Tiedetään, että juurimerkki on jonkin luvun neliöjuuri. Juurimerkki ei kuitenkaan tarkoita vain algebrallista operaatiota, vaan sitä käytetään myös puuntyöstössä - suhteellisten kokojen laskennassa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jos haluat oppia kertomaan juuret "kerroin" tai "ilman" tekijöitä, tämä artikkeli on sinua varten. Siinä tarkastelemme menetelmiä juurien kertomiseksi:

• ilman kertoimia;
• kertoimilla;
• erilaisilla indikaattoreilla.

Juuren kertolaskumenetelmä ilman kertoimia

Toimialgoritmi:

Varmista, että juurella on samat eksponentit (asteet). Muista, että tutkinto on kirjoitettu vasemmalle juurimerkin yläpuolelle. Jos astemerkintää ei ole, tämä tarkoittaa, että juuri on neliö, ts. asteella 2, ja se voidaan kertoa muilla juurilla asteella 2.

Esimerkki

Esimerkki 1: 18 × 2 = ?

Esimerkki 2: 10 × 5 = ?

Esimerkki

Esimerkki 1: 18 × 2 = 36

Esimerkki 2: 10 × 5 = 50

Esimerkki 3: 3 3 × 9 3 = 27 3

Yksinkertaista juurilausekkeita. Kun kerromme juuret keskenään, voimme yksinkertaistaa tuloksena olevan radikaalilausekkeen luvun (tai lausekkeen) tuloksi täydellä neliöllä tai kuutiolla:

Esimerkki

Esimerkki 1: 36 = 6 . 36 on kuuden neliöjuuri (6 × 6 = 36).

Esimerkki 2: 50 = (25 × 2) = (5 × 5) × 2 = 5 2 . Jaamme luvun 50 luvun 25 ja 2 tuloksi. 25:n juuri on 5, joten otamme 5:n juurimerkin alta ja yksinkertaistamme lauseketta.

Esimerkki 3: 27 3 = 3 . 27:n kuutiojuuri on 3: 3 × 3 × 3 = 27.

Menetelmä indikaattoreiden kertomiseksi kertoimilla

Toimialgoritmi:

Kerro kertoimet. Kerroin on numero, joka tulee ennen juurimerkkiä. Kertoimen puuttuessa sitä pidetään oletusarvoisesti yhtenä. Seuraavaksi sinun on kerrottava tekijät:

Esimerkki

Esimerkki 1: 3 2 × 10 = 3 ? 3 x 1 = 3

Esimerkki 2: 4 3 × 3 6 = 12 ? 4 x 3 = 12

Kerro juurimerkin alla olevat luvut. Kun olet kertonut kertoimet, voit kertoa luvut juurimerkin alla:

Esimerkki

Esimerkki 1: 3 2 × 10 = 3 (2 × 10) = 3 20

Esimerkki 2: 4 3 × 3 6 = 12 (3 × 6) = 12 18

Yksinkertaista juurilauseke. Seuraavaksi sinun tulee yksinkertaistaa juurimerkin alla olevia arvoja - sinun on otettava vastaavat numerot pois juurimerkistä. Sen jälkeen sinun on kerrottava luvut ja tekijät, jotka tulevat ennen juurimerkkiä:

Esimerkki

Esimerkki 1: 3 20 = 3 (4 × 5) = 3 (2 × 2) × 5 = (3 × 2) 5 = 6 5

Esimerkki 2: 12 18 = 12 (9 × 2) = 12 (3 × 3) × 2 = (12 × 3) 2 = 36 2

Juuren kertolaskumenetelmä eri eksponenteilla

Toimialgoritmi:

Etsi eksponentien pienin yhteinen kerrannainen (LCM). Pienin yhteinen kerrannainen on pienin luku, joka on jaollinen molemmilla eksponenteilla.

