Oikeita lukuja. Reaalilukujen likimääräisyys äärellisillä desimaaliluvuilla.

Reaali- tai reaaliluku on matemaattinen abstraktio, joka syntyi tarpeesta mitata ympärillämme olevan maailman geometriset ja fysikaaliset suureet sekä suorittaa sellaisia ​​operaatioita kuin juurien erottaminen, logaritmien laskeminen ja algebrallisten yhtälöiden ratkaiseminen. Jos luonnolliset luvut syntyivät laskentaprosessissa, rationaaliset luvut - tarpeesta toimia kokonaisuuden osilla, niin reaaliluvut on tarkoitettu jatkuvien määrien mittaamiseen. Näin ollen tarkasteltavana olevan lukukannan laajentaminen on johtanut reaalilukujen joukkoon, joka sisältää rationaalilukujen lisäksi myös muita elementtejä ns. irrationaalisia lukuja .

Absoluuttinen virhe ja sen raja.

Olkoon jokin numeerinen arvo, ja sille annettua numeerista arvoa pidetään tarkana, niin alla numeerisen arvon likimääräisen arvon virhe (virhe) ymmärtää ero numeerisen arvon tarkan ja likimääräisen arvon välillä: . Virhe voi saada sekä positiivisia että negatiivisia arvoja. Arvoa kutsutaan tunnettu likiarvo numeerisen arvon tarkkaan arvoon - mikä tahansa luku, jota käytetään tarkan arvon sijasta. Yksinkertaisin kvantitatiivinen virheen mitta on absoluuttinen virhe. Absoluuttinen virhe likimääräistä arvoa kutsutaan arvoksi, josta tiedetään, että: Suhteellinen virhe ja sen raja.

Approksimaation laatu riippuu olennaisesti hyväksytyistä mittayksiköistä ja suureiden asteikoista, joten suuren virhe ja sen arvo kannattaa korreloida, jolle otetaan käyttöön suhteellisen virheen käsite. Suhteellinen virhe Likimääräistä arvoa kutsutaan arvoksi, josta tiedetään, että: . Suhteellinen virhe ilmaistaan ​​usein prosentteina. Suhteellisten virheiden käyttö on kätevää erityisesti siksi, että ne eivät riipu suureiden ja mittayksiköiden asteikoista.

Irrationaaliset yhtälöt

Yhtälöä, jossa muuttuja on juuren merkin alla, kutsutaan irrationaaliseksi. Irrationaalisia yhtälöitä ratkaistaessa saadut ratkaisut vaativat verifiointia, koska esimerkiksi väärä yhtälö neliöitäessä voi antaa oikean yhtälön. Todellakin, väärä yhtälö neliöitynä antaa oikean yhtälön 1 2 = (-1) 2 , 1=1. Joskus on kätevämpää ratkaista irrationaalisia yhtälöitä käyttämällä vastaavia siirtymiä.

Neliötetään tämän yhtälön molemmat puolet; Muunnoksien jälkeen päästään toisen asteen yhtälöön; ja laitetaan se päälle.

Monimutkaiset luvut. Kompleksilukujen toiminnot.

Kompleksiluvut - reaalilukujen joukon laajennus, yleensä merkitty. Mikä tahansa kompleksiluku voidaan esittää muodollisena summana x + iy, missä x ja y- todellisia lukuja, i- imaginaariyksikkö Kompleksiluvut muodostavat algebrallisesti suljetun kentän - tämä tarkoittaa, että astepolynomi n monimutkaisilla kertoimilla on täsmälleen n monimutkaiset juuret, eli algebran peruslause on tosi. Tämä on yksi tärkeimmistä syistä kompleksilukujen laajaan käyttöön matemaattisessa tutkimuksessa. Lisäksi kompleksilukujen käyttö mahdollistaa monien matemaattisten mallien kätevän ja kompaktin muotoilun, joita käytetään matemaattisessa fysiikassa ja luonnontieteissä - sähkötekniikassa, hydrodynamiikassa, kartografiassa, kvanttimekaniikassa, värähtelyteoriassa ja monissa muissa.

Vertailu a + bi = c + di tarkoittaa että a = c ja b = d(kaksi kompleksilukua ovat yhtä suuret, jos ja vain jos niiden reaali- ja imaginaariosa ovat yhtä suuret).

Lisäys ( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i .

Vähennys ( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i .

Kertominen

Numeerinen toiminto. Tapoja asettaa toiminto

Matematiikassa lukufunktio on funktio, jonka alueet ja arvot ovat lukujoukkojen osajoukkoja - yleensä reaalilukujen joukko tai kompleksilukujen joukko.

Sanallinen: Luonnollisella kielellä Y on yhtä kuin X:n kokonaislukuosa. Analyyttinen: Analyyttisen kaavan käyttäminen f (x) = x !

Graafinen Via graafi Fragmenttikuvaajan fragmentti.

Taulukkomuotoinen: arvotaulukon käyttäminen

Toiminnon pääominaisuudet

1) Toiminnan laajuus ja toimintoalue . Toiminnan laajuus x(muuttuja x), jolle toiminto y=f(x) määritelty.

Toimintoalue y jonka funktio hyväksyy. Alkeismatematiikassa funktioita tutkitaan vain reaalilukujoukolla.2 ) Funktio nolla) Toiminnon monotonisuus . Lisääntyvä toiminta Vähentävä toiminto . Tasainen toiminta X f(-x) = f(x). outo toiminto- funktio, jonka määritelmäalue on symmetrinen origon suhteen ja minkä tahansa X f(-x) = -f(x. Funktiota kutsutaan rajoitettu rajoittamaton .7) Toiminnon jaksollisuus. Funktio f(x) - kausijulkaisu toimintajakso

Funktiokaaviot. Yksinkertaisimmat graafien muunnokset funktiolla

Funktiokaavio- joukko pisteitä, joiden abskissat ovat kelvollisia argumenttiarvoja x, ja ordinaatit ovat funktion vastaavia arvoja y .

Suora viiva- lineaarisen funktion kuvaaja y=kirves+b. Funktio y kasvaa monotonisesti, kun a > 0 ja pienenee kun a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Paraabeli- neliötrinomifunktion kuvaaja y \u003d ax 2 + bx + c. Siinä on pystysuora symmetria-akseli. Jos a > 0, on minimi, jos a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c \u003d 0

Hyperbeli- funktiokaavio. Kun a > O sijaitsee I ja III neljänneksissä, kun a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) tai y - x (a< 0).

Logaritminen funktio y = log a x(a > 0)

trigonometriset funktiot. Kun rakennamme trigonometrisiä funktioita, käytämme radiaani kulmien mittaa. Sitten toiminto y= synti x esitetään kaaviolla (kuva 19). Tätä käyrää kutsutaan sinusoidi .

Funktiokaavio y= cos x esitetty kuvassa. kaksikymmentä; se on myös siniaalto, joka syntyy graafin siirtämisestä y= synti x akselia pitkin X jättänyt /2.

Funktioiden perusominaisuudet. Monotonisuus, tasaisuus, omituisuus, funktioiden jaksollisuus.

