Lineaarinen yhtälö kahdessa muuttujassa on mikä tahansa yhtälö, jolla on seuraava muoto: a*x + b*y =с. Tässä x ja y ovat kaksi muuttujaa, a,b,c joitakin lukuja.

Lineaarisen yhtälön a*x + b*y = c ratkaisu on mikä tahansa lukupari (x,y), joka täyttää tämän yhtälön, eli muuttaa yhtälön muuttujilla x ja y oikeaksi numeeriseksi yhtälöksi. Lineaarisella yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja.

Jos jokainen lukupari, joka on ratkaisu kahdessa muuttujassa olevaan lineaariseen yhtälöön, on kuvattu koordinaattitasolla pisteinä, niin kaikki nämä pisteet muodostavat lineaarisen yhtälön kuvaajan kahdessa muuttujassa. Pisteiden koordinaatit ovat x- ja y-arvomme. Tässä tapauksessa x-arvo on abskissa ja y-arvo on ordinaatta.

Kaavio lineaarista yhtälöstä kahdessa muuttujassa

Lineaarisen yhtälön kuvaaja, jossa on kaksi muuttujaa, on joukko koordinaattitason kaikkia mahdollisia pisteitä, joiden koordinaatit ovat tämän lineaarisen yhtälön ratkaisuja. On helppo arvata, että kaaviosta tulee suora. Siksi tällaisia ​​yhtälöitä kutsutaan lineaarisiksi.

Rakennusalgoritmi

Algoritmi lineaarisen yhtälön piirtämiseksi kahdessa muuttujassa.

1. Piirrä koordinaattiakselit, merkitse ne ja merkitse yksikkömittakaava.

2. Laita lineaarisessa yhtälössä x = 0 ja ratkaise tuloksena oleva yhtälö y:lle. Merkitse tuloksena oleva piste kaavioon.

3. Ota lineaarisessa yhtälössä luku 0 yksi ja ratkaise tuloksena oleva yhtälö x:lle. Merkitse tuloksena oleva piste kaavioon

4. Ota tarvittaessa mielivaltainen x:n arvo ja ratkaise tuloksena oleva yhtälö y:lle. Merkitse tuloksena oleva piste kaavioon.

5. Yhdistä saadut pisteet ja jatka kuvaajaa niiden jälkeen. Allekirjoita tuloksena oleva suora.

Esimerkki: Piirrä yhtälö 3*x - 2*y =6;

Laitetaan x=0, sitten - 2*y =6; y = -3;

Laitetaan y=0, sitten 3*x = 6; x = 2;

Merkitsemme saadut pisteet kaavioon, vedämme niiden läpi suoran ja merkitsemme sen. Katso alla olevaa kuvaa, kaavion pitäisi näyttää täsmälleen tältä.

Antaa sen olla annettu yhtälö kahdella muuttujalla F(x; y). Olet jo tutustunut tapoihin ratkaista tällaisia ​​yhtälöitä analyyttisesti. Monet tällaisten yhtälöiden ratkaisut voidaan esittää graafisena muodossa.

Yhtälön F(x; y) kuvaaja on joukko koordinaattitason xOy pisteitä, joiden koordinaatit täyttävät yhtälön.

Piirrä yhtälöt kahdessa muuttujassa, ilmaise ensin yhtälön y-muuttuja x-muuttujan avulla.

Tiedät varmasti jo kuinka rakentaa erilaisia ​​yhtälökaavioita kahdella muuttujalla: ax + b = c – suora, yx = k – hyperbola, (x – a) 2 + (y – b) 2 = R 2 – ympyrä, jonka säde on yhtä suuri kuin R ja keskipiste on pisteessä O(a; b).

Esimerkki 1.

Piirrä yhtälö x 2 – 9y 2 = 0.

Ratkaisu.

Kerrotaan yhtälön vasen puoli.

(x – 3y)(x+ 3y) = 0, eli y = x/3 tai y = -x/3.

Vastaus: Kuva 1.

Erityinen paikka on määritellyt luvut tasolle yhtälöillä, jotka sisältävät absoluuttisen arvon merkin, joita käsittelemme yksityiskohtaisesti. Tarkastellaan muotoa |y| olevien yhtälöiden graafien rakentamisen vaiheita = f(x) ja |y| = |f(x)|.

Ensimmäinen yhtälö vastaa järjestelmää

(f(x) ≥ 0,
(y = f(x) tai y = -f(x).

