Sivuston online-rajalaskin opiskelijoiden ja koululaisten käsittelemän aineiston kokoamiseen ja käytännön taitojensa kouluttamiseen. Kuinka käyttää rajalaskuria verkossa resurssissamme? Tämä tehdään jopa erittäin helposti, sinun tarvitsee vain syöttää alkuperäinen funktio olemassa olevaan kenttään, valita valitsimesta muuttujan vaadittu raja-arvo ja klikata "Ratkaisu" -painiketta. Jos jossain vaiheessa sinun on laskettava raja-arvo, sinun on syötettävä juuri tämän pisteen arvo - joko numeerinen tai symbolinen. Online-rajalaskin auttaa sinua löytämään raja-arvon tietyssä pisteessä, rajan funktion määrittelyvälissä, ja tämä arvo, jossa tutkittavan funktion arvo ryntää, kun sen argumentti pyrkii tiettyyn pisteeseen, on ratkaisu raja. Resurssissamme olevan online-rajalaskimen mukaan sivusto voi sanoa seuraavaa - Internetissä on valtava määrä analogeja, voit löytää arvokkaita, sinun on etsittävä tämä vaikein. Mutta täällä kohtaat sen tosiasian, että sivustot ovat erilaisia. Monet heistä eivät tarjoa online-rajalaskuria ollenkaan, toisin kuin me. Jos jossakin tunnetussa hakukoneessa, olipa kyseessä Yandex tai Google, etsit sivustoja käyttämällä lausetta "Online-rajalaskin", sivusto on hakutulosten ensimmäisillä riveillä. Tämä tarkoittaa, että nämä hakukoneet luottavat meihin, ja sivustollamme on vain laadukasta sisältöä, ja mikä tärkeintä, hyödyllistä koulu- ja yliopisto-opiskelijoille! Jatketaanpa puhumista rajalaskimista ja ylipäätään rajan ylittämisen teoriasta. Hyvin usein funktion rajan määrittelyssä muotoillaan käsite lähiöistä. Tässä funktioiden rajoja sekä näiden rajojen ratkaisua tutkitaan vain funktioiden määrittelyaluetta rajoittavissa pisteissä, kun tiedetään, että tällaisen pisteen jokaisessa ympäristössä on pisteitä funktion määritelmäalueelta. tämä toiminto. Tämä antaa meille mahdollisuuden puhua muuttujan funktion taipumuksesta tiettyyn pisteeseen. Jos jossain funktioalueen kohdassa on raja ja online-rajalaskin antaa tässä vaiheessa yksityiskohtaisen rajaratkaisun funktiolle, niin funktio on tässä vaiheessa jatkuva. Anna ratkaisun sisältävän online-rajalaskurimme antaa positiivinen tulos, niin tarkistamme sen muilta sivustoilta. Tämä voi todistaa resurssimme laadun, ja kuten monet jo tietävät, se on parhaimmillaan ja ansaitsee suurimman kiitoksen. Tämän ohella on mahdollisuus online-laskurirajoihin yksityiskohtaisella ratkaisulla opiskeluun ja itsenäiseen opiskeluun, mutta ammattitaitoisen opettajan tiiviissä valvonnassa. Usein tämä toimenpide johtaa odotettuihin tuloksiin. Kaikki opiskelijat vain haaveilevat, että ratkaisun sisältävä verkkorajalaskin kuvaisi yksityiskohtaisesti heidän vaikean tehtävänsä, jonka opettaja antoi lukukauden alussa. Mutta se ei ole niin yksinkertaista. Sinun tulee ensin opiskella teoria ja sitten käyttää ilmaista laskinta. Kuten online-limiitit, laskin antaa sinulle tarvitsemasi tiedot, ja olet tyytyväinen tulokseen. Mutta määritelmäalueen rajapiste ei välttämättä kuulu juuri tähän määritelmäalueeseen, ja tämän todistaa online-rajalaskimen yksityiskohtainen laskelma. Esimerkki: voimme tarkastella funktion rajaa avoimen segmentin päissä, jolle funktiomme on määritelty. Tässä tapauksessa itse segmentin rajat eivät sisälly määritelmäalueeseen. Tässä mielessä tämän pisteen naapurustojen järjestelmä on tällaisen osajoukkojen perustan erikoistapaus. Yksityiskohtaisen ratkaisun sisältävä online-rajalaskin tuotetaan reaaliajassa ja siihen sovelletaan kaavoja annetussa eksplisiittisessä analyyttisessä muodossa. Yksityiskohtaisen ratkaisun sisältävää online-rajalaskuria käyttävän funktion raja on yleistys sekvenssin rajan käsitteestä: alun perin funktion raja pisteessä ymmärrettiin alueen elementtien sarjan rajaksi. funktiosta, joka koostuu kuvista funktion alueen elementtijonon pisteistä, jotka konvergoivat tiettyyn pisteeseen (raja, jossa tarkastellaan); jos tällainen raja on olemassa, funktion sanotaan konvergoivan määritettyyn arvoon; jos tällaista rajaa ei ole olemassa, funktion sanotaan poikkeavan. Yleisesti ottaen teoria rajalle siirtymisestä on kaiken matemaattisen analyysin peruskäsite. Kaikki perustuu nimenomaan rajasiirtymiin, eli rajojen yksityiskohtainen ratkaisu on matemaattisen analyysin tieteen perusta, ja online-rajalaskin luo pohjan opiskelijan oppimiselle. Sivustolla oleva online-rajalaskin yksityiskohtaisella ratkaisulla on ainutlaatuinen palvelu tarkan ja välittömän vastauksen saamiseen reaaliajassa. Ei harvoin, tai pikemminkin hyvin usein, opiskelijoilla on heti vaikeuksia ratkaista rajoja matemaattisen analyysin alkuvaiheessa. Takaamme, että rajalaskurin ratkaiseminen verkossa palvelussamme takaa tarkkuuden ja laadukkaan vastauksen. Yksityiskohtaiseen rajan ratkaisuun saat laskurin avulla sekunneissa, voit jopa