Tässä artikkelissa tarkastellaan lähemmin kahden vektorin ristitulon käsitettä. Annamme tarvittavat määritelmät, kirjoitamme kaavan vektoritulon koordinaattien löytämiseksi, luettelemme ja perustelemme sen ominaisuudet. Tämän jälkeen tarkastellaan kahden vektorin vektoritulon geometrista merkitystä ja tarkastellaan ratkaisuja erilaisiin tyypillisiin esimerkkeihin.

Sivulla navigointi.

Ristituotteen määritelmä.

Ennen kuin määrittelet vektoritulon, ymmärretään järjestetyn vektorin kolmikon suunta kolmiulotteisessa avaruudessa.

Piirretään vektorit yhdestä pisteestä. Vektorin suunnasta riippuen kolme voi olla oikea tai vasen. Katsotaan vektorin lopusta, kuinka lyhin kääntyy vektorista . Jos lyhin kierto tapahtuu vastapäivään, kutsutaan vektoreiden kolmiosaa oikein, muuten - vasemmalle.

Otetaan nyt kaksi ei-kollineaarista vektoria ja . Piirretään vektorit ja pisteestä A. Tehdään jokin vektori kohtisuorassa sekä ja että . On selvää, että kun rakennamme vektoria, voimme tehdä kaksi asiaa, antamalla sille joko yhden suunnan tai päinvastaisen (katso kuva).

Vektorin suunnasta riippuen vektoreiden järjestystripletti voi olla oikea- tai vasenkätinen.

Tämä vie meidät lähelle vektoritulon määritelmää. Se on annettu kahdelle vektorille, jotka on määritelty kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä.

Määritelmä.

Kahden vektorin ristitulo ja , joka on määritelty kolmiulotteisen avaruuden suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä, kutsutaan vektoriksi siten, että

Ristitulo vektorit ja on merkitty .

Vektoritulon koordinaatit.

Nyt annamme vektoritulon toisen määritelmän, jonka avulla voit löytää sen koordinaatit annettujen vektorien koordinaateista ja.

Määritelmä.

Kolmiulotteisen avaruuden suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä kahden vektorin vektoritulo Ja on vektori , missä ovat koordinaattivektorit.

Tämä määritelmä antaa meille ristitulon koordinaattimuodossa.

On kätevää esittää vektoritulo kolmannen kertaluvun neliömatriisin determinanttina, jonka ensimmäinen rivi on vektorit, toinen rivi sisältää vektorin koordinaatit ja kolmas sisältää vektorin koordinaatit tietyssä. suorakulmainen koordinaattijärjestelmä:

Jos laajennetaan tämä determinantti ensimmäisen rivin elementteihin, saadaan yhtäläisyys vektoritulon määritelmästä koordinaateissa (katso tarvittaessa artikkeli):

On huomattava, että vektoritulon koordinaattimuoto on täysin yhdenmukainen tämän artikkelin ensimmäisessä kappaleessa annetun määritelmän kanssa. Lisäksi nämä kaksi ristiintuotteen määritelmää ovat samanarvoisia. Voit nähdä todisteen tästä tosiasiasta artikkelin lopussa luetellusta kirjasta.

Vektoritulon ominaisuudet.

Koska vektoritulo koordinaateissa voidaan esittää matriisin determinanttina, seuraava voidaan helposti perustella ristituotteen ominaisuudet:

Todistetaan esimerkkinä vektoritulon antikommutatiivinen ominaisuus.

A-priory Ja . Tiedämme, että matriisin determinantin arvo käännetään, jos kaksi riviä vaihdetaan, joten , joka todistaa vektorituotteen antikommutatiivisen ominaisuuden.

Vektorituote - esimerkkejä ja ratkaisuja.

Ongelmia on pääasiassa kolmenlaisia.

Ensimmäisen tyypin tehtävissä on annettu kahden vektorin pituudet ja niiden välinen kulma, ja sinun on löydettävä vektoritulon pituus. Tässä tapauksessa käytetään kaavaa .

Esimerkki.

Etsi vektoritulon pituus vektoreista ja , jos tiedossa .

Ratkaisu.

Tiedämme määritelmästä, että vektorien vektoritulon pituus ja on yhtä suuri kuin vektorien pituuksien tulo ja niiden välisen kulman sini, joten .

Vastaus:

.

Toisen tyypin ongelmat liittyvät vektoreiden koordinaatteihin, joissa vektorituloa, sen pituutta tai mitä tahansa muuta etsitään annettujen vektorien koordinaattien kautta. Ja .

Tässä on monia erilaisia ​​vaihtoehtoja. Esimerkiksi vektorien ja koordinaatteja ei voida määrittää, vaan niiden laajennukset muodon koordinaattivektoreiksi ja , tai vektorit ja voidaan määrittää niiden alku- ja loppupisteiden koordinaatteilla.

Katsotaanpa tyypillisiä esimerkkejä.