Esimerkki

On tarpeen löytää indikaattorien LCM seuraavalle lausekkeelle:

Eksponentit ovat 3 ja 2 . Näille kahdelle luvulle pienin yhteinen kerrannainen on luku 6 (se on jaollinen ilman jäännöstä sekä 3:lla että 2:lla). Juurien kertomiseksi tarvitaan eksponentti 6.

Kirjoita jokainen lauseke uudella eksponentilla:

Etsi luvut, joilla sinun on kerrottava indikaattorit saadaksesi LCM.

Lausekkeessa 5 3 sinun on kerrottava 3 kahdella saadaksesi 6 . Ja lausekkeessa 2 2 - päinvastoin, sinun on kerrottava 3:lla saadaksesi 6.

Nosta juurimerkin alla oleva luku potenssiin, joka on yhtä suuri kuin edellisessä vaiheessa löydetty luku. Ensimmäisessä lausekkeessa 5 on nostettava luvun 2 potenssiin ja toinen - 2 potenssiin 3:

2 → 5 6 = 5 2 6 3 → 2 6 = 2 3 6

Nosta lausekkeen voimakkuuteen ja kirjoita tulos juurimerkin alle:

5 2 6 = (5 × 5) 6 = 25 6 2 3 6 = (2 × 2 × 2) 6 = 8 6

Kerro juuren alla olevat luvut:

(8×25) 6

Kirjoita tulos:

(8 × 25) 6 = 200 6

Jos mahdollista, yksinkertaista lauseketta, mutta tässä tapauksessa se ei ole yksinkertaistettu.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Yksityisyytesi on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Lue tietosuojakäytäntömme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Seuraavassa on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisiä henkilötietoja voimme kerätä ja kuinka voimme käyttää näitä tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, sähköpostiosoitteesi jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Keräämiemme henkilötietojen avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja ilmoittaa sinulle ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi lähettääksemme sinulle tärkeitä ilmoituksia ja viestintää.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan kannustimeen, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen paljastaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Ilmoita henkilötietosi siinä tapauksessa, että se on tarpeen - lain, oikeusjärjestyksen, oikeuskäsittelyn mukaisesti ja/tai Venäjän federaation alueella olevien julkisten pyyntöjen tai valtion elinten pyyntöjen perusteella. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai asianmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muiden yleisen edun vuoksi.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot asianomaiselle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suoja

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - suojellaksemme henkilökohtaisia ​​tietojasi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi säilyttäminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, tiedotamme tietosuoja- ja turvallisuuskäytännöistä työntekijöillemme ja valvomme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Hei kissat! Viime kerralla analysoimme yksityiskohtaisesti, mitkä juuret ovat (jos et muista, suosittelen lukemista). Tuon oppitunnin pääjohtopäätös: juurille on vain yksi universaali määritelmä, joka sinun on tiedettävä. Muu on hölynpölyä ja ajanhukkaa.

Tänään mennään pidemmälle. Opimme moninkertaistamaan juuria, tutkimme joitain kertomiseen liittyviä ongelmia (jos näitä ongelmia ei ratkea, niin niistä voi tulla kohtalokkaita kokeessa) ja harjoittelemme kunnolla. Varaa siis popcornia, ole mukava - ja aloitamme. :)

Et ole vielä tupakoinut, ethän?

Oppitunti osoittautui melko suureksi, joten jaoin sen kahteen osaan:

1. Ensin tarkastellaan kertolaskusääntöjä. Korkki näyttää vihjaavan: silloin kun on kaksi juuria, niiden välissä on "kerroin" -merkki - ja haluamme tehdä sillä jotain.
2. Sitten analysoidaan päinvastaista tilannetta: on yksi iso juuri, ja olimme kärsimättömiä esittämään sen kahden juuren tuotteena yksinkertaisemmalla tavalla. Millä pelolla se on tarpeen, on erillinen kysymys. Analysoimme vain algoritmin.