Toiminnan laajuus ja toimintoalue . Toiminnan laajuus on argumentin kaikkien kelvollisten arvojen joukko x(muuttuja x), jolle toiminto y=f(x) määritelty.

Toimintoalue on kaikkien todellisten arvojen joukko y jonka funktio hyväksyy.

Alkeismatematiikassa funktioita tutkitaan vain reaalilukujoukolla.2 ) Funktio nolla- on argumentin arvo, jossa funktion arvo on nolla.3 ) Funktion vakiovälit- ne argumenttiarvot, joiden funktioarvot ovat vain positiivisia tai vain negatiivisia.4 ) Toiminnon monotonisuus .

Lisääntyvä toiminta(jossain välissä) - funktio, jossa tämän välin argumentin suurempi arvo vastaa funktion suurempaa arvoa.

Vähentävä toiminto(jossain välissä) - funktio, jossa suurempi argumentin arvo tästä intervallista vastaa pienempää funktion arvoa.5 ) Parilliset (parittomat) funktiot . Tasainen toiminta- funktio, jonka määritelmäalue on symmetrinen origon suhteen ja minkä tahansa X määritelmän alueelta tasa-arvo f(-x) = f(x). Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen y-akselin suhteen. outo toiminto- funktio, jonka määritelmäalue on symmetrinen origon suhteen ja minkä tahansa X määritelmän alueelta tasa-arvo f(-x) = -f(x). Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen.6 ) Rajoitetut ja rajoittamattomat toiminnot. Funktiota kutsutaan rajoitettu, jos on positiivinen luku M siten, että |f (x) | ≤ M kaikille x:n arvoille. Jos tällaista numeroa ei ole, funktio on rajoittamaton .7) Toiminnon jaksollisuus. Funktio f(x) - kausijulkaisu, jos on sellainen nollasta poikkeava luku T, että mille tahansa funktion alueelta x:lle pätee seuraava: f (x+T) = f (x). Tätä pienintä numeroa kutsutaan toimintajakso. Kaikki trigonometriset funktiot ovat jaksollisia. (Trigonometriset kaavat).

Jaksottaiset toiminnot. Säännöt funktion pääjakson löytämiseksi.

Jaksottainen toiminto on funktio, joka toistaa arvonsa jonkin nollasta poikkeavan jakson jälkeen, eli ei muuta arvoaan, kun argumenttiin lisätään kiinteä nollasta poikkeava luku (jakso). Kaikki trigonometriset funktiot ovat jaksollisia. Ovat väärässä lauseet jaksollisten funktioiden summasta: 2 funktion summa, joilla on suhteellinen (jopa perus) jakso T 1 ja T 2 on funktio jaksolla LCM ( T 1 ,T 2). Kahden jatkuvan funktion summa, joissa on suhteettomia (jopa perus) jaksoja, on ei-jaksollinen funktio. Ei ole olemassa jaksollisia funktioita, jotka eivät olisi yhtä suuria kuin vakio, jonka jaksot ovat suhteettomia lukuja.

Piirtovoimafunktiot.

Virtatoiminto. Tämä on toiminto: y = ax n, missä a,n- pysyvä. klo n= 1 saamme suoraa suhteellisuutta : y =kirves; klo n = 2 - neliön paraabeli; klo n = 1 - käänteinen suhteellisuus tai hyperbolia. Näin ollen nämä funktiot ovat tehofunktion erikoistapauksia. Tiedämme, että minkä tahansa muun luvun kuin nollan nollateho on yhtä suuri kuin 1, joten milloin n= 0 tehofunktiosta tulee vakio: y =a, eli sen kuvaaja on akselin suuntainen suora X, pois lukien koordinaattien alkuperä (selitä miksi?). Kaikki nämä tapaukset (kanssa a= 1) on esitetty kuvassa 13 ( n 0) ja kuva 14 ( n < 0). Отрицательные значения x ei oteta huomioon tässä, koska silloin joitain toimintoja:

Käänteinen funktio

Käänteinen funktio- funktio, joka kääntää tämän funktion ilmaiseman riippuvuuden. Funktio on käänteinen funktiolle, jos seuraavat identiteetit ovat voimassa: for all kaikille

Funktion raja pisteessä. Rajan perusominaisuudet.

N:nnen asteen juuri ja sen ominaisuudet.

Luvun a n:s juuri on luku, jonka n:s potenssi on yhtä suuri kuin a.

Määritelmä: Luvun a n:nnen asteen aritmeettinen juuri on ei-negatiivinen luku, jonka n:s potenssi on yhtä suuri kuin a.

Juurien tärkeimmät ominaisuudet:

Aste mielivaltaisella reaalieksponentilla ja sen ominaisuuksilla.

Olkoon positiivinen luku ja mielivaltainen reaaliluku. Lukua kutsutaan asteeksi, luku on asteen kanta, luku on eksponentti.

Määritelmän mukaan oletetaan:

Jos ja ovat positiivisia lukuja ja ovat mitä tahansa reaalilukuja, seuraavat ominaisuudet ovat tosia:

.

.

Tehofunktio, sen ominaisuudet ja kuvaajat

Virtatoiminto kompleksinen muuttuja f (z) = z n kokonaislukueksponentti määritetään käyttämällä todellisen argumentin samankaltaisen funktion analyyttistä jatkoa. Tätä varten käytetään kompleksilukujen kirjoittamisen eksponentiaalista muotoa. kokonaislukueksponentilla varustettu potenssifunktio on analyyttinen koko kompleksitasolla identiteettikartoituksen äärellisen määrän esiintymien tulona f (z) = z. Ainutlaatuisuuslauseen mukaan nämä kaksi kriteeriä riittävät tuloksena olevan analyyttisen jatkon ainutlaatuisuudelle. Tätä määritelmää käyttämällä voimme heti päätellä, että kompleksisen muuttujan tehofunktiolla on merkittäviä eroja sen todellisesta vastineesta.

Tämä on muodon funktio . Seuraavat tapaukset otetaan huomioon:

a). Jos sitten . Sitten, ; jos luku on parillinen, niin funktio on parillinen (ts. kaikille ); jos luku on pariton, funktio on pariton (eli kaikille).

Eksponentiaalinen funktio, sen ominaisuudet ja kuvaajat

Eksponentti funktio- matemaattinen funktio.

Tositapauksessa asteen kanta on jokin ei-negatiivinen reaaliluku ja funktion argumentti on reaalieksponentti.

Kompleksifunktioiden teoriassa tarkastellaan yleisempää tapausta, jolloin mielivaltainen kompleksiluku voi olla argumentti ja eksponentti.

Yleisimmällä tavalla - u v, jonka Leibniz esitteli vuonna 1695.

Erityisesti korostuu tapaus, jossa luku e toimii tutkinnon perustana. Tällaista funktiota kutsutaan eksponenttiksi (reaaliksi tai kompleksiseksi).

Ominaisuudet ; ; .

eksponentiaaliyhtälöt.

Jatketaan suoraan eksponentiaalisiin yhtälöihin. Eksponentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi on käytettävä seuraavaa lausetta: Jos asteet ovat yhtä suuret ja kantakannat ovat yhtä suuret, positiiviset ja erilaiset kuin yksi, niin myös niiden eksponentit ovat yhtä suuret. Todistetaan tämä lause: Olkoon a>1 ja a x =a y .

