Kuten aiemmin mainittiin, esimerkkejä todennäköisyysjakaumista jatkuva satunnaismuuttuja X ovat:
- jatkuvan satunnaismuuttujan tasainen todennäköisyysjakauma;
- jatkuvan satunnaismuuttujan eksponentiaalinen todennäköisyysjakauma;
- normaalijakauma jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyydet.
Esitetään yhtenäisen ja eksponentiaalisen jakautumislain käsite, todennäköisyyskaavat ja tarkasteltavien funktioiden numeeriset ominaisuudet.
| Indeksi | Satunnaisjakauman laki | Jakauman eksponentiaalinen laki |
|---|---|---|
| Määritelmä | Univormua kutsutaan jatkuvan satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma, jonka tiheys pysyy vakiona välissä ja jolla on muoto | Eksponentiaalista (eksponentiaalista) kutsutaan jatkuvan satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauma, jota kuvaa tiheys, jolla on muoto |
 missä λ on vakio positiivinen arvo |
||
| jakelutoiminto |  |
 |
| Todennäköisyys osuu väliin |  |
 |
| Odotettu arvo |  |
|
| Dispersio |  |
|
| Vakiopoikkeama |  |
Esimerkkejä ongelmien ratkaisemisesta aiheesta "Jakauman yhtenäiset ja eksponentiaaliset lait"
Tehtävä 1.
Bussit kulkevat tiukasti aikataulun mukaan. Liikkeiden väli 7 min. Laske: (a) todennäköisyys, että pysäkille saapuva matkustaja odottaa seuraavaa bussia alle kaksi minuuttia; b) todennäköisyys, että pysäkille saapuva matkustaja odottaa seuraavaa bussia vähintään kolme minuuttia; c) matemaattinen odotus ja satunnaismuuttujan X - matkustajan odotusaika - keskihajonta.
Ratkaisu. 1. Tehtävän ehdon mukaan jatkuva satunnaismuuttuja X=(matkustajan odotusaika) tasaisesti jaettu kahden bussin saapumisen välillä. Satunnaismuuttujan X jakaumavälin pituus on b-a=7, missä a=0, b=7.
2. Odotusaika on alle kaksi minuuttia, jos satunnaisarvo X osuu väliin (5;7). Todennäköisyys putoaa tiettyyn väliin saadaan kaavalla: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.
3. Odotusaika on vähintään kolme minuuttia (eli kolmesta seitsemään minuuttiin), jos satunnaisarvo X osuu väliin (0; 4). Todennäköisyys putoaa tiettyyn väliin saadaan kaavalla: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a)
.
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.
4. Matemaattinen odotus jatkuvasta, tasaisesti jakautuneesta satunnaismuuttujasta X - matkustajan odotusaika, löydämme kaavan: M(X) = (a+b)/2. M (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3,5.
5. Jatkuvan tasaisesti jakautuneen satunnaismuuttujan X - matkustajan odotusaika - keskihajonnan saamme kaavalla: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.
Tehtävä 2.
Kohteen x ≥ 0 eksponentiaalinen jakauma saadaan tiheydellä f(x) = 5e – 5x. Vaaditaan: a) kirjoita lauseke jakautumisfunktiolle; b) selvitä todennäköisyys, että X putoaa testin tuloksena väliin (1; 4); c) määrittää todennäköisyys, että testin tuloksena X ≥ 2; d) laske M(X), D(X), σ(X).
Ratkaisu. 1. Koska ehdon mukaan eksponentiaalinen jakautuminen , niin satunnaismuuttujan X todennäköisyysjakauman tiheyden kaavasta saadaan λ = 5. Silloin jakaumafunktio näyttää tältä:
2. Todennäköisyys, että X putoaa testin tuloksena väliin (1; 4), saadaan kaavalla:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb
.
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .
3. Todennäköisyys, että testin tuloksena X ≥ 2 löydetään kaavalla: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ =
e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).
