että on toinen piirretty ympyrä, jonka keskipiste on O ja säde OA. Tällöin sen keskipiste on yhtä kaukana monikulmion sivuista, eli piste O1 on jokaisella monikulmion kulmien puolittajalla ja on siten yhteneväinen näiden puolittajien leikkauspisteen O kanssa. Tämän ympyrän säde on yhtä suuri kuin etäisyys pisteestä O monikulmion sivuihin, ts. on yhtä suuri kuin OH1. Lause on todistettu. Seuraus 1 Säännölliseen monikulmioon piirretty ympyrä koskettaa monikulmion sivuja niiden keskipisteissä. Seuraus 2 Säännöllisen monikulmion ympärille piirretyn ympyrän keskipiste osuu samaan monikulmioon piirretyn ympyrän keskipisteen kanssa.

Kolmio, neliö, kuusikulmio - nämä hahmot tuntevat melkein kaikki. Mutta kaikki eivät tiedä, mikä säännöllinen monikulmio on. Mutta tämä on kaikki sama Säännöllistä monikulmiota kutsutaan monikulmioksi, jolla on yhtäläiset kulmat ja sivut. Tällaisia ​​lukuja on paljon, mutta niillä kaikilla on samat ominaisuudet ja samat kaavat koskevat niitä.

Säännöllisten polygonien ominaisuudet

Mikä tahansa säännöllinen monikulmio, oli se sitten neliö tai kahdeksankulmio, voidaan piirtää ympyrään. Tätä perusominaisuutta käytetään usein hahmon rakentamisessa. Lisäksi monikulmioon voidaan kirjoittaa ympyrä. Tässä tapauksessa kosketuspisteiden määrä on yhtä suuri kuin sen sivujen lukumäärä. On tärkeää, että säännölliseen monikulmioon piirretyllä ympyrällä on yhteinen keskus sen kanssa. Näihin geometrisiin kuvioihin sovelletaan samoja lauseita. Mikä tahansa säännöllisen n-kulman sivu liittyy sitä ympäröivän rajatun ympyrän säteeseen R. Siksi se voidaan laskea seuraavalla kaavalla: a = 2R ∙ sin180°. Sen kautta löydät paitsi monikulmion sivut myös kehän.

Kuinka löytää säännöllisen monikulmion sivujen lukumäärä

Mikä tahansa koostuu tietystä määrästä keskenään yhtä suuria segmenttejä, jotka yhdistettyinä muodostavat suljetun viivan. Tässä tapauksessa kaikilla muodostetun hahmon kulmilla on sama arvo. Monikulmiot jaetaan yksinkertaisiin ja monimutkaisiin. Ensimmäinen ryhmä sisältää kolmion ja neliön. Monimutkaisilla polygoneilla on enemmän sivuja. Niissä on myös tähden muotoisia hahmoja. Monimutkaisten säännöllisten monikulmioiden sivut löydetään piirtämällä ne ympyrän muotoon. Annetaan todiste. Piirrä säännöllinen monikulmio, jolla on mielivaltainen määrä sivuja n. Kuvaile ympyrää sen ympärillä. Määritä säde R. Kuvittele nyt, että jokin n-kulmio on annettu. Jos sen kulmien pisteet ovat ympyrällä ja ovat yhtä suuret keskenään, niin sivut voidaan löytää kaavalla: a = 2R ∙ sinα: 2.

