Kun tarkastellaan värähtelyjen perusdifferentiaaliyhtälöitä, huomaamme, että kun kerromme ne arvolla – = k 2, ne sisältävät termejä, joista osalla on nopeuden neliön kerroin. Ja poikittaisvärähtelyt, muut - nopeuden neliö pituussuuntainen epäröintiä.
Pituusvärähtelyn ensimmäisten termien pitäisi kadota yhtälöistä, ja saamme ensimmäisen ryhmän:
Koska pinta p on valintamme mukaan aallon pinta, niin § 7:n yhtälöissä on säilytettävä yksi värähtely R ja rinnastaa värähtelyt /?! Ja R.2, esiintyy aallon tangentissa. Tämän seurauksena löydämme olettaen // =1:
Koska A = 0, yhtälöt (1) saavat muodon:
Kerrotaan ensimmäinen yhtälöstä (2) //i // 2:lla, erotetaan p:n suhteen ja kiinnitetään huomiota yhtälöön (4), saadaan:
Mitä yhtälöiden (2) mukaan B ei ole riippuvainen arvosta р x tai [–]. Siksi merkitys läpi &F funktion osittainen derivaatta F jollakin muuttujista ^, R. 2, saamme yhtälöstä (7):
Korvaamalla tähän lausekkeeseen suuret H 1H 2, löytyy s. 3, vertaamalla kertoimet eri tehoilla nollaan, löydämme seuraavat ehdot, jotka aallon F – i on täytettävä
Se tiedetään että tällaiset suhteet tapahtuvat vain pallo, pyöreä sylinteri ja taso.
Täältä meillä on, Mitä isotermiset aaltopinnat voivat levittää pitkittäisiä värähtelyjä.
Joten jos tärinäpinta tai alkuaalto ei kuulu isotermisten aaltojen pintoihin, niiden lähellä tapahtuu tärinää sekoitettu , mutta huomattavilta etäisyyksillä aalto lähestyy yhtä isotermistä aallosta ja ilmiössä havaitaan värähtelyjä pituussuuntainen. LOPETTAA!!!
Jää vielä integroida annetut differentiaaliyhtälöt pallolle, kanssa käyttämällä harmoniset toiminnot!!!
Teslan kokeet – harmonista oskillaattoria ei voida hyväksyä!!!
varten pallot jo käyttämissämme koordinaateissa meillä on:
Muut muunnokset ovat merkityksettömiä, eikä niitä anneta, koska ne johtavat alkuperäinen yhtälö , jolla ei ole fyysistä merkitystä solitonin kaltaisille aalloille.
Löydetyt johtopäätökset ovat yhtä lailla sovellettavissa valoilmiöihin homogeenisissa kappaleissa ja lisäksi Boussinesqin teoriassa esiintyvien approksimaatioiden rajoissa!?
Täältä:"tuskallinen hetki" tunnistettu.
N. Umovin matemaattinen kokoelma, osa 5, 1870.
Toinen "kauhea" epävarmuus
Samalla tavalla päätellen voitaisiin helposti saada samanlainen lauseke magneettiselle energialle ja siten virroille. Näemme sen, Vaikka vaadittaisiin yksinkertaisimpia kaavoja, energian lokalisoinnin ongelmaa ei silti voida ratkaista.
Ja meillä on sama asia energiavirran suhteen. Virran energian liikettä on mahdollista muuttaa mielivaltaisella tavalla lisäämällä Poynting-vektoriin toinen vektori (u, v, w), jonka tulee täyttää vain kokoonpuristumattomien nesteiden yhtälö.
Koska se on seurausta yleisistä yhtälöistä, se ei lisää niihin mitään.
Siksi energian lokalisointi on loogisesti hyödytöntä(ja joskus haitallista).
Mutta on näkökohta, jossa on tärkeää ottaa huomioon Poyntingin lause.
Pääasiallinen tosiasia, josta energian säilymisen laki juontaa juurensa, oli ja on edelleen kokeellisesti löydetty mahdottomuuden tosiasia ikiliikkuja , tosiasia - ajatuksistamme riippumaton, ja sen voidaan katsoa johtuvan energian osista, jotka eetterillä pitäisi olla aineellisten kappaleiden puuttuessa.
Energian säilymisen laki sen klassisessa muodossa W = Const, selittää tämän mahdottomuuden.
Poyntingin lause, jotka edellyttävät muuntumiskykyä äänenvoimakkuuden integraali(hieman mielivaltainen) sisään pinta, ilmaisee paljon vähemmän. Hän myöntää helposti ikuisen liikkeen luomisen, kykenemättä osoittamaan sen mahdottomuutta!
Itse asiassa, kunnes esittelemme hypoteesin viivästyneet potentiaalit, jatkuva energian vapautuminen äärettömyydestä tulevista lähentyvistä aalloista on yhtä todennäköistä kuin todellisuudessa havaittu energian menetys.
Jos moottori voisi ikuisesti ottaa pois vain eetterin energian aineellisten kappaleiden läsnäolosta riippumatta, se voisi olla olemassa ikiliikkuja . Siten tulee selväksi, että ennen kuin hyväksymme hidastettujen potentiaalien kaavan, meidän on todistettava, että kiihdytetty hiukkanen menettää energiaa ja sen seurauksena siihen kohdistuu reaktio, joka on verrannollinen sen kiihtyvyyden derivaatta.
Vaihda vain merkki c päästäkseen konvergoivan aallon hypoteesiin.
Sitten löydämme mikä merkki säteilyn vektori myös muuttuu, ja uusi hypoteesi johtaa esimerkiksi värähtelevän hiukkasen tapauksessa amplitudin asteittaiseen kasvuun ajan myötä ja yleensäkin – lisäämään järjestelmän energiaa?!
Luonnossa solitonit ovat:
– Nesteen pinnalla ensimmäisiä luonnosta löydettyjä solitoneita pidetään joskus tsunamiaaltoina
– erityyppiset vesivasarat
- äänirummut - "yliäänisen" voittaminen
– ionosonic ja magnetosonic solitonit plasmassa
– solitonit lyhyiden valopulssien muodossa laserin aktiivisessa väliaineessa
- oletettavasti esimerkki solitonista on jättiläinen kuusikulmio Saturnuksella
– hermoimpulsseja voidaan pitää solitonien muodossa.
Matemaattinen malli, Korteweg-de Vriesin yhtälö.
Yksi yksinkertaisimmista ja tunnetuimmista malleista, joka sallii solitonien olemassaolon ratkaisussa, on Korteweg-de Vriesin yhtälö:
u t + uu x + β u xxx = 0.
Yksi mahdollinen ratkaisu tähän yhtälöön on yksinäinen yksinäinen:
mutta myös täällä oskillaattori on harmoninen funktio missä r, s,α, U- Jotkut ovat pysyviä.Epävarmuuslauseet harmonisessa analyysissä
Harmoninen oskillaattori kvanttimekaniikassa – kuvataan yhtälöllä Schrödinger,
(217.5)Yhtälö (217.5) kutsutaan Schrödingerin yhtälöksi stationäärisille tiloille.
Kvanttioskillaattorin stationääritilat määräytyvät yhtälöllä Schrödinger ystävällinen
(222.2)
Missä E – oskillaattorin kokonaisenergia.
Differentiaaliyhtälöiden teoriassa on todistettu, että yhtälö (222.2) ratkaistu vain energian ominaisarvoille
(222.3)Kaava (222.3) osoittaa, että kvanttioskillaattorin energia kvantisoitu.
Energia on rajoitettu alhaalta eroamaan nollasta, kuten suorakaiteen kohdalla "kuopat"äärettömän korkeilla "seinillä" (katso § 220), vähimmäisenergia-arvo
E 0 = 1/2 ℏ w 0 . Minimienergian olemassaoloa kutsutaan nollapisteen energia– on tyypillistä kvanttijärjestelmille ja on suora seuraus epävarmuussuhteet.
SISÄÄN harmoninen analyysi Epävarmuusperiaate tarkoittaa, että funktion ja sen Fourier-kartan arvoja on mahdotonta saada tarkasti. ja siksi tee tarkka laskelma.
Eli mallinnus, generointi ja analogia luonnon prosessien ja muotojen samankaltaisuuden periaatteiden mukaisesti käyttäen harmoninen oskillaattori – ei mahdollista.
Eri tyypit matemaattinensolitonit tiedetään vielä vähän, eivätkä ne kaikki sovellu esineiden kuvaamiseen kolmiulotteinen tilaa, erityisesti siinä tapahtuvia prosesseja Luonto.
Esimerkiksi, tavalliset solitonit, jotka esiintyvät Korteweg–de Vries -yhtälössä, lokalisoidaan vain yhteen ulottuvuuteen, jos se "juosta" kolmiulotteisessa maailmassa, niin se näyttää siltä loputon litteä kalvo lentää eteenpäin, lievästi sanottuna, gobbledygook!!!
Luonnossa tällaisia äärettömiä kalvoja ei havaita, mikä tarkoittaa alkuperäinen yhtälö ei sovellu kolmiulotteisten kohteiden kuvaamiseen.
Tässä piilee harmonisten funktioiden käyttöönoton virhe – oskillaattorit, kytkennät sekavärähtelyjen tapauksessa.Yhdistetty samankaltaisuuden laki, , mutta se on toinen tarina, joka johtaa solitonin teoriasta järjestelmällinen epävarmuus, .