Esimerkki.

Kaksi vektoria on annettu suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä . Etsi heidän ristituotteensa.

Ratkaisu.

Toisen määritelmän mukaan kahden koordinaatin vektorin vektoritulo kirjoitetaan seuraavasti:

Olisimme päässeet samaan tulokseen, jos vektoritulo olisi kirjoitettu determinantin mukaan

Vastaus:

.

Esimerkki.

Etsi vektorien vektoritulon pituus ja , missä ovat suorakulmaisen karteesisen koordinaatiston yksikkövektorit.

Ratkaisu.

Ensin löydetään vektoritulon koordinaatit tietyssä suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä.

Koska vektoreilla ja on koordinaatit ja vastaavasti (katso tarvittaessa vektorin artikkelin koordinaatit suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä), niin vektoritulon toisella määritelmällä meillä on

Eli vektoritulo sillä on koordinaatit tietyssä koordinaattijärjestelmässä.

Löydämme vektoritulon pituuden sen koordinaattien neliöiden summan neliöjuurena (saimme tämän vektorin pituuden kaavan osiossa vektorin pituuden löytämisestä):

Vastaus:

.

Esimerkki.

Suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaattijärjestelmässä on annettu kolmen pisteen koordinaatit. Etsi jokin vektori, joka on kohtisuorassa ja samaan aikaan.

Ratkaisu.

Vektorit ja niillä on koordinaatit ja vastaavasti (katso artikkeli vektorin koordinaattien löytämisestä pisteiden koordinaattien kautta). Jos löydämme vektorien ja vektoritulon, niin se on määritelmän mukaan vektori, joka on kohtisuorassa sekä kohtaan että kohtaan, eli se on ratkaisu ongelmaamme. Etsitään hänet

Vastaus:

- yksi kohtisuorassa olevista vektoreista.

Kolmannen tyypin ongelmissa testataan taitoa käyttää vektorien vektoritulon ominaisuuksia. Ominaisuuksien käyttämisen jälkeen sovelletaan vastaavia kaavoja.

Esimerkki.

Vektorit ja ovat kohtisuorassa ja niiden pituudet ovat 3 ja 4, vastaavasti. Etsi ristitulon pituus .

Ratkaisu.

Vektoritulon distributiivisen ominaisuuden perusteella voimme kirjoittaa

Kombinaatioominaisuuden vuoksi otamme numeeriset kertoimet pois vektoritulojen etumerkistä viimeisessä lausekkeessa:

Vektoritulot ja ovat nolla, koska Ja , Sitten.

Koska vektoritulo on antikommutatiivinen, niin .

Joten, käyttämällä vektoritulon ominaisuuksia, saavuimme yhtäläisyyteen .

Ehdolla vektorit ja ovat kohtisuorassa, eli niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin . Eli meillä on kaikki tiedot tarvittavan pituuden löytämiseksi

Vastaus:

.

Vektoritulon geometrinen merkitys.

Määritelmän mukaan vektorien vektoritulon pituus on . Ja lukion geometriakurssilta tiedämme, että kolmion pinta-ala on puolet kolmion kahden sivun pituuden ja niiden välisen kulman sinin tulosta. Näin ollen vektoritulon pituus on kaksi kertaa kolmion pinta-ala, jonka sivut ovat vektorit ja , jos ne piirretään yhdestä pisteestä. Toisin sanoen vektorien vektoritulon pituus ja on yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala, jonka sivut ja ja niiden välinen kulma on yhtä suuri kuin . Tämä on vektoritulon geometrinen merkitys.

Tällä oppitunnilla tarkastelemme kahta muuta operaatiota vektoreilla: vektorien vektoritulo Ja vektorien sekatulo (välitön linkki sitä tarvitseville). Ei haittaa, joskus käy niin, että täyden onnen vuoksi vektorien skalaaritulo, tarvitaan enemmän ja enemmän. Tämä on vektoririippuvuus. Saattaa näyttää siltä, ​​että olemme joutumassa analyyttisen geometrian viidakkoon. Tämä on väärin. Tässä korkeamman matematiikan osiossa puuta on yleensä vähän, paitsi ehkä tarpeeksi Pinocchiolle. Itse asiassa materiaali on hyvin yleinen ja yksinkertainen - tuskin monimutkaisempi kuin sama skalaarituote, tyypillisiä tehtäviä tulee vielä vähemmän. Tärkein asia analyyttisessä geometriassa, kuten monet ovat vakuuttuneita tai ovat jo vakuuttuneet, on EI TEHDÄ VIRHEITÄ LASKENTAAN. Toista kuin loitsu ja olet onnellinen =)

Jos vektorit kimaltelevat jossain kaukana, kuten salama horisontissa, sillä ei ole väliä, aloita oppitunnilla Vektorit tutille palauttaa tai hankkia uudelleen perustiedot vektoreista. Valmistautuneemmat lukijat voivat tutustua tietoihin valikoivasti, yritin kerätä mahdollisimman kattavan kokoelman käytännön työssä usein esiintyviä esimerkkejä

Mikä tekee sinut onnelliseksi heti? Kun olin pieni, pystyin jongleeraamaan kahta ja jopa kolmea palloa. Se onnistui hyvin. Nyt sinun ei tarvitse jongleerata ollenkaan, koska harkitsemme vain spatiaaliset vektorit, ja tasaiset vektorit, joissa on kaksi koordinaattia, jätetään pois. Miksi? Näin nämä toiminnot syntyivät - vektorien vektori ja sekatulo määritellään ja toimivat kolmiulotteisessa avaruudessa. Se on jo helpompaa!

