KOLMEN VEKTORIN SEKATUOTE JA SEN OMINAISUUDET

Sekatyötä kolmea vektoria kutsutaan luvuksi, joka on yhtä suuri kuin . Nimetty . Tässä kaksi ensimmäistä vektoria kerrotaan vektoriaalisesti ja sitten tuloksena oleva vektori kerrotaan skalaarisesti kolmannella vektorilla. Ilmeisesti tällainen tuote on tietty määrä.

Tarkastellaan sekatuotteen ominaisuuksia.

1. Geometrinen merkitys sekatyötä. 3 vektorin sekatulo merkkiin asti on yhtä suuri kuin näille vektoreille rakennetun suuntaissärmiön tilavuus, kuten reunoilla, ts. .

   Siten ja .

   

   Todiste. Laitetaan sivuun yhteisen origon vektorit ja rakennetaan niille suuntaissärmiö. Merkitään ja huomioikaa se. Skalaaritulon määritelmän mukaan

   Olettaen että ja merkitsemällä h etsi suuntaissärmiön korkeus.

   Siis milloin

   Jos, niin sitten niin. Siksi,.

   Yhdistämällä nämä molemmat tapaukset, saamme tai .

   Erityisesti tämän ominaisuuden todistuksesta seuraa, että jos vektoreiden kolmoisosa on oikeakätinen, niin sekatulo on , ja jos se on vasenkätinen, niin .

2. Kaikille vektoreille , yhtäläisyys on totta

   Tämän ominaisuuden todiste seuraa ominaisuudesta 1. On todellakin helppo osoittaa, että ja . Lisäksi merkit “+” ja “–” otetaan samanaikaisesti, koska vektorien ja ja ja väliset kulmat ovat sekä teräviä että tylppoja.

3. Kun mitkä tahansa kaksi tekijää järjestetään uudelleen, sekoitettu tuote vaihtaa merkkiä.

   Todellakin, jos tarkastelemme sekatuotetta, niin esimerkiksi tai

4. Sekatulo silloin ja vain, jos yksi tekijöistä on nolla tai vektorit ovat samassa tasossa.

   Todiste.

   Siten välttämätön ja riittävä ehto kolmen vektorin samantasoisuudelle on, että niiden sekatulo on yhtä suuri kuin nolla. Lisäksi tästä seuraa, että kolme vektoria muodostavat perustan avaruudessa, jos .

   Jos vektorit annetaan koordinaattimuodossa, voidaan osoittaa, että niiden sekatulo löytyy kaavasta:

   .

   Siten sekoitettu tulo on yhtä suuri kuin kolmannen kertaluvun determinantti, jolla on ensimmäisellä rivillä ensimmäisen vektorin koordinaatit, toisella rivillä toisen vektorin koordinaatit ja kolmannella rivillä kolmannen vektorin koordinaatit.

   Esimerkkejä.

ANALYYTTINEN GEOMETRIA AVARUUSSA

Yhtälö F(x, y, z)= 0 määrittää avaruudessa Oxyz jokin pinta, ts. niiden pisteiden sijainti, joiden koordinaatit x, y, z täyttää tämän yhtälön. Tätä yhtälöä kutsutaan pintayhtälöksi ja x, y, z– nykyiset koordinaatit.

Usein pintaa ei kuitenkaan määritellä yhtälöllä, vaan joukkona avaruuden pisteitä, joilla on jokin ominaisuus. Tässä tapauksessa on tarpeen löytää pinnan yhtälö sen geometristen ominaisuuksien perusteella.

LENTO.

NORMAALI TASOVEKTORI.

TIETTYN PISTEEN LÄPIVÄN TASON YHTÄLÖ

Tarkastellaan mielivaltaista tasoa σ avaruudessa. Sen sijainti määritetään määrittämällä tähän tasoon nähden kohtisuorassa oleva vektori ja jokin kiinteä piste M0(x 0, v 0, z 0), joka sijaitsee σ-tasossa.

Tasoon σ nähden kohtisuoraa vektoria kutsutaan normaali tämän tason vektori. Olkoon vektorilla koordinaatit.

Johdetaan tämän pisteen läpi kulkevan tason σ yhtälö M0 ja jolla on normaali vektori. Tätä varten otetaan mielivaltainen piste tasolta σ M(x, y, z) ja harkitse vektoria .

Mihin tahansa kohtaan MО σ on vektori, joten niiden skalaaritulo on yhtä suuri kuin nolla. Tämä tasa-arvo on ehto, että kohta MО σ. Se on voimassa tämän tason kaikissa pisteissä ja rikotaan heti pisteen jälkeen M on σ-tason ulkopuolella.

Jos merkitsemme pisteitä sädevektorilla M, – pisteen sädevektori M0, niin yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon

Tätä yhtälöä kutsutaan vektori tasoyhtälö. Kirjoitetaan se koordinaattimuotoon. Siitä lähtien

Joten olemme saaneet tämän pisteen läpi kulkevan tason yhtälön. Siten, jotta voit luoda tason yhtälön, sinun on tiedettävä normaalivektorin koordinaatit ja jonkin tasossa olevan pisteen koordinaatit.