Hajautettujen parametrien järjestelmien vapaat värähtelyt
Äärettömän määrän vapausasteita omaavien järjestelmien vapaiden värähtelyjen prosessin pääpiirre ilmaistaan luonnollisten taajuuksien ja moodimuotojen määrän äärettömyydessä. Tämä liittyy myös matemaattisiin piirteisiin: tavallisten differentiaaliyhtälöiden sijaan, jotka kuvaavat äärellisen vapausasteen järjestelmien värähtelyjä, tässä on käsiteltävä osittaisdifferentiaaliyhtälöitä. Alkusiirrot ja -nopeudet määräävien alkuehtojen lisäksi on otettava huomioon myös järjestelmän kiinnittymistä kuvaavat reunaehdot.
6.1. Tankojen pituussuuntaiset värähtelyt
Analysoitaessa suoran tangon pitkittäisiä värähtelyjä (kuva 67, a) oletetaan, että poikkileikkaukset pysyvät tasaisina ja että tangon hiukkaset eivät suorita poikittaisia liikkeitä, vaan liikkuvat vain pituussuunnassa.
Antaa u - tangon nykyisen osan pituussuuntainen liike tärinän aikana; tämä liike riippuu osuuden sijainnista (koordinaatit x) ja ajasta t. On siis kahden muuttujan funktio; sen määritelmä edustaa päätehtävää. Äärettömän lähellä olevan leikkauksen siirtymä on yhtä suuri kuin , joten äärettömän pienen elementin absoluuttinen venymä on yhtä suuri (kuva 67, b), ja sen suhteellinen venymä on .
Vastaavasti pituussuuntainen voima leikkauksessa koordinaatin kanssa X voidaan kirjoittaa nimellä
,(173)
missä on tangon jäykkyys jännityksessä (puristus). Voima N on myös kahden argumentin - koordinaattien - funktio X ja aika t.
Tarkastellaan kahden äärettömän lähellä olevan osan välissä olevaa sauvaelementtiä (kuva 67, c). Elementin vasemmalle puolelle kohdistetaan voima N ja oikealle puolelle. Jos merkitsemme tangon materiaalin tiheyttä, niin kyseessä olevan alkuaineen massa on . Siksi liikeyhtälö projektiossa akselille X
,
Harkitsee(173)ja hyväksyy A= const, saamme
Fourier-menetelmää noudattaen etsimme erityistä ratkaisua differentiaaliyhtälöön (175) muodossa
,(177)
nuo. oletetaan, että liike u voidaan esittää kahden funktion tulona, joista toinen riippuu vain argumentista X, ja toinen vain argumentista t. Tällöin kahden muuttujan u (x, t) funktion määrittämisen sijaan on tarpeen määritellä kaksi funktiota X(x) ja T(t), joista kumpikin riippuu vain yhdestä muuttujasta.
Korvaamalla (177) arvolla (174), saamme
jossa alkuluvut osoittavat differentioinnin toiminnan suhteessa x, ja pisteillä t. Kirjoitetaan tämä yhtälö uudelleen näin:
Tässä vasen puoli riippuu vain x:stä ja oikea puoli vain t:stä. Jotta tämä tasa-arvo pätee identtisesti (mikä tahansa x ja t) on välttämätöntä, että jokainen sen osa on yhtä suuri kuin vakio, jota merkitsemme:
; .(178)
Tämä johtaa kahteen yhtälöön:
;
.(179)
Ensimmäisellä yhtälöllä on ratkaisu:
,(180)
osoittaa värähtelyä, ja (180):sta on selvää, että tuntemattomalla suurella on vapaan värähtelyn taajuuden merkitys.
Toisella yhtälöstä (179) on ratkaisu:
,(181)
värähtelyjen muodon määrittäminen.
Taajuusyhtälö, joka määrittää arvon, kootaan käyttämällä reunaehtoja. Tämä yhtälö on aina transsendenttinen ja sillä on ääretön määrä juuria. Siten luonnollisten taajuuksien määrä on ääretön ja jokainen taajuusarvo vastaa omaa riippuvuudellaan (180) määriteltyä funktiota T n (t) ja riippuvuuden (181) määräämää omaa funktiotaan Xn (x). Ratkaisu (177) on vain osittainen eikä anna täydellistä kuvausta liikkeestä. Täydellinen ratkaisu saadaan asettamalla kaikki osaratkaisut päällekkäin:
.
Funktioita X n (x) kutsutaan omia toimintoja ongelmia ja kuvaavat omia värähtelymuotojaan. Ne eivät ole riippuvaisia alkuehdoista ja täyttävät ortogonaalisuusehdon, joka A = const on muotoa
, Jos.
Tarkastellaan joitain vaihtoehtoja reunaehtoille.
Tangon kiinteä pää(Kuva 68, a). Loppuosassa siirtymän u on oltava nolla; tästä seuraa, että tässä osiossa
X=0(182)
Tangon vapaa pää(Kuva 68, b). Päätyosassa pituussuuntainen voima
(183)
on oltava yhtä suuri kuin nolla, mikä on mahdollista, jos loppuosassa X"=0.
Kimmoisa tangon pää(Kuva 68, c).
Liikkuessaan u päätytangon, tapahtuu elastinen tukireaktio 
, jossa C o on tuen jäykkyys. Kun otetaan huomioon (183) pituussuuntaiselle voimalle, saadaan rajaehto
jos tuki sijaitsee tangon vasemmassa päässä (kuva 68, c), ja
jos tuki sijaitsee tangon oikeassa päässä (kuva 68, d).
Tiivistetty massa tangon päässä.
Massan kehittämä inertiavoima:
.
Koska ensimmäisen yhtälön (179) mukaan hitausvoima voidaan kirjoittaa muotoon . Saamme rajaehdon
,
jos massa on vasemmassa päässä (kuva 68, d), ja
, (184)
jos massa on kytketty oikeaan päähän (kuva 68, e).
Määritetään uloketangon luonnolliset taajuudet (kuva 68,a").
Mukaan (182) ja (183), rajaehdot
X = 0 at x = 0;
X"=0 at x= .
Korvaamalla nämä ehdot yksitellen ratkaisuksi (181), saadaan
Ehto C0 johtaa taajuusyhtälöön:
Tämän yhtälön juuret
(n=1,2,…)
määrittää luonnolliset taajuudet:
(n=1,2,…).(185)
Ensimmäinen (pienin) taajuus kohdassa n = 1:
.
Toinen taajuus (n = 2):
Määritetään sauvan ominaistaajuudet, jonka päässä on massa (kuva 68, f).
(182) ja (184) mukaan meillä on
X = 0 kohdassa x = 0;
kohdassa x= .
Korvaamalla nämä ehdot liuokseen (181), saadaan:
D = 0; 
.
Näin ollen taajuusyhtälöllä, kun (176) otetaan huomioon, on muoto
.
Tässä oikea puoli edustaa tangon massan suhdetta päätykuorman massaan.
Tuloksena olevan transsendentaalisen yhtälön ratkaisemiseksi on tarpeen käyttää jotakin likimääräistä menetelmää.
At ja tärkeimmän alimman juuren arvot ovat 0,32 ja 0,65.
Pienellä suhteella kuormalla on ratkaiseva vaikutus ja likimääräinen ratkaisu antaa hyviä tuloksia
.
Vaihtelevan poikkileikkauksen omaaville tangoille, ts. Аconstille (173) ja (174) liikeyhtälö saadaan muodossa
.
Tätä differentiaaliyhtälöä ei voida ratkaista suljetussa muodossa. Siksi tällaisissa tapauksissa on tarpeen turvautua likimääräisiin menetelmiin luonnollisten taajuuksien määrittämiseksi.
6.2. Akseleiden vääntövärähtelyt
Jatkuvasti jakautuneen massan omaavien akselien vääntövärähtelyt (Kuva 69, a) kuvataan yhtälöillä, jotka rakenteeltaan ovat täysin yhtenevät yllä olevien tankojen pitkittäisvärähtelyjen yhtälöiden kanssa.
Vääntömomentti M abskissa-osassa X liittyy kiertokulmaan differentiaaliriippuvuudella, joka on samanlainen kuin (173):
Missä Jp-poikkileikkauksen napahitausmomentti.
Etäisyydessä sijaitsevassa osassa dx, vääntömomentti on yhtä suuri kuin (kuva 69, b):
Ilmaisee (missä on akselin materiaalin tiheys) akselin massan hitausmomentin intensiteettiä suhteessa sen akseliin (eli hitausmomenttia pituusyksikköä kohti), akselin perusosan liikeyhtälön voidaan kirjoittaa seuraavasti:
,
tai vastaava (174):
.
Korvataan lauseke (186) tässä sanalla Jp=const saamme samalla tavalla kuin (175):
, (187)
Yhtälön (187) yleisellä ratkaisulla, kuten yhtälöllä (175), on muoto
,
(188)
Luonnolliset taajuudet ja ominaisfunktiot määräytyvät erityisten reunaehtojen mukaan.
Pääasiallisissa päiden kiinnitystapauksissa, samoin kuin pitkittäisvärähtelyn tapauksessa, saadaan
a) kiinteä pää (=0): X=0;
b) vapaa pää (M = 0): X" = 0;
V) kimmoisa vasen pää: CoХ=GJpX "(yhteisjäykkyyskerroin);
G) kimmoisa oikea pää: -CoX=GJpX ";
e) levy vasemmassa päässä: 
(Jo on kiekon hitausmomentti suhteessa sauvan akseliin);
e) levy oikeassa päässä: 
.