Suorakulmaisen kolmion sivujen lukumäärän selvittäminen

Tasasivuinen kolmio on säännöllinen monikulmio. Siihen pätevät samat kaavat kuin neliöön ja n-kulmioon. Kolmio katsotaan oikeaksi, jos sillä on samanpituiset sivut. Tässä tapauksessa kulmat ovat 60⁰. Muodosta kolmio, jonka sivun pituus on a. Kun tiedät sen mediaanin ja korkeuden, voit löytää sen sivujen arvon. Tätä varten käytämme menetelmää löytää kaavan avulla a \u003d x: cosα, jossa x on mediaani tai korkeus. Koska kolmion kaikki sivut ovat yhtä suuret, saadaan a = b = c. Tällöin seuraava väite on tosi: a = b = c = x: cosα. Vastaavasti voit löytää tasakylkisen kolmion sivujen arvon, mutta x on annettu korkeus. Samanaikaisesti se tulisi projisoida tiukasti hahmon pohjaan. Joten, kun tiedämme korkeuden x, löydämme tasakylkisen kolmion sivun a käyttämällä kaavaa a \u003d b \u003d x: cosα. Kun olet löytänyt a:n arvon, voit laskea kannan c pituuden. Sovelletaan Pythagoraan lausetta. Etsimme puolen c:n arvoa: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tgα. Silloin c = 2xtanα. Näin yksinkertaisella tavalla voit löytää minkä tahansa piirretyn monikulmion sivujen lukumäärän.

Ympyrään piirretyn neliön sivujen laskeminen

Kuten kaikilla muillakin säännöllisillä monikulmioilla, neliöllä on yhtäläiset sivut ja kulmat. Siihen pätevät samat kaavat kuin kolmioon. Voit laskea neliön sivut käyttämällä diagonaalin arvoa. Tarkastellaan tätä menetelmää yksityiskohtaisemmin. Tiedetään, että diagonaali puolittaa kulman. Aluksi sen arvo oli 90 astetta. Näin ollen jaon jälkeen muodostuu kaksi, joiden kulmat pohjassa ovat 45 astetta. Vastaavasti neliön jokainen sivu on yhtä suuri, eli: a \u003d b \u003d c \u003d d \u003d e ∙ cosα \u003d e √ 2: 2, missä e on neliön lävistäjä tai kanta jaon jälkeen muodostunut suorakulmainen kolmio. Tämä ei ole ainoa tapa löytää neliön sivut. Piirretään tämä kuvio ympyrään. Kun tiedämme tämän ympyrän R säteen, löydämme neliön sivun. Laskemme sen seuraavasti a4 = R√2. Säännöllisten monikulmioiden säteet lasketaan kaavalla R \u003d a: 2tg (360 o: 2n), jossa a on sivun pituus.

Kuinka laskea n-kulman ympärysmitta

N-kulman ympärysmitta on sen kaikkien sivujen summa. Se on helppo laskea. Tätä varten sinun on tiedettävä kaikkien osapuolten arvot. Joillekin monikulmiotyypeille on olemassa erityisiä kaavoja. Niiden avulla voit löytää kehän paljon nopeammin. Tiedetään, että kaikilla säännöllisillä monikulmioilla on yhtäläiset sivut. Siksi sen kehän laskemiseksi riittää, että tiedät ainakin yhden niistä. Kaava riippuu kuvion sivujen lukumäärästä. Yleensä se näyttää tältä: P \u003d an, jossa a on sivun arvo ja n on kulmien lukumäärä. Jos haluat esimerkiksi löytää säännöllisen kahdeksankulmion, jonka sivu on 3 cm, ympärysmitta, sinun on kerrottava se 8:lla, eli P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Laskemme kuusikulmaiselle, jonka sivu on 5 cm seuraavasti: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Ja niin jokaiselle polygonille.