sanoa heti . Jos määrität virheellisiä tietoja, eli merkkejä, joita järjestelmä ei salli, ei hätää, palvelu ilmoittaa sinulle automaattisesti virheestä. Korjaa aiemmin syötetty funktio (tai rajapiste) ja hanki oikea yksityiskohtainen ratkaisu online-rajalaskimella. Luota meihin, emmekä koskaan petä sinua. Voit helposti käyttää sivustoa ja online-rajalaskuria ratkaisun kanssa, joka kuvaa yksityiskohtaisesti vaiheittaiset vaiheet ongelman laskemiseksi. Sinun tarvitsee vain odottaa muutama sekunti ja saada haluttu vastaus. Rajojen ratkaisemiseen yksityiskohtaisen ratkaisun sisältävällä online-laskimella käytetään kaikkia mahdollisia tekniikoita, erityisesti L'Hospital-menetelmää käytetään hyvin usein, koska se on universaali ja johtaa vastaukseen nopeammin kuin muut funktion rajan laskentamenetelmät. . Usein lukujonon summan laskemiseen tarvitaan online-rajalaskuri. Kuten tiedät, numeerisen sekvenssin summan löytämiseksi sinun tarvitsee vain ilmaista tämän sekvenssin osasumma oikein, ja sitten kaikki on yksinkertaista käyttämällä ilmaista sivustopalveluamme, koska rajan laskeminen online-rajalaskimellamme osasumma on numeerisen sekvenssin lopullinen summa. Yksityiskohtainen ratkaisu rajalaskimella verkossa sivustopalvelun avulla tarjoaa opiskelijoille tavan nähdä ongelmien ratkaisun edistyminen, mikä tekee rajateorian ymmärtämisestä helppoa ja lähes kaikkien ulottuvilla. Pysy keskittyneenä äläkä anna väärien tekojen joutua vaikeuksiin huonojen arvosanojen saamisessa. Kuten mikä tahansa yksityiskohtainen ratkaisu verkkopalvelurajalaskimella, ongelma esitetään kätevässä ja ymmärrettävässä muodossa, yksityiskohtaisella ratkaisulla, noudattaen kaikkia ratkaisun saamista koskevia sääntöjä ja määräyksiä. Samalla voit säästää aikaa ja rahaa, koska emme pyydä siitä mitään. Verkkosivuillamme on aina saatavilla 24 tuntia vuorokaudessa yksityiskohtainen ratkaisu online-rajalaskimista. Itse asiassa kaikki ratkaisulla varustetut online-rajalaskurit eivät välttämättä kerro vaiheittaisen ratkaisun edistymistä yksityiskohtaisesti, sinun ei pidä unohtaa tätä ja seurata kaikkia. Heti kun yksityiskohtaisen ratkaisun sisältävän online-laskimen rajat kehottavat sinua napsauttamaan "Ratkaisu" -painiketta, tarkista ensin kaikki. eli tarkista syötetty toiminto, myös raja-arvo ja vasta sitten jatka toimintoa. Tämä säästää sinut tuskallisilta kokemuksilta epäonnistuneiden laskelmien vuoksi. Ja sitten verkkolaskimen rajat yksityiskohtaisella lailla antavat vaiheittaisesta toiminnasta oikean tekijän. Jos online-rajalaskin ei yhtäkkiä antanut yksityiskohtaista ratkaisua, tähän voi olla useita syitä. Tarkista ensin kirjoitettu funktiolauseke. Sen tulee sisältää muuttuja "x", muuten järjestelmä käsittelee koko funktiota vakiona. Tarkista seuraavaksi raja-arvo, jos määritit tietyn pisteen tai symbolisen arvon. Sen tulee sisältää myös vain latinalaisia ​​kirjaimia - tämä on tärkeää! Sitten voit yrittää uudelleen löytää yksityiskohtaisen ratkaisun rajoituksiin verkosta erinomaisesta palvelustamme ja käyttää tulosta. Heti kun he sanovat, että verkkopäätöksen rajat yksityiskohtaisesti ovat erittäin vaikeita - älä usko sitä, ja mikä tärkeintä, älä panikoi, kaikki on sallittua koulutuskurssin puitteissa. Suosittelemme, että käytät ilman paniikkia vain muutaman minuutin palveluumme ja tarkista annettu harjoitus. Jos verkkoratkaisun rajoja ei kuitenkaan voida ratkaista yksityiskohtaisesti, teit kirjoitusvirheen, koska muuten sivusto ratkaisee melkein minkä tahansa ongelman ilman suurempia vaikeuksia. Mutta älä usko, että voit saada halutun tuloksen välittömästi ilman työtä ja vaivaa. Jos materiaalin tutkimiseen on käytettävä tarpeeksi aikaa. Jokaisen ratkaisun sisältävän online-rajalaskin on mahdollista erottua yksityiskohtaisesti esillä olevan ratkaisun rakentamisvaiheessa ja olettaa päinvastaista. Mutta sillä ei ole väliä, kuinka se ilmaistaan, koska olemme huolissamme tieteellisen lähestymistavan prosessista. Tuloksena näytämme kuinka verkkoratkaisulla varustettu rajalaskin perustuu yksityiskohtaisesti matematiikan tieteen perustavanlaatuiseen näkökulmaan. Tunnista viisi ydinperiaatetta ja aloita eteenpäin. Sinulta kysytään, onko rajalaskuriratkaisu saatavilla verkossa yksityiskohtaisella ratkaisulla kaikille, ja vastaat - kyllä, on! Ehkä tässä mielessä ei ole kiinnitetty erityistä huomiota tuloksiin, mutta online-rajalla on yksityiskohdissa hieman eri merkitys kuin tieteenalan opiskelun alussa saattaa näyttää. Tasapainoisella lähestymistavalla, kun voimat kohdistetaan oikein, voit nopeasti päätellä rajan yksityiskohtaisesti verkossa itse.! Todellisuudessa on niin, että online-rajalaskin, jossa on ratkaisu yksityiskohtaisesti, alkaa edustaa suhteellisesti kaikkia vaiheittaisen laskennan vaiheita nopeammin.

