Ongelma 1

Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä kahdella tavalla: käyttämällä Cramerin kaavoja ja Gaussin menetelmää

1) ratkaise epähomogeeninen lineaaristen algebrallisten yhtälöiden Ax = B Cramer-menetelmällä

Järjestelmän D determinantti ei ole nolla. Etsitään apudeterminantit D 1, D 2, D 3, jos ne eivät ole nolla, niin ei ole ratkaisuja, jos ne ovat yhtä suuret, niin ratkaisuja on ääretön määrä

Kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmä, jossa on 3 tuntematonta, joiden determinantti on nollasta poikkeava, on aina johdonmukainen ja sillä on ainutlaatuinen ratkaisu, joka lasketaan kaavoilla:

Vastaus: Saimme ratkaisun:

2) ratkaista epähomogeeninen lineaaristen algebrallisten yhtälöiden Ax = B Gaussin menetelmällä

Luodaan järjestelmästä laajennettu matriisi

Otetaan ensimmäinen rivi ohjeeksi ja elementti a 11 = 1 ohjeeksi. Ohjeviivaa käyttämällä saamme nollia ensimmäiseen sarakkeeseen.

vastaa lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisujoukkoa

Vastaus: Saimme ratkaisun:

Ongelma 2

Annettu kolmion ABC kärkien koordinaatit

Löytö:

1) sivun AB pituus;

4) mediaani AE:n yhtälö;

Muodosta annettu kolmio ja kaikki koordinaattijärjestelmän suorat.

A(1; -1), B(4; 3). C(5; 1).

1) Pisteiden A ( x 1; klo 1) ja B( x 2; klo 2) määritetään kaavalla

jonka avulla löydämme sivun AB pituuden;

2) sivujen AB ja BC yhtälöt ja niiden kulmakertoimet;

Yhden tason A( x 1; klo 1) ja B( x 2; klo 2) on muotoinen

Korvaamalla pisteiden A ja B koordinaatit kohtaan (2), saadaan sivun AB yhtälö:

Löydämme suoran AB kulmakertoimen k AB muuttamalla tuloksena oleva yhtälö kulmakertoimella olevan suoran yhtälön muotoon y =kx - b.

eli mistä

Samalla tavalla saamme suoran BC yhtälön ja löydämme sen kulmakertoimen.

Korvaamalla pisteiden B ja C koordinaatit kohtaan (2), saadaan yhtälö sivulle BC:

Löydämme suoran BC:n kulmakertoimen k muuntamalla saatu yhtälö kulmakertoimella olevan suoran yhtälön muotoon y =kx - b.

, tuo on

3) sisäkulma kärjessä B radiaaneina 0,01 tarkkuudella

Kolmion sisäisen kulman löytämiseksi käytämme kaavaa:

Huomaa, että tämän murto-osan osoittajan kulmakertoimien välisen eron laskemismenettely riippuu suorien AB ja BC suhteellisesta sijainnista.

Korvaamalla aiemmin lasketut k BC:n ja k AB:n arvot (3) saamme:

Nyt käyttämällä taulukoita teknisellä mikrolaskimella saamme B » 1,11 rad.

4) mediaani AE:n yhtälö;

Mediaanin AE yhtälön laatimiseksi etsitään ensin pisteen E koordinaatit, joka sijaitsee janan BC keskellä

Korvaamalla pisteiden A ja E koordinaatit yhtälöön (2), saadaan mediaaniyhtälö:

5) yhtälö ja korkeuden CD pituus;

Korkeuden CD yhtälön laatimiseksi käytämme tietyn pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöä M( x 0; v 0) tietyllä kulmakertoimella k, jolla on muoto

ja suorien AB ja CD kohtisuoran ehto, joka ilmaistaan ​​suhteella k AB k CD = -1, josta k CD = -1/k AB = - 3/4

Korvaamalla kohdassa (4) k:n sijaan arvo k C D = -3/4, ja sen sijaan x 0 , y 0 pisteen C vastaavat koordinaatit, saadaan yhtälö korkeudelle CD

Korkeuden CD pituuden laskemiseksi käytämme kaavaa etäisyyden d löytämiseksi tietystä pisteestä M( x 0; v 0) tietylle suoralle yhtälöllä Ax+ By + C = 0, jonka muoto on:

Korvaa sen sijaan kohtaan (5). x 0; v 0 pisteen C koordinaatit, ja A, B, C sijasta saadaan suoran AB yhtälön kertoimet

6) pisteen E kautta yhdensuuntaisen sivun AB ja sen korkeuden CD leikkauspisteen M kautta kulkevan suoran yhtälö;

Koska haluttu suora EF on yhdensuuntainen suoran AB kanssa, niin k EF = k AB = 4/3. Korvataan sen sijaan yhtälöön (4). x 0; v 0 pisteen E koordinaatit, ja k arvon k EF sijasta saadaan suoran EF yhtälö."

Pisteen M koordinaattien löytämiseksi ratkaisemme yhdessä suorien EF ja CD yhtälöt.

Siten M(5,48, 0,64).

7) yhtälö ympyrästä, jonka keskipiste on pisteessä E ja joka kulkee kärjen B kautta

Koska ympyrän keskipiste on pisteessä E(4.5; 2) ja se kulkee kärjen B(4; 3) läpi, niin sen säde

Kanoninen yhtälö säteiseltä R ympyrältä, jonka keskipiste on pisteessä M 0 ( x 0; v 0) on muotoinen

Kolmio ABC, korkeus CD, mediaani AE, suora EF, piste M ja x0y-koordinaattijärjestelmään muodostettu ympyrä kuvassa 1.