Niille, jotka eivät malta odottaa pääsevänsä suoraan osaan 2, olet tervetullut. Aloitetaan lopuista järjestyksessä.

Kertolasääntö

Aloitetaan yksinkertaisimmista - klassisista neliöjuurista. Ne, joita merkitään $\sqrt(a)$ ja $\sqrt(b)$. Heille kaikki on yleensä selvää:

kertolasku sääntö. Jos haluat kertoa yhden neliöjuuren toisella, sinun tarvitsee vain kertoa niiden radikaalilausekkeet ja kirjoittaa tulos yhteisen radikaalin alle:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Oikealla tai vasemmalla oleville numeroille ei aseteta lisärajoituksia: jos kertoimen juuret ovat olemassa, myös tuote on olemassa.

Esimerkkejä. Harkitse neljää esimerkkiä numeroilla kerralla:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(tasaa)\]

Kuten näet, tämän säännön päätarkoitus on yksinkertaistaa irrationaalisia ilmaisuja. Ja jos ensimmäisessä esimerkissä olisimme poimineet juuret luvuista 25 ja 4 ilman uusia sääntöjä, niin tina alkaa: $\sqrt(32)$ ja $\sqrt(2)$ eivät laske itsestään, vaan niiden tulo osoittautuu tarkaksi neliöksi, joten sen juuri on yhtä suuri kuin rationaalinen luku.

Haluaisin erikseen mainita viimeisen rivin. Siellä molemmat radikaalilausekkeet ovat murtolukuja. Tuotteen ansiosta monet tekijät kumoutuvat ja koko lauseke muuttuu riittäväksi luvuksi.

Tietenkään kaikki ei ole aina niin kaunista. Joskus juurien alla on täyttä paskaa - ei ole selvää, mitä sillä tehdä ja miten muunnettu kertomisen jälkeen. Hieman myöhemmin, kun alat tutkia irrationaalisia yhtälöitä ja epäyhtälöitä, siellä on kaikenlaisia ​​muuttujia ja funktioita yleensä. Ja hyvin usein ongelmien laatijat vain luottavat siihen, että löydät joitain sopimusehtoja tai tekijöitä, joiden jälkeen tehtävä yksinkertaistuu huomattavasti.

Lisäksi ei ole tarpeen kertoa täsmälleen kahta juuria. Voit kertoa kolme kerralla, neljä - kyllä ​​jopa kymmenen! Tämä ei muuta sääntöä. Katso:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(tasaa)\]

Ja vielä pieni huomautus toisesta esimerkistä. Kuten näette, kolmannessa kertoimessa juuren alla on desimaalimurto - laskelmien aikana korvaamme sen tavallisella, jonka jälkeen kaikki pienennetään helposti. Joten: Suosittelen lämpimästi eroon desimaalimurtoluvuista kaikissa irrationaalisissa lausekkeissa (eli joissa on vähintään yksi radikaalikuvake). Tämä säästää paljon aikaa ja hermoja tulevaisuudessa.

Mutta se oli lyyrinen poikkeama. Tarkastellaan nyt yleisempää tapausta - kun juurieksponentti sisältää mielivaltaisen luvun $n$, eikä vain "klassista" kahta.

Mielivaltaisen indikaattorin tapaus

Joten selvitimme neliöjuuret. Ja mitä tehdä kuutioiden kanssa? Tai yleensä mielivaltaisen asteen juurilla $n$? Kyllä, kaikki on samaa. Sääntö pysyy samana:

Kahden $n$-asteen juuren kertomiseen riittää kertomalla niiden radikaalilausekkeet, minkä jälkeen tulos kirjoitetaan yhden radikaalin alle.