Jos akseli on kiinteä vasemmassa päässä (x=0) ja oikea pää (x=) on vapaa, niin X=0 kohdassa x=0 ja X"=0 kohdassa x=; ominaistaajuudet määritetään samalla tavalla kuin ( 185):
(n = 1,2,…).
Jos vasen pää on kiinteä ja oikeassa päässä on levy, saamme transsendenttisen yhtälön:
.
Jos akselin molemmat päät ovat kiinteät, niin rajaehdot ovat X=0, kun x=0 ja x=. Tässä tapauksessa (188):sta saadaan
nuo.
(n=1,2,…),
täältä löydämme luonnolliset taajuudet:
Jos akselin vasen pää on vapaa ja oikeassa päässä on kiekko, niin X"=0 x=0;Jo X=GJpX "x=.
Käyttämällä (188) löydämme
C=0; 
,
tai transsendenttinen taajuusyhtälö:
.
6.3. Palkkien taivutusvärähtelyt
6.3.1 Perusyhtälö
Materiaalien lujuuden kurssista tunnetaan taivutuspalkkien differentiaaliset riippuvuudet:
missä EJ on taivutusjäykkyys; y=y (x, t) - taipuma; M=M(x, t) - taivutusmomentti; q on jakautuneen kuorman intensiteetti.
Yhdistämällä (189) ja (190) saadaan
.(191)
Vapaan värähtelyn ongelmassa elastisen rungon kuormitus on jakautuneet inertiavoimat:
missä m on säteen massan intensiteetti (massa pituusyksikköä kohti), ja yhtälö (191) saa muodon
.
Vakiopoikkileikkauksen erikoistapauksessa, kun EJ = const, m = const, meillä on:
.(192)
Yhtälön (192) ratkaisemiseksi oletetaan, kuten edellä,
y= X ( x)× T ( t ).(193)
Korvaamalla (193) arvolla (192) saamme yhtälön:
.
Jotta tämä yhtäläisyys toteutuisi identtisesti, on välttämätöntä, että tasa-arvon jokainen osa on vakio. Merkitsemällä tätä vakiota saamme kaksi yhtälöä:
.(195)
Ensimmäinen yhtälö osoittaa, että liike on värähtelevää taajuudella.
Toinen yhtälö määrittää värähtelyjen muodon. Yhtälön (195) ratkaisu sisältää neljä vakiota ja sillä on muoto
On kätevää käyttää A. N. Krylovin ehdottaman yleisen ratkaisun kirjoittamisvaihtoehtoa:
(198)
edustavat A. N. Krylovin tehtäviä.
Kiinnitetään huomiota siihen, että S=1, T=U=V=0 kohdassa x=0. Toiminnot S,T,U,V on kytketty toisiinsa seuraavasti:
Siksi johdannaislausekkeet (197) kirjoitetaan muodossa
(200)
Tarkasteltavan luokan tehtävissä luonnollisten taajuuksien määrä on äärettömän suuri; jokaisella niistä on oma aikafunktio T n ja oma perusfunktionsa X n . Yleinen ratkaisu saadaan asettamalla osaratkaisuja muotoon (193)
.(201)
Luonnollisten taajuuksien ja kaavojen määrittämiseksi on otettava huomioon reunaehdot.
6.3.2. Rajaolosuhteet
Palkin jokaiselle päädylle voit määrittää kaksi reunaehtoa .
Tangon vapaa pää(Kuva 70, a). Poikittaisvoima Q=EJX""T ja taivutusmomentti M=EJX""T ovat nolla. Siksi rajaehdot ovat muotoa
X"" = 0; X"""=0 .(202)
Saranoitu tuettu tangon pää(Kuva 70, b). Taipuma y=XT ja taivutusmomentti M=EJX""T ovat nolla. Siksi rajaehdot ovat:
X = 0; X""=0 .(203)
Puristettu pää(Kuva 70, c). Taipuma y=XT ja kiertokulma ovat nolla. Rajaehdot:
X = 0; X"=0. (204)
Tangon päässä on pistemassa(Kuvio 70, d). Hänen inertiavoimansa 
voidaan kirjoittaa yhtälöllä (194) seuraavasti: ; sen on oltava yhtä suuri kuin leikkausvoimaQ=EJX"""T, joten rajaehdot ovat muotoa
; X""=0 .(205)
Ensimmäisessä tilanteessa plusmerkki otetaan, kun pistekuorma on kytketty tangon vasempaan päähän, ja miinusmerkki, kun se on kytketty tangon oikeaan päähän. Toinen ehto johtuu taivutusmomentin puuttumisesta.
Elastisesti tuettu tangon pää(Kuvio 70, d). Tässä taivutusmomentti on nolla ja poikittaisvoima Q=EJX"""T on yhtä suuri kuin tukireaktio 
(C o - tuen jäykkyyskerroin).
Rajaehdot:
X""=0; (206)
(miinusmerkki otetaan, kun elastinen tuki on vasemmalla ja plusmerkki, kun se on oikealla).
6.3.3. Taajuusyhtälö ja ominaismuodot
Laajennettu rajaehtojen tallennus johtaa homogeenisiin yhtälöihin suhteessa vakioihin C 1, C 2, C 3, C 4.
Jotta nämä vakiot eivät olisi nollia, järjestelmän kertoimista koostuvan determinantin on oltava nolla; tämä johtaa taajuusyhtälöön. Näiden operaatioiden aikana C 1, C 2, C 3, C 4 väliset suhteet selkiytyvät, ts. luonnolliset värähtelytavat määritetään (vakiokertoimeen asti).
Jäljitetään taajuusyhtälöiden koostumus esimerkkien avulla.
Saranapäisellä palkilla (203) on seuraavat reunaehdot: X=0; X""=0 x = 0 ja x = . Käyttämällä (197)-(200) saadaan kahdesta ensimmäisestä ehdosta: C 1 =C 3 =0. Kaksi jäljellä olevaa ehtoa voidaan kirjoittaa muodossa
Jotta C 2 ja C 4 eivät olisi nolla, determinantin on oltava nolla:
.
Siten taajuusyhtälöllä on muoto
.
Korvaamalla lausekkeet T ja U saadaan
Koska , lopullinen taajuusyhtälö kirjoitetaan seuraavasti:
. (207)
Tämän yhtälön juuret ovat:
,(n = 1,2,3,...).
Kun (196) otetaan huomioon, saadaan
.(208)
Siirrytään omien muotojemme määrittelemiseen. Yllä kirjoitetuista homogeenisista yhtälöistä seuraa seuraava suhde vakioiden C 2 ja C 4 välillä:
.
Näin ollen (197) saa muodon
(207) mukaan meillä on
,(209)
missä on uusi vakio, jonka arvo pysyy epävarmana, kunnes alkuehdot otetaan huomioon.
6.3.4. Liikkeen määritys alkuolosuhteiden perusteella
Jos alkuhäiriön jälkeinen liike on määritettävä, on tarpeen ilmoittaa sekä alkusiirtymät että alkunopeudet säteen kaikille pisteille:
(210)
ja käytä ominaismuotojen ortogonaalisuuden ominaisuutta:
.
Kirjoitamme yleisratkaisun (201) seuraavasti:
.(211)
Nopeus on annettu
.(212)
Korvaamalla tunnetuiksi oletetut alkusiirtymät ja -nopeudet yhtälöiden (211) ja (212) oikealle puolelle ja vasemmalle puolelle, saadaan
.
Kerromme nämä lausekkeet ja integroimme koko pituudelta
(213)
Oikean puolen äärettömät summat ovat kadonneet ortogonaalisuusominaisuuden vuoksi. Kohdasta (213) seuraa vakioiden ja kaavoja
(214)
Nyt nämä tulokset on korvattava liuoksella (211).
Korostetaan vielä kerran, että ominaismuotojen asteikon valinnalla ei ole merkitystä. Jos esimerkiksi ominaismuodon (209) lausekkeessa otamme sen sijaan arvon, joka on kertaa suurempi, niin (214) antaa kertaa pienempiä tuloksia; liuokseen (211) vaihtamisen jälkeen nämä erot kompensoivat toisiaan. Siitä huolimatta he käyttävät usein normalisoituja ominaisfunktioita ja valitsevat niiden mittakaavan siten, että lausekkeiden (214) nimittäjät ovat yhtä suuria kuin yksi, mikä yksinkertaistaa lausekkeita ja .
6.3.5. Vakiopitkittäisvoiman vaikutus
Tarkastellaan tilannetta, jossa värähtelevään säteeseen kohdistuu pituussuuntainen voima N, jonka suuruus ei muutu värähtelyprosessin aikana. Tässä tapauksessa staattinen taivutusyhtälö tulee monimutkaisemmaksi ja saa muodon (edellyttäen, että puristusvoimaa pidetään positiivisena)
.
Jos oletetaan ja otetaan huomioon jäykkyysvakio, saadaan vapaiden värähtelyjen yhtälö
.(215)
Hyväksymme edelleen tietyn ratkaisun muodossa.