Huomaa, että tason yhtälö on 1. asteen yhtälö nykyisten koordinaattien suhteen x, y Ja z.

Esimerkkejä.

TASON YLEINEN YHTÄLÖ

Voidaan osoittaa, että mikä tahansa ensimmäisen asteen yhtälö suorakulmaisten koordinaattien suhteen x, y, z edustaa tietyn tason yhtälöä. Tämä yhtälö kirjoitetaan seuraavasti:

Ax+By+Cz+D=0

ja kutsutaan yleinen yhtälö taso ja koordinaatit A, B, C tässä ovat tason normaalivektorin koordinaatit.

Tarkastellaan yleisen yhtälön erikoistapauksia. Selvitetään kuinka taso sijaitsee suhteessa koordinaattijärjestelmään, jos yhtälön yhdestä tai useammasta kertoimesta tulee nolla.

A on akselin tason leikkaaman segmentin pituus Härkä. Vastaavasti se voidaan osoittaa b Ja c– tarkasteltavana olevan tason leikkaamien segmenttien pituudet akseleilla Oy Ja Oz.

Tasojen rakentamiseen on kätevää käyttää segmenttien tason yhtälöä.

Tämä online-laskin laskee vektoreiden sekatulon. Yksityiskohtainen ratkaisu annetaan. Laskeaksesi vektorien sekatulon, valitse vektoreiden esittämistapa (koordinaateilla tai kahdella pisteellä), syötä tiedot soluihin ja napsauta "Laske" -painiketta.

×

Varoitus

Tyhjennä kaikki solut?

Sulje Tyhjennä

Tietojen syöttöohjeet. Numerot syötetään kokonaislukuina (esimerkit: 487, 5, -7623 jne.), desimaalilukuina (esim. 67., 102,54 jne.) tai murtolukuina. Murtoluku tulee syöttää muodossa a/b, jossa a ja b (b>0) ovat kokonaislukuja tai desimaalilukuja. Esimerkit 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 jne.

Vektorien sekatulo (teoria)

Sekoitettu pala kolme vektoria on luku, joka saadaan kahden ensimmäisen vektorin ja kolmannen vektorin vektoritulon skalaaritulolla. Toisin sanoen, jos annetaan kolme vektoria a, b Ja c, sitten näiden vektorien sekatulon saamiseksi ensin kaksi ensimmäistä vektoria ja tuloksena oleva vektori [ ab] kerrotaan skalaarisesti vektorilla c.

Kolmen vektorin sekatulo a, b Ja c merkitty seuraavasti: abc tai niin ( a,b,c). Sitten voimme kirjoittaa:

abc=([ab],c)

Ennen kuin muotoilet lauseen, joka edustaa sekatulon geometrista merkitystä, tutustu käsitteisiin oikea kolmiosa, vasen kolmio, oikea koordinaattijärjestelmä, vasen koordinaattijärjestelmä (määritelmät 2, 2" ja 3 vektorien sivun vektoritulolla verkossa).

Tarkastellaan seuraavassa vain oikeakätisiä koordinaattijärjestelmiä.

Lause 1. Vektorien sekatulo ([ab],c) on yhtä suuri kuin yhteiseen origoon redusoiduille vektoreille konstruoidun suuntaviivan tilavuus a, b, c, otettu plusmerkillä, jos kolme a, b, c oikealle, ja miinusmerkillä, jos kolme a, b, c vasemmalle Jos vektorit a, b, c ovat samassa tasossa, niin ([ ab],c) on yhtä suuri kuin nolla.

Seuraus 1. Seuraava yhtäläisyys pätee:

Siksi riittää, että todistamme sen

([ab],c)=([eKr],a)

(3)

Lausekkeesta (3) käy selvästi ilmi, että vasen ja oikea osa ovat yhtä suuria kuin suuntakärjen tilavuus. Mutta oikean ja vasemman puolen merkit ovat samat, koska vektorien kolminkertaiset abc Ja bca on sama suuntaus.

Todistettu yhtälö (1) mahdollistaa kolmen vektorin sekatulon kirjoittamisen a, b, c vain muodossa abc, määrittelemättä mitkä kaksi vektoria kerrotaan vektoriaalisesti kahdella ensimmäisellä tai kahdella viimeisellä.

Johtopäätös 2. Kolmen vektorin samantasoisuuden välttämätön ja riittävä ehto on, että niiden sekatulo on yhtä suuri kuin nolla.

Todistus seuraa lauseesta 1. Todellakin, jos vektorit ovat samantasoisia, niin näiden vektorien sekatulo on yhtä suuri kuin nolla. Kääntäen, jos sekatulo on yhtä suuri kuin nolla, niin näiden vektorien samantasoisuus seuraa Lauseesta 1 (koska yhteiseen origoon pelkistetyille vektoreille rakennetun suuntaviivan tilavuus on yhtä suuri kuin nolla).