Yleisesti ottaen ei mitään monimutkaista. Ellei laskelmien määrä voi olla suurempi. Katsotaanpa pari esimerkkiä:

Esimerkkejä. Laske tuotteet:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))(((25)^(3 ))))=\sqrt(((\left(\frac(4)(25) \right))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(tasaa)\]

Ja jälleen huomio toiseen ilmaisuun. Kerrotaan kuutiojuuret, päästään eroon desimaaliluvusta ja tuloksena saadaan nimittäjässä olevien lukujen tulo 625 ja 25. Tämä on melko suuri luku - henkilökohtaisesti en heti laske mitä se on yhtä suuri. kohtaan.

Siksi valitsimme yksinkertaisesti tarkan kuution osoittajasta ja nimittäjästä ja käytimme sitten yhtä tärkeimmistä ominaisuuksista (tai, jos haluat, määritelmää) $n$:nnen asteen juuren:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \end(tasaa)\]

Tällaiset "huijaukset" voivat säästää paljon aikaa kokeessa tai kokeessa, joten muista:

Älä kiirehdi kertomaan radikaalilausekkeen numeroita. Tarkista ensin: entä jos minkä tahansa lausekkeen tarkka aste on "salattu" siellä?

Kaikesta tämän huomautuksen ilmeisyydestä huolimatta minun on myönnettävä, että useimmat valmistautumattomat opiskelijat eivät näe tarkkoja tutkintoja. Sen sijaan he kertovat kaiken eteenpäin ja ihmettelevät sitten: miksi he saivat niin brutaaleja lukuja? :)

Tämä kaikki on kuitenkin lasten leikkiä verrattuna siihen, mitä nyt opiskelemme.

Juurien kertominen eri eksponenteilla

No, nyt voimme kertoa juuret samoilla eksponenteilla. Entä jos pisteet ovat erilaisia? Sano, kuinka kerrot tavallisen $\sqrt(2)$ jollain paskalla, kuten $\sqrt(23)$? Onko tämä edes mahdollista tehdä?

Kyllä, tietysti voit. Kaikki tehdään tämän kaavan mukaan:

Juuren kertolasku sääntö. Kerro $\sqrt[n](a)$ $\sqrt[p](b)$:lla tekemällä seuraava muunnos:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Tämä kaava toimii kuitenkin vain, jos radikaalilausekkeet eivät ole negatiivisia. Tämä on erittäin tärkeä huomautus, johon palaamme hieman myöhemmin.

Katsotaanpa nyt paria esimerkkiä:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(tasaa)\]

Kuten näette, ei mitään monimutkaista. Nyt selvitetään, mistä ei-negatiivisuusvaatimus tuli, ja mitä tapahtuu, jos rikomme sitä. :)

Juuret on helppo moninkertaistaa.

Miksi radikaalien ilmaisujen täytyy olla ei-negatiivisia?

Tietysti voit olla kuin koulun opettaja ja lainata oppikirjaa älykkäällä ilmeellä:

Ei-negatiivisuuden vaatimus liittyy parillisen ja parittoman asteisten juurien erilaisiin määritelmiin (vastaavasti niiden määritelmäalueet ovat myös erilaisia).

No tuliko selväksi? Henkilökohtaisesti, kun luin tätä hölynpölyä 8. luokalla, ymmärsin itse jotain tällaista: "Ei-negatiivisuuden vaatimus liittyy *#&^@(*#@^#)~%" - lyhyesti sanottuna minä en ymmärtänyt paskaa silloin. :)

Joten nyt selitän kaiken normaalilla tavalla.

Selvitetään ensin, mistä yllä oleva kertolasku on peräisin. Tätä varten haluan muistuttaa sinua yhdestä tärkeästä juuren ominaisuudesta:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Toisin sanoen voimme turvallisesti nostaa juurilausekkeen mihin tahansa luonnolliseen potenssiin $k$ - tässä tapauksessa juuriindeksi on kerrottava samalla potenssilla. Siksi voimme helposti vähentää juuret yhteiseksi indikaattoriksi, jonka jälkeen kerromme. Tästä kertolasku tulee:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Mutta on yksi ongelma, joka rajoittaa vakavasti kaikkien näiden kaavojen soveltamista. Harkitse tätä numeroa:

Juuri annetun kaavan mukaan voimme lisätä minkä tahansa tutkinnon. Yritetään lisätä $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\vasen(-5 \oikea))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Poistimme miinuksen juuri siksi, että neliö polttaa miinuksen (kuten mikä tahansa muu parillinen aste). Ja nyt suoritetaan käänteinen muunnos: "vähennetään" kaksi eksponenttia ja astetta. Loppujen lopuksi mikä tahansa tasa-arvo voidaan lukea sekä vasemmalta oikealle että oikealta vasemmalle:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Oikeanuoli \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(tasaa)\]

Mutta sitten tapahtuu jotain hullua:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Tämä ei voi johtua siitä, että $\sqrt(-5) \lt 0$ ja $\sqrt(5) \gt 0$. Tämä tarkoittaa, että parillisten potenssien ja negatiivisten lukujen kohdalla kaavamme ei enää toimi. Sen jälkeen meillä on kaksi vaihtoehtoa:

1. Taistella seinää vastaan ​​väittääkseen, että matematiikka on typerää tiedettä, jossa "joitakin sääntöjä on, mutta tämä on epätarkkoja";
2. Ota käyttöön lisärajoituksia, joiden mukaan kaava toimii 100-prosenttisesti.

Ensimmäisessä vaihtoehdossa meidän on jatkuvasti tartuttava "ei-toimiviin" tapauksiin - tämä on vaikeaa, pitkää ja yleensä hauskaa. Siksi matemaatikot pitivät parempana toista vaihtoehtoa. :)

Mutta älä huoli! Käytännössä tämä rajoitus ei vaikuta laskelmiin millään tavalla, koska kaikki kuvatut ongelmat koskevat vain parittoman asteen juuria ja niistä voidaan ottaa miinuksia.

Siksi muotoilemme toisen säännön, joka pätee yleisesti kaikkiin toimiin, joilla on juuret:

Ennen kuin kerrot juuret, varmista, että radikaalilausekkeet eivät ole negatiivisia.

Esimerkki. Numerossa $\sqrt(-5)$ voit ottaa miinuksen pois juurimerkin alta - silloin kaikki on hyvin:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(align)\]

Tunne erilaisuus? Jos jätät miinuksen juuren alle, sitten kun radikaalilauseke on neliöity, se katoaa ja paska alkaa. Ja jos otat ensin pois miinuksen, voit jopa nostaa / poistaa neliön, kunnes olet sininen kasvoiltasi - luku pysyy negatiivisena. :)

Siten oikea ja luotettavin tapa monistaa juuret on seuraava:

1. Poista kaikki miinukset radikaalien alta. Miinukset ovat vain parittoman moninkertaisuuden juurissa - ne voidaan sijoittaa juuren eteen ja tarvittaessa pienentää (esimerkiksi jos näitä miinuksia on kaksi).
2. Suorita kertolasku edellä tämän päivän oppitunnilla käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti. Jos juurien indeksit ovat samat, kerro juurilausekkeet. Ja jos ne ovat erilaisia, käytämme pahaa kaavaa \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Nautimme tuloksesta ja hyvistä arvosanoista. :)

Hyvin? Harjoitellaanko?

Esimerkki 1. Yksinkertaista lauseke:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64) = -4; \end(tasaa)\]

Tämä on yksinkertaisin vaihtoehto: juurien indikaattorit ovat samat ja parittomat, ongelma on vain toisen kertoimen miinuksessa. Kestäämme tämän miinuksen nafig, jonka jälkeen kaikki on helposti harkittu.

Esimerkki 2. Yksinkertaista lauseke:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \oikea))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \oikea))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( kohdistaa)\]

Tässä monet hämmentyisivät siitä, että tulos osoittautui irrationaaliseksi luvuksi. Kyllä, se tapahtuu: emme päässeet kokonaan eroon juuresta, mutta ainakin yksinkertaistimme ilmaisua merkittävästi.

