Neliöyhtälöitä käytetään monien ongelmien ratkaisemiseen. Merkittävä osa ensimmäisen asteen yhtälöiden avulla helposti ratkaistavista ongelmista voidaan ratkaista myös puhtaasti aritmeettisesti, vaikkakin joskus paljon vaikeammin, pitkimmin ja usein keinotekoisesti. Tehtävät, jotka johtavat toisen asteen yhtälöihin, eivät yleensä sovellu aritmeettiseen ratkaisuun ollenkaan. Lukuisat ja monipuolisimmat fysiikan, mekaniikan, hydromekaniikan, aerodynamiikan ja monien muiden soveltavien tieteiden kysymykset johtavat tällaisiin ongelmiin.

Tehtävän ehtojen mukaisten toisen asteen yhtälöiden laatimisen päävaiheet ovat samat kuin ensimmäisen asteen yhtälöihin johtavien ongelmien ratkaisussa. Annetaan esimerkkejä.

Tehtävä. 1. Kaksi konekirjoittajaa kirjoitti käsikirjoituksen uudelleen 6 tunnissa. 40 min. Kuinka kauan jokaisella konekirjoittajalla kestäisi kirjoittaa käsikirjoituksen uudelleen yksin työskentelemällä, jos ensimmäinen käyttäisi tähän työhön 3 tuntia enemmän kuin toinen?

Ratkaisu. Anna toisen konekirjoittajan käyttää x tuntia käsikirjoituksen uudelleenpainottamiseen. Tämä tarkoittaa, että ensimmäinen konekirjoittaja viettää tuntikausia samassa työssä.

Selvitämme, minkä osan koko työstä kukin konekirjoittaja suorittaa yhdessä tunnissa ja minkä osan - molemmat yhdessä.

Ensimmäinen konekirjoittaja suorittaa osan tunnissa

Toinen osa.

Molemmat konekirjoittajat suorittavat osan.

Siksi meillä on:

Tehtävän merkityksen mukaan positiivinen luku

Kerro yhtälön molemmat puolet: Yksinkertaistamisen jälkeen saamme toisen asteen yhtälön:

Koska , yhtälöllä on kaksi juurta. Kaavalla (B) löydämme:

Mutta kuten sen pitäisi olla, tämä arvo ei kelpaa tähän tehtävään.

Vastaus. Ensimmäinen konekirjoittaja viettää tuntikausia töissä, toinen 12 tuntia.

Tehtävä 2. Lentokoneen oma nopeus km/h. Kone lensi 1 km:n matkan kahdesti: ensin myötätuulessa, sitten vastatuulessa ja toisella lennolla enemmän tunteja. Laske tuulen nopeus.

Kuvaamme ratkaisun kulkua kaavion muodossa.

Neliöyhtälöitä tutkitaan luokalla 8, joten tässä ei ole mitään monimutkaista. Kyky ratkaista ne on välttämätöntä.

Neliöyhtälö on yhtälö, jonka muoto on ax 2 + bx + c = 0, jossa kertoimet a , b ja c ovat mielivaltaisia ​​lukuja ja a ≠ 0.

Ennen kuin tutkimme tiettyjä ratkaisumenetelmiä, huomaamme, että kaikki toisen asteen yhtälöt voidaan jakaa kolmeen luokkaan:

1. ei ole juuria;
2. Niillä on täsmälleen yksi juuri;
3. Niillä on kaksi eri juurta.

Tämä on tärkeä ero toisen asteen ja lineaaristen yhtälöiden välillä, joissa juuri on aina olemassa ja on ainutlaatuinen. Kuinka määrittää kuinka monta juurta yhtälöllä on? Tässä on hieno asia - syrjivä.

Syrjivä

Olkoon toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0. Tällöin diskriminantti on yksinkertaisesti luku D = b 2 − 4ac .