Seuraus 3. Kolmen vektorin, joista kaksi osuu yhteen, sekatulo on yhtä suuri kuin nolla.

Todella. Jos kaksi kolmesta vektorista osuu yhteen, ne ovat samantasoisia. Siksi näiden vektorien sekatulo on yhtä suuri kuin nolla.

Vektoreiden sekatulo suorakulmaisina koordinaatteina

Lause 2. Olkoon kolme vektoria a, b Ja c määritellään niiden karteesisten suorakulmaisten koordinaattien avulla

Todiste. Sekoitettu pala abc yhtä suuri kuin vektorien skalaaritulo [ ab] Ja c. Vektorien ristitulo [ ab] suorakulmaisissa koordinaateissa lasketaan kaavalla ():

Viimeinen lauseke voidaan kirjoittaa käyttämällä toisen asteen determinantteja:

on välttämätöntä ja riittävää, että determinantti on yhtä suuri kuin nolla, jonka rivit on täytetty näiden vektorien koordinaateilla, eli:

.

(7)

Seurauksen todistamiseksi riittää, kun tarkastellaan kaavaa (4) ja seurausta 2.

Vektorien sekatulo esimerkkien kanssa

Esimerkki 1. Etsi vektoreiden sekatulo abс, Missä

Vektorien sekatulo a, b, c yhtä suuri kuin matriisin determinantti L. Lasketaan matriisin determinantti L, laajentamalla determinanttia riviä 1 pitkin:

Vektorin päätepiste a.

Sekatulo (tai vektori-skalaari). kolmea vektoria a, b, c (ilmoitetussa järjestyksessä) kutsutaan vektorin a ja vektoritulon b x c skalaarituloksi, eli luvuksi a(b x c), tai mikä on sama, (b x c)a.
Nimitys: abc.

Tarkoitus. Online-laskin on suunniteltu laskemaan vektorien sekatulo. Tuloksena oleva ratkaisu tallennetaan Word-tiedostoon. Lisäksi ratkaisumalli luodaan Excelissä.

Merkkejä vektorien samantasoisuudesta

Kolmea vektoria (tai suurempaa lukua) kutsutaan koplanaariseksi, jos ne yhteiseen origoon pelkistettynä ovat samassa tasossa.
Jos ainakin yksi kolmesta vektorista on nolla, niin kolmea vektoria pidetään myös samantasoisina.

Merkki samantasoisuudesta. Jos järjestelmä a, b, c on oikeakätinen, niin abc>0 ; jos jätetään, niin abc Sekatuotteen geometrinen merkitys. Kolmen ei-koplanaarisen vektorin a, b, c sekatulo abc on yhtä suuri kuin vektoreille a, b, c rakennetun suuntaissärmiön tilavuus plusmerkillä otettuna, jos järjestelmä a, b, c on oikeakätinen , ja miinusmerkillä, jos tämä järjestelmä on vasenkätinen.

Sekatuotteen ominaisuudet

1. Kun tekijät järjestetään uudelleen ympyrämäisesti, sekatulo ei muutu; kun kaksi tekijää järjestetään uudelleen, etumerkki on päinvastainen: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
   Se seuraa geometrisesta merkityksestä.
2. (a+b)cd=acd+bcd (jakoominaisuus). Laajentuu mihin tahansa määrään termejä.
   Seuraa sekatuotteen määritelmää.
3. (ma)bc=m(abc) (kombinatiivinen ominaisuus skalaaritekijän suhteen).
   Seuraa sekatuotteen määritelmää. Nämä ominaisuudet mahdollistavat muunnosten soveltamisen sekatuloksiin, jotka eroavat tavallisista algebrallisista tuloksista vain siten, että tekijöiden järjestystä voidaan muuttaa vain tulon etumerkki huomioiden.
4. Sekatuote, jolla on vähintään kaksi yhtä suurta tekijää, on yhtä suuri kuin nolla: aab=0.

Esimerkki nro 1. Etsi sekoitettu tuote. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc.

Esimerkki nro 2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ aba +piilokopio+piilokopio. Kaikki termit kahta äärimmäistä lukuun ottamatta ovat nollia. Myös bca=abc. Siksi (a+b)(b+c)(c+a)=2abc.

Esimerkki nro 3. Laske kolmen vektorin sekatulo a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k.
Ratkaisu. Vektorien sekatulon laskemiseksi on tarpeen löytää vektorikoordinaateista koostuvan järjestelmän determinantti. Kirjoitetaan järjestelmä muotoon.

Määritelmä. Lukua [, ] kutsutaan järjestetyn vektorin kolmion sekatuloksi.

Merkitsemme: (,) = = [, ].

Koska vektori- ja skalaaritulot ovat mukana sekatuotteen määrittelyssä, niiden yhteisiä ominaisuuksia ovat sekatuotteen ominaisuudet.

Esimerkiksi () = ().

Lause 1. Kolmen samantasoisen vektorin sekatulo on nolla.