Suunnikkaan, neliön ja rombin kehän löytäminen

Sen ympärysmitta lasketaan sen mukaan, kuinka monta sivua tavallisella monikulmiolla on. Tämä tekee tehtävästä paljon helpompaa. Itse asiassa, toisin kuin muut hahmot, tässä tapauksessa ei tarvitse etsiä kaikkia sen puolia, vain yksi riittää. Samalla periaatteella löydämme nelikulmion ympärysmitan eli neliön ja rombin. Huolimatta siitä, että nämä ovat erilaisia ​​​​lukuja, kaava niille on sama P = 4a, jossa a on sivu. Otetaan esimerkki. Jos rombin tai neliön sivu on 6 cm, niin saamme ympärysmitan seuraavasti: P \u003d 4 ∙ 6 \u003d 24 cm Suunnikkaalla on vain vastakkaiset sivut. Siksi sen ympärysmitta löydetään eri menetelmällä. Joten meidän on tiedettävä kuvion pituus a ja leveys b. Sitten sovelletaan kaavaa P \u003d (a + c) ∙ 2. Suunnikkaasta, jossa kaikki sivut ja niiden väliset kulmat ovat yhtä suuret, kutsutaan rombiksi.

Tasasivuisen ja suorakulmaisen kolmion kehän löytäminen

Oikean ympärysmitta löytyy kaavasta P \u003d 3a, jossa a on sivun pituus. Jos se on tuntematon, se löytyy mediaanin kautta. Suorakulmaisessa kolmiossa vain kaksi sivua ovat yhtä suuret. Perusta löytyy Pythagoraan lauseen kautta. Kun kaikkien kolmen sivun arvot ovat tiedossa, laskemme kehä. Se löytyy soveltamalla kaavaa P \u003d a + b + c, jossa a ja b ovat yhtä suuret puolet ja c on kanta. Muista, että tasakylkisessä kolmiossa a \u003d b \u003d a, siis a + b \u003d 2a, sitten P \u003d 2a + c. Esimerkiksi tasakylkisen kolmion sivu on 4 cm, etsi sen kanta ja ympärysmitta. Laskemme hypotenuusan arvon Pythagoraan lauseen mukaisesti c \u003d √a 2 + in 2 \u003d √16 + 16 \u003d √32 \u003d 5,65 cm. Nyt laskemme ympärysmitan P \u003d \u003d 4 \u0030. u003d 13,65 cm.

Kuinka löytää säännöllisen monikulmion kulmat

Säännöllinen monikulmio esiintyy elämässämme joka päivä, esimerkiksi tavallinen neliö, kolmio, kahdeksankulmio. Vaikuttaa siltä, ​​​​että mikään ei ole helpompaa kuin rakentaa tämä hahmo itse. Mutta tämä on vain ensi silmäyksellä. Minkä tahansa n-kulman rakentamiseksi sinun on tiedettävä sen kulmien arvo. Mutta miten löydät ne? Jopa antiikin tiedemiehet yrittivät rakentaa säännöllisiä polygoneja. He arvasivat sijoittavansa ne ympyröihin. Ja sitten siihen merkittiin tarvittavat pisteet, jotka yhdistettiin suorilla viivoilla. Yksinkertaisten lukujen osalta rakennusongelma on ratkaistu. Kaavat ja lauseet on saatu. Esimerkiksi Euclid kuuluisassa teoksessaan "Alku" osallistui 3-, 4-, 5-, 6- ja 15-gonin ongelmien ratkaisemiseen. Hän löysi tapoja rakentaa niitä ja löytää kulmia. Katsotaanpa, miten tämä tehdään 15-gonille. Ensin sinun on laskettava sen sisäisten kulmien summa. On tarpeen käyttää kaavaa S = 180⁰(n-2). Joten meille annetaan 15-kulmainen, mikä tarkoittaa, että luku n on 15. Korvaamme tuntemamme tiedot kaavaan ja saamme S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Olemme löytäneet 15-gonin kaikkien sisäkulmien summan. Nyt meidän on saatava jokaisen niistä arvo. Kulmia on yhteensä 15. Laskemme 2340⁰: 15 = 156⁰. Tämä tarkoittaa, että jokainen sisäkulma on 156⁰, nyt käyttämällä viivainta ja kompassia voit rakentaa tavallisen 15 kulman. Mutta entä monimutkaisemmat n-gonit? Vuosisatojen ajan tiedemiehet ovat kamppailleet tämän ongelman ratkaisemiseksi. Carl Friedrich Gauss löysi sen vasta 1700-luvulla. Hän pystyi rakentamaan 65537-gonin. Siitä lähtien ongelma on virallisesti katsottu täysin ratkaistuksi.