Osoitetaan, että tässä tapauksessa x=y. Oletetaan päinvastoin kuin todistettava, ts. sanotaan että x>y tai että x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х a y . Molemmat tulokset ovat ristiriidassa lauseen hypoteesin kanssa. Siksi x=y, mikä oli todistettava.

Lause on todistettu myös tapaukselle, jossa 0 0 ja a≠1.

eksponentiaaliset epätasa-arvot

Epäyhtälöt muodon (tai vähemmän) for a(x) >0 ja ne ratkaistaan ​​eksponentiaalisen funktion ominaisuuksien perusteella: for 0 < а (х) < 1 kun vertaa f(x) ja g(x) eriarvoisuuden merkki muuttuu ja milloin a(x) > 1- on pelastettu. Vaikein tapaus kirves)< 0 . Tässä voimme antaa vain yleisen viittauksen: määrittää millä arvoilla X indikaattoreita f(x) ja g(x) ovat kokonaislukuja ja valitse niistä ne, jotka täyttävät ehdon. Lopuksi, jos alkuperäinen epätasa-arvo pätee a(x) = 0 tai a(x) = 1(esimerkiksi kun eriarvoisuudet eivät ole tiukkoja), tulee myös nämä tapaukset huomioida.

Logaritmit ja niiden ominaisuudet

Luvun logaritmi b syystä a (kreikan kielestä λόγος - "sana", "relaatio" ja ἀριθμός - "luku") määritellään osoittimeksi siitä, kuinka paljon pohjaa on nostettava a saadaksesi numeron b. Nimitys: . Määritelmästä seuraa, että merkinnät ja ovat vastaavia. Esimerkki: koska. Ominaisuudet

Logaritmisen perusidentiteetti:

Logaritminen funktio, sen ominaisuudet ja kuvaajat.

Logaritminen funktio on muodon funktio f (x) = loki x, määritelty osoitteessa

Verkkotunnus:

Arvoalue:

Minkä tahansa logaritmisen funktion kuvaaja kulkee pisteen (1; 0) kautta

Logaritmisen funktion derivaatta on:

Logaritmiset yhtälöt

Yhtälöä, joka sisältää muuttujan logaritmin etumerkin alla, kutsutaan logaritmiksi yhtälöksi. Yksinkertaisin esimerkki logaritmisesta yhtälöstä on yhtälö log a x \u003d b (jossa a > 0 ja 1). Hänen päätöksensä x = a b .

Yhtälöiden ratkaiseminen logaritmin määritelmän perusteella, esimerkiksi yhtälö log a x \u003d b (a\u003e 0, mutta 1) on ratkaisu x = a b .

tehostamismenetelmä. Potentioinnilla tarkoitetaan siirtymistä logaritmeja sisältävästä yhtälöstä yhtälöön, joka ei sisällä niitä:

jos log a f (x) = log a g (x), sitten f(x) = g(x), f(x) >0 ,g(x) >0 ,a > 0 , a 1 .

Menetelmä logaritmisen yhtälön pelkistämiseksi toisen asteen yhtälöön.

Menetelmä yhtälön molempien osien logaritmin ottamiseksi.

Menetelmä logaritmien pelkistämiseksi samaan kantaan.

Logaritmiset epäyhtälöt.

Epäyhtälöä, joka sisältää vain logaritmin merkin alaisen muuttujan, kutsutaan logaritmiksi: log a f (x) > log a g (x).

Logaritmisia epäyhtälöitä ratkaistaessa tulee ottaa huomioon epäyhtälöiden yleiset ominaisuudet, logaritmisen funktion monotonisuusominaisuus ja sen määritelmäalue. Epätasa-arvo log a f (x) > log a g (x) on sama kuin järjestelmä f (x) > g (x) > 0, jos a > 1 ja järjestelmä 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Kulmien ja kaarien radiaanimittaus. Sini, kosini, tangentti, kotangentti.

asteen mitta. Tässä on mittayksikkö tutkinto ( nimitys ) - on palkin kierto 1/360 yhden täyden kierroksen verran. Siten säteen täysi kierto on 360. Yksi tutkinto koostuu 60:stä pöytäkirja ( niiden nimitys "); yksi minuutti - vastaavasti 60:stä sekuntia ( merkitty ").

radiaanimitta. Kuten tiedämme planimetriasta (katso kappale "Kaaren pituus" osiossa "Pisteiden sijainti. Ympyrä ja ympyrä"), kaaren pituus l, säde r ja vastaava keskikulma liittyvät toisiinsa: = l / r.

Tämä kaava on kulmien radiaanimitan määritelmän perusta. Niin jos l = r, silloin = 1, ja sanomme, että kulma on 1 radiaani, jota merkitään: = 1 iloinen. Näin ollen meillä on seuraava radiaanimitan määritelmä:

Radiaani on keskikulma, jonka kaaren pituus ja säde ovat yhtä suuret(A m B = AO, kuva 1). Niin, kulman radiaanimitta on mielivaltaisella säteellä piirretyn ja tämän kulman sivujen väliin suljetun kaaren pituuden suhde kaaren säteeseen.

Terävien kulmien trigonometriset funktiot voidaan määritellä suorakulmaisen kolmion sivujen pituuksien suhteena.

Sinus:

Kosini:

Tangentti:

Kotangentti:

Numeerisen argumentin trigonometriset funktiot

Määritelmä .

x:n sini on luku, joka on yhtä suuri kuin kulman sini x radiaaneina. Luvun x kosini on luku, joka on yhtä suuri kuin kulman kosini x radiaaneina .

Muut numeerisen argumentin trigonometriset funktiot määritellään samalla tavalla X .

Haamukaavat.

Lisäyskaavat. Double ja puoli argumenttikaavat.

Kaksinkertainen.

( ; .

Trigonometriset funktiot ja niiden kuvaajat. Trigonometristen funktioiden perusominaisuudet.

Trigonometriset funktiot- eräänlaisia ​​perusfunktioita. Yleensä niihin viitataan sinus (synti x), kosini (cos x), tangentti (tg x), kotangentti (ctg x), Trigonometriset funktiot määritellään yleensä geometrisesti, mutta ne voidaan määritellä analyyttisesti sarjojen summina tai joidenkin differentiaaliyhtälöiden ratkaisuina, mikä mahdollistaa näiden funktioiden määrittelyalueen laajentamisen kompleksilukuihin.

Funktio y sinx sen ominaisuudet ja kuvaaja

Ominaisuudet:

2. E (y) \u003d [-1; yksi].

3. Funktio y \u003d sinx on pariton, koska määritelmän mukaan trigonometrisen kulman sini synti(- x)= - y/R = - sinx, jossa R on ympyrän säde, y on pisteen ordinaatta (kuva).

4. T \u003d 2n - pienin positiivinen jakso. Todella,

sin(x+p) = sinx.