Todiste. Jos tietty vektoreiden kolmoisosa on samantasoinen, niin yksi seuraavista ehdoista täyttyy vektoreille.

• 1. Tietyssä vektorien kolmiossa on vähintään yksi nollavektori. Tässä tapauksessa lauseen todiste on ilmeinen.
• 2. Tietyssä vektoreiden kolmiossa on ainakin yksi pari kollineaarisia vektoreita. Jos ||, niin [, ] = 0, koska [, ]= . Jos

|| , niin [, ] ja [, ] = 0. Vastaavasti, jos || .

3. Olkoon tämä vektoreiden kolmikko samassa tasossa, mutta tapaukset 1 ja 2 eivät päde. Tällöin vektori [, ] on kohtisuorassa tasoon nähden, jonka kanssa kaikki kolme vektoria ovat yhdensuuntaisia.

Siksi [, ] ja (,) = 0.

Lause 2. Olkoon vektorit (), (), () määritelty kannassa (). Sitten

Todiste. Sekatuotteen määritelmän mukaan

(,) = [, ] = с 1 - с 2 + с 3 = .

Determinantin ominaisuuksista johtuen meillä on:

Lause on todistettu.

Lause 3. (,) = [, ].

Todiste. Koska

ja determinantin ominaisuuksista johtuen meillä on:

(,) = = = [, ] = [, ].

Lause on todistettu.

Lause 4. Ei-koplanaarisen vektorin kolminkertaisen sekatulon moduuli on numeerisesti yhtä suuri kuin suuntaissärmiön tilavuus, joka on rakennettu näiden vektorien edustajille, joilla on yhteinen alkuperä.

Todiste. Valitaan mielivaltainen piste O ja jätetään siitä sivuun näiden vektorien edustajat, : , . Rakennamme tasossa OAB suuntaviivan OADB ja reunan OS lisäämällä rakennamme suuntaissärmiön OADBCADB. Tämän suuntaissärmiön tilavuus V on yhtä suuri kuin pohjapinta-alan OADB ja suuntaissärmiön korkeuden pituuden OO tulo.

Suunnikkaan OADB pinta-ala on |[, ]|. Toisella puolella

|OO| = || |cos |, missä on vektorien ja [, ] välinen kulma.

Harkitse sekatuotemoduulia:

|(,)| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.

Lause on todistettu.

Huomautus 1. Jos vektoreiden kolminkertainen sekatulo on yhtä suuri kuin nolla, niin tämä vektoreiden kolmio on lineaarisesti riippuvainen.

Muistio 2. Jos tietyn vektorin kolminkertainen sekatulo on positiivinen, vektoreiden kolmo on oikea, ja jos se on negatiivinen, vektoreiden kolmoinen on vasen. Itse asiassa sekatulon etumerkki osuu yhteen cos:n merkin kanssa, ja kulman suuruus määrää kolmikon orientaation, . Jos kulma on terävä, niin kolmio on oikea, ja jos se on tylppä kulma, niin kolmio on vasen.

Esimerkki 1. Annettu suuntaissärmiö ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ja seuraavien vektorien koordinaatit ortonormaalikannassa: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Etsi: 1) suuntaissärmiön tilavuus;

• 2) pinta-alat ABCD ja CDD 1 C;
• 3) tasojen ABC ja CDD 1 välisen dihedraalisen kulman kosini.

Ratkaisu.

Tämä suuntaissärmiö on rakennettu vektoreille

Siten sen tilavuus on yhtä suuri kuin näiden vektorien sekatulon moduuli, ts.

Joten, V höyry = 12 kuutioyksikköä.

Muista, että suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin niiden vektorien vektoritulon pituus, joille se on rakennettu.

Otetaan käyttöön merkintä: , sitten

Siksi (6; - 8; - 2), mistä

Että. neliöyksikköä

Samoin

Olkoon sitten

mistä (15; - 20; 1) ja

Tämä tarkoittaa neliöyksikköä.

Otetaan käyttöön seuraava merkintä: pl. (ABC)=, pl. (DCC 1) =.

Vektoritulon määritelmän mukaan meillä on:

Tämä tarkoittaa, että seuraava yhtäläisyys on totta:

Ratkaisun toisesta kohdasta lähtien meillä on:

Todista, että jos ja ovat keskenään kohtisuorat yksikkövektorit, niin mille tahansa vektorille ja seuraava yhtälö pätee:

Ratkaisu.

Olkoon vektorien koordinaatit annettu ortonormaalisesti: ; . Koska sekatuotteen ominaisuuden perusteella meillä on:

Näin ollen yhtälö (1) voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa: , ja tämä on yksi vektorien ja vektoritulon todistetuista ominaisuuksista. Siten tasa-arvon (1) pätevyys on todistettu.

Koetyön nollaversion ratkaiseminen

Tehtävä nro 1

Vektori muodostaa kulmia ja kantavektoreiden kanssa ja vastaavasti. Määritä kulma, jonka vektori muodostaa vektorin kanssa.

Ratkaisu.