4. Löydämme eksponenttijakauman:
- matemaattinen odotus kaavan M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2 mukaisesti;
- kaavan D mukainen dispersio (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0,04;
- keskihajonta kaavan mukaan σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1,2.
Tätä asiaa on tutkittu yksityiskohtaisesti pitkään, ja George Boxin, Mervyn Mullerin ja George Marsaglian vuonna 1958 ehdottama napakoordinaattien menetelmä oli laajimmin käytetty. Tällä menetelmällä voit saada riippumattomien normaalijakauman satunnaismuuttujien parin, joiden keskiarvo on 0 ja varianssi 1 seuraavasti:
Kun Z 0 ja Z 1 ovat haluttuja arvoja, s \u003d u 2 + v 2 ja u ja v ovat satunnaismuuttujia, jotka jakautuvat tasaisesti segmenttiin (-1, 1) ja jotka on valittu siten, että ehto 0 täyttyy.< s < 1.
Monet käyttävät näitä kaavoja edes ajattelematta, ja monet eivät edes epäile niiden olemassaoloa, koska he käyttävät valmiita toteutuksia. Mutta on ihmisiä, joilla on kysymyksiä: "Mistä tämä kaava tuli? Ja miksi saat arvoparin kerralla? Seuraavassa yritän antaa selkeän vastauksen näihin kysymyksiin.
Aluksi haluan muistuttaa, mitä ovat todennäköisyystiheys, satunnaismuuttujan jakaumafunktio ja käänteisfunktio. Oletetaan, että on olemassa jokin satunnaismuuttuja, jonka jakauman antaa tiheysfunktio f(x), jolla on seuraava muoto:
Tämä tarkoittaa, että todennäköisyys, että tämän satunnaismuuttujan arvo on välillä (A, B), on yhtä suuri kuin varjostetun alueen pinta-ala. Ja tämän seurauksena koko varjostetun alueen pinta-alan on oltava yhtä suuri kuin yksikkö, koska joka tapauksessa satunnaismuuttujan arvo putoaa funktion f alueeseen.
Satunnaismuuttujan jakaumafunktio on tiheysfunktion integraali. Ja tässä tapauksessa sen likimääräinen muoto on seuraava:
Tässä tarkoitetaan sitä, että satunnaismuuttujan arvo on pienempi kuin A todennäköisyydellä B. Tämän seurauksena funktio ei koskaan pienene, vaan sen arvot ovat välissä .
Käänteisfunktio on funktio, joka palauttaa alkuperäisen funktion argumentin, jos välität siihen alkuperäisen funktion arvon. Esimerkiksi funktiolle x 2 käänteisarvo on juurierotusfunktio, sin (x) -funktiolle se on arcsin (x) jne.
Koska useimmat antavat vain tasaisen jakauman lähdössä, on usein tarpeen muuntaa se joksikin muuksi. Tässä tapauksessa normaalille Gaussille:
Kaikkien menetelmien perustana tasaisen jakauman muuttamiseksi mihin tahansa muuhun jakaumaan on käänteismuunnosmenetelmä. Se toimii seuraavasti. Löytyy funktio, joka on käänteinen vaaditun jakauman funktiolle, ja sille välitetään argumenttina satunnaismuuttuja, joka jakautuu tasaisesti segmenttiin (0, 1). Lähdössä saamme arvon vaaditulla jakaumalla. Selvyyden vuoksi tässä on seuraava kuva.
Siten tasainen segmentti ikäänkuin levitetään uuden jakauman mukaisesti projisoituen toiselle akselille käänteisfunktion kautta. Mutta ongelmana on, että Gaussin jakauman tiheyden integraalia ei ole helppo laskea, joten yllä olevien tutkijoiden täytyi huijata.
On olemassa khin neliöjakauma (Pearson-jakauma), joka on k itsenäisen normaalin satunnaismuuttujan neliösumman jakauma. Ja jos k = 2, tämä jakauma on eksponentiaalinen.