Eli sen kaavio koostuu kahden funktion kaavioista: y = f(x) ja y = -f(x), missä f(x) ≥ 0.

Piirrä toinen yhtälö piirtämällä kaksi funktiota: y = f(x) ja y = -f(x).

Esimerkki 2.

Piirrä yhtälö |y| = 2 + x.

Ratkaisu.

Annettu yhtälö vastaa järjestelmää

(x + 2 ≥ 0,
(y = x + 2 tai y = -x - 2.

Rakennamme monia pisteitä.

Vastaus: Kuva 2.

Esimerkki 3.

Piirrä yhtälö |y – x| = 1.

Ratkaisu.

Jos y ≥ x, niin y = x + 1, jos y ≤ x, niin y = x – 1.

Vastaus: Kuva 3.

Kun rakennetaan yhtälökaavioita, jotka sisältävät muuttujan moduulimerkin alla, on kätevää ja järkevää käyttää alueen menetelmä, joka perustuu koordinaattitason jakamiseen osiin, joissa jokainen alimodulaarinen lauseke säilyttää etumerkkinsä.

Esimerkki 4.

Piirrä yhtälö x + |x| + y + |y| = 2.

Ratkaisu.

Tässä esimerkissä kunkin alimodulaarisen lausekkeen etumerkki riippuu koordinaattineljänneksestä.

1) Ensimmäisellä koordinaattineljänneksellä x ≥ 0 ja y ≥ 0. Moduulin laajentamisen jälkeen annettu yhtälö näyttää tältä:

2x + 2y = 2 ja yksinkertaistamisen jälkeen x + y = 1.

2) Toisella neljänneksellä, missä x< 0, а y ≥ 0, уравнение будет иметь вид: 0 + 2y = 2 или y = 1.

3) Kolmannella neljänneksellä x< 0, y < 0 будем иметь: x – x + y – y = 2. Перепишем этот результат в виде уравнения 0 · x + 0 · y = 2.

4) Neljännellä neljänneksellä, kun x ≥ 0 ja y< 0 получим, что x = 1.

Piirrämme tämän yhtälön neljänneksillä.

Vastaus: Kuva 4.

Esimerkki 5.

Piirrä joukko pisteitä, joiden koordinaatit täyttävät yhtälön |x – 1| + |y – 1| = 1.

Ratkaisu.

Osamodulaaristen lausekkeiden nollat ​​x = 1 ja y = 1 jakavat koordinaattitason neljään alueeseen. Jaotetaan moduulit alueittain. Järjestetään tämä taulukon muotoon.

Alue	Submodulaarinen ilmaisumerkki	Tuloksena oleva yhtälö moduulin laajentamisen jälkeen
minä	x ≥ 1 ja y ≥ 1	x + y = 3
II	x< 1 и y ≥ 1	-x + y = 1
III	x< 1 и y < 1	x + y = 1
IV	x ≥ 1 ja y< 1	x – y = 1

Vastaus: Kuva 5.

Koordinaattitasolla voidaan määrittää lukuja ja epätasa-arvoa.

Epäyhtälökaavio kahdella muuttujalla on joukko koordinaattitason kaikkia pisteitä, joiden koordinaatit ovat ratkaisuja tälle epäyhtälölle.

Harkitsemme Algoritmi mallin rakentamiseksi epäyhtälöiden ratkaisemiseksi kahdella muuttujalla:

1. Kirjoita muistiin epäyhtälöä vastaava yhtälö.
2. Piirrä yhtälö vaiheesta 1.
3. Valitse mielivaltainen piste yhdestä puolitasosta. Tarkista, täyttävätkö valitun pisteen koordinaatit tämän epäyhtälön.
4. Piirrä graafisesti joukko epäyhtälön ratkaisuja.

Tarkastellaan ensin epäyhtälöä ax + bx + c > 0. Yhtälö ax + bx + c = 0 määrittää suoran, joka jakaa tason kahteen puolitasoon. Jokaisessa niistä funktio f(x) = ax + bx + c säilyttää etumerkkinsä. Tämän merkin määrittämiseksi riittää, että otetaan mikä tahansa puolitasoon kuuluva piste ja lasketaan funktion arvo tässä pisteessä. Jos funktion etumerkki osuu yhteen epäyhtälön merkin kanssa, tämä puolitaso on ratkaisu epäyhtälöön.

Katsotaanpa esimerkkejä graafisista ratkaisuista yleisimpiin kahden muuttujan epäyhtälöihin.

1) ax + bx + c ≥ 0. Kuva 6.