Sekvenssien ja funktioiden rajojen käsitteet. Kun jonolle on löydettävä raja, se kirjoitetaan seuraavasti: lim xn=a. Tällaisessa sekvenssijonossa xn pyrkii a:han ja n pyrkii äärettömyyteen. Sarja esitetään yleensä sarjana, esimerkiksi:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Jaksot on jaettu nouseviin ja laskeviin. Esimerkiksi:
xn=n^2 - kasvava sekvenssi
yn=1/n - sekvenssi
Joten esimerkiksi sekvenssin xn=1/n^ raja:
lim1/n^2=0

x→∞
Tämä raja on nolla, koska n→∞ ja sekvenssi 1/n^2 pyrkivät nollaan.

Yleensä muuttuja x pyrkii äärelliseen rajaan a, lisäksi x lähestyy jatkuvasti a:ta ja a:n arvo on vakio. Tämä kirjoitetaan seuraavasti: limx = a, kun taas n voi myös pyrkiä sekä nollaan että äärettömään. Funktioita on äärettömästi, niille raja pyrkii äärettömyyteen. Muissa tapauksissa, kun esimerkiksi junan hidastustoiminto on mahdollinen nollaan pyrkivä raja.
Rajoilla on useita ominaisuuksia. Yleensä kaikilla funktioilla on vain yksi raja. Tämä on rajan tärkein ominaisuus. Muut on lueteltu alla:
* Summaraja on yhtä suuri kuin rajojen summa:
lim(x+y)=limx+limy
* Tuotteen raja on yhtä suuri kuin rajojen tulo:
lim(xy)=limx*limy
* Osamäärän raja on yhtä suuri kuin rajojen osamäärä:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Vakiokerroin otetaan pois rajamerkistä:
lim(Cx)=C lim x
Annettu funktio 1 /x, jossa x →∞, sen raja on nolla. Jos x→0, niin tällaisen funktion raja on yhtä suuri kuin ∞.
Trigonometrisille funktioille on olemassa nämä säännöt. Koska sin x -funktio pyrkii aina ykköseen lähestyessään nollaa, identiteetti pätee sille:
lim sin x/x=1

Useissa toiminnoissa, joiden rajoja laskettaessa syntyy epävarmuus - tilanne, jossa rajaa ei voida laskea. Ainoa tie ulos tästä tilanteesta on L'Hopital. Epävarmuustekijöitä on kahdenlaisia:
* muodon epävarmuus 0/0
* muodon ∞/∞ epävarmuus
Esimerkiksi annettuna seuraavan muotoisen rajan: lim f(x)/l(x), lisäksi f(x0)=l(x0)=0. Tässä tapauksessa epävarmuus on muotoa 0/0. Tällaisen ongelman ratkaisemiseksi molemmat funktiot erotetaan toisistaan, minkä jälkeen tuloksen raja löytyy. Muotoa 0/0 oleville epävarmuuksille raja on:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0)
Sama sääntö pätee tyypin ∞/∞ epävarmuuksille. Mutta tässä tapauksessa seuraava yhtälö on totta: f(x)=l(x)=∞
L'Hopitalin säännön avulla voidaan löytää arvot mille tahansa rajalle, jossa epävarmuustekijöitä esiintyy. Pakollinen ehto

volyymi - virheiden puuttuminen johdannaisten löytämisessä. Joten esimerkiksi funktion (x^2)" derivaatta on yhtä suuri kuin 2x. Tästä voimme päätellä, että:
f"(x)=nx^(n-1)

Toiminnan raja- numero a on jonkin muuttujan arvon raja, jos tämä muuttuja lähestyy muuttuessaan loputtomasti a.

Tai toisin sanoen numero A on toiminnon raja y=f(x) pisteessä x0, jos jollekin funktion määritelmäalueen pistejonosta ei ole yhtä suuri x0, ja joka konvergoi asiaan x 0 (lim x n = x0), funktion vastaavien arvojen sarja konvergoi numeroon A.

Kuvaaja funktiosta, jonka raja äärettömyyteen pyrkivällä argumentilla on L:

Merkitys MUTTA on funktion raja (raja-arvo). f(x) pisteessä x0 jos jollekin pistesarjalle , joka supistuu x0, mutta joka ei sisällä x0 yhtenä sen elementteistä (eli puhjennetulla alueella x0), funktion arvojen sarja yhtyy A.

Cauchyn mukainen funktion raja.

Merkitys A tulee olemaan toimintoraja f(x) pisteessä x0 jos jollekin eteenpäin otettu ei-negatiivinen luku ε ei-negatiivinen vastaava luku löytyy δ = δ(ε) niin että jokaiselle väitteelle x, ehtoa tyydyttävä 0 < | x - x0 | < δ , eriarvoisuutta | f(x) A |< ε .

Se on hyvin yksinkertaista, jos ymmärrät rajan olemuksen ja sen löytämisen perussäännöt. Se on toiminnon raja f(x) klo x tavoitteleva a on yhtä suuri A, on kirjoitettu näin:

Lisäksi arvo, johon muuttuja pyrkii x, voi olla paitsi luku, myös ääretön (∞), joskus +∞ tai -∞, tai rajaa ei ehkä ole ollenkaan.

Ymmärtääksesi kuinka löytää funktion rajat, on parasta nähdä esimerkkejä ratkaisuista.