Muodostetaan suuntaissärmiö vektoreille ja diagonaalille siten, että vektorit ja ovat yhtä suuret.

Sitten suorakulmaisessa kolmiossa, jossa on suora kulma, kulman suuruus on yhtä suuri missä.

Vastaavasti suorakulmaisessa kolmiossa, jossa on suora kulma, suuruus on yhtä suuri kuin mistä.

Pythagoraan lauseen avulla suorakulmaisesta kolmiosta löydämme:

Suorakulmaisessa kolmiossa jalka ja hypotenuusa ovat suoria kulmia. Kulma on siis yhtä suuri. Mutta kulma on yhtä suuri kuin vektorien ja välinen kulma. Siten ongelma on ratkaistu.

Tehtävä nro 2.

Kantaessa on kolme vektoria. Todista, että nelikulmio on litteä. Etsi sen alue.

Ratkaisu.

1. Jos vektorit ja ovat samassa tasossa, se on tasainen nelikulmio. Lasketaan näiden vektorien koordinaateista muodostuva determinantti.

Koska determinantti on yhtä suuri kuin nolla, vektorit ja ovat samassa tasossa, mikä tarkoittaa, että nelikulmio on tasainen.

2. Huomaa, että siten ja siten nelikulmio on puolisuunnikkaan kanta, jonka kantat ovat AB ja CD.

Vektoritulo-ominaisuuden perusteella meillä on:

Vektoritulon löytäminen

Tehtävä nro 3. Etsi vektori, joka on kollineaarinen vektorin (2; 1; -2) kanssa, jonka pituus on 5.

Ratkaisu.

Merkitään vektorin koordinaatit (x, y, z). Kuten tiedät, kollineaarisilla vektoreilla on suhteelliset koordinaatit, ja siksi meillä on:

x = 2t, y = t, z = ? 2t.

Ongelman ehtojen mukaan || = 5 ja koordinaattimuodossa:

Ilmaisemalla muuttujat parametrin t kautta saamme:

4t 2 + t 2 + 4t 2 =25,

Täten,

x = , y = , z = .

Saimme kaksi ratkaisua.

Tällä oppitunnilla tarkastelemme kahta muuta operaatiota vektoreilla: vektorien vektoritulo Ja vektorien sekatulo (välitön linkki sitä tarvitseville). Ei hätää, joskus käy niin, että täyden onnen vuoksi vektorien skalaaritulo, tarvitaan enemmän ja enemmän. Tämä on vektoririippuvuus. Saattaa tuntua siltä, ​​että olemme pääsemässä analyyttisen geometrian viidakkoon. Tämä on väärin. Tässä korkeamman matematiikan osiossa puuta on yleensä vähän, paitsi ehkä tarpeeksi Pinocchiolle. Itse asiassa materiaali on hyvin yleinen ja yksinkertainen - tuskin monimutkaisempi kuin sama skalaarituote, tyypillisiä tehtäviä tulee vielä vähemmän. Tärkein asia analyyttisessä geometriassa, kuten monet ovat vakuuttuneita tai ovat jo vakuuttuneet, on EI TEHDÄ VIRHEITÄ LASKENTAAN. Toista kuin loitsu ja olet onnellinen =)

Jos vektorit kimaltelevat jossain kaukana, kuten salama horisontissa, sillä ei ole väliä, aloita oppitunnilla Vektorit tutille palauttaa tai hankkia uudelleen perustiedot vektoreista. Valmistautuneempi lukija pääsee tutustumaan tietoihin valikoivasti, yritin kerätä mahdollisimman kattavan kokoelman käytännön työssä usein esiintyviä esimerkkejä

Mikä tekee sinut onnelliseksi heti? Kun olin pieni, pystyin jongleeraamaan kahta tai jopa kolmea palloa. Se onnistui hyvin. Nyt sinun ei tarvitse jongleerata ollenkaan, koska harkitsemme vain spatiaaliset vektorit, ja tasaiset vektorit, joissa on kaksi koordinaattia, jätetään pois. Miksi? Näin nämä toiminnot syntyivät - vektorien vektori ja sekatulo määritellään ja toimivat kolmiulotteisessa avaruudessa. Se on jo helpompaa!

Tämä operaatio, kuten skalaaritulo, sisältää kaksi vektoria. Olkoot nämä katoamattomia kirjaimia.

Itse toiminta merkitty seuraavalla tavalla: . On muitakin vaihtoehtoja, mutta olen tottunut merkitsemään vektorien vektorituloa tällä tavalla, hakasulkeissa ristillä.

Ja heti kysymys: jos sisään vektorien skalaaritulo kaksi vektoria on mukana, ja tässä myös kerrotaan kaksi vektoria mikä on ero? Ilmeinen ero on ensinnäkin TULOKSET:

Vektorien skalaaritulon tulos on NUMERO:

Vektorien ristitulon tulos on VECTOR: , eli kerrotaan vektorit ja saadaan taas vektori. Suljettu klubi. Itse asiassa toiminnan nimi tulee tästä. Eri oppikirjoissa nimitykset voivat myös vaihdella, käytän kirjainta.