Tämä tarkoittaa, että jos suorakaiteen muotoisen koordinaatiston pisteessä on satunnaiset X- ja Y-koordinaatit, jotka jakautuvat normaalisti, sitten kun nämä koordinaatit on muunnettu napajärjestelmään (r, θ), säteen neliö (etäisyys origosta pisteeseen) jakaantuu eksponentiaalisesti, koska säteen neliö on koordinaattien neliöiden summa (Pythagoraan lain mukaan). Tällaisten pisteiden jakautumistiheys tasossa näyttää tältä:
Koska se on sama kaikissa suunnissa, kulmalla θ on tasainen jakautuminen alueella 0 - 2π. Päinvastoin on myös totta: jos määrität pisteen napakoordinaatistossa käyttämällä kahta riippumatonta satunnaismuuttujaa (kulma jakautuu tasaisesti ja säde jakautuu eksponentiaalisesti), tämän pisteen suorakulmaiset koordinaatit ovat itsenäisiä normaaleja satunnaismuuttujia. Ja on jo paljon helpompaa saada eksponentiaalinen jakauma tasaisesta jakaumasta samalla käänteismuunnosmenetelmällä. Tämä on Box-Muller-polaarisen menetelmän ydin.
Otetaan nyt kaavat.
(1)
R:n ja θ:n saamiseksi on generoitava kaksi satunnaismuuttujaa, jotka jakautuvat tasaisesti segmentille (0, 1) (kutsutaanko niitä u:ksi ja v:ksi), joista toisen jakauma (sanotaan v) on muutettava eksponentiaaliseksi. saada säde. Eksponenttijakaumafunktio näyttää tältä:
Sen käänteinen funktio:
Koska tasainen jakautuminen on symmetrinen, muunnos toimii samalla tavalla funktion kanssa
Khin-neliöjakaumakaavasta seuraa, että λ = 0,5. Korvaamme tähän funktioon λ, v ja saamme säteen neliön ja sitten itse säteen:
Saadaan kulma venyttämällä yksikkösegmenttiä arvoon 2π:
Nyt korvataan r ja θ kaavoihin (1) ja saadaan:
(2)
Nämä kaavat ovat valmiita käyttöön. X ja Y ovat riippumattomia ja normaalijakautuneita varianssilla 1 ja keskiarvolla 0. Muiden ominaisuuksien jakauman saamiseksi riittää, että funktion tulos kerrotaan keskihajonnalla ja lasketaan yhteen keskiarvo.
Mutta trigonometrisista funktioista on mahdollista päästä eroon määrittämällä kulmaa ei suoraan, vaan epäsuorasti ympyrän satunnaisen pisteen suorakulmaisten koordinaattien kautta. Sitten näiden koordinaattien kautta on mahdollista laskea sädevektorin pituus ja löytää sitten kosini ja sini jakamalla x ja y sillä. Miten ja miksi se toimii?
Valitsemme satunnaisen pisteen tasaisesti jakautuneesta yksikkösäteen ympyrässä ja merkitsemme tämän pisteen sädevektorin pituuden neliötä kirjaimella s:
Valinta tehdään antamalla satunnaiset x- ja y-suorakulmaiset koordinaatit, jotka jakautuvat tasaisesti välissä (-1, 1), ja hylkäämällä pisteet, jotka eivät kuulu ympyrään, sekä keskipiste, jossa sädevektorin kulma on ei määritelty. Eli ehto 0< s < 1. Тогда, как и в случае с Гауссовским распределением на плоскости, угол θ будет распределен равномерно. Это очевидно - количество точек в каждом направлении одинаково, значит каждый угол равновероятен. Но есть и менее очевидный факт - s тоже будет иметь равномерное распределение. Полученные s и θ будут независимы друг от друга. Поэтому мы можем воспользоваться значением s для получения экспоненциального распределения, не генерируя третью случайную величину. Подставим теперь s в формулы (2) вместо v, а вместо тригонометрических функций - их расчет делением координаты на длину радиус-вектора, которая в данном случае является корнем из s:
Saamme kaavat, kuten artikkelin alussa. Tämän menetelmän haittana on sellaisten pisteiden hylkääminen, jotka eivät sisälly ympyrään. Eli käytetään vain 78,5 % luoduista satunnaismuuttujista. Vanhemmissa tietokoneissa trigonometristen funktioiden puute oli edelleen suuri etu. Nyt kun yksi prosessorikäsky laskee samanaikaisesti sinin ja kosinin hetkessä, uskon, että nämä menetelmät voivat silti kilpailla.