Meidän on löydettävä funktion rajat f(x) = 1/x osoitteessa:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Etsitään ensimmäisen rajan ratkaisu. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti korvaamalla x numero, johon se pyrkii, ts. 2, saamme:

Etsi funktion toinen raja. Korvaa tässä puhtaassa muodossa 0 sen sijaan x se on mahdotonta, koska ei voida jakaa 0:lla. Mutta voimme ottaa arvot lähellä nollaa, esimerkiksi 0,01; 0,001; 0,0001; 0.00001 ja niin edelleen funktion arvolla f(x) kasvaa: 100; 1000; 10000; 100 000 ja niin edelleen. Siten voidaan ymmärtää, että milloin x→ 0 rajamerkin alla olevan funktion arvo kasvaa loputtomasti, ts. pyrkiä äärettömyyteen. Joka tarkoittaa:

Mitä tulee kolmanteen rajaan. Sama tilanne kuin edellisessä tapauksessa, sitä ei voida korvata ∞ puhtaimmassa muodossaan. Meidän on harkittava rajattoman korotuksen tapausta x. Korvaamme vuorotellen 1000; 10000; 100000 ja niin edelleen, meillä on, että funktion arvo f(x) = 1/x laskee: 0,001; 0,0001; 0,00001; ja niin edelleen, taipuen nollaan. Niin:

On tarpeen laskea funktion raja

Aloittaessamme toisen esimerkin ratkaisemisen näemme epävarmuuden. Täältä löydämme osoittajan ja nimittäjän korkeimman asteen - tämä on x 3, otamme sen pois suluista osoittajassa ja nimittäjässä ja pienennämme sitä sitten sillä:

Vastaus

Ensimmäinen askel sisään löytää tämä raja, korvaa arvo 1 sen sijaan x, mikä johtaa epävarmuuteen . Sen ratkaisemiseksi hajotamme osoittajan tekijöiksi, teemme tämän etsimällä toisen asteen yhtälön juuret x 2 + 2x - 3:

D \u003d 2 2 - 4 * 1 * (-3) \u003d 4 +12 \u003d 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 \u003d -3;x2= 1.

Joten osoittaja olisi:

Vastaus

Tämä on sen tietyn arvon tai tietyn alueen, johon funktio osuu, määritelmä, jota raja rajoittaa.

Päättääksesi rajat, noudata sääntöjä:

Ymmärrettyään olemuksen ja pääasia rajoittaa päätössääntöjä, saat perustiedot niiden ratkaisemisesta.

Rajat aiheuttavat kaikille matematiikan opiskelijoille paljon vaivaa. Rajan ratkaisemiseksi on joskus käytettävä monia temppuja ja valittava useista ratkaisuista juuri se, joka sopii tiettyyn esimerkkiin.

Tässä artikkelissa emme auta sinua ymmärtämään kykyjesi rajoja tai ymmärtämään hallinnan rajoja, vaan yritämme vastata kysymykseen: kuinka ymmärtää korkeamman matematiikan rajat? Ymmärtäminen tulee kokemuksen myötä, joten samalla annamme yksityiskohtaisia ​​esimerkkejä rajojen ratkaisemisesta selitysten kera.

Rajan käsite matematiikassa

Ensimmäinen kysymys kuuluu: mikä on raja ja minkä raja? Voimme puhua numeeristen sekvenssien ja funktioiden rajoista. Olemme kiinnostuneita funktion rajan käsitteestä, koska juuri niiden kanssa opiskelijat kohtaavat useimmiten. Mutta ensin yleisin rajan määritelmä:

Oletetaan, että siinä on jokin muuttuja. Jos tämä arvo lähestyy muutosprosessissa loputtomasti tiettyä numeroa a , sitten a on tämän arvon raja.

Jossain välissä määritellylle funktiolle f(x)=y raja on numero A , johon funktio pyrkii milloin X taipumus tiettyyn pisteeseen a . Piste a kuuluu väliin, jolle funktio määritellään.

Se kuulostaa hankalalta, mutta se on kirjoitettu hyvin yksinkertaisesti:

Lim- englannista raja- raja.

Rajan määrittelylle on myös geometrinen selitys, mutta tässä emme mene teoriaan, koska meitä kiinnostaa enemmän asian käytännön kuin teoreettinen puoli. Kun sanomme niin X pyrkii johonkin arvoon, tämä tarkoittaa, että muuttuja ei ota luvun arvoa, vaan lähestyy sitä äärettömän lähellä.

Otetaan konkreettinen esimerkki. Haasteena on löytää raja.

Tämän esimerkin ratkaisemiseksi korvaamme arvon x=3 funktioksi. Saamme:

Muuten, jos olet kiinnostunut, lue erillinen artikkeli tästä aiheesta.

Esimerkeissä X voi taipua mihin tahansa arvoon. Se voi olla mikä tahansa luku tai ääretön. Tässä esimerkki kun X taipumus äärettömyyteen:

On intuitiivisesti selvää, että mitä suurempi luku nimittäjässä on, sitä pienemmän arvon funktio ottaa. Siis rajattomalla kasvulla X merkitys 1/x vähenee ja lähestyy nollaa.

Kuten näet, rajan ratkaisemiseksi sinun tarvitsee vain korvata tavoite arvo funktioon X . Tämä on kuitenkin yksinkertaisin tapaus. Usein rajan löytäminen ei ole niin ilmeistä. Rajojen sisällä on tyyppiepävarmuutta 0/0 tai ääretön / ääretön . Mitä tehdä tällaisissa tapauksissa? Käytä temppuja!

Epävarmuus sisällä

Epävarmuus muodosta ääretön/ääretön

Olkoon raja:

Jos yritämme korvata funktion äärettömän, saamme äärettömän sekä osoittajassa että nimittäjässä. Yleisesti ottaen kannattaa sanoa, että tällaisten epävarmuustekijöiden ratkaisemisessa on tietty taiteen elementti: pitää huomata, kuinka funktiota voi muuttaa siten, että epävarmuus katoaa. Meidän tapauksessamme jaamme osoittajan ja nimittäjän X ylimmässä tutkinnossa. Mitä tapahtuu?

Yllä jo käsitellystä esimerkistä tiedämme, että termit, jotka sisältävät x:n nimittäjässä, ovat yleensä nolla. Sitten ratkaisu rajaan on:

Selvittääksesi tyyppiepäselvyydet ääretön / ääretön jaa osoittaja ja nimittäjä X korkeimmalle tasolle.

Muuten! Lukijoillemme on nyt 10 % alennus

Toinen epävarmuustyyppi: 0/0

Kuten aina, korvaus arvofunktioon x = -1 antaa 0 osoittajassa ja nimittäjässä. Katsokaa hieman tarkemmin ja huomaatte, että osoittajassa on toisen asteen yhtälö. Etsitään juuret ja kirjoitetaan:

Vähennetään ja saadaan:

Joten, jos kohtaat tyyppisen epäselvyyden 0/0 - kertokaa osoittaja ja nimittäjä.