Sitten yhtälö (215) jakautuu kahdeksi yhtälöksi:
Ensimmäinen yhtälö ilmaisee ratkaisun värähtelevän luonteen, toinen määrittää värähtelyjen muodon ja antaa myös mahdollisuuden löytää taajuudet. Kirjoitetaan se uudelleen näin:
(216)
Missä K määritetään kaavalla (196) ja
Yhtälön (216) ratkaisulla on muoto
Tarkastellaan tilannetta, jossa tangon molemmissa päissä on saranoidut tuet. Olosuhteet vasemmassa päässä 
anna. Täyttämällä samat ehdot oikeassa päässä, saamme
Nollaamalla määrien kertoimista koostuva determinantti ja päädymme yhtälöön
Tämän taajuusyhtälön juuret ovat:
Siksi luonnollinen taajuus määritetään yhtälöstä
.
Tästä, ottaen huomioon (217), löydämme
.(219)
Kun venytetään, taajuus kasvaa, puristettaessa se laskee. Kun puristusvoima N lähestyy kriittistä arvoa, juurella on taipumus nolla.
6.3.6. Ketjuvoimien vaikutus
Aikaisemmin pitkittäisvoimaa pidettiin annettuna ja riippumattomana järjestelmän siirtymistä. Joissakin käytännön ongelmissa poikittaisvärähtelyprosessiin liittyvä pituussuuntainen voima syntyy palkin taipumisesta ja sillä on tukireaktio. Harkitse esimerkiksi palkkia kahdella saranoidulla ja kiinteällä tuella. Kun se taipuu, tapahtuu tukien vaakasuuntaisia reaktioita, jotka saavat palkin venymään; vastaavaa vaakasuuntaista voimaa kutsutaan yleensä ketjun voima. Jos palkki värähtelee poikittain, ketjuvoima muuttuu ajan myötä.
Jos hetkellä t säteen taipumat määräytyvät funktiolla, niin akselin venymä voidaan löytää kaavalla
.
Löydämme vastaavan ketjuvoiman Hooken lain avulla
.
Korvataan tämä tulos (215) pitkittäisvoiman N sijaan (ottaen huomioon etumerkin)
.(220)
Tuloksena epälineaarinen integrodifferentiaali yhtälöä yksinkertaistetaan käyttämällä substituutiota
,(221)
missä on dimensioton ajan funktio, jonka maksimiarvo voidaan asettaa yhtä suureksi kuin mikä tahansa luku, esimerkiksi yksikkö; värähtelyjen amplitudi.
Korvaamalla (221) arvolla (220) saadaan tavallinen differentiaaliyhtälö
,(222)
joiden kertoimilla on seuraavat arvot:
;.
Differentiaaliyhtälö (222) on epälineaarinen, joten vapaiden värähtelyjen taajuus riippuu niiden amplitudista.
Tarkka ratkaisu poikittaisvärähtelytaajuudelle on muotoa
missä on poikittaisvärähtelyjen taajuus laskettuna ottamatta huomioon ketjuvoimia; korjauskerroin, joka riippuu värähtelyamplitudin suhteesta poikkileikkauksen pyörimissäteeseen; arvo on annettu viitekirjallisuudessa.
Kun poikkileikkauksen amplitudi ja pyörityssäde ovat oikeassa suhteessa, taajuuden korjauksesta tulee merkittävä. Jos esimerkiksi pyöreän tangon värähtelyn amplitudi on yhtä suuri kuin sen halkaisija, niin , ja taajuus on lähes kaksi kertaa suurempi kuin tukien vapaan siirtymän tapauksessa.
Tapaus vastaa hitaussäteen nolla-arvoa, kun palkin taivutusjäykkyys on häviävän pieni - merkkijono. Samalla kaava antaa epävarmuutta. Paljastaen tämän epävarmuuden saamme kaavan merkkijonon värähtelytaajuudelle
.
Tämä kaava pätee tapaukseen, jossa jännitys on nolla tasapainoasennossa. Usein merkkijonojen värähtelyjen ongelma asetetaan muiden oletusten perusteella: siirtymien uskotaan olevan pieniä ja vetovoima on annettu ja pysyy muuttumattomana värähtelyprosessin aikana.
Tässä tapauksessa taajuuden kaavalla on muoto
missä N on vakio vetovoima.
6.4 Viskoosin kitkan vaikutus
Aikaisemmin oletettiin, että tankojen materiaali oli täysin elastista eikä siinä ollut kitkaa. Tarkastellaan sisäisen kitkan vaikutusta olettaen, että se on viskoosi; niin jännityksen ja muodonmuutoksen välistä suhdetta kuvataan suhteilla
;
.(223)
Anna sauvan, jolla on hajautetut parametrit, suorittaa vapaita pitkittäisiä värähtelyjä. Tässä tapauksessa pituussuuntainen voima kirjoitetaan muotoon
Tankoelementin liikeyhtälöstä saatiin relaatio (174).
Korvaamalla (224) tähän päästään päädifferentiaaliyhtälöön
,(225)
joka eroaa arvosta (175) toisella termillä, joka ilmaisee viskoosien kitkavoimien vaikutuksen.
Fourier-menetelmää noudattaen etsimme ratkaisua yhtälölle (225) muodossa
,(226)
jossa funktio on vain koordinaatit x ja funktio on vain aika t.
Tällöin jokaisen sarjan jäsenen on täytettävä tehtävän reunaehdot, ja myös koko summan on täytettävä alkuehdot. Korvataan (226) arvolla (225) ja vaaditaan, että yhtäläisyys täyttyy mille tahansa luvulle r, saamme
,(227)
jossa alkuluvut osoittavat differentiaatiota koordinaatin suhteen x, ja pisteet ovat differentiaatio suhteessa aikaan t.
Jakamalla (227) tuotteella 
, tulemme tasa-arvoon
,(228)
vasen puoli, joka voi riippua vain koordinaatista x, ja oikea - vain ajasta t. Jotta yhtälö (228) täyttyisi identtisesti, on välttämätöntä, että molemmat osat ovat yhtä suuret kuin sama vakio, jota merkitsemme .
Tästä seuraa yhtälöt
(229)
.(230)
Yhtälö (229) ei riipu viskositeettikertoimesta K ja erityisesti pysyy samana täydellisen elastisen järjestelmän tapauksessa, kun . Siksi luvut ovat täysin samat kuin aiemmin löydetty; kuitenkin, kuten alla esitetään, arvo antaa vain likimääräisen arvon ominaistaajuudesta. Huomaa, että ominaismuodot ovat täysin riippumattomia tangon viskoosisista ominaisuuksista, ts. vapaiden vaimennettujen värähtelyjen muodot osuvat yhteen vapaiden vaimentamattomien värähtelyjen muotojen kanssa.
Siirrytään nyt yhtälöön (230), joka kuvaa vaimennettujen värähtelyjen prosessia; sen ratkaisulla on muoto
.(233)
Lauseke (232) määrittää vaimenemisnopeuden ja (233) määrittää värähtelytaajuuden.
Siten täydellinen ratkaisu ongelmayhtälöön
.(234)
Jatkuva ja löytyy aina annettujen alkuehtojen perusteella. Määritetään tangon kaikkien osien alkusiirtymät ja alkunopeudet seuraavasti:
;
,(235)
missä ja ovat tunnettuja toimintoja.
Sitten , mukaan (211) ja (212), meillä on
kerrotaan näiden yhtälöiden molemmat puolet ja integroidaan tangon koko pituudelta, saadaan
(236)
Ominaismuotojen ortogonaalisuuden ehdon mukaan kaikki muut näiden yhtälöiden oikealle puolelle sisältyvät termit muuttuvat nolliksi. Nyt yhtälöistä (236) se on helppo löytää mille tahansa luvulle r.
Ottaen huomioon (232) ja (234), huomaamme, että mitä suurempi värähtelymoodin numero on, sitä nopeampi sen vaimennus. Lisäksi (234):n sisältämät termit kuvaavat vaimennettuja värähtelyjä, jos reaaliluku on olemassa. Kohdasta (233) on selvää, että tämä tapahtuu vain muutamille r:n alkuarvoille niin kauan kuin epäyhtälö täyttyy
Riittävän suurille arvoille r epätasa-arvoa (237) rikotaan ja määrästä tulee kuvitteellinen. Tässä tapauksessa yleisen ratkaisun (234) vastaavat termit eivät enää kuvaa vaimennettuja värähtelyjä, vaan edustavat jaksoittaista vaimennettua liikettä. Toisin sanoen värähtelyt sanan tavallisessa merkityksessä ilmaistaan vain tietyllä äärellisellä osalla summaa (234).
Kaikki nämä laadulliset päätelmät eivät koske vain pitkittäisvärähtelyä vaan myös vääntö- ja taivutusvärähtelyjä.