Tämä operaatio, kuten skalaaritulo, sisältää kaksi vektoria. Olkoot nämä katoamattomia kirjaimia.

Itse toiminta merkitty seuraavalla tavalla: . On muitakin vaihtoehtoja, mutta olen tottunut merkitsemään vektorien vektorituloa tällä tavalla, hakasulkeissa ristillä.

Ja heti kysymys: jos sisään vektorien skalaaritulo kaksi vektoria on mukana, ja tässä myös kerrotaan kaksi vektoria mikä on ero? Ilmeinen ero on ensinnäkin TULOKSET:

Vektorien skalaaritulon tulos on NUMERO:

Vektorien ristitulon tulos on VECTOR: , eli kerrotaan vektorit ja saadaan taas vektori. Suljettu klubi. Itse asiassa toiminnan nimi tulee tästä. Eri oppikirjoissa nimitykset voivat myös vaihdella, käytän kirjainta.

Ristituotteen määritelmä

Ensin tulee määritelmä kuvan kanssa, sitten kommentit.

Määritelmä: Vector tuote ei-kollineaarinen vektorit, otettu tässä järjestyksessä, nimeltä VECTOR, pituus mikä on numeerisesti yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala, rakennettu näille vektoreille; vektori kohtisuorassa vektoreihin nähden, ja se on suunnattu siten, että pohjalla on oikea suunta:

Puretaan määritelmä pala palalta, täällä on paljon mielenkiintoista!

Joten voidaan korostaa seuraavia tärkeitä kohtia:

1) Alkuperäiset vektorit, merkitty punaisilla nuolilla, määritelmän mukaan ei kollineaarista. Kollineaaristen vektorien tapausta on aiheellista tarkastella hieman myöhemmin.

2) Vektorit otetaan tiukasti määritellyssä järjestyksessä: – "a" kerrotaan "olla", ei "olla" ja "a". Vektorin kertolaskutulos on VECTOR, joka on merkitty sinisellä. Jos vektorit kerrotaan käänteisessä järjestyksessä, saadaan vektori, joka on yhtä pitkä ja vastakkainen (vadelman väri). Eli tasa-arvo on totta .

3) Tutustutaan nyt vektoritulon geometriseen merkitykseen. Tämä on erittäin tärkeä kohta! Sinisen vektorin PITUUS (ja siten purppuraisen vektorin) on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoreille rakennetun suunnikkaan ALA. Kuvassa tämä suuntaviiva on varjostettu mustaksi.

Huomautus : piirustus on kaavamainen, ja luonnollisesti vektoritulon nimellispituus ei ole yhtä suuri kuin suunnikkaan pinta-ala.

Muistakaamme yksi geometrisistä kaavoista: Suunnikkaan pinta-ala on yhtä suuri kuin vierekkäisten sivujen ja niiden välisen kulman sini tulo. Siksi yllä olevan perusteella kaava vektoritulon PITUUS laskemiseksi on voimassa:

Korostan, että kaava koskee vektorin PITUUSTA, ei itse vektoria. Mikä on käytännön merkitys? Ja merkitys on, että analyyttisen geometrian ongelmissa suunnikkaan pinta-ala löytyy usein vektoritulon käsitteen kautta:

Otetaan toinen tärkeä kaava. Suunnikkaan diagonaali (punainen katkoviiva) jakaa sen kahteen yhtä suureen kolmioon. Siksi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala (punainen varjostus) voidaan löytää kaavalla:

4) Yhtä tärkeä tosiasia on, että vektori on ortogonaalinen vektoreihin nähden . Tietenkin vastakkaiseen suuntaan suunnattu vektori (vadelmanuoli) on myös ortogonaalinen alkuperäisiin vektoreihin nähden.