N-kulmien laskenta radiaaneina

Tietenkin on olemassa useita tapoja löytää polygonien kulmat. Useimmiten ne lasketaan asteina. Mutta voit myös ilmaista ne radiaaneina. Kuinka tehdä se? On tarpeen edetä seuraavasti. Ensin selvitetään säännöllisen monikulmion sivujen lukumäärä, sitten vähennetään siitä 2. Joten saamme arvon: n - 2. Kerro löydetty ero luvulla n ("pi" \u003d 3.14). Nyt jää vain jakaa tuloksena saatu tulo n-kulman kulmien lukumäärällä. Harkitse näitä laskelmia käyttämällä samaa viisitoistasivuista esimerkkiä. Luku n on siis 15. Sovelletaan kaavaa S = p(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Tämä ei tietenkään ole ainoa tapa laskea kulma radiaaneina. Voit yksinkertaisesti jakaa kulman koon asteina luvulla 57,3. Loppujen lopuksi tuo monta astetta vastaa yhtä radiaania.

Kulmien arvon laskeminen asteina

Asteiden ja radiaanien lisäksi voit yrittää löytää säännöllisen monikulmion kulmien arvon asteina. Tämä tehdään seuraavalla tavalla. Vähennä 2 kulmien kokonaismäärästä, jaa saatu erotus säännöllisen monikulmion sivujen lukumäärällä. Kerrotaan saatu tulos 200:lla. Sellaista kulmien mittayksikköä asteina ei muuten käytännössä käytetä.

N-kulmien ulkokulmien laskenta

Jokaiselle tavalliselle monikulmiolle voit laskea sisäisen monikulmion lisäksi myös ulkoisen kulman. Sen arvo löytyy samalla tavalla kuin muidenkin lukujen. Joten löytääksesi säännöllisen monikulmion ulkokulman, sinun on tiedettävä sisäkulman arvo. Lisäksi tiedämme, että näiden kahden kulman summa on aina 180 astetta. Siksi teemme laskelmat seuraavasti: 180⁰ miinus sisäkulman arvo. Löydämme eron. Se on yhtä suuri kuin sen vieressä olevan kulman arvo. Esimerkiksi neliön sisäkulma on 90 astetta, joten ulkokulma on 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Kuten näemme, sen löytäminen ei ole vaikeaa. Ulkokulman arvo voi olla +180⁰ - -180⁰.

Tarkoitus: Johda kaava kuperan monikulmion kulmien summan löytämiseksi;

• tutkia kysymystä monikulmion ulkokulmien summasta, yksi kussakin kärjessä;
• muodostaa positiivinen motivaatio kognitiiviseen toimintaan;
• kehittää loogista ajattelua;
• kehittää huomiota, havainnointia, kykyä analysoida piirustusta;
• muodostaa kyky soveltaa hankittua tietoa ongelmien ratkaisemiseen;
• kehittää opiskelijoiden kommunikatiivista kulttuuria.

Tuntien aikana

Suuri venäläinen tiedemies, Venäjän maan ylpeys,

Mihailo Vasilyevich Lomonosov sanoi: "Väkivaltainen työ voittaa esteet." Toivon, että tämän päivän oppitunnilla työmme kanssasi auttaa meitä voittamaan kaikki esteet.

1. Perustiedon toteuttaminen. (Etuäänestys.)

Esittely. (Diat 2-4)

- Muotoile monikulmion määritelmä, nimeä sen pääelementit.
– Kuperan monikulmion määritelmä.
- Anna esimerkkejä tunnetuista nelikulmioista, jotka ovat kuperaa monikulmiota.
Voidaanko kolmiota pitää kuperana monikulmiona?
Mikä on kuperan monikulmion ulkokulma?