2) |x| ≤ a, a > 0. Kuva 7.

3) x 2 + y 2 ≤ a, a > 0. Kuva 8.

4) y ≥ x 2. Kuva 9.

5) xy ≤ 1. Kuva 10.

Jos sinulla on kysymyksiä tai haluat harjoitella kahden muuttujan epäyhtälöiden kaikkien ratkaisujoukkojen piirtämistä tasomalliin matemaattisen mallintamisen avulla, voit suorittaa ilmainen 25 minuutin oppitunti verkkotutorin kanssa rekisteröitymisen jälkeen. Jos haluat jatkaa työskentelyä opettajan kanssa, sinulla on mahdollisuus valita sinulle sopiva tariffisuunnitelma.

Onko sinulla vielä kysyttävää? Etkö osaa piirtää kuviota koordinaattitasolle?
Jos haluat apua ohjaajalta, rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

verkkosivuilla, kopioitaessa materiaalia kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Tällä oppitunnilla tarkastellaan lähemmin yhtälöiden kuvaamista. Muistetaan ensin mikä on rationaalinen yhtälö ja sen ratkaisujen joukko, joka muodostaa yhtälön kuvaajan. Tarkastellaan tarkemmin lineaarisen yhtälön kuvaajaa ja lineaarifunktion ominaisuuksia ja opetellaan lukemaan kaavioita. Tarkastellaan seuraavaksi toisen asteen yhtälön kuvaajaa ja toisen asteen funktion ominaisuuksia. Tarkastellaan hyperbolista funktiota ja sen kuvaajaa sekä ympyrän yhtälön kuvaajaa. Seuraavaksi siirrytään graafisen joukon rakentamiseen ja tutkimiseen.

Aihe: Yhtälöjärjestelmät

Oppitunti: Yhtälöiden piirtäminen

Tarkastellaan muodon rationaalista yhtälöä ja muodon rationaalista yhtälöjärjestelmää

Sanoimme, että jokaisella yhtälöllä tässä järjestelmässä on oma kaavionsa, jos tietysti yhtälöille on ratkaisuja. Tarkastelimme useita eri yhtälöiden kaavioita.

Nyt tarkastellaan systemaattisesti jokaista meille tiedossa olevaa yhtälöä, ts. käydään läpi yhtälökaavioita.

1. Lineaarinen yhtälö kahdella muuttujalla

x, y - ensimmäiseen asteeseen; a,b,c - tietyt numerot.

Esimerkki:

Tämän yhtälön kuvaaja on suora.

Toimimme vastaavilla muunnoksilla - jätimme y:n paikoilleen, kaikki muu siirrettiin toiselle puolelle vastakkaisilla merkeillä. Alkuperäinen ja tuloksena oleva yhtälö ovat ekvivalentteja, ts. niillä on samat ratkaisut. Tiedämme kuinka muodostaa tämän yhtälön kuvaaja, ja menetelmä sen muodostamiseksi on seuraava: etsimme koordinaattiakseleiden leikkauspisteet ja rakennamme niiden avulla suoran.

Tässä tapauksessa

Yhtälön kaavion tuntemalla voimme sanoa paljon alkuperäisen yhtälön ratkaisuista, nimittäin: jos jos

Tämä toiminto kasvaa, ts. kun x kasvaa, y kasvaa. Meillä on kaksi tiettyä ratkaisua, mutta kuinka voimme kirjoittaa muistiin kaikkien ratkaisujen joukon?

Jos pisteellä on abskissa x, niin tämän pisteen ordinaatta on

Siis numeroita

Meillä oli yhtälö, teimme kaavion, löysimme ratkaisuja. Kaikkien parien sarja - kuinka monta niitä on? Lukemattomia.

Tämä on rationaalinen yhtälö

Etsitään y, ja saadaan vastaavilla muunnoksilla

Laitetaan se ja hankitaan neliöfunktio, jonka graafi on meille tiedossa.

Esimerkki: Piirrä rationaalinen yhtälö.

Kaavio on paraabeli, oksat on suunnattu ylöspäin.

Etsitään yhtälön juuret:

Kuvataan kaavamaisesti kaavio ( Riisi. 2).

Graafilla saamme kaikenlaista tietoa sekä rationaalisen yhtälön funktiosta että ratkaisuista. Olemme määrittäneet vakiomerkin välit, nyt löydämme paraabelin kärjen koordinaatit.

Yhtälössä on lukemattomia ratkaisuja, ts. yhtälön täyttäviä pareja on lukemattomia, mutta kaikki Ja mikä x voisi olla? Kuka tahansa!