Ox-akselilla: sinx= 0; x = pn, nОZ;

y-akselilla: jos x = 0, niin y = 0,6. Vakiovälit:

sinx > 0, jos xО (2pn; p + 2pn), nОZ;

sinx< 0 , jos xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

Sinimerkit neljänneksissä

y > 0 ensimmäisen ja toisen neljänneksen kulmille a.

klo< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Monotonisuuden intervallit:

y= sinx kasvaa kullakin aikavälillä [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nнz ja pienenee kullakin aikavälillä , nнz.

8. Toiminnon ääripisteet ja ääripisteet:

xmax= p/2 + 2pn, nnz; y max = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nnz; ymin = - 1.

Toiminnon ominaisuudet y= cosx ja hänen aikataulunsa:

Ominaisuudet:

2. E (y) \u003d [-1; yksi].

3. Toiminto y= cosx- parillinen, koska trigonometrisen kulman kosinin määritelmän mukaan cos (-a) = x/R = cosa trigonometrisellä ympyrällä (riisi)

4. T \u003d 2p - pienin positiivinen jakso. Todella,

cos(x+2pn) = cosx.

5. Leikkauspisteet koordinaattiakseleilla:

Ox-akselilla: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nОZ;

y-akselilla: jos x = 0, niin y = 1.

6. Merkin pysyvyyden intervallit:

cos > 0, jos xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , jos xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

Tämä todistetaan trigonometrisellä ympyrällä (kuva). Kosinimerkit neljänneksissä:

x > 0 ensimmäisen ja neljännen neljänneksen kulmille a.

x< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Monotonisuuden intervallit:

y= cosx kasvaa kullakin aikavälillä [-p + 2pn; 2pn],

nнz ja pienenee kullakin aikavälillä , nнz.

Toiminnon ominaisuudet y= tgx ja sen tontti: kiinteistöt -

1. D (y) = (xОR, x ¹ p/2 + pn, nОZ).

3. Funktio y = tgx - pariton

tgx > 0

tgx< 0 xн (-p/2 + pn; pn), nнZ.

Katso kuvasta tangentin merkit neljänneksissä.

6. Monotonisuuden intervallit:

y= tgx kasvaa joka välissä

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. Toiminnon ääripisteet ja ääripisteet:

8. x = p/2 + pn, nнz - pystysuorat asymptootit

Toiminnon ominaisuudet y= ctgx ja hänen aikataulunsa:

Ominaisuudet:

1. D (y) = (xОR, x ¹ pn, nОZ). 2. E(y)=R.

3. Toiminto y= ctgx- outo.

4. T \u003d p - pienin positiivinen jakso.

5. Merkin pysyvyyden intervallit:

ctgx > 0 xО (pn; p/2 + pn;), nОZ;

ctgx< 0 xÎ (-p/2 + pn; pn), nÎZ.

Kotangenttimerkit neljänneksille, katso kuva.

6. Toiminto klo= ctgx kasvaa kullakin aikavälillä (pn; p + pn), nОZ.

7. Funktion ääripisteet ja ääripäät y= ctgx ei.

8. Funktiokaavio y= ctgx On tangentoidi, saatu kuvaajan siirrolla y=tgx Ox-akselia pitkin vasemmalle p/2:lla ja kertomalla (-1) (kuva)

Käänteiset trigonometriset funktiot, niiden ominaisuudet ja kuvaajat

Käänteiset trigonometriset funktiot (pyöreät toiminnot , kaarifunktiot) ovat matemaattisia funktioita, jotka ovat käänteisiä trigonometrisille funktioille. Käänteiset trigonometriset funktiot sisältävät yleensä kuusi funktiota: arcsininen , kaari kosini , arctangentti ,arccotanges. Käänteisen trigonometrisen funktion nimi muodostetaan vastaavan trigonometrisen funktion nimestä lisäämällä etuliite "kaari-" (alk. lat. kaari- kaari). Tämä johtuu siitä, että geometrisesti käänteisen trigonometrisen funktion arvo voidaan liittää yhtä tai toista segmenttiä vastaavan yksikköympyrän kaaren pituuteen (tai kulmaan, joka alittaa tämän kaaren). Joskus ulkomaisessa kirjallisuudessa he käyttävät nimityksiä kuten sin −1 arcsinille jne.; tätä ei pidetä täysin oikein, koska sekaannukset funktion nostamiseen potenssiin −1 on mahdollista. Perussuhde

Funktio y=arcsinX, sen ominaisuudet ja kuvaajat.

arcsininen numeroita m tätä kulmaa kutsutaan x jolle Function y= synti x y= arcsin x lisääntyy jyrkästi. (funktio on pariton).

Funktio y=arccosX, sen ominaisuudet ja kuvaajat.

Kaaren kosini numeroita m tätä kulmaa kutsutaan x, mille

Toiminto y= cos x jatkuva ja rajattu koko lukuviivaansa pitkin. Toiminto y= arccos x on jyrkästi laskussa. cos (arccos x) = x klo arccos (cos y) = y klo D(arccos x) = [− 1; 1], (verkkotunnus), E(arccos x) = . (arvoalue). Arccos-funktion ominaisuudet (funktio on keskisymmetrinen pisteen suhteen

Funktio y=arctgX, sen ominaisuudet ja kuvaajat.

Arktangentti numeroita m Kulmaa α kutsutaan sellaiseksi, että funktio on jatkuva ja rajattu koko reaaliviivalle. Toiminto kasvaa jyrkästi.

klo

arctg-funktion ominaisuudet

,

.

Funktio y=arcctg, sen ominaisuudet ja graafit.

Kaaren tangentti numeroita m tätä kulmaa kutsutaan x, mille

Funktio on jatkuva ja rajoitettu sen koko reaaliviivalle.

Toiminto vähenee jyrkästi. klo 0< y < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки mille tahansa x .

.

Yksinkertaisimmat trigonometriset yhtälöt.

Määritelmä. wada yhtälöt sin x = a ; cos x = a ; rusketus x = a ; ctg x = a, missä x

Trigonometristen yhtälöiden erikoistapaukset

Määritelmä. wada yhtälöt sin x = a ; cos x = a ; rusketus x = a ; ctg x = a, missä x- kutsutaan muuttujaa aR yksinkertaiset trigonometriset yhtälöt.

Trigonometriset yhtälöt

Stereometrian aksioomat ja seuraukset niistä

Avaruuden perushahmot: pisteet, suorat ja tasot. Pisteiden, suorien ja tasojen keskeiset ominaisuudet, jotka koskevat niiden keskinäistä järjestystä, ilmaistaan ​​aksioomeina.

A1. Minkä tahansa kolmen pisteen kautta, jotka eivät ole samalla suoralla, kulkee taso, ja lisäksi vain yksi. A2. Jos kaksi suoran pistettä ovat samassa tasossa, niin kaikki suoran pisteet ovat tässä tasossa.

Kommentti. Jos suoralla ja tasolla on vain yksi yhteinen piste, niin niiden sanotaan leikkaavan.

A3. Jos kahdella tasolla on yhteinen piste, niillä on yhteinen viiva, jolla näiden tasojen kaikki yhteiset pisteet sijaitsevat.

	A ja leikkaavat viivaa a pitkin.

Seuraus 1. Viivan ja pisteen kautta, joka ei makaa sillä, kulkee taso, ja lisäksi vain yksi. Seuraus 2. Taso kulkee kahden leikkaavan suoran läpi, ja lisäksi vain yhden.