2. Ongelman selvitys (tuloste oppitunnin aiheesta).

Suullinen etutyö.

Etsi annettujen monikulmioiden kulmien summa (Diat 5-6)

- kolmio; suorakulmio:
- puolisuunnikkaan muotoinen; mielivaltainen kuusikulmio.

Vaikeuksissa opettaja kysyy kysymyksiä:

- Muotoile puolisuunnikkaan määritelmä.
Nimeä puolisuunnikkaan kantat.
- Mitä voidaan sanoa kulmaparista A ja D, mikä ominaisuus niillä on?
- Voitko vielä nimetä piirustuksessa parin sisäisiä yksipuolisia saaliita?
Löydätkö seitsemänkulmion kulmien summan? Mikä on kysymys? (Onko olemassa kaavaa mielivaltaisen monikulmion kulmien summan löytämiseksi?)

On siis selvää, että tämän päivän tietomme ei riitä ratkaisemaan tätä ongelmaa.

Kuinka voimme muotoilla oppituntimme aiheen? - Kulmien summa kupera monikulmio.

3. Ratkaisu Ongelmia. Vastataksemme tähän kysymykseen, teemme vähän tutkimusta.

Tunnemme jo kolmion summalauseen. Voimmeko soveltaa sitä millään tavalla?

– Mitä tälle pitäisi tehdä? (Hajoa monikulmio kolmioiksi.)

Kuinka monikulmio voidaan jakaa kolmioihin? Ajattele sitä, keskustele siitä ja tarjoa parhaat vaihtoehdot.

Työtä tehdään ryhmissä, jokainen ryhmä työskentelee erillisellä tietokoneella, johon on asennettu ohjelma "Geo Gebra".

Työn lopussa opettaja näyttää ryhmien työn tulokset näytöllä. (Dia 7)

- Analysoidaan ehdotettuja vaihtoehtoja ja yritetään valita optimaalisin tutkimuksellemme.

Määritellään valintakriteerit: mitä haluamme saada jakamisen tuloksena? (Konstruoitujen kolmioiden kaikkien kulmien summan on oltava yhtä suuri kuin monikulmion kulmien summa.)

- Mitkä vaihtoehdot voidaan heti hylätä? Miksi?

(Vaihtoehto 1, koska kaikkien kolmioiden kulmien summa ei ole yhtä suuri kuin monikulmion kulmien summa.)

- Mikä vaihtoehto on sopivin? Miksi? (Vaihtoehto 3.)

Miten sait tämän vaihtoehdon? (Piirsimme diagonaalit monikulmion yhdestä kärjestä

piirustus	n on monikulmion kärkien lukumäärä	Yhdestä kärjestä piirrettyjen diagonaalien lukumäärä	Vastaanotettujen kolmioiden määrä
	4
	5
	6
	7
	n

- Yritetään saada suhde monikulmion kärkien lukumäärän, yhdestä kärjestä piirrettävien diagonaalien ja saatujen kolmioiden lukumäärän välille.

Jokainen ryhmä saa taulukon, joka heidän on täytettävä tutkimusprosessin aikana.

Ryhmäkeskustelun jälkeen lapset muotoilevat johtopäätöksensä:
n-gonin yhdestä kärjestä voidaan vetää n - 3 diagonaalia (koska diagonaalia ei voida vetää valittuun pisteeseen ja kahteen viereiseen). Tässä tapauksessa saamme n - 2 kolmiota.

Siksi kuperan monikulmion kulmien summa on 180 0 (n-2).

- Palataan ehdotettuihin vaihtoehtoihin monikulmion jakamiseksi kolmioiksi.

Onko mahdollista käyttää kuvassa 4 ehdotettua muunnelmaa tämän lauseen todistamiseen?