Tämä kaava on tiedettävä ulkoa. Mistä se tulee, ei ole nyt merkitystä. Toinen asia on tärkeä: erottimen merkillä voit määrittää, kuinka monta juurta toisen asteen yhtälöllä on. Nimittäin:

1. Jos D< 0, корней нет;
2. Jos D = 0, on juuri yksi juuri;
3. Jos D > 0, on kaksi juuria.

Huomaa: diskriminantti osoittaa juurien määrän, ei ollenkaan niiden merkkejä, kuten jostain syystä monet ajattelevat. Katso esimerkkejä ja ymmärrät kaiken itse:

Tehtävä. Kuinka monta juurta toisen asteen yhtälöillä on:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Kirjoitamme ensimmäisen yhtälön kertoimet ja löydämme diskriminantin:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Diskriminantti on siis positiivinen, joten yhtälöllä on kaksi eri juurta. Analysoimme toista yhtälöä samalla tavalla:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminantti on negatiivinen, ei ole juuria. Jäljelle jää viimeinen yhtälö:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla - juuri on yksi.

Huomaa, että kertoimet on kirjoitettu jokaiselle yhtälölle. Kyllä, se on pitkä, kyllä, se on tylsää - mutta et sekoita kertoimia etkä tee typeriä virheitä. Valitse itse: nopeus vai laatu.

Muuten, jos "täytät kätesi", sinun ei enää hetken kuluttua tarvitse kirjoittaa kaikkia kertoimia. Suoritat tällaiset toiminnot päässäsi. Useimmat ihmiset alkavat tehdä tätä jossain 50-70 ratkaistun yhtälön jälkeen - yleensä ei niin paljon.

Toisen yhtälön juuret

Siirrytään nyt ratkaisuun. Jos diskriminantti D > 0, juuret löytyvät kaavoilla:

Peruskaava toisen asteen yhtälön juurille

Kun D = 0, voit käyttää mitä tahansa näistä kaavoista - saat saman numeron, joka on vastaus. Lopuksi, jos D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Ensimmäinen yhtälö:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ yhtälöllä on kaksi juuria. Etsitään ne:

Toinen yhtälö:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ yhtälöllä on jälleen kaksi juuria. Etsitään ne

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(tasaa)\]

Lopuksi kolmas yhtälö:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ yhtälöllä on yksi juuri. Mitä tahansa kaavaa voidaan käyttää. Esimerkiksi ensimmäinen:

Kuten esimerkeistä näet, kaikki on hyvin yksinkertaista. Jos tunnet kaavat ja osaat laskea, ei ole ongelmia. Useimmiten virheitä tapahtuu, kun negatiiviset kertoimet korvataan kaavaan. Tässä taas yllä kuvattu tekniikka auttaa: katso kaavaa kirjaimellisesti, maalaa jokainen vaihe - ja päästä eroon virheistä hyvin pian.

Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt

Tapahtuu, että toisen asteen yhtälö on jonkin verran erilainen kuin määritelmässä. Esimerkiksi:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

On helppo nähdä, että yksi termeistä puuttuu näistä yhtälöistä. Tällaiset toisen asteen yhtälöt ovat jopa helpompia ratkaista kuin tavalliset: niiden ei tarvitse edes laskea diskriminanttia. Esittelemme siis uuden konseptin:

Yhtälöä ax 2 + bx + c = 0 kutsutaan epätäydelliseksi toisen asteen yhtälöksi, jos b = 0 tai c = 0, ts. muuttujan x eli vapaan alkion kerroin on nolla.

Tietenkin erittäin vaikea tapaus on mahdollinen, kun molemmat kertoimet ovat nolla: b \u003d c \u003d 0. Tässä tapauksessa yhtälö on muotoa ax 2 \u003d 0. Selvästikin tällaisella yhtälöllä on yksi ainoa juuri: x \u003d 0.

Mietitään muita tapauksia. Olkoon b \u003d 0, niin saamme epätäydellisen toisen asteen yhtälön muodossa ax 2 + c \u003d 0. Muunnetaan sitä hieman:

Koska aritmeettinen neliöjuuri on olemassa vain ei-negatiivisesta luvusta, viimeisellä yhtälöllä on järkeä vain, kun (−c / a ) ≥ 0. Johtopäätös:

1. Jos epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 + c = 0 tyydyttää epäyhtälön (−c / a ) ≥ 0, on kaksi juuria. Kaava on annettu yllä;
2. Jos (-c / a )< 0, корней нет.