Henkilökohtaisesti minulla on vielä kaksi kysymystä:
- Miksi s:n arvo on jakautunut tasaisesti?
- Miksi kahden normaalin satunnaismuuttujan neliöiden summa on jakautunut eksponentiaalisesti?
Jos samanlainen muunnos tehdään normaalille satunnaismuuttujalle, niin sen neliön tiheysfunktio osoittautuu samankaltaiseksi kuin hyperbola. Ja kahden normaalien satunnaismuuttujien neliön lisääminen on jo paljon monimutkaisempi prosessi, joka liittyy kaksoisintegraatioon. Ja se, että tulos tulee olemaan eksponentiaalinen jakauma, henkilökohtaisesti, minun on tarkistettava se käytännön menetelmällä tai hyväksyttävä se aksioomaksi. Ja niille, jotka ovat kiinnostuneita, ehdotan, että tutustut aiheeseen lähemmin ottamalla tietoa näistä kirjoista:
- Wentzel E.S. Todennäköisyysteoria
- Knut D.E. Ohjelmoinnin taito, osa 2
Lopuksi annan esimerkin normaalijakauman satunnaislukugeneraattorin toteutuksesta JavaScriptissä:
Funktio Gauss() ( var ready = false; var second = 0.0; this.next = function(keskiarvo, dev) ( keskiarvo = keskiarvo == määrittelemätön ? 0.0: keskiarvo; dev = dev == määrittelemätön ? 1.0: dev; if ( this.ready) ( this.ready = false; palauta this.second * dev + mean; ) else ( var u, v, s; do ( u = 2.0 * Math.random() - 1.0; v = 2.0 * Math. satunnainen() - 1,0; s = u * u + v * v; ) while (s > 1,0 || s == 0,0); var r = Math.sqrt(-2,0 * Math.log(s) / s); this.second = r * u; this.ready = tosi; paluu r * v * dev + keskiarvo; ) ); ) g = new Gauss(); // objektin luominen a = g.next(); // luo arvopari ja hanki ensimmäinen b = g.next(); // hanki toinen c = g.next(); // luo arvopari uudelleen ja hanki ensimmäinen
Parametrit keskiarvo (matemaattinen odotus) ja dev (keskihajonta) ovat valinnaisia. Kiinnitän huomionne siihen tosiasiaan, että logaritmi on luonnollinen.
Jakauma katsotaan tasaiseksi, jos kaikki satunnaismuuttujan arvot (sen olemassaoloalueella, esimerkiksi välissä) ovat yhtä todennäköisiä. Jakaumafunktio tällaiselle satunnaismuuttujalle on muotoa:
Jakauman tiheys: 
1
Riisi. Jakaumafunktion (vasemmalla) ja jakautumistiheyden (oikealla) kuvaajat.
Yhtenäinen jakelu - käsite ja tyypit. Luokan "Yhtenäinen jakelu" luokitus ja ominaisuudet 2017, 2018.
Satunnaismuuttujien diskreetit perusjakaumat Määritelmä 1. Satunnaismuuttuja Х, joka ottaa arvot 1, 2, …, n, on jakautunut tasaisesti, jos Pm = P(Х = m) = 1/n, m = 1, …, n . Se on selvää. Tarkastellaan seuraavaa ongelmaa: Urnassa on N palloa, joista M on valkoista... .