Ristituotteen määritelmä

Ensin tulee määritelmä kuvan kanssa, sitten kommentit.

Määritelmä: Vector tuote ei-kollineaarinen vektorit, otettu tässä järjestyksessä, nimeltä VECTOR, pituus mikä on numeerisesti yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala, rakennettu näille vektoreille; vektori kohtisuorassa vektoreihin nähden, ja se on suunnattu siten, että pohjalla on oikea suunta:

Puretaan määritelmä pala palalta, täällä on paljon mielenkiintoista!

Joten voidaan korostaa seuraavia tärkeitä kohtia:

1) Alkuperäiset vektorit, merkitty punaisilla nuolilla, määritelmän mukaan ei kollineaarista. Kollineaaristen vektorien tapausta on aiheellista tarkastella hieman myöhemmin.

2) Vektorit otetaan tiukasti määritellyssä järjestyksessä: – "a" kerrotaan "olla", ei "olla" ja "a". Vektorikertoimen tulos on VECTOR, joka on merkitty sinisellä. Jos vektorit kerrotaan käänteisessä järjestyksessä, saadaan vektori, joka on yhtä pitkä ja vastakkainen (vadelman väri). Eli tasa-arvo on totta .

3) Tutustutaan nyt vektoritulon geometriseen merkitykseen. Tämä on erittäin tärkeä kohta! Sinisen vektorin PITUUS (ja siten purppuraisen vektorin) on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreille rakennetun suunnikkaan ALA. Kuvassa tämä suuntaviiva on varjostettu mustaksi.

Huomautus : piirustus on kaavamainen, ja luonnollisesti vektoritulon nimellispituus ei ole yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala.

Muistakaamme yksi geometrisista kaavoista: Suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin vierekkäisten sivujen ja niiden välisen kulman sini tulo. Siksi yllä olevan perusteella kaava vektoritulon PITUUS laskemiseksi on voimassa:

Korostan, että kaava koskee vektorin PITUUSTA, ei itse vektoria. Mikä on käytännön merkitys? Ja merkitys on, että analyyttisen geometrian ongelmissa suunnikkaan pinta-ala löytyy usein vektoritulon käsitteen kautta:

Otetaan toinen tärkeä kaava. Suunnikkaan diagonaali (punainen katkoviiva) jakaa sen kahteen yhtä suureen kolmioon. Siksi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala (punainen varjostus) voidaan löytää kaavalla:

4) Yhtä tärkeä tosiasia on, että vektori on ortogonaalinen vektoreihin nähden . Tietenkin vastakkaiseen suuntaan suunnattu vektori (vadelmanuoli) on myös ortogonaalinen alkuperäisiin vektoreihin nähden.

5) Vektori on suunnattu siten, että perusta Sillä on oikein suuntautuminen. Oppitunnilla aiheesta siirtyminen uudelle perustalle Puhuin riittävän yksityiskohtaisesti tasosuuntaus, ja nyt selvitämme, mikä avaruussuunta on. Selitän sormillasi oikea käsi. Yhdistä henkisesti etusormi vektorilla ja keskisormi vektorin kanssa. Nimetön ja pikkusormi paina se kämmenelle. Tuloksena peukalo– vektoritulo näyttää ylöspäin. Tämä on oikealle suuntautunut perusta (se on tämä kuvassa). Vaihda nyt vektoreita ( etu- ja keskisormi) joissakin paikoissa, minkä seurauksena peukalo kääntyy ympäri ja vektoritulo näyttää jo alas. Tämä on myös oikealle suuntautunut perusta. Sinulla voi olla kysymys: mikä perusta on vasemmalle suuntautunut? "Määritä" samoihin sormiin vasen käsi vektorit ja saat avaruuden vasemman kanta- ja vasemman suuntauksen (tässä tapauksessa peukalo sijaitsee alemman vektorin suunnassa). Kuvannollisesti puhuen nämä pohjat "kiertelevät" tai suuntaavat tilaa eri suuntiin. Ja tätä käsitettä ei pidä pitää kaukaa haettuna tai abstraktina - esimerkiksi tilan suuntaa muuttaa tavallisin peili, ja jos "vedät heijastuneen esineen ulos lasista", niin yleensä se sitä ei voi yhdistää "alkuperäiseen". Pidä muuten kolme sormea ​​peiliä vasten ja analysoi heijastus ;-)

...kuinka hyvä, että nyt tiedät siitä oikealle ja vasemmalle suunnattu perusteet, koska joidenkin luennoitsijoiden lausunnot suuntautumisen muutoksesta ovat pelottavia =)

Kollineaaristen vektorien ristitulo

Määritelmää on käsitelty yksityiskohtaisesti, on vielä selvitettävä, mitä tapahtuu, kun vektorit ovat kollineaarisia. Jos vektorit ovat kollineaarisia, ne voidaan sijoittaa yhdelle suoralle ja suunnikkaamme myös "taittuu" yhdeksi suoraksi. Sellaisten alue, kuten matemaatikot sanovat, rappeutunut suunnikas on yhtä suuri kuin nolla. Sama seuraa kaavasta - nollan tai 180 asteen sini on yhtä suuri kuin nolla, mikä tarkoittaa, että alue on nolla

Eli jos , niin Ja . Huomaa, että itse vektoritulo on yhtä suuri kuin nollavektori, mutta käytännössä tämä usein jätetään huomiotta ja kirjoitetaan, että se on myös nolla.