Ongelma 3

Piirrä yhtälö suorasta, jonka jokaisen pisteen etäisyys pisteeseen A (2; 5) on yhtä suuri kuin etäisyys suorasta y = 1. Piirrä saatu käyrä koordinaattijärjestelmään

Ratkaisu

Anna M ( x, y) - halutun käyrän nykyinen piste. Pudotetaan kohtisuora MB pisteestä M suoralle y = 1 (kuva 2). Sitten B(x; 1). Koska MA = MB, niin

Laadimme järjestelmän päätekijän

ja laske se.

Sitten muodostamme lisädeterminantteja

ja laskea ne.

Cramerin säännön mukaan ratkaisu järjestelmään löydetään kaavojen avulla

;
;
,Jos

1)

Lasketaan:

Cramerin kaavoja käyttämällä löydämme:

Vastaus: (1; 2; 3)

2)

Lasketaan:

Koska päätekijä
, ja ainakin yksi ylimääräinen ei ole nolla (tässä tapauksessa
), järjestelmällä ei ole ratkaisua.

3)

Lasketaan:

Koska kaikki determinantit ovat yhtä suuria kuin nolla, järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja, jotka voidaan löytää seuraavasti:

Ratkaise järjestelmät itse:

A)
b)

Vastaus: a) (1; 2; 5) b) ;;

Käytännön oppitunti nro 3 aiheesta:

Kahden vektorin pistetulo ja sen sovellus

1. Jos annetaan
Ja
, sitten löydämme skalaaritulon kaavalla:

∙

2.Jos, niin näiden kahden vektorin skalaaritulo löytyy kaavasta

1. Annettu kaksi vektoria
Ja

Löydämme heidän skalaarituotteensa seuraavasti:

.

2. Kaksi vektoria on annettu:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

Skalaarituote löytyy näin:

3.
,

3.1 Vakiovoiman työn löytäminen suoralla polunosuudella

1) 15 N:n voiman vaikutuksesta ruumis liikkui suorassa linjassa 2 metriä. Voiman ja liikesuunnan välinen kulma =60 0. Laske työ, jonka voima tekee kehon liikuttamiseksi.

Annettu:

Ratkaisu:

2) Annettu:

Ratkaisu:

3) Kappale siirtyi pisteestä M(1; 2; 3) pisteeseen N(5; 4; 6) 60 N:n voiman vaikutuksesta. Voiman suunnan ja siirtymävektorin välinen kulma =45 0. Laske tämän voiman tekemä työ.

Ratkaisu: etsi siirtymävektori

Siirtymävektorin moduulin löytäminen:

Kaavan mukaan
löytää työpaikka:

3.2 Kahden vektorin ortogonaalisuuden määrittäminen

Kaksi vektoria ovat ortogonaalisia jos
, tuo on

koska

1)

- ei ortogonaalinen

2)

-ortogonaalinen

3) Määritä missä  vektorit
Ja
keskenään ortogonaalisia.

Koska
, Tuo
, tarkoittaa

Päätä itse:

A)

. Etsi heidän skalaarituotteensa.

b) Laske kuinka paljon työtä voima tuottaa
, jos sen suoraviivaisesti liikkuva sovelluspiste on siirtynyt pisteestä M (5; -6; 1) pisteeseen N (1; -2; 3)

c) Selvitä ovatko vektorit ortogonaalisia
Ja

Vastaukset: a) 1 b) 16 c) kyllä

3.3 Vektorien välisen kulman löytäminen

1)

. löytö .

Löydämme

korvaa kaava:

.

1). Annetut ovat kolmion A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1) kärjet. Etsi kulma kärjestä A.

Laitetaan se kaavaan:

Päätä itse:

Annetut ovat kolmion A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0) kärjet. Määritä sisäkulma kärjessä A.

Vastaus: 90 o

Käytännön oppitunti nro 4 aiheesta:

KAHDEN VEKTORIN VEKTORITUOTE JA SEN SOVELLUS.

Kaava kahden vektorin ristitulon löytämiseksi:

	näyttää

1) Etsi vektoritulon moduuli:

Muodostetaan determinantti ja lasketaan se (käyttäen Sarrusin sääntöä tai lausetta determinantin laajentamisesta ensimmäisen rivin alkioihin).

1. menetelmä: Sarrusin säännön mukaan

Tapa 2: Laajenna determinantti ensimmäisen rivin elementeiksi.

2) Etsi vektoritulon moduuli:

4.1. KAHDELLE VEKTORILLE RAKENNETUN RINNAKKAISEN ALUEEN LASKEMINEN.

1) Laske vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala

2). Etsi vektoritulo ja sen moduuli

4.2. KOLMION ALUEEN LASKEMINEN

Esimerkki: annetut ovat kolmion A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1) kärjet. Laske kolmion pinta-ala.

Etsitään ensin kahden samasta kärjestä lähtevän vektorin koordinaatit.

Etsitään heidän vektoritulonsa

4.3. KAHDEN VEKTORIN KOLLINEAALISUUDEN MÄÄRITTÄMINEN

Jos vektori
Ja
ovat siis kollineaarisia

, eli vektorien koordinaattien tulee olla verrannollisia.

a) Annetut vektorit::
,
.

Ne ovat kollineaarisia, koska
Ja

kunkin murto-osan pienentämisen jälkeen saamme suhteen

b) Annetut vektorit:

.

Ne eivät ole kollineaarisia, koska
tai

Päätä itse:

a) Millä vektorin arvoilla m ja n
kollineaarinen?

Vastaus:
;

b) Etsi vektoritulo ja sen moduuli
,
.

Vastaus:
,
.