Kahden rivin keskinäinen järjestely avaruudessa

Kaksi yhtälöillä annettua suoraa

leikkaavat pisteessä.

Suoran ja tason rinnakkaisuus.

Määritelmä 2.3 Suoraa ja tasoa kutsutaan yhdensuuntaisiksi, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä. Jos suora a on yhdensuuntainen tason α kanssa, kirjoita a || a. Lause 2.4 Suoran ja tason yhdensuuntaisuuden merkki. Jos tason ulkopuolella oleva suora on yhdensuuntainen tasossa olevan suoran kanssa, tämä suora on myös yhdensuuntainen itse tason kanssa. Todistus Olkoon b α, a || b ja a α (piirustus 2.2.1). Todistamme ristiriidalla. Olkoon a, ettei a ole yhdensuuntainen α:n kanssa, silloin suora a leikkaa tason α jossain pisteessä A. Lisäksi A b, koska a || b. Vinoviivojen kriteerin mukaan viivat a ja b ovat vinossa. Olemme tulleet ristiriitaan. Lause 2.5 Jos taso β kulkee tason α suuntaisen suoran a läpi ja leikkaa tämän tason pitkin suoraa b, niin b || a. Todistus Todellakin, suorat a ja b eivät ole vinossa, koska ne ovat tasossa β. Lisäksi näillä viivoilla ei ole yhteisiä pisteitä, koska a || a. Määritelmä 2.4 Suoraa b kutsutaan joskus tason β jäljeksi tasossa α.

Suorien linjojen ylittäminen. Leikkaavien viivojen merkki

Viivoja kutsutaan leikkaaviksi, jos seuraava ehto täyttyy: Jos kuvittelemme, että yksi suorista kuuluu mielivaltaiseen tasoon, niin toinen suora leikkaa tämän tason pisteessä, joka ei kuulu ensimmäiseen suoraan. Toisin sanoen kaksi suoraa kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa leikkaavat toisensa, jos niitä sisältävää tasoa ei ole. Yksinkertaisesti sanottuna kaksi suoraa avaruudessa, joilla ei ole yhteisiä pisteitä, mutta jotka eivät ole yhdensuuntaisia.

Lause (1): Jos toinen kahdesta suorasta on tietyssä tasossa ja toinen suora leikkaa tämän tason pisteessä, joka ei ole ensimmäisellä suoralla, nämä suorat ovat vinossa.

Lause (2): Kummankin kahden leikkaavan suoran kautta kulkee toisen suoran kanssa yhdensuuntainen taso, ja lisäksi vain yksi.

Lause (3): Jos kahden kulman sivut ovat vastaavasti samansuuntaisia, nämä kulmat ovat yhtä suuret.

Viivojen rinnakkaisuus. Yhdensuuntaisten tasojen ominaisuudet.

Yhdensuuntaiset (joskus tasakylkiset) suorat kutsutaan suoriksi, jotka sijaitsevat samassa tasossa ja joko ovat yhteneväisiä tai eivät leikkaa. Joissakin koulumäärittelyissä yhteneviä viivoja ei pidetä rinnakkain; tällaista määritelmää ei oteta huomioon tässä. Ominaisuudet Rinnakkaisuus on binäärinen ekvivalenssirelaatio, joten se jakaa koko rivijoukon toistensa kanssa samansuuntaisiin suorien luokkiin. Minkä tahansa pisteen kautta voi olla täsmälleen yksi suora yhdensuuntainen annetun pisteen kanssa. Tämä on euklidisen geometrian erottuva ominaisuus, muissa geometrioissa numero 1 korvataan muilla (Lobatševskin geometriassa tällaisia ​​viivoja on ainakin kaksi) 2 yhdensuuntaista suoraa avaruudessa ovat samassa tasossa. b Kahden yhdensuuntaisen suoran leikkauskohdassa kolmasosa, kutsutaan sekantti: Sekantti leikkaa välttämättä molemmat suorat. Ylityksessä muodostuu 8 kulmaa, joista joillakin tunnusomaisilla pareilla on erityiset nimet ja ominaisuudet: Risti valehtelee kulmat ovat yhtä suuret. Vastaavasti kulmat ovat yhtä suuret. Yksipuolinen Kulmat lasketaan yhteen 180°.

Suoran ja tason kohtisuora.

Suoraa, joka leikkaa tason, kutsutaan kohtisuorassa tämä taso, jos se on kohtisuorassa jokaista viivaa vastaan, joka sijaitsee annetussa tasossa ja kulkee leikkauspisteen kautta.

JOHDAN JA TASOJEN PÄÄRISTIÖN MERKKI.

Jos tason leikkaava suora on kohtisuorassa kahta sen tason suoraa vastaan, jotka kulkevat annetun suoran ja tason leikkauspisteen kautta, niin se on kohtisuorassa tasoon nähden.

1. OMAISUUS PÄÄRISTÖJEN JA TASOJEN .

Jos taso on kohtisuorassa toiseen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta, se on myös kohtisuorassa toiseen.

2. PYSTYJEN JA TASOJEN OMAISUUS .

Kaksi samaan tasoon nähden kohtisuorassa olevaa suoraa ovat yhdensuuntaisia.

Kolmen kohtisuoran lause

Päästää AB- kohtisuorassa tasoon α nähden, AC- viisto ja c- suora viiva pisteen läpi kulkevalla tasolla α C ja kohtisuora projektio eKr. Piirretään suora viiva CK yhdensuuntainen suoran kanssa AB. Suoraan CK kohtisuorassa tasoon α nähden (koska se on yhdensuuntainen AB), ja siten mikä tahansa tämän tason viiva, CK kohtisuoraan viivaan nähden c AB ja CK taso β (rinnakkaiset suorat määrittelevät tason ja vain yhden). Suoraan c on kohtisuorassa kahta tasossa β olevaa leikkaavaa suoraa vastaan, tämä eKr ehdon mukaan ja CK rakenteella, mikä tarkoittaa, että se on kohtisuorassa mitä tahansa tähän tasoon kuuluvaa suoraa vastaan, mikä tarkoittaa, että se on myös kohtisuorassa suoraa vastaan AC .

Kolmen kohtisuoran käänteislause

Jos kaltevan viivan pohjan kautta tasoon piirretty suora on kohtisuorassa kaltevaan viivaan nähden, niin se on myös kohtisuorassa sen projektioon nähden.

Päästää AB- kohtisuorassa tasoon nähden a , AC- viisto ja Kanssa- suora viiva tasossa a kulkee rinteen pohjan läpi FROM. Piirretään suora viiva SC, yhdensuuntainen linjan kanssa AB. Suoraan SC kohtisuorassa tasoon nähden a(tällä lauseella, koska se on yhdensuuntainen AB), ja siten mikä tahansa tämän tason viiva, SC kohtisuoraan viivaan nähden Kanssa. Piirrä yhdensuuntaisten viivojen läpi AB ja SC kone b(rinnakkaiset viivat määrittelevät tason ja vain yhden). Suoraan Kanssa kohtisuorassa kahta tasossa olevaa suoraa vastaan b, Tämä on AC ehdon mukaan ja SC rakenteella se tarkoittaa, että se on kohtisuorassa mitä tahansa tähän tasoon kuuluvaa suoraa vastaan, mikä tarkoittaa, että se on myös kohtisuorassa suoraa vastaan aurinko. Toisin sanoen projektio aurinko kohtisuoraan viivaan nähden Kanssa makaa lentokoneessa a .