Erikoistapaus on vektorin ristitulo itsensä kanssa:

Vektoritulon avulla voit tarkistaa kolmiulotteisten vektoreiden kollineaarisuuden ja analysoimme myös tämän ongelman mm.

Käytännön esimerkkien ratkaisemiseksi saatat tarvita trigonometrinen taulukko löytääksesi siitä sinien arvot.

No, sytytetään tuli:

Esimerkki 1

a) Laske vektorien vektoritulon pituus jos

b) Etsi vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala, jos

Ratkaisu: Ei, tämä ei ole kirjoitusvirhe, tein tarkoituksella lauseiden alkutiedot samanlaisiksi. Koska ratkaisujen suunnittelu on erilainen!

a) Ehdon mukaan sinun on löydettävä pituus vektori (ristitulo). Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Jos sinulta kysyttiin pituutta, ilmoitamme vastauksessa mitat - yksiköt.

b) Ehdon mukaan sinun on löydettävä neliö vektoreille rakennettu suunnikas. Tämän suuntaviivan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoritulon pituus:

Vastaus:

Huomaa, että vastaus ei puhu vektorituloksesta ollenkaan, meiltä kysyttiin hahmon alue, vastaavasti mitta on neliöyksikköä.

Katsomme aina MITÄ meidän täytyy löytää tilanteen mukaan, ja tämän perusteella muotoilemme asia selvä vastaus. Se voi tuntua kirjaimellisuudesta, mutta opettajien joukossa on runsaasti kirjaimellisia ja tehtävä on hyvät mahdollisuudet saada palautettua tarkistettavaksi. Vaikka tämä ei ole mitenkään erityisen kaukaa haettu kiukuttelu - jos vastaus on väärä, syntyy vaikutelma, että henkilö ei ymmärrä yksinkertaisia ​​asioita ja/tai ei ole ymmärtänyt tehtävän ydintä. Tämä kohta on aina pidettävä kurissa, kun ratkaistaan ​​korkeamman matematiikan ja myös muiden oppiaineiden ongelmia.

Mihin iso en-kirjain katosi? Periaatteessa se olisi voitu liittää myös ratkaisuun, mutta merkinnän lyhentämiseksi en tehnyt tätä. Toivottavasti kaikki ymmärtävät sen ja ovat nimitys samalle asialle.

Suosittu esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 2

Etsi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Kaava kolmion alueen löytämiseksi vektoritulon kautta on annettu määritelmän kommenteissa. Ratkaisu ja vastaus ovat oppitunnin lopussa.

Käytännössä tehtävä on todella yleinen, kolmiot voivat yleensä kiusata sinua.

Muiden ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme:

Vektorien vektoritulon ominaisuudet

Olemme jo tarkastelleet joitain vektorituotteen ominaisuuksia, mutta sisällytän ne tähän luetteloon.

Mielivaltaisille vektoreille ja mielivaltaiselle luvulle seuraavat ominaisuudet ovat tosia:

1) Muissa tietolähteissä tätä kohtaa ei yleensä korosteta ominaisuuksissa, mutta se on käytännön kannalta erittäin tärkeä. Joten anna sen olla.

2) – kiinteistöstä puhutaan myös edellä, joskus sitä kutsutaan antikommutatiivisuus. Toisin sanoen vektorien järjestyksellä on väliä.

3) – assosiatiivinen tai assosiatiivista vektoritulolakeja. Vakiot voidaan helposti siirtää vektoritulon ulkopuolelle. Oikeasti, mitä heidän siellä pitäisi tehdä?

4) – jakelu tai jakavia vektoritulolakeja. Myöskään kiinnikkeiden avaamisessa ei ole ongelmia.

Sen havainnollistamiseksi katsotaanpa lyhyt esimerkki:

Esimerkki 3

Etsi jos

Ratkaisu: Ehto vaatii jälleen vektoritulon pituuden löytämisen. Maalataan pienoismallimme:

(1) Assosiatiivisten lakien mukaan otamme vakiot vektoritulon piirin ulkopuolelle.

(2) Otamme vakion moduulin ulkopuolelle ja moduuli "syö" miinusmerkin. Pituus ei voi olla negatiivinen.

(3) Loput on selvää.