6.5. Muuttuvan poikkileikkauksen tankojen tärinä
Tapauksissa, joissa tangon jakautunut massa ja poikkileikkaus vaihtelevat sen pituudella, pitkittäisvärähtelyyhtälön (175) sijasta tulee edetä yhtälöstä
.(238)
Vääntövärähtelyyhtälö (187) on korvattava yhtälöllä
,(239)
ja poikittaisvärähtelyjen yhtälö (192) on yhtälö
.(240)
Yhtälöt (238)-(240) samankaltaisten substituutioiden avulla ;; voidaan pelkistää funktion tavallisiksi differentiaaliyhtälöiksi
MEKANIIKKA
UDC 531.01/534.112
TAVOPAKKUN PITKITTÄINÄINEN TÄRINÄYS
OLEN. Pavlov, A.N. Temnov
MSTU im. N.E. Bauman, Moskova, Venäjän federaatio sähköposti: [sähköposti suojattu]; [sähköposti suojattu]
Neste-ajoainerakettien dynamiikassa tärkeä rooli on raketin liikkeen vakauden ongelmalla, kun esiintyy pitkittäisiä elastisia värähtelyjä. Tällaisten värähtelyjen ilmaantuminen voi johtaa itsevärähtelyjen muodostumiseen, mikä, jos raketti on epävakaa pituussuunnassa, voi johtaa sen nopeaan tuhoutumiseen. Pakettiraketin pitkittäisvärähtelyjen ongelma on muotoiltu, laskentamallina käytetään tankopakettia. On hyväksyttyä, että rakettisäiliöissä oleva neste on ”jäätynyt”, ts. nesteen omia liikkeitä ei oteta huomioon. Kokonaisenergiatasapainon laki tarkasteltavalle ongelmalle muotoillaan ja sen operaattoriformulaatio annetaan. Esitetään numeerinen esimerkki, jolle määritetään taajuudet ja konstruoidaan ja analysoidaan luonnollisten värähtelyjen muotoja.
Avainsanat: pitkittäisvärähtelyt, värähtelyjen taajuus ja muoto, sauvapaketti, kokonaisenergiatasapainolaki, itseliitosoperaattori, värähtelyspektri, POGO.
TAUVOJÄRJESTELMÄ PITKITÄÄRINNÄT A.M. Pavlov, AL. Temnov
Bauman Moskovan valtion teknillinen yliopisto, Moskova, Venäjän federaatio sähköposti: [sähköposti suojattu]; [sähköposti suojattu]
Nestemäisten polttoainerakettien dynamiikkaa koskevissa kysymyksissä tämän raketin liikestabiilisuuden ongelmalla on tärkeä rooli pitkittäisten elastisten värähtelyjen ilmaantuessa. Tällaisten värähtelyjen esiintyminen voi aiheuttaa itsevärähtelyjä, jotka voivat aiheuttaa raketin nopean tuhoutumisen, jos raketti on epävakaa pituussuunnassa. Pakettikaavioon perustuva ongelma nestemäisen polttoaineen raketin pitkittäisvärähtelyistä on muotoiltu käyttämällä laskennallisena mallina pakkaustankoja. Oletetaan, että rakettisäiliöissä oleva neste on "jäätynyt", ts. nesteen oikeat liikkeet eivät sisälly. Tätä ongelmaa varten on muotoiltu energiansäästöperiaate ja annettu sen operaattorivaiheistus. On numeerinen esimerkki, jolle on määritetty taajuudet, rakennettu ja analysoitu Eigen-värähtelyn muotoja.
Avainsanat: pitkittäisvärähtelyt, ominaismoodit ja -taajuudet, sauvamalli, energiansäästöperiaate, itseadjoint-operaattori, värähtelyspektri, POGO.
Johdanto. Tällä hetkellä Venäjällä ja ulkomailla käytetään usein kantoraketteja, joilla on pakettiasetelma identtiset sivulohkot jaettuna tasaisesti keskuslohkon ympärille hyötykuorman laukaisemiseksi vaaditulle kiertoradalle.
Pakkausrakenteiden värähtelytutkimukset kohtaavat tiettyjä sivu- ja keskilohkojen dynaamiseen vaikutukseen liittyviä vaikeuksia. Kantoraketin asettelun symmetrian tapauksessa pakettisuunnittelun lohkojen monimutkainen, avaruudellinen vuorovaikutus voidaan jakaa äärelliseen määrään erityyppisiä värähtelyjä, joista yksi on keski- ja sivulohkojen pituussuuntaiset värähtelyt. Työssä käsitellään yksityiskohtaisesti matemaattista mallia tällaisen rakenteen pitkittäisvärähtelyistä ohutseinämäisten tankojen paketin muodossa. Riisi. 1. Kaavio keskus- Tässä artikkelissa esitellään teoreettinen sauva ja laskennalliset tulokset pituussuuntaisen
tankopaketin tärinää täydentäen A.A.:n suorittamaa tutkimusta. Sääli.
Ongelman muotoilu. Tarkastellaan muita pituussuuntaisia värähtelyjä sauvapaketissa, joka koostuu l0-pituisesta keskitangosta ja N samanpituisesta sivutangosta j = l, (l0 > lj), j = 1, 2,..., N, kiinnitettynä pisteessä A (xA = l) (kuva 1) keskijousielementeillä, joiden jäykkyys on k.
Otetaan käyttöön kiinteä viitekehys OX ja oletetaan, että sauvojen jäykkyys EFj (x), jakautunut massa mj (x) ja häiriö q (x,t) ovat koordinaatin x rajattuja funktioita:
0 0 < mj < mj (x) < Mj; (1) 0 Olkoon pitkittäisvärähtelyjen aikana poikkeamia Uj (x, t) sauvojen osissa, joiden koordinaatti on x ja jotka määritetään yhtälöillä mj (x) ^ - ¿(eFj (x) ^ = qj (x,t), j = 0,1, 2,..., N, (2) reunaehdot normaalivoimien puuttumiselle sauvojen päistä 3 =0, x = 0, ^ = 1, 2, 0, x = 0, x = 10; tangoissa esiintyvien normaalivoimien yhtäläiset olosuhteet, EF-3 = F x = l jousielementtien elastiset voimat FпPJ = к (ш (ха) - у (¡,)); (4) EUodX (xa - 0) - EFodX (xa + 0) = , x = xa; ehto siirtymien yhtäläisyydestä keskitangon pisteessä xa Shch (ha-o) = Shch (xa+o) ja alkuehdot Shch y (x, 0) - Shch (x); ,_ u(x, 0) = u(x), jossa u(x, 0) = "d^1(x, 0). Kokonaisenergiatasapainon laki. Kerrotaan yhtälö (2) u(x,ξ), integroidaan kunkin sauvan pituudella ja lasketaan yhteen tulokset käyttämällä reunaehtoja (3) ja sovitusehtoa (4). Tuloksena saamme (( 1 ^ [ (diL 2 TZ (x) "BT" (x+ dt | 2 ^ J 3 w V dt N x „h 2 .. N „i. 1 ^ Г „„ , f dп3\ , 1 ^ Гj 1 N /* i dpl 2 1 N fl j EF3 dx +2^Уо И (x - -)(ei - Uj)2 dx = / ^ (x, £) ne y (x, £) (x, (6) jossa 8 (x - ¡y) on Diracin deltafunktio. Yhtälössä (6) ensimmäinen termi kiharoissa suluissa edustaa järjestelmän kineettistä energiaa T (¿), toinen on sauvojen muodonmuutoksen aiheuttama potentiaalienergia Pr (£) ja kolmas on potentiaalienergia. Pk (£) jousielementeistä, jotka kimmoisten muodonmuutosten tangot voidaan kirjoittaa muotoon Pk (*) = 2 £ / Cy (¡y) 8 (x - ¡1) E^ (¡y) (ddit (¡1)) 2 (x, Cy = Eu. Yhtälö (6) osoittaa, että kokonaisenergian muutos tarkasteltavana olevan mekaanisen järjestelmän aikayksikköä kohti on yhtä suuri kuin teho ulkoinen vaikutus. Jos ulkoista häiriötä q (x,t) ei ole, saadaan kokonaisenergian säilymislaki: T (t) + Pr (t) + Pk (t) = T (0) + Pr (0) + Pk (0). Kuvaus. Energiatasapainolaki osoittaa, että millä tahansa hetkellä t funktioita Uj (x, t) voidaan pitää Hilbert-avaruuden L2j(; m3 (x)) elementteinä, jotka määritellään pituudella ¡i skalaaritulolla. (us,Vk)j = J mj (x) usVkdx 0 ja vastaava normi. Esitetään Hilbert-avaruus H, joka on yhtä suuri kuin ortogonaalinen summa L2j, H = L20 Ф L21 Ф... Ф L2N, vektorifunktio U = (uo, Ui,..., uN)т ja operaattori A, joka toimii tila H suhteen mukaan AU = diag (A00U0, A11U1,..., Annun). mj(x)dx\jdx" määritetyt operaattorit asettaa B (A33) С Н toiminnot, jotka täyttävät ehdot (3) ja (4). Alkuperäinen tehtävä (1)-(5) alkuehtoineen kirjoitetaan muotoon Au = f (*), u (0) = u0, 17(0) = u1, (7) missä f (*) = ((*),51 (*),..., Yam (¿))t. Lemma. 