Pystysuora ja vino.

kohtisuorassa Tietystä pisteestä tiettyyn tasoon laskettua janaa, joka yhdistää tietyn pisteen tason pisteeseen ja joka sijaitsee tasoon nähden kohtisuoralla suoralla. Tämän segmentin tasossa olevaa loppua kutsutaan kohtisuoran kanta .

vino, piirretty tietystä pisteestä tiettyyn tasoon, on mikä tahansa jana, joka yhdistää tietyn pisteen tason pisteeseen, joka ei ole kohtisuorassa tasoon nähden. Tasossa olevan segmentin loppua kutsutaan kalteva pohja. Jana, joka yhdistää samasta pisteestä vedetyn vinon suoran kohtisuoran kantat, on ns. vino projektio .

Määritelmä 1. Tiettyyn suoraan nähden kohtisuora on tiettyyn suoraan nähden kohtisuorassa oleva jana, jonka toinen pää on niiden leikkauspisteessä. Tietyllä suoralla sijaitsevan janan päätä kutsutaan kohtisuoran kannaksi.

Määritelmä 2. Tietystä pisteestä tietylle suoralle vedetty vino viiva on jana, joka yhdistää annetun pisteen mihin tahansa pisteeseen suoralla, joka ei ole samasta pisteestä annettuun suoraan pudotetun kohtisuoran kanta. AB - kohtisuorassa tasoon α nähden.

AC - vino, CB - projektio.

C - vinon pohja, B - kohtisuoran kanta.

Suoran ja tason välinen kulma.

Kulma viivan ja tason välillä Mitä tahansa suoran ja sen tähän tasoon projektion välistä kulmaa kutsutaan.

Dihedraalinen kulma.

Dihedraalinen kulma- tilageometrinen kuvio, joka muodostuu kahdesta yhdestä suorasta lähtevästä puolitasosta sekä näiden puolitasojen rajoittamasta avaruuden osasta. Puolilentokoneita kutsutaan kasvot dihedraalinen kulma ja niiden yhteinen suora - reuna. Dihedraaliset kulmat mitataan lineaarisella kulmalla, joka on kulma, joka muodostuu dihedraalisen kulman ja sen reunaan nähden kohtisuoran tason leikkauspisteestä. Jokaisella monitahoisella, säännöllisellä tai epäsäännöllisellä, kuperalla tai koveralla, on kaksitahoinen kulma kummassakin reunassa.

Kahden tason kohtisuora.

TASOJEN POISTUISUUDEN MERKKI.

Jos taso kulkee toiseen tasoon nähden kohtisuoran suoran läpi, nämä tasot ovat kohtisuorassa.

Julkaisupäivämäärä: 2016-03-23

Lyhyt kuvaus: ...

ESIMERKKEJÄ YHTÄLÖIDEN RATKAISEMINEN JOITAIN ALKUPERÄISTÄ ​​TEKNIIKKOJA KÄYTTÄMÄLLÄ.

1
. Irrationaalisten yhtälöiden ratkaisu.

1. Korvausmenetelmä.

1.1.1 Ratkaise yhtälö .

Huomaa, että x:n merkit radikaalin alla ovat erilaisia. Esittelemme merkinnän

, .

Sitten,

Suoritetaan yhtälön molempien osien yhteenlaskettu termi kerrallaan.

Ja meillä on yhtälöjärjestelmä

Koska a + b = 4, sitten

Z lukee: 9 - x \u003d 8  x \u003d 1. Vastaus: x \u003d 1.

1.1.2. Ratkaise yhtälö .

Esittelemme merkinnän: , ; , .

Keinot:

Lisäämällä termi kerrallaan yhtälöiden vasen ja oikea puoli, meillä on .

Ja meillä on yhtälöjärjestelmä

a + b = 2, , , ,

Palataan yhtälöjärjestelmään:

, .

Kun yhtälö (ab) on ratkaistu, meillä on ab = 9, ab = -1 (-1 ulkopuolinen juuri, koska , .).

Tällä järjestelmällä ei ole ratkaisuja, mikä tarkoittaa, että alkuperäisellä yhtälöllä ei myöskään ole ratkaisua.

Vastaus: ei ratkaisuja.

1. 1. Ratkaise yhtälö: .

Esittelemme merkinnän , jossa . Sitten,.

, ,

Harkitse kolmea tapausta:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 - a + 2 \u003d 1, a - 1 + a - 2 \u003d 1, a \u003d 1, 1  [ 0; 1). [ yksi ; 2). a = 2.

Ratkaisu: [ 1 ; 2].

Jos , sitten , , .

Vastaus: .

1.2. Vasemman ja oikean osan arviointimenetelmä (suurin menetelmä).

Majoranttimenetelmä on menetelmä funktion rajallisuuden löytämiseksi.

Majorisointi - toiminnon rajoituspisteiden löytäminen. M on majorantti.

Jos meillä on f(x) = g(x) ja ODZ tunnetaan, ja jos

, , sitten

1. 1. Ratkaise yhtälö: .

ODZ: .

Harkitse yhtälön oikeaa puolta.

Otetaan käyttöön funktio. Kuvaaja on paraabeli, jonka kärkipiste on A(3 ; 2).

Funktion y(3) = 2 pienin arvo eli .

Harkitse yhtälön vasenta puolta.

Otetaan käyttöön funktio. Derivaatalla on helppo löytää maksimi funktiosta, joka on differentioituva x  (2 ; 4).

klo ,

X=3.

G` + -

2 3 4

g(3) = 2.

Meillä on .

Seurauksena sitten

Tehdään yhtälöjärjestelmä yllä olevien ehtojen perusteella:

Kun järjestelmän ensimmäinen yhtälö ratkaistaan, saadaan x = 3. Korvaamalla tämä arvo toiseen yhtälöön varmistamme, että x = 3 on järjestelmän ratkaisu.

Vastaus: x = 3.

1.3. Funktion monotonisuuden soveltaminen.

1.3.1. Ratkaise yhtälö:

Tietoja DZ:stä: , koska  .

Tiedetään, että kasvavien funktioiden summa on kasvava funktio.

Vasen puoli on kasvava toiminto. Oikea puoli on lineaarinen funktio (k=0). Graafinen tulkinta viittaa siihen, että juuri on ainutlaatuinen. Löydämme sen valinnalla, meillä on x = 1.

Todiste:

Oletetaan, että juuri x 1 on suurempi kuin 1

Koska x 1 > 1,

. Päättelemme, ettei ole yhtä suurempia juuria.

Samalla tavalla voidaan todistaa, että ei ole yhtä pienempiä juuria.

Joten x=1 on ainoa juuri.

Vastaus: x = 1.

1.3.2. Ratkaise yhtälö:

Tietoja DZ:stä: [ 0,5 ; + ), koska nuo. .