Käytännön oppitunti nro 5 aiheesta:

SUORA LINJASSA

Tehtävä nro 1. Etsi yhtälö pisteen A(-2; 3) kautta kulkevalle suoralle yhdensuuntaisesti

1. Etsi viivan kaltevuus
.

on yhtälö suorasta viivasta, jossa on kulmakerroin ja alkuordinaat
). Siksi
.

2. Koska suorat MN ja AC ovat yhdensuuntaiset, niiden kulmakertoimet ovat yhtä suuret, ts.
.

3. Löytääksemme suoran AC yhtälön, käytämme tietyn kulmakertoimen pisteen läpi kulkevan suoran yhtälöä:

. Sen sijaan tässä kaavassa Ja korvaa sen sijaan pisteen A(-2; 3) koordinaatit Korvataan - 3. Korvauksen tuloksena saamme:

Vastaus:

Tehtävä nro 2. Etsi pisteen K(1; –2) kautta kulkevan suoran yhtälö.

1. Etsitään suoran kaltevuus.

Tämä on suoran yleinen yhtälö, joka yleisessä muodossa annetaan kaavalla. Vertaamalla yhtälöitä saadaan, että A = 2, B = –3. Yhtälön antaman suoran kaltevuus löytyy kaavasta
. Korvaamalla A = 2 ja B = –3 tähän kaavaan saadaan suoran MN kaltevuus. Niin,
.

2. Koska suorat MN ja KS ovat yhdensuuntaiset, niiden kulmakertoimet ovat yhtä suuret:
.

3. Löytääksemme suoran KS yhtälön, käytämme tietyn kulmakertoimen pisteen läpi kulkevan suoran yhtälön kaavaa
. Sen sijaan tässä kaavassa Ja korvataan pisteen K(–2; 3) koordinaatit sen sijaan

Tehtävä nro 3. Etsi pisteen K(–1; –3) kautta kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan.

1. on suoran suoran yleinen yhtälö, joka yleisessä muodossa annetaan kaavalla.

ja huomaamme, että A = 3, B = 4.

Yhtälön antaman suoran kaltevuus saadaan kaavasta:
. Korvaamalla A = 3 ja B = 4 tähän kaavaan saadaan suoran MN kaltevuus:
.

2. Koska suorat MN ja KD ovat kohtisuorassa, niiden kulmakertoimet ovat kääntäen verrannollisia ja vastakkaisia ​​etumerkillä:

.

3. Löytääksemme suoran KD yhtälön, käytämme pisteen läpi kulkevan suoran yhtälön kaavaa tietyllä kulmakertoimella

. Sen sijaan tässä kaavassa Ja korvaa sen sijaan pisteen K(–1;–3) koordinaatit korvataan Vaihdon tuloksena saamme:

Päätä itse:

1. Etsi pisteen K(–4; 1) kautta kulkevan suoran yhtälö.
.

Vastaus:
.

2. Etsi pisteen K(5; –2) kautta kulkevan suoran yhtälö.
.

3. Etsi pisteen K(–2, –6) kautta kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan
.

4. Etsi pisteen K(7; –2) kautta kulkevan suoran yhtälö, joka on kohtisuorassa suoraa vastaan
.

Vastaus:
.

5. Etsi pisteestä K(–6; 7) suoralle pudotetun kohtisuoran yhtälö
.

2.3.1. Määritelmä.

Olkoon lineaariset yhtälöt:

a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 , (2.3.1)

a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 , (2.3.2)

a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3 . (2.3.3)

Jos yhtälöille (2.3.1) ¾ (2.3.3) on löydettävä yleinen ratkaisu, he sanovat, että ne muodostavat järjestelmä . Järjestelmää, joka koostuu yhtälöistä (2.3.1) ¾ (2.3.3), merkitään seuraavasti:

Järjestelmän muodostavien yhtälöiden yleistä ratkaisua kutsutaan järjestelmäratkaisu . Ratkaise järjestelmä (2.3.4) ¾ tämä tarkoittaa joko sen kaikkien ratkaisujen joukon löytämistä tai sen osoittamista, ettei niitä ole.

Kuten aikaisemmissa tapauksissa, alta löydät olosuhteet, joissa järjestelmällä (2.3.4) on ainutlaatuinen ratkaisu, sillä on useampi kuin yksi ratkaisu ja sillä ei ole ratkaisua.

2.3.2. Määritelmä. Olkoon lineaariyhtälöjärjestelmä (2.3.4) annettu. Matriisit

kutsutaan vastaavasti ( perus )matriisi Ja laajennettu matriisi järjestelmät.

2.3.3. Muodon (2.3.4) ekvivalenttien järjestelmien määritelmät sekä 1. ja 2. tyypin alkeismuunnokset otetaan käyttöön samalla tavalla kuin kahden yhtälön järjestelmille, joissa on kaksi ja kolme tuntematonta.

Alkuperäinen muunnos 3. järjestelmän tyyppiä (2.3.4) kutsutaan tämän järjestelmän joidenkin kahden yhtälön vaihdoksi. Samanlainen kuin aiemmat 2 yhtälön järjestelmien tapaukset järjestelmän alkeismuunnoksilla saadaan järjestelmä,vastaa tätä.

2.3.4. Harjoittele. Ratkaise yhtälöjärjestelmät:

Ratkaisu. A)

(1) Vaihdoimme järjestelmän ensimmäisen ja toisen yhtälön (tyypin 3 muunnos).

(2) Ensimmäinen yhtälö kerrottuna 4:llä vähennettiin toisesta ja ensimmäinen yhtälö kerrottuna 6:lla vähennettiin kolmannesta (tyypin 2 muunnos); siten tuntematon jätettiin pois toisesta ja kolmannesta yhtälöstä x .