1. Jos kaksi ensimmäistä ehtoa (1) täyttyvät, niin operaattori A evoluutiotehtävässä (7) on rajaton, itseliittyvä, positiivinen määrätty operaattori avaruudessa H (Au,K)n = (u,AK)n, (Au, u)i > c2 (i, u)i. 2. Operaattori A generoi energia-avaruuden NA, jonka normi on kaksi kertaa sauvapaketin värähtelyjen potentiaalienergia 3\^I h)2 = 2П > 0. (8) IIUIIA = £/ EF^^J dx + k £ (uo - U)2 = 2П > 0. < Оператор А неограничен в пространстве Н, поскольку неограничен каждый диагональный элемент А33. Самосопряженность и положительная определенность оператора А проверяются непосредственно: (AU, v)h =/m (x) (-^| (EFo (x) ^j) Vo (x) dx+ +£ jm(x) (- jx) | (ef- (x) dndxa))v-(x) dx=... = EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) U) (x) vo (x) J EFo (x) uo (x) vo (x) dx - EFo (x) uo (x) ?o (x) + ^^ / EF- (x) u- (x) vo (x) dx - ^^ EF- (x) u- (x) v- (x) J EFo (x) uo (x) v" (x) dx - EFo (xa - 0) uo (xa - 0) vo (xa) + 0 EFo (xa + 0) uo (xa + 0) vo (xa) - £ EF- (/-) u- (/-) v- (/-) + JEF- (x) u- (x) v- (x) dx = JEFo (x) uo (x) vo (x) dx+ -=100 + £ / EF.,- (x) u- (x) g?- (x) dx+ o O(xa)- £ EF- (/-) u- (/-) v?"- (/-) = EFo (x) uo (x) v?" o (x) dx+ -=10 + £ / EF- (x) u- (x) v- (x) dx+ -=1 0 - + £ k (uo (xa) - u- (/-)) (vo (xa) - v- (/-)) = (U, A?)H (AU, U)H = ... = I EF0 (x) u"2 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) J EF0 (x) u"0 (x) dx - EF0 (x) u0 (x) u0 (x) + ^^ / EFj (x) u"2 (x) dx - ^^ EFj (x) uj (x) u3 (x) "J EF°(x) u"2 (x) dx 4EF0 (x) u"2 (x) dx+£ JEFj (x) u"2 (x) dx У^ k (u0 (l) uj (l) - u2 (/)) + u0 (l) ^ k (u0 (l) - uj (l)) = EF0 (x) u"2 (x) dx + / EF0 (x) u"0 (x) dx + S / EFj (x) u"2 (x) dx + k ^ (u0 (l) - uj (l))2 > c2 (U, U)H Yllä olevista tuloksista seuraa, että operaattorin A energianormi ilmaistaan kaavalla (8). Evoluutioongelman ratkaistavuus. Muotoilkaamme seuraava lause. Lause 1. Olkoon ehdot täyttyneet U0 £ D (A1/2) , U0 £ H, f (t) £ C (; H), silloin tehtävällä (7) on kaavan määrittelemä ainutlaatuinen heikko ratkaisu U (t) välissä U (t) = U0 cos (tA1/2) +U1 sin (tA1/2) +/sin ((t - s) A1/2) A-1/2f (s) ds. 5 ilman ulkoista häiriötä f (£), energian säilymisen laki täyttyy 1 II A 1/2UИ2 = 1 1 II A1/2U 0|H. < Эволюционная задача (7) - это стандартная задача Коши для дифференциального операторного уравнения гиперболического типа, для которого выполнены все условия теоремы о разрешимости . Tankopaketin luonnolliset värähtelyt. Oletetaan, että ulkoisten voimien kenttä ei vaikuta sauvajärjestelmään: f (t) = 0. Tässä tapauksessa sauvojen liikkeitä kutsutaan vapaiksi. Tankojen vapaita liikkeitä, riippuen ajasta t lain exp (iwt) mukaan, kutsutaan luonnollisiksi värähtelyiksi. Kun yhtälössä (7) on U (x, t) = U (x) eiWÍ, saadaan operaattorin A spektriongelma: AU - AEU = 0, L = w2. (9) Operaattorin A ominaisuuksien avulla voimme muotoilla lauseen ominaisfunktioiden spektristä ja ominaisuuksista. Lause 2. Spektritehtävä (9) sauvapaketin luonnollisista värähtelyistä omaa diskreetin positiivisen spektrin 0 < Ai < Л2 < ... < Ak < ..., Ak ^ то ja ominaisfunktioiden järjestelmä (Uk (x))^=0, täydellinen ja ortogonaalinen avaruudessa H ja HA, ja seuraavat ortogonaalisuuskaavat täyttyvät: (Ufe, Us)H = £ m (xj UfejMSjdx = j=0 0 (Uk = £/T^) d*+ K ("feo - Mfej) (uso -) = Afeífes. j=i Spektriongelman tutkimus homogeenisen sauvapaketin tapauksessa. Esitetään siirtymäfunktio m- (x, £) muodossa m- (x, £) = m- (x), muuttujien erottamisen jälkeen saadaan jokaiselle sauvalle spektriongelmat: ^Oi + Lm = 0, ^ = 0,1,2,..., N (10) jonka kirjoitamme matriisimuodossa 4 £ + Li = 0, A = -,-,-,...,- \ t0 t1 t2 t « u = (u0, u1, u2,..., u«)t. Ratkaisu ja saatujen tulosten analysointi. Merkitään poikkileikkauksen keskitangon siirtymäfunktiot arvolla u01 ja osuudella u02 (g). Tässä tapauksessa funktiolle u02 siirrämme koordinaattien origon pisteeseen, jonka koordinaatti on /. Esitämme kunkin sauvan ratkaisun yhtälöön (10) muodossa Tuntemattomien vakioiden löytämiseksi kohdassa (11) käytämme edellä muotoiltuja reunaehtoja. Homogeenisista reunaehdoista on mahdollista määrittää joitain vakioita, nimittäin: C02 = C12 = C22 = C32 = C42 = ... = CN 2 = 0. Tämän seurauksena on vielä löydettävä N + 3 vakiota: C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., CN1. Tätä varten ratkaisemme N + 3 yhtälöä N + 3 tuntemattomalle. Kirjoitetaan tuloksena oleva järjestelmä matriisimuotoon: (A) (C) = (0) . Tässä (C) = (C01, C03, C04, C11, C21, C31, C41,..., Cn 1)t on tuntemattomien vektori; (A) - ominaismatriisi, cos (A1) EF0 A sin (A1) + L sin (L (Zo - 1)) L cos (L (Zo - 1)) 0 00 0 \ -1 0 0000 0 v 00 00 0 000 v a = k soe ^ ^A-L^ ; in = -k co8((.40-01L)1/2^; 7 = (A4"-1 l) 1/2 ap ((A"1l) 1/2 + k sov ((A"1l) 1/2; (~ \ 1/2 ~ Л= ^Л] ; A--: 3 = 0. Ei-triviaalin ratkaisun löytämiseksi otamme muuttujaksi vakion C01 € M. Meillä on kaksi vaihtoehtoa: C01 = 0; C01 = 0. Olkoon C01 = 0, sitten C03 = C04 = 0. Tässä tapauksessa ei-triviaali ratkaisu voidaan saada, jos 7 = 0 arvosta (12), kun lisäehto täyttyy £ s-1 = 0, (13) joka voidaan saada järjestelmän (12) kolmannesta yhtälöstä. Tuloksena saamme yksinkertaisen taajuusyhtälön EP (A"1 L)1/2 W ((A"1^1/2 P + zz \V zz K cos ^ (A-/a) 1/2 ^ = 0, j G , samaan aikaan toisesta päästään elastisesti kiinnitetyn sauvan taajuusyhtälön kanssa, jota voidaan pitää ensimmäisenä osajärjestelmänä. Tässä tapauksessa kaikki mahdolliset sivutankojen liikeyhdistelmät, jotka täyttävät ehdon (13), voidaan ehdollisesti jakaa ryhmiin, jotka vastaavat erilaisia vaiheyhdistelmiä (tarkasteltavana olevassa tapauksessa vaihe määräytyy merkillä C.d). Jos oletamme, että sivutangot ovat identtisiä, meillä on kaksi vaihtoehtoa: 1) Сд = 0, niin tällaisten yhdistelmien lukumäärä n eri N:lle voidaan laskea kaavalla n = N 2, jossa on jakofunktio ilman jäännöstä; 2) mikä tahansa (tai mikä tahansa) vakioista C- on yhtä suuri kuin 0, niin mahdollisten yhdistelmien lukumäärä kasvaa ja voidaan määrittää kaavalla £ [(N - m) jako 2]. Olkoon Coi = 0, niin Cn = C21 = C31 = C41 = ... = CN1 = = C01 (-v/t), missä in ja y ovat komplekseja, jotka sisältyvät kohtaan (12). Järjestelmästä (12) meillä on myös: C03 = C01 cos (А/); C04 = C03 tg (L (/0 - /)) = C01 cos (A/) x x tg (L (/0 - /)), so. kaikki vakiot ilmaistaan C01:n kautta. Taajuusyhtälö saa muodon EFo U-o1 L tg A-1 L) " (lo - l)) - K2 cos | í a!-,1 l Esimerkkinä voidaan harkita järjestelmää, jossa on neljä sivupalkkia. Edellä kuvatun menetelmän lisäksi tässä esimerkissä voit kirjoittaa muistiin koko järjestelmän taajuusyhtälön laskemalla matriisin A determinantin ja vertaamalla sen nollaan. Katsotaanpa sitä Y4 (L sin (L (/o - /)) cos (L/) EFoЛ+ L cos (L (/o - /)) (EFoЛ sin (L/) + 4v)) - 4av3L cos (L(/0 - /)) = 0. Kaaviot transsendenttisista taajuusyhtälöistä edellä tarkasteluissa tapauksissa on esitetty kuvassa. 2. Alkutietoiksi otettiin seuraavat: EF = 2,109 N; EF0 = 2,2 109 N; k = 7107 N/m; m = 5900 kg/m; mo = 6000 kg/m; / = 23; /о = 33 m. Tarkastelun piirin kolmen ensimmäisen värähtelytaajuuden arvot on annettu alla: n................................................ ja iloinen/t................................... 1 2 3 20,08 31,53 63,50 Riisi. 2. Kaaviot transsendenttisista taajuusyhtälöistä, kun Coi = 0 (i) ja Coi = 0 (2) Esitetään saatuja ratkaisuja vastaavat värähtelytilat (yleensä värähtelytiloja ei ole normalisoitu). Ensimmäistä, toista, kolmatta, neljättä, 13 ja 14 taajuutta vastaavat värähtelymuodot on esitetty kuvassa. 