Esimerkkien ratkaisemisen helpottamiseksi tässä on taulukko joidenkin funktioiden rajoituksista:

L'Hopitalin sääntö sisällä

Toinen tehokas tapa poistaa molemmat epävarmuustekijät. Mikä on menetelmän ydin?

Jos rajassa on epävarmuutta, otetaan osoittajan ja nimittäjän derivaatta, kunnes epävarmuus katoaa.

Visuaalisesti L'Hopitalin sääntö näyttää tältä:

Tärkeä pointti : rajan, jossa osoittajan ja nimittäjän derivaatat ovat osoittajan ja nimittäjän sijaan, on oltava olemassa.

Ja nyt oikea esimerkki:

On tyypillistä epävarmuutta 0/0 . Otetaan osoittajan ja nimittäjän johdannaiset:

Voila, epävarmuus poistuu nopeasti ja tyylikkäästi.

Toivomme, että pystyt hyödyntämään näitä tietoja käytännössä ja löytämään vastauksen kysymykseen "miten ratkaistaan ​​korkeamman matematiikan rajoja". Jos joudut laskemaan sekvenssin rajan tai funktion rajan jossain pisteessä, eikä tähän työhön ole aikaa sanasta "ehdottomasti", ota yhteyttä ammattiopiskelijapalveluun nopean ja yksityiskohtaisen ratkaisun saamiseksi.

Ensimmäistä merkittävää rajaa kutsutaan seuraavaksi tasa-arvoksi:

\begin(yhtälö)\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö)

Koska arvolla $\alpha\to(0)$ meillä on $\sin\alpha\to(0)$, sanomme, että ensimmäinen merkittävä raja paljastaa muodon $\frac(0)(0)$ määrittämättömyyden. Yleisesti ottaen kaavassa (1) muuttujan $\alpha$ sijasta, sinimerkin alla ja nimittäjässä, mikä tahansa lauseke voidaan sijoittaa, kunhan kaksi ehtoa täyttyvät:

1. Sinimerkin alla ja nimittäjässä olevat lausekkeet pyrkivät samanaikaisesti nollaan, ts. on epävarmuus muodossa $\frac(0)(0)$.
2. Lausekkeet sinimerkin alla ja nimittäjässä ovat samat.

Usein käytetään myös seurauksia ensimmäisestä merkittävästä rajasta:

\begin(yhtälö) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö) \begin(yhtälö) \lim_(\alpha\to(0) )\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö) \begin(yhtälö) \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1 \end(yhtälö)

Tällä sivulla on ratkaistu yksitoista esimerkkiä. Esimerkki nro 1 on omistettu kaavojen (2)-(4) todistukselle. Esimerkit #2, #3, #4 ja #5 sisältävät ratkaisuja yksityiskohtaisine kommentteineen. Esimerkit 6-10 sisältävät ratkaisuja, joissa on vähän tai ei lainkaan kommentteja, kuten edellisissä esimerkeissä annettiin yksityiskohtaiset selitykset. Ratkaisussa käytetään joitain trigonometrisiä kaavoja, jotka löytyvät.

Huomaan, että trigonometristen funktioiden läsnäolo yhdistettynä $\frac (0) (0)$ epävarmuuteen ei tarkoita, että ensimmäinen merkittävä raja on sovellettava. Joskus yksinkertaiset trigonometriset muunnokset riittävät - katso esimerkiksi.

Esimerkki #1

Todista, että $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg\alpha)(\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha ) (\alpha)=1$, $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$.

a) Koska $\tg\alpha=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha)$, niin:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\tg(\alpha))(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) $$

Koska $\lim_(\alpha\to(0))\cos(0)=1$ ja $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin\alpha)(\alpha)=1$ , sitten:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\sin(\alpha))(\alpha\cos(\alpha)) =\frac(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0)) \frac(\sin(\alpha))(\alpha))(\displaystyle\lim_(\alpha\to(0))\cos(\alpha)) =\frac(1)(1) =1. $$

b) Tehdään korvaus $\alpha=\sin(y)$. Koska $\sin(0)=0$, niin ehdosta $\alpha\to(0)$ meillä on $y\to(0)$. Lisäksi on nollaalue, jossa $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin(y))=y$, joten:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\sin(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\sin(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\sin(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Yhtälö $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arcsin\alpha)(\alpha)=1$ on todistettu.

c) Tehdään korvaus $\alpha=\tg(y)$. Koska $\tg(0)=0$, ehdot $\alpha\to(0)$ ja $y\to(0)$ ovat vastaavat. Lisäksi on nollaalue, jossa $\arctg\alpha=\arctg\tg(y))=y$, joten luotaen kohdan a) tuloksiin meillä on:

$$ \lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(y\to(0))\frac(y)(\tg(y)) =\lim_(y\to(0))\frac(1)(\frac(\tg(y))( y)) =\frac(1)(\displaystyle\lim_(y\to(0))\frac(\tg(y))(y)) =\frac(1)(1) =1. $$

Yhtälö $\lim_(\alpha\to(0))\frac(\arctg\alpha)(\alpha)=1$ on todistettu.

Yhtälöitä a), b), c) käytetään usein yhdessä ensimmäisen merkittävän rajan kanssa.

Esimerkki #2

Laske raja $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)( x+7))$.

Koska $\lim_(x\to(2))\frac(x^2-4)(x+7)=\frac(2^2-4)(2+7)=0$ ja $\lim_( x \to(2))\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right)=\sin(0)=0$, ts. ja murtoluvun osoittaja ja nimittäjä pyrkivät samanaikaisesti nollaan, niin tässä on kyseessä muotoa $\frac(0)(0)$ oleva epävarmuus, ts. tehty. Lisäksi voidaan nähdä, että lausekkeet sinimerkin alla ja nimittäjässä ovat samat (eli ja täyttyvät):

Joten molemmat sivun alussa luetellut ehdot täyttyvät. Tästä seuraa, että kaava on sovellettavissa, ts. $\lim_(x\to(2)) \frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x+ 7) ))=1$.