(3) Toinen yhtälö kerrottuna 14:llä vähennettiin kolmannesta; tuntematon suljettiin pois kolmannesta y .

(4) Viimeisestä yhtälöstä löydämme z = 1, korvaamalla kumpi toisella, löydämme y = 0. Lopuksi korvaaminen y = 0 ja z = 1 ensimmäiseen yhtälöön, löydämme x = -2.ñ

(1) Vaihdoimme järjestelmän ensimmäisen ja toisen yhtälön.

(2) Ensimmäinen yhtälö kerrottuna 4:llä vähennettiin toisesta ja ensimmäinen yhtälö kerrottuna 6:lla vähennettiin kolmannesta.

(3) Toinen ja kolmas yhtälö osuivat yhteen. Jätämme yhden niistä pois järjestelmästä (tai toisin sanoen, jos vähennämme toisen kolmannesta yhtälöstä, niin kolmas yhtälö muuttuu identiteetiksi 0 = 0; se jätetään pois järjestelmästä. Oletetaan z = a .

(4) Korvaava z = a toiseen ja ensimmäiseen yhtälöön.

(5) Korvaaminen y = 12 - 12a ensimmäiseen yhtälöön, löydämme x .

c) Jos ensimmäinen yhtälö jaetaan 4:llä ja kolmas ¾ 6:lla, niin saadaan vastaava järjestelmä

joka vastaa yhtälöä x - 2y - z = -3. Tämän yhtälön ratkaisut tunnetaan (katso esimerkki 2.2.3 b))

Tuloksena olevan järjestelmän viimeinen yhtäläisyys on ristiriitainen. Siksi järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

Muunnokset (1) ja (2) ¾ ovat täsmälleen samat kuin järjestelmän b)) vastaavat muunnokset.

(3) Vähennä toinen viimeisestä yhtälöstä.

Vastaus: a) (-2; 0; 1);

b) (21-23 a ; 12 - 12a ; a ), a Î R;

c) ((-3 + 2 a + b ; a ; b )|a , b Î R};

d) Järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

2.3.5. Edellisistä esimerkeistä seuraa, että järjestelmä, jossa on kolme tuntematonta, kuin järjestelmä, jossa on kaksi tuntematonta, voi olla vain yksi ratkaisu, ääretön määrä ratkaisuja ja ei ole yhtä ratkaisua. Alla analysoimme kaikki mahdolliset tapaukset. Mutta ensin esittelemme joitain merkintöjä.

Olkoon D systeemimatriisin determinantti:

Olkoon D 1 determinantti, joka saadaan D:stä korvaamalla ensimmäinen sarake vapaiden termien sarakkeella:

Samoin laitetaan

D2 = ja D3 = .

2.3.6. Lause. Jos D¹0, sitten järjestelmä(2.3.4)on ainutlaatuinen ratkaisu

, , . (2.3.5)

Kaavoja (2.3.5) kutsutaan kaavat = = 0 kaikille i ¹ j ja ainakin yksi determinanteista , , ei ole yhtä kuin nolla, silloin järjestelmällä ei ole ratkaisuja.

4) Jos = = = = = = 0 kaikille i ¹ j , silloin järjestelmällä on ääretön määrä ratkaisuja, kahdesta parametrista riippuen.

KÄYTÄNNÖN Oppitunti nro 7

3 LINEAARISEN YHTÄLÖN JÄRJESTELMÄN RATKAISU

KOLME MUUTTUJALLA

Kohde:

Kehitä kykyä muuntaa matriiseja;

Kehitä järjestelmäratkaisutaitoja3 lineaarista yhtälöä kolmessa muuttujassa Cramerin menetelmällä;

Vahvistaa tietoa 2. ja 3. kertaluvun determinanttien ominaisuuksista;

Materiaali- ja tekninen tuki: ohjeet työn suorittamiseksi;

Toimitusaika: 2 akateemista tuntia;

Oppitunnin edistyminen:

Opiskele lyhyttä teoreettista tietoa;

Täydelliset tehtävät;

Tee johtopäätös työstä;

Valmistele työsi puolustus koekysymyksissä.

Lyhyt teoreettinen tieto:

Matriisi on neliön tai suorakaiteen muotoinen pöytä, täynnä numeroita. Näitä lukuja kutsutaan matriisielementeiksi.

Matriisielementit, vaakasuoraan sijoitettu, muodostavat matriisin rivit. Matriisielementit, pystysuoraan järjestetty, muodostavat matriisisarakkeet.

Rivit on numeroitu vasemmalta oikealle, alkaen numerosta1, sarakkeet on numeroitu ylhäältä alas, alkaen numerosta1.

MatriisiA , joilla onm linjat jan sarakkeita, kutsutaan matriisiksikokom päällän ja on nimettyA m∙n . Elementtia i j matriisejaA = { a ij } seisoo risteyksessäi - oh linjoja jaj- sarake.

Neliömatriisin päädiagonaali on diagonaali, joka johtaa matriisin vasemmasta yläkulmasta oikeaan alakulmaan.Neliömatriisin sivudiagonaali on diagonaali, joka johtaa matriisin vasemmasta alakulmasta oikeaan yläkulmaan.

Kahden matriisin katsotaan olevan yhtä suuri, jos niillä on sama ulottuvuus ja niitä vastaavat alkiot ovat yhtä suuret.

Jokainen matriisi voidaan kertoa millä tahansa luvulla ja josk – numero siisk ∙ A ={ k ∙ a ij }.

Samankokoiset matriisitA m∙n JaB m∙n voidaan taittaa, jaA m∙n + B m∙n = { a ij + b i j }.