Jos asetamme minkä tahansa x:n, saamme pisteen

Alkuperäisen yhtälön ratkaisu on parien joukko

3. Piirrä yhtälö

On välttämätöntä ilmaista y. Harkitse kahta vaihtoehtoa.

Funktion kuvaaja on hyperboli, funktiota ei ole määritelty milloin

Toiminto vähenee.

Jos otamme pisteen abskissalla, niin sen ordinaatta on yhtä suuri

Alkuperäisen yhtälön ratkaisu on parien joukko

Konstruoitua hyperbolia voidaan siirtää suhteessa koordinaattiakseleihin.

Esimerkiksi funktion kuvaaja - myös hyperbola - siirretään yhdellä ylöspäin y-akselia pitkin.

4. Ympyrän yhtälö

Tämä on rationaalinen yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa. Ratkaisujoukko on ympyrän pisteet. Keskipiste sädepisteessä on yhtä suuri kuin R (kuva 4).

Katsotaanpa konkreettisia esimerkkejä.

a.

Pelkistetään yhtälö ympyrän yhtälön standardimuotoon; tätä varten valitsemme summan täydellisen neliön:

- sai yhtälön ympyrästä, jonka keskipiste on .

Piirretään yhtälö (Kuva 5).

b. Piirrä yhtälö

Muista, että tulo on nolla silloin ja vain, jos yksi tekijöistä on nolla ja toinen on olemassa.

Tietyn yhtälön kuvaaja koostuu joukosta ensimmäisen ja toisen yhtälön kuvaajia, ts. kaksi suoraa viivaa.

Rakennetaan se (kuva 6).

Tehdään funktiosta kaavio, jossa suora kulkee pisteen (0; -1) läpi. Mutta miten se menee - lisääntyykö vai väheneekö? Kulmakerroin, x:n kerroin, auttaa meitä määrittämään tämän; se on negatiivinen, mikä tarkoittaa, että funktio pienenee. Etsitään leikkauspiste ox-akselin kanssa, tämä on piste (-1; 0).

Piirrämme samalla tavalla toisen yhtälön kaavion. Suora kulkee pisteen (0; 1) läpi, mutta kasvaa, koska kaltevuus on positiivinen.

Kahden konstruoidun suoran kaikkien pisteiden koordinaatit ovat yhtälön ratkaisu.

Olemme siis analysoineet tärkeimpien rationaaliyhtälöiden kaavioita, joita käytetään sekä graafisessa menetelmässä että havainnollistaessa muita yhtälöjärjestelmien ratkaisumenetelmiä.

1. Mordkovich A.G. ja muut Algebra 9. luokka: Oppikirja. Yleissivistävää koulutusta varten Toimielimet. - 4. painos. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 s.: ill.

2. Mordkovich A.G. ja muut Algebra 9. luokka: Ongelmakirja yleisten oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina jne. - 4. painos. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. luokka: koulutus. yleissivistävän koulutuksen opiskelijoille. laitokset / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. — 7. painos, rev. ja ylimääräistä - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9-luokka. 16. painos - M., 2011. - 287 s.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9-luokka. 2 tunnissa Osa 1. Oppikirja yleisten oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. — 12. painos, poistettu. - M.: 2010. - 224 s.: ill.

6. Algebra. 9-luokka. 2 osassa Osa 2. Ongelmakirja yleiskoulujen opiskelijoille / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina ym.; Ed. A. G. Mordkovich. — 12. painos, rev. - M.: 2010.-223 s.: ill.

1. College.ru matematiikan osio ().

2. Internet-projekti “Tasks” ().

3. Koulutusportaali "RATKAISIN yhtenäisen valtionkokeen" ().

1. Mordkovich A.G. ja muut Algebra 9. luokka: Ongelmakirja yleisten oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina jne. - 4. painos. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 s.: ill. nro 95-102.

TAVOITE: 1) Esitellä opiskelijat käsitteen "yhtälö, jossa on kaksi muuttujaa";

2) Opi määrittämään kahdella muuttujalla olevan yhtälön aste;

3) Opi määrittämään annetusta funktiosta, mikä kuvio on kaavio

annettu yhtälö;

4) Tarkastellaan kahden muuttujan graafien muunnoksia;

annettu yhtälö kahdella muuttujalla Agrapher-ohjelmalla;

6) Kehitä opiskelijoiden loogista ajattelua.