Vastaus: $\lim_(x\to(2))\frac(\sin\left(\frac(x^2-4)(x+7)\right))(\frac(x^2-4)(x +7))=1$.

Esimerkki #3

Etsi $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)$.

Koska $\lim_(x\to(0))\sin(9x)=0$ ja $\lim_(x\to(0))x=0$, kyseessä on muodon $\frac( 0 )(0)$, eli tehty. Sinimerkin alla ja nimittäjässä olevat lausekkeet eivät kuitenkaan täsmää. Tässä on tarpeen säätää nimittäjässä oleva lauseke haluttuun muotoon. Tarvitsemme lausekkeen $9x$ olevan nimittäjässä - silloin siitä tulee totta. Pohjimmiltaan meiltä puuttuu 9$-tekijä nimittäjästä, jonka syöttäminen ei ole niin vaikeaa, kerro vain nimittäjässä oleva lauseke 9$:lla. Luonnollisesti kompensoidaksesi kertomisen $9$:lla sinun on jaettava välittömästi 9$:lla ja jaettava:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x\cdot\frac(1)(9)) =9\lim_(x\to(0))\frac(\sin (9x))(9x) $$

Nyt lausekkeet nimittäjässä ja sinimerkin alla ovat samat. Molemmat rajan $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)$ ehdot täyttyvät. Tästä syystä $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=1$. Ja tämä tarkoittaa, että:

9 $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(9x)=9\cdot(1)=9. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(9x))(x)=9$.

Esimerkki #4

Etsi $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))$.

Koska $\lim_(x\to(0))\sin(5x)=0$ ja $\lim_(x\to(0))\tg(8x)=0$, tässä on kyse muodossa $\frac(0)(0)$. Ensimmäisen merkittävän rajan muoto on kuitenkin rikki. Osoittaja, joka sisältää $\sin(5x)$, vaatii $5x$ nimittäjän. Tässä tilanteessa helpoin tapa on jakaa osoittaja $5x$:lla ja kertoa heti $5x$:lla. Lisäksi suoritamme samanlaisen toimenpiteen nimittäjällä kertomalla ja jakamalla $\tg(8x)$ $8x$:lla:

$$\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x) )$$

Pienentämällä $x$ ja ottamalla vakio $\frac(5)(8)$ pois rajamerkistä, saamme:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x)\cdot(5x))(\frac(\tg(8x))(8x)\cdot(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))( 8x)) $$

Huomaa, että $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x)$ täyttää täysin ensimmäisen merkittävän rajan vaatimukset. Löytääksesi $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(8x))(8x)$ käytetään seuraavaa kaavaa:

$$ \frac(5)(8)\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(5x))(5x))(\frac(\tg(8x))(8x )) =\frac(5)(8)\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(5x))(\displaystyle\lim_(x\to (0))\frac(\tg(8x))(8x)) =\frac(5)(8)\cdot\frac(1)(1) =\frac(5)(8). $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\sin(5x))(\tg(8x))=\frac(5)(8)$.

Esimerkki #5

Etsi $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)$.

Koska $\lim_(x\to(0))(\cos(5x)-\cos^3(5x))=1-1=0$ (muista, että $\cos(0)=1$) ja $\ lim_(x\to(0))x^2=0$, niin kyseessä on muodon $\frac(0)(0)$ määrittelemättömyys. Ensimmäisen ihanan rajan soveltamiseksi sinun tulee kuitenkin päästä eroon osoittajassa olevasta kosinista siirtymällä sineihin (kaavan soveltamiseksi) tai tangenteihin (kaavan soveltamiseksi). Voit tehdä tämän seuraavalla muunnolla:

$$\cos(5x)-\cos^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\oikea)$$ $$\cos(5x)-\cos ^3(5x)=\cos(5x)\cdot\left(1-\cos^2(5x)\oikea)=\cos(5x)\cdot\sin^2(5x).$$

Palataan rajaan:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)\cdot\sin^2(5x))(x^2) =\lim_(x\to(0))\left(\cos (5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\oikea) $$

Murtoluku $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ on jo lähellä muotoa, joka vaaditaan ensimmäiselle merkittävälle rajalle. Työstetään vähän murto-osan $\frac(\sin^2(5x))(x^2)$ kanssa ja sovitetaan se ensimmäiseen merkittävään rajaan (huomaa, että osoittajan ja sinin alla olevien lausekkeiden on vastattava):

$$\frac(\sin^2(5x))(x^2)=\frac(\sin^2(5x))(25x^2\cdot\frac(1)(25))=25\cdot\ frac(\sin^2(5x))(25x^2)=25\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2$$

Palataan harkittuun rajaan:

$$ \lim_(x\to(0))\left(\cos(5x)\cdot\frac(\sin^2(5x))(x^2)\oikea) =\lim_(x\to(0) ))\left(25\cos(5x)\cdot\left(\frac(\sin(5x))(5x)\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_(x\to( 0))\cos(5x)\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(5x))(5x)\oikea)^2 =25\cdot(1)\cdot( 1^2) =25. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(5x)-\cos^3(5x))(x^2)=25$.

Esimerkki #6

Etsi raja $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))$.

Koska $\lim_(x\to(0))(1-\cos(6x))=0$ ja $\lim_(x\to(0))(1-\cos(2x))=0$, niin käsittelemme epävarmuutta $\frac(0)(0)$. Avataan se ensimmäisen merkittävän rajan avulla. Tätä varten siirrytään kosinuksista sineihin. Koska $1-\cos(2\alpha)=2\sin^2(\alpha)$, niin:

$$1-\cos(6x)=2\sin^2(3x);\;1-\cos(2x)=2\sin^2(x).$$

Kun ohitetaan annettu raja sineille, meillä on:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(2\sin^2(3x))(2\sin^2(x)) =\lim_(x\to(0))\frac(\sin^ 2(3x))(\sin^2(x))=\\ =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin^2(3x))((3x)^2)\ cdot(3x)^2)(\frac(\sin^2(x))(x^2)\cdot(x^2)) =\lim_(x\to(0))\frac(\left(\) frac(\sin(3x))(3x)\right)^2\cdot(9x^2))(\left(\frac(\sin(x))(x)\oikea)^2\cdot(x^ 2)) =9\cdot\frac(\displaystyle\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(3x))(3x)\right)^2)(\displaystyle\lim_(x) \to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\right)^2) =9\cdot\frac(1^2)(1^2) =9. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(1-\cos(6x))(1-\cos(2x))=9$.

