Toisen asteen pinnoilla opiskelija tapaa useimmiten ensimmäisenä vuonna. Aluksi tämän aiheen tehtävät voivat tuntua yksinkertaisilta, mutta korkeampaa matematiikkaa opiskellessa ja tieteelliseen puoleen syventyessä voit vihdoin lopettaa suuntautumisen siihen, mitä tapahtuu. Jotta näin ei tapahdu, on paitsi muistettava, myös ymmärrettävä, kuinka tämä tai tuo pinta saadaan, kuinka kertoimien muuttaminen vaikuttaa siihen ja sen sijaintiin suhteessa alkuperäiseen koordinaattijärjestelmään ja kuinka löytää uusi järjestelmä. (jossa sen keskipiste on sama kuin origokoordinaatit, mutta yhdensuuntainen yhden koordinaattiakselin kanssa). Aloitetaan aivan alusta.

Määritelmä

Toisen asteen pinta on GMT, jonka koordinaatit täyttävät seuraavan muodon yleisen yhtälön:

On selvää, että jokaisella pintaan kuuluvalla pisteellä täytyy olla kolme koordinaattia jollain määrätyllä pohjalla. Vaikka joissain tapauksissa pisteiden lokus voi degeneroitua esimerkiksi tasoksi. Se tarkoittaa vain, että yksi koordinaateista on vakio ja on nolla koko sallittujen arvojen alueella.

Yllä mainitun tasa-arvon täysi maalattu muoto näyttää tältä:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 + 2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 = 0.

A nm - joitain vakioita, x, y, z - muuttujia, jotka vastaavat jonkin pisteen affiineja. Tässä tapauksessa ainakaan yksi vakiotekijöistä ei saa olla nolla, eli mikään piste ei vastaa yhtälöä.

Suurimmassa osassa esimerkeistä monet numeeriset tekijät ovat edelleen identtisiä nollan kanssa, ja yhtälö on suuresti yksinkertaistettu. Käytännössä pisteen pintaan kuuluvuuden määrittäminen ei ole vaikeaa (riittää korvata sen koordinaatit yhtälöön ja tarkistaa, onko identtisyys havaittu). Keskeinen kohta tällaisessa työssä on jälkimmäisen pelkistäminen kanoniseen muotoon.

Yllä kirjoitettu yhtälö määrittelee minkä tahansa (kaikki alla luetellut) toisen asteen pinnat. Käsittelemme esimerkkejä alla.

Pintatyypit 2. luokkaa

Toisen kertaluvun pintojen yhtälöt eroavat vain kertoimien A nm arvoista. Yleisesti katsottuna tietyille vakioarvoille voidaan saada erilaisia ​​pintoja, jotka luokitellaan seuraavasti:

1. Sylinterit.
2. Elliptinen tyyppi.
3. hyperbolinen tyyppi.
4. Kartiomainen tyyppi.
5. parabolinen tyyppi.
6. Lentokoneet.

Jokaisella luetelluista tyypeistä on luonnollinen ja kuvitteellinen muoto: imaginaarimuodossa todellisten pisteiden lokus joko rappeutuu yksinkertaisemmiksi hahmoiksi tai puuttuu kokonaan.

sylinterit

Tämä on yksinkertaisin tyyppi, koska suhteellisen monimutkainen käyrä sijaitsee vain pohjassa ja toimii oppaana. Generaattorit ovat suoria viivoja, jotka ovat kohtisuorassa siihen tasoon nähden, jossa kanta sijaitsee.

Kaavio näyttää pyöreän sylinterin, elliptisen sylinterin erikoistapauksen. XY-tasossa sen projektio on ellipsi (tapauksessamme ympyrä) - ohjain ja XZ - suorakulmio - koska generaattorit ovat yhdensuuntaisia ​​Z-akselin kanssa. Saadaksesi se yleisestä yhtälöstä, tarvitset antaa kertoimille seuraavat arvot:

Tavallisten nimitysten sijasta käytetään sarjanumerolla varustettuja x, y, z, x -merkkejä - sillä ei ole väliä.

Itse asiassa 1/a 2 ja muut tässä esitetyt vakiot ovat samoja kertoimia, jotka on ilmoitettu yleisessä yhtälössä, mutta on tapana kirjoittaa ne tässä muodossa - tämä on kanoninen esitys. Seuraavassa käytetään vain tällaista merkintää.

Näin määritellään hyperbolinen sylinteri. Kaava on sama - hyperboli on opas.

Parabolinen sylinteri määritellään hieman eri tavalla: sen kanoninen muoto sisältää kertoimen p, jota kutsutaan parametriksi. Itse asiassa kerroin on yhtä kuin q=2p, mutta se on tapana jakaa kahteen esitettyyn tekijään.

On olemassa toisen tyyppinen sylinteri: kuvitteellinen. Mikään todellinen piste ei kuulu sellaiseen sylinteriin. Sitä kuvataan elliptisen sylinterin yhtälöllä, mutta yksikön sijaan se on -1.

Elliptinen tyyppi

Ellipsoidi voidaan venyttää pitkin yhtä akseleista (jonka pitkin se riippuu yllämainittujen vakioiden a, b, c arvoista; on selvää, että suurempi kerroin vastaa suurempaa akselia).

On myös kuvitteellinen ellipsoidi - edellyttäen, että koordinaattien summa kerrottuna kertoimilla on -1:

Hyperboloidit

Kun johonkin vakiosta ilmestyy miinus, ellipsoidiyhtälö muuttuu yksiarkin hyperboloidin yhtälöksi. On ymmärrettävä, että tämän miinuksen ei tarvitse sijaita x 3 -koordinaatin edessä! Se määrittää vain, mikä akseleista on hyperboloidin pyörimisakseli (tai sen suuntainen, koska kun neliöön ilmestyy lisätermejä (esim. (x-2) 2), kuvion keskipiste siirtyy, kuten seurauksena pinta liikkuu yhdensuuntaisesti koordinaattiakselien kanssa). Tämä koskee kaikkia toisen asteen pintoja.

Lisäksi on ymmärrettävä, että yhtälöt esitetään kanonisessa muodossa ja niitä voidaan muuttaa vakioita muuttamalla (merkki säilyy!); kun taas niiden muoto (hyperboloidi, kartio ja niin edelleen) pysyy samana.

Sellaisen yhtälön antaa jo kaksiarkkinen hyperboloidi.

kartiomainen pinta

Kartioyhtälössä ei ole yksikköä - yhtälö nollaan.

Vain rajattua kartiomaista pintaa kutsutaan kartioksi. Alla olevasta kuvasta näkyy, että kaaviossa on itse asiassa kaksi ns. kartiota.

Tärkeä huomautus: kaikissa katsotuissa kanonisissa yhtälöissä vakioiden oletetaan olevan oletusarvoisesti positiivisia. Muuten merkki voi vaikuttaa lopulliseen kaavioon.

Koordinaattitasoista tulee kartion symmetriatasoja, symmetriakeskipiste sijaitsee origossa.

Kuvitteellisessa kartioyhtälössä on vain plussia; sillä on yksi todellinen pointti.

Paraboloidit

Toisen asteen pinnat avaruudessa voivat saada erilaisia ​​muotoja jopa samanlaisilla yhtälöillä. Esimerkiksi paraboloideja on kahdenlaisia.

x 2 / a 2 + y 2 / b 2 \u003d 2z

Elliptinen paraboloidi, kun Z-akseli on kohtisuorassa piirustukseen nähden, projisoidaan ellipsiksi.

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 2z

Hyperbolinen paraboloidi: Leikkaukset, joiden tasot ovat yhdensuuntaisia ​​ZY:n kanssa, tuottavat paraabeleja ja osat, joiden tasot ovat yhdensuuntaiset XY:n kanssa, tuottavat hyperboleja.

Leikkaavat tasot

On tapauksia, joissa 2. kertaluvun pinnat rappeutuvat tasoksi. Nämä lentokoneet voidaan järjestää eri tavoin.

Harkitse ensin leikkaavia tasoja:

x 2 / a 2 -y 2 / b 2 \u003d 0

Tämä kanonisen yhtälön muunnos johtaa vain kahteen leikkaavaan tasoon (kuvitteellinen!); kaikki todelliset pisteet ovat sen koordinaatin akselilla, joka ei ole yhtälössä (kanonisessa - Z-akseli).

Yhdensuuntaiset tasot

Vain yhden koordinaatin läsnä ollessa 2. asteen pinnat rappeutuvat rinnakkaisten tasojen pariksi. Muista, että mikä tahansa muu muuttuja voi korvata Y:n; silloin saadaan tasoja, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​muiden akseleiden kanssa.

Tässä tapauksessa niistä tulee kuvitteellisia.

Sattumalentokoneet

Tällaisella yksinkertaisella yhtälöllä tasopari rappeutuu yhdeksi - ne ovat samat.

Älä unohda, että kolmiulotteisen kannan tapauksessa yllä oleva yhtälö ei määrittele suoraa y=0! Sillä ei ole kahta muuta muuttujaa, mutta se tarkoittaa vain, että niiden arvo on vakio ja yhtä suuri kuin nolla.

Rakennus

Yksi opiskelijan vaikeimmista tehtävistä on toisen asteen pintojen rakentaminen. On vielä vaikeampaa siirtyä koordinaattijärjestelmästä toiseen, kun otetaan huomioon käyrän kulmat akseleihin nähden ja keskipisteen siirtymä. Toistetaan kuinka määrittää piirustuksen tuleva näkymä peräkkäin analyyttisesti.

Toisen tilauksen pinnan rakentamiseen tarvitset:

• tuo yhtälö kanoniseen muotoon;
• määrittää tutkittavan pinnan tyyppi;
• rakentaa kertoimien arvojen perusteella.

Kaikki harkitut tyypit on lueteltu alla:

Vahvistaaksemme kuvaamme yksityiskohtaisesti yhden esimerkin tämäntyyppisestä tehtävästä.