I. Uusi materiaali - selittävä luento keskusteluelementeillä.

(luento pidetään tekijän dioilla; kaaviot piirretään Agrapher-ohjelmassa)

T: Rivejä opiskellessa syntyy kaksi ongelmaa:

Etsi tietyn suoran geometristen ominaisuuksien avulla sen yhtälö;

Käänteinen ongelma: tarkastele sen geometrisia ominaisuuksia ottaen huomioon suoran yhtälön.

Käsittelimme geometrian kurssin ensimmäistä ongelmaa suhteessa ympyröihin ja suoriin.

Tänään tarkastelemme käänteistä ongelmaa.

Harkitse muodon yhtälöitä:

A) x(x-y) = 4; b) 2u-x 2 =-2 ; V) x(x+y 2 ) = x +1.

ovat esimerkkejä yhtälöistä, joissa on kaksi muuttujaa.

Yhtälöt kahdella muuttujalla X Ja klo näyttää f(x,y)=(x,y), Missä f Ja – lausekkeet muuttujilla X Ja u.

Jos yhtälössä x(x-y)=4 korvaa muuttujan tilalla X sen arvo on -1, ja sen sijaan klo– arvo 3, niin saadaan oikea yhtälö: 1*(-1-3)=4,

Pari (-1; 3) muuttujan arvot X Ja klo on ratkaisu yhtälöön x(x-y)=4.

Tuo on yhtälön ratkaiseminen kahdella muuttujalla kutsutaan joukko järjestettyjä muuttujien arvopareja, jotka muodostavat tämän yhtälön todelliseksi yhtälöksi.

Yhtälöillä, joissa on kaksi muuttujaa, on yleensä äärettömän monta ratkaisua. Poikkeukset muodostavat esimerkiksi yhtälöitä, kuten X 2 +(y 2 - 4) 2 = 0 tai

2x 2 + klo 2 = 0 .

Ensimmäisessä niistä on kaksi ratkaisua (0; -2) ja (0; 2), toisessa yksi ratkaisu (0; 0).

Yhtälöllä x 4 + y 4 +3 = 0 ei ole lainkaan ratkaisuja. On mielenkiintoista, kun yhtälön muuttujien arvot ovat kokonaislukuja. Ratkaisemalla tällaiset yhtälöt kahdella muuttujalla saadaan kokonaislukupareja. Tällaisissa tapauksissa yhtälön sanotaan ratkeavan kokonaislukuina.

Kutsutaan kahta yhtälöä, joilla on sama ratkaisujoukko vastaavat yhtälöt. Esimerkiksi yhtälö x(x + y 2) = x + 1 on kolmannen asteen yhtälö, koska se voidaan muuntaa yhtälöksi xy 2 + x 2 - x-1 = 0, jonka oikea puoli on kolmannen asteen vakiomuodon polynomi.

Kahden muuttujan yhtälön astetta, joka esitetään muodossa F(x, y) = 0, jossa F(x, y) on vakiomuotoinen polynomi, kutsutaan polynomin F(x, y) asteeksi.

Jos kaikki kahdella muuttujalla olevan yhtälön ratkaisut on kuvattu pisteinä koordinaattitasossa, saat kahdella muuttujalla varustetun yhtälön kaavion.

Ajoittaa kahdella muuttujalla varustettu yhtälö on joukko pisteitä, joiden koordinaatit toimivat tämän yhtälön ratkaisuina.

Eli yhtälön kaavio ax + by + c = 0 on suora, jos ainakin yksi kertoimista a tai b ei ole nolla (kuva 1). Jos a = b = c = 0, niin tämän yhtälön kuvaaja on koordinaattitaso (kuva 2), jos a = b = 0, A c0, niin kaavio on tyhjä sarja (kuva 3).

Yhtälökaavio y = a x 2 + by + c on paraabeli (kuva 4), yhtälön kuvaaja xy=k (k0) – hyperboli (kuva 5). Yhtälökaavio X 2 + y 2 = r, jossa x ja y ovat muuttujia, r on positiivinen luku, on ympyrä jonka keskipiste on origossa ja säde on yhtä suuri r(Kuva 6). Yhtälön kaavio on ellipsi, Missä a Ja b– ellipsin suuret ja pienet puoliakselit (kuva 7).

Joidenkin yhtälöiden graafien rakentamista helpottaa niiden muunnosten käyttö. Harkitsemme yhtälökaavioiden muuntaminen kahdessa muuttujassa ja muotoilla säännöt, joiden mukaan yhtälökaavioiden yksinkertaisimmat muunnokset suoritetaan

1) Yhtälön F (-x, y) = 0 kuvaaja saadaan yhtälön F (x, y) = 0 kaaviosta käyttämällä symmetriaa akselin ympäri u.

2) Yhtälön F (x, -y) = 0 kuvaaja saadaan yhtälön F (x, y) = 0 kaaviosta käyttämällä symmetriaa akselin ympäri. X.

3) Yhtälön F (-x, -y) = 0 kuvaaja saadaan yhtälön F (x, y) = 0 kaaviosta käyttäen keskussymmetriaa origosta.

4) Yhtälön F (x-a, y) = 0 kuvaaja saadaan yhtälön F (x, y) = 0 kaaviosta liikkumalla yhdensuuntaisesti x-akselin kanssa |a| yksikköä (oikealla, jos a> 0 ja vasemmalle jos A < 0).

5) Yhtälön F (x, y-b) = 0 kuvaaja saadaan yhtälön F (x, y) = 0 kaaviosta siirtymällä kohtaan |b| akselin suuntaiset yksiköt klo(ylös jos b> 0 ja alas jos b < 0).

6) Yhtälön F (ax, y) = 0 kuvaaja saadaan yhtälön F (x, y) = 0 kaaviosta puristamalla y-akselille ja a kertaa, jos A> 1 ja venyttämällä y-akselilta kertaa, jos 0< A < 1.

7) Yhtälön F (x, by) = 0 kuvaaja saadaan yhtälön F (x, y) = 0 kaaviosta käyttämällä puristusta x-akseliin b kertaa jos b> 1 ja venyttämällä x-akselilta kertaa, jos 0 < b < 1.

Jos jonkin yhtälön kuvaajaa kierretään tietyn kulman verran lähellä origoa, niin uusi kuvaaja on toisen yhtälön kuvaaja. Erityiset kiertotapaukset kulmissa 90 0 ja 45 0 ovat tärkeitä.

8) Yhtälön F (x, y) = 0 kuvaaja myötäpäivään kiertoliikkeen seurauksena lähellä koordinaattien alkupistettä 90 0 kulman verran muuttuu yhtälön F (-y, x) = 0 kuvaajaksi, ja vastapäivään yhtälön F (y , -x) = 0 kuvaajaan.

9) Yhtälön F (x, y) = 0 kuvaaja myötäpäivään kiertoliikkeen seurauksena lähellä koordinaattien alkupistettä 45° kulmassa 0 kääntyy yhtälön F = 0 kuvaajaksi ja vastapäivään yhtälö F = 0.

Näistä säännöistä, joita olemme tarkastelleet kahdella muuttujalla olevien yhtälöiden graafien muuntamiseen, saadaan helposti säännöt funktioiden graafien muuntamiseen.

Esimerkki 1. Osoitetaan tämä piirtämällä yhtälö X 2 + y 2 + 2x – 8v + 8 = 0 on ympyrä (kuva 17).

Muunnetaan yhtälö seuraavasti:

1) ryhmittele muuttujan sisältävät termit X ja sisältää muuttujan klo, ja kuvittele jokainen termiryhmä täydellisen neliötrinomin muodossa: (x 2 + 2x + 1) + (y 2 -2*4*y + 16) + 8 – 1 – 16 = 0;

2) kirjoita tuloksena saadut trinomit kahden lausekkeen summan (eron) neliöiksi: (x + 1) 2 + (y – 4) 2 - 9 = 0;

3) analysoidaan kahdella muuttujalla olevien yhtälöiden graafien muunnossääntöjen mukaisesti yhtälö (x + 1) 2 + (y – 4) 2 = 3 2: tämän yhtälön kuvaaja on ympyrä, jonka keskipiste on piste (-1; 4) ja säde 3 yksikköä .

Esimerkki 2: Piirretään yhtälö X 2 + 4у 2 = 9 .

Kuvitellaan 4y 2 muodossa (2y) 2, saadaan yhtälö x 2 + (2y) 2 = 9, jonka kuvaaja saadaan ympyrästä x 2 + y 2 = 9 puristamalla x-akselia kerroin 2.

Piirrä ympyrä, jonka keskipiste on origossa ja jonka säde on 3 yksikköä.

Pienennetään kunkin pisteen etäisyyttä X-akselista 2 kertaa ja saadaan yhtälön kuvaaja

x 2 + (2v) 2 = 9.