Jatkuvien satunnaismuuttujien jakauman lait Määritelmä 5. Jatkuvalla satunnaismuuttujalla X, joka ottaa arvon väliltä , on tasainen jakautuminen, jos jakautumistiheys on muotoa. (1) On helppo varmistaa, että . Jos satunnaismuuttuja... .
Jakauman katsotaan olevan tasainen, jos kaikki satunnaismuuttujan arvot (sen olemassaoloalueella, esimerkiksi välissä) ovat yhtä todennäköisiä. Jakaumafunktio tällaiselle satunnaismuuttujalle on muotoa: Jakauman tiheys: F(x) f(x) 1 0 a b x 0 a b x ... .
Normaalijakauman lait Tasainen, eksponentiaalinen ja Yhdenmukaisen lain todennäköisyystiheysfunktio on: (10.17) missä a ja b ovat annettuja lukuja, a< b; a и b – это параметры равномерного закона. Найдем функцию распределения F(x)... .
Tasainen todennäköisyysjakauma on yksinkertaisin ja voi olla joko diskreetti tai jatkuva. Diskreetti tasainen jakauma on sellainen jakauma, jolla kunkin CB:n arvon todennäköisyys on sama, eli: missä N on luku ... .
Määritelmä 16. Jatkuvalla satunnaismuuttujalla on tasainen jakauma segmentillä, jos tällä segmentillä tämän satunnaismuuttujan jakautumistiheys on vakio ja sen ulkopuolella on nolla, eli (45) Tasaisen jakauman tiheysgraafi on näytetty ...
Esimerkkinä jatkuvasta satunnaismuuttujasta tarkastellaan satunnaismuuttujaa X, joka on jakautunut tasaisesti aikavälille (a; b). Sanomme, että satunnaismuuttuja X tasaisesti jaettu välillä (a; b), jos sen jakautumistiheys ei ole vakio tällä välillä:
Normalisointiehdosta määritetään vakion c arvo. Jakaantumistiheyskäyrän alla olevan alueen tulee olla yhtä suuri kuin yksi, mutta tässä tapauksessa se on suorakulmion pinta-ala, jossa on kanta (b - α) ja korkeus c (kuva 1). 
Riisi. 1 Tasainen jakautumistiheys
Täältä löydämme vakion c arvon: 
Tasaisesti jakautuneen satunnaismuuttujan tiheys on siis yhtä suuri kuin 
Etsitään nyt jakautumisfunktio kaavalla:
1) varten 
2) varten
3) 0+1+0=1.
Tällä tavalla, 
Jakaumafunktio on jatkuva eikä pienene (kuva 2). 
Riisi. 2 Tasaisesti jakautuneen satunnaismuuttujan jakaumafunktio
Etsitään tasaisesti jakautuneen satunnaismuuttujan matemaattinen odotus kaavan mukaan:
Tasainen jakauman varianssi lasketaan kaavalla ja on yhtä suuri kuin
Esimerkki #1. Mittauslaitteen asteikkojakoarvo on 0,2. Laitteen lukemat pyöristetään lähimpään kokonaislukemaan. Laske todennäköisyys, että lukemisen aikana tapahtuu virhe: a) pienempi kuin 0,04; b) iso 0,02
Ratkaisu. Pyöristysvirhe on satunnaismuuttuja, joka on tasaisesti jakautunut vierekkäisten kokonaislukujakojen väliin. Tarkastellaan väliä (0; 0,2) tällaisena jakolaskuna (kuva a). Pyöristys voidaan suorittaa sekä vasempaan reunaan - 0 että oikeaan - 0,2, mikä tarkoittaa, että virhe, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin 0,04, voidaan tehdä kahdesti, mikä on otettava huomioon todennäköisyyttä laskettaessa: 
P = 0,2 + 0,2 = 0,4
Toisessa tapauksessa virhearvo voi myös ylittää 0,02 molemmilla jakorajoilla, eli se voi olla joko suurempi kuin 0,02 tai pienempi kuin 0,18. 