Esimerkkejä

Oletetaan, että meillä on yhtälö:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Viedään se kanoniseen muotoon. Erottelemme täydet neliöt, eli järjestämme käytettävissä olevat termit siten, että ne ovat summan tai erotuksen neliön laajennus. Esimerkki: jos (a+1) 2 =a 2 +2a+1, niin a 2 +2a+1=(a+1) 2 . Suoritamme toisen leikkauksen. Tässä tapauksessa sulkuja ei tarvitse avata, koska tämä vain vaikeuttaa laskelmia, mutta on tarpeen ottaa pois yhteinen kerroin 6 (suluissa Y:n täysneliöllä):

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Muuttuja z esiintyy tässä tapauksessa vain kerran - se voidaan jättää toistaiseksi koskematta.

Analysoimme yhtälön tässä vaiheessa: kaikkia tuntemattomia edeltää plusmerkki; kun jaetaan kuudella, jäljelle jää yksi. Siksi meillä on yhtälö, joka määrittelee ellipsoidin.

Huomaa, että 144 on laskettu 150-6:ksi, minkä jälkeen -6 on siirretty oikealle. Miksi se piti tehdä näin? On selvää, että tämän esimerkin suurin jakaja on 6, joten jotta yksikkö pysyisi oikealla sen jakamisen jälkeen, on tarpeen "lykätä" täsmälleen 6 luvusta 144 (vapaan jäsenen läsnäolo, vakio, jota ei kerrota tuntemattomalla).

Jaa kaikki kuudella ja hanki ellipsoidin kanoninen yhtälö:

(x-1)2/2+(y+5)2/1+z2/3=1

Aiemmin käytetyssä 2. kertaluvun pintojen luokittelussa otetaan huomioon erityinen tapaus, kun kuvion keskipiste on origossa. Tässä esimerkissä se on offset.

Oletetaan, että jokainen hakasulku, jossa on tuntemattomia, on uusi muuttuja. Eli: a=x-1, b=y+5, c=z. Uusissa koordinaateissa ellipsoidin keskipiste osuu yhteen pisteen (0,0,0) kanssa, joten a=b=c=0, mistä: x=1, y=-5, z=0. Alkukoordinaateissa kuvan keskipiste on pisteessä (1,-5,0).

Ellipsoidi saadaan kahdesta ellipsistä: ensimmäinen XY-tasossa ja toinen XZ-tasossa (tai YZ - sillä ei ole väliä). Kertoimet, joilla muuttujat jaetaan, neliötetään kanonisessa yhtälössä. Siksi yllä olevassa esimerkissä olisi oikeampaa jakaa kahden, yhden ja kolmen juurella.

Ensimmäisen ellipsin sivuakseli, joka on yhdensuuntainen Y-akselin kanssa, on kaksi. X-akselin suuntainen pääakseli on kahdesta kaksi juuria. Toisen ellipsin sivuakseli, joka on yhdensuuntainen Y-akselin kanssa, pysyy samana - se on yhtä suuri kuin kaksi. Ja pääakseli, joka on yhdensuuntainen Z-akselin kanssa, on yhtä suuri kuin kaksi kolmen juurta.

Alkuperäisestä yhtälöstä kanoniseen muotoon muuntamalla saatujen tietojen avulla voimme piirtää ellipsoidin.

Yhteenvetona

Tämän artikkelin aihe on melko laaja, mutta itse asiassa, kuten nyt näet, ei kovin monimutkainen. Sen kehitys itse asiassa päättyy siihen hetkeen, kun opettelet ulkoa pintojen nimet ja yhtälöt (ja tietysti miltä ne näyttävät). Yllä olevassa esimerkissä tarkastelimme jokaista vaihetta yksityiskohtaisesti, mutta yhtälön tuominen kanoniseen muotoon vaatii vain vähän tietoa korkeammasta matematiikasta, eikä sen pitäisi aiheuttaa vaikeuksia opiskelijalle.

Tulevan aikataulun analysointi nykyisen tasa-arvon mukaan on jo vaikeampi tehtävä. Mutta sen onnistuneen ratkaisun saavuttamiseksi riittää ymmärtää, kuinka vastaavat toisen asteen käyrät rakennetaan - ellipsit, paraabelit ja muut.

Degeneraatiotapaukset on vielä yksinkertaisempi osa. Joidenkin muuttujien puuttumisen vuoksi ei pelkästään laskelmia yksinkertaisteta, kuten aiemmin mainittiin, vaan myös itse rakentaminen.

Heti kun osaat varmasti nimetä kaiken tyyppisiä pintoja, vaihdella vakioita kääntämällä kaavion yhdeksi tai toiseksi kuvioksi, aihe hallitaan.

Menestystä oppimisessa!

Teoreettista perustietoa

Sylinterimäinen pinta tai yksinkertaisesti sylinteri kutsutaan mitä tahansa pintaa, joka voidaan saada siirtämällä suoraa, liikkumalla yhdensuuntaisesti jonkin vektorin kanssa ja koko ajan leikkaamalla tiettyä suoraa, joka on ns. opas. Liikkuvaa linjaa kutsutaan generatrix.

Kapeneva pinta tai yksinkertaisesti kartio kutsutaan pintaa, joka muodostuu tietyn pisteen läpi kulkevan suoran liikkeestä, ns kartiomainen yläosa, ja liikkuu tätä käyrää pitkin. Liikkuvaa linjaa kutsutaan kartion generatrix, ja käyrä, jota pitkin generatrix liukuu, - opas.

Kuvion kierto tietyn suoran (kiertoakselin) ympäri on liikettä, jossa kuvion jokainen piste
kuvaa ympyrää, jonka keskipiste on pyörimisakselilla ja joka on tasossa, joka on kohtisuorassa pyörimisakseliin nähden.

Pintaa, joka muodostuu linjan kiertymisestä akselin ympäri, kutsutaan vallankumouksen pinta.

Toisen kertaluvun pintojen kanoniset yhtälöt

Toisen asteen pinta annetaan suorakaiteen muotoisina koordinaatteina toisen asteen yhtälöllä

(7.1)

Muuttamalla koordinaatit (kääntämällä akseleita ja suuntaamalla) yhtälö (7.1) pelkistetään kanoniseen muotoon. Siinä tapauksessa, että yhtälössä (7.1) ei ole termejä koordinaattien tulolla, tämä yhtälö on kokonaisten neliöiden valinta ,,ja koordinaattiakselien rinnakkaismuunnos pelkistetään kanoniseen muotoon samalla tavalla kuin se tehtiin toisen kertaluvun viivoille (katso toisen kertaluvun suoran yleisen yhtälön tutkimus). Toisen kertaluvun pinnat ja niiden kanoniset yhtälöt on esitetty taulukossa. 3.

Toisen kertaluvun pintojen muotoa ja järjestelyä tutkitaan yleensä rinnakkaisten leikkausmenetelmien avulla. Menetelmän ydin on siinä, että pintaa leikkaavat useat koordinaattitasojen kanssa samansuuntaiset tasot. Saatujen osien muodon ja parametrien avulla on mahdollista määrittää itse pinnan muoto.

Pöytä 3

Hyperboloidi: yksiontelo, kaksikamarinen,
Paraboloidi: elliptinen, hyperbolinen,

elliptinen, hyperbolinen, parabolinen,

Esimerkkejä ongelmanratkaisusta

Ongelma 7.1. Kirjoita yhtälö pallolle, jonka säde on , ja keskipiste on pisteessä
.

Päätös. Pallo on joukko pisteitä, jotka ovat samalla etäisyydellä keskustasta. Siksi merkitsee
mielivaltaiset pistekoordinaatit
sfäärit ja ilmaista niiden kautta tasa-arvoa
, tulee olemaan

Neliöimällä yhtälön molemmat puolet, saamme pallon halutun kanonisen yhtälön:

Jos pallon keskipiste on origossa, niin pallon yhtälöllä on yksinkertaisempi muoto:

.

Vastaus.
.

Ongelma 7.2. Kirjoita yhtälö kartiomaiselle pinnalle, jonka origossa on kärki ja ohjaus

(7.1)

Päätös. Generaattorien kanoniset yhtälöt pisteen läpi
ja kohta
opas, on muoto

(7.2)

Sulje pois ,,yhtälöistä (7.1) ja (7.2). Tätä varten korvaamme yhtälöissä (7.2). päällä ja määritellä ja :

;

Korvaa nämä arvot ja järjestelmän (7.1) ensimmäiseen yhtälöön, meillä on:

tai

Tuloksena oleva yhtälö määrittelee toisen kertaluvun kartion (katso taulukko 3)

Ongelma 7.3.

Päätös. Tämä pinta on hyperbolinen sylinteri, jonka generaattorit ovat yhdensuuntaiset akselin kanssa
Tämä yhtälö ei todellakaan sisällä , ja sylinterin ohjain on hyperbola

symmetrian keskipisteen ollessa pisteessä
ja reaaliakseli, joka on yhdensuuntainen akselin kanssa
.

Ongelma 7.4. Tutki ja rakenna yhtälön antama pinta

Päätös. Leikkaa pinta tason kanssa
. Tämän seurauksena meillä on

missä
. Tämä on paraabelin yhtälö tasossa

Tietyn pinnan leikkaus tason mukaan
siellä on paraabeli

Lentokoneen osa
on pari leikkaavaa viivaa:

Leikkaus tason kanssa yhdensuuntaisilla tasoilla
, on hyperboleja:

klo
hyperbelin todellinen akseli on yhdensuuntainen akselin kanssa
, klo
kirveet
. Tutkittu pinta on hyperbolinen paraboloidi (liittyy muotoon, pintaa kutsutaan "satulaksi").

Kommentti. Mielenkiintoinen hyperbolisen paraboloidin ominaisuus on suorien viivojen läsnäolo kaikkien pisteineen sen pinnalla. Tällaisia ​​linjoja kutsutaan hyperbolisen paraboloidin suoraviivaiset generaattorit. Kaksi suoraviivaista generaattoria kulkee hyperbolisen paraboloidin kunkin pisteen läpi.