Saimme kuvan puristamalla ympyrän yhteen sen halkaisijastaan ​​(halkaisijaan, joka on X-akselilla). Tätä kuviota kutsutaan ellipsiksi (kuva 18).

Esimerkki 3. Selvitetään mikä on yhtälön x 2 - y 2 = 8 kuvaaja.

Käytetään kaavaa F=0.

Korvaamalla tässä yhtälössä X:n ja Y:n sijaan, saamme:

T: Mikä on yhtälön y = kuvaaja?

D: Yhtälön y = kuvaaja on hyperboli.

U: Muusimme yhtälön muodossa x 2 - y 2 = 8 yhtälöksi y =.

Mikä suora tulee olemaan tämän yhtälön kuvaaja?

D: Eli yhtälön x 2 - y 2 = 8 kuvaaja on hyperboli.

U: Mitkä rivit ovat hyperbolin y = asymptootteja.

D: Hyperbolin y = asymptootit ovat suorat y = 0 ja x = 0.

U: Kun kierto on valmis, nämä suorat muuttuvat suoriksi = 0 ja = 0, eli suoriksi y = x ja y = - x. (Kuva 19).

Esimerkki 4: Selvitetään, minkä muodon paraabelin yhtälö y = x 2 saa, kun sitä kierretään origon ympäri 90 0 kulmassa myötäpäivään.

Kaavan F (-y; x) = 0 avulla yhtälössä y = x 2 korvataan muuttuja x arvolla – y ja muuttuja y x:llä. Saadaan yhtälö x = (-y) 2, eli x = y 2 (kuva 20).

Tarkastelimme esimerkkejä toisen asteen yhtälöiden kaavioista kahdella muuttujalla ja huomasimme, että tällaisten yhtälöiden kaaviot voivat olla paraabeli, hyperbola, ellipsi (erityisesti ympyrä). Lisäksi toisen asteen yhtälön kuvaaja voi olla suorapari (leikkaava tai yhdensuuntainen), tämä on ns. degeneroitunut tapaus. Yhtälön x 2 - y 2 = 0 kuvaaja on siis pari leikkaavia suoria (kuva 21a), ja yhtälön x 2 - 5x + 6 + 0y = 0 kuvaaja on yhdensuuntaisia ​​suoria.

II Konsolidointi.

(opiskelijoille jaetaan ”Ohjekortit” kahdella muuttujalla varustettujen yhtälöiden kaavioiden muodostamiseen Agrapher-ohjelmassa (Liite 2) ja ”Käytännön tehtävä” -kortit (Liite 3) tehtävien 1-8 muotoilulla. Opettaja esittelee yhtälökaavioita tehtävät 4-5 dioilla).

Harjoitus 1. Mitkä pareista (5;4), (1;0), (-5;-4) ja (-1; -) ovat yhtälön ratkaisuja:

a) x 2 - y 2 = 0, b) x 3 - 1 = x 2 y + 6y?

Ratkaisu:

Korvaamalla näiden pisteiden koordinaatit annettuun yhtälöön, olemme vakuuttuneita siitä, ettei yksikään annettu pari ole yhtälön x 2 - y 2 = 0 ratkaisu ja yhtälön x 3 - 1 = x 2 y + 6y ratkaisut. ovat parit (5;4), (1;0) ja (-1; -).

125 - 1 = 100 + 24 (I)

1 - 1 = 0 + 0 (I)

125 - 1 = -100 - 24 (L)

1 - 1 = - - (I)

Vastaus: A); b) (5;4), (1; 0), (-1; -).

Tehtävä 2. Etsi ratkaisuja yhtälölle xy 2 - x 2 y = 12, jossa arvo X on yhtä kuin 3.

Ratkaisu: 1) Korvaa annetussa yhtälössä arvo 3 X:n sijaan.

2) Saamme muuttujalle Y neliöyhtälön, jonka muoto on:

3v 2 - 9v = 12.

4) Ratkaistaan ​​tämä yhtälö:

3v 2 - 9v - 12 = 0

D = 81 + 144 = 225

Vastaus: parit (3;4) ja (3;-1) ovat yhtälön xy 2 - x 2 y = 12 ratkaisuja

Tehtävä 3. Määritä yhtälön aste:

a) 2y2 - 3x3 + 4x = 2; c) (3 x 2 + x)(4x - y 2) = x;

b) 5 y 2 - 3 y 2 x 2 + 2 x 3 = 0; d) (2y - x 2) 2 = x(x 2 + 4xy + 1).

Vastaus: a) 3; b) 5; klo 4; d) 4.