Matriisilisäysoperaatiolla on ominaisuuksiaA + B = B + A , A +( B + C ) = ( A + B ) + C .

Esimerkki 1. Kun olet suorittanut operaatioita matriiseille, etsi matriisi C= 2A - B, missä, .

Ratkaisu.

Lasketaan mittasuhteen 3x3 matriisi 2A:

Lasketaan matriisi C = 2A - Mitassa 3x3:

C = 2 A - B .

Kolmannen kertaluvun matriisin determinantti on yhtälön määrittelemä luku:

.

Tämä luku edustaa kuudesta termistä koostuvaa algebrallista summaa. Jokainen termi sisältää täsmälleen yhden elementin jokaiselta matriisin riviltä ja jokaisesta sarakkeesta. Jokainen termi koostuu kolmen tekijän tulosta.

Kuva 1.1. Kuva 1.2.

Ne merkit, joilla determinantin termit sisällytetään kolmannen kertaluvun determinantin löytämiskaavaan, voidaan määrittää käyttämällä annettua kaaviota, jota kutsutaan kolmioiden säännöksi tai Sarrusin säännöksi. Kolme ensimmäistä termiä otetaan plusmerkillä ja määritetään kuvasta (1.1.), ja seuraavat kolme termiä otetaan miinusmerkillä ja määritetään kuvasta (1.2).

Esimerkki 2. Laske kolmannen asteen determinantti Sarrusin säännön avulla:

Ratkaisu:

Esimerkki 3. Laske kolmannen kertaluvun determinantti ensimmäisen rivin elementtien laajennusmenetelmällä:

Ratkaisu:

Käytämme kaavaa:

3 -2 +2 = 3(-5 + 16) – 2(1+32) + 2(2 +20) = 33 – 66 + 44 = 11.

Tarkastellaan determinanttien pääominaisuuksia:

Determinantti, jossa on nolla rivi (sarake), on yhtä suuri kuin nolla.

Jos kerrot minkä tahansa matriisin rivin (mikä tahansa sarakkeen) millä tahansa luvulla, matriisin determinantti kerrotaan tällä luvulla.

Determinantti ei muutu, kun matriisi transponoidaan.

Determinantti vaihtaa etumerkkiä, kun mitkä tahansa kaksi matriisin riviä (saraketta) järjestetään uudelleen.

Matriisin, jossa on kaksi identtistä riviä (saraketta), determinantti on nolla.

Determinantti ei muutu, jos jollekin riville lisätään jokin muu rivi kerrottuna millä tahansa luvulla. Samanlainen väite pätee sarakkeisiin.

Matriisien ja determinanttien ominaisuuksia käytetään laajalti ratkaistaessa kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmää, jossa on kolme tuntematonta:

,

missä x 1 , X 2 , X 3 ovat muuttujia ja 11 , A 12 ,…, A 33 - numeeriset kertoimet. On muistettava, että järjestelmää ratkaistaessa yksi kolmesta mahdollisesta vastauksesta on mahdollinen:

1) järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu – (x 1 ; X 2 ; X 3 );

2) järjestelmässä on äärettömän monta ratkaisua (määrittämätön);

3) järjestelmässä ei ole ratkaisuja (epäjohdonmukainen).

Harkitse kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmän ratkaisemista kolmella tuntemattomallaCramerin menetelmä, jokaantaa sinun löytääainoa ratkaisu järjestelmään, joka perustuu kykyyn laskea kolmannen asteen determinantteja:

Esimerkki 3. Etsi ratkaisu kolmen lineaarisen yhtälön järjestelmälle, jossa on kolme tuntematonta, käyttämällä Cramerin kaavoja:

Ratkaisu. Etsi kolmannen asteen determinantit käyttämälläSarrusin sääntö tai laajennus ensimmäisen rivin elementeillä:

Löydämme ratkaisun järjestelmään käyttämällä kaavoja:

Vastaus: (-152; 270; -254)

Tehtävät itsenäiseen suoritukseen:

minä. Etsi muunnosmatriisi.

II. Laske determinanttiIIITilaus.

III. Ratkaise järjestelmä Cramerin menetelmällä.

Vaihtoehto 1.

1. C = A +3 B , Jos, . 2..

Vaihtoehto 2.

1. C =2 A - B ,Jos,. 2..

Vaihtoehto 3.

1. C = 3 A + B , Jos, . 2. .

Vaihtoehto 4.

1. C = A - 4 B , Jos, . 2..

Vaihtoehto 5.

1. C = 4 A - B , Jos,. 2..

Vaihtoehto 6.

1. C = A +2 B , Jos, . 2..

Vaihtoehto 7.

1. C =2 A + B , Jos, . 2..

Vaihtoehto 8.

1. C =3 A - B , Jos, . 2..

Vaihtoehto 9.

1. C = A - 3 B , Jos, . 2..

Vaihtoehto 10.

1. C = A - 2 B , Jos, . 2..

Vaihtoehto 11.

1. C = A +4 B , Jos, . 2..

Vaihtoehto 12.

1. C =4 A + B , Jos, . 2..

Vaihtoehto 13.

1. C = A +3 B , Jos, . 2..

Vaihtoehto 14.

1. C =2 A - B , Jos, . 2..

Vaihtoehto 15.

1. C =3 A + B , Jos, . 2..

Itsehillintäkysymyksiä:

Mikä on matriisi?

Kolmannen asteen determinanttien laskentasäännöt?

Kirjoita Cramerin kaavat kolmen muuttujan lineaarisen yhtälön järjestelmän ratkaisemiseksi.