Ongelma 7.5. Mikä pinta määrittää yhtälön

Päätös. Tämän yhtälön pelkistämiseksi kanoniseen muotoon erottelemme muuttujien täydet neliöt ,,:

Vertaamalla saatua yhtälöä taulukkoon (katso taulukko 3), näemme, että tämä on yhtälö yksiarkisesta hyperboloidista, jonka keskipiste on siirretty pisteeseen
Koordinaattijärjestelmän rinnakkaissiirrolla kaavojen mukaan

tuomme yhtälön kanoniseen muotoon:

Kommentti. Yksiarkisella hyperboloidilla, kuten hyperbolisella, on kaksi suoraviivaisten generaattorien perhettä.

Artikkelin sisältö

KARTIOLEIKKEET, tasokäyrät, jotka saadaan leikkaamalla oikea pyöreä kartio tason kanssa, joka ei kulje sen yläosan läpi (kuva 1). Analyyttisen geometrian näkökulmasta kartioleikkaus on pisteiden paikka, jotka täyttävät toisen kertaluvun yhtälön. Lukuun ottamatta viimeisessä osiossa käsiteltyjä rappeutuneita tapauksia, kartioleikkaukset ovat ellipsejä, hyperboleja tai paraabeleja.

Kartioprofiileja löytyy usein luonnosta ja tekniikasta. Esimerkiksi Auringon ympäri pyörivien planeettojen kiertoradat ovat ellipsejä. Ympyrä on ellipsin erikoistapaus, jossa pääakseli on yhtä suuri kuin sivuakseli. Parabolisella peilillä on ominaisuus, että kaikki sen akselin suuntaiset saapuvat säteet konvergoivat yhteen pisteeseen (tarkennus). Tätä käytetään useimmissa heijastavissa kaukoputkissa, joissa käytetään parabolisia peilejä, sekä tutka-antenneissa ja erikoismikrofoneissa, joissa on paraboliset heijastimet. Yhdensuuntaisten säteiden säde lähtee valonlähteestä, joka on sijoitettu parabolisen heijastimen keskipisteeseen. Siksi parabolisia peilejä käytetään tehokkaissa kohdevaloissa ja auton ajovaloissa. Hyperbola on kaavio monista tärkeistä fysikaalisista suhteista, kuten Boylen laki (joka liittyy ihanteellisen kaasun paineeseen ja tilavuuteen) ja Ohmin laki, joka määrittelee sähkövirran vastuksen funktiona vakiojännitteellä.

AIKAINEN HISTORIA

Kartioleikkausten löytäjä on oletettavasti Menechmus (4. vuosisadalla eKr.), Platonin oppilas ja Aleksanteri Suuren opettaja. Menechmus käytti paraabelia ja tasakylkistä hyperbolia ratkaistakseen kuution kaksinkertaistamisen.

Aristaeuksen ja Eukleideen 400-luvun lopulla kirjoittamia traktaatteja kartioleikkauksista. eKr., katosivat, mutta niistä saadut materiaalit sisällytettiin kuuluisaan Kartioprofiilit Apollonius Pergalainen (n. 260-170 eKr.), jotka ovat säilyneet meidän aikaamme. Apollonius luopui vaatimuksesta, että kartion generatrixin leikkaustaso on kohtisuorassa ja sai kaltevuuskulmaa muuttamalla kaikki kartioleikkaukset yhdestä pyöreästä kartiosta, joko suorana tai kaltevana. Olemme Apolloniuksen velkaa myös käyrien nykyaikaiset nimet - ellipsi, paraabeli ja hyperbola.

Apollonius käytti rakenteissaan kaksilevyistä pyöreää kartiota (kuten kuvassa 1), joten ensimmäistä kertaa kävi selväksi, että hyperbola on kaksihaarainen käyrä. Apolloniuksen ajoista lähtien kartioleikkaukset on jaettu kolmeen tyyppiin riippuen leikkaustason kaltemisesta kartion generatrixiin nähden. Ellipsi (kuva 1, a) muodostuu, kun leikkaustaso leikkaa kaikki kartion generatriisit yhden sen onkalon kohdissa; paraabeli (kuva 1, b) - kun leikkaustaso on yhdensuuntainen kartion yhden tangenttitason kanssa; hyperboli (kuva 1, sisään) - kun leikkaustaso leikkaa kartion molemmat ontelot.

KARTIOLEIKKEIDEN RAKENNUS

Tutkiessaan kartioleikkauksia tasojen ja kartioiden leikkauspisteinä, antiikin Kreikan matemaatikot pitivät niitä myös tasossa olevien pisteiden lentoratoja. Havaittiin, että ellipsi voidaan määritellä pisteiden paikaksi, jonka etäisyyksien summa kahteen annettuun pisteeseen on vakio; paraabeli - pisteen paikka, joka on yhtä kaukana tietystä pisteestä ja tietystä suorasta; hyperbola - pisteiden lokuksena ero etäisyyksissä, joista kahteen annettuun pisteeseen on vakio.

Nämä kartioleikkausten määritelmät tasokäyrinä ehdottavat myös tapaa rakentaa ne käyttämällä venytettyä lankaa.

Ellipsi.

Jos tietyn pituisen langan päät on kiinnitetty pisteisiin F 1 ja F 2 (kuva 2), silloin tiiviisti venytettyä lankaa pitkin liukuvan kynän kärjen kuvaama käyrä on ellipsin muotoinen. pisteitä F 1 ja F 2 kutsutaan ellipsin polttopisteiksi ja segmenteiksi V 1 V 2 ja v 1 v 2 ellipsin leikkauspisteiden välillä koordinaattiakseleiden - pää- ja sivuakselien - välillä. Jos pisteet F 1 ja F 2 osuvat yhteen, sitten ellipsi muuttuu ympyräksi.

Hyperbeli.

Kun rakennetaan hyperbeliä, piste P, kynän kärki, kiinnitetään langalle, joka liukuu vapaasti kohtiin asennettuja tappeja pitkin F 1 ja F 2 kuten kuvassa näkyy. 3, a. Etäisyydet valitaan siten, että segmentti PF 2 on pidempi kuin segmentti PF 1 kiinteällä määrällä vähemmän kuin etäisyys F 1 F 2. Tässä tapauksessa langan toinen pää kulkee tapin alta F 1 ja langan molemmat päät kulkevat tapin yli F 2. (Kynän kärki ei saa liukua lankaa pitkin, joten se on kiinnitettävä tekemällä langaan pieni silmukka ja pujottamalla kärki siihen.) Hyperbolan yksi haara ( PV 1 K) piirrämme varmistaen, että lanka pysyy kireällä koko ajan, ja vedämme langan molemmat päät alas kärjen ohi F 2 , ja kunpiste P tulee olemaan viivan alapuolella F 1 F 2 pitämällä kiinni langasta molemmista päistä ja keventämällä (eli vapauttamalla) sitä varovasti. Hyperbolan toinen haara ( Pў V 2 Kў) piirrämme muutettuamme aiemmin tappien rooleja F 1 ja F 2 .

Hyperbolan haarat lähestyvät kahta suoraa viivaa, jotka leikkaavat oksien välillä. Nämä viivat, joita kutsutaan hyperbelin asymptooteiksi, on rakennettu kuvan 1 mukaisesti. 3, b. Näiden viivojen kaltevuus on ± ( v 1 v 2)/(V 1 V 2), missä v 1 v 2 - asymptoottien välisen kulman puolittajan segmentti, kohtisuorassa segmenttiin F 1 F 2; Jana v 1 v 2 kutsutaan hyperbelin ja segmentin konjugaattiakseliksi V 1 V 2 - sen poikittaisakseli. Asymptootit ovat siis suorakulmion lävistäjät, joiden sivut kulkevat neljän pisteen kautta v 1 , v 2 , V 1 , V 2 yhdensuuntainen akselien kanssa. Tämän suorakulmion rakentamiseksi sinun on määritettävä pisteiden sijainti v 1 ja v 2. Ne ovat samalla etäisyydellä, yhtä suuret

akselien leikkauspisteestä O. Tämä kaava sisältää suoran kolmion rakentamisen jaloilla Ov 1 ja V 2 O ja hypotenuusa F 2 O.

Jos hyperbolin asymptootit ovat keskenään kohtisuorassa, niin hyperbeliä kutsutaan tasakylkiseksi. Kahta hyperbolaa, joilla on yhteiset asymptootit, mutta joilla on uudelleen järjestetyt poikittais- ja konjugaattiakselit, kutsutaan keskenään konjugaateiksi.

Paraabeli.

Apollonius tiesi ellipsin ja hyperbolin kohdat, mutta paraabelin fokuksen ilmeisesti määritti ensin Pappus (3. vuosisadan 2. puolisko), joka määritteli tämän käyrän pisteiden paikaksi, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä ( tarkennus) ja annettu suora viiva, jota kutsutaan ohjaajaksi. Isidore Miletoslainen (6. vuosisata) ehdotti Pappuksen määritelmään perustuvan paraabelin rakentamista venytetyllä langalla. Aseta viivain niin, että sen reuna osuu suuntaviivaan LLў (kuva 4) ja kiinnitä jalka tähän reunaan AC piirustus kolmio ABC. Kiinnitämme langan toisen pään pituudella AB huipulla B kolmio ja toinen paraabelin keskipisteessä F. Vedä lankaa kynän kärjellä ja paina kärkeä vaihtelevasta kohdasta P ilmaiselle luistimelle AB piirustus kolmio. Kun kolmio liikkuu viivainta pitkin, piste P kuvaa paraabelin kaarta fokusoituneena F ja rehtori LLў, koska langan kokonaispituus on yhtä suuri kuin AB, langan segmentti on kolmion vapaan haaran vieressä ja siksi langan loppuosa PF on oltava yhtä suuri kuin muun jalan AB, eli PA. Risteyspiste V paraabelia, jolla on akseli, kutsutaan paraabelin kärjeksi, jonka läpi kulkeva suora viiva F ja V, on paraabelin akseli. Jos polttopisteen läpi piirretään akseliin nähden kohtisuora viiva, tämän paraabelin leikkaamaa suoran segmenttiä kutsutaan polttoparametriksi. Ellipsille ja hyperbolille polttoparametri määritellään samalla tavalla.