Tehtävä 4. Mikä kuvio on yhtälön kaavio:

a) 2x = 5 + 3y; b) 6 x 2 - 5x = y - 1; c) 2(x + 1) = x 2 - y;

d) (x - 1,5) (x - 4) = 0; e) xy – 1,2 = 0; e) x 2 + y 2 = 9.

Tehtävä 5. Kirjoita yhtälö, jonka kuvaaja on symmetrinen yhtälön x 2 - xy + 3 = 0 kuvaajalle (kuva 24) suhteessa: a) akseliin X; b) akselit klo; c) suora y = x; d) suora y = -x.

Tehtävä 6. Muodosta yhtälö, jonka kuvaaja saadaan venyttämällä yhtälön y = x 2 -3 kuvaajaa (kuva 25):

a) x-akselilta 2 kertaa; b) y-akselilta 3 kertaa.

Tarkista Agrapher-ohjelmasta, että tehtävä on suoritettu oikein.

Vastaus: a)y - x 2 + 3 = 0 (kuva 25a); b) y-(x) 2 + 3 = 0 (kuvio 25b).

b) viivat ovat yhdensuuntaisia, liikkuen yhdensuuntaisesti x-akselin kanssa 1 yksikkö oikealle ja yhdensuuntaiset y-akselin kanssa 3 yksikköä alaspäin (kuva 26b);

c) suorat leikkaavat, symmetrinen näyttö x-akselin suhteen (kuva 26c);

d) suorat leikkaavat, symmetrinen näyttö suhteessa y-akseliin (kuvio 26d);

e) viivat ovat yhdensuuntaisia, symmetrisiä origon suhteen (kuva 26e);

e) suorat leikkaavat, kierto origon ympäri 90 myötäpäivään ja symmetrinen näyttö x-akselin suhteen (kuva 26f).

III. Itsenäinen koulutustyö.

(Opiskelijoille jaetaan kortit "Itsenäinen työ" ja "Omakohtaisen työn tulosten raportti", johon opiskelijat kirjoittavat vastauksensa ja itsetestauksen jälkeen arvioivat työtä ehdotetun kaavan mukaan) Liite 4 ..

I. vaihtoehto.

a) 5 x 3 - 3 x 2 y 2 + 8 = 0; b) (x + y + 1) 2 - (x-y) 2 = 2 (x + y).

a) x 3 + y 3 - 5 x 2 = 0; b) x 4 +4x 3 y +6x 2 y 2 + 4xy 3 + y 4 = 1.

x 4 + y 4 -8 x 2 + 16 = 0.

a) (x + 1) 2 + (y-1) 2 = 4;

b) x2-y2 = 1;

c) x - y 2 = 9.

x 2 - 2x + y 2 - 4y = 20.

Määritä ympyrän keskipisteen ja säteen koordinaatit.

6. Miten hyperbolia y = siirretään koordinaattitasolla niin, että sen yhtälö on muotoa x 2 - y 2 = 16?

Tarkista vastauksesi piirtämällä kaavio Agrapherilla.

7. Kuinka paraabelia y = x 2 tulisi siirtää koordinaattitasolla niin, että sen yhtälö on muotoa x = y 2 - 1

Vaihtoehto II.

1. Määritä yhtälön aste:

a) 3xy = (y-x 3) (x 2 +y); b) 2y 3 + 5x 2 y 2 - 7 = 0.

2. Onko lukupari (-2;3) yhtälön ratkaisu:

a) x2-y2-3x = 1; b) 8x 3 + 12x 2 y + 6xy 2 + y 3 = -1.

3. Etsi yhtälön ratkaisut:

x 2 + y 2 -2x - 8 v + 17 = 0.

4. Millainen käyrä (hyperbola, ympyrä, paraabeli) on pistejoukko, jos tämän käyrän yhtälön muoto on:

a) (x-2) 2 + (y + 2) 2 =9

b) y 2 - x 2 = 1

c) x = y 2 - 1.

(tarkista Agrapher-ohjelmalla, että tehtävä on suoritettu oikein)

5. Piirrä yhtälö Agrapher-ohjelmalla:

x 2 + y 2 - 6x + 10y = 2.

6. Miten hyperbolia y = siirretään koordinaattitasolla niin, että sen yhtälö on muotoa x 2 - y 2 = 28?

7. Kuinka paraabelia y = x 2 tulee siirtää koordinaattitasolla niin, että sen yhtälö on muotoa x = y 2 + 9.