Esimerkki #7

Laske raja $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)$ annettu $\alpha\neq\ beta $.

Yksityiskohtaiset selitykset annettiin aiemmin, mutta tässä on vain huomautettava, että jälleen $\frac(0)(0)$ on määrittämättömyys. Siirrytään kosineista sineihin kaavan avulla

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\sin\frac(\alpha-\beta)(2).$$

Yllä olevaa kaavaa käyttämällä saamme:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\left|\frac(0)( 0)\oikea| =\lim_(x\to(0))\frac(-2\sin\frac(\alpha(x)+\beta(x))(2)\cdot\sin\frac(\alpha(x)-\ beta(x))(2))(x^2)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta) )(2)\oikea)\cdot\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x^2) =-2\cdot\lim_(x\to( 0))\left(\frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x)\cdot\frac(\sin\left(x\cdot\frac) (\alpha-\beta)(2)\oikea))(x)\oikea)=\\ =-2\cdot\lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin\left(x) \cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\oikea))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\cdot\frac (\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2))\cdot\frac(\alpha- \beta)(2)\right)=\\ =-\frac((\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta))(2)\lim_(x\to(0))\frac(\ sin\left(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha+\beta)(2))\cdot\lim_(x\to(0)) \frac(\sin\left(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)\right))(x\cdot\frac(\alpha-\beta)(2)) =-\frac(\ alfa^2-\beta^2)(2)\cdot(1)\cdot(1) =\frac(\beta^2-\alpha^2)(2). $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\cos(\alpha(x))-\cos(\beta(x)))(x^2)=\frac(\beta^2-\ alfa^2)(2)$.

Esimerkki #8

Etsi raja $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)$.

Koska $\lim_(x\to(0))(\tg(x)-\sin(x))=0$ (muista, että $\sin(0)=\tg(0)=0$) ja $\ lim_(x\to(0))x^3=0$, niin tässä on kyse muodon $\frac(0)(0)$ määrittämättömyydestä. Jaetaan se näin:

$$ \lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\left|\frac(0)(0)\right| =\lim_(x\to(0))\frac(\frac(\sin(x))(\cos(x))-\sin(x))(x^3) =\lim_(x\to( 0))\frac(\sin(x)\cdot\left(\frac(1)(\cos(x))-1\oikea))(x^3) =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot\left(1-\cos(x)\oikea))(x^3\cdot\cos(x))=\\ =\lim_(x\to(0)) \frac(\sin(x)\cdot(2)\sin^2\frac(x)(2))(x^3\cdot\cos(x)) =\frac(1)(2)\cdot\ lim_(x\to(0))\left(\frac(\sin(x))(x)\cdot\left(\frac(\sin\frac(x)(2))(\frac(x)( 2))\oikea)^2\cdot\frac(1)(\cos(x))\oikea) =\frac(1)(2)\cdot(1)\cdot(1^2)\cdot(1) ) =\frac(1)(2). $$

Vastaus: $\lim_(x\to(0))\frac(\tg(x)-\sin(x))(x^3)=\frac(1)(2)$.

Esimerkki #9

Etsi raja $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))$.

Koska $\lim_(x\to(3))(1-\cos(x-3))=0$ ja $\lim_(x\to(3))(x-3)\tg\frac(x - 3)(2)=0$, silloin on määrittämättömyys muodossa $\frac(0)(0)$. Ennen kuin jatkat sen laajentamista, on kätevää muuttaa muuttuja siten, että uusi muuttuja pyrkii nollaan (huomaa, että muuttuja $\alpha \to 0$ kaavoissa). Helpoin tapa on ottaa käyttöön muuttuja $t=x-3$. Kuitenkin jatkomuunnosten helpottamiseksi (tämä etu näkyy alla olevan ratkaisun aikana) kannattaa tehdä seuraava korvaus: $t=\frac(x-3)(2)$. Huomautan, että molemmat korvaukset ovat sovellettavissa tässä tapauksessa, vain toinen vaihto antaa sinun työskennellä vähemmän murtolukujen kanssa. Alkaen $x\to(3)$, sitten $t\to(0)$.

$$ \lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=\left|\frac (0)(0)\oikea| =\left|\begin(tasattu)&t=\frac(x-3)(2);\\&t\to(0)\end(tasattu)\oikea| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\cos(2t))(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^ 2t)(2t\cdot\tg(t)) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\tg(t))=\\ =\lim_(t\ to(0))\frac(\sin^2t)(t\cdot\frac(\sin(t))(\cos(t))) =\lim_(t\to(0))\frac(\sin (t)\cos(t))(t) =\lim_(t\to(0))\left(\frac(\sin(t))(t)\cdot\cos(t)\oikea) =\ lim_(t\to(0))\frac(\sin(t))(t)\cdot\lim_(t\to(0))\cos(t) =1\cdot(1) =1. $$

Vastaus: $\lim_(x\to(3))\frac(1-\cos(x-3))((x-3)\tg\frac(x-3)(2))=1$.

Esimerkki #10

Etsi raja $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^ 2) $.