KARTIOLEIKKIEN OMINAISUUDET

Pappus määritelmät.

Paraabelin painopisteen määrittäminen johti Pappusin ajatukseen antaa vaihtoehtoinen määritelmä kartioleikkauksille yleensä. Anna olla F on annettu piste (focus), ja L on annettu suora (directrix), joka ei kulje läpi F, ja D F ja D L– etäisyys liikkumispisteestä P keskittyä F ja ohjaajat L vastaavasti. Sitten, kuten Papp osoitti, kartioleikkaukset määritellään pisteiden lokuksiksi P, jonka suhde D F/D L on ei-negatiivinen vakio. Tätä suhdetta kutsutaan epäkeskisyydeksi e kartiomainen leikkaus. klo e e > 1 on hyperboli; klo e= 1 on paraabeli. Jos F makaa päällä L, silloin paikalla on viivoja (todellisia tai kuvitteellisia), jotka ovat rappeutuneita kartioleikkauksia.

Ellipsin ja hyperbelin silmiinpistävä symmetria viittaa siihen, että jokaisella näistä käyristä on kaksi suuntaa ja kaksi polttopistettä, ja tämä seikka johti Keplerin vuonna 1604 ajatukseen, että paraabelilla on myös toinen fokus ja toinen suuntaviiva - piste äärettömässä ja suoraan. Vastaavasti ympyrää voidaan pitää ellipsinä, jonka polttopisteet ovat yhteneväiset keskustan kanssa ja suuntaviivat ovat äärettömässä. Epäkeskisyys e tässä tapauksessa on nolla.

Dandelinin suunnittelu.

Kartioleikkauksen fokukset ja suuntaviivat voidaan osoittaa selvästi käyttämällä kartioon kirjoitettuja palloja, joita kutsutaan Dandelin-palloiksi (palloiksi) belgialaisen matemaatikon ja insinöörin J. Dandelinin (1794–1847) kunniaksi, joka ehdotti seuraavaa rakennetta. Olkoon kartioleikkaus muodostettu jonkin tason leikkauspisteestä p jossa on kaksionteloinen oikea pyöreä kartio, jonka kärki on pisteessä O. Piirretään tähän kartioon kaksi palloa S 1 ja S 2 jotka koskettavat konetta p kohdissa F 1 ja F 2 vastaavasti. Jos kartioleikkaus on ellipsi (kuva 5, a), niin molemmat pallot ovat saman ontelon sisällä: yksi pallo sijaitsee tason yläpuolella p ja toinen sen alla. Jokainen kartion generatriisi koskettaa molempia palloja, ja kosketuspiste on kahden ympyrän muotoinen C 1 ja C 2 sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa p 1 ja p 2. Anna olla P on mielivaltainen piste kartioleikkauksella. Piirretään suoraan PF 1 , PF 2 ja jatka linjaa PO. Nämä suorat tangentit palloille pisteissä F 1 , F 2 ja R 1 , R 2. Koska kaikki yhdestä pisteestä palloon vedetyt tangentit ovat yhtä suuret, niin PF 1 = PR 1 ja PF 2 = PR 2. Siten, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Lentokoneista lähtien p 1 ja p 2 yhdensuuntaista, segmentti R 1 R 2 on vakiopituinen. Arvo siis PR 1 + PR 2 on sama kaikille pistepaikoille P, ja kohta P kuuluu pisteiden paikkaan, joiden etäisyyksien summa P ennen F 1 ja F 2 on vakio. Siksi pisteet F 1 ja F 2 - elliptisen leikkauksen kohdat. Lisäksi voidaan osoittaa, että linjat, joita pitkin kone p ylittää koneen p 1 ja p 2 ovat rakennetun ellipsin suuntaviivoja. Jos p ylittää molemmat kartion ontelot (kuva 5, b), sitten kaksi Dandelin-palloa on samalla puolella tasoa p, yksi pallo kartion jokaisessa ontelossa. Tässä tapauksessa ero PF 1 ja PF 2 on vakio ja pisteiden paikka P on hyperbolin muotoinen pesäkkeineen F 1 ja F 2 ja suorat - leikkausviivat p kanssa p 1 ja p 2 - johtajina. Jos kartioleikkaus on paraabeli, kuten kuvassa 2 on esitetty. 5, sisään, silloin kartioon voidaan kirjoittaa vain yksi Dandelin-pallo.

Muut ominaisuudet.

Kartioprofiilien ominaisuudet ovat todella ehtymättömät, ja mitä tahansa niistä voidaan pitää ratkaisevana. tärkeä paikka Matemaattinen kokous Pappa (n. 300), geometriat Descartes (1637) ja Alkuja Newton (1687) on huolissaan pisteiden sijainnin ongelmasta neljän viivan suhteen. Jos tasolle annetaan neljä suoraa L 1 , L 2 , L 3 ja L 4 (joista kaksi vastaa) ja piste P on sellainen, että etäisyyksien tulo P ennen L 1 ja L 2 on verrannollinen etäisyyksien tuloon P ennen L 3 ja L 4, sitten pisteiden paikka P on kartiomainen leikkaus. Uskoen virheellisesti, että Apollonius ja Pappus eivät onnistuneet ratkaisemaan pisteiden paikannusongelmaa neljän suoran suhteen, Descartes loi analyyttisen geometrian saadakseen ratkaisun ja yleistääkseen sen.

ANALYYTTINEN LÄHESTYMISTAPA

Algebrallinen luokitus.

Algebrallisesti kartioleikkaukset voidaan määritellä tasokäyriksi, joiden suorakulmaiset koordinaatit täyttävät toisen asteen yhtälön. Toisin sanoen kaikkien kartioleikkausten yhtälö voidaan kirjoittaa yleisessä muodossa muodossa

jossa eivät kaikki kertoimet A, B ja C ovat yhtä suuret kuin nolla. Rinnakkaissiirron ja akselien kiertoliikkeen avulla yhtälö (1) voidaan pelkistää muotoon

kirves 2 + kirjoittaja 2 + c = 0

px 2 + qy = 0.

Ensimmäinen yhtälö saadaan yhtälöstä (1) kanssa B 2 № AC, toinen - klo B 2 = AC. Kartioleikkauksia, joiden yhtälöt on pelkistetty ensimmäiseen muotoon, kutsutaan keskusleikkauksiksi. Toisen tyypin yhtälöillä saatu kartioleikkaus q No. 0, kutsutaan ei-keskisiksi. Näissä kahdessa kategoriassa on yhdeksän erilaista kartioleikkaustyyppiä kertoimien etumerkeistä riippuen.

2831) i a, b ja c on sama merkki, silloin ei ole olemassa todellisia pisteitä, joiden koordinaatit täyttäisivät yhtälön. Tällaista kartioleikkausta kutsutaan kuvitteelliseksi ellipsiksi (tai kuvitteelliseksi ympyräksi, jos a = b).

2) Jos a ja b on yksi merkki ja c- vastapäätä, kartiomainen leikkaus on ellipsi (kuva 1, a); klo a = b- ympyrä (kuva 6, b).

3) Jos a ja b on eri merkit, kartioleikkaus on hyperbola (kuva 1, sisään).

4) Jos a ja b on erilaisia ​​merkkejä ja c= 0, silloin kartioleikkaus koostuu kahdesta leikkaavasta suorasta (kuva 6, a).

5) Jos a ja b on yksi merkki ja c= 0, silloin käyrällä on vain yksi reaalipiste, joka täyttää yhtälön, ja kartioleikkaus on kaksi kuvitteellista leikkaavaa suoraa. Tässä tapauksessa puhutaan myös pisteeseen supistuneesta ellipsistä tai jos a = b, supistettu ympyrän pisteeseen (kuva 6, b).

6) Jos jompikumpi a, tai b on yhtä suuri kuin nolla, ja muilla kertoimilla on eri etumerkit, silloin kartioleikkaus koostuu kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta.

7) Jos jompikumpi a, tai b on yhtä suuri kuin nolla, ja jäljellä olevilla kertoimilla on sama etumerkki, silloin ei ole yhtälön täyttävää todellista pistettä. Tässä tapauksessa kartioleikkauksen sanotaan koostuvan kahdesta kuvitteellisesta yhdensuuntaisesta suorasta.

8) Jos c= 0 ja jompikumpi a, tai b on myös yhtä suuri kuin nolla, silloin kartioleikkaus koostuu kahdesta todellisesta yhteensopivuudesta. (Yhtälö ei määrittele yhtään kartioleikkausta kohdassa a = b= 0, koska tässä tapauksessa alkuperäinen yhtälö (1) ei ole toisen asteen.)

9) Toisen tyypin yhtälöt määrittelevät paraabelit jos p ja q eroavat nollasta. Jos p Nro 0 ja q= 0, saamme käyrän kohdasta 8. Jos toisaalta p= 0, yhtälö ei määrittele yhtään kartioleikkausta, koska alkuperäinen yhtälö (1) ei ole toisen asteen.

Kartioleikkausten yhtälöiden johtaminen.