Yhtälöjärjestelmiä käytetään laajalti talouden alalla eri prosessien matemaattiseen mallintamiseen. Esimerkiksi tuotannon hallinnan ja suunnittelun, logistiikkareittien (kuljetusongelma) tai laitteiden sijoittamisen ongelmia ratkaistaessa.

Yhtälöjärjestelmiä käytetään paitsi matematiikassa, myös fysiikassa, kemiassa ja biologiassa populaation koon selvittämiseen liittyviä ongelmia ratkaistaessa.

Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on kaksi tai useampi yhtälö, jossa on useita muuttujia, joille on tarpeen löytää yhteinen ratkaisu. Sellainen lukujono, jonka kaikista yhtälöistä tulee todellisia yhtäläisyyksiä tai todistetaan, että sarjaa ei ole olemassa.

Lineaarinen yhtälö

Yhtälöitä, joiden muoto on ax+by=c, kutsutaan lineaariseksi. Nimet x, y ovat tuntemattomia, joiden arvo on löydettävä, b, a ovat muuttujien kertoimet, c on yhtälön vapaa termi.
Yhtälön ratkaiseminen piirtämällä se näyttää suoralta, jonka kaikki pisteet ovat polynomin ratkaisuja.

Lineaaristen yhtälöjärjestelmien tyypit

Yksinkertaisimpia esimerkkejä pidetään lineaaristen yhtälöjärjestelmien kahdella muuttujalla X ja Y.

F1(x, y) = 0 ja F2(x, y) = 0, missä F1,2 ovat funktioita ja (x, y) ovat funktiomuuttujia.

Ratkaise yhtälöjärjestelmä - tämä tarkoittaa sellaisten arvojen (x, y) löytämistä, joissa järjestelmä muuttuu todelliseksi yhtälöksi, tai sen toteamista, että sopivia x:n ja y:n arvoja ei ole olemassa.

Arvoparia (x, y), joka on kirjoitettu pisteen koordinaatteiksi, kutsutaan lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaisuksi.

Jos järjestelmillä on yksi yhteinen ratkaisu tai ratkaisua ei ole olemassa, niitä kutsutaan vastaaviksi.

Homogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät ovat järjestelmiä, joiden oikea puoli on nolla. Jos yhtäläisyysmerkin jälkeisellä oikealla osalla on arvo tai se ilmaistaan ​​funktiolla, tällainen järjestelmä on heterogeeninen.

Muuttujien lukumäärä voi olla paljon enemmän kuin kaksi, niin meidän pitäisi puhua esimerkistä lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä, jossa on kolme tai useampia muuttujia.

Systeemejä kohtaaessaan koululaiset olettavat, että yhtälöiden lukumäärän on välttämättä oltava sama kuin tuntemattomien lukumäärä, mutta näin ei ole. Yhtälöiden määrä järjestelmässä ei riipu muuttujista, niitä voi olla niin monta kuin haluaa.

Yksinkertaisia ​​ja monimutkaisia ​​menetelmiä yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseen

Tällaisten järjestelmien ratkaisemiseen ei ole olemassa yleistä analyyttistä menetelmää, vaan kaikki menetelmät perustuvat numeerisiin ratkaisuihin. Koulun matematiikan kurssilla kuvataan yksityiskohtaisesti sellaisia ​​menetelmiä kuin permutaatio, algebrallinen yhteenlasku, substituutio sekä graafiset ja matriisimenetelmät, ratkaisu Gaussin menetelmällä.

Ratkaisumenetelmiä opetettaessa päätehtävänä on opettaa analysoimaan järjestelmää oikein ja löytämään kullekin esimerkille optimaalinen ratkaisualgoritmi. Tärkeintä ei ole muistaa kunkin menetelmän sääntö- ja toimintajärjestelmää, vaan ymmärtää tietyn menetelmän käytön periaatteet

Esimerkkejä lineaariyhtälöjärjestelmistä 7. luokan yleissivistävässä opetussuunnitelmassa on melko yksinkertaista ja se on selitetty hyvin yksityiskohtaisesti. Kaikissa matematiikan oppikirjoissa tähän osaan kiinnitetään riittävästi huomiota. Lineaaristen yhtälöjärjestelmien esimerkkien ratkaisemista Gaussin ja Cramerin menetelmällä tutkitaan tarkemmin korkeakoulun ensimmäisinä vuosina.

Järjestelmien ratkaiseminen korvausmenetelmällä

Korvausmenetelmän toiminnot tähtäävät yhden muuttujan arvon ilmaisemiseen toisena. Lauseke korvataan jäljellä olevalla yhtälöllä, jonka jälkeen se pelkistetään muotoon, jossa on yksi muuttuja. Toiminto toistetaan riippuen järjestelmän tuntemattomien määrästä

Annetaan ratkaisu esimerkille luokan 7 lineaarisen yhtälön järjestelmästä substituutiomenetelmällä:

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, muuttuja x ilmaistiin kaavalla F(X) = 7 + Y. Tuloksena oleva lauseke, joka korvattiin järjestelmän 2. yhtälöllä X:n tilalla, auttoi saamaan yhden muuttujan Y 2. yhtälöön . Tämän esimerkin ratkaiseminen on helppoa ja sen avulla voit saada Y-arvon.Viimeinen vaihe on tarkistaa saadut arvot.

Aina ei ole mahdollista ratkaista esimerkkiä lineaarisesta yhtälöjärjestelmästä korvaamalla. Yhtälöt voivat olla monimutkaisia ​​ja muuttujan ilmaiseminen toisella tuntemattomalla on liian vaivalloista lisälaskelmille. Kun järjestelmässä on enemmän kuin 3 tuntematonta, myös korvaaminen ei ole tarkoituksenmukaista.