5) Vektori on suunnattu siten, että perusta Sillä on oikein suuntautuminen. Oppitunnilla aiheesta siirtyminen uudelle perustalle Puhuin riittävän yksityiskohtaisesti tasosuuntaus, ja nyt selvitämme, mikä avaruussuunta on. Selitän sormillasi oikea käsi. Yhdistä henkisesti etusormi vektorilla ja keskisormi vektorin kanssa. Nimetön ja pikkusormi paina se kämmenelle. Tuloksena peukalo– vektoritulo näyttää ylöspäin. Tämä on oikealle suuntautunut perusta (se on tämä kuvassa). Vaihda nyt vektoreita ( etu- ja keskisormi) joissakin paikoissa, minkä seurauksena peukalo kääntyy ympäri ja vektoritulo näyttää jo alas. Tämä on myös oikealle suuntautunut perusta. Sinulla voi olla kysymys: mikä perusta on vasemmalle suuntautunut? "Määritä" samoihin sormiin vasen käsi vektorit ja saat avaruuden vasemman kanta- ja vasemman suuntauksen (tässä tapauksessa peukalo sijaitsee alemman vektorin suunnassa). Kuvannollisesti puhuen nämä pohjat "kiertelevät" tai suuntaavat tilaa eri suuntiin. Ja tätä käsitettä ei pidä pitää kaukaa haettuna tai abstraktina - esimerkiksi tilan suuntaa muuttaa tavallisin peili, ja jos "vedät heijastuneen esineen ulos lasista", niin yleensä se sitä ei voi yhdistää "alkuperäiseen". Pidä muuten kolme sormea ​​peiliä vasten ja analysoi heijastus ;-)

...kuinka hyvä, että nyt tiedät siitä oikealle ja vasemmalle suunnattu perusteet, koska joidenkin luennoitsijoiden lausunnot suuntautumisen muutoksesta ovat pelottavia =)

Kollineaaristen vektorien ristitulo

Määritelmää on käsitelty yksityiskohtaisesti, on vielä selvitettävä, mitä tapahtuu, kun vektorit ovat kollineaarisia. Jos vektorit ovat kollineaarisia, ne voidaan sijoittaa yhdelle suoralle ja suunnikkaamme myös "taittuu" yhdeksi suoraksi. Sellaisten alue, kuten matemaatikot sanovat, rappeutunut suunnikas on yhtä suuri kuin nolla. Sama seuraa kaavasta - nollan tai 180 asteen sini on yhtä suuri kuin nolla, mikä tarkoittaa, että alue on nolla

Eli jos , niin Ja . Huomaa, että itse vektoritulo on yhtä suuri kuin nollavektori, mutta käytännössä tämä usein jätetään huomiotta ja kirjoitetaan, että se on myös nolla.

Erikoistapaus on vektorin ristitulo itsensä kanssa:

Vektoritulon avulla voit tarkistaa kolmiulotteisten vektoreiden kollineaarisuuden ja analysoimme myös tämän ongelman mm.

Käytännön esimerkkien ratkaisemiseksi saatat tarvita trigonometrinen taulukko löytääksesi siitä sinien arvot.

No, sytytetään tuli:

Esimerkki 1

a) Laske vektorien vektoritulon pituus jos

b) Etsi vektoreille rakennetun suunnikkaan pinta-ala, jos

Ratkaisu: Ei, tämä ei ole kirjoitusvirhe, tein tarkoituksella lauseiden alkutiedot samanlaisiksi. Koska ratkaisujen suunnittelu on erilainen!

a) Ehdon mukaan sinun on löydettävä pituus vektori (ristitulo). Vastaavan kaavan mukaan:

Vastaus:

Jos sinulta kysyttiin pituutta, ilmoitamme vastauksessa mitat - yksiköt.

b) Ehdon mukaan sinun on löydettävä neliö vektoreihin rakennettu suunnikas. Tämän suuntaviivan pinta-ala on numeerisesti yhtä suuri kuin vektoritulon pituus:

Vastaus:

Huomaa, että vastaus ei puhu vektorituloksesta ollenkaan, meiltä kysyttiin hahmon alue, vastaavasti mitta on neliöyksikköä.

Katsomme aina MITÄ meidän täytyy löytää tilanteen mukaan, ja tämän perusteella muotoilemme asia selvä vastaus. Se voi tuntua kirjaimellisuudesta, mutta opettajien joukossa on runsaasti kirjaimellisia ja tehtävä on hyvät mahdollisuudet saada palautettua tarkistettavaksi. Vaikka tämä ei ole mitenkään erityisen kaukaa haettu kiukuttelu - jos vastaus on väärä, syntyy vaikutelma, että henkilö ei ymmärrä yksinkertaisia ​​asioita ja/tai ei ole ymmärtänyt tehtävän ydintä. Tämä kohta on aina pidettävä kurissa, kun ratkaistaan ​​korkeamman matematiikan ja myös muiden oppiaineiden ongelmia.

Mihin iso en-kirjain katosi? Periaatteessa se olisi voitu liittää myös ratkaisuun, mutta merkinnän lyhentämiseksi en tehnyt tätä. Toivottavasti kaikki ymmärtävät sen ja ovat nimitys samalle asialle.

Suosittu esimerkki tee-se-itse-ratkaisusta:

Esimerkki 2

Etsi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Kaava kolmion alueen löytämiseksi vektoritulon kautta on annettu määritelmän kommenteissa. Ratkaisu ja vastaus ovat oppitunnin lopussa.