Sitten seuraavanlaisen virheen todennäköisyys:
Esimerkki #2. Oletettiin, että maan taloudellisen tilanteen vakautta (sotien, luonnonkatastrofien jne. poissaolo) viimeisen 50 vuoden aikana voidaan arvioida väestön ikäjakauman luonteen perusteella: rauhallisessa tilanteessa, sen pitäisi olla yhtenäinen. Tutkimuksen tuloksena yhdestä maasta saatiin seuraavat tiedot.
Onko syytä uskoa, että maassa vallitsi epävakaa tilanne?Teemme päätöksen käyttämällä laskinta Hypoteesin testaus. Taulukko indikaattoreiden laskemista varten.
| ryhmät | Väli keski, x i | Määrä, fi | x i * f i | Kumulatiivinen taajuus, S | |x - x cf |*f | (x - x sr) 2 *f | Taajuus, f i /n |
| 0 - 10 | 5 | 0.14 | 0.7 | 0.14 | 5.32 | 202.16 | 0.14 |
| 10 - 20 | 15 | 0.09 | 1.35 | 0.23 | 2.52 | 70.56 | 0.09 |
| 20 - 30 | 25 | 0.1 | 2.5 | 0.33 | 1.8 | 32.4 | 0.1 |
| 30 - 40 | 35 | 0.08 | 2.8 | 0.41 | 0.64 | 5.12 | 0.08 |
| 40 - 50 | 45 | 0.16 | 7.2 | 0.57 | 0.32 | 0.64 | 0.16 |
| 50 - 60 | 55 | 0.13 | 7.15 | 0.7 | 1.56 | 18.72 | 0.13 |
| 60 - 70 | 65 | 0.12 | 7.8 | 0.82 | 2.64 | 58.08 | 0.12 |
| 70 - 80 | 75 | 0.18 | 13.5 | 1 | 5.76 | 184.32 | 0.18 |
| 1 | 43 | 20.56 | 572 | 1 |
painotettu keskiarvo
Vaihtelun indikaattorit.
Absoluuttiset vaihtelut.
Vaihteluväli on ero ensisijaisen sarjan attribuutin maksimi- ja vähimmäisarvojen välillä.
R = X max - X min
R = 70 - 0 = 70
Dispersio- luonnehtii leviämisen mittaa sen keskiarvon ympärillä (dispersion mitta eli poikkeama keskiarvosta).
Vakiopoikkeama.
Jokainen sarjan arvo eroaa 43:n keskiarvosta enintään 23,92
Hypoteesien testaus jakauman tyypistä.
4. Hypoteesin testaus noin virka-asujen jakelu yleinen väestö.
Jotta voidaan testata hypoteesiä X:n tasaisesta jakautumisesta, ts. lain mukaan: f(x) = 1/(b-a) välillä (a,b)
tarpeellista:
1. Arvioi parametrit a ja b - sen välin päät, jossa X:n mahdolliset arvot havaittiin, kaavojen mukaan (*-merkki tarkoittaa parametrien arvioita):
2. Laske estimoidun jakauman todennäköisyystiheys f(x) = 1/(b * - a *)
3. Etsi teoreettiset taajuudet:
n 1 \u003d nP 1 \u003d n \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x 1 - a *)
n 2 \u003d n 3 \u003d ... \u003d n s-1 \u003d n * 1 / (b * - a *) * (x i - x i-1)
n s = n*1/(b * - a *)* (b * - x s-1)
4. Vertaa empiirisiä ja teoreettisia taajuuksia Pearsonin testillä olettaen, että vapausasteiden lukumäärä k = s-3, missä s on alkunäytteenottovälien lukumäärä; jos kuitenkin tehtiin pienten taajuuksien yhdistelmä ja siten itse intervallit, niin s on yhdistelmän jälkeen jäljellä olevien intervallien lukumäärä.