Kuten näette, diskriminanttia ei vaadittu - epätäydellisissä toisen asteen yhtälöissä ei ole lainkaan monimutkaisia ​​laskelmia. Itse asiassa ei tarvitse edes muistaa epäyhtälöä (−c / a ) ≥ 0. Riittää, kun ilmaistaan ​​x 2:n arvo ja katsotaan mitä on yhtäläisyysmerkin toisella puolella. Jos on positiivinen luku, on kaksi juuria. Jos negatiivinen, juuria ei ole ollenkaan.

Käsitellään nyt yhtälöitä, jotka ovat muotoa ax 2 + bx = 0, joissa vapaa alkio on yhtä suuri kuin nolla. Täällä kaikki on yksinkertaista: aina on kaksi juurta. Riittää, että polynomi kerrotaan kertoimella:

Yhteisen tekijän poistaminen suluista

Tulo on nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla. Täältä juuret tulevat. Lopuksi analysoimme useita näistä yhtälöistä:

Tehtävä. Ratkaise toisen asteen yhtälöt:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Ei ole juuria, koska neliö ei voi olla yhtä suuri kuin negatiivinen luku.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

NELIÖTRIPON III

§ 50 Toisen asteen yhtälöt

Muodon yhtälöt

kirves 2 + bx+c = 0, (1)

missä X- tuntematon arvo, a, b, c- annetut numerot ( a =/= 0) kutsutaan neliöiksi.

Erottelemalla koko neliö toisen asteen yhtälön vasemmalla puolella (katso kaava (1) § 49), saadaan:

Ilmeisesti yhtälö (2) vastaa yhtälöä (1) (katso § 2). Yhtälöllä (2) voi olla todellisia juuria vain, kun tai b 2 - 4ässä > 0 (alkaen 4 a 2 > 0).

Kun otetaan huomioon lausekkeen D = erityinen rooli b 2 - 4ässä kun ratkaistaan ​​yhtälö (1), tälle lausekkeelle annetaan erityinen nimi - syrjivä toisen asteen yhtälö kirves 2 + bx+c = 0 (tai neliötrinomin diskriminantti kirves 2 + bx+c ). Niin, jos toisen asteen yhtälön diskriminantti on negatiivinen, yhtälöllä ei ole todellisia juuria.

Jos D = b 2 - 4ässä > 0, niin kohdasta (2) saadaan:

Jos toisen asteen yhtälön diskriminantti on ei-negatiivinen, niin tällä yhtälöllä on todelliset juuret. Ne kirjoitetaan murtolukuna, jonka osoittaja on yhtälön kerroin for X , otettu päinvastaisella merkillä plus tai miinus erottimen neliöjuuri ja nimittäjässä - kaksinkertainen kerroin kohdassa X 2 .

Jos toisen asteen yhtälön diskriminantti on positiivinen, yhtälöllä on kaksi erilaista reaalijuurta:

Jos toisen asteen yhtälön diskriminantti on nolla, yhtälöllä on yksi todellinen juuri:

X = - b / 2 a

(Tässä tapauksessa yhtälöllä sanotaan joskus olevan kaksi yhtä suurta juurta: x 1 = x 2 = - b / 2 a )

Esimerkkejä.

1) Yhtälölle 2 X 2 - X - 3 = 0 diskriminantti D = (- 1) 2 - 4 2 (- 3) = 25 > 0. Yhtälöllä on kaksi eri juurta:

2) Yhtälölle 3 X 2 - 6X + 3 = 0 D = (- 6) 2 - 4 3 3 = 0. Tällä yhtälöllä on yksi reaalijuuri

3) Yhtälölle 5 X 2 + 4X + 7 = 0 D = 4 2 - 4 5 7 = - 124< 0. Это уравнение не имеет действительных корней.

4) Selvitä, millä arvoilla a toisen asteen yhtälö X 2 + vai niin + 1 = 0:

a) on yksi juuri

b) sillä on kaksi eri juurta;

c) sillä ei ole juuria ollenkaan,

Tämän toisen asteen yhtälön diskriminantti on

D= a 2 - 4.

Jos | a | = 2, sitten D = 0; tässä tapauksessa yhtälöllä on yksi juuri.

Jos | a | > 2, sitten D > 0; tässä tapauksessa yhtälöllä on kaksi eri juuria.

Lopuksi jos | a | < 2, то данное уравнение не имеет корней.

Harjoitukset

Ratkaise yhtälöt (nro 364-369):

364. 6X 2 - X - 1 = 0. 367. - X 2 + 8X - 16 = 0.

365. 3X 2 - 5X + 1 = 0. 368. 2X 2 - 12X + 12 == 0.

366. X 2 - X + 1 = 0. 369. 2X - X 2 - 6 = 0.

370. Voidaanko luku 15 esittää kahden luvun summana niin, että niiden tulo on 70?

371. Millä arvoilla a yhtälö

X 2 - 2vai niin + a (1 + a ) = 0

a) sillä on kaksi eri juurta;

b) sillä on vain yksi juuri;

c) hänellä ei ole juuria?

372. Millä arvoilla a yhtälö

(1 - a ) X 2 - 4vai niin + 4 (1 - a ) = 0

a) sillä ei ole juuria;

b) sillä on enintään yksi juuri;

c) onko sillä vähintään yksi juuri?

373. Millä arvolla a yhtälö X 2 + vai niin + 1 = 0 on yksilöllinen juuri? Mihin se vastaa?

374. Mitkä ovat luvun rajat a , jos tiedetään, että yhtälöt

X 2 + x + a = 0 ja X 2 + x - a = 0

375. Mitä voit sanoa koosta a jos yhtälöt

4a (X 2 + X ) = a - 2,5 ja X (X - 1) = 1,25 - a

onko sama määrä juuria?

376. Juna myöhästyi asemalla t min. Korvatakseen menetettyä aikaa kuljettaja lisäsi nopeuttaan a km/h ja seuraavassa vaiheessa sisään b km poisti viiveen. Kuinka nopea juna oli ennen myöhästymistä asemalla?

377. Kaksi nosturia, jotka työskentelevät yhdessä, purkivat proomun t h. Missä ajassa kukin nosturi voi erikseen purkaa proomun, jos joku heistä käyttää siihen rahaa a h vähemmän kuin toinen?

378. Toinen tehtaista täyttää jonkin tilauksen 4 päivää nopeammin kuin toinen. Kuinka kauan kukin tehdas voi suorittaa tilauksen toimiessaan erikseen, jos tiedetään, että yhdessä 24 päivässä työskennellessään he tekivät 5 kertaa suuremman tilauksen?

Ratkaise yhtälöt (nro 379, 380).

(Huomioi, että näissä yhtälöissä tuntematon sisältyy murtolukujen nimittäjiin. Tuloksena olevat juuret on tarkistettava!)

381*. Millä arvoilla a yhtälöt

X 2 + vai niin + 1 = 0 ja X 2 + X + a = 0

onko sinulla vähintään yksi yhteinen juuri?

Farafonova Natalia Igorevna

Aihe: Epätäydelliset toisen asteen yhtälöt.

Oppitunnin tavoitteet:- Esittele epätäydellisen toisen asteen yhtälön käsite;

Opi ratkaisemaan epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä.

Oppitunnin tavoitteet:- Osaa määrittää toisen asteen yhtälön muodon;

Ratkaise epätäydelliset toisen asteen yhtälöt.

Verkkokirja: Algebra: Proc. 8 solulle. Yleissivistävä koulutus laitokset / Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov ja muut - M .: Koulutus, 2010.

Tuntien aikana.

1. Muistuta oppilaita siitä, että ennen minkä tahansa toisen asteen yhtälön ratkaisemista on tarpeen saattaa se vakiomuotoon. Muista määritelmä täysi toisen asteen yhtälö:ax2+bx +c = 0,a ≠ 0.

Nimeä kertoimet a, b, c näissä toisen asteen yhtälöissä:

a) 2x2 - x + 3 = 0; b) x2 + 4x-1 = 0; c) x 2 - 4 \u003d 0; d) 5x 2 + 3x = 0.

2. Määritä epätäydellinen toisen asteen yhtälö:

Kutsutaan toisen asteen yhtälö ax 2 + bx + c = 0 epätäydellinen, jos ainakin yksi kertoimista, b tai c, on yhtä suuri kuin 0. Huomioi, että kerroin a ≠ 0. Valitse yllä olevista yhtälöistä epätäydelliset toisen asteen yhtälöt.