Käytännössä tehtävä on todella yleinen, kolmiot voivat yleensä kiusata sinua.

Muiden ongelmien ratkaisemiseksi tarvitsemme:

Vektorien vektoritulon ominaisuudet

Olemme jo tarkastelleet joitain vektorituotteen ominaisuuksia, mutta sisällytän ne tähän luetteloon.

Mielivaltaisille vektoreille ja mielivaltaiselle luvulle seuraavat ominaisuudet ovat tosia:

1) Muissa tietolähteissä tätä kohtaa ei yleensä korosteta ominaisuuksissa, mutta se on käytännön kannalta erittäin tärkeä. Joten anna sen olla.

2) – kiinteistöstä puhutaan myös edellä, joskus sitä kutsutaan antikommutatiivisuus. Toisin sanoen vektorien järjestyksellä on väliä.

3) – assosiatiivinen tai assosiatiivista vektoritulolakeja. Vakiot voidaan helposti siirtää vektoritulon ulkopuolelle. Oikeasti, mitä heidän siellä pitäisi tehdä?

4) – jakelu tai jakavia vektoritulolakeja. Myöskään kiinnikkeiden avaamisessa ei ole ongelmia.

Sen havainnollistamiseksi katsotaanpa lyhyt esimerkki:

Esimerkki 3

Etsi jos

Ratkaisu: Ehto vaatii jälleen vektoritulon pituuden löytämisen. Maalataan pienoismallimme:

(1) Assosiatiivisten lakien mukaan otamme vakiot vektoritulon piirin ulkopuolelle.

(2) Siirrämme vakion moduulin ulkopuolelle ja moduuli "syö" miinusmerkin. Pituus ei voi olla negatiivinen.

(3) Loput on selvää.

Vastaus:

On aika laittaa lisää puuta tuleen:

Esimerkki 4

Laske vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala, jos

Ratkaisu: Etsi kolmion pinta-ala kaavan avulla . Havainto on, että vektorit "tse" ja "de" esitetään itse vektoreiden summana. Tässä oleva algoritmi on vakio ja muistuttaa jonkin verran oppitunnin esimerkkejä 3 ja 4 Vektorien pistetulo. Selvyyden vuoksi jaamme ratkaisun kolmeen vaiheeseen:

1) Ensimmäisessä vaiheessa ilmaisemme vektorituotteen vektorituotteen kautta, itse asiassa, ilmaistaan ​​vektori vektorilla. Pituudesta ei vielä puhuttu!

(1) Korvaa vektorien lausekkeet.

(2) Distributiivisia lakeja käyttäen avataan sulut polynomien kertolaskusäännön mukaisesti.

(3) Assosiatiivisia lakeja käyttämällä siirrämme kaikki vakiot vektoritulojen ulkopuolelle. Pienellä kokemuksella vaiheet 2 ja 3 voidaan suorittaa samanaikaisesti.

(4) Ensimmäinen ja viimeinen termi ovat yhtä kuin nolla (nollavektori) johtuen mukavasta ominaisuudesta. Toisessa termissä käytämme vektorituotteen antikommutatiivisuuden ominaisuutta:

(5) Esittelemme samanlaisia ​​termejä.

Tämän seurauksena vektori osoittautui ilmaistuksi vektorin kautta, mikä vaadittiin saavuttamiseksi:

2) Toisessa vaiheessa löydämme tarvitsemamme vektoritulon pituuden. Tämä toiminto on samanlainen kuin esimerkki 3:

3) Etsi vaaditun kolmion pinta-ala:

Ratkaisun vaiheet 2-3 olisi voitu kirjoittaa yhdelle riville.

Vastaus:

Harkittu ongelma on melko yleinen testeissä, tässä on esimerkki sen ratkaisemiseksi itse:

Esimerkki 5

Etsi jos

Lyhyt ratkaisu ja vastaus oppitunnin lopussa. Katsotaan kuinka tarkkaavainen olit tutkiessasi aiempia esimerkkejä ;-)

Koordinaattien vektorien ristitulo

, määritetty ortonormaalisti, ilmaistaan ​​kaavalla:

Kaava on todella yksinkertainen: determinantin ylimmälle riville kirjoitamme koordinaattivektorit, toiselle ja kolmannelle riville "laitamme" vektorien koordinaatit ja laitamme tiukassa järjestyksessä– ensin "ve"-vektorin koordinaatit, sitten "double-ve"-vektorin koordinaatit. Jos vektorit on kerrottava eri järjestyksessä, rivit tulee vaihtaa:

Esimerkki 10

Tarkista, ovatko seuraavat avaruusvektorit kollineaarisia:
A)
b)

Ratkaisu: Tarkistus perustuu yhteen tämän oppitunnin lauseeseen: jos vektorit ovat kollineaarisia, niin niiden vektoritulo on yhtä suuri kuin nolla (nollavektori): .

a) Etsi vektoritulo:

Siten vektorit eivät ole kollineaarisia.

b) Etsi vektoritulo:

Vastaus: a) ei kollineaarinen, b)

Tässä on ehkä kaikki perustiedot vektorien vektoritulosta.