Mikä tahansa kartioleikkaus voidaan myös määritellä käyräksi, jota pitkin taso leikkaa neliöpinnan, ts. toisen asteen yhtälön antamalla pinnalla f (x, y, z) = 0. Ilmeisesti kartioleikkaukset tunnistettiin ensimmäisen kerran tässä muodossa ja niiden nimet ( Katso alempaa) liittyvät siihen, että ne on saatu ylittämällä taso kartiolla z 2 = x 2 + y 2. Anna olla ABCD- suoran pyöreän kartion pohja (kuva 7), jonka yläosassa on suora kulma V. Anna lentokoneen FDC leikkaa generatrixin VB pisteessä F, pohja on suorassa linjassa CD ja kartion pinta - käyrää pitkin DFPC, missä P on mikä tahansa piste käyrällä. Piirrä segmentin keskeltä CD-piste E- suora EF ja halkaisija AB. Pisteen läpi P piirrä kartion pohjan kanssa yhdensuuntainen taso, joka leikkaa kartion ympyrässä RPS ja suora EF pisteessä K. Sitten QF ja QP voidaan ottaa vastaavasti abskissalle x ja ordinoida y pisteitä P. Tuloksena oleva käyrä on paraabeli.

Kuvassa esitetty rakenne. Kuvaa 7 voidaan käyttää yleisten yhtälöiden johtamiseen kartioleikkauksille. Pystysuoran segmentin pituuden neliö, joka palautetaan halkaisijan mistä tahansa pisteestä ympyrän leikkauspisteeseen, on aina yhtä suuri kuin halkaisijan segmenttien pituuksien tulo. Niin

y 2 = RQ H QS.

Paraabelille segmentti RQ on vakiopituinen (koska pisteen missä tahansa sijainnissa P se on yhtä suuri kuin segmentti AE) ja segmentin pituus QS suhteellinen x(suhteesta QS/EB = QF/F.E.). Tästä seuraa siis

missä a on vakio kerroin. Määrä a ilmaisee paraabelin polttoparametrin pituuden.

Jos kulma kartion kärjessä on terävä, niin segmentti RQ ei ole sama kuin leikkaus AE; mutta suhde y 2 = RQ H QS vastaa muodon yhtälöä

missä a ja b ovat vakioita tai akselien siirtämisen jälkeen yhtälöön

joka on ellipsin yhtälö. Ellipsin ja akselin leikkauspisteet x (x = a ja x = –a) ja ellipsin ja akselin leikkauspisteet y (y = b ja y = –b) määrittelevät pää- ja sivuakselit, vastaavasti. Jos kulma kartion kärjessä on tylppä, niin kartion ja tason leikkauskäyrä on hyperbolin muotoinen ja yhtälö saa seuraavan muodon:

tai akselien siirtämisen jälkeen

Tässä tapauksessa leikkauspisteet akselin kanssa x, suhteen antaa x 2 = a 2, määritä poikittaisakseli ja leikkauspisteet akselin kanssa y, suhteen antaa y 2 = –b 2 määrittelee liitosakselin. Jos vakio a ja b yhtälössä (4a) ovat yhtä suuret, niin hyperbeliä kutsutaan tasakylkiseksi. Kiertämällä akseleita sen yhtälö pelkistyy muotoon

xy = k.

Nyt yhtälöistä (3), (2) ja (4) voimme ymmärtää Apolloniuksen kolmelle pääkartioleikkaukselle antamien nimien merkityksen. Termit "ellipsi", "paraabeli" ja "hyperbola" tulevat kreikan sanoista, jotka tarkoittavat "puutetta", "tasa-arvoista" ja "ylivoimaista". Yhtälöistä (3), (2) ja (4) on selvää, että ellipsille y 2 b 2 / a) x, paraabelille y 2 = (a) x ja hyperbolille y 2 > (2b 2 /a) x. Jokaisessa tapauksessa suluissa oleva arvo on yhtä suuri kuin käyrän polttoparametri.

Apollonius itse tarkasteli vain kolmea yleistä kartioleikkaustyyppiä (yllä luetellut tyypit 2, 3 ja 9), mutta hänen lähestymistapansa sallii yleistyksen, jonka avulla voidaan tarkastella kaikkia todellisia toisen asteen käyriä. Jos leikkaustaso valitaan yhdensuuntaisesti kartion pyöreän pohjan kanssa, saadaan ympyrä leikkaukseen. Jos leikkaustasolla on vain yksi yhteinen piste kartion kanssa, sen kärki, niin saadaan tyypin 5 leikkaus; jos se sisältää kärjen ja kartion tangentin, niin saadaan tyyppiä 8 oleva leikkaus (kuva 6, b); jos leikkaustasossa on kaksi kartion generatriisia, saadaan tyypin 4 käyrä leikkauksessa (kuva 6, a); kun kärki siirretään äärettömään, kartio muuttuu sylinteriksi ja jos tasossa on kaksi generaattoria, saadaan tyypin 6 leikkaus.

Kun katsottuna vinosta kulmasta, ympyrä näyttää ellipsiltä. Arkhimedesen tuntema ympyrän ja ellipsin välinen suhde tulee ilmeiseksi, jos ympyrä X 2 + Y 2 = a 2 käyttämällä vaihtoa X = x, Y = (a/b) y muuntaa yhtälön (3a) antamaksi ellipsiksi. muunnos X = x, Y = (ai/b) y, missä i 2 = –1, mahdollistaa ympyräyhtälön kirjoittamisen muodossa (4a). Tämä osoittaa, että hyperbola voidaan nähdä ellipsinä, jossa on kuvitteellinen sivuakseli, tai päinvastoin ellipsiä voidaan nähdä hyperbola, jolla on imaginaarinen konjugaattiakseli.

Ympyrän ordinaattien välinen suhde x 2 + y 2 = a 2 ja ellipsi ( x 2 /a 2) + (y 2 /b 2) = 1 johtaa suoraan Arkhimedesen kaavaan A = p ab ellipsin alueelle. Kepler tiesi likimääräisen kaavan p(a + b) ympyrää lähellä olevan ellipsin kehälle, mutta tarkka lauseke saatiin vasta 1700-luvulla. elliptisten integraalien käyttöönoton jälkeen. Kuten Archimedes osoitti, parabolisen janan pinta-ala on neljä kolmasosaa piirretyn kolmion pinta-alasta, mutta paraabelin kaaren pituus voitiin laskea vasta 1600-luvulla. differentiaalilaskenta keksittiin.

PROJEKTIIVINEN LÄHESTYMISTAPA

Projektiivinen geometria liittyy läheisesti perspektiivin rakentamiseen. Jos piirrät ympyrän läpinäkyvälle paperiarkille ja asetat sen valonlähteen alle, tämä ympyrä heijastetaan alla olevaan tasoon. Tässä tapauksessa, jos valonlähde sijaitsee suoraan ympyrän keskipisteen yläpuolella ja taso ja läpinäkyvä levy ovat yhdensuuntaiset, projektio on myös ympyrä (kuva 8). Valonlähteen sijaintia kutsutaan katoamispisteeksi. Se on merkitty kirjaimella V. Jos V ei sijaitse ympyrän keskipisteen yläpuolella tai jos taso ei ole samansuuntainen paperiarkin kanssa, ympyrän projektio on ellipsin muotoinen. Vielä suuremmalla tason kaltevuudella ellipsin pääakseli (ympyrän projektio) pitenee ja ellipsi muuttuu vähitellen paraabeliksi; tasossa, joka on yhdensuuntainen suoran kanssa VP, projektio näyttää paraabelilta; vielä suuremmalla kallistuksella projektio saa muodon hyperbelin yhdestä haarasta.

Jokainen alkuperäisen ympyrän piste vastaa jotakin projektion pistettä. Jos projektiolla on paraabelin tai hyperbolin muoto, he sanovat, että piste vastaa pistettä P, on äärettömässä tai äärettömässä.

Kuten olemme nähneet, sopivalla katoamispisteiden valinnalla ympyrä voidaan projisoida erikokoisiksi ja erilaisilla epäkeskisuuksilla oleviksi ellipseiksi, eikä pääakselien pituudet ole suoraan verrannollisia projisoidun ympyrän halkaisijaan. Projektiivinen geometria ei siis käsittele etäisyyksiä tai pituuksia sinänsä, vaan sen tehtävänä on tutkia projektiossa säilyvien pituuksien suhdetta. Tämä suhde voidaan löytää käyttämällä seuraavaa konstruktiota. minkä tahansa pisteen kautta P tasossa piirrämme kaksi tangenttia mihin tahansa ympyrään ja yhdistämme kosketuspisteet suoralla linjalla p. Päästä toinen viiva pisteen läpi P, leikkaa ympyrän pisteissä C 1 ja C 2, mutta suora viiva p- pisteessä K(Kuva 9). Planimetria todistaa sen PC 1 /PC 2 = –QC 1 /QC 2. (Miinusmerkki johtuu segmentin suunnasta QC 1 vastapäätä muiden segmenttien suuntiin.) Toisin sanoen pisteet P ja K jakaa segmentti C 1 C 2 ulkoisesti ja sisäisesti samassa suhteessa; he myös sanovat, että neljän segmentin harmoninen suhde on - 1. Jos ympyrä projisoidaan kartioleikkaukseen ja vastaaville pisteille säilytetään samat merkinnät, harmoninen suhde ( PC 1)(QC 2)/(PC 2)(QC 1) pysyy samana - 1. Piste P kutsutaan linjan napaksi p kartioleikkauksen ja suoran suhteen p- napapiste P kartiomaisen osan suhteen.

Kun piste P lähestyy kartioleikkausta, napa pyrkii ottamaan tangentin aseman; jos kohta P sijaitsee kartioleikkauksella, sitten sen napa osuu kartioleikkauksen tangentin kanssa pisteessä P. Jos kohta P sijaitsee kartiomaisen osan sisällä, sen napaisuus voidaan rakentaa seuraavasti. Käydään pisteen läpi P mikä tahansa suora, joka leikkaa kartioleikkauksen kahdessa pisteessä; piirrä tangentit kartioleikkaukseen leikkauspisteissä; oletetaan, että nämä tangentit leikkaavat pisteen P yksi . Käydään pisteen läpi P toinen suora, joka leikkaa kartioleikkauksen kahdessa muussa pisteessä; oletetaan, että kartioleikkauksen tangentit näissä uusissa pisteissä leikkaavat pisteessä P 2 (kuvio 10). Pisteiden läpi kulkeva viiva P 1 ja P 2, ja siellä on haluttu napa p. Jos kohta P lähestyy keskustaa O keskikartio, sitten napa p siirtyy poispäin O. Kun piste P osuu yhteen O, silloin sen napa tulee äärettömään eli ihanteelliseen suoraan tasossa.