3. Ensimmäisellä värähtelytaajuudella sivutangot värähtelevät samalla tavalla, mutta pareittain vastavaiheessa Kuva 3. Sivutankojen (1) ja keskimmäisten (2) värähtelymuodot, jotka vastaavat ensimmäistä V = 3,20 Hz (a), toista V = 5,02 Hz (b), kolmatta V = 10,11 Hz (c), neljättä V = 13,60 Hz (d), 13. V = 45,90 Hz (d) ja 14. V = 50,88 Hz (f) taajuudet (Kuva 3, a), toisessa keskisauva värähtelee ja sivutangot värähtelevät samassa muodossa vaiheessa (kuva 3, b). On huomattava, että tarkasteltavana olevan tankojärjestelmän ensimmäinen ja toinen värähtelytaajuus vastaavat kiinteistä kappaleista koostuvan järjestelmän värähtelyjä. Kun järjestelmä värähtelee kolmannella ominaistaajuudella, solmut ilmestyvät ensimmäistä kertaa (kuva 3c). Kolmas ja sitä seuraavat taajuudet (kuva 3d) vastaavat järjestelmän elastisia värähtelyjä. Värähtelytaajuuden kasvaessa, joka liittyy elastisten elementtien vaikutuksen vähenemiseen, värähtelyjen taajuudet ja muodot ovat yleensä osittaisia (kuva 3, e, f). Kuvassa on esitetty funktioiden käyrät, joiden leikkauspisteet abskissa-akselin kanssa ovat transsendentaalisten yhtälöiden ratkaisuja. 4. Kuvan mukaan järjestelmän värähtelyjen ominaistaajuudet sijaitsevat lähellä osataajuuksia. Kuten edellä todettiin, taajuuden kasvaessa luonnollisten taajuuksien konvergenssi osittaisten taajuuksien kanssa kasvaa. Tämän seurauksena taajuudet, joilla koko järjestelmä värähtelee, jaetaan ehdollisesti kahteen ryhmään: lähellä sivutangon osataajuuksia ja taajuuksia, jotka ovat lähellä keskitangon osataajuuksia. Johtopäätökset. Tarkastellaan tankopaketin pitkittäisvärähtelyjen ongelmaa. Asetetun raja-arvoongelman ominaisuudet ja sen ominaisarvojen spektri kuvataan. Spektriongelmaan ehdotetaan ratkaisua mielivaltaiselle määrälle homogeenisia sivusauvoja. Numeerista esimerkkiä varten etsitään ensimmäisten värähtelytaajuuksien arvot ja muodostetaan vastaavat muodot. Myös rakennetuille värähtelymuodoille tunnistettiin joitain tunnusomaisia ominaisuuksia. Riisi. 4. Funktioiden käyrät, joiden leikkauspisteet abskissa-akselin kanssa ovat transsendenttisten yhtälöiden ratkaisuja, kun CoX = 0 (1), Cox = 0 (2) osuvat yhteen ensimmäisen osajärjestelmän kanssa (kimmoiseen kiinnitetty sivutanko elementti pisteessä x = I) ja toinen osajärjestelmä (5) (keskitango kiinnitetty neljään elastiseen elementtiin kohdassa A) KIRJALLISUUS 1. Kolesnikov K.S. Rakettien dynamiikka. M.: Konetekniikka, 2003. 520 s. 2. Ballistiset ohjukset ja kantoraketit / O.M. Alifanov, A.N. Andreev, V.N. Gushchin et ai., M.: Bustard, 2004. 511 s. 3. Rabinovich B.I. Johdatus avaruusalusten kantorakettien dynamiikkaan. M.: Konetekniikka, 1974. 396 s. 4. Parametritutkimus nestemäisten rakettien POGO-stabiilisuudesta / Z. Zhao, G. Ren, Z. Yu, B. Tang, Q. Zhang // J. of Spacecraft and Rockets. 2011. Voi. 48.Is. 3. P. 537-541. 5. Balakirev Yu.G. Nestekäyttöisten kantorakettien pitkittäisvärähtelyjen analysointimenetelmät // Kosmonautiikka ja rakettitiede. 1995. nro 5. s. 50-58. 6. Balakirev Yu.G. Eräjärjestelyn nesteraketin matemaattisen mallin ominaisuudet ohjausobjektina // Valitut nykyaikaisen koneenrakennuksen lujuusongelmat. 2008. s. 43-55. 7. Dokuchaev L.V. Menetelmien parantaminen paketin kantoraketin dynamiikan tutkimiseksi ottaen huomioon niiden symmetria // Kosmonautiikka ja rakettitiede. 2005. nro 2. s. 112-121. 8. Pozhalostin A.A. Suunniteltujen analyyttisten menetelmien kehittäminen elastisten kuorien luonnollisen ja pakotetun tärinän laskemiseen nesteen kanssa: dis. ... Dr. Tech. Sci. M., 2005. 220 s. 9. Crane S.G. Lineaariset differentiaaliyhtälöt Banach-avaruuksissa. M.: Nauka, 1967. 464 s. 10. Kopachevsky I.D. Matemaattisen fysiikan operaattorimenetelmät. Simferopol: LLC "Forma", 2008. 140 s. Kolesnikov K.S. Dinamika raketti. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2003. 520 s. Alifanov O.N., Andreev A.N., Gushchin V.N., toim. Ballisticheskie rakety ja rakety-nositeli. Moscow, Drofa Publ., 2003. 511 s. Rabinovich B.I. Vvedenie v dinamiku raket-nositeley kosmicheskikh apparatov. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1974. 396 s. Zhao Z., Ren G., Yu Z., Tang B., Zhang Q. Parametritutkimus nestemäisen polttoaineen raketin POGO-stabiilisuudesta. J. Spacecraft and Rockets, 2011, voi. 48, iss. 3, s. 537-541. Balakirev Yu.G. Nestemäistä polttoainetta käyttävien kantorakettien pitkittäisvärähtelyjen analyysimenetelmät. Kosm. i raketostr. , 1995, nro. 5, s. 50-58 (venäjäksi). Balakirev Yu.G. Osobennosti matematicheskoy modeli zhidkostnoy rakety paketnoy komponovki kak ob"ekta upravlenii. Sb. "Izbrannye problemy prochnosti sovremennogo mashinostroeniya". Moskova, Fizmatlit Publ., 2008. 204 s. (sitoitettu s. 4355). Dokuchaev L.V. Klusteroitujen kantorakettien dynamiikan tutkimusmenetelmien parantaminen niiden symmetria huomioon ottaen. Kosm. i raketostr. , 2005, nro. 2, s. 112-121 (venäjäksi). Pozhalostin A.A. Razrabotka priblizhennykh analiticheskikh metodov rascheta sobstvennykh i vynuzhdennykh kolebaniy uprugikh obolochek s zhidkost"yu. Diss. doct. tekhn. nauk . Kreyn S.G. Lineynye differentsial"nye uravneniya v Banakhovykh prostranstvakh. Moscow, Nauka Publ., 1967. 464 s. Kopachevskiy I.D. Operatornye metody matematicheskoy fiziki. Simferopol", Forma Publ., 2008. 140 s. Artikkeli vastaanotettiin toimittajaan 28.4.2014 Pavlov Arseniy Mikhailovich - MSTU:n avaruusalusten ja laukaisuajoneuvojen laitoksen opiskelija. N.E. Bauman. Erikoistunut raketti- ja avaruusteknologiaan. MSTU im. N.E. Baumash, Venäjän federaatio, 105005, Moskova, 2nd Baumanskaya st., 5. Pavlov A.M. - Bauman Moskovan valtion teknillisen yliopiston "Spacecrafts and Launch Vehicles" -osaston opiskelija. Raketti- ja avaruusteknologian asiantuntija. Bauman Moskovan valtion teknillinen yliopisto, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moskova, 105005 Venäjän federaatio. Temnov Aleksanteri Nikolajevitš - Ph.D. fysiikka ja matematiikka Tieteet, Moskovan valtion teknillisen yliopiston avaruusalusten ja kantorakettien laitoksen apulaisprofessori. N.E. Bauman. Yli 20 tieteellisen artikkelin kirjoittaja neste- ja kaasumekaniikan sekä raketti- ja avaruusteknologian alalla. MSTU im. N.E. Baumash, Venäjän federaatio, 105005, Moskova, 2nd Baumanskaya st., 5. Temnov A.N. - Cand. Sci. (Fys.