Kuinka monta kolmiota saadaan tällaisella osiolla? ( P asiat)
Mitä eroa on kaikkien kolmioiden kulmien summalla ja monikulmion kulmien summalla? (360 0:ssa)
- Kuinka voit laskea monikulmion kulmien summan tässä tapauksessa?

(180P– 360 = 180n - 180x2 \u003d 180 (n -2)) (Cmakaa 8)

– Täyttääkö kuvassa 2 ehdotettu muunnos osioinnin päävaatimuksen? (Joo.)

- Miksi sitä ei kannata käyttää monikulmion kulmien summan selvittämiseen? (Vaikeampi laskea tuloksena olevien kolmioiden määrää.)

No, nyt palataan ongelmaan, jota emme voineet ratkaista oppitunnin alussa.

(Lapset laskevat sanallisesti seitsemänkulmion ja kahden samanlaisen harjoituksen kulmien summan.) (Dia 9 ja 10)

4. Hankitun tiedon soveltaminen .

Olemme johtaneet kaavan kuperan monikulmion sisäkulmien summan löytämiseksi. Puhutaan nyt monikulmion ulkokulmien summasta, joka on otettu yksi kussakin kärjessä.

Tehtävä on siis: kumpi on suurempi: kuperan kuusikulmion vai kolmion ulkoisten kulmien summa otettuna yksi kussakin kärjessä? (Dia 11)

Lapset tekevät arvauksia. Opettaja ehdottaa tutkimuksen tekemistä tämän ongelman ratkaisemiseksi.

Jokaiselle ryhmälle annetaan tehtävä, joka ratkaistaan ​​itsenäisesti.

Ryhmä 1.

1) Laske säännöllisen kolmion ulkoisten kulmien summa, joka on otettu yksi kussakin kärjessä.
2) - Kolmiossa, jonka kulmien astearvot ovat vastaavasti 70 0 , 80 0 ja 30 0 .

Ryhmä 2

1) Etsi suorakulmion ulkokulmien summa, joka on otettu yksi kustakin kärjestä.
2) - Nelikulmassa, jonka sisäkulmat ovat vastaavasti 70 0 , 80 0 ja 120 0 ja 90 0 .

Ryhmä 3.

1) Laske säännöllisen kuusikulmion ulkoisten kulmien summa, joka on otettu yksi kussakin kärjessä.
2) - Kuusikulmassa, jonka sisäkulmat ovat vastaavasti 170 0 , 80 0 ja 130 0 , 100 0 , 70 0 , 170 0.

Työn päätyttyä lapset raportoivat tuloksensa, opettaja kirjoittaa ne taulukkoon ja näyttää ne näytöllä. (Dia 12)

Joten mitä johtopäätöksiä saaduista tuloksista voidaan tehdä? (Ulkokulmien summa, otettuna yksi kussakin kärjessä, mille tahansa monikulmiolle on 360 0.)

Yritetään nyt todistaa tämä tosiasia mille tahansa n-gonille.

Jos vaikeuksia ilmenee, todistussuunnitelmasta keskustellaan kollektiivisesti:

1. Merkitse monikulmion sisäkulmat α, β, γ jne.
2. Ilmaise käyttöönotetun merkinnän avulla ulkoisten kulmien astemitat
3. Kirjoita lauseke monikulmion ulkokulmien summan löytämiseksi
4. Muunna tuloksena oleva lauseke, käytä aiemmin saatua kaavaa monikulmion sisäkulmien summalle.

Todistus on kirjoitettu taululle:

(180 - α) + (180 - β) + (180 - γ) + ... = 180 p - (α + β + γ + ...) = 180 p - 180 (p - 2) = 360

5. Tutkitun aineiston konsolidointi. Ongelmanratkaisu.

Tehtävä 1. Onko olemassa kupera monikulmio, jolla on seuraavat sisäkulmat: 45 0 , 68 0 , 73 0 ja 56 0 ? Perustele vastauksesi.