ERIKOISRAKENTEET

Erityisen kiinnostava tähtitieteilijöille on seuraava yksinkertainen ellipsin pisteiden rakentaminen kompassin ja suoraviivan avulla. Olkoon mielivaltainen pisteen läpi kulkeva suora O(Kuva 11, a), leikkaa pisteissä K ja R kaksi samankeskistä ympyrää, joiden keskipiste on piste O ja säteet b ja a, missä b a. Käydään pisteen läpi K vaakaviiva ja R- pystysuora viiva ja osoittavat niiden leikkauspisteen P P kun pyörii suoraan OQR pisteen ympärillä O tulee olemaan ellipsi. Injektio f rivin välissä OQR ja pääakselia kutsutaan epäkeskiseksi kulmaksi, ja rakennettu ellipsi määritellään kätevästi parametrisillä yhtälöillä x = a cos f, y = b synti f. Parametria lukuun ottamatta f, saamme yhtälön (3a).

Hyperbolan rakenne on suurelta osin samanlainen. Mielivaltainen viiva, joka kulkee pisteen kautta O, leikkaa toisen kahdesta ympyrästä pisteessä R(Kuva 11, b). Asiaan R yksi ympyrä ja loppupisteeseen S toisen ympyrän vaakasuora halkaisija, piirrämme tangentit leikkaamaan OS pisteessä T ja TAI- pisteessä K. Anna pystysuoran viivan, joka kulkee pisteen läpi T, ja pisteen läpi kulkeva vaakaviiva K, leikkaavat pisteen P. Sitten pisteiden paikka P segmenttiä pyöritettäessä TAI noin O tulee parametristen yhtälöiden antama hyperboli x = a sek f, y = b tg f, missä f- epäkesko kulma. Nämä yhtälöt on saanut ranskalainen matemaatikko A. Legendre (1752–1833). Sulkemalla pois parametrin f, saamme yhtälön (4a).

Ellipsi, kuten N. Copernicus (1473-1543) totesi, voidaan rakentaa käyttämällä episyklistä liikettä. Jos ympyrä rullaa liukumatta toisen halkaisijaltaan kaksinkertaisen ympyrän sisäpintaa pitkin, jokainen piste P, ei makaa pienemmällä ympyrällä, mutta on kiinnitetty siihen nähden, kuvaa ellipsiä. Jos kohta P on pienemmällä ympyrällä, niin tämän pisteen liikerata on ellipsin rappeutunut tapaus - suuremman ympyrän halkaisija. Proclus ehdotti vielä yksinkertaisempaa ellipsin rakennetta 500-luvulla. Jos loppuu A ja B suora segmentti AB tietyn pituinen liu'u kahta kiinteää leikkaavaa suoraa pitkin (esimerkiksi koordinaattiakseleita pitkin), sitten jokainen sisäinen piste P segmentti kuvaa ellipsiä; hollantilainen matemaatikko F. van Schoten (1615–1660) osoitti, että mikä tahansa piste risteävien viivojen tasossa, joka on kiinteä suhteessa liukuvaan segmenttiin, kuvaa myös ellipsiä.

B. Pascal (1623–1662) muotoili 16-vuotiaana nyt kuuluisan Pascalin lauseen, joka sanoo: kolme mihin tahansa kartioleikkaukseen piirretyn kuusikulmion vastakkaisten sivujen leikkauspistettä ovat yhdellä suoralla. Pascal johti tästä lauseesta yli 400 seurausta.

Toisen luokan pinnat ovat pintoja, jotka suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä määritetään toisen asteen algebrallisilla yhtälöillä.

1. Ellipsoidi.

Ellipsoidi on pinta, jonka jossain suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä määrittää yhtälö:

Yhtälöä (1) kutsutaan ellipsoidin kanoninen yhtälö.

Aseta ellipsoidin geometrinen näkymä. Tätä varten tarkastellaan annetun ellipsoidin osia tason kanssa yhdensuuntaisilla tasoilla Oxy. Jokainen näistä tasoista on määritelty muodon yhtälöllä z = h, missä h- mikä tahansa luku, ja osiossa saatu suora määräytyy kahdella yhtälöllä

(2)

Tutkitaan yhtälöitä (2) eri arvoille h .

> c(c>0), yhtälöt (2) määrittelevät myös imaginaarisen ellipsin eli tason leikkauspisteet z = h annetulla ellipsoidilla ei ole olemassa. , sitten ja suora (2) degeneroituu pisteiksi (0; 0; +). c) ja (0; 0; - c) (tasot koskettavat ellipsoidia). , yhtälöt (2) voidaan esittää muodossa

mistä seuraa, että kone z = h leikkaa ellipsoidin ellipsiä pitkin puoliakselien kanssa

ja . Kun arvot pienenevät ja kasvavat ja saavuttavat maksimiarvonsa kohdassa , eli ellipsoidin koordinaattitason poikkileikkauksessa Oxy se osoittautuu suurimmaksi ellipsiksi puoliakselilla ja .

Samanlainen kuva saadaan, kun annettua pintaa leikkaavat tasot, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​koordinaattitasojen kanssa Oxz ja Oyz.

Näin ollen tarkastelut poikkileikkaukset mahdollistavat ellipsoidin kuvaamisen suljettuna soikeana pintana (kuva 156). Määrät a, b, c nimeltään akselin akselit ellipsoidi. Kun a=b=c ellipsoidi on palloth.

2. Yksikaistainen hyperboloidi.

Yksikaistainen hyperboloidi on pinta, joka on jossain suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä määritelty yhtälöllä (3)

Yhtälöä (3) kutsutaan yksikaistaisen hyperboloidin kanoniseksi yhtälöksi.

Aseta pinnan tyyppi (3). Tätä varten harkitse leikkausta sen koordinaattitasojen mukaan Oxy (y=0)jaOx(x=0). Saamme vastaavasti yhtälöt

ja

Tarkastellaan nyt annetun hyperboloidin osia tasoilla z=h, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​koordinaattitason kanssa Oxy. Jaksossa saatu suora määritetään yhtälöillä

tai (4)

josta seuraa, että taso z=h leikkaa hyperboloidin ellipsiä pitkin puoliakselien kanssa

ja ,

saavuttavat pienimmät arvonsa kohdassa h = 0, ts. tämän hyperboloidin osassa koordinaattiakseli Oxy tuottaa pienimmän ellipsin puoliakselien a*=a ja b*=b kanssa. Loputtomalla kasvulla

suuret a* ja b* kasvavat äärettömästi.

Siten tarkasteltavat osiot mahdollistavat yksikaistaisen hyperboloidin kuvaamisen äärettömänä putkena, joka laajenee äärettömästi liikkuessaan pois (molemmilla puolilla) Oxy-tasosta.

Suureita a, b, c kutsutaan yksinauhaisen hyperboloidin puoliakseleiksi.

3. Kaksiarkkinen hyperboloidi.

Kaksiarkkinen hyperboloidi on pinta, jonka jossain suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä määrittää yhtälö

Yhtälöä (5) kutsutaan kaksiarkkisen hyperboloidin kanoniseksi yhtälöksi.

Selvitetään pinnan geometrinen muoto (5). Tätä varten tarkastellaan sen osia koordinaattitasoilla Oxy ja Oyz. Saamme vastaavasti yhtälöt

ja

josta seuraa, että osioissa saadaan hyperbolit.

Tarkastellaan nyt annetun hyperboloidin osia tasoilla z=h, jotka ovat yhdensuuntaisia ​​koordinaattitason Oxy kanssa. Jaksossa saatu suora määritetään yhtälöillä

tai (6)

josta se seuraa

>c (c>0) taso z=h leikkaa hyperboloidin ellipsiä pitkin puoliakseleilla ja . Arvon kasvaessa myös a* ja b* kasvavat. Yhtälöt (6) täyttyvät vain kahden pisteen koordinaateista: (0; 0; + c) ja (0; 0; - c) (tasot koskettavat annettua pintaa). yhtälöt (6) määrittelevät imaginaarisen ellipsin, ts. z=h-tasolla ei ole leikkauspisteitä annetun hyperboloidin kanssa.

Suureita a, b ja c kutsutaan kaksiarkkisen hyperboloidin puoliakseleiksi.

4. Elliptinen paraboloidi.

Elliptinen paraboloidi on pinta, jonka jossain suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä määrittää yhtälö

(7)

missä p>0 ja q>0.

Yhtälöä (7) kutsutaan elliptisen paraboloidin kanoniseksi yhtälöksi.

Tarkastellaan annetun pinnan poikkileikkauksia koordinaattitasoilla Oxy ja Oyz. Saamme vastaavasti yhtälöt

ja

josta seuraa, että osissa saadaan paraabelit, jotka ovat symmetrisiä Oz-akselin suhteen ja joiden kärjet ovat origossa. (kahdeksan)

josta seuraa, että . Kun h kasvaa, myös a ja b kasvavat; kun h=0 ellipsi rappeutuu pisteeksi (taso z=0 koskettaa annettua hyperboloidia). h<0 уравнения (8) определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным гиперболоидом нет.

Siten tarkasteltavat osiot mahdollistavat elliptisen paraboloidin kuvaamisen äärettömän kuperan kulhon muodossa.

Pistettä (0;0;0) kutsutaan paraboloidin kärjeksi; luvut p ja q ovat sen parametreja.

Tapauksessa p=q yhtälö (8) määrittelee ympyrän, jonka keskipiste on Oz-akselilla, ts. Elliptistä paraboloidia voidaan pitää pintana, joka muodostuu paraabelin pyörimisestä akselinsa ympäri (kierrosparaboloidi).