Muunnetaan yhtälö,

Vasen puoli on kasvava funktio (kasvavien funktioiden tulo), oikea puoli on lineaarinen funktio (k = 0). Geometrinen tulkinta osoittaa, että alkuperäisellä yhtälöllä on oltava yksi sovituksella löydettävissä oleva juuri, x = 7.

Tutkimus:

Voidaan todistaa, että muita juuria ei ole (katso esimerkki yllä).

Vastaus: x = 7.

2. Logaritmiset yhtälöt.

1. Vasemman ja oikean osan arviointimenetelmä.

2.1.1. Ratkaise yhtälö: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Arvioidaan yhtälön vasen puoli.

2x - x 2 + 15 \u003d - (x 2 - 2x - 15) \u003d - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) \u003d - (x - 1) 2 + 16  16.

Sitten loki 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Arvioidaan yhtälön oikea puoli.

x 2 - 2x + 5 \u003d (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 \u003d (x - 1) 2 + 4  4.

Alkuperäisellä yhtälöllä voi olla ratkaisu vain, jos molemmat puolet ovat yhtä suuret kuin neljä.

Keinot

Vastaus: x = 1.

Itsenäiseen työhön.

2.1.2. loki 4 (6x - x 2 + 7) \u003d x 2 - 6x + 11 Vastaus: x \u003d 3.

2.1.3. loki 5 (8x - x 2 + 9) \u003d x 2 - 8x + 18 Vastaus: x \u003d 6.

2.1.4. loki 4 (2x - x 2 + 3) \u003d x 2 - 2x + 2 Vastaus: x \u003d 1.

2.1.5. loki 2 (6x - x 2 - 5) \u003d x 2 - 6x + 11 Vastaus: x \u003d 3.

2.2. Käyttämällä funktion monotonisuutta, juurien valintaa.

2.2.1. Ratkaise yhtälö: log 2 (2x - x 2 + 15) = x 2 - 2x + 5.

Tehdään muutos 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Sitten x 2 - 2x + 5 \u003d 20 - t, sitten

log 2 t = 20 - t .

Funktio y = log 2 t kasvaa ja funktio y = 20 - t pienenee. Geometrinen tulkinta saa meidät ymmärtämään, että alkuperäisellä yhtälöllä on yksi juuri, jota ei ole vaikea löytää valitsemalla t = 16.

Ratkaisemalla yhtälön 2x - x 2 + 15 = 16, huomaamme, että x = 1.

Tarkistetaan varmistaaksesi, että valittu arvo on oikea.

Vastaus: x = 1.

2.3. Jotkut "mielenkiintoiset" logaritmiset yhtälöt.

2.3.1. Ratkaise yhtälö .

ODZ: (x - 15) cosx > 0.

Siirrytään yhtälöön

, , ,

Siirrytään vastaavaan yhtälöön

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0 tai cos 2 x = 1,

x = 15. cos x = 1 tai cos x = -1,

x=2  k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Tarkastetaan löydetyt arvot korvaamalla ne ODZ:hen.

1) jos x = 15, niin (15 - 15) cos 15 > 0,

0 > 0 on väärin.

x = 15 - ei ole yhtälön juuri.

2) jos x = 2  k, k Z, sitten (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, huomaa, että 15  5 . Meillä on

k > 2,5, k Z,

k = 3, 4, 5, … .

3) jos x =  + 2 l, l Z, sitten ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2  l< 15,

2 l< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Meillä on: l< 2,

l = 1, 0, -1, -2,….

Vastaus: x = 2  k (k = 3,4,5,6,…); x \u003d  +2 1 (1 \u003d 1,0, -1, - 2, ...).

3. Trigonometriset yhtälöt.

3.1. Menetelmä yhtälön vasemman ja oikean osan estimoimiseksi.

4.1.1. Ratkaise yhtälö cos3x cos2x = -1.

Ensimmäinen tapa..

0,5 (hinta x+ cos 5 x) = -1, cos x+ cos 5 x = -2.

Koska cos x - 1, cos 5 x - 1, päättelemme, että cos x+ cos 5 x> -2, siis

noudattaa yhtälöjärjestelmää

c os x = -1,

cos 5 x = - 1.

Yhtälön ratkaiseminen cos x= -1, saamme X=  + 2 k, missä k Z.

Nämä arvot X ovat myös yhtälön cos 5 ratkaisuja x= -1, koska

cos 5 x= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

Tällä tavalla, X=  + 2 k, missä k Z , ovat kaikki järjestelmän ratkaisut ja siten alkuperäinen yhtälö.

Vastaus: X=  (2k + 1), k Z.

Toinen tapa.

Voidaan osoittaa, että järjestelmien joukko seuraa alkuperäisestä yhtälöstä

cos 2 x = - 1,

cos 3 x = 1.

cos 2 x = 1,

cos 3 x = - 1.

Kun jokainen yhtälöjärjestelmä ratkaistaan, löydämme juurien liiton.

Vastaus: x = (2  - + 1), k Z.

Itsenäiseen työhön.

Ratkaise yhtälöt:

3.1.2. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Vastaus: ei ratkaisuja.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Vastaus: ei ratkaisuja.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Vastaus: x = 2 to, k Z.

3.1.5. sin x sin 3 x = -1. Vastaus: x = /2 +  to, k Z.

3.1.6. cos 8 x + synti 7 x = 1. Vastaus: x = m, m Z; x = /2 + 2  n, n Z.

1.1 Irrationaaliset yhtälöt

Irrationaalisia yhtälöitä kohdataan usein matematiikan pääsykokeissa, koska niiden avulla on helppo diagnosoida tieto sellaisista käsitteistä kuin vastaavat muunnokset, määritelmäalue ja muut. Irrationaalisten yhtälöiden ratkaisumenetelmät perustuvat pääsääntöisesti mahdollisuuteen korvata (joidenkin muunnosten avulla) irrationaalinen yhtälö rationaalisella yhtälöllä, joka on joko ekvivalentti alkuperäisen irrationaalisen yhtälön kanssa tai on sen seuraus. Useimmiten yhtälön molemmat puolet nostetaan samaan potenssiin. Ekvivalenssia ei rikota, kun molemmat osat nostetaan parittomaan potenssiin. Muussa tapauksessa on tarkistettava löydetyt ratkaisut tai arvioitava yhtälön molempien osien etumerkki. Mutta on muitakin temppuja, jotka voivat olla tehokkaampia irrationaalisten yhtälöiden ratkaisemisessa. Esimerkiksi trigonometrinen korvausmenetelmä.

Esimerkki 1: Ratkaise yhtälö

Siitä lähtien . Siksi voidaan laittaa . Yhtälö saa muodon

Laitetaan sitten mihin

.

.

Vastaus: .

Algebrallinen ratkaisu

Siitä lähtien . tarkoittaa, , joten voit laajentaa moduulia

.

Vastaus: .

Yhtälön ratkaiseminen algebrallisesti edellyttää hyvää identtisten muunnosten suorittamistaitoa ja vastaavien siirtymien asiantuntevaa käsittelyä. Mutta yleisesti ottaen molemmat lähestymistavat ovat samanarvoisia.