Tämä osa ei ole kovin suuri, koska vektoreiden sekatuloa käytettäessä on vähän ongelmia. Itse asiassa kaikki riippuu määritelmästä, geometrisestä merkityksestä ja muutamasta työkaavasta.

Vektorien sekatulo on kolmen vektorin tulo:

Joten he asettuivat jonoon kuin juna eivätkä malta odottaa, että heidät tunnistetaan.

Ensin jälleen määritelmä ja kuva:

Määritelmä: Sekatyötä ei-tasossa vektorit, otettu tässä järjestyksessä, nimeltään suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu näille vektoreille, varustettu "+"-merkillä, jos kanta on oikea, ja "-"-merkillä, jos kanta on vasen.

Tehdään piirustus. Meille näkymättömät viivat piirretään katkoviivoilla:

Sukellaan määritelmään:

2) Vektorit otetaan tietyssä järjestyksessä, eli vektorien uudelleenjärjestely tuotteessa, kuten saatat arvata, ei tapahdu ilman seurauksia.

3) Ennen kuin kommentoin geometrista merkitystä, huomautan ilmeisen tosiasian: vektorien sekatulo on NUMERO: . Oppikirjallisuudessa muotoilu voi olla hieman erilainen, olen tottunut merkitsemään sekatuotetta kirjaimella ja laskelmien tulosta kirjaimella "pe".

A-priory sekoitettu tuote on suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu vektoreille (kuvio on piirretty punaisilla vektoreilla ja mustilla viivoilla). Eli luku on yhtä suuri kuin tietyn suuntaissärmiön tilavuus.

Huomautus : Piirustus on kaavamainen.

4) Älkäämme enää murehtiko perustan ja tilan suuntauksen käsitteestä. Loppuosan tarkoitus on, että äänenvoimakkuuteen voidaan lisätä miinusmerkki. Yksinkertaisesti sanottuna sekoitettu tuote voi olla negatiivinen: .

Suoraan määritelmästä seuraa kaava vektoreille rakennetun suuntaissärmiön tilavuuden laskemiseksi.

Testi nro 1

Vektorit. Korkeamman algebran elementit

1-20. Vektorien ja ja pituudet tunnetaan; – näiden vektorien välinen kulma.

Laske: 1) ja 2).3) Etsi vektoreille rakennetun kolmion pinta-ala ja.

Tee piirustus.

Ratkaisu. Käyttämällä vektoreiden pistetulon määritelmää:

Ja skalaarituotteen ominaisuudet: ,

1) etsi vektorin skalaarineliö:

eli sitten .

Väittelemällä samalla tavalla saamme

eli sitten .

Vektoritulon määritelmän mukaan: ,

sen huomioon ottaen

Vektoreista rakennetun kolmion pinta-ala on yhtä suuri kuin

21-40. Kolmen kärjen tunnetut koordinaatit A, B, D suunnikas ABCD. Vektorialgebraa käyttämällä tarvitset:

A(3;0;-7), B(2;4;6), D(-7;-5;1)

Ratkaisu.

Tiedetään, että suunnikkaan lävistäjät jaetaan puoliksi leikkauspisteessä. Siksi pisteen koordinaatit E- diagonaalien leikkauspiste - etsi janan keskikohdan koordinaatit BD. Merkitään niitä x E ,y E , z E saamme sen

Saamme.

Tietäen pisteen koordinaatit E- diagonaalin keskipiste BD ja sen yhden pään koordinaatit A(3;0;-7), Kaavojen avulla määritetään kärjen tarvittavat koordinaatit KANSSA suunnikas:

Eli huippu.

2) Löytääksemme vektorin projektion vektoriin, löydämme näiden vektorien koordinaatit: ,

samalla lailla . Vektorin projektio vektoriin löydetään kaavalla:

3) Suunnikkaan lävistäjien välinen kulma löytyy vektorien väliseksi kulmaksi

Ja skalaaritulon ominaisuuden perusteella:

Sitten

4) Etsi suunnikkaan pinta-ala vektoritulon moduulina:

5) Pyramidin tilavuus löytyy kuudesosana vektorien sekatulon moduulista, missä O(0;0;0), niin

Sitten tarvittava tilavuus (kuutioyksikköä)

41-60. Annetut matriisit:

V C -1 +3A T

Nimitykset:

Ensin löydämme matriisin C käänteismatriisin.

Tätä varten löydämme sen määräävän tekijän:

Determinantti on eri kuin nolla, joten matriisi on ei-singulaarinen ja sille löytyy käänteismatriisi C -1

Etsitään algebralliset komplementit kaavalla , jossa on elementin molli:

Sitten,.