5. Hyperbolinen paraboloidi.

Hyperbolinen paraboloidi on pinta, joka jossain suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä määritellään yhtälöllä

(9)

Sillä erolla, että "litteiden" kaavioiden sijaan tarkastelemme yleisimpiä tilapintoja ja opimme myös rakentamaan ne oikein käsin. Olen etsinyt ohjelmistotyökaluja 3D-piirustusten rakentamiseen jo jonkin aikaa ja löytänyt pari hyvää sovellusta, mutta kaikesta helppokäyttöisyydestä huolimatta nämä ohjelmat eivät ratkaise hyvin tärkeää käytännön asiaa. Tosiasia on, että ennakoitavissa olevassa historiallisessa tulevaisuudessa opiskelijat ovat edelleen aseistettuja lyijykynällä, ja vaikka heillä olisi korkealaatuinen "konepiirustus", monet eivät pysty siirtämään sitä oikein ruudulliselle paperille. Siksi koulutuskäsikirjassa on kiinnitetty erityistä huomiota manuaalisen rakentamisen tekniikkaan ja merkittävä osa sivun kuvista on käsintehty tuote.

Miten tämä vertailumateriaali eroaa analogeista?

Minulla on kunnollinen käytännön kokemus, ja tiedän erittäin hyvin, mitä pintoja useimmiten käsitellään korkeamman matematiikan todellisissa ongelmissa, ja toivon, että tämä artikkeli auttaa sinua nopeasti täydentämään matkatavarasi asiaankuuluvilla tiedoilla ja sovellettavilla taidoilla, joita on 90-95% tapauksista. pitäisi riittää.

Mitä sinun tarvitsee tietää juuri nyt?

Kaikkein alkeellisinta:

Ensinnäkin sinun on kyettävä rakentaa oikein spatiaalinen suorakulmainen koordinaattijärjestelmä (katso artikkelin alku Kuvaajat ja funktioiden ominaisuudet) .

Mitä saat tämän artikkelin lukemisen jälkeen?

Pullo Oppitunnin materiaalien hallitsemisen jälkeen opit nopeasti määrittämään pinnan tyypin sen funktion ja / tai yhtälön perusteella, kuvittelemaan, kuinka se sijaitsee avaruudessa, ja tietysti tekemään piirustuksia. Ei haittaa, jos kaikki ei mahdu päähäsi ensimmäisestä lukemisesta lähtien - voit aina palata mihin tahansa kappaleeseen tarvittaessa myöhemmin.

Tieto on jokaisen vallassa - sen hallitsemiseen ei tarvita mitään supertietoa, erityistä taiteellista lahjakkuutta ja tilanäköä.

Alkaa!

Käytännössä tilapinta on yleensä annettu kahden muuttujan funktio tai muodon yhtälö (oikean puolen vakio on useimmiten nolla tai yksi). Ensimmäinen nimitys on tyypillisempi matemaattiselle analyysille, toinen - varten analyyttinen geometria. Yhtälö pohjimmiltaan on implisiittisesti annettu 2 muuttujan funktio, joka tyypillisissä tapauksissa voidaan helposti pelkistää muotoon . Muistutan sinua yksinkertaisimmasta esimerkistä c:

–tasoyhtälö ystävällinen.

on tasofunktio sisällä nimenomaisesti .

Aloitetaan siitä:

Yhteiset tasoyhtälöt

Tyypillisiä vaihtoehtoja tasojen järjestämiseksi suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään käsitellään yksityiskohtaisesti artikkelin alussa. Tasoyhtälö. Pysähdymme kuitenkin jälleen kerran yhtälöihin, joilla on suuri merkitys käytännön kannalta.

Ensinnäkin sinun on tunnistettava täysin koordinaattitasojen kanssa yhdensuuntaiset tasot. Tasojen fragmentit kuvataan tavallisesti suorakulmioina, jotka kahdessa viimeisessä tapauksessa näyttävät suunnikkaalta. Oletuksena voit valita mitkä tahansa mitat (tietysti kohtuullisissa rajoissa), mutta on toivottavaa, että piste, jossa koordinaattiakseli "lävistää" tason, on symmetrian keskipiste:


Tarkkaan ottaen koordinaattiakselit olisi joissain paikoissa pitänyt kuvata katkoviivalla, mutta sekaannusten välttämiseksi jätämme tämän vivahteen huomioimatta.

– (vasen piirros) epäyhtälö määrittelee meistä kauimpana olevan puoliavaruuden, itse taso poissulkematta;

– (keskikokoinen piirros) epäyhtälö määrittelee oikean puoliavaruuden, mukaan lukien tason ;

– (oikea piirros) kaksois-epäyhtälö määrittelee "kerroksen", joka sijaitsee tasojen välissä, mukaan lukien molemmat tasot.

Itseharjoitteluun:

Esimerkki 1

Piirrä tasojen rajaama kappale
Laadi epäyhtälöjärjestelmä, joka määrittelee annetun kappaleen.

Vanhan tutun pitäisi tulla esiin kynäsi johdon alta kuutiomainen. Älä unohda, että näkymättömät reunat ja kasvot on piirrettävä katkoviivalla. Valmistunut piirtäminen oppitunnin lopussa.

Olet tervetullut, ÄLÄ LAITTAA oppimistehtäviä, vaikka ne tuntuvat liian yksinkertaisilta. Muutoin voi käydä niin, että he missasivat sen kerran, missasivat sen kahdesti ja sitten viettivät tunnin hioen kolmiulotteista piirustusta jossain todellisessa esimerkissä. Lisäksi mekaaninen työ auttaa oppimaan materiaalia paljon tehokkaammin ja kehittämään älykkyyttä! Ei ole sattumaa, että päiväkodissa ja ala-asteella lapsia kuormitetaan piirtämisellä, mallintamalla, suunnittelijoilla ja muilla sormien hienomotoriikkatehtävillä. Anteeksi poikkeama, mutta kahden kehityspsykologian muistikirjani ei pitäisi kadota =)

Kutsumme ehdollisesti seuraavaa tasoryhmää "suoraksi suhteeksi" - nämä ovat koordinaattiakselien läpi kulkevia tasoja:

2) muodon yhtälö määrittelee akselin läpi kulkevan tason;

3) muodon yhtälö määrittelee akselin läpi kulkevan tason.

Vaikka muodollinen merkki on ilmeinen (mikä muuttuja puuttuu yhtälöstä - taso kulkee kyseisen akselin kautta), on aina hyödyllistä ymmärtää tapahtumien ydin:

Esimerkki 2

Rakenna lentokone

Mikä on paras tapa rakentaa? Ehdotan seuraavaa algoritmia:

Ensin kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon , josta näkyy selvästi, että "y" voi olla minkä tahansa arvot. Kiinnitämme arvon, eli tarkastelemme koordinaattitasoa . Yhtälöt asetettu spatiaalinen viiva annetussa koordinaattitasossa. Piirretään tämä viiva piirustukseen. Suora kulkee origon kautta, joten sen rakentamiseksi riittää, että löytää yksi piste. Anna olla . Laita sivuun piste ja piirrä viiva.

Nyt takaisin tasoyhtälöön. Koska "y" vie minkä tahansa arvot, sitten tasoon rakennettu suora "toistetaan" jatkuvasti vasemmalle ja oikealle. Näin muodostuu tasomme, joka kulkee akselin läpi. Piirustuksen viimeistelemiseksi siirrämme sivuun kaksi yhdensuuntaista viivaa vasemmalle ja oikealle puolelle ja "suljemme" symbolisen suunnikkaan poikittaisilla vaakasegmenteillä:

Koska ehto ei asettanut lisärajoituksia, koneen fragmentti voitiin kuvata hieman pienempänä tai hieman suurempana.

Toistamme vielä kerran spatiaalisen lineaarisen epäyhtälön merkityksen esimerkin avulla. Kuinka määrittää sen määrittelemä puoliavaruus? Otetaan kohta ei omistettu taso, esimerkiksi piste meitä lähimmältä puoliavaruudesta ja korvaa sen koordinaatit epäyhtälöksi:

Sai oikea epätasa-arvo, mikä tarkoittaa, että epäyhtälö määrittelee alemman (tasoon nähden) puoliavaruuden, kun taas itse taso ei sisälly ratkaisuun.

Esimerkki 3

Rakenna lentokoneita
a) ;
b) .

Nämä ovat itserakentamisen tehtäviä, vaikeuksien sattuessa käytä samanlaista päättelyä. Lyhyet ohjeet ja piirustukset oppitunnin lopussa.

Käytännössä akselin suuntaiset tasot ovat erityisen yleisiä. Erikoistapaus, kun taso kulkee akselin läpi, oli juuri kohdassa "b", ja nyt analysoimme yleisemmän ongelman:

Esimerkki 4

Rakenna lentokone

Päätös: muuttuja "z" ei eksplisiittisesti osallistu yhtälöön, mikä tarkoittaa, että taso on yhdensuuntainen sovellusakselin kanssa. Käytetään samaa tekniikkaa kuin edellisissä esimerkeissä.

Kirjoitetaan tasoyhtälö uudelleen muotoon josta on selvää, että "Z" voi ottaa minkä tahansa arvot. Korjataan se ja piirretään "alkuperäisessä" tasossa tavallinen "tasainen" suora viiva. Sen rakentamiseksi on kätevää ottaa vertailupisteitä.

Koska "Z" kestää kaikki arvot, sitten muodostettu suora "kertoilee" jatkuvasti ylös ja alas muodostaen siten halutun tason . Piirrä varovasti kohtuullisen kokoinen suunnikas:

Valmis.