Todistakaamme ristiriidalla. Jos kuperalla monikulmiolla on neljä terävää sisäkulmaa, niin tylppä ulkokulmaa on neljä, mikä tarkoittaa, että monikulmion kaikkien ulkokulmien summa on suurempi kuin 4*90 0 = 360 0 . Meillä on ristiriita. Väite on todistettu.

Kuperalla monikulmiolla on kolme 80 asteen kulmaa ja loput 150 astetta. Kuinka monta kulmaa on kuperassa monikulmiossa?

Kuten: kuperalle n-kulmiolle kulmien summa on 180°(n – 2) , niin 180(n - 2)=3*80 + x*150, jossa meille on annettu 3 80 asteen kulmaa tehtävän ehdon mukaan ja muiden kulmien lukumäärä on meille vielä tuntematon, mikä tarkoittaa, että merkitse niiden lukumäärä x:llä.

Vasemman puolen merkinnästä määritimme kuitenkin monikulmion kulmien lukumääräksi n, koska tiedämme niistä kolmen arvot tehtävän ehdosta, on selvää, että x=n-3.

Joten yhtälö näyttää tältä: 180 (n - 2) = 240 + 150 (n - 3)

Ratkaisemme tuloksena olevan yhtälön

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Vastaus: 5 huippua.

6. Oppitunnin yhteenveto.

Niin, tehdään yhteenveto. Muotoile kysymyksesi toisen ryhmän pojille tämän päivän oppitunnin materiaalien perusteella.

Mikä on mielestäsi paras kysymys?

Keskustele kunkin ryhmän jäsenen osallistumisasteesta kollektiiviseen työhön, nimeä aktiivisin.

Kenen työ ryhmässä oli tuottavin?

7. Kotitehtävät:

1. Tehtävä.

Monikulmiolla on kolme 113 asteen kulmaa, ja loput ovat yhtä suuria keskenään ja niiden astemitta on kokonaisluku. Selvitä monikulmion kärkien lukumäärä.

2. kohta 114 s. 169–171, Pogorelov A.V. "Geometria 7-9".

Videotunti 2: Monikulmiot. Ongelmanratkaisu

Luento: Monikulmio. Kuperan monikulmion kulmien summa

Monikulmiot- nämä ovat hahmoja, jotka ympäröivät meitä kaikkialla - tämä on myös hunajakennojen muoto, johon mehiläiset varastoivat hunajansa, arkkitehtonisia rakenteita ja paljon muuta.

Kuten aiemmin mainittiin, polygonit ovat muotoja, joissa on enemmän kuin kaksi kulmaa. Ne koostuvat suljetusta katkoviivasta.

Lisäksi monikulmioiden kulmat voivat olla ulkoisia ja sisäisiä. Esimerkiksi tähti on kuvio, jossa on 10 kulmaa, joista osa on kuperia ja toiset koveria:

Esimerkkejä kuperista monikulmioista:

Huomaa, että kuvassa näkyvät säännölliset monikulmiot - niitä tutkitaan yksityiskohtaisesti koulun matematiikan kurssilla.

Jokaisella polygonilla on sama määrä pisteitä kuin sivujen lukumäärä. Huomaa myös, että naapuripisteet ovat niitä, joilla on yksi yhteinen puoli. Esimerkiksi kolmiolla on kaikki vierekkäiset kärjet.

Mitä enemmän kulmia tavallisella monikulmiolla on, sitä suurempi on sen astemitta. Kuperan monikulmion kulman astemitta ei kuitenkaan voi olla suurempi tai yhtä suuri kuin 180 astetta.

Monikulmion yleisen astemitan määrittämiseksi sinun on käytettävä kaavaa.