Lineaarisen epähomogeenisen yhtälöjärjestelmän esimerkin ratkaisu:

Ratkaisu käyttämällä algebrallista summaa

Kun haetaan ratkaisuja järjestelmiin summausmenetelmällä, yhtälöt lisätään termi kerrallaan ja kerrotaan eri luvuilla. Matemaattisten operaatioiden perimmäinen tavoite on yhtälö yhdessä muuttujassa.

Tämän menetelmän soveltaminen vaatii harjoittelua ja tarkkailua. Lineaarisen yhtälöjärjestelmän ratkaiseminen summausmenetelmällä, kun muuttujia on 3 tai enemmän, ei ole helppoa. Algebrallinen yhteenlasku on kätevä käyttää, kun yhtälöt sisältävät murto- ja desimaalilukuja.

Ratkaisualgoritmi:

1. Kerro yhtälön molemmat puolet tietyllä luvulla. Aritmeettisen operaation tuloksena muuttujan yhdestä kertoimesta tulisi tulla yhtä suuri kuin 1.
2. Lisää tuloksena oleva lauseke termi kerrallaan ja etsi yksi tuntemattomista.
3. Korvaa tuloksena oleva arvo järjestelmän 2. yhtälöön löytääksesi jäljellä olevan muuttujan.

Ratkaisumenetelmä ottamalla käyttöön uusi muuttuja

Uusi muuttuja voidaan ottaa käyttöön, jos järjestelmä vaatii ratkaisun löytämistä enintään kahdelle yhtälölle, myös tuntemattomien lukumäärä saa olla enintään kaksi.

Menetelmää käytetään yksinkertaistamaan yhtä yhtälöistä ottamalla käyttöön uusi muuttuja. Uusi yhtälö ratkaistaan ​​käyttöönotetun tuntemattoman suhteen ja tuloksena olevaa arvoa käytetään alkuperäisen muuttujan määrittämiseen.

Esimerkki osoittaa, että ottamalla käyttöön uusi muuttuja t oli mahdollista pelkistää järjestelmän 1. yhtälö vakioneliötrinomiksi. Voit ratkaista polynomin etsimällä diskriminantin.

Diskriminantin arvo on löydettävä hyvin tunnetulla kaavalla: D = b2 - 4*a*c, missä D on haluttu diskriminantti, b, a, c ovat polynomin tekijät. Annetussa esimerkissä a=1, b=16, c=39, joten D=100. Jos diskriminantti on suurempi kuin nolla, on olemassa kaksi ratkaisua: t = -b±√D / 2*a, jos diskriminantti on pienempi kuin nolla, niin on yksi ratkaisu: x = -b / 2*a.

Ratkaisu syntyneille järjestelmille löydetään summausmenetelmällä.

Visuaalinen menetelmä järjestelmien ratkaisemiseen

Sopii 3 yhtälöjärjestelmään. Menetelmä koostuu kunkin järjestelmään sisältyvän yhtälön kuvaajien muodostamisesta koordinaattiakselille. Käyrien leikkauspisteiden koordinaatit ovat järjestelmän yleinen ratkaisu.

Graafisessa menetelmässä on useita vivahteita. Katsotaanpa useita esimerkkejä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta visuaalisella tavalla.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, jokaiselle riville rakennettiin kaksi pistettä, muuttujan x arvot valittiin mielivaltaisesti: 0 ja 3. X:n arvojen perusteella löydettiin y:n arvot: 3 ja 0. Pisteet koordinaatilla (0, 3) ja (3, 0) merkittiin kuvaajaan ja yhdistettiin viivalla.

Vaiheet on toistettava toiselle yhtälölle. Viivojen leikkauspiste on järjestelmän ratkaisu.

Seuraava esimerkki edellyttää graafisen ratkaisun löytämistä lineaariselle yhtälöjärjestelmälle: 0.5x-y+2=0 ja 0.5x-y-1=0.

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, järjestelmällä ei ole ratkaisua, koska kuvaajat ovat yhdensuuntaisia ​​eivätkä leikkaa koko pituudeltaan.

Esimerkkien 2 ja 3 järjestelmät ovat samankaltaisia, mutta rakennettaessa käy ilmi, että niiden ratkaisut ovat erilaisia. On syytä muistaa, että aina ei voida sanoa, onko järjestelmällä ratkaisu vai ei, vaan aina on tarpeen rakentaa graafi.

Matriisi ja sen lajikkeet

Matriiseja käytetään lineaarisen yhtälöjärjestelmän ytimekkääseen kirjoittamiseen. Matriisi on erityinen numeroilla täytetty taulukko. n*m:ssä on n - riviä ja m - saraketta.

Matriisi on neliö, kun sarakkeiden ja rivien määrä on yhtä suuri. Matriisivektori on yhden sarakkeen matriisi, jossa on äärettömän mahdollinen rivimäärä. Matriisia, jossa on ykköset jollakin diagonaalilla ja muita nollaelementtejä, kutsutaan identiteetiksi.

Käänteismatriisi on matriisi kerrottuna, jolla alkuperäinen muuttuu yksikkömatriisiksi; tällainen matriisi on olemassa vain alkuperäiselle neliömatriisille.

Säännöt yhtälöjärjestelmän muuttamiseksi matriisiksi

Yhtälöjärjestelmien suhteen yhtälöiden kertoimet ja vapaat termit kirjoitetaan matriisiluvuiksi, yksi yhtälö on yksi matriisin rivi.