Esimerkki 2: Ratkaise yhtälö

.

Ratkaisu käyttäen trigonometristä substituutiota

Yhtälön toimialueen antaa epäyhtälö, joka vastaa ehtoa, niin . Siksi voimme laittaa . Yhtälö saa muodon

Siitä lähtien . Avataan sisäinen moduuli

Laitetaan , sitten

.

Ehto täyttyy kahdella arvolla ja .

.

.

Vastaus: .

Algebrallinen ratkaisu

.

Neliötetään ensimmäisen joukkojärjestelmän yhtälö, saamme

Anna sitten. Yhtälö kirjoitetaan uudelleen muotoon

Tarkistamalla saadaan selville, että se on juuri, ja jakamalla polynomin binomiolla saadaan yhtälön oikean puolen hajoaminen tekijöiksi

Siirrytään muuttujasta muuttujaan , saamme

.

kunto täyttää kaksi arvoa

.

Korvaamalla nämä arvot alkuperäiseen yhtälöön, saamme sen olevan juuri.

Ratkaisemalla alkuperäisen populaation toisen järjestelmän yhtälön samalla tavalla huomaamme, että se on myös juuri.

Vastaus: .

Jos edellisessä esimerkissä algebrallinen ratkaisu ja trigonometristä substituutiota käyttävä ratkaisu olivat ekvivalentteja, niin tässä tapauksessa korvausratkaisu on kannattavampi. Kun yhtälöä ratkaistaan ​​algebran avulla, on ratkaistava kahden yhtälön joukko, eli neliöitävä kahdesti. Tämän ei-ekvivalentin muunnoksen jälkeen saadaan kaksi neljännen asteen yhtälöä irrationaalisilla kertoimilla, joista korvaaminen auttaa pääsemään eroon. Toinen vaikeus on löydettyjen ratkaisujen tarkistaminen korvaamalla ne alkuperäiseen yhtälöön.

Esimerkki 3. Ratkaise yhtälö

.

Ratkaisu käyttäen trigonometristä substituutiota

Siitä lähtien . Huomaa, että tuntemattoman negatiivinen arvo ei voi olla ratkaisu ongelmaan. Todellakin, muunnamme alkuperäisen yhtälön muotoon

.

Hakasuluissa oleva tekijä yhtälön vasemmalla puolella on positiivinen, yhtälön oikea puoli on myös positiivinen, joten yhtälön vasemmalla puolella oleva kerroin ei voi olla negatiivinen. Siksi voit sitten laittaa Alkuperäinen yhtälö kirjoitetaan uudelleen muotoon

Siitä lähtien ja . Yhtälö saa muodon

Päästää . Siirrytään yhtälöstä ekvivalenttijärjestelmään

.

Numerot ja ovat toisen asteen yhtälön juuret

.

Algebrallinen ratkaisu Nelitetään yhtälön molemmat puolet

Esittelemme korvaavan , yhtälö kirjoitetaan muotoon

Toinen juuri on redundantti, joten harkitse yhtälöä

.

Siitä lähtien .

Tässä tapauksessa algebrallinen ratkaisu on teknisesti yksinkertaisempi, mutta on välttämätöntä tarkastella yllä olevaa ratkaisua käyttämällä trigonometristä substituutiota. Tämä johtuu ensinnäkin itse substituution epästandardista luonteesta, mikä tuhoaa stereotypian, jonka mukaan trigonometrisen substituution käyttö on mahdollista vain, kun . Osoittautuu, että jos trigonometrinen substituutio löytää myös sovelluksen. Toiseksi trigonometrisen yhtälön ratkaisemisessa on tiettyjä vaikeuksia , jota vähennetään ottamalla käyttöön muutos yhtälöjärjestelmään. Tietyssä mielessä tätä korvaamista voidaan pitää myös epästandardina, ja sen tunteminen antaa sinun rikastaa temppujen ja menetelmien arsenaalia trigonometristen yhtälöiden ratkaisemiseksi.

Esimerkki 4. Ratkaise yhtälö

.

Ratkaisu käyttäen trigonometristä substituutiota

Koska muuttuja voi saada minkä tahansa todellisen arvon, laitamme . Sitten

,

Koska .

Alkuperäinen yhtälö, ottaen huomioon suoritetut muunnokset, saa muodon

Koska , Jaamme yhtälön molemmat puolet , saamme

Päästää , sitten . Yhtälö saa muodon

.

Korvaus huomioon ottaen , saamme kahden yhtälön joukon

.

Ratkaistaan ​​jokainen joukko yhtälö erikseen.

.

Ei voi olla siniarvo, kuten mikään argumentin arvo.

.

Koska ja alkuperäisen yhtälön oikea puoli on positiivinen, niin . Mistä se seuraa .

Tällä yhtälöllä ei ole juuria, koska .

Alkuperäisellä yhtälöllä on siis yksi juuri

.

Algebrallinen ratkaisu

Tämä yhtälö voidaan helposti "muuttaa" kahdeksannen asteen rationaaliseksi yhtälöksi neliöimällä alkuperäisen yhtälön molemmat osat. Tuloksena olevan rationaalisen yhtälön juurien etsintä on vaikeaa, ja tehtävän suorittaminen vaatii suurta kekseliäisyyttä. Siksi on suositeltavaa tietää erilainen, vähemmän perinteinen ratkaisutapa. Esimerkiksi I. F. Sharyginin ehdottama korvaus.

Laitetaan , sitten

Muunnetaan yhtälön oikea puoli :

Ottaen huomioon muunnokset, yhtälö ottaa muodon

.

Esittelemme sitten korvaavan

.

Toinen juuri on siis tarpeeton ja .

Jos yhtälön ratkaisemisen ideaa ei tiedetä etukäteen , silloin on ongelmallista ratkaista tavanomaisella tavalla neliöimällä yhtälön molemmat osat, koska tuloksena on kahdeksannen asteen yhtälö, jonka juuria on erittäin vaikea löytää. Trigonometristä korvaamista käyttävä ratkaisu näyttää hankalalta. Yhtälön juuria voi olla vaikea löytää, jos et huomaa sen toistuvan. Tämän yhtälön ratkaisu tapahtuu algebran laitteistolla, joten voimme sanoa, että ehdotettu ratkaisu on yhdistetty. Siinä algebran ja trigonometrian tiedot toimivat yhdessä yhden tavoitteen saavuttamiseksi - ratkaisun saamiseksi. Tämän yhtälön ratkaisu edellyttää myös kahden tapauksen huolellista harkintaa. Korvausratkaisu on teknisesti yksinkertaisempi ja kauniimpi kuin trigonometrisen substituution käyttäminen. On toivottavaa, että opiskelija tuntee tämän korvausmenetelmän ja soveltaa sitä ongelmien ratkaisemiseen.

Korostamme, että trigonometrisen substituution käytön ongelmien ratkaisemisessa tulee olla tietoista ja perusteltua. Korvaamista on suositeltavaa käyttää tapauksissa, joissa ratkaisu muulla tavalla on vaikeampaa tai jopa mahdotonta. Annetaan vielä yksi esimerkki, joka, toisin kuin edellinen, on helpompi ja nopeampi ratkaista tavallisella tavalla.