61–80. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä:

Cramerin menetelmä; 2. Matriisimenetelmä.

Ratkaisu.

a) Cramerin menetelmä

Etsitään järjestelmän determinantti

Siitä lähtien järjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu.

Etsitään determinantit ja korvataan kerroinmatriisin ensimmäinen, toinen ja kolmas sarake vapaiden termien sarakkeella.

Cramerin kaavojen mukaan:

b)matriisimenetelmä (käyttäen käänteismatriisia).

Kirjoitamme tämän järjestelmän matriisimuotoon ja ratkaisemme sen käänteismatriisin avulla.

Antaa A– tuntemattomien kertoimien matriisi; X– tuntemattomien matriisisarake x, y, z Ja N– matriisi-sarake ilmaisista jäsenistä:

Järjestelmän (1) vasen puoli voidaan kirjoittaa matriisien tulona ja oikea puoli matriisiksi N. Siksi meillä on matriisiyhtälö

Koska determinantti matriisin A on eri kuin nolla (piste "a"), sitten matriisi A on käänteinen matriisi. Kerrotaan yhtälön (2) molemmat puolet vasemmalla matriisilla, saadaan

Mistä lähtien E on identiteettimatriisi, ja sitten

Otetaan ei-singulaarinen matriisi A:

Sitten löydämme käänteisen matriisin kaavalla:

Missä A ij- elementin algebrallinen komplementti a ij matriisin determinantissa A, joka on (-1) i+j:n ja mollin (determinantin) tulo n-1 poistamalla saatu tilaus i-th linjat ja jth sarake matriisin A determinantissa:

Tästä saamme käänteisen matriisin:

Sarake X: X = A - 1 H

81–100. Ratkaise lineaarinen yhtälöjärjestelmä Gaussin menetelmällä

Ratkaisu. Kirjoitetaan järjestelmä laajennetun matriisin muodossa:

Teemme alkeismuunnoksia jousilla.

Toiselta riviltä vähennetään ensimmäinen rivi kerrottuna 2:lla. Riviltä 3 vähennetään ensimmäinen rivi kerrottuna 4:llä. Riviltä 4 vähennetään ensimmäinen rivi, saadaan matriisi:

Seuraavaksi saamme nollan seuraavien rivien ensimmäiseen sarakkeeseen; tehdäksesi tämän, vähennä kolmas rivi toisesta rivistä. Kolmannesta rivistä vähennetään toinen rivi kerrottuna 2:lla. Vähennä neljännestä rivistä toinen rivi kerrottuna 3:lla. Tuloksena saadaan matriisi, jonka muoto on:

Neljännestä rivistä vähennetään kolmas.

Vaihdetaan toiseksi viimeinen ja viimeinen rivi:

Viimeinen matriisi vastaa yhtälöjärjestelmää:

Järjestelmän viimeisestä yhtälöstä löydämme .

Korvaamalla toiseksi viimeiseen yhtälöön, saamme .

Järjestelmän toisesta yhtälöstä seuraa, että

Ensimmäisestä yhtälöstä löydämme x:

Vastaus:

Testi nro 2

Analyyttinen geometria

1-20. Annettu kolmion kärkien koordinaatit ABC. Löytö:

1) sivun pituus ASISÄÄN;

2) sivujen yhtälöt AB Ja Aurinko ja niiden kulmakertoimet;

3) kulma SISÄÄN radiaaneina kahden numeron tarkkuudella;

4) korkeusyhtälö CD ja sen pituus;

5) mediaaniyhtälö AE

korkeus CD;

TO yhdensuuntainen sivun kanssa AB,

7) Piirrä piirustus.

A(3;6), B(15;-3), C(13;11)

Ratkaisu.

Soveltamalla (1) löydämme sivun pituuden AB:

2) sivujen yhtälöt AB Ja Aurinko ja niiden kulmakertoimet:

Pisteiden läpi kulkevan suoran yhtälöllä on muoto

Korvaa pisteiden koordinaatit kohteeksi (2) A Ja SISÄÄN, saamme sivun yhtälön AB:

(AB).

(B.C.).

3) kulma SISÄÄN radiaaneina kahden numeron tarkkuudella.

Tiedetään, että kahden suoran välisen kulman tangentti, joiden kulmakertoimet ovat vastaavasti yhtä suuret, lasketaan kaavalla

Vaadittu kulma SISÄÄN muodostettu suorista viivoista AB Ja Aurinko, jonka kulmakertoimet löytyvät: ; . Sovellettaessa (3) saamme

; , tai

4) korkeusyhtälö CD ja sen pituus.

Etäisyys pisteestä C suoraan AB:

5) mediaaniyhtälö AE ja tämän mediaanin kanssa leikkauspisteen K koordinaatit

korkeus CD.

keskellä aurinkoa:

Sitten yhtälö AE:

Ratkaisemme yhtälöjärjestelmän:

6) pisteen läpi kulkevan suoran yhtälö TO yhdensuuntainen sivun kanssa AB:

Koska haluttu viiva on yhdensuuntainen sivun kanssa AB, niin sen kulmakerroin on yhtä suuri kuin suoran kulmakerroin AB. Korvaa löydetyn pisteen koordinaatit (4) TO ja rinnettä, saamme

; (KF).