Vastaus:

On aika laittaa lisää puuta tuleen:

Esimerkki 4

Laske vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Ratkaisu: Etsi kolmion pinta-ala kaavan avulla . Havainto on, että vektorit "tse" ja "de" esitetään itse vektoreiden summana. Tässä oleva algoritmi on vakio ja muistuttaa jonkin verran oppitunnin esimerkkejä 3 ja 4 Vektorien pistetulo. Selvyyden vuoksi jaamme ratkaisun kolmeen vaiheeseen:

1) Ensimmäisessä vaiheessa ilmaisemme vektorituotteen vektorituotteen kautta, itse asiassa, ilmaistaan ​​vektori vektorilla. Pituudesta ei vielä puhuttu!

(1) Korvaa vektorien lausekkeet.

(2) Distributiivisia lakeja käyttäen avataan sulut polynomien kertolaskusäännön mukaisesti.

(3) Assosiatiivisia lakeja käyttämällä siirrämme kaikki vakiot vektoritulojen ulkopuolelle. Pienellä kokemuksella vaiheet 2 ja 3 voidaan suorittaa samanaikaisesti.

(4) Ensimmäinen ja viimeinen termi ovat yhtä kuin nolla (nollavektori) johtuen mukavasta ominaisuudesta. Toisessa termissä käytämme vektorituotteen antikommutatiivisuuden ominaisuutta:

(5) Esittelemme samanlaisia ​​termejä.

Tämän seurauksena vektori osoittautui ilmaistuksi vektorin kautta, mikä vaadittiin saavuttamiseksi:

2) Toisessa vaiheessa löydämme tarvitsemamme vektoritulon pituuden. Tämä toiminto on samanlainen kuin esimerkki 3:

3) Etsi vaaditun kolmion pinta-ala:

Ratkaisun vaiheet 2-3 olisi voitu kirjoittaa yhdelle riville.

Vastaus:

Harkittu ongelma on melko yleinen testeissä, tässä on esimerkki sen ratkaisemiseksi itse:

Esimerkki 5

Etsi jos

Lyhyt ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Katsotaan kuinka tarkkaavainen olit tutkiessasi aiempia esimerkkejä ;-)

Koordinaattien vektorien ristitulo

, määritetty ortonormaalisti, ilmaistaan ​​kaavalla:

Kaava on todella yksinkertainen: determinantin ylimmälle riville kirjoitamme koordinaattivektorit, toiselle ja kolmannelle riville "laitamme" vektorien koordinaatit ja laitamme tiukassa järjestyksessä– ensin "ve"-vektorin koordinaatit, sitten "double-ve"-vektorin koordinaatit. Jos vektorit on kerrottava eri järjestyksessä, rivit tulee vaihtaa:

Esimerkki 10

Tarkista, ovatko seuraavat avaruusvektorit kollineaarisia:
A)
b)

Ratkaisu: Tarkistus perustuu yhteen tämän oppitunnin lauseeseen: jos vektorit ovat kollineaarisia, niin niiden vektoritulo on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori): .

a) Etsi vektoritulo:

Siten vektorit eivät ole kollineaarisia.

b) Etsi vektoritulo:

Vastaus: a) ei kollineaarinen, b)

Tässä on ehkä kaikki perustiedot vektorien vektoritulosta.

Tämä osa ei ole kovin suuri, koska vektoreiden sekatuloa käytettäessä on vähän ongelmia. Itse asiassa kaikki riippuu määritelmästä, geometrisestä merkityksestä ja muutamasta työkaavasta.

Vektorien sekatulo on kolmen vektorin tulo:

Joten he asettuivat jonoon kuin juna eivätkä malta odottaa, että heidät tunnistetaan.

Ensin jälleen määritelmä ja kuva:

Määritelmä: Sekatyötä ei-tasossa vektorit, otettu tässä järjestyksessä, nimeltään suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu näille vektoreille, varustettu "+"-merkillä, jos kanta on oikea, ja "-"-merkillä, jos kanta on vasen.

Tehdään piirustus. Meille näkymättömät viivat piirretään katkoviivoilla:

Sukellaan määritelmään:

2) Vektorit otetaan tietyssä järjestyksessä, eli vektorien uudelleenjärjestely tuotteessa, kuten saatat arvata, ei tapahdu ilman seurauksia.

3) Ennen kuin kommentoin geometrista merkitystä, huomautan ilmeisen tosiasian: vektorien sekatulo on NUMERO: . Oppikirjallisuudessa muotoilu voi olla hieman erilainen, olen tottunut merkitsemään sekatuotetta kirjaimella ja laskelmien tulosta kirjaimella "pe".

A-priory sekoitettu tuote on suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu vektoreille (kuvio on piirretty punaisilla vektoreilla ja mustilla viivoilla). Eli luku on yhtä suuri kuin tietyn suuntaissärmiön tilavuus.

Huomautus : Piirustus on kaavamainen.

4) Älkäämme enää murehtiko perustan ja tilan suuntauksen käsitteestä. Loppuosan tarkoitus on, että äänenvoimakkuuteen voidaan lisätä miinusmerkki. Yksinkertaisesti sanottuna sekoitettu tuote voi olla negatiivinen: .

Suoraan määritelmästä seuraa kaava vektoreille rakennetun suuntaissärmiön tilavuuden laskemiseksi.