Matriisirivin sanotaan olevan nollasta poikkeava, jos vähintään yksi rivin alkio ei ole nolla. Siksi, jos jossakin yhtälössä muuttujien lukumäärä vaihtelee, puuttuvan tuntemattoman tilalle on syötettävä nolla.

Matriisin sarakkeiden on vastattava tarkasti muuttujia. Tämä tarkoittaa, että muuttujan x kertoimet voidaan kirjoittaa vain yhteen sarakkeeseen, esimerkiksi ensimmäinen, tuntemattoman y:n kerroin - vain toiseen.

Kun matriisia kerrotaan, kaikki matriisin elementit kerrotaan peräkkäin luvulla.

Vaihtoehdot käänteismatriisin löytämiseksi

Käänteimatriisin löytämisen kaava on melko yksinkertainen: K -1 = 1 / |K|, missä K -1 on käänteimatriisi ja |K| on matriisin determinantti. |K| ei saa olla nolla, niin järjestelmällä on ratkaisu.

Determinantti on helppo laskea kaksi kertaa kaksi matriisille; sinun tarvitsee vain kertoa diagonaaliset elementit keskenään. "Kolme kertaa kolme" -vaihtoehdolle on kaava |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + a 3 b 2 c 1 . Voit käyttää kaavaa tai muistaa, että jokaisesta rivistä ja jokaisesta sarakkeesta on otettava yksi elementti, jotta sarakkeiden ja elementtirivien numerot eivät toistu työssä.

Esimerkkejä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemisesta matriisimenetelmällä

Ratkaisun matriisimenetelmän avulla voit vähentää hankalia syötteitä, kun ratkaistaan ​​järjestelmiä, joissa on suuri määrä muuttujia ja yhtälöitä.

Esimerkissä a nm ovat yhtälöiden kertoimet, matriisi on vektori x n ovat muuttujia ja b n ovat vapaita termejä.

Systeemien ratkaiseminen Gaussin menetelmällä

Korkeammassa matematiikassa Gaussin menetelmää tutkitaan yhdessä Cramer-menetelmän kanssa ja ratkaisujen etsimisprosessia järjestelmiin kutsutaan Gauss-Cramer-ratkaisumenetelmäksi. Näitä menetelmiä käytetään sellaisten järjestelmien muuttujien etsimiseen, joissa on suuri määrä lineaarisia yhtälöitä.

Gaussin menetelmä on hyvin samanlainen kuin substituutio- ja algebrallinen summausratkaisut, mutta on systemaattisempi. Koulukurssilla käytetään Gaussin menetelmän ratkaisua 3 ja 4 yhtälöjärjestelmille. Menetelmän tarkoituksena on pelkistää järjestelmä käänteisen puolisuunnikkaan muotoon. Algebrallisten muunnosten ja substituutioiden avulla löydetään yhden muuttujan arvo jostakin järjestelmän yhtälöistä. Toinen yhtälö on lauseke, jossa on 2 tuntematonta, kun taas 3 ja 4 ovat vastaavasti 3 ja 4 muuttujaa.

Kun järjestelmä on saatettu kuvattuun muotoon, jatkoratkaisu pelkistetään tunnettujen muuttujien peräkkäiseen korvaamiseen järjestelmän yhtälöihin.

Luokan 7 koulukirjoissa esimerkki Gaussin menetelmän ratkaisusta on kuvattu seuraavasti:

Kuten esimerkistä voidaan nähdä, vaiheessa (3) saatiin kaksi yhtälöä: 3x3 -2x4 =11 ja 3x3 +2x4 =7. Ratkaisemalla minkä tahansa yhtälön voit selvittää yhden muuttujista x n.

Lause 5, joka tekstissä mainitaan, sanoo, että jos jokin järjestelmän yhtälöistä korvataan vastaavalla, niin tuloksena oleva järjestelmä on myös ekvivalentti alkuperäisen kanssa.

Lukiolaisten on vaikea ymmärtää Gaussin menetelmää, mutta se on yksi mielenkiintoisimmista tavoista kehittää matematiikan ja fysiikan luokissa edistyneisiin oppimisohjelmiin ilmoittautuneiden lasten kekseliäisyyttä.

Tallennuksen helpottamiseksi laskelmat tehdään yleensä seuraavasti:

Yhtälöiden ja vapaiden termien kertoimet kirjoitetaan matriisin muotoon, jossa jokainen matriisin rivi vastaa yhtä järjestelmän yhtälöistä. erottaa yhtälön vasemman puolen oikeasta. Roomalaiset numerot osoittavat yhtälöiden numerot järjestelmässä.

Kirjoita ensin muistiin työstettävä matriisi ja sitten kaikki yhdellä rivillä suoritetut toimet. Tuloksena oleva matriisi kirjoitetaan "nuoli"-merkin jälkeen ja tarvittavia algebrallisia operaatioita jatketaan, kunnes tulos saavutetaan.

Tuloksena tulisi olla matriisi, jossa yksi diagonaaleista on yhtä suuri kuin 1 ja kaikki muut kertoimet ovat nolla, eli matriisi pelkistetään yksikkömuotoon. Emme saa unohtaa suorittaa laskutoimituksia numeroilla yhtälön molemmilla puolilla.

Tämä tallennusmenetelmä on vähemmän hankala ja sallii lukuisten tuntemattomien luetteloimisen välttää häiritsevän huomion.

Minkä tahansa ratkaisutavan ilmainen käyttö vaatii huolellisuutta ja kokemusta. Kaikki menetelmät eivät ole luonteeltaan sovellettavia. Jotkut ratkaisujen löytämismenetelmät ovat parempia tietyllä ihmisen toiminnan alueella, kun taas toiset ovat olemassa koulutustarkoituksiin.