Ratkaisu:
1. Etsi tasaisen jakauman parametrien a * ja b * estimaatit kaavoilla:
2. Etsi oletetun tasaisen jakauman tiheys:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84,42 - 1,58) = 0,0121
3. Etsi teoreettiset taajuudet:
n 1 \u003d n * f (x) (x 1 - a *) \u003d 1 * 0,0121 (10-1,58) \u003d 0,1
n 8 \u003d n * f (x) (b * - x 7) \u003d 1 * 0,0121 (84,42-70) \u003d 0,17
Loput n s ovat yhtä suuret:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)
| i | n i | n*i | n i - n * i | (n i - n* i) 2 | (n i - n * i) 2/n * i |
| 1 | 0.14 | 0.1 | 0.0383 | 0.00147 | 0.0144 |
| 2 | 0.09 | 0.12 | -0.0307 | 0.000943 | 0.00781 |
| 3 | 0.1 | 0.12 | -0.0207 | 0.000429 | 0.00355 |
| 4 | 0.08 | 0.12 | -0.0407 | 0.00166 | 0.0137 |
| 5 | 0.16 | 0.12 | 0.0393 | 0.00154 | 0.0128 |
| 6 | 0.13 | 0.12 | 0.0093 | 8.6E-5 | 0.000716 |
| 7 | 0.12 | 0.12 | -0.000701 | 0 | 4.0E-6 |
| 8 | 0.18 | 0.17 | 0.00589 | 3.5E-5 | 0.000199 |
| Kaikki yhteensä | 1 | 0.0532 |
Siksi tämän tilaston kriittinen alue on aina oikeakätinen: . jos tällä segmentillä satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman tiheys on vakio, eli jos differentiaalijakaumafunktio f(x) on seuraavanlainen muoto:
Tätä jakelua kutsutaan joskus tasaisen tiheyden laki. Suuresta, jolla on tasainen jakautuminen tietylle segmentille, sanomme, että se jakautuu tasaisesti tälle segmentille.
Etsi vakion c arvo. Koska jakautumiskäyrän ja akselin rajoittama alue Vai niin, on siis 1
missä Kanssa=1/(b-a).
Nyt toiminto f(x)voidaan esittää muodossa
Muodostetaan jakaumafunktio
F(x ), jolle löydämme ilmaisun F (x ) välissä [ a, b]:
Funktioiden f (x) ja F (x) kaaviot näyttävät tältä:
Etsitään numeeriset ominaisuudet.
Käyttämällä kaavaa NSW:n matemaattisen odotuksen laskemiseksi, meillä on:
Näin ollen väliin [a, b] osuu tämän segmentin keskikohtaan.
Etsi tasaisesti jakautuneen satunnaismuuttujan varianssi:
josta seuraa välittömästi, että standardipoikkeama:
Selvitetään nyt todennäköisyys, että tasajakauman satunnaismuuttujan arvo osuu väliin(a, b), kuuluvat kokonaan segmenttiin [a,b
]:
|
|
Geometrisesti tämä todennäköisyys on varjostetun suorakulmion alue. Numerot a ja
bnimeltään jakeluparametrit ja määrittelevät yksilöllisesti yhtenäisen jakauman.Esimerkki1. Tietyn reitin bussit kulkevat tiukasti aikataulun mukaan. Liikkeiden väli 5 minuuttia. Laske todennäköisyys, että matkustaja lähestyi bussipysäkkiä. Odottaa seuraavaa bussia alle 3 minuuttia.
Ratkaisu:
ST - linja-auton odotusaika jakautuu tasaisesti. Sitten haluttu todennäköisyys on yhtä suuri:
Esimerkki2. Kuution x reuna mitataan suunnilleen. Ja
Tarkastellaan kuution reunaa satunnaismuuttujana, joka jakautuu tasaisesti välillä (
a,b), selvitä kuution tilavuuden matemaattinen odotus ja varianssi.Ratkaisu:
Kuution tilavuus on satunnaismuuttuja, joka määräytyy lausekkeella Y \u003d X 3. Sitten matemaattinen odotus on:
Dispersio:
Verkkopalvelu:
