Potenttifunktion y = x p alueella seuraavat kaavat pätevät:
; ;
;
; ;
; ;
; .

Potenssifunktioiden ja niiden kuvaajien ominaisuudet

Potenttifunktio, jonka eksponentti on nolla, p = 0

Jos potenssifunktion eksponentti y = x p on nolla, p = 0, niin potenssifunktio määritellään kaikille x ≠ 0 ja on vakio, yhtä suuri kuin yksi:
y \u003d x p \u003d x 0 \u003d 1, x ≠ 0.

Potenttifunktio luonnollisella paritolla eksponentilla, p = n = 1, 3, 5, ...

Tarkastellaan potenssifunktiota y = x p = x n, jonka luonnollinen pariton eksponentti n = 1, 3, 5, ... . Tällainen indikaattori voidaan kirjoittaa myös seuraavasti: n = 2k + 1, missä k = 0, 1, 2, 3, ... on ei-negatiivinen kokonaisluku. Alla on tällaisten funktioiden ominaisuudet ja kaaviot.

Kuvaaja potenssifunktiosta y = x n luonnollisella parittomalla eksponentilla eksponentin n = 1, 3, 5, ... eri arvoille.

Verkkotunnus: -∞ < x < ∞
Useita arvoja: -∞ < y < ∞
Pariteetti: pariton, y(-x) = - y(x)
Yksitoikkoinen: kasvaa monotonisesti
Äärimmäiset: Ei
Kupera:
paikassa -∞< x < 0 выпукла вверх
klo 0< x < ∞ выпукла вниз
Katkopisteet: x=0, y=0
x=0, y=0
Rajoitukset:
;
Yksityiset arvot:
kun x = -1,
y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k+1 = -1
jos x = 0, y(0) = 0 n = 0
kun x = 1, y(1) = 1 n = 1
Käänteinen toiminto:
kun n = 1 , funktio on käänteinen itselleen: x = y
jos n ≠ 1, käänteisfunktio on n asteen juuri:

Potenttifunktio luonnollisella parillisella eksponentilla, p = n = 2, 4, 6, ...

Tarkastellaan potenssifunktiota y = x p = x n, jonka luonnollinen parillinen eksponentti n = 2, 4, 6, ... . Tällainen indikaattori voidaan kirjoittaa myös seuraavasti: n = 2k, missä k = 1, 2, 3, ... on luonnollinen luku. Tällaisten funktioiden ominaisuudet ja kaaviot on esitetty alla.

Kuvaaja potenssifunktiosta y = x n luonnollisella parillisella eksponentilla eksponentin n = 2, 4, 6, ... eri arvoille.

Verkkotunnus: -∞ < x < ∞
Useita arvoja: 0 ≤ v< ∞
Pariteetti: parillinen, y(-x) = y(x)
Yksitoikkoinen:
x ≤ 0 pienenee monotonisesti
x ≥ 0 kasvaa monotonisesti
Äärimmäiset: minimi, x=0, y=0
Kupera: kupera alaspäin
Katkopisteet: Ei
Leikkauspisteet koordinaattiakseleilla: x=0, y=0
Rajoitukset:
;
Yksityiset arvot:
kun x = -1, y(-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
jos x = 0, y(0) = 0 n = 0
kun x = 1, y(1) = 1 n = 1
Käänteinen toiminto:
kun n = 2, neliöjuuri:
jos n ≠ 2, asteen n juuri:

Potenttifunktio negatiivisella kokonaisluvulla, p = n = -1, -2, -3, ...

Tarkastellaan potenssifunktiota y = x p = x n, jonka negatiivinen kokonaislukueksponentti n = -1, -2, -3, ... . Jos laitamme n = -k, jossa k = 1, 2, 3, ... on luonnollinen luku, niin se voidaan esittää seuraavasti:

Kuvaaja potenssifunktiosta y = x n negatiivisella kokonaislukueksponentilla eksponentin n = -1, -2, -3, ... eri arvoille.

Pariton eksponentti, n = -1, -3, -5, ...

Alla on funktion y = x n ominaisuudet pariton negatiivinen eksponentti n = -1, -3, -5, ... .

Verkkotunnus: x ≠ 0
Useita arvoja: y ≠ 0
Pariteetti: pariton, y(-x) = - y(x)
Yksitoikkoinen: vähenee monotonisesti
Äärimmäiset: Ei
Kupera:
klo x< 0 : выпукла вверх
x > 0: kupera alaspäin
Katkopisteet: Ei
Leikkauspisteet koordinaattiakseleilla: Ei
Merkki:
klo x< 0, y < 0
x > 0, y > 0
Rajoitukset:
; ; ;
Yksityiset arvot:
kun x = 1, y(1) = 1 n = 1
Käänteinen toiminto:
kun n = -1,
n:lle< -2 ,

Parillinen eksponentti, n = -2, -4, -6, ...

Alla on funktion y = x n ominaisuudet parillisella negatiivisella eksponentilla n = -2, -4, -6, ... .

Verkkotunnus: x ≠ 0
Useita arvoja: y > 0
Pariteetti: parillinen, y(-x) = y(x)
Yksitoikkoinen:
klo x< 0 : монотонно возрастает
x > 0: monotonisesti laskeva
Äärimmäiset: Ei
Kupera: kupera alaspäin
Katkopisteet: Ei
Leikkauspisteet koordinaattiakseleilla: Ei
Merkki: y > 0
Rajoitukset:
; ; ;
Yksityiset arvot:
kun x = 1, y(1) = 1 n = 1
Käänteinen toiminto:
kun n = -2,
n:lle< -2 ,

Potenssifunktio rationaalisella (fraktio) eksponentilla

Tarkastellaan potenssifunktiota y = x p, jolla on rationaalinen (murtoluku) eksponentti , jossa n on kokonaisluku, m > 1 on luonnollinen luku. Lisäksi n:llä, m:llä ei ole yhteisiä jakajia.

Murto-osoittimen nimittäjä on pariton

Olkoon murto-eksponentin nimittäjä pariton: m = 3, 5, 7, ... . Tässä tapauksessa tehofunktio x p määritellään sekä positiivisille että negatiivisille x-arvoille. Tarkastellaan tällaisten potenssifunktioiden ominaisuuksia, kun eksponentti p on tietyissä rajoissa.

p on negatiivinen, p< 0

Olkoon rationaalinen eksponentti (parittisella nimittäjällä m = 3, 5, 7, ... ) pienempi kuin nolla: .

Kuvaajat eksponentiaalisista funktioista, joissa on rationaalinen negatiivinen eksponentti eksponentin eri arvoille, missä m = 3, 5, 7, ... on pariton.

Pariton osoittaja, n = -1, -3, -5, ...

Tässä ovat potenssifunktion y = x p ominaisuudet rationaalisen negatiivisen eksponentin kanssa, jossa n = -1, -3, -5, ... on pariton negatiivinen kokonaisluku, m = 3, 5, 7 ... on pariton luonnollinen luku.

Verkkotunnus: x ≠ 0
Useita arvoja: y ≠ 0
Pariteetti: pariton, y(-x) = - y(x)
Yksitoikkoinen: vähenee monotonisesti
Äärimmäiset: Ei
Kupera:
klo x< 0 : выпукла вверх
x > 0: kupera alaspäin
Katkopisteet: Ei
Leikkauspisteet koordinaattiakseleilla: Ei
Merkki:
klo x< 0, y < 0
x > 0, y > 0
Rajoitukset:
; ; ;
Yksityiset arvot:
kun x = -1, y(-1) = (-1) n = -1
kun x = 1, y(1) = 1 n = 1
Käänteinen toiminto:

Parillinen osoittaja, n = -2, -4, -6, ...

Potenttifunktion y = x p ominaisuudet rationaalisen negatiivisen eksponentin kanssa, jossa n = -2, -4, -6, ... on parillinen negatiivinen kokonaisluku, m = 3, 5, 7 ... on pariton luonnollinen luku .

Verkkotunnus: x ≠ 0
Useita arvoja: y > 0
Pariteetti: parillinen, y(-x) = y(x)
Yksitoikkoinen:
klo x< 0 : монотонно возрастает
x > 0: monotonisesti laskeva
Äärimmäiset: Ei
Kupera: kupera alaspäin
Katkopisteet: Ei
Leikkauspisteet koordinaattiakseleilla: Ei
Merkki: y > 0
Rajoitukset:
; ; ;
Yksityiset arvot:
kun x = -1, y(-1) = (-1) n = 1
kun x = 1, y(1) = 1 n = 1
Käänteinen toiminto:

P-arvo on positiivinen, pienempi kuin yksi, 0< p < 1

Kuvaaja potenssifunktiosta, jossa on rationaalinen eksponentti (0< p < 1 ) при различных значениях показателя степени , где m = 3, 5, 7, ... - нечетное.

Pariton osoittaja, n = 1, 3, 5, ...

< p < 1 , где n = 1, 3, 5, ... - нечетное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Verkkotunnus: -∞ < x < +∞
Useita arvoja: -∞ < y < +∞
Pariteetti: pariton, y(-x) = - y(x)
Yksitoikkoinen: kasvaa monotonisesti
Äärimmäiset: Ei
Kupera:
klo x< 0 : выпукла вниз
x > 0: kupera ylöspäin
Katkopisteet: x=0, y=0
Leikkauspisteet koordinaattiakseleilla: x=0, y=0
Merkki:
klo x< 0, y < 0
x > 0, y > 0
Rajoitukset:
;
Yksityiset arvot:
kun x = -1, y(-1) = -1
jos x = 0, y(0) = 0
kun x = 1, y(1) = 1
Käänteinen toiminto:

Parillinen osoittaja, n = 2, 4, 6, ...

Esitetään potenssifunktion y = x p ominaisuudet, joiden rationaalinen eksponentti on 0:n sisällä.< p < 1 , где n = 2, 4, 6, ... - четное натуральное, m = 3, 5, 7 ... - нечетное натуральное.

Verkkotunnus: -∞ < x < +∞
Useita arvoja: 0 ≤ v< +∞
Pariteetti: parillinen, y(-x) = y(x)
Yksitoikkoinen:
klo x< 0 : монотонно убывает
x > 0: monotonisesti kasvava
Äärimmäiset: minimi, kun x = 0, y = 0
Kupera: kupera ylöspäin kohdassa x ≠ 0
Katkopisteet: Ei
Leikkauspisteet koordinaattiakseleilla: x=0, y=0
Merkki: jos x ≠ 0, y > 0
Rajoitukset:
;
Yksityiset arvot:
kun x = -1, y(-1) = 1
jos x = 0, y(0) = 0
kun x = 1, y(1) = 1
Käänteinen toiminto:

Eksponentti p on suurempi kuin yksi, p > 1

Kuvaaja potenssifunktiosta, jossa on rationaalinen eksponentti (p > 1 ) eksponentin eri arvoille, missä m = 3, 5, 7, ... on pariton.

Pariton osoittaja, n = 5, 7, 9, ...

Potenssifunktion y = x p ominaisuudet, jonka rationaalinen eksponentti on suurempi kuin yksi: . Missä n = 5, 7, 9, ... on pariton luonnollinen luku, m = 3, 5, 7 ... on pariton luonnollinen luku.

Verkkotunnus: -∞ < x < ∞
Useita arvoja: -∞ < y < ∞
Pariteetti: pariton, y(-x) = - y(x)
Yksitoikkoinen: kasvaa monotonisesti
Äärimmäiset: Ei
Kupera:
paikassa -∞< x < 0 выпукла вверх
klo 0< x < ∞ выпукла вниз
Katkopisteet: x=0, y=0
Leikkauspisteet koordinaattiakseleilla: x=0, y=0
Rajoitukset:
;
Yksityiset arvot:
kun x = -1, y(-1) = -1
jos x = 0, y(0) = 0
kun x = 1, y(1) = 1
Käänteinen toiminto:

Parillinen osoittaja, n = 4, 6, 8, ...

Potenssifunktion y = x p ominaisuudet, jonka rationaalinen eksponentti on suurempi kuin yksi: . Missä n = 4, 6, 8, ... on parillinen luonnollinen luku, m = 3, 5, 7 ... on pariton luonnollinen luku.

Verkkotunnus: -∞ < x < ∞
Useita arvoja: 0 ≤ v< ∞
Pariteetti: parillinen, y(-x) = y(x)
Yksitoikkoinen:
klo x< 0 монотонно убывает
x > 0 kasvaa monotonisesti
Äärimmäiset: minimi, kun x = 0, y = 0
Kupera: kupera alaspäin
Katkopisteet: Ei
Leikkauspisteet koordinaattiakseleilla: x=0, y=0
Rajoitukset:
;
Yksityiset arvot:
kun x = -1, y(-1) = 1
jos x = 0, y(0) = 0
kun x = 1, y(1) = 1
Käänteinen toiminto:

Murto-osoittimen nimittäjä on parillinen

Olkoon murto-eksponentin nimittäjä parillinen: m = 2, 4, 6, ... . Tässä tapauksessa tehofunktiota x p ei ole määritetty argumentin negatiivisille arvoille. Sen ominaisuudet ovat samat kuin irrationaalisen eksponentin potenssifunktion ominaisuudet (katso seuraava osa).

Potentiofunktio irrationaalisella eksponentilla

Tarkastellaan potenssifunktiota y = x p, jolla on irrationaalinen eksponentti p . Tällaisten funktioiden ominaisuudet eroavat edellä tarkastetuista siinä, että niitä ei ole määritelty x-argumentin negatiivisille arvoille. Argumentin positiivisille arvoille ominaisuudet riippuvat vain eksponentin p arvosta eivätkä riipu siitä, onko p kokonaisluku, rationaalinen vai irrationaalinen.

y = x p eksponentin p eri arvoille.

Tehotoiminto negatiivisella p< 0

Verkkotunnus: x > 0
Useita arvoja: y > 0
Yksitoikkoinen: vähenee monotonisesti
Kupera: kupera alaspäin
Katkopisteet: Ei
Leikkauspisteet koordinaattiakseleilla: Ei
Rajoitukset: ;
yksityinen arvo: Jos x = 1, y(1) = 1 p = 1

Potenssifunktio, jossa positiivinen eksponentti p > 0

Indikaattori on pienempi kuin yksi 0< p < 1

Verkkotunnus: x ≥ 0
Useita arvoja: y ≥ 0
Yksitoikkoinen: kasvaa monotonisesti
Kupera: kupera ylöspäin
Katkopisteet: Ei
Leikkauspisteet koordinaattiakseleilla: x=0, y=0
Rajoitukset:
Yksityiset arvot: Jos x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Jos x = 1, y(1) = 1 p = 1

Indikaattori on suurempi kuin yksi p > 1

Verkkotunnus: x ≥ 0
Useita arvoja: y ≥ 0
Yksitoikkoinen: kasvaa monotonisesti
Kupera: kupera alaspäin
Katkopisteet: Ei
Leikkauspisteet koordinaattiakseleilla: x=0, y=0
Rajoitukset:
Yksityiset arvot: Jos x = 0, y(0) = 0 p = 0 .
Jos x = 1, y(1) = 1 p = 1

Viitteet:
SISÄÄN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Matematiikan käsikirja insinööreille ja korkeakouluopiskelijoille, Lan, 2009.

Katso myös:

Hae negatiivisen kokonaislukueksponentin potenssifunktioiden ominaisuudet ja kuvaajat.

Jopa n:lle:

Toimintoesimerkki:

Kaikki tällaisten funktioiden kuvaajat kulkevat kahden kiinteän pisteen kautta: (1;1), (-1;1). Tämän tyyppisten funktioiden ominaisuus on niiden pariteetti, graafit ovat symmetrisiä op-y-akselin suhteen.

Riisi. 1. Funktiokaavio

Parittomalla n:llä:

Toimintoesimerkki:

Kaikki tällaisten funktioiden kuvaajat kulkevat kahden kiinteän pisteen kautta: (1;1), (-1;-1). Tämän tyyppisille funktioille on ominaista niiden omituisuus, graafit ovat symmetrisiä origon suhteen.

Riisi. 2. Funktiokaavio

Muistakaamme päämääritelmä.

Ei-negatiivisen luvun a astetta, jolla on rationaalinen positiivinen eksponentti, kutsutaan luvuksi.

Positiivisen luvun a astetta, jolla on rationaalinen negatiivinen eksponentti, kutsutaan luvuksi.

Seuraaville tasa-arvoille:

Esimerkiksi: ; - lauseketta ei ole olemassa negatiivisen rationaalisen eksponentin asteen määritelmän mukaan; on olemassa, koska eksponentti on kokonaisluku,

Siirrytään tarkastelemaan potenssifunktioita rationaalisen negatiivisen eksponentin kanssa.

Esimerkiksi:

Voit piirtää tämän funktion luomalla taulukon. Teemme toisin: ensin rakennamme ja tutkimme nimittäjäkaavion - tiedämme sen (kuva 3).

Riisi. 3. Funktion kuvaaja

Nimittäjäfunktion kuvaaja kulkee kiinteän pisteen (1;1) kautta. Alkuperäisen funktion kuvaajaa rakennettaessa tämä piste säilyy, kun myös juuri pyrkii nollaan, funktio pyrkii äärettömyyteen. Ja päinvastoin, kun x pyrkii äärettömään, funktio pyrkii nollaan (kuva 4).

Riisi. 4. Funktiokaavio

Harkitse vielä yhtä funktiota tutkittavasta funktioperheestä.

Se on määritelmän mukaan tärkeää

Tarkastellaan funktion kuvaajaa nimittäjässä: , tunnemme tämän funktion graafin, se kasvaa määritelmäalueellaan ja kulkee pisteen (1; 1) läpi (kuva 5).

Riisi. 5. Funktiokaavio

Alkuperäisen funktion kuvaajaa rakennettaessa piste (1; 1) jää jäljelle, kun myös juurikin pyrkii nollaan, funktio pyrkii äärettömyyteen. Ja päinvastoin, kun x pyrkii äärettömään, funktio pyrkii nollaan (kuva 6).

Riisi. 6. Funktiokaavio

Tarkasteltavat esimerkit auttavat ymmärtämään, miten kuvaaja etenee ja mitkä ovat tutkittavan funktion - negatiivisen rationaalisen eksponentin - funktion ominaisuudet.

Tämän perheen funktioiden kuvaajat kulkevat pisteen (1;1) kautta, funktio pienenee koko määritelmäalueen yli.

Toiminnan laajuus:

Funktiota ei rajoiteta ylhäältä, vaan alhaalta. Funktiolla ei ole enimmäis- eikä minimiarvoa.

Toiminto on jatkuva, se ottaa kaikki positiiviset arvot nollasta plus äärettömään.

Kupera alas-funktio (kuva 15.7)

Pisteet A ja B otetaan käyrältä, jana piirretään niiden läpi, koko käyrä on janan alapuolella, tämä ehto täyttyy mielivaltaisissa kahdessa käyrän pisteessä, joten funktio on kupera alaspäin. Riisi. 7.

Riisi. 7. Funktion kupera

On tärkeää ymmärtää, että tämän perheen toimintoja rajoittaa alhaalta nolla, mutta niillä ei ole pienintä arvoa.

Esimerkki 1 - etsi funktion maksimi ja minimi väliltä ja kasvaa kanssaX ja laskee kloX }