Suunnikkaan pinta-ala on 12 neliömetriä. yksikköä, sen kaksi kärkeä ovat pisteitä A(-1;3) Ja B(-2;4). Etsi tämän suunnikkaan kaksi muuta kärkeä, jos tiedetään, että sen diagonaalien leikkauspiste on x-akselilla. Tee piirustus.

Ratkaisu. Olkoon diagonaalien leikkauspisteellä koordinaatit.

Sitten se on selvää

siksi vektorien koordinaatit ovat .

Löydämme suunnikkaan alueen kaavan avulla

Sitten kahden muun kärjen koordinaatit ovat .

Tehtävissä 51-60 on annettu pisteiden koordinaatit A ja B. Edellytetään:

Kirjoita kanoninen yhtälö näiden pisteiden läpi kulkevalle hyperbolille A ja B, jos hyperbolin polttopisteet sijaitsevat x-akselilla;

Etsi tämän hyperbolin puoliakselit, fokukset, epäkeskisyys ja asymptoottien yhtälöt;

Etsi kaikki hyperbolin ja ympyrän, jonka keskipiste on origossa, leikkauspisteet, jos tämä ympyrä kulkee hyperbolin polttopisteiden kautta;

Muodosta hyperboli, sen asymptootit ja ympyrä.

A(6;-2), B(-8;12).

Ratkaisu. Halutun hyperbelin yhtälö kanonisessa muodossa kirjoitetaan

Missä a- hyperbelin todellinen puoliakseli, b- kuvitteellinen puoliakseli. Korvaa pisteiden koordinaatit A Ja SISÄÄN Tästä yhtälöstä löydämme nämä puoliakselit:

– hyperboliyhtälö: .

Puoliakselit a=4,

polttoväli Tarkennukset (-8.0) ja (8.0)

Epäkeskisyys

Asyptootit:

Jos ympyrä kulkee origon läpi, sen yhtälö on

Korvaamalla yhden polttopisteistä löydämme ympyrän yhtälön

Etsi hyperbolin ja ympyrän leikkauspisteet:

Rakennamme piirustuksen:

Muodosta tehtävissä 61-80 napakoordinaatistossa olevan funktion kuvaaja piste pisteeltä antamalla  arvot välin  kautta /8 (0   2). Etsi suoran yhtälö suorakaiteen muotoisesta suorakulmaisesta koordinaattijärjestelmästä (abskissan positiivinen puoliakseli on sama kuin napa-akseli ja napa origon kanssa).

Ratkaisu. Rakennetaan viiva pisteiden mukaan täyttämällä ensin arvotaulukko ja φ.

Määrä	φ ,	φ, astetta			Määrä	φ , iloinen	astetta
								3∙(x 2 +2∙1x + 1) -3∙1 = 3(x+1) 2 - 3 päättelemme, että tämä yhtälö määrittelee ellipsin: Pisteitä annetaan A, SISÄÄN , C, D . Pitää löytää: 1. Tasoyhtälö (K), kulkee pisteiden läpi A, B, C D lentokoneessa (Q); 2. Suorayhtälö (minä), kulkee pisteiden läpi SISÄÄN ja D; 3. Tason välinen kulma (Q) ja suoraan (minä); 4. Tasoyhtälö (R), kulkee pisteen läpi A kohtisuorassa suoraa linjaa vastaan (minä); 5. Tasojen välinen kulma (R) Ja (K) ; 6. Suoran yhtälö (T), kulkee pisteen läpi A sen sädevektorin suunnassa; 7. Kulma suorien viivojen välillä (minä) Ja (T). A(9;-8;1), B(-9;4;5), C(9;-5;5),D(6;4;0) 1. Tasoyhtälö (K), kulkee pisteiden läpi A, B, C ja tarkista, onko pointti D tasossa määritetään kaavalla Etsi: 1) . 2) Neliö suunnikas, rakennettu päällä Ja. 3) suuntaissärmiön tilavuus, rakennettu päällä vektorit, Ja. Ohjaus Job tässä aiheessa " Elementit lineaaristen avaruuksien teoria... Menetelmäsuositukset tutkinnon perustutkinto-osa-aikaisten opintojen kokeiden suorittamiseen 080100. 62 suuntaan Ohjeita pyramidin rinnakkaisputki ja tilavuus, rakennettu päällä vektorit, Ja. Ratkaisu: 2-=2(1;1;1)-(2;1;4)= (2;2;2)-(2;1;4)=(0;1;-2)... . . . 4. TEHTÄVÄT HALLINTA TOIMII Osa I. Lineaarinen algebra. 1-10. Koska...