Esimerkki 3. Yksinkertaista lauseke:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left(((() a)^(4)) \oikea))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Tähän haluan kiinnittää huomionne. Tässä on kaksi kohtaa:

1. Juuren alla ei ole tietty luku tai aste, vaan muuttuja $a$. Ensi silmäyksellä tämä on hieman epätavallista, mutta todellisuudessa matemaattisia ongelmia ratkaistaessa joudut useimmiten käsittelemään muuttujia.
2. Lopulta onnistuimme "vähentämään" radikaalilausekkeen juurieksponenttia ja astetta. Tätä tapahtuu melko usein. Ja tämä tarkoittaa, että laskelmia oli mahdollista yksinkertaistaa merkittävästi, jos et käytä pääkaavaa.

Voit esimerkiksi tehdä tämän:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \oikea))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(tasaa)\]

Itse asiassa kaikki muunnokset suoritettiin vain toisella radikaalilla. Ja jos et maalaa kaikkia välivaiheita yksityiskohtaisesti, laskelmien määrä vähenee lopulta merkittävästi.

Itse asiassa olemme jo kohdanneet samanlaisen tehtävän yllä, kun ratkaisimme esimerkin $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Nyt se voidaan kirjoittaa paljon helpommin:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(tasaa)\]

No, selvitimme juurien kertomisen. Mieti nyt käänteistä operaatiota: mitä tehdä, kun juuren alla on teos?

Tehokaavat käytetään monimutkaisten lausekkeiden pelkistys- ja yksinkertaistamisprosessissa, yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemisessa.

Määrä c on n-luvun potenssi a kun:

Operaatiot asteilla.

1. Kun asteet kerrotaan samalla pohjalla, niiden indikaattorit laskevat yhteen:

olena n = a m + n.

2. Saman kantaluvun asteiden jaossa niiden indikaattorit vähennetään:

3. Kahden tai useamman tekijän tulon aste on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden asteiden tulo:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Murto-osuuden aste on yhtä suuri kuin osingon ja jakajan asteiden suhde:

(a/b) n = an/bn.

5. Kun potenssi nostetaan potenssiksi, eksponentit kerrotaan:

(am) n = a m n.

Jokainen yllä oleva kaava on oikea suunnassa vasemmalta oikealle ja päinvastoin.

esimerkiksi. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operaatiot juurilla.

1. Useiden tekijöiden tuotteen juuri on yhtä suuri kuin näiden tekijöiden juurien tulo:

2. Suhteen juuri on yhtä suuri kuin osingon ja juurien jakajan suhde:

3. Nostettaessa juuria potenssiin, riittää, että nostat juurinumeron tähän potenssiin:

4. Jos lisäämme juuren astetta sisään n kerran ja samaan aikaan nostaa n th potenssi on juuriluku, silloin juuren arvo ei muutu:

5. Jos pienennämme juuren astetta sisään n root samaan aikaan n astetta radikaaliluvusta, niin juuren arvo ei muutu:

Aste negatiivisella eksponentilla. Luvun aste, jolla on ei-positiivinen (kokonaisluku) eksponentti, määritellään jaettuna saman luvun asteella, jonka eksponentti on yhtä suuri kuin ei-positiivisen eksponentin itseisarvo:

Kaava olen:a n = a m - n voidaan käyttää paitsi m> n, mutta myös klo m< n.

esimerkiksi. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kaavaan olen:a n = a m - n tuli reiluksi m = n, tarvitset nollaasteen.

Aste nolla eksponentin kanssa. Minkä tahansa nollasta poikkeavan luvun, jonka eksponentti on nolla, potenssi on yhtä suuri kuin yksi.

esimerkiksi. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Aste murtoluvulla. Nostaaksesi todellista numeroa a jossain määrin m/n, sinun on purettava juuri n aste m tämän luvun potenssi a.