Kahdeksannella luokalla koulun geometrian tunneilla opiskelijat tutustuvat ensimmäistä kertaa kuperan monikulmion käsitteeseen. Hyvin pian he oppivat, että tällä hahmolla on erittäin mielenkiintoinen ominaisuus. Olipa se kuinka monimutkainen tahansa, kuperan monikulmion kaikkien sisä- ja ulkokulmien summa saa tiukasti määritellyn arvon. Tässä artikkelissa matematiikan ja fysiikan opettaja kertoo, mikä on kuperan monikulmion kulmien summa.

Kuperan monikulmion sisäkulmien summa

Kuinka todistaa tämä kaava?

Ennen kuin siirrymme tämän väitteen todistamiseen, muistetaan, mitä monikulmiota kutsutaan kuperaksi. Monikulmiota kutsutaan kuperaksi, jos se on kokonaan sen linjan toisella puolella, joka sisältää minkä tahansa sen sivuista. Esimerkiksi tässä kuvassa näkyvä:

Jos monikulmio ei täytä ilmoitettua ehtoa, sitä kutsutaan ei-kuperaksi. Esimerkiksi näin:

Kuperan monikulmion sisäkulmien summa on , Jossa on monikulmion sivujen lukumäärä.

Tämän tosiasian todiste perustuu lauseeseen kolmion kulmien summasta, joka on kaikkien koululaisten hyvin tiedossa. Olen varma, että tunnet tämän lauseen. Kolmion sisäkulmien summa on .

Ideana on jakaa kupera monikulmio useiksi kolmioksi. Tämä voidaan tehdä eri tavoin. Riippuen siitä, minkä menetelmän valitsemme, todisteet ovat hieman erilaisia.

1. Jaa kupera monikulmio kolmioksi kaikilla mahdollisilla jostain kärjestä vedetyillä lävistäjillä. On helppo ymmärtää, että silloin n-kulmiomme jaetaan kolmioihin:

Lisäksi kaikkien tuloksena olevien kolmioiden kaikkien kulmien summa on yhtä suuri kuin n-kulmiemme kulmien summa. Loppujen lopuksi jokainen tuloksena olevien kolmioiden kulma on osakulma kuperassa monikulmiossamme. Eli vaadittu määrä on yhtä suuri kuin .

2. Voit myös valita pisteen kuperan monikulmion sisältä ja liittää sen kaikkiin pisteisiin. Sitten n-kulmiomme jaetaan kolmioihin:

Lisäksi monikulmiomme kulmien summa on tässä tapauksessa yhtä suuri kuin kaikkien näiden kolmioiden kaikkien kulmien summa miinus keskikulma, joka on yhtä suuri kuin . Eli haluttu määrä on jälleen yhtä suuri kuin .

Kuperan monikulmion ulkokulmien summa

Esitetään nyt itseltämme kysymys: "Mikä on kuperan monikulmion ulkokulmien summa?" Tähän kysymykseen voidaan vastata seuraavalla tavalla. Jokainen ulkokulma on vastaavan sisäkulman vieressä. Siksi se on yhtä suuri kuin:

Silloin kaikkien ulkoisten kulmien summa on . Eli se on yhtä suuri kuin .

Se on erittäin hauska tulos. Jos laitamme sivuun peräkkäin peräkkäin minkä tahansa kuperan n-kulman ulkokulmat, niin tuloksena täsmälleen koko taso täyttyy.

Tämä mielenkiintoinen tosiasia voidaan havainnollistaa seuraavasti. Pienennetään suhteellisesti jonkin kuperan monikulmion kaikkia sivuja, kunnes se sulautuu pisteeksi. Tämän jälkeen kaikki ulkokulmat asetetaan sivuun toisistaan ​​ja siten täyttävät koko tason.

Mielenkiintoinen fakta, eikö? Ja geometriassa on paljon tällaisia ​​tosiasioita. Joten opettele geometriaa, rakkaat opiskelijat!

Materiaalin siitä, mikä on kuperan monikulmion kulmien summa, valmisti Sergei Valerievich