Tason yhtälö segmenteissä

Tärkein sovellettu lajike. Jos kaikki kertoimet tason yleinen yhtälö eroaa nollasta, niin se voidaan esittää muodossa , jota kutsutaan tasoyhtälö segmenteissä. On selvää, että taso leikkaa koordinaattiakselit pisteissä , ja tällaisen yhtälön suuri etu on piirtämisen helppous:

Esimerkki 5

Rakenna lentokone

Päätös: ensin laadimme tason yhtälön segmenteiksi. Heitä vapaa termi oikealle ja jaa molemmat osat 12:lla:

Ei, tämä ei ole kirjoitusvirhe ja kaikki tapahtuu avaruudessa! Tarkastelemme ehdotettua pintaa samalla tavalla kuin käytimme äskettäin lentokoneiden kohdalla. Kirjoitamme yhtälön uudelleen muotoon , josta seuraa, että "Z" ottaa minkä tahansa arvot. Korjaamme ja rakennamme ellipsin tasoon. Koska "Z" kestää kaikki arvot, niin rakennettua ellipsiä "toistetaan" jatkuvasti ylös ja alas. On helppo ymmärtää, että pinta loputon:

Tätä pintaa kutsutaan elliptinen sylinteri. Ellipsiä (millä tahansa korkeudella) kutsutaan opas sylinteri, ja ellipsin kunkin pisteen läpi kulkevia yhdensuuntaisia ​​viivoja kutsutaan tuottaa sylinteri (joka kirjaimellisesti muodostaa sen). akseli on symmetria-akseli pinta (mutta ei osa sitä!).

Minkä tahansa tiettyyn pintaan kuuluvan pisteen koordinaatit täyttävät yhtälön .

Tila epäyhtälö määrittelee äärettömän "putken" "sisäosan", mukaan lukien itse lieriömäisen pinnan, ja vastaavasti päinvastainen epäyhtälö määrittelee joukon pisteitä sylinterin ulkopuolella.

Käytännön ongelmissa suosituin tapaus on milloin opas sylinteri on ympyrä:

Esimerkki 8

Muodosta yhtälön antama pinta

On mahdotonta kuvata loputonta "putkea", joten taide rajoittuu yleensä "leikkaukseen".

Ensin on kätevää rakentaa tasoon sädeympyrä ja sitten vielä pari ympyrää ylä- ja alapuolelle. Tuloksena olevat ympyrät ( oppaita sylinteri) yhdistetty siististi neljällä rinnakkaisella suoralla viivalla ( tuottaa sylinteri):

Älä unohda käyttää katkoviivoja näkymättömille viivoille.

Minkä tahansa tiettyyn sylinteriin kuuluvan pisteen koordinaatit täyttävät yhtälön . Minkä tahansa tiukasti "putken" sisällä olevan pisteen koordinaatit tyydyttävät epätasa-arvon , ja eriarvoisuus määrittää joukon ulomman osan pisteitä. Paremman ymmärryksen vuoksi suosittelen harkitsemaan useita tiettyjä kohtia avaruudessa ja katsomaan itse.

Esimerkki 9

Rakenna pinta ja etsi sen projektio tasoon

Kirjoitamme yhtälön uudelleen muotoon josta seuraa, että "x" ottaa minkä tahansa arvot. Korjataan ja piirretään taso sisään ympyrä– keskitetty origoon, yksikkösäde. Koska "x" kestää jatkuvasti kaikki arvot, niin rakennettu ympyrä muodostaa pyöreän sylinterin, jonka symmetria-akseli on . Piirrä toinen ympyrä opas sylinteri) ja yhdistä ne varovasti suorilla viivoilla ( tuottaa sylinteri). Joissain paikoissa peittokuvat osoittautuivat, mutta mitä tehdä, tällainen kaltevuus:

Tällä kertaa rajoittuin sylinterin palaan rakossa, eikä tämä ole sattumaa. Käytännössä on usein tarpeen kuvata vain pieni osa pinnasta.

Täällä muuten kävi ilmi 6 generaattoria - kaksi ylimääräistä suoraa linjaa "sulkee" pinnan vasemmasta yläkulmasta ja oikeasta alakulmasta.

Käsitellään nyt sylinterin projektiota tasoon. Monet lukijat ymmärtävät, mitä projektio on, mutta vietämme kuitenkin vielä viiden minuutin fyysisen kasvatuksen. Nouse seisomaan ja kallista päätäsi piirustuksen päälle niin, että akselin kärki näyttää kohtisuorassa otsaasi nähden. Miltä sylinteri näyttää tästä kulmasta, on sen projektio tasoon. Mutta se näyttää olevan loputon nauha, joka on suljettu suorien viivojen väliin, mukaan lukien itse suorat viivat. Tämä projektio on täsmälleen verkkotunnus toiminnot (sylinterin ylempi "kouru"), (alempi "kouru").

Muuten, selvitetään tilanne projektioilla muille koordinaattitasoille. Anna auringon säteiden loistaa sylinteriin kärjen sivulta ja akselia pitkin. Sylinterin varjo (projektio) tasolle on samanlainen ääretön nauha - osa tasosta, jota rajoittavat suorit viivat ( - mikä tahansa), mukaan lukien itse suorat viivat.

Mutta projektio koneessa on hieman erilainen. Jos katsot sylinteriä akselin kärjestä, se heijastuu yksikkösäteen ympyrään jolla aloitimme rakentamisen.

Esimerkki 10

Rakenna pinta ja etsi sen projektiot koordinaattitasoilla

Tämä on itsenäisen päätöksen tehtävä. Jos ehto ei ole kovin selkeä, neliöi molemmat puolet ja analysoi tulos; Selvitä tarkalleen, minkä osan sylinteistä funktio määrittää. Käytä edellä toistuvasti käytettyä rakennustekniikkaa. Lyhyt ratkaisu, piirustus ja kommentit oppitunnin lopussa.

Elliptisiä ja muita sylinterimäisiä pintoja voidaan siirtää suhteessa koordinaattiakseleihin, esimerkiksi:

(artikkelin tutuilla perusteilla 2. järjestyksen rivit) - yksikkösäteen sylinteri, jonka symmetriaviiva kulkee akselin suuntaisen pisteen kautta. Käytännössä tällaisia ​​sylintereitä tulee kuitenkin vastaan ​​melko harvoin, ja on aivan uskomatonta kohdata sylinterimäinen pinta, joka on "viisto" koordinaattiakseleiden suhteen.

Paraboliset sylinterit

Kuten nimestä voi päätellä, opas sellainen sylinteri on paraabeli.

Esimerkki 11

Rakenna pinta ja etsi sen projektiot koordinaattitasoista.

Tätä esimerkkiä en voinut vastustaa =)

Päätös: Seuraamme polkua. Kirjoitetaan yhtälö uudelleen muotoon , josta seuraa, että "Z" voi saada minkä tahansa arvon. Kiinnitetään ja konstruoidaan tavallinen paraabeli tasolle, kun on aiemmin merkitty triviaaliset referenssipisteet. Koska "Z" kestää kaikki arvot, niin rakennettua paraabelia "toistetaan" jatkuvasti ylös ja alas äärettömään. Laitamme saman paraabelin syrjään esimerkiksi korkeudelle (tasossa) ja yhdistämme ne varovasti yhdensuuntaisilla viivoilla ( sylinterin generaattorit):

Muistutan hyödyllinen tekniikka: jos piirustuksen laatuun ei aluksi luota, on parempi ensin piirtää viivat ohuesti lyijykynällä. Sitten arvioimme luonnoksen laadun, selvitämme alueet, joissa pinta on piilossa silmiltämme, ja vasta sitten painamme kynää.

Ennusteet.

1) Sylinterin projektio tasoon on paraabeli. On huomattava, että tässä tapauksessa on mahdotonta puhua kahden muuttujan funktion alueet- siitä syystä, että sylinterin yhtälö ei ole pelkistettävissä toiminnalliseen muotoon.

2) Sylinterin projektio tasoon on puolitaso, mukaan lukien akseli

3) Ja lopuksi, sylinterin projektio tasoon on koko taso.

Esimerkki 12

Rakenna paraboliset sylinterit:

a) rajoittumme pinnan osaan lähipuoliavaruudessa;

b) siltä väliltä

Vaikeuksien sattuessa meillä ei ole kiirettä ja väittelemme analogisesti edellisten esimerkkien kanssa, onneksi tekniikka on huolellisesti kehitetty. Ei ole kriittinen, jos pinnat osoittautuvat hieman kömpelöiksi - on tärkeää näyttää peruskuva oikein. Itse en erityisemmin välitä viivojen kauneudesta, jos saan siedettävän "C-luokan" piirustuksen, en yleensä tee sitä uudestaan. Esimerkkiratkaisussa muuten käytettiin vielä yhtä tekniikkaa piirustuksen laadun parantamiseksi ;-)

Hyperboliset sylinterit

oppaita tällaiset sylinterit ovat hyperboleja. Tämäntyyppinen pinta on havaintojeni mukaan paljon harvinaisempi kuin aikaisemmat tyypit, joten rajoitan vain yhteen kaavamaiseen piirustukseen hyperbolisesta sylinteristä:

Päättelyn periaate on tässä täsmälleen sama - tavallinen koulun hyperbolia tasosta jatkuvasti "kertoutuu" ylös ja alas äärettömään.

Tarkasteltavat sylinterit kuuluvat ns toisen asteen pinnat, ja nyt jatkamme tutustumista tämän ryhmän muihin edustajiin:

Ellipsoidi. Pallo ja pallo

Ellipsoidin kanonisella yhtälöllä suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä on muoto , missä ovat positiiviset luvut ( akselin akselit ellipsoidi), joka yleisessä tapauksessa eri. Ellipsoidiksi kutsutaan pinta-, ja kehon tämän pinnan rajaamana. Kehon, kuten monet ovat arvaanneet, antaa epätasa-arvo ja minkä tahansa sisäpisteen (samoin kuin minkä tahansa pintapisteen) koordinaatit täyttävät tämän epäyhtälön. Suunnittelu on symmetrinen koordinaattiakseleiden ja koordinaattitasojen suhteen:

Termin "ellipsoidi" alkuperä on myös ilmeinen: jos pinta "leikataan" koordinaattitasoilla, osissa on kolme erilaista (yleisessä tapauksessa)