-Math.), ass. Bauman Moskovan valtion teknillisen yliopiston "Spacecrafts and Launch Vehicles" -osaston professori. Yli 20 julkaisun kirjoittaja neste- ja kaasumekaniikan sekä raketti- ja avaruusteknologian alalla. Bauman Moskovan valtion teknillinen yliopisto, 2-ya Baumanskaya st. 5, Moskova, 105005 Venäjän federaatio. Tarkastellaan tasapituista sauvaa, eli lieriömäistä tai muun muotoista kappaletta, jonka venyttämiseksi tai taivuttamiseksi on kohdistettava tietty voima. Jälkimmäinen seikka erottaa ohuimmankin sauvan narusta, joka, kuten tiedämme, taipuu vapaasti. Tässä luvussa sovelletaan ominaisuuksien menetelmää tangon pitkittäisvärähtelyjen tutkimukseen ja rajoitumme tutkimaan vain sellaisia värähtelyjä, joissa tangon akselia pitkin liikkuvat poikkileikkaukset pysyvät tasaisina ja yhdensuuntaisina tangon kanssa. toisiaan (kuva 6). Tällainen oletus on perusteltu, jos tangon poikittaismitat ovat pieniä sen pituuteen verrattuna. Jos sauvaa venytetään tai puristetaan hieman pitkittäisakselia pitkin ja jätetään sitten itseensä, siinä syntyy pitkittäisiä värähtelyjä. Ohjataan akseli tangon akselia pitkin ja oletetaan, että lepotilassa tangon päät ovat pisteissä. Olkoon tangon tietyn osan abskissa tämän ollessa levossa. Merkitään tämän osan siirtymällä ajanhetkellä, jolloin osan siirtymä abskissalla on yhtä suuri kuin Tästä on selvää, että tangon suhteellinen venymä osassa, jossa on abskissa x, ilmaistaan derivaatalla Olettaen nyt, että tangossa tapahtuu pieniä värähtelyjä, voimme laskea jännityksen tässä osassa. Hooken lakia soveltaen todellakin huomaamme, että missä on tangon materiaalin kimmokerroin, sen poikkileikkauspinta-ala. Otetaan sauvaelementti mukana kahden osan välillä, joiden lepotilassa olevat absissat ovat vastaavasti samat. Tähän elementtiin vaikuttavat näissä osissa kohdistetut ja akselia pitkin suunnatut vetovoimat. Näiden voimien resultantti on suuruusluokkaa ja on myös ohjattu mukana. Toisaalta elementin kiihtyvyys on yhtä suuri, minkä seurauksena voimme kirjoittaa yhtälön missä on tangon tilavuustiheys. Laittaminen ja vähentämällä saadaan homogeenisen sauvan pitkittäisvärähtelyjen differentiaaliyhtälö Tämän yhtälön muoto osoittaa, että tangon pitkittäisvärähtelyt ovat aaltoluonteisia ja pitkittäisaaltojen etenemisnopeus a määräytyy kaavalla (4). Jos sauvaan vaikuttaa myös ulkoinen voima, joka lasketaan sen tilavuusyksikköä kohti, niin saadaan (3) sijasta Tämä on tangon pakotetun pitkittäisvärähtelyn yhtälö. Kuten dynamiikassa yleensä, liikeyhtälö (6) ei yksin riitä määrittämään tangon liikettä kokonaan. On tarpeen asettaa alkuehdot, eli asettaa tangon osien siirtymät ja niiden nopeudet alkuhetkellä missä ja niille annetaan funktiot välissä ( Lisäksi on määritettävä reunaehdot sauvan päissä. Esimerkiksi. Tässä osiossa tarkastellaan homogeenisen sauvan pitkittäisvärähtelyjen ongelmaa. Tanko on lieriömäinen (erityisesti prismamainen) runko, jonka venyttämiseksi tai puristamiseksi on kohdistettava tietty voima. Oletetaan, että kaikki voimat vaikuttavat tangon akselia pitkin ja jokainen tangon poikkileikkaus (kuva 23) liikkuu translaatiosuunnassa vain tangon akselia pitkin. Yleensä tämä oletus on perusteltu, jos tangon poikittaismitat ovat pieniä sen pituuteen verrattuna ja tangon akselia pitkin vaikuttavat voimat ovat suhteellisen pieniä. Käytännössä pitkittäisvärähtelyjä esiintyy useimmiten, kun tankoa ensin hieman venytetään tai päinvastoin puristetaan kokoon ja jätetään sitten omaan tahtiinsa. Tässä tapauksessa siinä syntyy vapaita pitkittäisiä värähtelyjä. Johdetaan yhtälöt näille värähtelyille. Ohjataan abskissa-akseli tangon akselia pitkin (kuva 23); lepotilassa tangon päissä on vastaavasti abskissat Tarkastellaan poikkileikkausta; - sen abskissa on levossa. Tämän jakson siirtymä milloin tahansa t on karakterisoitu funktiolla, jonka löytämiseksi meidän on luotava differentiaaliyhtälö. Etsitään ensin osien rajoittaman tangon leikkauksen suhteellinen venymä Jos poikkileikkauksen abskissa on levossa, niin tämän osan siirtymä ajanhetkellä t, korkeamman kertaluvun äärettömien pienien tarkkuudella, on yhtä suuri kuin Tästä syystä tangon suhteellinen venymä abskissalla hetkellä t on yhtä suuri kuin Olettaen, että tämän venymän aiheuttavat voimat noudattavat Hooken lakia, löydämme poikkileikkaukseen vaikuttavan vetovoiman T suuruuden: missä on tangon poikkileikkauspinta-ala ja on tangon materiaalin kimmomoduuli (Youngin moduuli). Kaavan (5.2) tulee olla lukijan hyvin tiedossa materiaalien lujuuskurssista. Vastaavasti osaan vaikuttava voima on yhtä suuri kuin Koska voimat korvaavat tangon hylättyjen osien toiminnan, niiden tuloksena oleva voima on yhtä suuri kuin erotus Ottaen tangon valitun osan olevan materiaalipiste, jonka massa on , missä on sauvan tilavuustiheys, ja soveltamalla siihen Newtonin toista lakia, luomme yhtälön Lyhentämällä ja ottamalla käyttöön merkintä, saamme tangon vapaiden pitkittäisvärähtelyjen differentiaaliyhtälön Jos lisäksi oletetaan, että tankoon kohdistuu tilavuusyksikköä kohti laskettu ulkoinen voima, joka vaikuttaa tangon akselilla, niin suhteen (5 3) oikealle puolelle lisätään termi ja yhtälö (5.4) ottaa muodossa joka on täsmälleen sama kuin merkkijonon pakotettujen värähtelyjen yhtälö. Siirrytään nyt ongelman alku- ja reunaehtojen määrittämiseen ja tarkastellaan käytännössä mielenkiintoisinta tapausta, jolloin tangon toinen pää on kiinteä ja toinen vapaa. Vapaassa päässä rajaehdolla on eri muoto. Koska tässä päässä ei ole ulkoisia voimia, tulee myös osuuteen vaikuttavan voiman T olla nolla, ts. Värähtelyjä syntyy, koska alkuhetkellä sauva vääntyi (venyi tai puristui) ja tangon pisteisiin kohdistui tiettyjä alkunopeuksia. Siksi meidän on tiedettävä tangon poikkileikkausten siirtymä tällä hetkellä sekä tangon pisteiden alkunopeudet Joten ongelma toisessa päässä kiinnitetyn tangon vapaista pitkittäisvärähtelyistä, jotka johtuvat alkuperäisestä puristamisesta tai jännityksestä, johti meidät yhtälöön alkuehtojen kanssa ja rajaehdot Se on viimeinen ehto, joka matemaattisesta näkökulmasta erottaa tarkasteltavan ongelman molempiin päihin kiinnitetyn merkkijonon värähtelyongelmasta. Ratkaisemme Fourier-menetelmän aiheuttaman ongelman, eli etsimme yhtälön osittaiset ratkaisut, jotka täyttävät reunaehdot (5.8) muodossa Koska ratkaisun jatkokulku on samanlainen kuin 3 §:ssä jo hahmoteltu, rajoitamme vain lyhyisiin ohjeisiin. Erottamalla funktio, korvaamalla tuloksena olevat lausekkeet lausekkeella (5.6) ja erottamalla muuttujat, saadaan (Jätetään lukijan tehtäväksi itsenäisesti todeta, että reunaehtojen vuoksi oikeanpuoleinen vakio ei voi olla positiivinen luku tai nolla.) Yhtälön yleinen ratkaisu on muotoa Toiminnallemme asetettujen ehtojen vuoksi Ratkaisut, jotka eivät ole identtisesti yhtä suuret kuin nolla saadaan vain, jos ehto täyttyy, eli , jossa k voi ottaa arvoja Joten ongelman ominaisarvot ovat numeroita Jokaisella on oma tehtävänsä Kuten jo tiedämme, kertomalla mikä tahansa ominaisfunktio mielivaltaisella vakiolla, saamme ratkaisun yhtälöön asetetuilla reunaehdoilla. On helppo tarkistaa, että antamalla luvulle k negatiivisia arvoja emme saa uusia ominaisfunktioita (esimerkiksi at tulee funktiosta, joka eroaa ominaisfunktiosta ) vain etumerkissä), Osoitetaan ensin, että ominaisfunktiot (5.11) ovat ortogonaalisia välillä . Todellakin, milloin Jos sitten Ominaisfunktioiden ortogonaalisuus voidaan todistaa toisella tavalla, ei niiden eksplisiittisiin lausekkeisiin luottaen, vaan käyttämällä vain differentiaaliyhtälöä ja reunaehtoja. Olkoon ja kaksi erillistä ominaisarvoa ja niitä vastaavat ominaisfunktiot. Määritelmän mukaan nämä funktiot täyttävät yhtälöt ja rajaehdot. Kerrotaan ensimmäinen yhtälö toisella ja vähennetään yksi toisesta.
(5.2)