Jälleen olemme tekemisissä $\frac(0)(0)$ epävarmuuden kanssa. Ennen kuin jatkat sen laajentamista, on kätevää muuttaa muuttuja siten, että uusi muuttuja pyrkii nollaan (huomaa, että muuttuja on kaavoissa $\alpha\to(0)$). Helpoin tapa on ottaa käyttöön muuttuja $t=\frac(\pi)(2)-x$. Koska $x\to\frac(\pi)(2)$, sitten $t\to(0)$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\left|\frac(0)(0)\right| =\left|\begin(tasattu)&t=\frac(\pi)(2)-x;\\&t\to(0)\end(tasattu)\oikea| =\lim_(t\to(0))\frac(1-\sin\left(\frac(\pi)(2)-t\oikea))(t^2) =\lim_(t\to(0) ))\frac(1-\cos(t))(t^2)=\\ =\lim_(t\to(0))\frac(2\sin^2\frac(t)(2))( t^2) =2\lim_(t\to(0))\frac(\sin^2\frac(t)(2))(t^2) =2\lim_(t\to(0))\ frac(\sin^2\frac(t)(2))(\frac(t^2)(4)\cdot(4)) =\frac(1)(2)\cdot\lim_(t\to( 0))\left(\frac(\sin\frac(t)(2))(\frac(t)(2))\right)^2 =\frac(1)(2)\cdot(1^2 ) =\frac(1)(2). $$

Vastaus: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\left(\frac(\pi)(2)-x\right)^2) =\frac(1)(2)$.

Esimerkki #11

Etsi rajat $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)$, $\lim_(x\to\frac(2\) pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)$.

Tässä tapauksessa meidän ei tarvitse käyttää ensimmäistä ihanaa rajaa. Huomaa: sekä ensimmäisessä että toisessa rajassa on vain trigonometrisiä funktioita ja numeroita. Usein tällaisissa esimerkeissä on mahdollista yksinkertaistaa rajamerkin alla olevaa lauseketta. Tässä tapauksessa mainitun yksinkertaistamisen ja joidenkin tekijöiden vähentämisen jälkeen epävarmuus katoaa. Annoin tämän esimerkin vain yhdellä tarkoituksella: osoittaa, että trigonometristen funktioiden läsnäolo rajamerkin alla ei välttämättä tarkoita ensimmäisen merkittävän rajan soveltamista.

Koska $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))(1-\sin(x))=0$ (muista, että $\sin\frac(\pi)(2)=1$) ja $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\cos^2x=0$ (muista, että $\cos\frac(\pi)(2)=0$), silloin on kyse epävarmuudesta muodossa $\frac(0)(0)$. Tämä ei kuitenkaan tarkoita ollenkaan, että meidän pitäisi käyttää ensimmäistä merkittävää rajaa. Epävarmuuden paljastamiseksi riittää, kun huomioidaan, että $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x) =\left|\frac(0)(0)\oikea| =\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(1-\sin^2x) =\lim_(x\to\frac(\pi)( 2))\frac(1-\sin(x))((1-\sin(x))(1+\sin(x))) =\lim_(x\to\frac(\pi)(2) )\frac(1)(1+\sin(x)) =\frac(1)(1+1) =\frac(1)(2). $$

Vastaava ratkaisu on Demidovichin ratkaisukirjassa (nro 475). Toisen rajan osalta, kuten tämän osan edellisissä esimerkeissä, meillä on epävarmuus muodossa $\frac(0)(0)$. Miksi se syntyy? Se syntyy, koska $\tg\frac(2\pi)(3)=-\sqrt(3)$ ja $2\cos\frac(2\pi)(3)=-1$. Käytämme näitä arvoja muuttamaan lausekkeita osoittajassa ja nimittäjässä. Toimintamme tarkoitus: kirjoita summa osoittajaan ja nimittäjään tulona. Muuten, usein on kätevää korvata muuttuja samanlaisen muodon sisällä niin, että uusi muuttuja pyrkii nollaan (katso esimerkiksi tällä sivulla olevat esimerkit nro 9 tai nro 10). Tässä esimerkissä ei kuitenkaan ole mitään järkeä vaihtaa muuttujaa, vaikka haluttaessa muuttujan $t=x-\frac(2\pi)(3)$ korvaaminen on helppo toteuttaa.

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1) =\lim_(x\ to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cdot\left(\cos(x)+\frac(1)(2)\oikea )) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)-\tg\frac(2\pi)(3))(2\cdot\left(\ cos(x)-\cos\frac(2\pi)(3)\oikea))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\frac(\sin) \left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)))(-4\sin\frac(x+\frac) (2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3 ))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\ sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))=\\ =\lim_(x\to\frac (2\pi)(3))\frac(2\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos\frac(x-\frac(2\pi)(3 ))(2))(-4\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2) \cos(x)\cos\frac(2\pi)(3)) =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\cos\frac(x-\frac(2) \pi)(3))(2))(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3 ))=\\ =\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3))(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left( -\frac(1)(2)\oikea)) =-\frac(4 )(\sqrt(3)). $$

Kuten näet, meidän ei tarvinnut soveltaa ensimmäistä upeaa rajaa. Tämä voidaan tietysti tehdä haluttaessa (katso huomautus alla), mutta se ei ole välttämätöntä.

Mikä olisi ratkaisu käyttämällä ensimmäistä merkittävää rajaa? näytä piilota

Käyttämällä ensimmäistä merkittävää rajaa saamme:

$$ \lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\right))(-4\sin\frac (x+\frac(2\pi)(3))(2)\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)\cos(x)\cos\frac(2\pi) )(3))=\\ =\lim_(x\to\frac(2\pi)(3))\left(\frac(\sin\left(x-\frac(2\pi)(3)\ oikea))(x-\frac(2\pi)(3))\cdot\frac(1)(\frac(\sin\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)) (\frac(x-\frac(2\pi)(3))(2)))\cdot\frac(1)(-2\sin\frac(x+\frac(2\pi)(3))( 2)\cos(x)\cos\frac(2\pi)(3))\oikea) =1\cdot(1)\cdot\frac(1)(-2\cdot\frac(\sqrt(3) )(2)\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(-\frac(1)(2)\oikea)) =-\frac(4)(\sqrt( 3)). $$

Vastaus: $\lim_(x\to\frac(\pi)(2))\frac(1-\sin(x))(\cos^2x)=\frac(1)(2)$, $\lim_( x\to\frac(2\pi)(3))\frac(\tg(x)+\sqrt(3))(2\cos(x)+1)=-\frac(4)(\sqrt( 3))$.