3. On kätevämpää esittää epätäydellisten toisen asteen yhtälöiden tyypit ratkaisuesimerkeillä taulukon muodossa:

1. Ratkaisematta määritä kunkin epätäydellisen toisen asteen yhtälön juurien lukumäärä:

a) 2x2-3 = 0; b) 3 x 2 + 4 = 0; c) 5x 2 - x \u003d 0; d) 0,6 x 2 = 0; e) -8x 2 - 4 = 0.

1. Ratkaise epätäydelliset toisen asteen yhtälöt (yhtälöiden ratkaisu, tarkistus taululta, 2 vaihtoehtoa):

c) 2x 2 + 15 = 0

d) 3x 2 + 2x = 0

e) 2x 2 - 16 = 0

f) 5 (x 2 + 2) = 2 (x 2 + 5)

g) (x + 1) 2 - 4 = 0

c) 2x 2 + 7 = 0

d) x 2 + 9x = 0

e) 81 x 2 - 64 = 0

f) 2 (x 2 + 4) = 4 (x 2 + 2)

g) (x - 2) 2 - 8 = 0.

6. Itsenäinen työskentely vaihtoehtojen parissa:

1 vaihtoehto

a) 3x 2 - 12 = 0

b) 2x 2 + 6x = 0

e) 7x 2 - 14 = 0

Vaihtoehto 2

b) 6x 2 + 24 = 0

c) 9y 2 - 4 = 0

d) -y 2 + 5 = 0

e) 1 - 4y 2 = 0

f) 8y 2 + y = 0

3 vaihtoehto

a) 6y - y 2 = 0

b) 0,1 v 2 - 0,5 v = 0

c) (x + 1) (x -2) = 0

d) x(x + 0,5) = 0

e) x 2 - 2x = 0

f) x 2 - 16 = 0

4 vaihtoehto

a) 9x 2 - 1 = 0

b) 3x - 2x 2 = 0

d) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6

e) 3x 2 + 7 = 12x + 7

5 vaihtoehto

a) 2x 2 - 18 = 0

b) 3x 2 - 12x = 0

d) x 2 + 16 = 0

e) 6x 2 - 18 = 0

f) x 2 - 5x = 0

6 vaihtoehto

b) 4x 2 + 36 = 0

c) 25y 2 - 1 = 0

d) -y 2 + 2 = 0

e) 9 - 16 v 2 = 0

f) 7y 2 + y = 0

7 vaihtoehto

a) 4y - y 2 = 0

b) 0,2y 2 - y = 0

c) (x + 2) (x - 1) = 0

d) (x - 0,3) x = 0

e) x 2 + 4x = 0

f) x 2 - 36 = 0

8 vaihtoehto

a) 16x 2 - 1 = 0

b) 4x - 5x 2 = 0

d) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x

e) 5x 2 - 6 = 15x - 6

Vastaukset itsenäiseen työhön:

Vaihtoehto 1: a) 2, b) 0, -3; c) 0; d) ei ole juuria; e);

Vaihtoehto 2 a) 0; b) juuret; sisään); G); e); f)0;-;

3 vaihtoehto a) 0; 6; b) 0;5; c) -1;2; d) 0, -0,5; e) 0;2; f)4

4 vaihtoehto a); b) 0, 1,5; c) 0;3; d) 3; e)0;4 e)5

5 vaihtoehto a)3; b) 0;4; c) 0; d) ei ole juuria; e) f) 0; 5

6 vaihtoehto a) 0; b) ei ole juuria; c) d) e) f) 0;-

7 vaihtoehto a) 0; 4; b) 0;5; c) -2;1; d) 0, 0,03; e) 0;-4; f)6

8 vaihtoehto a) b) 0; c) 0;7; d) 4; e) 0;3; e)

Oppitunnin yhteenveto: Käsite "epätäydellinen toisen asteen yhtälö" on muotoiltu; esitetään tapoja ratkaista erityyppisiä epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä. Erilaisten tehtävien suorittamisen aikana kehitettiin taitoja ratkaista epätäydellisiä toisen asteen yhtälöitä.

7. Kotitehtävät: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.

Lisätehtävä:

Mille a:n arvoille yhtälö on epätäydellinen toisen asteen yhtälö? Ratkaise yhtälö saaduille a:n arvoille:

a) x 2 + 3ax + a - 1 = 0

b) (a - 2) x 2 + ax \u003d 4 - a 2 \u003d 0